Пусть \(S\) — непустое ограниченное сверху множество. Тогда существует число \(B\), такое что \(s \le B\) для всех \(s \in S\). Это число \(B\) является верхней границей множества \(S\). Теперь покажем, что оно является точной верхней гранью множества \(S\).

Обозначим через \(\sup S\) точную верхнюю грань множества \(S\). По определению, это наибольшее число, которое не меньше любого элемента множества \(S\). То есть если \(x < \sup S\), то \(x\) не может быть верхней границей множества \(S\), так как найдется элемент \(s \in S\) такой, что \(x < s \le \sup S\).

Поскольку \(B\) является верхней границей множества \(S\), то \(s \le B\) для всех \(s \in S\). Если бы \(B < \sup S\), то, используя определение точной верхней грани, мы могли бы найти элемент \(s \in S\) такой, что \(B < s \le \sup S\), что противоречит тому, что \(B\) является верхней границей множества \(S\). Следовательно, \(B \ge \sup S\).

Таким образом, мы показали, что \(B\) является числом, которое одновременно удовлетворяет условиям верхней границы множества \(S\) (то есть \(s \le B\) для всех \(s \in S\)) и условию точной верхней грани (\(\sup S \le B\)). Это означает, что \(B = \sup S\), и множество \(S\) имеет точную верхнюю грань.

Problem 2.10

Find the sum of squares of binomial coefficients \(\forall n \in \mathbb{N}\).

Solution

To find the sum of the squares of binomial coefficients for a given natural number \(\forall n \in \mathbb{N}\), we can use a known identity involving binomial coefficients. Specifically, we want to find:

\[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2. \]

There is a useful combinatorial identity that helps with this calculation:

\[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}. \]

To understand why this identity holds, consider the following combinatorial argument:

  • The binomial coefficient \(\binom{n}{k}\) counts the number of ways to choose \(k\) items out of \(n\) items.
  • \(\binom{n}{k}^2\) counts the ways to choose \(k\) items from the first \(n\) items and \(k\) items from the second \(n\) items independently.
  • Thus, \(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2\) is the total number of ways to combine these choices such that for each pair \((k, n-k)\).

Another way to see it is through generating functions: \[ \left( \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^k \right)^2 = \left(1 + x\right)^n \left(1 + x\right)^n = (1 + x)^{2n}. \] The coefficient of \(x^n\) in \((1 + x)^{2n}\) is \(\binom{2n}{n}\), which matches our desired sum of squares of the binomial coefficients.

So, the sum of the squares of the binomial coefficients for any natural number \(n\) is:

\[ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \boxed{\binom{2n}{n}}. \]