La autoría intelectual de los teoremas 2.1, 2.2 y 2.4 pertenece al profesor Samuel Abner Sanhueza Toloza.
Teorema 1.1 (TDE)
Dado \(a,b\in \mathbb{N}\), existen únicos \(q,r\in\mathbb{N}\) con \(0\leq r<b\) tal que:
\[a=b\cdot q+r\]
donde
Ejemplo 1.2
Encontrar el cuociente y resto de la división euclidiana entre \(18\) y \(7\).
\(\Rightarrow\) \(18=7\cdot 2+4\)
Teorema 2.1 (DAD)
Dado \(a,b\in \mathbb{N}\), por TDE se tiene que \(a=b\cdot q+r\). Si \(b_1=b+k\), con \(k\in \mathbb{N}\), para \(a\) y \(b_1\) por TDE existen únicos \(q_1,r_1\in\mathbb{N}\) con \(0\leq r_1<b_1\), tal que:
\[a=b\cdot q_1+(r_1+k\cdot q_1)\]
Por TDE para \(a,b\in \mathbb{N}\) existen únicos \(q,r\in\mathbb{N}\), con \(0\leq r<b\) tal que:
\(\Rightarrow\) \(a=b\cdot q+r\)
Por TDE para \(a\) y \(b_1=b+k\), con \(a,b,k\in\mathbb{N}\), existen únicos \(q_1,r_1\in\mathbb{N}\), con \(0\leq r_1<b_1\) tal que:
\(\Rightarrow\) \(a=b_1\cdot q_1+r_1\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{a}=(b+k)\cdot q_1+r_1\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{a}=b\cdot q_1+k\cdot q_1+r_1\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{a}=b\cdot q_1+(r_1+k\cdot q_1)\)
En consecuencia, al sustituir el divisor \(b\) por una cantidad mayor \(b_1\) resulta un cuociente \(q_1\) y resto \(r_1\), sin embargo, al regresar el divisor a su valor original \(b\) podemos mantener el cuociente que corresponde a \(b_1\), pero el resto \(r_1\) cambia a \(r_1+k\cdot q_1\).
Colorario 2.2
Sean \(a,b\in \mathbb{N}\), por DAD se tiene que \(a=b\cdot q_1+(r_1+k\cdot q_1)\). Si \(r_1+k\cdot q_1<b\) entonces:
\[q=q_1\land r=r_1+k\cdot q_1\]
Por DAD se tiene que:
\(\Rightarrow\) \(a=b\cdot q+r\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{a}=b\cdot q_1+(r_1+k\cdot q_1)\)
Puesto que \(r_1+k\cdot q_1<b\) se cumple condición del TDE que establece que el resto debe ser menor que el divisor. Además, el divisor y resto son únicos para la división de \(a\) entre \(b\).
En consecuencia, \(q=q_1\land r=r_1+k\cdot q_1\).Ejemplo 2.3
Dividir \(32\) entre \(9\) aplicando DAD.
Si aproximamos el divisor \(9\) a \(10\) entonces \(k=1\).
\(\Rightarrow\) \(32=10\cdot 3+2\)
En este caso \(q_1=3\) y \(r_1=2\), por lo que al regresar al divisor \(b=9\) se tiene.
\(\Rightarrow\) \(32=9\cdot 3+(2+1\cdot 3)\)
\(\Rightarrow\) \(32=9\cdot 3+5\) con \(r=5<b=9\)
Finalmente, en la división de \(32\) entre \(9\) el cuociente es \(q=3\) y resto \(r=5\).
Colorario 2.4
Sean \(a,b\in \mathbb{N}\), por DAD se tiene que \(a=b\cdot q_1+(r_1+k\cdot q_1)\). Si \(b\leq r_1+k\cdot q_1\) entonces:
\[q=(q_1+q_2)\land r=r_2 \]
Puesto que \(b<r_1+k\cdot q_1\) por TDE existen \(q_2\) y \(r_2\) con \(0\leq r <b\), tal que:
\(\Rightarrow\) \(r_1+k\cdot q_1=b\cdot q_2+r_2\)
Por DAD se tiene que:
\(\Rightarrow\) \(a=b\cdot q+r\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{a}=b\cdot q_1+(r_1+k\cdot q_1)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{a}=b\cdot q_1+b\cdot q_2+r_2\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{a}=b(q_1+ q_2)+r_2\)
En consecuencia, si \(b<r_1+k\cdot q_1\) el cuociente \(q_1\) aumenta en \(q_2\), este último valor correspondiente al cuociente entre \(r_1+k\cdot q_1\) y \(b\).Ejemplo 2.5
Dividir \(49\) entre \(8\) aplicando DAD.
