Distribución de probabilidad exponencial

Notación

\[ X{\sim}exp(\lambda) \]

Nota: Distribución que modela los tiempos de espera entre sucesos que siguen una distribución de Poisson.

Función de densidad

\[ P(X=x)=\lambda\exp{\left\{-\lambda{\cdot}x\right\}}\text{ con }0{\leq}X{\leq}\infty \text{ y }\lambda>0 \]

\[ P(X=x)=\frac{1}{\lambda}\exp{\left\{-\frac{1}{\lambda}{\cdot}x\right\}}\text{ con }0{\leq}X{\leq}\infty \text{ y }\lambda>0 \]

• Parámetros

\[ E(X)=\frac{1}{\lambda} \]

\[ Var(X)=\frac{1}{\lambda^2} \]

Simulación y ejemplos

library(ggfortify)

## Loading required package: ggplot2

Nota: \(rate=\frac{1}{\lambda}\)

exponencial <- function(rate,fill=NULL,colour=NULL,p=NULL){
  ggdistribution(func=dexp,
                 x=seq(from=0,
                       to=3,
                       by=0.1),
                 rate=rate,
                 fill=fill,
                 colour=colour,
                 p=p)
}

exponencial(rate=1,fill="gray",colour="black",
            p=exponencial(rate=3,fill="red",colour="yellow",
            p=exponencial(rate=5,fill="blue",colour="green")))

Cálculo de probabilidades

• \(P_{exp\left(\frac{1}{3}\right)}(X=1)\)

densidad.exponencial <- function(x,rate){
  ggdistribution(dexp,
                 seq(0, +3, 0.1),
                 rate=rate,
                 colour = "blue",
                 p = ggdistribution(dexp,
                                    seq(x-0.05, x+0.05, 0.1),
                                    rate=rate,
                                    colour ="blue",
                                    fill = "blue"))
}

densidad.exponencial(x=1,rate=3)

dexp(x=1,rate=3)

## [1] 0.1493612

• \(P_{exp\left(\frac{1}{3}\right)}(X{\leq}1)\)

distribucion.exponencial <- function(q,rate){
  ggdistribution(dexp,
                 seq(0, +3, 0.1),
                 rate=rate,
                 colour = "blue",
                 p = ggdistribution(dexp,
                                    seq(0, q, 0.1),
                                    rate=rate,
                                    colour ="blue",
                                    fill = "blue"))
}

distribucion.exponencial(q=1,rate=3)

pexp(q=1,rate=3)

## [1] 0.9502129

• \(P_{exp\left(\frac{1}{3}\right)}(0.5{\leq}X{\leq}1)\)

probabilidad.exponencial <- function(a,b,rate){
  ggdistribution(dexp,
                 seq(0, 3, 0.1),
                 rate = rate,
                 colour = "blue",
                 p = ggdistribution(dexp,
                                    seq(a, b, 0.1),
                                    rate = rate,
                                    colour ="blue",
                                    fill = "blue"))
}

probabilidad.exponencial(a=0.5,b=1,rate=3)

\[ P(a{\leq}T{\leq}b)=P(T{\leq}b)-P(T{\leq}a) \]

• \(P_{exp\left(\frac{1}{3}\right)}(0.5{\leq}T{\leq}1)=P_{exp\left(\frac{1}{3}\right)}(T{\leq}1)-P_{exp\left(\frac{1}{3}\right)}(T{\leq}0.5)\)

pexp(q=1,rate=3)-pexp(q=0.5,rate=3)

## [1] 0.1733431

Tarea

• \(P_{exp\left(\frac{1}{3}\right)}(0.25{\leq}X{\leq}0.5)\)

pexp(q=0.5,rate=3)-pexp(q=0.25,rate=3)

## [1] 0.2492364

• \(P_{exp\left(\frac{1}{3}\right)}(0.125{\leq}X{\leq}0.25)\)

• \(P_{exp\left(\frac{1}{3}\right)}(0.125{\leq}X{\leq}0.675)\)

• \(P_{exp\left(\frac{1}{3}\right)}(0.975{\leq}X{\leq}1)\)