Definición 1.1 (Singularidades)
Las singularidades de \(f(z)\) son los valores \(z_0\) que hacen que el denominador sea cero.
Definición 1.2 (Residuos)
Para una singularidad simple \(z_0\), el residuo se calcula como:
\[\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)\]
Para una singularidad de orden \(n\) en \(z = z_0\), el residuo se calcula como:
\[\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} [(z - z_0)^n f(z)]\]
Definición 1.3
El polinomio de Taylor de una función \(f\) alrededor de un punto \(a\) es:
\[P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n\]
O en notación sumatoria:
\[P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x - a)^k\]
Ejemplo 1.4
Encontrar singularidades y correspondientes residuos para la función:
\[f(z) = \frac{z(z-2)}{(z+1)^2 (z^2 + 9)}\]Paso 1: Determinar singularidades.
\(\Rightarrow\) \((z+1)^2(z^2+9)=0\)
\(\Rightarrow\) \((z+1)^2(z+3i)(z-3i)=0\) Explicación
\(\Rightarrow\) \((z+1)^2=0 \vee z+3i=0 \vee z-3i=0\) Explicación
Luego, las singularidades son:
\(z_0=-1\) con orden \(2\)
\(z_0=-3i\) con orden \(1\)
\(z_0=3i\) con orden \(1\)
Paso 2: Determinar residuos.
Para \(z_0=-1\) con orden \(2\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,-1)=\dfrac{1}{(2-1)!}\displaystyle\lim_{z \to -1}\dfrac{d}{dz}\bigg[(z+1)^2\cdot \dfrac{z(z-2)}{(z+1)^2(z^2+9)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1)}=\displaystyle\lim_{z \to -1}\dfrac{d}{dz}\bigg[ \dfrac{z(z-2)}{(z^2+9)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1)}=\displaystyle\lim_{z \to -1}\dfrac{d}{dz}\bigg[ \dfrac{z^2-2z)}{(z^2+9)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1)}=\displaystyle\lim_{z \to -1}\bigg[ \dfrac{(2z-2)(z^2+9)-(z^2-2z)2z}{(z^2+9)^2}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1))}=\displaystyle\lim_{z \to -1}\bigg[ \dfrac{2z^3+18z-2z^2-18-2z^3+4z^2}{(z^2+9)^2}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1)}=\displaystyle\lim_{z \to -1}\bigg[ \dfrac{2z^2+18z-18}{(z^2+9)^2}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1)}= \dfrac{2(-1)^2+18(-1)-18}{((-1)^2+9)^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1)}= \dfrac{2-18-18}{(1+9)^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1)}= -\dfrac{34}{100}\bigg|_2\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1)}= -\dfrac{17}{50}\)
Para \(z_0=-3i\) con orden \(1\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,-3i)=\displaystyle\lim_{z \to -3i}(z+3i)\cdot \dfrac{z(z-2)}{(z+1)^2(z+3i)(z-3i)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-3i)}=\displaystyle\lim_{z \to -3i}\dfrac{z(z-2)}{(z+1)^2(z-3i)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-3i)}=\dfrac{-3i(-3i-2)}{(-3i+1)^2(-3i-3i)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-3i)}=\dfrac{-3i(-3i-2)}{-6i(-3i+1)^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-3i)}=\dfrac{(-3i-2)}{2(-3i+1)^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-3i)}=-\dfrac{(2+3i)}{2(1-3i)^2}\)
Para \(z_0=3i\) con orden \(1\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,3i)=\displaystyle\lim_{z \to 3i}(z-3i)\cdot \dfrac{z(z-2)}{(z+1)^2(z+3i)(z-3i)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,3i)}=\displaystyle\lim_{z \to -3i}\dfrac{z(z-2)}{(z+1)^2(z+3i)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,3i)}=\dfrac{3i(3i-2)}{(3i+1)^2(3i+3i)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,3i)}=\dfrac{3i(3i-2)}{6i(3i+1)^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,3i)}=\dfrac{(-2+3i)}{2(1+3i)^2}\)
Ejemplo 1.5
Encontrar singularidades y correspondientes residuos para la función:
\[f(z) = e^{2z}\cdot\sec^2(z)\]Paso 1: Determinar singularidades.
