Con varianza poblacional \(\sigma^2_x\) desconocida
\[
\frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{S^2_{x}}{n}}}{\sim}t_{n-1}{\implies}IC(1-\alpha)=\overline{x}_{n}{\pm}t_{\left(n-1,1-\frac{\alpha}{2}\right)}\sqrt{\frac{S^2_{x}}{n}}
\]
Nota: Cuando el tamaño de muestra es “grande” y esto es relativo
tanto al tamaño de la población como a la dispersión de la variable.
\[
\frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{S^2_{x}}{n}}}\stackrel{n{\rightarrow}\infty}{{\sim}}Z_{1-\frac{\alpha}{2}}{\implies}IC(1-\alpha)=\overline{x}_{n}{\pm}Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{S^2_{x}}{n}}
\]
Ejercicio y ejemplos
Varianza poblacional conocida
- Tras revisar a fondo los documentos oficiales, se obtuvo que la tasa
de contagio del coronarivurs por país es de 2,68 que se obtuvo al
analizar los 75 casos confirmados que se tenían al momento de la firma
del decreto (martes en la tarde) , es decir, que tasa media de contagio
fue de 2,68 con una desviación estándar de 0.5 contagios, basandose en
la información de los datos para los 1.103 municipios del país, esto no
quiere decir que la tasa media de contagio más pequeña es de 2,18 y la
mayor resulta ser de 3,18, sino que de media de la tasa de contagio se
encuentra entre 2 y 3 casos por cada persona con coronavirus. Para
comprobar esto se se obtienen 150 contagios promedio por municipio en el
país y se estima un intervalo de confianza del 90% (1−α=0.90) con un
nivel de significancia del 10% (α=0.10).
- Establecer el intervalo de confianza
\[
\frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2_{x}}{n}}}{\sim}N(0,1){\implies}IC(1-\alpha)=\overline{x}_{n}{\pm}Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{\sigma^2_{x}}{n}}
\]
- Simular una población de 1103 tasas de contagio de 1013
municipios
set.seed(147)
Poblacion <- round(x=rnorm(n=1103,mean=2.68,sd=0.5),digits=2)
- Tomar una muestra aleatoria
muestra <- sample(x=Poblacion,size=150)
- Construir un intervalo de confianza
xbarra <- mean(x=muestra)
xbarra
## [1] 2.741333
sigma2 <- 0.5
sigma2
## [1] 0.5
n <- length(muestra)
n
## [1] 150
error.estandar <- sqrt(x=sigma2/n)
error.estandar
## [1] 0.05773503
error.de.estimacion <- qnorm(p=0.975)*error.estandar
error.de.estimacion
## [1] 0.1131586
- Intervalo de confianza (95%)
intervalo <- round(x=xbarra+c(-error.de.estimacion,+error.de.estimacion),digits=2)
intervalo
## [1] 2.63 2.85
mu <- round(x=mean(x=Poblacion),digits=2)
mu
## [1] 2.69
Varianza poblacional desconocida
- Tras revisar a fondo los documentos oficiales, se obtuvo que la tasa
de contagio del coronarivurs por país es de 2,68 que se obtuvo al
analizar los 75 casos confirmados que se tenían al momento de la firma
del decreto (martes en la tarde) , es decir, que tasa media de contagio
fue de 2,68 con una desviación estándar de 0.5 contagios, basandose en
la información de los datos para los 1.103 municipios del país, esto no
quiere decir que la tasa media de contagio más pequeña es de 2,18 y la
mayor resulta ser de 3,18, sino que de media de la tasa de contagio se
encuentra entre 2 y 3 casos por cada persona con coronavirus. Para
comprobar esto se se obtienen 150 contagios promedio por municipio en el
país y se estima un intervalo de confianza del 90% (1−α=0.90) con un
nivel de significancia del 10% (α=0.10).
- Establecer el intervalo de confianza
\[
\frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2_{x}}{n}}}{\sim}N(0,1){\implies}IC(1-\alpha)=\overline{x}_{n}{\pm}t_{\left(n-1,1-\frac{\alpha}{2}\right)}\sqrt{\frac{S^2_{x}}{n}}
\]
- Simular una población de 1103 tasas de contagio de 1013
municipios
set.seed(147)
Poblacion <- round(x=rnorm(n=1103,mean=2.68,sd=0.5),digits=2)
- Tomar una muestra aleatoria
muestra <- sample(x=Poblacion,size=150)
- Construir un intervalo de confianza
xbarra <- mean(x=muestra)
xbarra
## [1] 2.741333
S2 <- var(x=muestra)
S2
## [1] 0.246711
n <- length(muestra)
n
## [1] 150
error.estandar <- sqrt(x=S2/n)
error.estandar
## [1] 0.04055539
error.de.estimacion <- qt(p=0.975,df=n-1)*error.estandar
error.de.estimacion
## [1] 0.08013799
- Intervalo de confianza (95%)
intervalo <- round(x=xbarra+c(-error.de.estimacion,+error.de.estimacion),digits=2)
intervalo
## [1] 2.66 2.82
mu <- round(x=mean(x=Poblacion),digits=2)
mu
## [1] 2.69
Varianza poblacional desconocida y tamaño de muestra grande (\(n{\rightarrow}\infty\))
- Tras revisar a fondo los documentos oficiales, se obtuvo que la tasa
de contagio del coronarivurs por país es de 2,68 que se obtuvo al
analizar los 75 casos confirmados que se tenían al momento de la firma
del decreto (martes en la tarde) , es decir, que tasa media de contagio
fue de 2,68 con una desviación estándar de 0.5 contagios, basandose en
la información de los datos para los 1.103 municipios del país, esto no
quiere decir que la tasa media de contagio más pequeña es de 2,18 y la
mayor resulta ser de 3,18, sino que de media de la tasa de contagio se
encuentra entre 2 y 3 casos por cada persona con coronavirus. Para
comprobar esto se se obtienen 150 contagios promedio por municipio en el
país y se estima un intervalo de confianza del 90% (1−α=0.90) con un
nivel de significancia del 10% (α=0.10).
- Establecer el intervalo de confianza
\[
\frac{\overline{x}-\mu}{\sqrt{\frac{\sigma^2_{x}}{n}}}{\sim}N(0,1){\implies}IC(1-\alpha)=\overline{x}_{n}{\pm}Z_{1-\frac{\alpha}{2}}\sqrt{\frac{S^2_{x}}{n}}
\]
- Simular una población de 1103 tasas de contagio de 1013
municipios
set.seed(147)
Poblacion <- round(x=rnorm(n=1103,mean=2.68,sd=0.5),digits=2)
- Tomar una muestra aleatoria
muestra <- sample(x=Poblacion,size=600)
- Construir un intervalo de confianza
xbarra <- mean(x=muestra)
xbarra
## [1] 2.701417
S2 <- var(x=muestra)
S2
## [1] 0.2684105
n <- length(muestra)
n
## [1] 600
error.estandar <- sqrt(x=S2/n)
error.estandar
## [1] 0.02115067
error.de.estimacion <- qnorm(p=0.975)*error.estandar
error.de.estimacion
## [1] 0.04145455
- Intervalo de confianza (95%)
intervalo <- round(x=xbarra+c(-error.de.estimacion,+error.de.estimacion),digits=2)
intervalo
## [1] 2.66 2.74
mu <- round(x=mean(x=Poblacion),digits=2)
mu
## [1] 2.69