1. Supongamos que el incremento porcentual de los salarios de los funcionarios de todas las corporaciones medianas se distribuye siguiendo una normal con media 122% y desviación típica 36%. Se toma una muestra aleatoria de nueve observaciones de esta población de incrementos porcentuales de salario. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea mayor del 10%?
media_poblacional <- 122
desviacion_estandar <- 36
n <- 9
# Media y desviación estándar de la distribución muestral
media_muestral <- media_poblacional
desviacion_estandar_muestral <- desviacion_estandar / sqrt(n)
# Cálculo de la probabilidad
probabilidad <- 1 - pnorm(10, mean = media_muestral, sd = desviacion_estandar_muestral)
probabilidad## [1] 12.Supongamos que estamos analizando los tiempos de entrega de productos en una cadena de suministro global. Se sabe que los tiempos de entrega siguen una distribución normal con una media poblacional de 20 días y una desviación estándar muestral de 4 días. Se decide tomar una muestra aleatoria de 16 envíos para evaluar el rendimiento del sistema logístico. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral de los tiempos de entrega sea estrictamente mayor que 21.753 días?
media_poblacional <- 20
desviacion_estandar <- 4
n <- 16
# Media y desviación estándar de la distribución muestral
media_muestral <- media_poblacional
desviacion_estandar_muestral <- desviacion_estandar / sqrt(n)
# Cálculo de la probabilidad
probabilidad <- 1 - pnorm(21.753, mean = media_muestral, sd = desviacion_estandar_muestral)
probabilidad## [1] 0.0398013. Supongamos que se está llevando a cabo un experimento económico en el cual se están comparando dos estrategias monetarias (A y B) con el objetivo de reducir el tiempo de respuesta de una determinada variable económica. El experimentador sabe que en las respectivas poblaciones los tiempos de respuestas están distribuidos normalmente. Se administra la estrategia A a 30 empresas y la estrategia B a 40 empresas. Cuando se lleva a cabo el experimento, el tiempo promedio de la estrategia A es 3045 con una desviación típica de 5 milisegundos y la estrategia B es 249 con 6 milisegundos. Se desea determinar la probabilidad de que la diferencia entre el impacto promedio de la estrategia A y B en las empresas sea menor o igual a lo observado en el experimento.
# Parámetros
n_A <- 30
n_B <- 40
media_A <- 3045
media_B <- 249
desviacion_A <- 5
desviacion_B <- 6
# Diferencia de medias
diferencia_medias <- media_A - media_B
# Desviación estándar de la diferencia de medias
desviacion_diferencia <- sqrt((desviacion_A^2 / n_A) + (desviacion_B^2 / n_B))
# Cálculo de la probabilidad
probabilidad <- pnorm(diferencia_medias, mean = 0, sd = desviacion_diferencia)
probabilidad## [1] 14. Se toma una muestra de 250 casas de una población de edificios antiguos para estimar la proporción de casas de este tipo cuya instalación eléctrica resulta insegura. Supongamos que de hecho el 30% de todos los edificios de esta población tienen una instalación insegura. Hallar la probabilidad de que la proporción de edificios de la muestra con instalación insegura esté entre 0.25 y 0.35.
# Parámetros
n <- 250
p <- 0.3
# Media y desviación estándar de la proporción muestral
media_proporcion <- p
desviacion_estandar_proporcion <- sqrt((p * (1 - p)) / n)
# Cálculo de la probabilidad
probabilidad <- pnorm(0.35, mean = media_proporcion, sd = desviacion_estandar_proporcion) -
pnorm(0.25, mean = media_proporcion, sd = desviacion_estandar_proporcion)
probabilidad## [1] 0.91550215. Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte de cierto país difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte mientras que sólo el 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias una de 150 hombres y otra de 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de mujeres.
# Parámetros
n_hombres <- 150
n_mujeres <- 100
p_hombres <- 0.12
p_mujeres <- 0.10
# Diferencia de proporciones
diferencia_proporciones <- p_hombres - p_mujeres - 0.03
# Desviación estándar de la diferencia de proporciones
desviacion_diferencia <- sqrt((p_hombres * (1 - p_hombres) / n_hombres) + (p_mujeres * (1 - p_mujeres) / n_mujeres))
# Cálculo de la probabilidad
probabilidad <- 1 - pnorm(diferencia_proporciones, mean = 0, sd = desviacion_diferencia)
probabilidad## [1] 0.59858576. En el ámbito económico consideremos un escenario donde una empresa se especializa en la producción de componentes electrónicos esenciales para diversos sectores económicos. La resistencia en ohmios de estos componentes cuando el proceso de producción funciona correctamente sigue una distribución normal con desviación típica de 3.6 ohmios. La empresa está interesada en evaluar la consistencia en la resistencia de sus productos y decide tomar muestras aleatorias de 4 componentes para analizar la variabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor a 27?
# Parámetros
n <- 4
varianza_poblacional <- 3.6^2
# Cálculo de la probabilidad usando la distribución chi-cuadrado
chi_cuadrado <- (n - 1) * 27 / varianza_poblacional
probabilidad <- 1 - pchisq(chi_cuadrado, df = n - 1)
probabilidad## [1] 0.10006087. En un contexto de gestión de operaciones consideremos una situación en la que se está llevando a cabo una evaluación de rendimiento entre dos equipos de producción denominados A y B en una planta de manufactura. El equipo A consiste en 61 operadores y el equipo B en 41 operadores. Suponiendo que la eficiencia en la producción de cada operador se distribuye normalmente y que sus varianzas son iguales. Se registrará la eficiencia en la producción de cada operador y se busca determinar si hay diferencias significativas en la variabilidad del rendimiento entre los dos equipos. Calcule la probabilidad de que la razón de las varianzas muestrales de A y B sea mayor que 1.64.
# Parámetros
n_A <- 61
n_B <- 41
F_critical <- 1.64
# Cálculo de la probabilidad usando la distribución F
probabilidad <- 1 - pf(F_critical, df1 = n_A - 1, df2 = n_B - 1)
probabilidad## [1] 0.04943336