\(\Rightarrow\) \(\cos(z)=0\)
Luego, la singularidad es:
Paso 2: Determinar residuo.
Para \(z_0=\dfrac{\pi}{2}\) con orden \(2\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,\pi/2)=\dfrac{1}{(2-1)!}\displaystyle\lim_{z \to \pi/2}\dfrac{d}{dz}\bigg[\bigg(z-\dfrac{\pi}{2}\bigg)^2\cdot \dfrac{e^{2z}}{\cos^2(z)}\bigg]\)
Expresaremos \(\cos(z)\) como polinomio en torno a \(\dfrac{\pi}{2}\).
\(\Rightarrow\) \(\cos(z)\approx P_2(z)=\cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}\bigg)-\sin\bigg(\dfrac{\pi}{2}\bigg)\bigg(z-\dfrac{\pi}{2}\bigg)\)
\(\Rightarrow\) \(\cos(z)\approx P_2(z)=-\bigg(z-\dfrac{\pi}{2}\bigg)\)
Reemplazamos en nuestro residuo.
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,\pi/2)=\displaystyle\lim_{z \to \pi/2}\dfrac{d}{dz}\bigg[\bigg(z-\dfrac{\pi}{2}\bigg)^2\cdot \dfrac{e^{2z}}{\bigg(z-\dfrac{\pi}{2}\bigg)^2}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,\pi/2)}=\displaystyle\lim_{z \to \pi/2}\dfrac{d}{dz}[e^{2z}]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,\pi/2)}=\displaystyle\lim_{z \to \pi/2}2e^{2z}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,\pi/2)}=2e^{2\pi/2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,\pi/2)}=2e^{\pi}\)Ejemplo 1.6
Encontrar singularidades y correspondientes residuos para la función:
\[f(z) = \dfrac{\tan(z)\cdot \tanh(z)}{z^3}\]Paso 1: Determinar singularidades.
\(\Rightarrow\) \(z^3=0\)
Luego, la singularidad es:
Paso 2: Determinar residuo.
Para \(z_0=0\) con orden \(3\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,0)=\dfrac{1}{(3-1)!}\displaystyle\lim_{z \to 0}\dfrac{d^2}{dz^2}\bigg[(z-0)^3\cdot \dfrac{\tan(z)\cdot \tanh(z)}{z^3}\bigg]\)
Expresaremos \(\tan(z)\) como polinomio en torno a \(0\).
\(\Rightarrow\) \(\tan(z)\approx P_2(z)=\tan(0)+\sec^2(0)(z-0)\)
\(\Rightarrow\) \(\tan(z)\approx P_3(z)=z\)
Expresaremos \(\tanh(z)\) como polinomio en torno a \(0\).
\(\Rightarrow\) \(\tanh(z)\approx P_2(z)=\tanh(0)+\text{sech}^2(0)(z-0)\)
\(\Rightarrow\) \(\tanh(z)\approx P_2(z)=z\)
Reemplazamos en nuestro residuo.
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,0)=\dfrac{1}{2!}\displaystyle\lim_{z \to 0}\dfrac{d^2}{dz^2}\bigg[z^3\cdot \dfrac{z\cdot z}{z^3}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,0)}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{z \to 0}\dfrac{d^2}{dz^2}[z^2]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,0)}=\dfrac{1}{2}\displaystyle\lim_{z \to 0}2\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,0)}=\dfrac{1}{2}\cdot 2\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,0)}= 1\)Ejemplo 1.7
Encontrar singularidades y correspondientes residuos para la función:
\[f(z) = \dfrac{2z+1}{z^2-z-2}\]Paso 1: Determinar singularidades.
\(\Rightarrow\) \(z^2-z-2=0\)
\(\Rightarrow\) \((z-2)(z+1)=0\)
Luego, las singularidades son:
\(z_0=2\) con orden \(1\)
\(z_0=-1\) con orden \(1\)
Paso 2: Determinar residuos.
