Taylorov polynóm

Author

Nina Lackovičová

Úvod do Taylorovho polynómu

Taylorov polynóm je nástrojom na aproximáciu (Section 4) funkcií pomocou polynómov. Je dôležitou časťou matematickej analýzy a má široké využitie v rôznych oblastiach, ako sú numerická analýza, fyzika, strojové učenie a ďalšie. Taylorov polynóm umožňuje nahradiť komplikované funkcie jednoduchšími polynómami, čo môže uľahčiť ich štúdium a výpočty. (Kvasnicka, n.d.)

Taylorov polynóm - animácia

Taylorov polynóm funkcie \( f \) v bode \( a \) je daný vzorcom:

\[ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

Definícia Taylorovho polynómu

Taylorov polynóm je polynóm, ktorý približuje funkciu \( f \) v okolí bodu \( a \) na základe hodnoty funkcie a jej derivácií v tomto bode. Má tvar:

\[ P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k\]

kde \( f^{(k)}(a) \) je \( k \)-ta derivácia funkcie \( f \) v bode \( a \) a \( k! \) je faktoriál čísla \( k \).(Kvasnicka, n.d.)

História Taylorovho polynómu

Taylorove polynómy sú pomenované po britskom matematikovi Brookovi Taylorovi, ktorý ich prvýkrát predstavil v roku 1715. Avšak, koncepty podobné Taylorovým polynómom boli skúmané aj inými matematikmi pred ním. Isaac Newton a James Gregory boli medzi prvými, ktorí pracovali s polynomiálnymi aproximáciami funkcií. Taylorov polynóm sa stal základným nástrojom v matematickej analýze a nachádza sa v mnohých moderných aplikáciách vedy a techniky. (Wikipédia 2004) (Wikipédia 2009)

Figure 1: Brooke Taylor

Aproximácia funkcie Taylorovým polynómom

Použitie Taylorovho polynómu na aproximáciu funkcií je veľmi užitočné, pretože umožňuje vyjadriť zložité funkcie ako súčet jednoduchších členov. Týmto spôsobom môžeme získať priblížené hodnoty funkcie, ktoré sú ľahšie na výpočet. Napríklad, Taylorov polynóm funkcie \( e^x \) okolo bodu \( a = 0 \) (známy ako Maclaurinov polynóm) je: (Kvasnicka, n.d.)

\[P_n(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots + \frac{x^n}{n!}\]

Aproximačná chyba a konvergencia

Aproximačná chyba Taylorovho polynómu nám hovorí, ako presne polynóm aproximuje pôvodnú funkciu. Pre funkciu \( f \) a jej Taylorov polynóm \( P_n \) stupňa \( n \) v bode \\( a \\), aproximačná chyba \( R_n(x) \) je definovaná ako: \[R_n(x) = f(x) - P_n(x) \]

Pre malé hodnoty \( x \), táto chyba môže byť veľmi malá, čo znamená, že polynóm dobre aproximuje funkciu. Aproximačná chyba môže byť tiež vyjadrená pomocou vyššej derivácie funkcie:

\[R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \]

kde \( c \) je niekde medzi \( a \) a \( x \). (Wikipédia 2004)

Konvergencia Taylorovej série

Konvergencia Taylorovej série závisí od vlastností funkcie \( f \). Ak Taylorova séria konverguje k funkcii \( f \) na intervale \( I \), hovoríme, že funkcia je analytická na tomto intervale. Pre mnohé funkcie, ako napríklad polynómy, exponenciálne funkcie a trigonometrické funkcie, Taylorova séria konverguje k pôvodnej funkcii na celom reálnom číselnom intervale.

Avšak, existujú aj funkcie, pre ktoré Taylorova séria nekonverguje na žiadnom intervale okrem bodu aproximácie. Príkladom takejto funkcie je:

\[f(x) = e^{-1/x^2} \text{ pre } x \neq 0 \text{ a } f(0) = 0 \]

Pre túto funkciu Taylorova séria v bode \( a = 0 \) je nulová pre všetky \( x \), pretože všetky derivácie funkcie v bode \( 0 \) sú tiež nulové.

