El material que aquí se incluye está elaborado a partir de apuntes de clase tomados en la materia “Álgebra lineal I”, impartida en el ITAM por el Dr. Alberto Tubilla Estefan, de agosto a diciembre de 1997, como parte de mis estudios en la licenciatura en actuaría. Estos apuntes han sido, desde luego, posteriormente modificados por lecturas y revisión de material diverso.
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que se dedica al estudio de las ecuaciones y, más generalmente, de los mapeos lineales y sus representaciones en espacios vectoriales mediante matrices.
Como herramienta para el matemático, el álgebra lineal hoy en día es fundamental en una gran cantidad de ramas de la matemática, por lo que su estudio forma parte obligatoria de las disciplinas que hacen uso de las matemáticas. Como estudiante, un buen entendimiento del contenido de estos apuntes no hará más que rendir buenos frutos a futuro.
Una ecuación lineal en \(n\) incógnitas tiene la forma
\[ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = b \]
donde \(a_1, a_2, \dots, a_n\) (los coeficientes) y \(b\) son números reales y \(x_1, x_2, \dots, x_n\) son variables.
Un sistema de ecuaciones lineales, por lo tanto, tiene la forma:
\[ \begin{aligned} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n &= b_1\\ a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n &= b_1\\ \vdots\\ a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \dots + a_{1n} x_n &= b_1. \end{aligned} \]
Una solución al sistema lineal de \(m \times n\) como el de arriba es una \(n\)-ada \((x_1,x_2,\dots,x_n)\) que satisface a todas las ecuaciones del sistema. Un sistema lineal puede tener muchas, una o ninguna soluciones. A un sistema sin soluciones se le conoce también como un sistema inconsistente. Al conjunto de todas las soluciones de un sistema se le conoce como conjunto solución.
Para obtener un sistema equivalente a partir de otro es posible realizar tres tipos de operaciones:
Intercambiar el orden de las ecuaciones que forman al sistema;
Multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo número real;
Sumar el múltiplo de una de las ecuaciones a otro.
A estas operaciones se les conoce también como las operaciones elementales de renglones.
\[ \begin{align*} 3x_1 + 2x_2 + x3 &= 1\\ x_2 - x_3 &= 2\\ 2x_3 &= 4 \end{align*} \]
es un sistema triangular.
Los sistemas triangulares son sencillos de resolver ya que \(x_n = \frac{b_{nn}}{a_{nn}}\). Contando con el valor de la solución para \(x_{n}\), es posible obtener todos los demás valores pertenecientes a la \(n\)-ada de la solución sustituyendo hacia atrás.
\[ \begin{align*} 2x_1 - x_2 + 3x_3 - 2x_4 &= 1\\ x_2 - 2x_3 + 3x_4 &= 2\\ 4x_3 + 3x_4 &= 3\\ 4x_4 &= 4. \end{align*} \]
\[ \begin{align*} 4x_3 + 3 \times 1 &= 3\\ 4x_3 &= 3 - 3\\ x_3 &= 0;\\ x_2 - 2 \times 0 + 3 \times 1 &= 2\\ x_2 + 3 &= 2\\ x_2 &= -1;\\ 2x_1 - (-1) + 3 \times 0 - 2 \times 1 &= 1\\ 2x_1 + 1 -2 &= 1\\ 2x_1 - 1 &= 1\\ 2x_1 &= 2\\ x_1 &= 1. \end{align*} \]
Por lo tanto, la solución al sistema de ecuaciones triangular señalado está dada por la 4-ada \((1,-1,0,1)\).
Una estrategia muy útil para encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones lineales es utilizar las operaciones elementales de renglones para convertir el sistema en un sistema triangular.
\[ \begin{align*} x_1 + 2x_2 + x_3 &= 3\\ 3x_1 - x_2 - 3x_3 &= -1\\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 &= 4. \end{align*} \]
\[ \begin{align*} x_1 + 2x_2 + x_3 &= 3\\ 3x_1 - x_2 - 3x_3 - 3 \times (x_1 + 2x_2 + x_3) &= -1 - 9\\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 &= 4\\ \\ \\ x_1 + 2x_2 + x_3 &= 3\\ - 7 x_2 - 6 x_3 &= -10\\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 &= 4\\ \\ \\ x_1 + 2x_2 + x_3 &= 3\\ - 7 x_2 - 6 x_3 &= -10\\ 2x_1 + 3x_2 + x_3 - 2 \times (x_1 + 2x_2 + x_3) &= 4 - 6\\ \\ \\ x_1 + 2x_2 + x_3 &= 3\\ - 7 x_2 - 6 x_3 &= -10\\ - x_2 - x_3 &= -2\\ \\ \\ x_1 + 2x_2 + x_3 &= 3\\ - 7 x_2 - 6 x_3 - 7 \times (- x_2 - x_3) &= -10 + 14\\ - x_2 - x_3 &= -2\\ \\ \\ x_1 + 2x_2 + x_3 &= 3\\ x_3 &= 4\\ - x_2 - x_3 &= -2 \\ \\ x_1 + 2x_2 + x_3 &= 3\\ - x_2 - x_3 &= -2\\ x_3 &= 4\\ \\ \\ x_1 + 2x_2 + x_3 &= 3\\ - x_2 - 4 &= -2\\ x_3 &= 4\\ \\ \\ x_1 + 2x_2 + x_3 &= 3\\ x_2 &= -2\\ x_3 &= 4\\ \\ \\ x_1 + 2 \times (-2) + 4 &= 3\\ x_2 &= -2\\ x_3 &= 4\\ \\ \\ x_1 &= 3\\ x_2 &= -2\\ x_3 &= 4\\ \end{align*} \]
\[\overline{x} + \overline{y} = <x_1+y_1, \dots, x_n+y_n>.\]
Algunas propiedades de la suma vectorial:
Commutatividad: \(\overline{x} + \overline{y} = \overline{y} + \overline{x}\).
