Estos apuntes están basados en los apuntes tomados durante los meses de enero a mayo de 1997 en la materia “Geometría Analítica I”, impartida por la Dra. Araceli Reyes, en el ITAM, durante mis estudios en la Lic. en Actuaría.
La geometría, una de las ramas más antiguas de las matemáticas, es la rama que se encarga del estudio de las propiedades del espacio: distancia, forma, tamaño y posición relativa. Hoy en día existen muchas y muy diversas ramas de la geometría, de las cuales la geometría analítica es una.
Inicialmente, el estudio de la geometría partía de algunas definiciones básicas y el establecimiento de algunos postulados o axiomas relativos a las propiedades de los cuerpos fundamentales (e.g., el punto), de los cuales se derivan las propiedades de todos los otros cuerpos bajo su estudio. Esto es conocido como Geometría Sintética o Axiomática. En contraste, la geometría analítica estudia la aplicación del álgebra elemental a la resolución de problemas geométricos mediante el uso de sistemas coordinados.
Como en cualquier otro campo del conocimiento humano, y en particular de las matemáticas, la geometría analítica se desarrolló a partir del trabajo de muchos pensadores a lo largo del tiempo. Sin embargo, suele atribuirse su creación a René Descartes, pensador francés del s. XVII, quien publica sus ideas en 1637. No obstante, ideas similares fueron independientemente desarrolladas por su contemporáneo (algo también bastante frecuente) Pierre de Fermat, un abogado también francés, y uno de los principales matemáticos de la época, quien además hizo aportaciones fundamentales al desarrollo del análisis matemático, teoría de probabilidad y teoría de números (dejándonos para la posteridad con el reto de probar el Último Teorema de Fermat1).
Si consideramos el sistema de coordenadas cartesiano (los pares ordenados en \(\mathbb{R}^2\)), un par de coordenadas \((x,y)\) en el plano cartesiano pueden ser interpretadas como distancias dirigidas, tanto positivas como negativas. Dado que estas distancias dirigidas pueden emplearse para representar una traslación (desplazamiento) en el plano, a un par ordenado suele llamársele también vector (transportador).
Es decir que, el par ordenado \((x,y)\) puede ser interpretado como el movimiento de traslación a partir de un punto \(S\) en el plano, \(x\) unidades a la derecha y \(y\) unidades hacia arriba, para llegar al punto \(T\) en el plano. Cuando el punto \(S\) es el origen, el punto \(T\) está asociado con el par ordenado \((x,y)\).
Un vector tiene:
dirección (el ángulo respecto de la horizontal);
sentido (arbitrario, negativo o positivo);
magnitud (longitud).
\([(x_1,y_1),(x_2,y_2)]\) es un vector, y es el mismo vector que \([(x'_1,y'_1),(x'_2,y'_2)]\) si y solo si \(x_1-x_2 = x'_1-x'_2\) y \(y_1-y_2 = y'_1-y'_2\).
Un vector es una infinidad de parejas de puntos del plano cartesiano.
Dados los vectores \(v_1 = (x_1,y_1) \in \mathbb{R}^2\) y \(v_2 = (x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2\) se define
Nota, entonces, que cualquier vector \(v = (x,y)\) puede ser interpretado entonces como la suma de los vectores \((x,0)\) y \((0,y)\), lo que a su vez puede ser interpretado como una traslación de \(x\) unidades horizontales y \(y\) unidades verticales.
El vector \((0,0)\) es llamado el vector cero y corresponde con el neutro aditivo para la suma vectorial.
\(u + v \in \mathbb{R}^2\) (cerradura)
\(u + v = v +u\) (conmutatividad)
\((u + v)+s = u +(v+s)\) (asociatividad)
\(u + 0 = u\) (neutro o idéntico aditivo)
Multiplicación escalar: esta operación consiste en la multiplicación de un vector por una constante (real, un escalar). El resultado es el vector afectado en su magnitud y/o dirección.
La multiplicación escalar es cerrada;
es asociativa;
es distributiva;
el escalar 1 es el escalar neutro de la multiplicación escalar.
Utilizando las definiciones de la suma vectorial y la multiplicación escalar es posible entonces definir la diferencia vectorial:
Si \(v_1 = (x_1, y_1) \in \mathbb{R}^2\) y \(v_2 = (x_2, y_2) \in \mathbb{R}^2\) entonces:
\[ v_1 - v_2 = (x_1, y_1) + (-1)(x_2,y_2) = (x_1,y_1) + (-x_2,-y_2) = (x_1-x_2,y_1-y_2). \]
Inverso aditivo: \(-v_1 = - (x_1,y_1) = (-x_1,-y_1)\). \(v_1 + (- v_1) = (0,0)\).
Diferencia vectorial: \(v_1-v_2 = (x_1,y_1) - (x_2,y_2) = (x_1 - x_2,y_1-y_2)\).
Al conjunto de vectores con las operaciones de suma vectorial y multiplicación escalar se le conoce como un espacio vectorial sobre los reales.
Llamamos combinación lineal a la suma de dos multiplicaciones escalares de dos vectores: \(\alpha_1 \underline{V_1} + \alpha_2 \underline{V_2}\) es una combinación lineal de los vectores \(\underline{V_1}\) y \(\underline{V_2}\) (donde \(\alpha_1\) y \(\alpha_2\) son escalares).
La conjetura de Fermat (históricamente señalada al margen de un libro en el que aseguraba tener la prueba pero no el suficiente espacio para anotarla) afirma que no es posible encontrar tres números enteros \(a\), \(b\) y \(c\) para los que se satisfaga la ecuación \(a^n + b^n = c^n\) cuando \(n\) es mayor a 2. La conjetura de Fermat fue uno de los problemas abiertos de las matemáticas más famosos hasta 1995, año en que Andrew Wiles (matemático británico de la Universidad de Oxford) publicó una primera solución. Aunque nunca lo sabremos con certeza, hoy en día se cree que Fermat no contaba con una prueba correcta a la conjetura.↩︎