Estudio descriptivo multivariante sobre un conjunto de datos con relacion a registros clinicos sobre pacientes pertenecientes a una clinica de colombia
Por: G6 ::ana.callejas ::bueno.yuri ::luisa.ibanez ::@correounivalle.edu.co
2024-03-20
Fase 1 [Descripcion Multivariante]
1.1. Objetivos del Estudio
Estudiar desde el punto de vista de la estadistica descriptiva multivariante (cálculos(“registrosclinicos(V1).xlsx”), visualizaciones e interpretaciones) a un conjunto de datos sobre registros clinicos de pacientes de una clínica de Colombia.
1.2. Descripción de los Datos
El conjunto de datos “Registros clínicos” recopila información sobre pacientes y aspectos socioeconómicos. Incluye variables como el número de hijos, género del paciente, tipo de asistencia médica, uso de sustancias psicoactivas, proximidad a centros médicos, estrato socioeconómico, peso, altura e ingresos mensuales. Estos datos pueden utilizarse para analizar la salud de los pacientes y cómo factores socioeconómicos pueden influir en su bienestar y acceso a la atención médica.
Fuente del conjunto de Datos
El conjunto de datos del trabajo se obtuvo casi totalmente de Kaggle : https://www.kaggle.com/
Es conveniente anotar que Kaggle es una compañia subsidiaria de Google LLC que mantiene una comunidad online de cientificos de datos y profesionales de aprendizaje automático. Esta empresa permite sus usuarios encontrar y publicar conjunto de datos, explorar y crear modelos en un entorno de ciencia de datos basados en la web, trabajar con otros cientificos de datos e ingenieros de aprendizaje automatico y participar en un curso para resolver desafios de ciencia de datos.
Contexto del conjunto de Datos
Recopila resgistros sobre la atención medica de pacientes en una clinica de Colombia este conjunto incluye datos demograficos como edad, estrato socioeconomico, peso, altura, ingreso mensul, genero, numero de hijos e información sobre procedimientos médicos y de comportamiento de pacientes. Este conjunto de datos se actualizó por última vez en el año 2022.
Descripcion del conjunto de Datos
El conjunto de datos contiene 11 campos y 4999 registros. Uno de los campos es simplemente un identificador numérico secuencial de los registros de cada paciente;otro campo es un identificador de decision;otros tres son de naturaleza politómica; y el resto son numéricos estrictamente positivos. La lista siguiente describe de izquierda a derecha, como aparecen en el rango o conjunto de datos que los contiene y se establece para cada campo, excepto el campo Codigo de paciente, el tipo de variable y su escala de medición (tipo_de_variable::escala_de_medición[ordenamiento]):
Código de paciente (identificador): registra un número secuenciado a partir de 1 para identificar de forma única cada registro de paciente consignado en el conjunto de datos.
Edades (cuantitativa::razón): contiene las edades de cada paciente a partir de 12 hasta 56 años de edad.
Número de hijos (cualitativa::razón): registra la cantidad de hijos que tienen los pacientes, donde estos van desde 1 y el máximo rango va hasta 6 integrantes.
Genero del paciente (cualitativa::nominal): registra el sexo del paciente y se categoriza por femenino y masculino.
Asistencia privada publica (cualitativa::nominal): registro dado a partir de la asistencia a la clínica donde el paciente informa el dato sobre su atención, donde esta se clasifica en dos las cuales son privada o pública.
Uso sustancias psicoactivas (cuantitativa::nominal) registra el consuma de sustancias psicoactivas por parte del paciente y se categoriza con respuesta cerrada donde solo existen dos opciones : no y si.
Residencia cerca al centro (cuantitativa::nominal) registra la residencia del paciente si es cerca al centro o no.
Estrato socioeconómico (cualitativa::nominal) registra los datos clasificándolos de 1 a 6.
Peso (cuantitativa::razón): contiene el peso de cada paciente en kilogramos donde este va de 42kg a 101kg.
Altura (cuantitativa::razón): registra la altura de cada paciente usando la escala de medición en cm
Ingresos mensuales (cuantitativa::razón): registra los ingresos mensuales de cada paciente en pesos colombianos.
Estructura del conjunto de Datos
str(clinic_dataset)## tibble [4,999 × 11] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
## $ codigo_de_paciente : num [1:4999] 3999 1076 2382 91 630 ...
## $ edades : num [1:4999] 51 42 41 51 42 42 44 34 55 21 ...
## $ numero_de_hijos : num [1:4999] 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 ...
## $ genero_del_paciente : chr [1:4999] "masculino" "masculino" "masculino" "femenino" ...
## $ asistencia_privada_publica: chr [1:4999] "publica" "publica" "publica" "publica" ...
## $ uso_sustancias_psicoativas: chr [1:4999] "no" "no" "si" "si" ...
## $ residencia_cerca_al_centro: chr [1:4999] "si" "si" "no" "si" ...
## $ estrato_socioeconomico : chr [1:4999] "uno" "cuatro" "dos" "seis" ...
## $ peso : num [1:4999] 51 100 85 51 100 100 70 72 55 45 ...
## $ altura : num [1:4999] 1.48 1.78 1.65 1.48 1.78 1.78 1.64 1.68 1.48 1.57 ...
## $ ingresos_mensuales : num [1:4999] 57536 59539 61219 61219 67428 ...Visualizacion del conjunto de Datos
clinic_dataset## # A tibble: 4,999 × 11
## codigo_de_paciente edades numero_de_hijos genero_del_paciente
## <dbl> <dbl> <dbl> <chr>
## 1 3999 51 6 masculino
## 2 1076 42 6 masculino
## 3 2382 41 6 masculino
## 4 91 51 6 femenino
## 5 630 42 6 masculino
## 6 4005 42 6 masculino
## 7 3210 44 6 masculino
## 8 216 34 6 masculino
## 9 4215 55 6 masculino
## 10 2927 21 6 masculino
## # ℹ 4,989 more rows
## # ℹ 7 more variables: asistencia_privada_publica <chr>,
## # uso_sustancias_psicoativas <chr>, residencia_cerca_al_centro <chr>,
## # estrato_socioeconomico <chr>, peso <dbl>, altura <dbl>,
## # ingresos_mensuales <dbl>1.3. Estimaciones Multivariadas
La de media, varianza y covarianza conforman un conjunto de medidas fundamentales para describir el comportamiento posicional, dispersivo y correlacional de variables aleatorias. En este sentido, el conjunto de datos de trabajo que posee cinco variables numéricas, y que está representado matricialmente, estima las medidas anteriores a partir de vectores y matrices en el estudio descriptivo multivariable. El vector de medias indica el comportamiento posicional en el sentido de valor esperado o punto medio para cada variable en relación con todos sus registros. La matriz de varianzas-covarianzas estima las dispersiones, en su diagonal principal, de cada variable del conjunto de datos respecto de cada media obtenida del vector de medias. Además, por encima o por debajo de la diagonal principal, se estiman las covarianzas entre las combinaciones de los posibles pares de variables del conjunto de datos.
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito se calcularán e interpretarán, para las variables numéricas, el vector de medias, la matriz de varianzas-covarianzas y la matriz de correlaciones. Se recuerda que las variables numéricas son: edades, numero_de_hijos, peso, altura y ingresos_mensuales
Desarrollo del Análisis
En base a la navegacion de pestañas que nos permite RStudio se calculo los siguientes tres objetos: Vector de Medias, Matriz de Varianzas-Cobarianzas y Matriz de Correlaciones.
Basándonos en la pestaña Vector de Medias, se observa que en general los datos registrados para cada una de las variables tienden a presentar colas derechas en sus distribuciones, lo que hace que las medias estimadas tiendan a ser altas. Además, en relación con la mediana, solo la variable edades muestran un sesgo notable en comparación con las demás. También se ha observado que todos los casos atípicos se encuentran en el extremo inferior. Si revisamos los rangos de las variables estudiadas, podemos encontrar que las medias son altas en comparación con los su escala y rango de medida.
Basandonos en la pestaña Matriz de Varianza-Covarianza Se puede interpretar que en general, las relaciones entre las variables tomadas por pares en su mayoria tienden a ser de proporcionalidad indirecta y en la diagonal de la matriz podemos observar como varian los datos dentro de su propia clasificacion.
Basandonos en la pestaña Matriz de Correlaciones y al considerar los resultados de la Matriz de Varianzas-Covarianzas se puede verificar que los coeficientes de correlacion son negativos y positivos entre las variables: edades, numero_de_hijos, peso, altura y ingresos_mensuales. Estas correlaciones eran de esperarse en el conjunto estudiado.
Vector de Medias
apply(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], 2, mean)## edades numero_de_hijos peso altura
## 3.934927e+01 3.312462e+00 7.038968e+01 1.637339e+00
## ingresos_mensuales
## 5.011386e+06clinic_dataset_Reducido = clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)]
par(mfrow = c(1, ncol(clinic_dataset_Reducido)))
invisible(lapply(1:ncol(clinic_dataset_Reducido), function(i) boxplot(clinic_dataset_Reducido[, i])))
Matriz de varianza-covarianza
round(cov(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)]),2)## edades numero_de_hijos peso altura
## edades 115.14 -0.17 5.40 -0.15
## numero_de_hijos -0.17 2.95 0.20 0.00
## peso 5.40 0.20 278.36 1.35
## altura -0.15 0.00 1.35 0.01
## ingresos_mensuales 265624.42 -44984.58 1223866.57 6488.07
## ingresos_mensuales
## edades 2.656244e+05
## numero_de_hijos -4.498458e+04
## peso 1.223867e+06
## altura 6.488070e+03
## ingresos_mensuales 8.404468e+12Matriz de correlaciones
round(cor(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)]),2)## edades numero_de_hijos peso altura ingresos_mensuales
## edades 1.00 -0.01 0.03 -0.13 0.01
## numero_de_hijos -0.01 1.00 0.01 -0.01 -0.01
## peso 0.03 0.01 1.00 0.78 0.03
## altura -0.13 -0.01 0.78 1.00 0.02
## ingresos_mensuales 0.01 -0.01 0.03 0.02 1.001.4. Gráficas multivariadas
Se menciona que, en general, los gráficos multivariados cumplen dos objetivos esenciales: primero, ayudan a comparar el comportamiento de poblaciones de estudio con base en variables categóricas y suavizan la comprensión de la Estructura de evaluación entre varias variables. En este sentido, el conjunto de datos de trabajo tendrá apoyo descriptivo gráfico a través de tres diagramas: uno conjunto que integra dispersión, distribución y correlaciones; otro basado en la renderización de polígonos, y por último, uno que recurre a las caras de Chernoff.
Planteamiento del problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la fase 1 seccion 1.2, se calcularán e interpretarán diversas gráficas multivariadas para las variables numéricas. Las variables numéricas utilizadas (en una escala de medición de razón) incluyen: edades, numero_de_hijos, peso, altura y ingresos_mensuales.