Para \(z_0=2\) con orden \(1\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,2)=\displaystyle\lim_{z \to 2}\bigg[(z-2)\cdot \dfrac{2z+1}{(z-2)(z+1)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,2)}=\displaystyle\lim_{z \to 2}\bigg[\dfrac{2z+1}{z+1}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,2)}=\dfrac{2\cdot 2+1}{2+1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,2)}=\dfrac{5}{3}\)
Para \(z_0=-1\) con orden \(1\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,-1)=\displaystyle\lim_{z \to -1}\bigg[(z+1)\cdot \dfrac{2z+1}{(z-2)(z+1)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1)}=\displaystyle\lim_{z \to -1}\bigg[\dfrac{2z+1}{z-2}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1)}=\dfrac{2\cdot (-1)+1}{(-1)-2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1)}=\dfrac{-1}{-3}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,-1)}=\dfrac{1}{3}\)Ejemplo 1.8
Encontrar singularidades y correspondientes residuos para la función:
\[f(z) = \bigg(\dfrac{z+1}{z-1}\bigg)^2\]Paso 1: Determinar singularidades.
\(\Rightarrow\) \(z-1=0\)
Luego, la singularidad es:
Paso 2: Determinar residuo.
Para \(z_0=1\) con orden \(2\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,1)=\dfrac{1}{(2-1)!}\displaystyle\lim_{z \to 1}\dfrac{d}{dz}\bigg[(z-1)^2\cdot \bigg(\dfrac{z+1}{z-1}\bigg)^2\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1)}=\displaystyle\lim_{z \to 1}\dfrac{d}{dz}[(z+1)^2]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1)}=\displaystyle\lim_{z \to 1}\dfrac{d}{dz}[(z^2+2z+1]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1)}=\displaystyle\lim_{z \to 1}[2z+2]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1)}=2(1+1)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1)}=4\)
Ejemplo 1.9
Encontrar singularidades y correspondientes residuos para la función:
\[f(z) =\dfrac{\sin(z)}{z^2}\]
Paso 1: Determinar singularidades.
\(\Rightarrow\) \(z^2=0\)
Luego, la singularidad es:
Paso 2: Determinar residuo.
Para \(z_0=1\) con orden \(2\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,0)=\dfrac{1}{(2-1)!}\displaystyle\lim_{z \to 0}\dfrac{d}{dz}\bigg[(z-0)^2\cdot \dfrac{\sin(z)}{z^2}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,0)}=\displaystyle\lim_{z \to 0}\dfrac{d}{dz}[\sin(z)]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,0)}=\displaystyle\lim_{z \to 0}\cos(z)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,0)}=\cos(0)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,0)}=1\)Ejemplo 1.10
Encontrar singularidades y correspondientes residuos para la función:
\[f(z)= \sec(z)\]Paso 1: Determinar singularidades.
\(\Rightarrow\) \(\cos(z)=0\)
Luego, la singularidad es:
Paso 2: Determinar residuo.
Para \(z_0=\pi/2\) con orden \(1\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,\pi/2)=\displaystyle\lim_{z \to \pi/2}\bigg[\bigg(z-\dfrac{\pi}{2}\bigg)\cdot \dfrac{1}{\cos(z)}\bigg]\)
Expresaremos \(\cos(z)\) como polinomio de Taylor en torno a \(z_0=\pi/2\).
\(\Rightarrow\) \(\cos(z)\approx P_2(z)=\cos\bigg(\dfrac{\pi}{2}\bigg)-\sin\bigg(\dfrac{\pi}{2}\bigg)\bigg(z-\dfrac{\pi}{2}\bigg)\)
\(\Rightarrow\) \(\cos(z)\approx P_2(z)=-\bigg(z-\dfrac{\pi}{2}\bigg)\)
Reemplazamos en nuestro residuo.
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,\pi/2)=\displaystyle\lim_{z \to \pi/2}\dfrac{d}{dz}\Bigg[\bigg(z-\dfrac{\pi}{2}\bigg)\cdot \dfrac{1}{-\bigg(z-\dfrac{\pi}{2}\bigg)}\Bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,\pi/2)}=\displaystyle\lim_{z \to \pi/2}[-1]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,\pi/2)}=-1\)Ejemplo 1.11
Encontrar singularidades y correspondientes residuos para la función:
\[f(z) = \cot(z)\]
Paso 1: Determinar singularidades.
\(\Rightarrow\) \(\sin(z)=0\)
Luego, la singularidad es:
Paso 2: Determinar residuo.
