Las notas de esta primera parte de apuntes de álgebra están basadas en gran medida en los apuntes de la materia “Álgebra Superior I”, cursada en ITAM en la Licenciatura en Actuaría, de enero a mayo de 1997.
La palabra álgebra proviene del nombre de un tratado en árabe escrito al rededor del año 825 por Muhammad ib Musa al-Khwarizmi sobre cómo resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Esta versión del álgebra, desde luego, no se parece mucho a lo que hoy conocemos como álgebra. Para ello, hubo que esperar hasta la aparición del álgebra abstracta (en s. XVI).
El álgebra es una de las disciplinas matemáticas fundamentales, su uso se puede observar en prácticamente todos los campos de las matemáticas. Hoy en día, el álgebra es la rama de las matemáticas encargada del estudio de las estructuras algebraicas, conjuntos de objetos matemáticos y operaciones binarias. El álgebra es, hoy en día, una disciplina fundamental en el estudio de las matemáticas ya que sus técnicas, conceptos y resultados tienen uso en prácticamente todas las otras ramas de las matemáticas.
Por su parte, las matemáticas discretas (un sub-tema del álgebra) estudian a las estructuras matemáticas que tienen una “biyección” con el conjunto de los números naturales. Esto es, los objetos matemáticos de interés pueden ser enumerados mediante números enteros. Algunos de los temas más relevantes del campo de las matemáticas discretas son: la teoría de conjuntos, combinatoria, teoría de grafos, teoría de números, estructuras algebraicas.
Los resultados obtenidos del estudio de las matemáticas discretas tienen una gran diversidad de aplicaciones en otras ramas de las matemáticas y otras ciencias. Por ejemplo, la combinatoria es fundamental en el estudio del cálculo de probabilidades; en ciencias de la computación y criptografía; en las ciencias sociales el uso de la teoría de grafos o la teoría de juegos han encontrado un terreno muy fértil.
El concepto de conjunto y sus propiedades son fundamentales en una gran diversidad de áreas de estudio de las matemáticas y, en particular, en el álgebra. Sin embargo, definir qué es un conjunto es difícil y, con frecuencia, se deja a la intuición.
Así, se suele caracterizar (definir) a un conjunto como una colección bien definida de elementos u objetos. Es decir, que dado un objeto podemos determinar con certeza si se encuentra o no en el conjunto.
Podemos entonces pensar en que existe un conjunto universal, \(\mathcal{U}\), del cual se seleccionan los objetos para formar otros conjuntos. En otras palabras, el conjunto universal es el máximo marco de referencia con respecto al problema que estamos analizando.
Por otra parte, se dice que existe un conjunto tal que ningún elemento del conjunto universal forma parte de él. A este conjunto se le conoce como el conjunto vacío y se denota como \(\varnothing\).
Obsérvese que en la definición anterior, ni el orden ni la repetición de los elementos altera la condición de igualdad.
Si bien más adelante en estos apuntes estudiaremos a las operaciones (funciones que toman valores de entrada y arrojan un resultado), y en particular a las operaciones binarias, por el momento las abordaremos axiomáticamente a partir de su definición.
Si consideramos dos conjuntos \(A\) y \(B\), y al conjunto universal \(\mathcal{U}\), definiremos entonces cuatro operaciones básicas que operan sobre los conjuntos:
Unión: \(A \cup B = \{ x \in \mathcal{U} | x \in A \vee x \in B \}\).
Intersección: \(A \cap B = \{ x \in \mathcal{U} | x \in A \wedge x \in B \}\).
Complemento: \(A^c = \{ x \in \mathcal{U} | x \notin A \}\).
Diferencia: \(A - B = \{ x \in \mathcal{U} | x \in A \wedge x \notin B\}\).
A partir de estas definiciones es posible entonces probar que se cumplen las siguientes propiedades de las operaciones para los conjuntos \(A\), \(B\) y \(C\):
Algunas propiedades del producto cartesiano:
Si A y B son finitos \(|A \times B| = |B \times A|\).
Si \((a,b), (c,d) \in A \times B\) entonces, \((a,b) = (c,d) \iff a=c, b=d\).