A continuación, se realizarán las siguientes gráficas multivariadas:
Diagrama de Correlaciones: Este diagrama mostrará las relaciones de correlación entre pares de variables numéricas. Las líneas o colores indicarán la fuerza y dirección de la correlación entre cada par de variables. Esto ayudará a identificar patrones de asociación lineal entre las variables.
Matriz de Diagrama de Dispersión: La matriz de diagrama de dispersión representará gráficamente la relación entre todas las combinaciones posibles de variables numéricas. Cada celda de la matriz mostrará un diagrama de dispersión que ilustra la relación entre un par específico de variables. Esto permitirá visualizar simultáneamente múltiples relaciones entre las variables.
Diagrama de Estrellas: Este tipo de diagrama se utiliza para mostrar relaciones complejas entre múltiples variables. Cada variable se representa como un eje en un gráfico radial, y los puntos o líneas conectadas indicarán las observaciones de datos. Esto facilita la identificación de patrones o agrupaciones en los datos multivariados.
Caras de Chernoff: Las caras de Chernoff son un método visual único para representar múltiples variables numéricas mediante la modificación de las características faciales (como forma de ojos, boca, etc.) para reflejar los valores de las variables. Cada cara representa una observación en el conjunto de datos y permite una visualización intuitiva de las diferencias y similitudes entre las observaciones basadas en múltiples características.
Estas gráficas multivariadas proporcionarán una visión completa y detallada de la estructura de los datos numéricos, ayudando a identificar patrones, asociaciones y posibles agrupaciones en el conjunto de datos descrito en la sección 1.2.
Desarrollo del análisis
La navegación a través de pestañas que nos permite RStudio mostrará las gráficas multivariadas de: Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones (sin agrupación SA y con agrupación CA; teniendo en cuenta las 5 variables categóricas: genero_del_paciente: GE, asistencia_privada_publica: AS, uso_sustancias_psicoativas: US, residencia_cerca_al_centro: RE y estrato_socioeconomico: ES, Diagrama de Estrellas y Caras de Chernoff.
Basándonos en la pestaña Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [SA], donde podemos observar que existen dos correlaciones, una positiva más alta, superior a \(0.779\), y una negativa más baja \(-0.009\). En general, dependiendo de con quién se correlacionen, nos pueden dar resultados positivos o negativos. Ahora, el significado de esto nos indica el nivel de proporcionalidad (directa o indirecta) que tienen las variables cuando se relacionan unas con otras. Sin embargo, es importante destacar que ninguna de estas variables es extremadamente explicativa por sí sola. Aunque muestran correlaciones altas y bajas, lo que sugiere un cierto nivel de relación entre ellas, ninguna de ellas puede explicar completamente este fenómeno, lo cual sugiere que también hay influencia de otros factores externos.
De manera complementaria, basándonos en las pestañas Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones, pero en sus versiones en grupos de las variables categóricas: genero_del_paciente, asistencia_privada_publica, uso_sustancias_psicoativas, residencia_cerca_al_centro y estrato_socioeconomico, se puede apreciar que en la comparativa entre distintas categorías, el uso_sustancias_psicoativas no muestra tanta relevancia como para elevar de manera tan significativa la probabilidad de que tenga acceso medicoo no, a diferencia de lo que ocurre con la categoría estrato_socioeconomico, que se muestra de manera diferente a lo mencionado anteriormente. Es decir, que un paciente que muestra que segun el estrato del paciente este puede tener un acceso mas facil al servicio de salud, este resultado puede resultar más significativo en el diagnóstico de insuficiencia cardíaca. Por otro lado, la categoría asistencia_privada_publica también puede dar una correlación significativa entre la los pacientes que tiene una u otra asistencia.
En base a la pestaña Diagrama de Estrellas, se puede interpretar que hay una gran variedad bastante notable entre los pacientes y, en términos de datos, hay ciertas relaciones pero no son lo suficientemente altas como para separar en grupos, en general presentan una alta variablilidad
Además complementariamente Diagramas de Estrellas, la pestaña Caras de Chernoff revela la gran diversidad entre los pacientes. Con bastante claridad, las Caras de Chernoff, desde el número 1 hasta el 23, muestran una gran variabilidad, lo que hace imposible separarlos en grupos similares. Este hallazgo coincide con lo observado en el Diagrama de Estrellas.
Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [SA]
ggpairs(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)])
Diagrama de conjunto de dispersión, distribucion y correlaciones [CA-GE]
ggpairs(clinic_dataset, columns = c(2,3,9,10,11), aes(color = genero_del_paciente, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
Diagrama de conjunto de dispersión, distribucion y correlaciones [CA-AS]
ggpairs(clinic_dataset, columns = c(2,3,9,10,11), aes(color = asistencia_privada_publica, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
Diagrama de conjunto de dispersión, distribucion y correlaciones [CA-US]
ggpairs(clinic_dataset, columns = c(2,3,9,10,11), aes(color = uso_sustancias_psicoativas, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
Diagrama de conjunto de dispersión, distribucion y correlaciones [CA-RE]
ggpairs(clinic_dataset, columns = c(2,3,9,10,11), aes(color = residencia_cerca_al_centro, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
Diagrama de conjunto de dispersión, distribucion y correlaciones [CA-ES]
ggpairs(clinic_dataset, columns = c(2,3,9,10,11), aes(color = estrato_socioeconomico, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))## Warning in cor(x, y): the standard deviation is zero
## Warning in cor(x, y): the standard deviation is zero
## Warning in cor(x, y): the standard deviation is zero
## Warning in cor(x, y): the standard deviation is zero
Diagrama de estrella
set.seed(780728)
clinic_dataset_Reducido = clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),23),-c(1,4,5,6,7)]
stars(clinic_dataset_Reducido, len = 1, cex = 0.4, key.loc = c(10, 2), draw.segments = TRUE)
Caras de chernoff
set.seed(780728)
clinic_dataset_Reducido = clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),23),-c(1,4,5,6,7,8)]
faces(clinic_dataset_Reducido)
## effect of variables:
## modified item Var
## "height of face " "edades"
## "width of face " "numero_de_hijos"
## "structure of face" "peso"
## "height of mouth " "altura"
## "width of mouth " "ingresos_mensuales"
## "smiling " "edades"
## "height of eyes " "numero_de_hijos"
## "width of eyes " "peso"
## "height of hair " "altura"
## "width of hair " "ingresos_mensuales"
## "style of hair " "edades"
## "height of nose " "numero_de_hijos"
## "width of nose " "peso"
## "width of ear " "altura"
## "height of ear " "ingresos_mensuales"1.5. Normalidad multivariada
Para investigar o determinar el tipo de distribución multivariada de un conjunto de datos, se pueden utilizar procedimientos descriptivos, como gráficos, o procedimientos inferenciales, como pruebas estadísticas. En este contexto, se logra una generalización de resultados al emplear estos últimos, aunque los primeros respaldan las interpretaciones.
En esta sección se considera el uso de procedimientos inferenciales para determinar si el conjunto de datos con respecto a sus variables numéricas, sigue una distribución normal multivariada (DNM). Se aplicarán pruebas de normalidad multivariada (PNM) que incluyen las pruebas de Mardia, Henze-Zirkler, Doornik-Hansen y Royston. Estas pruebas de normalidad se llevarán a cabo con un nivel de significancia \(\alpha = 0.05\) y bajo las siguientes hipótesis:\[H_0: \text {El conjunto de datos sigue una distribución normal multivariada.}\] \[H_1: \text {El conjunto de datos NO sigue una distribución normal multivariada.}\]
La prueba de Mardia se fundamenta en extensiones de asimetría y curtosis, el cuadrado de la distancia de Mahalanobis, la cantidad de variables \(p\) en análisis y la cantidad de registros \(n\). En este contexto, la prueba estadística para la asimetría sigue una distribución \(\chi^2\), mientras que la prueba estadística para la curtosis se aproxima a una distribución normal.
La prueba de Henze-Zirkler se fundamenta en la distancia funcional. Si el conjunto de datos sigue una distribución normal multivariada, el estadístico de la prueba se distribuye aproximadamente como una log-normal, con parámetros de media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\).
La prueba de Doornik-Hansen se basa en la asimetría y la curtosis de un conjunto de datos multivariados, los cuales se transforman para asegurar la independencia. Esta prueba se considera más potente que la prueba de Shapiro-Wilk en casos multivariados. El estadístico de prueba está definido como la suma de las transformaciones al cuadrado de la asimetría y la curtosis, y sigue aproximadamente una distribución \(\chi^2\).
La prueba de Royston utiliza las pruebas de Shapiro-Wilk o Shapiro-Francia para evaluar la normalidad multivariada. Si la curtosis es mayor que 3, la prueba de Royston emplea Shapiro-Francia para distribuciones leptocúrticas. Por otro lado, para distribuciones platicúrticas utiliza Shapiro-Wilk. En esta prueba, los parámetros son obtenidos mediante aproximaciones polinomiales.
Planteamiento del problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la fase 1 sección 1.2, se realizará una prueba estadística de normalidad multivariada con un nivel de significancia \(\alpha=0.05\), para determinar si los datos métricos provienen de una población normal multivariada. Las variables numéricas del conjunto de datos (en escala de medición de razón) son: edades, numero_de_hijos, peso, altura y ingresos_mensuales.
Se utilizará una de las pruebas de normalidad multivariada mencionadas anteriormente, como la prueba de Mardia, Henze-Zirkler, Doornik-Hansen o Royston, dependiendo de la distribución de las variables y la curtosis observada. El objetivo es evaluar si estas variables siguen una distribución normal conjunta en el espacio multivariado.
El procedimiento implicará calcular el estadístico de prueba específico (por ejemplo, basado en asimetría y curtosis) y compararlo con su distribución teórica bajo la hipótesis nula de normalidad multivariada. Se establecerá un criterio de rechazo de la hipótesis nula si el valor \(p-value\) asociado al estadístico de prueba es menor que \(\alpha\).
Una conclusión positiva (no rechazo de la hipótesis nula) indicaría evidencia de que las variables analizadas siguen una distribución normal multivariada. Por el contrario, un rechazo de la hipótesis nula sugeriría que al menos una de las variables no sigue una distribución normal, lo que podría tener implicaciones en el análisis posterior de los datos.
Desarrollo del análisis
La exploración a través de las diferentes pruebas de normalidad multivariada indica que el conjunto de datos, considerando sus variables numéricas, no sigue una distribución normal multivariada. Aquí están los hallazgos clave de cada prueba:
Prueba de Mardia: Los valores \(p\) asociados con las pruebas de asimetría (Skewness) y curtosis (Kurtosis) son menores que el nivel de significancia \(\alpha = 0.05\). Esto sugiere que no hay suficiente evidencia para sostener la hipótesis de normalidad multivariada para las variables del conjunto de datos.
Prueba de Henze-Zirkler: El estadístico de prueba no se distribuye aproximadamente como log-normal, ya que el valor \(p\) es menor que \(\alpha = 0.05\). Por lo tanto, no hay apoyo para que el conjunto de datos siga una distribución normal multivariada según esta prueba.