Para \(z_0=\pi\) con orden \(1\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,\pi)=\displaystyle\lim_{z \to \pi}\bigg[(z-\pi)\cdot \dfrac{\cos(z)}{\sin(z)}\bigg]\)
Expresaremos \(\sin(z)\) como polinomio de Taylor en torno a \(z_0=\pi\).
\(\Rightarrow\) \(\sin(z)\approx P_2(z)=\sin(\pi)+cos(\pi)(z-\pi)\)
\(\Rightarrow\) \(\sin(z)\approx P_2(z)=-(z-\pi)\)
\(\Rightarrow\) \(\sin(z)\approx P_2(z)=-z+\pi\)
Expresaremos \(\cos(z)\) como polinomio de Taylor en torno a \(z_0=n\pi\).
\(\Rightarrow\) \(\cos(z)\approx P_2(z)=\cos(\pi)-\sin(\pi)(z-\pi)\)
\(\Rightarrow\) \(\cos(z)\approx P_2(z)=-1\)
Reemplazamos en nuestro residuo.
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,n\pi)=\displaystyle\lim_{z \to \pi}\bigg[(z-\pi)\cdot \dfrac{\cos(z)}{\sin(z)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,\pi)}=\displaystyle\lim_{z \to \pi}\bigg[(z-\pi)\cdot \dfrac{-1}{(-z+\pi)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,\pi)}=\displaystyle\lim_{z \to \pi}\bigg[(z-\pi)\cdot \dfrac{-1}{-(z-\pi)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,\pi)}=\displaystyle\lim_{z \to \pi}\bigg[(z-\pi)\cdot \dfrac{1}{(z-\pi)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,\pi)}=\displaystyle\lim_{z \to \pi}[1]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,\pi)}=1\)Ejemplo 1.12
Encontrar singularidades y correspondientes residuos para la función:
\[f(z) = \dfrac{z^2+4}{z^3+2z^2+2z}\]Paso 1: Determinar singularidades.
\(\Rightarrow\) \(z^3+2z^2+2z=0\)
\(\Rightarrow\) \(z(z^2+2z+2)=0\)
\(\Rightarrow\) \(z(z-1+i)(z-1-i)=0\)
Luego, las singularidades son:
\(z_0=0\) con orden \(1\)
\(z_0=1+i\) con orden \(1\)
\(z_0=1-i\) con orden \(1\)
Paso 2: Determinar residuos.
Para \(z_0=0\) con orden \(1\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,0)=\displaystyle\lim_{z \to 0}\bigg[(z-0)\cdot \dfrac{z^2+4}{z(z^2+2z+2)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,0)}=\displaystyle\lim_{z \to 0}\bigg[ \dfrac{z^2+4}{z^2+2z+2}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,0)}= \dfrac{0^2+4}{0^2+2\cdot 0+2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,0)}= \dfrac{4}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,0)}= 2\)
Para \(z_0=1+i\) con orden \(1\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,0)=\displaystyle\lim_{z \to 1+i}\bigg[(z-1-i)\cdot \dfrac{z^2+4}{z(z-1+i)(z-1-i)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1+i)}=\displaystyle\lim_{z \to 1+i}\bigg[ \dfrac{z^2+4}{z(z-1+i)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1+i)}= \dfrac{(1+i)^2+4}{(1+i)(1+i-1+i)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1+i)}= \dfrac{1+2i+i^2+4}{(1+i)\cdot2i}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1+i)}= \dfrac{1+2i-1+4}{2i+2i^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1+i)}= \dfrac{4+2i}{2i-2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1+i)}= \dfrac{2(2+i)}{2(-1+i)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1+i)}= \dfrac{2+i}{-1+i}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1+i)}= \dfrac{2+i}{-1+i}\bigg|^{-1-i}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1+i)}= \dfrac{(2+i)(-1-i)}{(-1+i)(-1-i)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1+i)}= \dfrac{-2-3i+1}{1+1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1+i)}= \dfrac{-1-3i}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1+i)}= -\dfrac{1+3i}{2}\)
Para \(z_0=1-i\) con orden \(1\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,0)=\displaystyle\lim_{z \to 1-i}\bigg[(z-1+i)\cdot \dfrac{z^2+4}{z(z-1+i)(z-1-i)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1-i)}=\displaystyle\lim_{z \to 1-i}\bigg[ \dfrac{z^2+4}{z(z-1-i)}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1-i)}= \dfrac{(1-i)^2+4}{(1-i)(1-i-1-i)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1-i)}= \dfrac{1-2i+i^2+4}{(1-i)\cdot -2i}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1-i)}= \dfrac{1-2i-1+4}{-2i+2i^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1-i)}= \dfrac{4-2i}{-2i-2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1-i)}= -\dfrac{2(2-i)}{2(1+i)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1-i)}= -\dfrac{2-i}{1+i}\bigg|^{1-i}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1-i)}= -\dfrac{(2-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1-i)}= -\dfrac{2-2i-i+i^2}{1-i^2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1-i)}= -\dfrac{2-3i-1}{1+1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,1-i)}= -\dfrac{1-3i}{2}\)
Ejemplo 1.13
Resolver
\[\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{\cos(x)}{(x^2+1)^5}dx\]
Paso 1: Extensión de la función a los complejos.
