Distribución de probabilidad Poisson

Función de densidad o probabilidades puntuales

\[ P(X=x)=\frac{e^{-lambda}lambda^{x}}{x!}\text{ con }lambda{=}\mu_{x}{=}\sigma_{x}^{2}\text{ y }x=0,1,2,\ldots \]

Valor esperado

\[ \mu=\lambda=lambda \]

Varianza

\[ \sigma^2=\lambda=lambda \]

Ejemplo o aplicación

Supongamos que el número de personas que llegan a la fila de un banco es en promedio de diez (lambda=10) personas, entre las 9:00 y 10:00 horas de la mañana. Con base en lo anterior: calcular las probabilidades asociadas, la esperanza, la varianza y realizar un gráfico de probabilidades.

• Función de densidad o probabilidad puntual

poisson <- function(x,lambda){
  exp(x=-lambda)*lambda**x/factorial(x=x)
}

• Cálculo de probabilidades

poisson(x=0:10,lambda=10)

##  [1] 4.539993e-05 4.539993e-04 2.269996e-03 7.566655e-03 1.891664e-02
##  [6] 3.783327e-02 6.305546e-02 9.007923e-02 1.125990e-01 1.251100e-01
## [11] 1.251100e-01

• Valor esperado y varianza

lambda=10
lambda

## [1] 10

• Gráfico de probabilidades

library(tidyverse)

## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
## ✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.5
## ✔ forcats   1.0.0     ✔ stringr   1.5.1
## ✔ ggplot2   3.5.1     ✔ tibble    3.2.1
## ✔ lubridate 1.9.3     ✔ tidyr     1.3.1
## ✔ purrr     1.0.2     
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors

data.frame(personas=0:100,
           probabilidades=dpois(x=0:100,
                                lambda=10)
           ) %>% 
  ggplot(mapping=aes(x=personas,
                     y=probabilidades)
         ) + 
  geom_col(fill="orange",
           colour="red") + 
  ggtitle(label="Distribución de Poisson",
          subtitle="lambda=10")