Prueba de Doornik-Hansen: El estadístico de prueba no sigue una distribución \(\chi^2\) aproximadamente, dado que el valor \(p\) es menor que \(\alpha = 0.05\). Esto sugiere que las evidencias no respaldan la normalidad multivariada del conjunto de datos.
Prueba de Royston: El conjunto de datos, reducido a sus variables numéricas, no sigue una distribución normal multivariada según esta prueba, ya que el valor \(p\) es menor que \(\alpha = 0.05\).
En resumen, con un nivel de significancia de \(0.05\), las pruebas indican consistentemente que el conjunto de datos analizado, con respecto a sus variables numéricas, no sigue una distribución normal multivariada. Este hallazgo es importante para la interpretación y el análisis subsiguiente de los datos.
PNM Mardia
mvn(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], mvnTest="mardia")## $multivariateNormality
## Test Statistic p value Result
## 1 Mardia Skewness 3462.3589671877 0 NO
## 2 Mardia Kurtosis -10.2010931140503 0 NO
## 3 MVN <NA> <NA> NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling edades 129.2280 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling numero_de_hijos 152.9438 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling peso 82.6160 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling altura 183.6962 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling ingresos_mensuales 59.6869 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min
## edades 4999 3.934927e+01 1.073013e+01 42.00 12.00
## numero_de_hijos 4999 3.312462e+00 1.717430e+00 3.00 1.00
## peso 4999 7.038968e+01 1.668418e+01 70.00 42.00
## altura 4999 1.637339e+00 1.037203e-01 1.64 1.47
## ingresos_mensuales 4999 5.011386e+06 2.899046e+06 5046744.00 12608.00
## Max 25th 75th Skew Kurtosis
## edades 56.00 33.00 45.00 -0.605566766 -0.2834701
## numero_de_hijos 6.00 2.00 5.00 0.161060855 -1.2653672
## peso 101.00 55.00 85.00 0.261498185 -0.9856095
## altura 1.78 1.51 1.69 -0.106609250 -1.0872701
## ingresos_mensuales 9999180.00 2451457.00 7511554.00 -0.002634235 -1.2193779PNM Hense-Zirkler
mvn(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], mvnTest="hz")## $multivariateNormality
## Test HZ p value MVN
## 1 Henze-Zirkler 28.43863 0 NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling edades 129.2280 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling numero_de_hijos 152.9438 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling peso 82.6160 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling altura 183.6962 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling ingresos_mensuales 59.6869 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min
## edades 4999 3.934927e+01 1.073013e+01 42.00 12.00
## numero_de_hijos 4999 3.312462e+00 1.717430e+00 3.00 1.00
## peso 4999 7.038968e+01 1.668418e+01 70.00 42.00
## altura 4999 1.637339e+00 1.037203e-01 1.64 1.47
## ingresos_mensuales 4999 5.011386e+06 2.899046e+06 5046744.00 12608.00
## Max 25th 75th Skew Kurtosis
## edades 56.00 33.00 45.00 -0.605566766 -0.2834701
## numero_de_hijos 6.00 2.00 5.00 0.161060855 -1.2653672
## peso 101.00 55.00 85.00 0.261498185 -0.9856095
## altura 1.78 1.51 1.69 -0.106609250 -1.0872701
## ingresos_mensuales 9999180.00 2451457.00 7511554.00 -0.002634235 -1.2193779PNM de Doornik-Hansen
mvn(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], mvnTest="dh")## $multivariateNormality
## Test E df p value MVN
## 1 Doornik-Hansen 92446.45 10 0 NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling edades 129.2280 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling numero_de_hijos 152.9438 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling peso 82.6160 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling altura 183.6962 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling ingresos_mensuales 59.6869 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min
## edades 4999 3.934927e+01 1.073013e+01 42.00 12.00
## numero_de_hijos 4999 3.312462e+00 1.717430e+00 3.00 1.00
## peso 4999 7.038968e+01 1.668418e+01 70.00 42.00
## altura 4999 1.637339e+00 1.037203e-01 1.64 1.47
## ingresos_mensuales 4999 5.011386e+06 2.899046e+06 5046744.00 12608.00
## Max 25th 75th Skew Kurtosis
## edades 56.00 33.00 45.00 -0.605566766 -0.2834701
## numero_de_hijos 6.00 2.00 5.00 0.161060855 -1.2653672
## peso 101.00 55.00 85.00 0.261498185 -0.9856095
## altura 1.78 1.51 1.69 -0.106609250 -1.0872701
## ingresos_mensuales 9999180.00 2451457.00 7511554.00 -0.002634235 -1.2193779PNM de Royston
mvn(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),2000), -c(1,4,5,6,7,8)], mvnTest="royston")## $multivariateNormality
## Test H p value MVN
## 1 Royston 640.2378 3.162171e-136 NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling edades 49.6680 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling numero_de_hijos 66.3238 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling peso 33.2042 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling altura 73.1558 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling ingresos_mensuales 24.4398 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min
## edades 2000 3.945950e+01 1.066946e+01 42.00 12.00
## numero_de_hijos 2000 3.235500e+00 1.731918e+00 3.00 1.00
## peso 2000 7.010600e+01 1.651257e+01 70.00 42.00
## altura 2000 1.634215e+00 1.033505e-01 1.64 1.47
## ingresos_mensuales 2000 4.840095e+06 2.915643e+06 4824988.00 16896.00
## Max 25th 75th Skew Kurtosis
## edades 56.00 33.00 45.00 -0.58650868 -0.3227240
## numero_de_hijos 6.00 2.00 5.00 0.22181593 -1.2706577
## peso 101.00 55.00 85.00 0.27828135 -0.9631307
## altura 1.78 1.51 1.68 -0.07774131 -1.0849357
## ingresos_mensuales 9998070.00 2253692.50 7302876.25 0.05538408 -1.2196117Fase 2 [Componentes Principales]
2.1 Objetivos
En términos generales, esta segunda etapa del estudio presentará cálculos, visualizaciones e interpretaciones basadas en el conjunto de datos tratado en la fase 1. Esta vez, el enfoque se centrará en el análisis de componentes principales de las variables cuantitativas, lo que incluirá la selección, calidad de representación, contribuciones e interpretación.
2.2. Seleccion de componentes
El Análisis de Componentes Principales (en adelante ACP) reestructura un conjunto de datos multivariado a través de la reducción de la cantidad de sus variables, en cuyo transfondo es innecesario asumir ninguna distribución de probabilidad de ellas. Esta reducción es lograda a través de combinaciones lineales de las variables originales, que deberán contener la mayor variabilidad posible presente en el conjunto de datos. En este sentido, el ACP logra crear nuevas variables, conocidas como componentes principales, que poseen características estadísticas de independencia (con base en el supuesto de normalidad) y no correlación.
El ACP se logra a lo largo de las siguientes fases: generación de nuevas variables, reducción dimensional del espacio de los datos, eliminación de varaibles de poco aporte e interpretación de los componentes resultantes en el contexto del problema del cual se obtuvieron los datos.
Planteamiento del problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la fase anterior, primero se debe establecer el porcentaje de varianza explicado por cada dimensión una vez procesado el ACP. Posteriormente, utilizando el autovalor medio o un diagrama de sedimentación, se decidirá cuántos componentes retener.
Desarrollo del análisis
Con base a la navegacion en pestañas se puede apreciar que el conjunto de datos, relacionado con sus variables numericas puede ser representado por unos conjuntos mas pequeños que llegan a retener el \(76.15\) \(\%\) de la variabilidad del conjunto, estas en particular:
La Matriz ACP muestra en total seis dimenciones en donde la primera retiene un \(35.76\) \(\%\), la siguiente un \(20.46\) \(\%\) y las demas de manera respectiva \(19.94\) \(\%\) dandonos un total de \(76.15\) \(\%\) como habiamos mencionado antes, En este sentido la representatividad de la combinacion lineal por dimenciones individuales es relativamente buena pero si tomamos de la dimencion 1 a 3 son significativamente altas a comparacion del resto. Como esta matriz no identifica la relacion con las variables originales se seguira indagando para indentificar las variables que mas contribuyes a las 3 primeras dimensiones que tengan el valor propio mas alto.
La Matriz de Correlaciones permite continuar con el proceso de las descripciones de las combinaciones lineales que conforman las dimensiones de mayor interés: Dimencion 1 a 3. Así mismo esta matriz como se describio en secciones pasadas, ayudara a verificar que la intencidad de correlaciones es relativamente aceptable y positiva entre las variables: edades y altura, lo cual muestra una relacion con el fenomeno que se esta estudiando, por lo tanto, se podira esperar que estas variables participen de manera significativa en la combinación Lineal que define a la dimencion 1 a 3.
La pestaña de Valores y Vectores Propios muestra estos elementos calculados a partir de la matriz de correlaciones del conjunto de datos. En este contexto, se asegura que la suma de los valores propios sea igual a la dimensión de dicha matriz y a la variabilidad total del conjunto, lo que permite calcular fácilmente las proporciones de retención de variabilidad. Además, la matriz de vectores propios define, para cada componente y en relación con cada variable del conjunto de datos, los coeficientes de la combinación lineal que la conforman, por ejemplo, ajustados a dos cifras decimales, la componente 1 estaria representada por la combinacion lineal (donde \(E\) es edades, \(N\) es numero_de_hijos, \(P\) es peso, \(A\) es altura y \(I\) ingresos_mensuales, y ademas son variables estandarizadas): de esta mismma forma se haran con los componenetes 1 a 3 quedando de la siguiente forma: \[Componente_1 = 0.093*E+0.003*N-0.698*P+-0.708*A-0.04*I\] \[Componente_2 = 0.72*E-0.439*N+0.103*P-0.037*A+0.519*I\] \[Componente_3 = 0.59*E+0.768*N+0.119*P-0.023*A-0.20*I\] Se escogen estas 3 porque en el ACP forman el \(76.15\) \(\%\) y juntas representan una versión más compacta y rica del conjunto original, y hasta este punto se puede observar que el numero de dimensiones resultantes es equivalente al numero de variables tratadas, sin contar las variables nuevas ya que estan son incorreladas entre si, ver la pestaña Correlaciones comparadas.
Por último, tanto el Gráfico de Cattell como el Gráfico de Cattell-Kaiser, que representan el codo y la sedimentación respectivamente, ayudan a decidir cuántas componentes retener en la reducción de dimensionalidad, asegurando que se conserve una cantidad suficiente de variabilidad para abordar el problema en cuestión. No obstante, es importante destacar que se sugiere tomar decisiones basadas en criterios más comunes en lugar de criterios de aceptación universal.
