Teoria hier je matematický rámec na analýzu situácií, v ktorých hráči robia rozhodnutia, ktoré sú vzájomne závislé. Táto štúdia je široko použiteľná v ekonómii, politológii, psychológii a vojenskej stratégii. Medzi základné koncepty teórie hier patrí Nashova rovnováha, dominantné stratégie, Paretova účinnosť a zmiešané stratégie.
Teória hier má bohatú históriu s mnohými významnými míľnikmi. Tu je niekoľko kľúčových historických objavov:
| Rok | Objav |
|---|---|
| 1944 | Teória hier a ekonomického správania (von Neumann a Morgenstern) |
| 1950 | Nashova rovnováha (John Nash) |
| 1972 | Korelovaná rovnováha (Robert Aumann) |
| 1994 | Nobelova cena za ekonómiu (Nash, Selten, Harsanyi) |
library(ggplot2)
discoveries <- data.frame(
Year = c(1944, 1950, 1972, 1994),
Discoveries = c(1, 1, 1, 3) # Nobel Prize counts as 3 discoveries
)
ggplot(discoveries, aes(x = Year, y = Discoveries)) +
geom_line() +
geom_point(size = 3) +
labs(title = "Kľúčové objavy v teórii hier v priebehu času", x = "Year", y = "Počet objavov") +
theme_minimal()
Výplatná matica pre hru dvoch hráčov je reprezentovaná ako: \[ \begin{pmatrix} (a_{11}, b_{11}) & (a_{12}, b_{12}) \\ (a_{21}, b_{21}) & (a_{22}, b_{22}) \end{pmatrix} \]
Kde (a_{ij}) a (b_{ij}) sú výhry pre hráčov 1 a 2.
| Stratégia/hráč | Spolupráca (hráč 2) | Defekt (hráč 2) |
|---|---|---|
| Spolupráca (hráč 1) | (3, 3) | (0, 5) |
| Defekt (hráč 1) | (5, 0) | (1, 1) |
library(ggplot2)
payoffs <- data.frame(
Strategy = rep(c("Cooperate", "Defect"), each = 2),
Opponent = rep(c("Cooperate", "Defect"), 2),
Payoff = c(3, 0, 5, 1)
)
suppressMessages(suppressWarnings(
ggplot(payoffs, aes(x = Strategy, y = Payoff, fill = Opponent)) +
geom_bar(stat = "identity", position = "dodge") +
labs(title = "Payoffs in Prisoner's Dilemma", x = "Strategy", y = "Payoff") +
theme_minimal() +
scale_fill_manual(values = c("Cooperate" = "skyblue", "Defect" = "orange"))
))
Dominantná stratégia je najlepšia stratégia pre hráča bez ohľadu na stratégie, ktoré si zvolili ostatní hráči. Napríklad vo väzňovej dileme je prebehnutie dominantnou stratégiou pre oboch hráčov. 
Výsledok je Paretovsky efektívny, ak žiadny iný výsledok nemôže zlepšiť situáciu aspoň jedného hráča bez toho, aby sa zhoršila situácia iného hráča. Paretova hranica vo výplatnom priestore je množina všetkých Paretových efektívnych bodov. 
pareto_payoffs <- data.frame(
Player1 = c(3, 0, 5, 1),
Player2 = c(3, 5, 0, 1)
)
ggplot(pareto_payoffs, aes(x = Player1, y = Player2)) +
geom_point() +
geom_line(data = pareto_payoffs[c(1, 4),], aes(x = Player1, y = Player2), color = "blue") +
labs(title = "Pareto Frontier", x = "Player 1 Payoff", y = "Player 2 Payoff") +
theme_minimal()
V niektorých hrách môžu hráči používať zmiešané stratégie, pri ktorých náhodne vyberajú možné akcie. Očakávaná výhra pre zmiešanú stratégiu sa dá vypočítať takto:
\[E[u_i] = \sum_{s_i \in S_i} P(s_i) u_i(s_i, s_{-i})\]
Uvažujme hru, v ktorej hráči náhodne volia medzi dvoma stratégiami s pravdepodobnosťou (p) a (1-p).