Asociatividad: \((\overline{x} + \overline{y}) + \overline{z} = \overline{x} + (\overline{y} + \overline{z})\).
Neutro aditivo: \(\overline{x} + \overline{0} = \overline{x}\).
\[ c \overline{x} = <cx_1, \dots, cx_n> \]
Algunas propiedades de la multiplicación escalar:
Neutro multiplicativo: \(1 \overline{x} = \overline{x}\).
Distributiva sobre la suma vectorial: \(c(\overline{x} + \overline{y}) = c\overline{x} + c\overline{y}\).
Si \(c\) y \(d\) son escalares, entonces: \((cd)\overline{x} = c(d \overline{x})\).
Si \(c\) y \(d\) son escalares, entonces: \((c + d)\overline{x} = c \overline{x} + d \overline{x}\).
Adicionalmente, utilizando algunas de las propiedades de la suma vectorial y de multiplicación escalar es posible definir la resta vectorial como:
\[ \overline{x} + (-1)\overline{y} = \overline{x} - \overline{y}. \]
También, es relativamente directo demostrar que:
\[ \overline{x} - \overline{x} = 0. \]
\[ |\overline{x}| = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}. \]
El material que aquí se incluye está elaborado a partir de apuntes de clase tomados en la materia “Álgebra lineal II”, impartida en el ITAM por el Dr. Alberto Tubilla Estefan, de enero a mayo de 1998, como parte de mis estudios en la licenciatura en actuaría. Estos apuntes han sido, desde luego, posteriormente modificados por lecturas y revisión de material diverso.
El material de estos apuntes está elaborado utilizando R.
Lecturas recomendadas:
Las operaciones de adición y multiplicación escalar son particularmente relevantes dado su uso muy generalizado en diferentes contextos. Por lo tanto, el estudio de los sistemas matemáticos que implican la adición y multiplicación recibe atención especial. Estos sistemas matemáticos reciben el nombre de espacios vectoriales o espacios lineales.
Para el estudio de los espacios vectoriales partimos entonces de:
Un conjunto \(V\) de vectores. Llamamos vector de dimensión \(n\) a una tupla (lista) de \(n\) números que puede ser representado como \(v = (x_1, x_2, \dots, x_n), \ v \in \mathbb{R}^n\).
Un campo \(K\).
Un escalar \(\alpha \in K\).
Dos operaciones:
\(+: V \times V \rightarrow V\) (adición);
\(\cdot: K \times V \rightarrow V\) (multiplicación escalar).
A1. \(x + y = y + x \ \forall \ x, y \in V\) (la suma es conmutativa); A2. \((x + y) + z = x + (y + z) \ \forall \ x, y, z \in V\) (la suma es asociativa); A3. \(\exists \ 0 \in V: x + 0 = x \ \forall \ x \in V\) (neutro para la suma); A4. \(\exists \ -x \in V: x + (-x) = 0 \ \forall \ x \in V\) (inverso para la suma).
A5. \(\alpha \cdot (\beta \cdot x) = (\alpha \cdot \beta) \cdot x \ \forall \ \alpha,\beta \in K, x \in V\) (la multiplicación escalar es asociativa); A6. \(\exists \ 1 \in K: 1 \cdot x = x \ \forall \ x \in V\) (neutro para la multiplicación escalar); A7. \(\alpha \cdot (x + y) = \alpha \cdot x + \alpha \cdot y \ \forall \ \alpha \in K, \ x, y \in V\) (la multiplicación escalar es distributiva respecto de la suma vectorial); A8. \((\alpha + \beta) \cdot x = \alpha \cdot x + \beta \cdot x \ \forall \ \alpha \in K, \ x, y \in V\) (la multiplicación escalar es distributiva respecto de la suma escalar).
De los axiomas arriba listados se desprenden dos propiedades fundamentales de los espacios vectoriales, las propiedades de clausura:
Clausura de la suma vectorial: \(\forall \ x,y \in V \Rightarrow x+y \in V\).
Clausura de la multiplicación escalar: \(\forall \ \alpha \in K, x \in V \Rightarrow \alpha x \in V\).
\(0x = 0\).
\(x + y = 0\) implica que \(y = -x\).
\((-1)x = -x\).
Demostración :
\[ x = 1x = (1 + 0)x = x + 0x \]
por lo tanto:
\[ \begin{aligned} x - x &= 0 & A4 \\ (x + 0x) - x &= 0 & A3 \\ (x - x) + 0x &= 0 & A1; A2 \\ 0 + 0x &= 0 & A4 \\ 0x &= 0. & \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} -x &= -x + 0 & A3 \\ -x &= -x + (x+y) & \\ -x &= (-x + x) + y & A2\\ -x &= 0 + y & A4\\ -x &= y & A3\\ \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 0 &= 0x & (1) \\ &= (1 + (- 1))x & \\ &= 1x + (- 1)x & A8\\ &= x + (- 1)x & A6\\ \end{aligned} \]
Se deduce entonces, a partir del resultado obtenido en (2), que \((-1)x = -x\).