El Gráfico de Cattell revela que los cambios en la pendiente indican una alta capacidad explicativa de las dimensiones en comparación con las demás. Por otro lado, el Gráfico de Cattell-Kaiser, al combinar el gráfico anterior con el criterio de Kaiser en la misma visualización, respalda la idea de retener solo 2 dimensión y no 3 como se habia propuesto, enfatizando que esta elección debe conservar un porcentaje adecuado de variabilidad para el análisis del problema en cuestión.
Matriz ACP
get_eigenvalue(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 11, scale.unit = TRUE, graph = F))## eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
## Dim.1 1.7877666 35.755332 35.75533
## Dim.2 1.0229899 20.459798 56.21513
## Dim.3 0.9968282 19.936564 76.15169
## Dim.4 0.9892391 19.784782 95.93648
## Dim.5 0.2031762 4.063524 100.00000Matriz de correlaciones
round(cor(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)]),2)## edades numero_de_hijos peso altura ingresos_mensuales
## edades 1.00 -0.01 0.03 -0.13 0.01
## numero_de_hijos -0.01 1.00 0.01 -0.01 -0.01
## peso 0.03 0.01 1.00 0.78 0.03
## altura -0.13 -0.01 0.78 1.00 0.02
## ingresos_mensuales 0.01 -0.01 0.03 0.02 1.00Valores y vectores propios
princomp(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], cor = TRUE)$sdev^2## Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5
## 1.7877666 1.0229899 0.9968282 0.9892391 0.2031762princomp(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], cor = TRUE)$loadings[ ,1:5]## Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5
## edades 0.093957920 0.72429669 0.5938619 0.30444402 0.145630015
## numero_de_hijos 0.003617632 -0.43950280 0.7689037 -0.46398926 0.018036732
## peso -0.698445543 0.10321225 0.1198727 0.06843579 -0.694599259
## altura -0.708281954 -0.03792316 -0.0237954 0.01834392 0.704269684
## ingresos_mensuales -0.040857301 0.51975057 -0.2029274 -0.82885937 0.001629892Correlaciones comparadas
par(mfrow=c(1,2))
corrplot::corrplot(cor(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)]), method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
corrplot::corrplot(cor(princomp(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], cor = TRUE)$scores), method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
Gráfico de cattell
fviz_eig(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], scale.unit = T, graph = F), addlabels = T, ylim=c(0,90), main = "")
Gráfico de cattell-kaiser
scree(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)],factors = FALSE, pc = TRUE, main ="")
2.3. Calidad de representación
Después de reducir la dimensionalidad del conjunto de datos y proyectar las variables estandarizadas en la hiperesfera de correlaciones, es esencial iniciar la interpretación de los componentes teniendo en cuenta estas correlaciones. Esto nos permite entender cómo las variables originales se relacionan entre sí y cómo estas relaciones se reflejan en los componentes principales. Esta comprensión nos ayuda a inferir patrones y estructuras importantes en los datos. Además, es crucial evaluar la calidad de las representaciones de los componentes, asegurándonos de que conserven la información crucial del conjunto de datos original y sean útiles para el análisis subsiguiente, garantizando así una comprensión precisa y útil de la estructura de los datos.
Planteamiento del problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la fase 1 se requiere determinar la calidad de representación de las variables cuantitativas en relación con la cantidad de dimensiones calculadas que retienen la mayor cantidad de variabilidad. Para obtener más información al respecto, se recomienda consultar la sección 2.2 del documento.
Desarrollo del análisis
Explorar las pestañas revela, que reducir la dimensionalidad del conjunto de datos permite analizar las calidades de representación. Esto se evalúa en función de la escala de contribuciones relativas, basada en un cociente de proyecciones con propiedades aditivas y una respuesta en una escala continua de 0 a 1. Así, en particular:
El Círculo de correlaciones nos muestra de manera visual cómo se comportan las seis variables de interés. En este caso, cuatro de ellas están bastante próximas a las fronteras del círculo unitario y cerca de los dos ejes principales, dependiendo de la variable que se tome como referencia. Esto indica que estas variables tienen una buena representación en el plano de los componentes principales. Además, podemos observar tanto correlaciones positivas como negativas entre ellas. Un aspecto importante a destacar es la correlación existente entre las variables. Un ejemplo representativo es la relación entre edades y altura. Estas dos variables muestran cómo las correlaciones pueden variar significativamente, reflejando relaciones complejas que pueden ser positivas o negativas dependiendo de su posición relativa en el círculo.
La Matriz de Representación muestra algunos valores signicativamente cercanos a 0 y pocos cercanos a 1,los valores anteriormente mencionados son los cocientes de las proyecciones coseno cuadrado que estan relacionados con la dimensión 1. así de la misma manera la Calidad de Representación en cuanto se relaciona con la componente 1 esta encabezada edades y cierra con ingresos_mensuales cabe recalcar que en la dimension 2 se obtine una mejor representacion por parte del ingresos_mensuales, por lo tanto lo que nos dice esto es que la representacion relacionada con la primera dimension se ve afectada. Tambien es importante mencionar que la escala que muestra la Calidad de Representación indica su escala un piso alto de \(0.02\) y las variables mas representativas son edades y altura.
Por último, las Coordenadas Individuales permiten identificar, aunque de manera menos intuitiva, los perfiles de los registros individuales, en este caso los pacientes, en relación con las dimensiones más importantes que retienen la mayor parte de la variabilidad: las componentes 1 y 2. Estas coordenadas nos ayudan a entender cómo se distribuyen y agrupan los pacientes en el espacio definido por estas componentes principales. Por ejemplo, al analizar los registros 1, 4, 13 y 21, podemos observar que los registros anteriormente mencionados presentan perfiles similares. Esta observación se mantiene incluso cuando consideramos otras variables como la peor representada. Este análisis sugiere que las principales diferencias y similitudes entre estos registros se capturan de manera efectiva a través de las componentes 1 y 2.
Círculo de correlaciones
fviz_pca_var(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], scale.unit = T, graph = F),col.var="#3B83BD", repel = T, col.circle = "#CDCDCD", ggtheme = theme_bw())
Matriz de representacion
(get_pca_var(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F)))$cos2## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4
## edades 1.578257e-02 0.536666335 0.3515533430 0.0916887751
## numero_de_hijos 2.339697e-05 0.197603506 0.5893376371 0.2129693619
## peso 8.721193e-01 0.010897674 0.0143238891 0.0046330597
## altura 8.968569e-01 0.001471229 0.0005644253 0.0003328783
## ingresos_mensuales 2.984353e-03 0.276351160 0.0410489062 0.6796150416
## Dim.5
## edades 4.308981e-03
## numero_de_hijos 6.609803e-05
## peso 9.802604e-02
## altura 1.007745e-01
## ingresos_mensuales 5.397471e-07Calidad de representación
fviz_pca_var(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), col.var="cos2", gradient.cols=c("#00AFBB","#E7B800","#FC4E07"), repel = TRUE)
Coordenadas individuales
head((PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F))$ind$coord, n = 23L)## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## 1 -2.0638426 -0.8519709 2.0917934 -0.91356041 -0.07755659
## 2 2.1153160 -1.2657273 1.8767544 -0.91168003 -0.20266947
## 3 0.6082646 -1.3782003 1.7433304 -0.79829627 -0.47449559
## 4 -2.0637907 -0.8513106 2.0915355 -0.91250731 -0.07755452
## 5 2.1154272 -1.2643128 1.8762021 -0.90942428 -0.20266504
## 6 2.1156129 -1.2619505 1.8752798 -0.90565707 -0.20265763
## 7 -0.1138084 -1.2584961 1.8014243 -0.81003178 0.12288241
## 8 0.3309693 -1.9321065 1.2516564 -0.53561906 0.17551764
## 9 -1.9305624 -0.5464828 2.3377576 -1.02639420 -0.18977479
## 10 -1.4366678 -2.9344446 0.3625104 -0.03319008 0.37626773
## 11 1.6714061 -1.1119521 1.9658291 -0.93486200 0.25445562
## 12 -1.8613104 -2.5811891 0.6558489 -0.15237972 -0.53995893
## 13 -2.0976341 -0.7568934 2.1497033 -0.91600132 -0.17347158
## 14 2.1170467 -1.2437114 1.8681587 -0.87657078 -0.20260043
## 15 0.3320344 -1.9185572 1.2463663 -0.51401171 0.17556013
## 16 0.3322772 -1.9154687 1.2451605 -0.50908646 0.17556982
## 17 0.7885143 -1.9286119 1.2649825 -0.51169771 -0.83101931
## 18 -0.1632812 -1.9041030 1.2301423 -0.49137031 0.53760578
## 19 -1.8602605 -2.5678332 0.6506343 -0.13108061 -0.53991705
## 20 0.7886205 -1.9272610 1.2644551 -0.50954346 -0.83101508
## 21 -2.0218896 -1.1981171 1.7592279 -0.70337628 0.26658544
## 22 1.0625115 -1.3194859 1.7394246 -0.78422816 0.85191791
## 23 1.6733625 -1.0870649 1.9561123 -0.89517377 0.254533672.4. Contribuciones
La interpretación de los resultados en el análisis de componentes principales (ACP) se ve enriquecida por el cálculo de diversas métricas, tales como coordenadas, contribuciones y cosenos cuadrados. Estos indicadores son fundamentales para comprender la relación entre las variables originales y los componentes principales generados. Es crucial que las variables estén claramente conceptualizadas, contextualizadas en el marco del problema de estudio, para poder interpretar con precisión sus contribuciones a los componentes.
El cálculo de las contribuciones de cada variable a cada componente permite entender el grado de influencia de cada una en la formación de los componentes principales. Este análisis facilita la identificación de aquellas variables que más contribuyen a la estructura de cada componente y, por ende, a la variabilidad general de los datos. Además, proporciona insights sobre las relaciones subyacentes entre las variables y cómo estas se reflejan en los componentes.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la fase 1 se requiere determinar las contribuciones que cada variable realiza en la construcción de cada componente. Este análisis permitirá comprender el papel de cada variable en la estructura subyacente de los datos y su impacto en la formación de los componentes principales. Mediante el cálculo de estas contribuciones, será posible identificar qué variables tienen una influencia más significativa en cada componente, lo que facilitará la interpretación de los resultados del análisis de componentes principales y proporcionará información valiosa para el estudio del problema en cuestión.
Desarrollo del Análisis
Con base a través de las pestañas de navegacion nos permite reconocer las representaciones numericas y graficas de las contribuciones de cada variable del conjunto de datos de manera porcentual a la construcion de cada componente. Entonces en particular llegamos a encontrar lo siguiente:
La Matriz de contribuciones nos muestra en terminos numericos la retencion de la variabilidad que tiene cada variable en su respectiva componente, de la misma se haran diagramas de barras que nos expliquen de manera visual las Contribuciones a D1 hasta Contribuciones a D5 y esta misma se hara a través de la naevagacion de pestañas. Tambien de manera complementaria cada grafico tendra su propia linea que nos ayudara a identificar la contribucion media, esto nos ayudara a identificar las variables que contribuyan de mejor manera a sus repectivas dimenciones.