Sea \(z=x+0i\), luego \(f(z)\) queda como:
\(\Rightarrow\) \(f(z)=\dfrac{\cos(z)}{(z^2+1)^5}\)
\(\Rightarrow\) \(f(z)=\dfrac{e^{iz}}{(z^2+1)^5}\) pues \(e^{iz}=cos(z)+i\sin(z)\)
Paso 2: Determinar singularidades.
\(\Rightarrow\) \(z^2+1=0\)
\(\Rightarrow\) \((z+i)(z-i)=0\)
Luego, las singularidades son:
\(z_0=i\) con orden \(5\)
\(z_0=-i\) con orden \(5\)
Paso 3: Determinar residuos.
Para \(z_0=i\) con orden \(5\).
\(\Rightarrow\) \(\text{Res}(f,i)=\dfrac{1}{(5-1)!}\displaystyle\lim_{z \to i}\dfrac{d^4}{dz^4}\bigg[(z-i)^5\cdot \dfrac{e^{iz}}{(z^2+1)^5}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,i)}=\dfrac{1}{4!}\displaystyle\lim_{z \to i}\dfrac{d^4}{dz^4}\bigg[(z-i)^5\cdot \dfrac{e^{iz}}{[(z-i)(z+i)]^5}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,i)}=\dfrac{1}{4!}\displaystyle\lim_{z \to i}\dfrac{d^4}{dz^4}\bigg[(z-i)^5\cdot \dfrac{e^{iz}}{(z-i)^5(z+i)^5}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,i)}=\dfrac{1}{4!}\displaystyle\lim_{z \to i}\dfrac{d^4}{dz^4}\bigg[\dfrac{e^{iz}}{(z+i)^5}\bigg]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,i)}=\dfrac{1}{4!}\displaystyle\lim_{z \to i}\dfrac{\Bigg(1+\dfrac{20i}{z+i}-\dfrac{180}{(z+i)^2}-\dfrac{840i}{(z+i)^3}+\dfrac{1680}{(z+i)^4}\Bigg)\cdot e^{iz}}{(z+i)^5}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,i)}=\dfrac{1}{24}\cdot \dfrac{-133ie^{-1}}{16}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\text{Res}(f,i)}= \dfrac{-133ie^{-1}}{384}\)
Paso 4: Definir entorno.
\(C=\{a+bi:0\leq a \land 0\leq b\}\)
Paso 5: Resolver integral.
\(\Rightarrow\) \(\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{\cos(x)}{(x^2+1)^5}dx=\displaystyle\int_C\dfrac{e^{iz}}{(z^2+1)^5}dz\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{\cos(x)}{(x^2+1)^5}dx}=\dfrac{2\pi i}{4}\cdot \text{Res}(f,i)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{\cos(x)}{(x^2+1)^5}dx}=\dfrac{\pi i}{2}\cdot \text{Res}(f,i)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{\cos(x)}{(x^2+1)^5}dx}=\dfrac{\pi i}{2}\cdot \dfrac{-133ie^{-1}}{384}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{\cos(x)}{(x^2+1)^5}dx}= \dfrac{-133i^2e^{-1}\pi}{768}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{\cos(x)}{(x^2+1)^5}dx}= \dfrac{133e^{-1}\pi}{768}\)