Distribución de probabilidad Geométrica

Función de densidad

\[ P(X=x)=prob(1-prob)^x\text{ con }0{\leq}prob{\leq}1\text{ y }x=0,1,2,\ldots \]

Valor esperado

\[ \mu=\frac{1-prob}{prob} \]

Varianza

\[ \sigma^2=\frac{1-prob}{prob^2} \]

Ejemplo

Se quiere lanzar un dado y el experimento consiste en lanzarlo hasta obtener por primera vez un cinco. Calcule las probabilidades asociadas, el valor esperado, la varianza y realice un gráfico de las probabilidades halladas previamente.

Solución

• Variable aleatoria

X:=“La cantidad de veces que se lanza el dado antes de obtener por primera vez un cinco (5)”

X=0,1,2,…

• Función de densidad

geometrica <- function(x,prob){
  prob*(1-prob)**x
}

• Cálculo de probabilidades

geometrica(x=0:10,prob=1/6)

##  [1] 0.16666667 0.13888889 0.11574074 0.09645062 0.08037551 0.06697960
##  [7] 0.05581633 0.04651361 0.03876134 0.03230112 0.02691760

• Valor esperado

(1-1/6)/(1/6)

## [1] 5

• Varianza

(1-1/6)/((1/6)**2)

## [1] 30

• Gráfico de probabilidades

library(tidyverse)

## ── Attaching core tidyverse packages ──────────────────────── tidyverse 2.0.0 ──
## ✔ dplyr     1.1.4     ✔ readr     2.1.5
## ✔ forcats   1.0.0     ✔ stringr   1.5.1
## ✔ ggplot2   3.5.1     ✔ tibble    3.2.1
## ✔ lubridate 1.9.3     ✔ tidyr     1.3.1
## ✔ purrr     1.0.2     
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
## ℹ Use the conflicted package (<http://conflicted.r-lib.org/>) to force all conflicts to become errors

data.frame(lanzamientos=0:100,
           probabilidades=dgeom(x=0:100,
                                prob=1/6
                                )
             ) %>% 
  ggplot(mapping=aes(x=lanzamientos,
                     y=probabilidades
                     )
         ) + 
  geom_col(fill="lightgray",
           colour="darkgray") + 
  ggtitle(label="Distribución de probabilidad Geométrica")