En Contribuciones a D1 se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: peso y altura que retiene aproximadamente el \(98.9\) \(%\) de la variabilidad de la componente 1.
En Contribuciones a D2 se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: edades y ingresos_mensuales que retiene aproximadamente el \(79.5\) \(%\) de la variabilidad de la componente 2.
En Contribuciones a D3 se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: edades y numero_de_hijos que retiene aproximadamente el \(94.5\) \(%\) de la variabilidad de la componente 3.
En Contribuciones a D4 se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: numero_de_hijos y ingresos_mensuales que retiene aproximadamente el \(90.2\) \(%\) de la variabilidad de la componente 4.
Por ultimo tenenemos la pestaña Contribuciones a D5 se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: altura y peso que retiene aproximadamente el \(98\) \(%\) de la variabilidad de la componente 6.
Con los datos procesados hasta este momento podemos seguir con el siguiente paso que seria la interpretacion de cada componenete.
Matriz de contribuciones
(get_pca_var(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F)))$contrib## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## edades 0.882809081 52.4605700 35.26719476 9.26861601 2.120810e+00
## numero_de_hijos 0.001308726 19.3162714 59.12128456 21.52860297 3.253237e-02
## peso 48.782617698 1.0652768 1.43694662 0.46834578 4.824681e+01
## altura 50.166332593 0.1438166 0.05662212 0.03364993 4.959958e+01
## ingresos_mensuales 0.166931902 27.0140652 4.11795194 68.70078530 2.656547e-04Contribuciones a D1
fviz_contrib(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 1, top = 10)
Contribuciones a D2
fviz_contrib(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 2, top = 10)
Contribuciones a D3
fviz_contrib(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 3, top = 10)
Contribuciones a D4
fviz_contrib(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 4, top = 10)
Contribuciones a D5
fviz_contrib(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 5, top = 10)
2.5 Interpretacion de componentes
Se sabe que a partir de las coordenadas de los registros dimensionalmente reducidos, es posible ubicarlos en un plano de factores para análisis e interpretación. En este proceso, las variables reducidas actúan como las componentes principales, que se representan como ejes en el plano, mientras que los valores que toman son los puntajes de las componentes. Como se explica en el mismo trabajo, las distancias entre los puntos definidos por los puntajes de las componentes tienen un significado relevante al ayudar a establecer semejanzas de perfiles en las observaciones realizadas.
Es importante destacar que los valores semejantes de las variables pueden darse solo en algunas de ellas, sin que sea necesario que suceda en todas. Sin embargo, se espera que las distancias en el espacio dimensional original de las observaciones queden bien representadas en el espacio reducido de las componentes. Este proceso de reducción dimensional conserva la estructura subyacente de las relaciones entre las observaciones, lo que permite una representación más compacta y comprensible de los datos mientras se mantienen las distancias relevantes para la interpretación de semejanzas y diferencias entre observaciones.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la fase 1 se requiere definir e interpretar sus componentes principales. La definición de cada componente principal implica comprender cómo se combinan linealmente las variables originales para formarlos, así como su contribución relativa a la variabilidad total de los datos. Por otro lado, la interpretación de los componentes implica analizar qué aspectos o patrones de los datos representan, y cómo se relacionan con el problema o fenómeno estudiado.
Desarrollo del análisis
La navegación a través de las pestañas permite visualizar objetos gráficos y matriciales que, al incluir lo hecho en las secciones anteriores, ayudan a robustecer la interpretación de las componentes calculadas. Como se mostró en la sección 2.3, la cantidad de componentes seleccionadas se redujo (según el criterio de Kaiser) a dos, y se estableció que la componente 1 y 2 retiene el \(56.3\) \(%\) de la variabilidad de los datos. Así, en el círculo de correlaciones se observa que la representación de las variables conjugadas en la componente 1 y 2 la configura como una de tipo tamaño, lo que puede interpretarse como una especie de índice de proporcionalidad directa. Esto también se respalda con el hecho de que todas las variables presentan calidades de representación entre 0.2 y 0.8. En consecuencia, cuanto mayor sea el valor de las variables, mayor será la probabilidad de que el paciente se le diagnostique insuficiencia cardiaca. Así, dada la naturaleza de las variables, estas componentes puede representar para un paciente la probabilidad de estar en algun servicio de salud. Al respecto:
Las pestañas de Biplot Variables y Registros Totales en G (genero_del_paciente), A (asistencia_privada_publica), U (uso_sustancias_psicoativas), R (residencia_cerca_al_centro) y R (estrato_socieconomico), se muestran con base en las agrupaciones que estas variables categoricas cualitativas se prestan para establecer la representacion en una dimencionalidad reducida en el plano de factores de registros y dimenciones con base en los puntajes por componentes. En este sentido, es posible apreciar que las agrupaciones con base en estrato_socieconomico capturan diferencias acentuadas en la distribucion de las observaciones, contrario al resto de agrupaciones anteriormente mensionadas ya que en general se muestran bastante dispersas en cuanto a las categorias de las variables.
Por ultimo, para mostar de manera mas facil la ubicacion en el plano de componentes (en particular, siempre esta conformado por las dos componentes por el interes que sucitan) y, asi mismo, las semejanzas de perfiles de correlacion entre cada variable, se dispone de las pestañas de Coordenadas Individuales [Subconjunto E] y Biplot de Variables y Registros [Subconjunto E]. Estas muestran, con base en un subconjunto de 61 registros muestreados de manera aleatoria simple, los puntajes por componente y el biplot de ese subconjunto, con base en la agrupacion provista por la variable categorica estrato_socieconomico, sin perder una cantidad significativa de detalles. Esto, se insiste con el fin de visualizar los datos de mejor manera ya que el conjunto original posee mas de 4999 registros y genera una dificualdad en la identificacion visual.
Biplot de variables y registros [total G -> genero_del_paciente]
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,5,6,7,8)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$genero_del_paciente)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 6), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 6)
Biplot de variables y registros [total A -> asistencia_privada_publica]
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,6,7,8)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$asistencia_privada_publica)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 6), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 6)
Biplot de variables y registros [total U -> uso_sustancias_psicoativas]
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,7,8)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$uso_sustancias_psicoativas)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 6), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 6)
Biplot de variables y registros [total R -> residencia_cerca_al_centro]
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,8)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$residencia_cerca_al_centro)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 6), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 6)
Biplot de variables y registros [total E -> estrato_socieconomico]
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,7)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$estrato_socioeconomico)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 6), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 6)
Coordenadas Individuales [Subconjunto E -> estrato_socieconomico]]
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset_bi[sample(1:nrow(clinic_dataset),61),-c(1,4,5,6,7)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),61),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$estrato_socioeconomico)
head(PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = T, graph = F, quali.sup = 5)$ind$coord, n = 61L)## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## 1 0.89371823 -0.092312716 2.12048557 0.38512988 0.23872423
## 2 0.35712797 0.256569353 -0.77398313 0.75140954 0.06110238
## 3 0.95835626 -1.568146472 1.49340984 -0.02506351 0.28107580
## 4 1.12512031 1.671844475 0.60721050 -0.04816055 0.43615393
## 5 -2.91036339 0.637071033 0.71739785 -0.13502767 -0.07307819
## 6 0.05311589 -0.024596851 -0.02905835 1.49340510 -0.25118379
## 7 1.60976990 1.058029079 0.55633617 0.73348866 0.20729087
## 8 1.56323296 1.947916750 0.05861800 0.48133026 -0.23734586
## 9 -1.98988359 -0.002560068 -0.82641614 -0.52840936 -0.19987319
## 10 -2.47835363 0.006221792 1.24871227 -0.08653552 -0.20995637
## 11 1.36744511 1.364936777 0.58177333 0.34266405 0.32172240
## 12 0.70002028 0.271827430 0.27307552 0.43562909 -0.56495309
## 13 0.44168078 0.499755421 0.70456689 -0.72563728 -0.20302513
## 14 0.82576286 -0.436225751 -0.41880325 0.76261700 0.07973575
## 15 -2.63459749 0.049841232 0.08326673 0.10172953 0.24424831
## 16 -1.49561468 -1.479998482 -1.12469274 -0.45090572 -0.44202505
## 17 -2.08066306 -0.727385333 0.54054342 1.37034347 -0.64060252
## 18 0.61927541 -2.151558479 0.79369777 -0.23122779 0.57916283
## 19 0.71603499 0.350807137 -0.13297869 1.20607085 -0.81244952
## 20 -0.56796421 -2.001965672 -0.16693069 0.27565477 -0.39146952
## 21 2.48448803 0.483346836 1.17503198 -0.26669658 0.04741731
## 22 2.04257843 -0.864350700 1.38791361 0.09391607 1.11928228
## 23 0.64837113 -0.402761205 -1.50559988 0.62479851 -0.61478240
## 24 -0.83848131 1.870087551 -1.05285153 -0.43227174 0.38576361
## 25 0.71603499 0.350807137 -0.13297869 1.20607085 -0.81244952
## 26 -0.01094293 -0.340515679 1.59515849 -1.58836194 0.73880193
## 27 -2.23602884 -0.300685907 1.22327511 0.30428909 -0.32438790
## 28 0.70002028 0.271827430 0.27307552 0.43562909 -0.56495309
## 29 0.21537069 0.885642827 0.32394984 -0.34602013 -0.33609003
## 30 2.52732056 -1.249067337 0.15398198 -1.22736132 -1.06073283
## 31 1.50469314 -1.593887966 0.72304790 -0.37623445 0.47893044
## 32 -0.68987320 0.817146537 0.45330735 -0.44951049 0.33960723
## 33 0.63676630 1.443133370 -0.86068335 -2.04263291 -0.88776987
## 34 -0.43153370 0.589218546 0.02181597 0.71175588 -0.02232073
## 35 -0.32092806 0.824869587 -1.40385122 -0.93849992 -0.15705628
## 36 0.59945277 -0.050338346 -0.79942030 1.14223415 -0.05332915
## 37 0.14770683 0.132074484 -1.04867134 -0.92729247 -0.13842291
## 38 1.00869727 -0.294990349 -1.87178125 0.96566788 1.10480490
## 39 1.55361150 -1.946310826 0.01686832 -0.89367009 -0.08252281
## 40 2.52732056 -1.249067337 0.15398198 -1.22736132 -1.06073283
## 41 -0.28587634 1.600185189 1.43556296 -0.02810965 0.31588903
## 42 0.39003163 -0.174833214 -1.07410850 -0.53646786 -0.25285444
## 43 0.89501327 0.986106619 -0.10911743 1.22156007 0.70145422
## 44 -2.44889917 -0.173387982 -1.42899830 -1.24376239 -0.23179536
## 45 0.58343806 -0.129318053 -0.39336609 0.37179239 0.19416728
## 46 0.94234508 -0.035080268 0.24763836 0.82645370 -0.67938462
## 47 -2.28611493 0.160081209 0.74162931 0.70454883 -0.19214305
## 48 -2.63459749 0.049841232 0.08326673 0.10172953 0.24424831
## 49 0.50803297 0.239845341 -1.41485271 -0.58642310 1.58116439
## 50 -2.82365216 0.114358055 1.02290912 -0.57257211 -0.04981149
## 51 -1.02895405 0.233734529 -0.24640473 -0.65567477 0.63769426
## 52 0.64837113 -0.402761205 -1.50559988 0.62479851 -0.61478240
## 53 0.35712797 0.256569353 -0.77398313 0.75140954 0.06110238
## 54 0.03373659 -2.483209244 -1.95242739 -0.21062775 0.90949338
## 55 -0.83848131 1.870087551 -1.05285153 -0.43227174 0.38576361
## 56 -2.05980484 -0.225806196 1.12224636 0.32493168 -0.05907815
## 57 0.47867104 0.648553873 0.07980056 -1.53212283 -0.34814868
## 58 -0.89622497 -1.997283808 2.21322318 -0.03227056 0.11125348
## 59 -1.00762709 -1.267764264 -1.95077429 0.40793682 0.34784470
## 60 1.30489346 2.175844741 0.49010937 -0.67993611 0.12458210
## 61 0.31070581 -0.452012763 -0.66570332 0.29812480 0.29102941Biplot de Variables y Registros [Subconjunto E]
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),61),-c(1,4,5,6,7)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),61),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$estrato_socioeconomico)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 6), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 6)
Fase 3 [Correspondencias]
3.1. Objetivos
En términos generales, esta tercera etapa de estudio mostrará cálculos, visualizaciones e interpretaciones con base en el conjunto de datos tratado en la fase 1 y 2, pero ahora desde un enfoque de análisis de correspondencias simples y múltiples sobre las variables cuanlitativas, que incluirá: construcción de tablas de contingencias y disyuntivas completas, calidades de representación, contribuciones e interpretaciones.