(Wikipédia 2004)

Význam Taylorovho polynómu

Taylorov polynóm je kľúčovým nástrojom vo vede a technike. Umožňuje nám pochopiť a predpovedať správanie sa funkcií v okolí určitého bodu, čo je základom mnohých numerických metód. Pomáha nám tiež analyzovať chyby aproximácií (Section 5) a zlepšovať presnosť výpočtov.

Aplikácie Taylorových Polynómov

Taylorove polynómy majú mnoho aplikácií v rôznych oblastiach matematiky a vied. Tu je niekoľko príkladov:

1. Numerické Výpočty

Taylorove polynómy sa používajú na aproximáciu hodnôt funkcií, čo je užitočné pri numerických výpočtoch, kde presné hodnoty nie sú vždy dostupné. Napríklad, výpočet hodnôt exponenciálnej funkcie, logaritmov, sínusov a kosínusov.

2. Riešenie Diferenciálnych Rovníc

Taylorove polynómy môžu byť použité na riešenie diferenciálnych rovníc. Aproximácia riešenia diferenciálnej rovnice pomocou Taylorovho polynomu je jednou z metód riešenia týchto rovníc.

3. Fyzika a Inžinierstvo

V oblasti fyziky a inžinierstva sa Taylorove polynómy používajú na lineárnu aproximáciu nelineárnych systémov, čo uľahčuje analýzu a riešenie rôznych problémov.

(Wikipédia 2004)

Príklady Funkcií

Taylorove polynómy môžeme použiť na aproximáciu rôznych funkcií. Pozrime sa na niekoľko príkladov:

1. Exponenciálna Funkcia \( e^x \) {#sec-1.-exponenciálna-funkcia-(-ex–}

Funkcia \( e^x \) a jej derivácie sú všetky rovnaké:  Hodnoty týchto derivácií v bode \( x = 0 \):
\( f(x) = e^x \)  \( f(0) = 1 \) 
\( f^{(k)}(x) = e^x \) \( f^{(k)}(0) = 1 \)

Taylorov polynom pre \( e^x \) v bode \( x = 0 \) je teda:

\[ e^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \]

Grafické Znázornenie

library(ggplot2)

# Rozsah hodnot x
x <- seq(-2, 2, length.out = 400)

# Funkcia pre Taylorove polynómy
taylor_exp <- function(x, n) {
  sapply(x, function(xi) sum(sapply(0:n, function(k) xi^k / factorial(k))))
}

# Pôvodná funkcia
y_exp <- exp(x)

# Aproximácie pomocou Taylorových polynómov rôznych stupňov
degrees <- c(1, 2, 3, 4)
taylor_exp_approx <- lapply(degrees, function(n) taylor_exp(x, n))

# Vytvorenie grafu pre exp(x)
ggplot() +
  geom_line(aes(x = x, y = y_exp), color = 'black', linewidth = 1) +
  geom_line(aes(x = x, y = taylor_exp_approx[[1]]), color = 'red', linetype = "dashed") +
  geom_line(aes(x = x, y = taylor_exp_approx[[2]]), color = 'blue', linetype = "dashed") +
  geom_line(aes(x = x, y = taylor_exp_approx[[3]]), color = 'green', linetype = "dashed") +
  geom_line(aes(x = x, y = taylor_exp_approx[[4]]), color = 'purple', linetype = "dashed") +
  labs(title = "Taylorove polynómy pre exp(x)", x = "x", y = "y") +
  theme_minimal() +
  scale_color_manual("", 
                     breaks = c("exp(x)", "T_1(x)", "T_2(x)", "T_3(x)", "T_4(x)"),
                     values = c("black", "red", "blue", "green", "purple"))

(Wikipédia 2004)

2. Prírodný Logaritmus ln(1+x)

Funkcia ln(1+x) a jej derivácie v bode x = 0: Hodnoty týchto derivácií v bode x = 0:
f(x) = ln(1+x)  f(0) = 0
f’(x) = 1 / (1+x)  f’(0) = 1
f’’(x) = -1 / (1+x)^2 f’’(0) = -1
f’’’(x) = 2 / (1+x)^3  f’’’(0) = 2
f^(k)(x) = (-1)^(k+1) * (k-1)! / (1+x)^k f^(k)(0) = (-1)^(k+1) * (k-1)!

