Obsah

• Úvod
  • Historické objavy v teórii hier
  • Časová os kľúčových objavov
• Hlavný obsah
  • Ďalšie koncepty teórie hier
• Príklad zmiešanej stratégie
  • Porovnanie rôznych hier
• Záver
• Referencie

Historické objavy v teórii hier

Teória hier má bohatú históriu s mnohými významnými míľnikmi. Tu je niekoľko kľúčových historických objavov:

• 1944: John von Neumann a Oskar Morgenstern publikovali publikáciu Theory of Games and Economic Behavior, ktorá položila základy modernej teórie hier.
• 1950: John Nash zaviedol koncept Nashovej rovnováhy, základnú myšlienku nekooperatívnych hier.
• 1972: Robert Aumann zaviedol koncept korelovanej rovnováhy, čím rozšíril Nashovu prácu.
• 1994: John Nash, Reinhard Selten a John Harsanyi získali Nobelovu cenu za ekonómiu za priekopnícku analýzu rovnováhy v teórii nekooperatívnych hier.

Časová os kľúčových objavov

Graf objavov v priebehu času

Hlavný obsah

##Matematické vzorce ### Výplatná matica

Výplatná matica pre hru dvoch hráčov je reprezentovaná ako: \[ \begin{pmatrix} (a_{11}, b_{11}) & (a_{12}, b_{12}) \\ (a_{21}, b_{21}) & (a_{22}, b_{22}) \end{pmatrix} \]

Kde (a_{ij}) a (b_{ij}) sú výhry pre hráčov 1 a 2.

Tabuľky a grafy

Tabuľka výplatnej matice

…

Distribúcia výhier

Ďalšie koncepty teórie hier

Dominantné stratégie

Dominantná stratégia je najlepšia stratégia pre hráča bez ohľadu na stratégie, ktoré si zvolili ostatní hráči. Napríklad vo väzňovej dileme je prebehnutie dominantnou stratégiou pre oboch hráčov.

Video

Paretova efektívnosť

Výsledok je Paretovsky efektívny, ak žiadny iný výsledok nemôže zlepšiť situáciu aspoň jedného hráča bez toho, aby sa zhoršila situácia iného hráča. Paretova hranica vo výplatnom priestore je množina všetkých Paretových efektívnych bodov.

Video

Graf Paretovej hranice

Zmiešané stratégie

V niektorých hrách môžu hráči používať zmiešané stratégie, pri ktorých náhodne vyberajú možné akcie. Očakávaná výhra pre zmiešanú stratégiu sa dá vypočítať takto:

\[E[u_i] = \sum_{s_i \in S_i} P(s_i) u_i(s_i, s_{-i})\]

…

Video

Príklad zmiešanej stratégie

Uvažujme hru, v ktorej hráči náhodne volia medzi dvoma stratégiami s pravdepodobnosťou (p) a (1-p).

Pravdepodobnosti stratégií hráča 1 (p):  0.3333333 0.6666667 

Pravdepodobnosti stratégií hráča 2 (q):  0.3333333 0.6666667 

Graf zmiešanej stratégie

Porovnanie rôznych hier

Bitka pohlaví

Hra Bitka pohlaví je ďalším príkladom, kde je kľúčová koordinácia. Výplatná matica je: \[\begin{pmatrix} (2, 1) & (0, 0) \\ (0, 0) & (1, 2) \end{pmatrix}\]

Tabuľka výplatnej matice

Distribúcia výplat

Porovnanie hier

Môžeme porovnať väzňovu dilemu a hru Súboj pohlaví z hľadiska ich Nashových ekvilibrií a rozdelenia výhier.

Porovnanie rozdelenia výplat

Záver

Teória hier ponúka cenné poznatky o strategických interakciách medzi racionálnymi hráčmi. Skúmaním pojmov, ako sú Nashova rovnováha, dominantné stratégie a Paretova efektívnosť, môžeme lepšie pochopiť a predpovedať výsledky rôznych strategických scenárov. Porovnanie rôznych hier poukazuje na rozmanitosť a použiteľnosť teórie hier v reálnych situáciách.

Referencie

• Nash, J. (1951). Non-Cooperative Games. Annals of Mathematics, 54(2), 286-295.
• Von Neumann, J., & Morgenstern, O. (1944). Theory of Games and Economic Behavior. Princeton University Press.
• Aumann, R. J. (1974). Subjectivity and Correlation in Randomized Strategies. Journal of Mathematical Economics, 1(1), 67-96.
• Selten, R. (1975). Reexamination of the Perfectness Concept for Equilibrium Points in Extensive Games. International Journal of Game Theory, 4(1), 25-55.
• Harsanyi, J. C., & Selten, R. (1988). A General Theory of Equilibrium Selection in Games. MIT Press.
• Binmore, K. (2007). Playing for Real: A Text on Game Theory. Oxford University Press.
• Osborne, M. J., & Rubinstein, A. (1994). A Course in Game Theory. MIT Press.