Demostrar que la Distribucion Binomial \(Y \sim B(n,\pi)\), pertenece a la familia de distribuciones exponenciales
Solucion
supongase un vector aleatorio adimensional de funcion de densidad binomial \(B(n,\pi)\): sea \(X\) una de las varianles del vector con funcion de probabilidad binomial
\(p(x,\lambda)=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-1}\) \ en consecuencia en el vector aleatorio de la funcion de probabilidad es de la forma
\[p(\tilde{y},n,\pi)=\prod_{i=0}^{3} \binom{n}{x}\pi^x(1-\pi)^{n-1}\]
Aplicando los criterios de la familia exponencial, el modelo es el siguiente:
\[p(Y;n,\pi)=log\prod_{i=0}^{\infty} \binom{n}{y}+n^nlog (1-\pi)+\sum^{\infty}_{i=0}y_i log\dfrac{\pi}{(1-\pi)}\]
\[ =\sum^{\infty}_{i=0}y_ilog\dfrac{\pi}{(1-\pi)}+n^nlog (1-\pi)+\sum^{\infty}_{i=0}log\binom{n}{y} \]
Por lo tanto los parametros para este modelo en su orden son:
\[ b(\pi)=log\dfrac{\pi}{(1-\pi)} \]
\[ d(\pi)=n log(1-p) \]
\[ d(Y)=\sum^{\infty}_{i=0}log\binom{n}{y} \]
Por lo tanto la distribucion binomila \(Y \sim B(n,\pi)\), pertenece a la familia de distribuciones exponenciales.
Determinar los momentos paramétricos de una FED, sabiendo que las variables provienen de la distribucion Normal \(Y \sim N(\mu,\sigma^{2})\)
\[ f(y;\mu,\sigma^2)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}{\huge{e}}^{-\dfrac{1}{2\sigma^2}(Y-\mu)^2} \] \[ = {\huge{e}}^{\ln \dfrac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}{\huge{e}}^{-\dfrac{1}{2\sigma^2}(Y-\mu)^2}} \]
\[ = {\huge{e}}^{\ln({2\pi\sigma^2)^{-1/2}}-\frac{1}{2\sigma^2}(Y-\mu)^2} \]
\[ = {\Huge{e}}^{-\frac{1}{2}\ln({2\pi\sigma^2)}-\frac{Y^2}{2\sigma^2}+\frac{2Y\mu}{2\sigma^2}-\frac{\mu^2}{2\sigma^2}} \]
\[ = {\Huge{e}}^{Y(\frac{\mu}{\sigma^2})-\frac{1}{2}\ln({2\pi\sigma^2)}-\frac{\mu^2}{2\sigma^2}-\frac{Y^2}{2\sigma^2}} \]
Por lo tanto los parámetros de la distribución son :
\[ b(\theta)=\dfrac{\mu}{\sigma^{2}} \]
\[ c(\theta)=-\dfrac{\mu}{\sigma^{2}}-\frac{1}{2}\ln({2\pi\sigma^2)} \]
\[ d(Y)=\dfrac{Y}{2\sigma^2} \]