Actividad Formativa 2

Author

Tania Jazmín Molina Ramírez

Published

June 7, 2024

a) Demostrar que la Distribución Binomial \((Y\sim B(n,\pi))\) pertenece a la familia exponencial de distribuciones \((FED)\)

  • Escribimos la función de probabilidad de la distribución binomial:
    La función \(Y \sim \text{B}(n, \pi)\) está dada por:

\[P(Y = y) = \binom{n}{y} \pi^y (1-\pi)^{n-y}\]

Donde:
- \(n\) es el número total de pruebas
- \(y\) es el número de éxitos en esas \(n\) pruebas
- \(\pi\) es la probabilidad de éxito en cada prueba individual

  • Reescribimos la función usando logaritmos:

\[P(Y = y) = \binom{n}{y} \exp\left(y \log(\pi) + (n-y) \log(1-\pi)\right)\]

  • Identificamos los componentes de la forma canónica :

\[f(y; \theta) = \exp\left[a(y)b(\theta) + c(\theta) + d(y)\right]\]

Identificamos:
- \(a(y) = y\) forma canonica
- \(b(\theta) = \log\left(\frac{\pi}{1-\pi}\right)\) parametro natural
- \(c(\theta) = -n \log(1-\pi)\)
- \(d(y) = -\log\left(\binom{n}{y}\right)\)

  • Reemplazamos los componentes identificados en la forma canónica:

\[P(Y = y) = \exp\left[y \log\left(\frac{\pi}{1-\pi}\right) - n \log(1-\pi) - \log\left(\binom{n}{y}\right)\right]\]

Por lo tanto, hemos demostrado que la distribución binomial si pertenece a la familia exponencial de distribuciones, puesto que su función de probabilidad puede expresarse de la forma canónica.

b) Determinar los momentos paramétricos de una FED, sabiendo que las variables provienen de la Distribución Normal \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\)

  • Escribimos la función de densidad de la distribución normal:

\[f_Y(y|\mu, \sigma^2) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)\]

Donde:
- \(\mu\) es la media de la distribución normal
- \(\sigma^2\) es la varianza de la distribución normal

  • Identificamos la forma canónica de la familia exponencial:

\[f_Y(y|\theta) = \exp\left[a(y)b(\theta) + c(\theta) + d(y)\right]\]

Donde:
- \(a(y)\) es la forma canonica si \(a(y)=y\)
- \(b(\theta)\) es un parámetro
- \(c(\theta)\) es un parámetro
- \(d(y)\)

  • Identificamos los componentes de la forma canónica para la distribución normal. Esto haciendo una comparación entre la normal y la forma canónica:

    • \(a(y) = -\frac{(y - \mu)^2}{2\sigma^2}\)
    • \(b(\theta) = \frac{\mu}{\sigma^2}\)
    • \(c(\theta) = -\frac{\mu^2}{2\sigma^2} - \frac{1}{2}\log(2\pi\sigma^2)\)
    • \(d(y) = -\frac{y^2}{2\sigma^2}\)

  • Determinar los momentos paramétricos:

  • Analizamos de la forma canónica:

\[f_Y(y|\theta) = \exp\left[a(y)b(\theta) + c(\theta) + d(y)\right]\]

Identificamos:
- \(b(\theta) = \frac{\mu}{\sigma^2}\)
- \(c(\theta) = -\frac{\mu^2}{2\sigma^2} - \frac{1}{2}\log(2\pi\sigma^2)\)
- Los términos \(a(y)\) y \(d(y)\) no afectan directamente por eso no los utilizamos.

Valor esperado (media):
- En la forma canónica, el parámetro natural \(b(\theta)\) está multiplicando al estadístico suficiente \(a(y)\).
- Como \(b(\theta) = \frac{\mu}{\sigma^2}\), y este coeficiente no depende de los datos \(y\), el valor esperado será simplemente \(\mu\).
- \(E[a(Y)] = \frac{\mu}{\sigma^2} E[Y]\), por lo que \(E[Y] = \mu\).

Varianza:
- En \(c(\theta)\) tenemos términos que dependen de \(\mu\) y \(\sigma^2\).
- Específicamente, \(-\frac{\mu^2}{2\sigma^2}\) depende de \(\mu\) y \(\sigma^2\).
- Esto implica que la varianza de \(Y\) será \(\sigma^2\), ya que \(\text{Var}(Y) = E[(Y-\mu)^2] = E[Y^2] - \mu^2 = \sigma^2\).

Por lo tanto, hemos determinado los momentos paramétricos de una FED cuando las variables provienen de una distribución normal \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\)