Si aproximamos el divisor \(8\) a \(10\) entonces \(k=2\).
\(\Rightarrow\) \(49=10\cdot 4+9\)
En este caso \(q_1=4\) y \(r_1=9\), por lo que al regresar al divisor \(b=8\) se tiene.
\(\Rightarrow\) \(49=8\cdot 4+(9+2\cdot 4)\)
\(\Rightarrow\) \(49=8\cdot 4+17\) con \(b=8\) menor que el resto \(17\)
\(\Rightarrow\) \(49=8\cdot 4+8\cdot 2+1\) luego \(q_2=2\land r_2=1\)
\(\Rightarrow\) \(49=8(4+2)+1\)
\(\Rightarrow\) \(49=8\cdot 6+1\)
Finalmente, en la división de \(49\) entre \(8\) el cuociente es \(q=6\) y resto \(r=1\).Ejemplo 2.6
Dividir \(1.008\) entre \(28\) mediante DAD dividiendo por partes del dividendo.
Al aproximar \(b=28\) a \(b_1=30\), entonces \(k=2\) y el resto \(r_1+k\cdot q_1\).
\(\Rightarrow\) \(\textcolor{blue}{100}8\div 30=\textcolor{blue}{3}\textcolor{red}{5}\)
\(\Rightarrow\) \((10+2\cdot 3)\)
\(\Rightarrow\) \(\textcolor{red}{168}\)
\(\Rightarrow\) \((18+2\cdot 5)\)
\(\Rightarrow\) \(28\)
El cuociente es \(q_1=35\) y resto \(r_1+k\cdot q_1=28\)
Como el resto \(r_1+k\cdot q_1=28\) es igual o mayor que el divisior original \(b=28\), entonces el resto se divide por el divisor original.
\(\Rightarrow\) \(28\div 28=1\)
Logrando cuociente \(q_2=1\) y resto \(r_2=0\)
Finalmente, en la división de \(15.275\) entre \(47\) el cuociente es \(q=q_1+q_2=36\) y resto \(r=r_2=0\).
Ejemplo 2.7
Dividir \(15.275\) entre \(47\) mediante DAD dividiendo por partes del dividendo.
Al aproximar \(b=47\) a \(b_1=50\), entonces \(k=3\) y el resto \(r_1+k\cdot q_1\).
\(\Rightarrow\) \(\textcolor{blue}{152}75\div 50=\textcolor{blue}{3}\textcolor{red}{2}\textcolor{blue}{4}\)
\(\Rightarrow\) \((2+3\cdot 3)\)
\(\Rightarrow\) \(\textcolor{red}{117}\)
\(\Rightarrow\) \((17+3\cdot 2)\)
\(\Rightarrow\) \(\textcolor{blue}{235}\)
\(\Rightarrow\) \((35+3\cdot 4)\)
\(\Rightarrow\) \(47\)
El cuociente es \(q_1=324\) y resto \(r_1+k\cdot q_1=47\)
Como el resto \(r_1+k\cdot q_1=47\) es igual o mayor que el divisior original \(b=47\), entonces el resto se divide por el divisor original.
\(\Rightarrow\) \(47\div 47=1\)
Logrando cuociente \(q_2=1\) y resto \(r_2=0\)
Finalmente, en la división de \(15.275\) entre \(47\) el cuociente es \(q=q_1+q_2=325\) y resto \(r=r_2=0\).
Ejemplo 2.8
Dividir \(17.894\) entre \(23\) mediante DAD dividiendo por partes del dividendo.
Al aproximar \(b=23\) a \(b_1=25\), entonces \(k=2\) y el resto \(r_1+k\cdot q_1\).
\(\Rightarrow\) \(\textcolor{blue}{178}94\div 25=\textcolor{blue}{7}\textcolor{red}{6}\textcolor{blue}{7}\)
\(\Rightarrow\) \((3+2\cdot 7)\)
\(\Rightarrow\) \(\textcolor{red}{179}\)
\(\Rightarrow\) \((4+2\cdot 7)\)
\(\Rightarrow\) \(\textcolor{blue}{184}\)
\(\Rightarrow\) \((9+2\cdot 7)\)
\(\Rightarrow\) \(23\)
El cuociente es \(q_1=777\) y resto \(r_1+k\cdot q_1=23\)
Como el resto \(r_1+k\cdot q_1=23\) es igual o mayor que el divisior original \(b=23\), entonces el resto se divide por el divisor original.
\(\Rightarrow\) \(23\div 23=1\)
Logrando cuociente \(q_2=1\) y resto \(r_2=0\)
Finalmente, en la división de \(17.895\) entre \(23\) el cuociente es \(q=q_1+q_2=778\) y resto \(r=r_2=0\).