Notación

\[ T{\sim}t_{(n-1)} \]

Nota: Ante el desconocimiento de la varianza poblacional:

\[ \text{Si }X{\sim}P(\cdot,\cdot)\text{ entonces }T=\frac{\overline{x}_{n}-\mu_{x}}{\sqrt{\frac{S^2_x}{n}}}{\sim}t_{(n-1)} \]

Donde

\[ S^2_{x}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\overline{x}_{n}\right)^2 \] \[ \text{Cuando }n{\rightarrow}\infty\text{ entonces }T=\frac{\overline{x}_{n}-\mu_{x}}{\sqrt{\frac{S^2_x}{n}}}{\sim}N(0,1) \]

Parámetros

\[ E(T)=0 \]

\[ Var(T)\frac{df}{df-1} \]

donde \(df\) son conocidos como los grados de libertad de la distribución y son iguales a \(n-1\), es decir el número de datos en la muestra menos uno.

Nota: \(df\) debe ser mayor a dos (\(df>2\)) para tener un valor plausible para la varianza.

Simulación, ejemplos y ejercicios

library(ggfortify)
## Loading required package: ggplot2
tstudent <- function(df,fill=NULL,colour=NULL,p=NULL){
  ggdistribution(
    func=dt,
    x=seq(
      from=0-3*sqrt(df/(df-1)),
      to=0+3*sqrt(df/(df-1)),
      by=0.01
    ),
    df=df,
    fill=fill,
    colour=colour,
    p=ggdistribution(
      func=dnorm,
      x=seq(
        from=0-3*1,
        to=0+3*1,
        by=0.01
      ),
      mean=0,
      sd=1,
      fill="gray",
      colour="black",
      linetype="dashed",
      p=p
    )
  )
}

Convergencia a la distribución normal estándar

tstudent(df=3,fill="orange",colour="red",
         p=tstudent(df=17,fill="yellow",colour="green",
                    p=tstudent(df=31,fill="blue",colour="purple")))

Cálculo de probabilidades

densidad.tstudent <- function(x,df){
  ggdistribution(func=dt,
                 x=seq(
                   from=0-3*sqrt(df/(df-1)),
                   to=0+3*sqrt(df/(df-1)),
                   by=0.01
                 ),
                 df=df,
                 colour = "blue",
                 p = ggdistribution(func=dt,
                                    x=seq(
                                      from=x-0.05,
                                      to=x+0.05,
                                      by=0.01
                                    ),
                                    df=df,
                                    colour ="blue",
                                    fill = "blue"
                 )
  )
}
densidad.tstudent(x=0,df=3)

dt(x=0,df=3)
## [1] 0.3675526
distribucion.tstudent <- function(q,df){
  ggdistribution(func=dt,
                 x=seq(
                   from=0-3*sqrt(df/(df-1)),
                   to=0+3*sqrt(df/(df-1)),
                   by=0.01
                 ),
                 df=df,
                 colour = "blue",
                 p = ggdistribution(
                   func=dt,
                   x=seq(
                     from=0-3*sqrt(df/(df-1)),
                     to=q,
                     by=0.01
                     ),
                   df=df,
                   colour ="blue",
                   fill = "blue"
                  )
  )
}
distribucion.tstudent(q=0,df=3)

pt(q=0,df=3)
## [1] 0.5

Tarea