Recuérdese que el conjunto de datos de trabajo es descrito en la sección 2 y los referentes teóricos en la sección 1.
3.2. Correspondencias Simples
Se sabe que el análisis de correspondencias simples (ACS) busca representar en un espacio multidimensional reducido la relación que existe entre las categorías de un par de variables categóricas. En este sentido, el ACS muestra las distancia entre los niveles de dos variables categóricas y, en consecuencia, ayuda a visualizar tablas de contingencia. Además, se establece que el número máximo de dimensiones que explican la asociación entre variables fila y columna es igual a uno menos el menor número de categorías de alguna de las variables involucradas. En consecuencia, el análisis de correspondencias permite describir la proximidad existente entre los perfiles de los objetos observados. Además, el ACS, que basa sus cálculos en tablas de contingencia, puede extenderse a más de dos variables categóricas, conociéndose como análisis de correspondencias Múltiples (ACM), con base en un objeto llamado tabla disyuntiva completa.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cualitativas del conjunto de datos descrito en la sección 2 se demanda desarrollar el análisis de correspondencias, en principio simple, apoyado en tablas de contingencia y de frecuencias relativas y gráficos de perfiles y de puntos superpuestos en el primer plano factorial.
Desarrollo del Análisis
Con base en la navegacion en pestañas esta nos permitira visualizar objetos matriciales y graficos que nos ayudaran a darle peso a la interpretacion del análisis de correspondecias simples o binarias entre cada par de variables categoricas que mostraron mayor relevancia en el biplot de la seccion 2.5 del conjunto de datos: genero_del_paciente, uso_sustancias_psiciactivas y estrato_socioeconomico. Por ser una baja cantidad de variables se trabajara con las parejas combinadas sin repeticion de estas tres variables.
La pestaña AC Parejas Totales agrupa los calculos para totas las combinaciones de parejas variables. En particular en Contingencias para darnos un ejemplo haremos una lectura de las tablas de contigencia: La tabla de contingencia genero_del_paciente vs. asistencia_privada_publica se encontro que 39 personas de un total de 416 del sexo femenino estan en una privada; ademas, de los 4583 personas que se encuentran en una institucion publica 492 son del sexo femenino y 4091 del sexo masculino, de un total de 4999 registros. En la tabla de contingencia genero_del_paciente vs. estrato_socioeconomico se encontro que de un total de 4468 pasientes del sexo masculino, 1544 se encuentran en estrato 4. ademas, de los 4999 registros, 366 estan en estraro uno y 213 en estrato seis. En la tabla de contingencia asistencia_privada_publica vs. estrato_socioeconomico se encontro que de los 1742 que estan en un estrato economico 4 1601 asiste a una entidad publica y 141 a una entidad publica; ademas, de los 4999 registros 4468 esta en una entidad publica y 531 en una privada.
Si tomamos como base las tablas de contingencia antes mencionadas, se presenta a traves de una subpestañas la Probabilidades las proporciones relativas en terminos de los pares de variables que se examinaron con anterioridad. En concordancia con esto, a nivel de ejemplo se presenta algunas lecturas de los resultados: en la tabla de probabilidades genero_del_paciente vs. asistencia_privada_publica el \(89.38\) \(%\) aproximadamente del sexo masculino el \(81.84\) \(%\) aproximadamente son de una entidad publica; ademas, encontramos que el \(10.62\) \(%\) aproximadamente son personas del sexo femenino en el conjunto de datos, en la tabla de probabiidades genero_del_paciente vs. estrato_socioeconomico se encontro que de un \(89.38\) \(%\) aproximadamente de registros del sexo masculino el \(21.20\) \(%\) son de extrato 5; ademas, el \(34.84\) \(%\) de los registros son de estrato 4, la tabla de probabilidades asistencia_privada_publica vs. estrato_socioeconomico se encontro que el \(91.67\) \(%\) de los esta en una institucion publica a ello \(32.02\) \(%\) son de estrato 4.
De la misma forma que ocurrio con las tablas de probabilidades, en la subpestaña Frecuencias [CPF y CPC] las frecuencias condicionadas por filas y columnas de manera respectiva, se calcularon con base en las tablas de contingencia Siguiendo con esto mismo se hara una lectora como ejemplo de los resultados: segun la matriz de frecuencias CPF de genero_del_paciente vs. asistencia_privada_publica el \(92.66\) \(%\) de las personas de sexo femenino estan en una entidad publica mientras que el \(7.34\) \(%\) si la esta, en el caso de las personas de sexo masculino el \(91.56\) \(%\) esta en una publica y el \(8.44\) \(%\) no lo esta; por otro lado en la CPC tenemos que en una institucion privada \(90.62\) \(%\) de son de genero masculino; por otro lado el \(89.26\) \(%\) de los registros del sexo masculino pero ahora en una institucion publica lo que denota la gran presencia de este genero en las dos clasificaciones, ahora continuando con este analisis de la misma forma para el resto de parejas nos da a enterder de mejor manera como se agrupan los datos segun con que clasificacion se les este mirando.
Con base en las matrices de frecuencia se entienden los perfiles condicionados por filas y columnas que se muestran en la subpestaña Perfiles [CPF y CPC]. Los graficos de perfiles se muestran en el mismo orden de lo anteriormente mensionado. Sin embargo, en los graficos de perfiles se pueden cotejar las proporciones contra un individuo promedio o un perfil promedio el cual se va a etiquetar como marg. Con esto dicho, los perfiles fila y columna que corresponden a las variables genero_del_paciente y asistencia_privada_publica muestran ua distribucion marginal un bastante cercanas entre si; es decir, si son calculadas las proporciones totales seran un poco distintas entre si, por ejemplo: (Perfiles Fila) la proporcion de personas de sexo masculino y femenino que estan en una institucion privada son \(8.44\) \(%\) y \(7.34\) \(%\) respectivamente; ademas, (perfiles columna) la proporcion de pasientes de sexo masculino que estan en un esntidad privada y publica son \(90.62\) \(%\) y \(89.26\) \(%\) respectivamente. Y de la misma forma para cada pareja se presenta en general el mismo caso en que tienden al perfil promedio y esto se aprecia mejor en las graficas que este apartado nos proporciona.
Con base en las descripciones hechas es posible anticipar que los pares de variables categoricas genero_del_paciente vs. estrato_socioeconomico y asistencia_privada_publica vs. estrato_socioeconomico sean independientes. Este conclucion se apoya en los resultados de la prueba de hipótesis visualizada a través de la subpestaña con ese mismo nombre. Para estas prubebas a un nivel de significancia \(\alpha = 0.05\), las hipótesis formuladas fueron:\[H_0: \text {Las variables categóricas son independientes}\] \[H_1: \text {las variables categóricas son dependientes}\] De la misma forma, el par de variables que tuvo a favor de a dependencia fueron genero_del_paciente y estrato_socioeconomico, en esta prueba \(p-valor\) resultó menor o igual que el nivel de significancia y, comparativamente, el valor del estadístico \(\chi^2\) fue grande. Por lo tanto, el par de variables que continuaron en análisis fueron estas últimas.
A través de la pestaña AC Pareja Única se despliegan las subpestañas relacionadas con el análisis de correspondencias entre las variables seleccionadas. En la sección de Contingencias y Residuales [G-E] (donde G representa genero_del_paciente y E estrato_socioeconomico) se pueden visualizar las tablas de contingencia, valores esperados y residuales de la pareja de variables en curso. En las dos primeras tablas, se observa que el recuento observado y el recuento esperado bajo la hipótesis nula son significativamente diferentes, lo que refuerza la dependencia entre las variables. El rango_observado representa los recuentos asociados con cada categoría de datos, mientras que el rango_esperado indica los recuentos esperados bajo la hipótesis nula. Además, el análisis de residuales de Pearson y estandarizados muestra que las mayores desviaciones respecto a los valores esperados ocurren entre las las clasificaciones de estrato. En la subpestaña Contribuciones [G-E], se puede apreciar que el valor de aquellos que sexo masculino es mas bajo en comparacion con los del sexo femenino; sin embargo, los valores no están muy alejados en general, lo que indica que ambos grupos aportan una contribución significativa al comportamiento del conjunto de datos.
Por ultimo, el resultado que sera definitivo del analisis de correspondencias simples se muestra en la subpestaña Correspondecias Simples Unidimencionales [G-E]. En este apartado se establece qeu solo una dimension absorbe toda la variabilidad de la pareja, por lo que la representacion bidimensional en le plano de factores es imposible de realizar. Sin embargo, es posible hacer una interpretacion unidimensional de los resultados obtenidos. Al ser requeridas las variables de soporte del AC, primero por columnas y luego por filas, las coordenadas proyectadas de la variable estrato_socioeconomico en relacion con las categoria cinco, dos y seis se presenta en el lado positivo del eje, mientras tanto la categoria uno, tres y cuatro se encuentra en lado negativo del eje, Asi mismo presentando una mayor contribucion la categoria dos, ademas, es determinante que la calidad de representacion alcanza el maximo con cada una de las variables. Un comportamiento semenjante a lo mensionado de manera anterior se puede apreciar con la variable fila genero_del_paciente su calidad de representacion es maxima, las coordenadas de sus categorias se interponen en el eje unidimensional y sus contribuciones son bastante equilibradas. De lo mencionado se puede interpretar que presenta asociacion relevante, positiva y negativa entre filas y columnas, las cotegorias (de las respectivas variables).