payoff_matrix_A <- matrix(c(3, 0, 5, 1), nrow = 2, byrow = TRUE)
payoff_matrix_B <- matrix(c(3, 5, 0, 1), nrow = 2, byrow = TRUE)
find_mixed_strategy_eq <- function(payoff_matrix_A, payoff_matrix_B) {
a1 <- payoff_matrix_A[1, 1] - payoff_matrix_A[2, 1]
a2 <- payoff_matrix_A[1, 2] - payoff_matrix_A[2, 2]
b1 <- payoff_matrix_B[1, 1] - payoff_matrix_B[1, 2]
b2 <- payoff_matrix_B[2, 1] - payoff_matrix_B[2, 2]
p <- b2 / (b2 + b1)
q <- a2 / (a2 + a1)
return(list(p = c(p, 1 - p), q = c(q, 1 - q)))
}
mixed_strategy_eq <- find_mixed_strategy_eq(payoff_matrix_A, payoff_matrix_B)
cat("Pravdepodobnosti stratégií hráča 1 (p): ", mixed_strategy_eq$p, "\n")Pravdepodobnosti stratégií hráča 1 (p): 0.3333333 0.6666667 cat("Pravdepodobnosti stratégií hráča 2 (q): ", mixed_strategy_eq$q, "\n")Pravdepodobnosti stratégií hráča 2 (q): 0.3333333 0.6666667 mixed_strategies <- data.frame(
Strategy = c("Mixed Strategy 1", "Mixed Strategy 2"),
Probability = c(0.5, 0.5)
)
ggplot(mixed_strategies, aes(x = Strategy, y = Probability, fill = Strategy)) +
geom_bar(stat = "identity") +
labs(title = "Mixed Strategies", x = "Strategy", y = "Probability") +
theme_minimal()
Hra Bitka pohlaví je ďalším príkladom, kde je kľúčová koordinácia. Výplatná matica je: \[\begin{pmatrix} (2, 1) & (0, 0) \\ (0, 0) & (1, 2) \end{pmatrix}\]
| Stratégia/hráč | Balet (hráč 2) | Futbal (hráč 2) |
|---|---|---|
| Balet (hráč 1) | (2, 1) | (0, 0) |
| Futbal (hráč 1) | (0, 0) | (1, 2) |
bos_payoffs <- data.frame(
Strategy = rep(c("Ballet", "Football"), each = 2),
Opponent = rep(c("Ballet", "Football"), 2),
Payoff = c(2, 0, 0, 1)
)
ggplot(bos_payoffs, aes(x = Strategy, y = Payoff, fill = Opponent)) +
geom_bar(stat = "identity", position = "dodge") +
labs(title = "Payoffs in Battle of the Sexes", x = "Strategy", y = "Payoff") +
theme_minimal()
Môžeme porovnať väzňovu dilemu a hru Súboj pohlaví z hľadiska ich Nashových ekvilibrií a rozdelenia výhier.
all_payoffs <- rbind(
data.frame(Game = "Prisoner's Dilemma", payoffs),
data.frame(Game = "Battle of the Sexes", bos_payoffs)
)
ggplot(all_payoffs, aes(x = Strategy, y = Payoff, fill = Opponent)) +
geom_bar(stat = "identity", position = "dodge") +
facet_wrap(~ Game, scales = "free") +
labs(title = "Payoff Distributions in Different Games", x = "Strategy", y = "Payoff") +
theme_minimal()
Teória hier ponúka cenné poznatky o strategických interakciách medzi racionálnymi hráčmi. Skúmaním pojmov, ako sú Nashova rovnováha, dominantné stratégie a Paretova efektívnosť, môžeme lepšie pochopiť a predpovedať výsledky rôznych strategických scenárov. Porovnanie rôznych hier poukazuje na rozmanitosť a použiteľnosť teórie hier v reálnych situáciách.