Distribución normal o Gaussiana

Notación

\[ X{\sim}N(\mu,\sigma^2) \]

Nota: Distribución normal estándar

\[ X{\sim}N(0,1) \]

Función de densidad o probabilidad puntual

\[ P(X=x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp{\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right\}} \]

Función de distribución o probabilidad acumulada

\[ P(X{\leq}x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp{\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2\right\}}dt \]

Algunas distribuciones de probabilidad normal

# Carga de la librería
library(ggfortify)

## Loading required package: ggplot2

normal <- function(mean=0,sd=1,fill="gray",colour="black",p=NULL){
  ggdistribution(func=dnorm,
                 x=seq(from=mean-3*sd,
                       to=mean+3*sd,
                       by=0.1),
                 mean=mean,
                 sd=sd,
                 fill=fill,
                 colour=colour,
                 p=p)
}

normal(p=normal(mean=0,sd=0.5,fill="lightblue",colour="blue",
                p=normal(mean=2,sd=1,fill="lightgreen",colour="green",
                         p=normal(mean=0,sd=2,fill="orange",colour="red"))))

Estandarización

\[ \text{Si }X{\sim}N(\mu,\sigma^2)\text{ entonces }Z=\frac{X-\mu}{\sigma}{\sim}N(0,1) \]

library(e1071)

Simulación de datos y estandarización

azul <- rnorm(n=5000000,mean=0,sd=0.5)

la media de los datos simulados es 0, la varianza es 0.25, la desviación típica o estándar es 0.5, el sesgo es -0.0022 y la curtosis es -0.0023

azul.estandarizado <- (azul-mean(azul))/sd(azul)

la media de los datos estandarizados es 0, la varianza es 1, la desviación típica o estándar es 1, el sesgo es -0.0022 y la curtosis es -0.0023

rm(list=ls())

Cálculo de probabilidades de la distribución normal

\[ P(X=x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp{\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma^2}\right)^2\right\}} \]

Nota: Para la distribución normal estándar, la media es cero (0) y la desviación estándar es uno (1)

\[ P(X=x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-0}{1}\right)^2\right\}} \]

Ejemplos y ejercicios

Densidad o probabilidad puntual

Para una distribución normal estándar, calcular:

P(X=0)

\[ \begin{aligned} P(X=0)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{\left\{-\frac{1}{2}\left(\frac{0-0}{1}\right)^2\right\}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{\left\{0\right\}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{aligned} \]

1/sqrt(x=2*pi)

## [1] 0.3989423

library(ggfortify)

densidad.normal <- function(x,mean=0,sd=1,fill="blue",colour="darkblue"){
  ggdistribution(
    func=dnorm,
    x=seq(
      from=mean-3*sd,
      to=mean+3*sd,
      by=0.1
    ),
    mean=mean,
    sd=sd,
    colour=colour,
    p=ggdistribution(
      func=dnorm,
      x=seq(
        from=x-0.05,
        to=x+0.05,
        by=0.1
      ),
      mean=mean,
      sd=sd,
      fill=fill
    )
  )
}

densidad.normal(x=0)

dnorm(x=0,mean=0,sd=1)

## [1] 0.3989423

dnorm(x=0,sd=1,mean=0)

## [1] 0.3989423

dnorm(x=0)

## [1] 0.3989423

dnorm(0)

## [1] 0.3989423

P(X=-1.645)

densidad.normal(x=-1.96)

dnorm(-1.96)

## [1] 0.05844094

density.normal <- function(x,mean=0,sd=1){
  (1/sqrt(2*pi*sd**2))*exp(-0.5*((x-mean)/sd)**2)
}

density.normal(x=-1.96)

## [1] 0.05844094

P(X=-1.645)

density.normal(x=-1.645)

## [1] 0.1031108

dnorm(x=-1.645)

## [1] 0.1031108

P(X=+1.645)

density.normal(x=1.645)

## [1] 0.1031108

dnorm(x=1.645)

## [1] 0.1031108

P(X=-1.96)

dnorm(x=-1.96)

## [1] 0.05844094

P(X=+1.96)

density.normal(x=+1.96)

## [1] 0.05844094

Para una distribución normal con media igual a 2 y desviación estándar igual a 3

P(X=2)

densidad.normal(x=2,mean=2,sd=3)

dnorm(x=2,mean=2,sd=3)

## [1] 0.1329808

density.normal(x=2,mean=2,sd=3)

## [1] 0.1329808

Distribución o probabilidad acumulada

distribucion.normal <- function(q,mean=0,sd=1,fill="blue",colour="darkblue"){
  ggdistribution(
    func=dnorm,
    x=seq(
      from=mean-3*sd,
      to=mean+3*sd,
      by=0.1
    ),
    mean=mean,
    sd=sd,
    colour=colour,
    p=ggdistribution(
      func=dnorm,
      x=seq(
        from=mean-3*sd,
        to=q,
        by=0.1
      ),
      mean=mean,
      sd=sd,
      fill=fill
    )
  )
}