AC Parejas Totales
Contingencias
addmargins(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica))##
## privada publica Sum
## femenino 39 492 531
## masculino 377 4091 4468
## Sum 416 4583 4999addmargins(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))##
## cinco cuatro dos seis tres uno Sum
## femenino 113 198 57 21 95 47 531
## masculino 1060 1544 649 192 704 319 4468
## Sum 1173 1742 706 213 799 366 4999addmargins(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))##
## cinco cuatro dos seis tres uno Sum
## privada 98 141 51 21 71 34 416
## publica 1075 1601 655 192 728 332 4583
## Sum 1173 1742 706 213 799 366 4999Probabilidades
addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica)) * 100)##
## privada publica Sum
## femenino 0.780156 9.841968 10.622124
## masculino 7.541508 81.836367 89.377876
## Sum 8.321664 91.678336 100.000000addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico)) * 100)##
## cinco cuatro dos seis tres uno
## femenino 2.260452 3.960792 1.140228 0.420084 1.900380 0.940188
## masculino 21.204241 30.886177 12.982597 3.840768 14.082817 6.381276
## Sum 23.464693 34.846969 14.122825 4.260852 15.983197 7.321464
##
## Sum
## femenino 10.622124
## masculino 89.377876
## Sum 100.000000addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico)) * 100)##
## cinco cuatro dos seis tres uno
## privada 1.960392 2.820564 1.020204 0.420084 1.420284 0.680136
## publica 21.504301 32.026405 13.102621 3.840768 14.562913 6.641328
## Sum 23.464693 34.846969 14.122825 4.260852 15.983197 7.321464
##
## Sum
## privada 8.321664
## publica 91.678336
## Sum 100.000000Frecuencias [CPF y CPC]
round(addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica), 1)*100, 2), 2)##
## privada publica Sum
## femenino 7.34 92.66 100.00
## masculino 8.44 91.56 100.00round(addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica), 2)*100, 1), 2)##
## privada publica
## femenino 9.38 10.74
## masculino 90.62 89.26
## Sum 100.00 100.00round(addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), 1)*100, 2), 2)##
## cinco cuatro dos seis tres uno Sum
## femenino 21.28 37.29 10.73 3.95 17.89 8.85 100.00
## masculino 23.72 34.56 14.53 4.30 15.76 7.14 100.00round(addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), 2)*100, 1), 2)##
## cinco cuatro dos seis tres uno
## femenino 9.63 11.37 8.07 9.86 11.89 12.84
## masculino 90.37 88.63 91.93 90.14 88.11 87.16
## Sum 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00round(addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), 1)*100, 2), 2)##
## cinco cuatro dos seis tres uno Sum
## privada 23.56 33.89 12.26 5.05 17.07 8.17 100.00
## publica 23.46 34.93 14.29 4.19 15.88 7.24 100.00round(addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), 2)*100, 1), 2)##
## cinco cuatro dos seis tres uno
## privada 8.35 8.09 7.22 9.86 8.89 9.29
## publica 91.65 91.91 92.78 90.14 91.11 90.71
## Sum 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00perfiles [CPF y CPC]
plotct(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica),"row")
plotct(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica),"col")
plotct(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico),"row")
plotct(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico),"col")
plotct(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico),"row")
plotct(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico),"col")
prueba de hipotesis
chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica))##
## Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
##
## data: table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica)
## X-squared = 0.60699, df = 1, p-value = 0.4359chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico)
## X-squared = 10.436, df = 5, p-value = 0.06379chisq.test(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico)
## X-squared = 2.6784, df = 5, p-value = 0.7494AC Pareja Única
Contingencias y Residuales [G-E]
chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))$observed##
## cinco cuatro dos seis tres uno
## femenino 113 198 57 21 95 47
## masculino 1060 1544 649 192 704 319chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))$expected ##
## cinco cuatro dos seis tres uno
## femenino 124.5975 185.0374 74.9922 22.62513 84.87077 38.87698
## masculino 1048.4025 1556.9626 631.0078 190.37487 714.12923 327.12302chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))$residuals##
## cinco cuatro dos seis tres uno
## femenino -1.0389877 0.9529324 -2.0776682 -0.3416578 1.0995049 1.3027814
## masculino 0.3581798 -0.3285132 0.7162537 0.1177828 -0.3790425 -0.4491198chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))$stdres##
## cinco cuatro dos seis tres uno
## femenino -1.2562165 1.2487623 -2.3714955 -0.3693444 1.2688173 1.4314195
## masculino 1.2562165 -1.2487623 2.3714955 0.3693444 -1.2688173 -1.4314195Contribuciones [G-E]
chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))$residuals^2/chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))$statistic*100##
## cinco cuatro dos seis tres uno
## femenino 10.3443064 8.7017130 41.3649906 1.1185699 11.5844360 16.2638597
## masculino 1.2293703 1.0341561 4.9160273 0.1329366 1.3767537 1.9328804Correspondencia Simple Unidimensional [G-E]
CA(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), graph = FALSE)$eig## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## dim 1 0.002087547 100 100CA(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), graph = FALSE)$col## $coord
## [,1]
## cinco 0.03208828
## cuatro -0.02415033
## dos 0.08271015
## seis 0.02476204
## tres -0.04114421
## uno -0.07203043
##
## $contrib
## [,1]
## cinco 11.573677
## cuatro 9.735869
## dos 46.281018
## seis 1.251506
## tres 12.961190
## uno 18.196740
##
## $cos2
## [,1]
## cinco 1
## cuatro 1
## dos 1
## seis 1
## tres 1
## uno 1
##
## $inertia
## [1] 2.416060e-04 2.032409e-04 9.661381e-04 2.612579e-05 2.705710e-04
## [6] 3.798655e-04CA(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), graph = FALSE)$row## $coord
## femenino masculino
## -0.13253405 0.01575103
##
## $contrib
## femenino masculino
## 89.37788 10.62212
##
## $cos2
## femenino masculino
## 1 1
##
## $inertia
## [1] 0.0018658054 0.00022174193.3. Correspondecias Múltiples
Recuperando de nuevo el trabajo de ( Díaz Morales & Morales Rivera, 2012 ) se dice que el ACS se puede extender desde tablas de contingencia hacia tablas disyuntivas completas. En estas las filas son los objetos a los cuales se les registran características de interés a través de las columnas que compilan las modalidades de las variables categóricas estudiadas de ellos. Así, el análisis de correspondencias múltiples (ACM) es el AC aplicado a una tabla disyuntiva completa. Por lo tanto, en el ACM una variable categórica asigna a cada objeto de una población una modalidad a través de la cual los particiona exclusiva y exhaustivamente.
Esta sección es desarrollada como alternativa de completitud del análisis de correspondencias simples que en la sección 11 fue inapreciable debido a la unidimensionalidad de la representación de los datos a nivel de proyección de las variables categóricas que cumplieron la hipótesis de dependencia. Por lo tanto, del tratamiento conjunto de todas las variables categóricas se espera obtener una representación en el primer plano factorial.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cualitativas del conjunto de datos descritos en la sección 2 se exige desarrollar el análisis de correspondencias Múltiples para lograr una representación gráfica en el primer plano factorial, debido a la imposibilidad de lograrlo en el análisis de correspondencias simple.
Desarrollo del Análisis
Con base en la navegacion a través de pestañas se permitira visualizar objetos matriciales y graficos que ayuden a desarrollar e interpretar los resultados del análisis de correspondecias múltiples (ACM) entre las variables categoricas del conjunto de datos.
La pestaña ACM muestra la multidimencionalidad que se esperaba,comparada con la unidimensional del ACS de la fase 3 al trabajar de manera conjunta con las 5 variables categoricas del conjunto de datos: genero_del_paciente, asistencia_privada_publica, uso_sustancias_psicoativas, residencia_cerca_al_centro y estrato_socioeconomico. Muestran ademas que las dimensiones del plan principal explican el \(25.02\) \(%\) del conjunto (sera este plano que se continuara con las interpretaciones del ACM). Ademas, la evidente baja de concentracion de absorcion de varianza por parte de algunas dimensiones se vera reflejado en las distacias de los perfiles de las variables categoricas.
En la pestaña Biplot ACM se mostraran las semenjazas de los perfiles de los pacientes de manera grafica por este motivo a partir de este se creo el Biplot ACM [Reducido] que facilitara la comprension de los resultados, en concordancia con esto los puntos azules sobrepuestos indican coordenadas de convergencia y las asociaciones entre algunas categorias de las variables y conjuntos de pasientes. Cabe reclacar que las sememjanzas entre categorias de variables estan representadas por sus coordenadas respecto a los semiejes dimensionales, mas que por la proximidad de estos entre si, esto concuerda con los resultados obtenidos en la fase 3. Por ejemplo, en semejanza a nivel de las categorias de las variables destacan los grupos: observaciones numeradas en el lado derecho del gráfico, cercanas a modalidades como privada y dos, sugieren que estas observaciones tienen características relacionadas con estas modalidades. Por otro lado, observaciones numeradas en el lado izquierdo del gráfico, cercanas a modalidades como recidencia_cerca_centro_si y publica, indican una asociación con estas condiciones. En general se pueden visualizar facilmente las asociaciones entre las categorias de las variables y los grupos de pacientes afines a estas.
Seguidamente, la pestaña Calidad de Representacion muestra que las categorias de la variable residencia_cerca_al_centro fueron las mejores representadas, en posicion a las categorias desendentes de la variable genero_del_paciente. El resto quedo en un rango en un rango bajo-alto de calidad de representacion. Como la calidad de representacion en subespacios de dimensiones reducidas se mide en porcentajes de inercia con repecto al total del acercania de un punto repecto al origen del plano factorial indica una baja representacion en el, de manera complementaria la matriz de calidad de representaciones evidencia numerica de las contribuciones de cada dimension tomando como ejemplo la 3 teniendo la contribucion mas alta.
Tambien de manera complementaria, la pestaña Contribuciones muestra que para las dimenciones del primer plano factorial, y en concordancia con lo antes mencionado la categoria de la variable residencia_cerca_al_centro: si y no quedan por encima de la linea media de la primera dimension, pero de manera particular, la categoria de genero_del_paciente: femenino se encuentra mas arriba de la linea media en las dos primeras dimenciones, cosa que no ocurre con las otras dimenciones, En ese sentido en la pestaña Biplot con contribuciones se visualiza una representacion en el primer plano factorial semejante a la obtenida en la pestaña Calidad de Representaciones.