Taylorov polynóm pre ln(1+x) v bode x = 0 je teda:

\[ \ln(1+x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots \]

Grafické Znázornenie

# Funkcia pre Taylorove polynómy
taylor_ln1x <- function(x, n) {
  sapply(x, function(xi) sum(sapply(1:n, function(k) (-1)^(k+1) * xi^k / k)))
}

# Pôvodná funkcia
y_ln1x <- log(1 + x[x > -1])

# Aproximácie pomocou Taylorových polynómov rôznych stupňov
taylor_ln1x_approx <- lapply(degrees, function(n) taylor_ln1x(x[x > -1], n))

# Vytvorenie grafu pre ln(1+x)
ggplot() +
  geom_line(aes(x = x[x > -1], y = y_ln1x), color = 'black', size = 1) +
  geom_line(aes(x = x[x > -1], y = taylor_ln1x_approx[[1]]), color = 'red', linetype = "dashed") +
  geom_line(aes(x = x[x > -1], y = taylor_ln1x_approx[[2]]), color = 'blue', linetype = "dashed") +
  geom_line(aes(x = x[x > -1], y = taylor_ln1x_approx[[3]]), color = 'green', linetype = "dashed") +
  geom_line(aes(x = x[x > -1], y = taylor_ln1x_approx[[4]]), color = 'purple', linetype = "dashed") +
  labs(title = "Taylorove polynómy pre ln(1+x)", x = "x", y = "y") +
  theme_minimal() +
  scale_color_manual("", 
                     breaks = c("ln(1+x)", "T_1(x)", "T_2(x)", "T_3(x)", "T_4(x)"),
                     values = c("black", "red", "blue", "green", "purple"))
Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
ℹ Please use `linewidth` instead.

(Kvasnicka, n.d.)

3. Sinusová funkcia sin(x)

Funkcia sin(x) a jej derivácie v bode x = 0: Hodnoty týchto derivácií v bode x = 0:
f(x) = sin(x) f(0) = 0
f(x) = sin(x) f’(0) = 1
f’’(x) = -sin(x) f’’(0) = 0
f’’’(x) = -cos(x) f’’’(0) = -1
f^(k)(x) = sin(x) ak k je párny, cos(x) ak k je nepárny f^(k)(0) = 0, ak k je párny, 1, ak k je nepárny

Taylorov polynóm pre sin(x) v bode x = 0 je teda:

\[ \sin(x) \approx x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots \]

Grafické zobrazenie aproximácie:

Figure 3: Taylorov polynóm - sínus

(Wikipédia 2009)

4. Kosínusová funkcia cos(x)

Funkcia cos(x) a jej derivácie v bode x = 0: Hodnoty týchto derivácií v bode x = 0:
f(x) = cos(x) f(0) = 1
f’(x) = -sin(x) f’(0) = 0
f’’(x) = -cos(x) f’’(0) = -1
f’’’(x) = sin(x) f’’’(0) = 0
 f^(k)(x) = cos(x) ak k je párny, -sin(x) ak k je nepárny f^(k)(0) = 1, ak k je párny, 0, ak k je nepárny

Taylorov polynóm pre cos(x) v bode x = 0 je teda:

\[ \cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots \]

Grafické zobrazenie:

Figure 4: Taylorov polynóm - kosínus

Záver

Taylorov polynóm a Taylorova séria sú mocnými nástrojmi na štúdium a aproximáciu funkcií. Pomáhajú nám získať prístup k hodnote funkcií v okolí konkrétneho bodu, čo má široké uplatnenie v mnohých oblastiach matematiky a aplikovaných vied.

References

Kvasnicka. n.d. “Rozvoj Funkcie.” fiit.stuba. http://www2.fiit.stuba.sk/~kvasnicka/Mathematics%20for%20Informatics/Chapter_10/Transparencies_10B.pdf.
Wikipédia. 2004. “Taylor Series.” Wikipédia. https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series.
———. 2009. “Taylorov Rad.” Wikipédia. https://sk.wikipedia.org/wiki/Taylorov_rad.