\(\emptyset \times A = A \times \emptyset = \emptyset\).
Cuando se trabaja con operaciones binarias es frecuente el uso de la notación infija (p.e., \(a*b\) para denotar la imagen de de la pareja ordenada \((a,b)\) bajo la operación \(*\)). Sin embargo, es posible encontrar también el uso de notación prefija (p.e., \(*(a,b)\)).
A continuación se enuncian algunos ejemplos de operaciones binarias:
La adición de parejas de números naturales, enteros, racionales, reales y complejos es una operación binaria en los conjuntos \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\), respectivamente.
La multiplicación de parejas de números naturales, enteros, racionales, reales y complejos es una operación binaria en los conjuntos \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\), respectivamente.
La sustracción de parejas de números enteros es una operación binaria en el conjunto \(\mathbb{Z}\). La sustracción no es una operación binaria en \(\mathbb{N}\).
Sea \(\circ:End(X) \rightarrow End(X)\), donde \(X\) es un conjunto y \(End(X)\) es el conjunto de todas las funciones de X en X (endomorfismos de X), entonces \(\circ\) es una operación binaria en \(End(X)\).
Si \(X\) es un conjunto y \(P(X)\) es la potencia de \(X\), entonces la intersección y la unión de elementos de \(P(X)\) son operaciones binarias en \(P(X)\).
Commutativa si para cada pareja ordenada \((a,b) \in A \times A\), \(a*b = b*a\).
Asociativa si para \(a,b,c \in A\), \((a*b)*c = a*(b*c)\).
Idempotente si para \(a \in A\), \(a*a = a\).
Llamamos enteros a cualquiera de los números 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …; y los denotamos como \(\mathbb{Z}\) (por la palabra para número en Alemán, Zahl). Es decir:
\[\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}\].
Los números naturales, por otra parte, son aquellos números enteros mayores o iguales a cero:
\[\mathbb{N} = \{n \in \mathbb{Z} : n \geq 0 \}.\]
Los números naturales son, por lo tanto, los enteros positivos. No parece haber consenso, sin embargo, en el mundo de las matemáticas respecto a la inclusión del 0 como parte del conjunto de los números naturales.
Se sigue de las definiciones anteriores que cualquier número compuesto tiene una factorización \(n = ab\), donde \(a < n\) y \(b < n\).
Si \(0 \in C \Rightarrow x = 0\).
E. O. C. Si \(1 \in C \Rightarrow x = 1\).
\(\dots\)
El procedimiento eventualmente para en \(n < \infty\) puesto que \(C \neq \varnothing\).
En general, para conjuntos finitos \(A,B\) con \(|A| = m, |B| = n\), existen \(2^{mn}\) relaciones de A a B, incluyendo la relación vacía y la propia relación \(A \times B\).
Llamamos permutaciones al número disposiciones (formas de ordenar) de objetos (conteo) colocados según un orden o diseño específico.
\[n! = \prod\limits_{i = 1}^n i \text{ } \forall \text{ } n \geq 1,\]
\[0! = 1.\]
Esta sección está basada en los apuntes tomados durante el curso de Álgebra Superior II, impartido por el Dr. Javier Alfaro, de agosto a diciembre de 1997 en el ITAM.
Propiedades de los monoides:
El elemento neutral \(e\) es único.
\(a^0 = e\).
\(a^1 = a\).
\(a^{n+1} = a^n * a\).
\(a^m a^n = a^{m+n}\).
\((a^m)^n = a^{m * n}\).
\((a * b)^m = a^m * b^m\) (solamente si el monoide es, además, commutativo).
Brian Hopkins, Resources for Teaching Discrete Mathematics, Mathematical Association of America, 2008.
Cárdenas
Para determinar la cardinalidad de conjuntos el estudio del conteo es particularmente relevante. Se recomienda revisar los apartados correspondientes.↩︎
Llamadas así en honor de Augustus De Morgan (1806-1871), un matemático, actuario y abogado británico a quien se le atribuye el sentar las bases para la formalización de la inducción matemática.↩︎