ACM
round(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE)$eig,2)## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## dim 1 0.23 12.73 12.73
## dim 2 0.22 12.29 25.02
## dim 3 0.21 11.88 36.90
## dim 4 0.20 11.16 48.06
## dim 5 0.20 11.11 59.17
## dim 6 0.20 10.98 70.15
## dim 7 0.19 10.39 80.54
## dim 8 0.18 9.92 90.45
## dim 9 0.17 9.55 100.00ACM biplot
fviz_mca_biplot(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), repel = TRUE)
Biplot ACM [Reducido]
set.seed(780728)
fviz_mca_biplot(MCA(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),150), -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), repel = TRUE)
calidad de representacion
fviz_mca_var(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), col.var ="cos2", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE)$var$cos2## Dim 1 Dim 2 Dim 3 Dim 4
## femenino 1.895486e-01 0.04191550 3.629306e-02 0.1373895774
## masculino 1.895486e-01 0.04191550 3.629306e-02 0.1373895774
## privada 9.099533e-07 0.25615328 2.181552e-01 0.0212951248
## publica 9.099533e-07 0.25615328 2.181552e-01 0.0212951248
## uso_sustancias_psicoativas_no 3.885306e-03 0.21316405 3.260785e-01 0.0278191168
## uso_sustancias_psicoativas_si 3.885306e-03 0.21316405 3.260785e-01 0.0278191168
## residencia_cerca_al_centro_no 4.252069e-01 0.04663518 3.120796e-03 0.0253854289
## residencia_cerca_al_centro_si 4.252069e-01 0.04663518 3.120796e-03 0.0253854289
## cinco 2.668582e-01 0.01880499 5.004773e-02 0.0117429013
## cuatro 1.520394e-01 0.30828594 1.792241e-03 0.0000668978
## dos 1.359348e-01 0.24904806 4.619325e-02 0.0310415985
## seis 5.337383e-03 0.05426667 2.944874e-01 0.1178090620
## tres 8.967152e-02 0.06463034 1.785584e-06 0.1928900282
## uno 1.203953e-02 0.00952144 1.736505e-01 0.4974630883
## Dim 5
## femenino 2.433477e-46
## masculino 1.415709e-31
## privada 1.947100e-27
## publica 1.982477e-27
## uso_sustancias_psicoativas_no 7.268655e-28
## uso_sustancias_psicoativas_si 6.931937e-28
## residencia_cerca_al_centro_no 2.451390e-29
## residencia_cerca_al_centro_si 2.110490e-29
## cinco 4.133910e-01
## cuatro 7.774463e-02
## dos 9.312739e-02
## seis 1.166163e-02
## tres 5.040193e-01
## uno 8.379568e-02Contribuciones
fviz_contrib(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 1, top = 15)
fviz_contrib(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 2, top = 15)
fviz_contrib(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 3, top = 15)
fviz_contrib(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 4, top = 15)
fviz_contrib(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 5, top = 15)
Biplot con contribuciones
fviz_mca_var(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), col.var ="contrib", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
Fase 4 [Análisis de Regresión]
4.1. Objetivos
En términos generales, este estudio explorará la relación entre dos o más variables mediante la obtención de información sobre una de ellas basada en el conocimiento de los valores de las demás. La relación establecida entre ellas será de naturaleza no determinística, es decir, se formularán relaciones probabilísticas y se desarrollarán procedimientos para hacer inferencias sobre los modelos utilizados en este estudio, al mismo tiempo que se obtienen medidas cuantitativas del grado de relación entre las variables. Los modelos analizados pueden considerarse casos especiales del modelo lineal generalizado: Regresión Lineal Simple, Regresión Lineal Múltiple y Regresión Logística. En cada sección se describirá teóricamente cada modelo y se aplicará a un conjunto de datos específico. Se reconoce que el análisis de regresión es un proceso de naturaleza estadística utilizado para estimar relaciones entre variables (una dependiente o de respuesta y otras independientes o predictoras) mediante técnicas de modelado y análisis que permiten comprender cómo varía el valor de la variable dependiente al cambiar el valor de una o más variables independientes. Los modelos de análisis de regresión estudiados en este documento serán: lineal (simple y múltiple) y logístico, todos ellos entendidos como casos del modelo de regresión lineal generalizado.
4.2. Regresión Lineal Simple
Este modelo, que eventualmente será llamado en este estudio como RLS, está conformado por dos variables estadísticas \(x\) y \(Y\), donde \(Y\) se asume que está influida por \(x\). La relación está dada matemáticamente por: \[Y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon \hspace{10mm} \hspace{10mm}(1)\] donde:
- \(Y\): es una variable de respuesta de naturaleza aleatoria.
- \(x\): es una variable predictora de naturaleza no aleatoria.
- \(\varepsilon\): es una variable aleatoria no observable.
- \(\beta_0\) y \(\beta_1\): son parámetros reales desconocidos del modelo.
En comparación con el modelo lineal simple determinístico \(y = \beta_0 + \beta_1 x\), el probablístico supone que el valor esperado de \(Y\) es una función lineal de \(x\), pero que con \(x\) fija, la variable \(Y\) difiere de su valor esperado en una cantidad aleatoria \(\varepsilon\). Además, la cantidad \(\varepsilon\) en la ecuación de modelo \((1)\) se supone normalmente distribuida con \(E(\varepsilon)=0\) y \(V(\varepsilon)=\sigma^2\). La variable aleatoria \(\varepsilon\) también se conoce como término de error aleatorio o desviación aleatoria en el modelo.
Complementariamente, casi nunca serán conocidos los valores \(\beta_0\), \(\beta_1\) y \(\sigma^2\), a cambio estará disponible una muestra de datos compuesta de pares ordenados \((x_1,y_1)... (x_n,y_n)\) con la que los parámetros del modelo y la línea de regresión verdadera pueden ser estimados, bajo el supuesto de independencia de las observaciones. Así, \(y_i\) es el valor observado de una variable aleatoria \(Y_i\), donde \(Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i\) y las \(n\) desviaciones \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\), \(...\), \(\varepsilon_n\) son variables independientes.
De acuerdo con el modelo, los puntos observados estarán distribuidos aleatoriamente alrededor de la línea de regresión verdadera. En este sentido, la estimación de \(y=\beta_0+\beta_1x\) deberá ser una línea que se ajuste lo mejor posible a los puntos muestra. Tal línea deberá poseer la característica de que las distancias verticales (desviaciones) de los puntos observados a la línea misma son pequeñas. La medida de la bondad de ajuste será la suma de los cuadrados de estas desviaciones. En consecuencia, la línea que mejor se ajusta será la que tenga la suma más pequeña posible de desviaciones al cuadrado. El resultado que implica las ideas expuestas se conoce como: principio de los mínimos cuadrados y se remonta a los matemáticos Carl Friedrich Gauss y Adrien-Marie Legendre, entre el último lustro del siglo XVIII y el primero del siglo XIX.
El principio de los mínimos cuadrados establece que la desviación vertical del punto \((x_i,y_i)\) con respecto a la línea \(y=b_0+b_1x\) es \(y_i-(b_0+b_1x)\) y la suma de las desviaciones verticales al cuadrado de los puntos \((x_i,y_i)\) a la línea es \(f(b_0,b_1)=\sum_{i=1}^n (y_i-(b_0+b_1x_i))^2\). Así, las estimaciones puntuales de \(\beta_0\) y \(\beta_1\), representadas como \(\hat{\beta}_0\) y \(\hat{\beta}_1\) y llamadas estimaciones de mínimos cuadrados, son los valores que minimizan a \(f(b_0,b_1)\); es decir, \(f(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)\leq f(b_0,b_1)\) para cualesquiera \(\beta_0\) y \(\beta_1\). Por lo tanto, la línea de regresión estimada o línea de mínimos cuadrados es \(y=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x\).
Luego de calcular y resolver las ecuaciones en derivadas parciales de \(f(b_0,b_1)\) respecto a \(b_0\) y \(b_1\) igualadas a cero, se obtiene un sistemas de ecuaciones llamadas normales que son lineales en \(b_0\) y \(b_1\) y para las cuales, siempre que por lo menos dos de las \(x_i\) sean diferentes, las estimaciones de los mínimos cuadrados son la única solución del sistema. En consecuencia, la estimación de los mínimos cuadrados de \(\beta_1\) de la línea de regresión verdadera es: \[\hat{\beta}_1=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}\hspace{10mm}(2)\] y la estimación de los mínimos cuadrados de \(\beta_0\) de la línea de regresión verdadera es: \[\hat{\beta}_0=\dfrac{\sum_{i=1}^ny_i-\hat{\beta}_1\sum_{i=1}^nx_i}{n}=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}\hspace{10mm}(3)\] Para hacer los cálculos que las ecuaciones anteriores demandan es necesario reducir al mínimo los efectos de redondeo. También, antes de calcular \(\hat{\beta}_1\) y \(\hat{\beta}_0\) se debe examir gráficamente el conjunto de datos por usar para percibir la factibilidad de uso de un modelo probabilístico lineal, es decir, si gráficamente los puntos están lejos de tender a aglomerarse en torno a una línea recta con aproximadamente el mismo grado de dispersión de todas las \(x_i\), entonces deben ser indagados otros modelos.
Es indispensable mencionar que la línea de mínimos cuadrados debe usarse restringidamente para predecir valores de \(x\) lejanos del rango de los datos, porque la relación ajustada puede carecer de validez para ellos.
Ahora, el parámetro \(\sigma^2\) que determina la cantidad de variabilidad es inherente en el modelo de regresión descrito: su valor conducirá a establecer que los valores observados estarán dispersos en mayor o menor medida en torno a la línea de regresión verdadera. Así, los residuos \(y_i - \hat{y_i}\) son las desviaciones verticales con respecto a la línea estimada. Si todos los residuos son pequeños comparados con cero, entonces la variabilidad de los valores \(y\) observados se debería en una elevada medida a la relación lineal entre \(x\) y \(y\), mientras que si los residuos son grandes comparados con cero, entonces queda sugerida una variabilidad inherente en \(y\) con respecto a la cantidad debida a la relación lineal. Así, la estimación de \(\sigma^2\) en un análisis de regresión está basada en el cálculo de la suma de cuadrados residuales (o suma de cuadrados del error SCE) que se reduce a: \[SCE=\sum_{i=1}^ny_i^2-\hat{\beta}_0\sum_{i=1}^ny_i-\hat{\beta}_1\sum_{i=1}^nx_iy_i\hspace{10mm}(4)\] \[\hat\sigma^2=s^2=\dfrac{SCE}{n-2}\hspace{10mm}(5)\] Si se ha entendido que la cantidad SCE establece una medida de cuánta variación de \(y\) es inexplicada por el modelo; es decir, sin atribución a la relación lineal, se entenderá también que existe otra cantidad llamada la suma total de los cuadrados STC, que permite obtener una medida de la cantidad de variación total en los valores \(y\) observados: \[STC=\sum_{i=1}^ny_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^ny_i)^2}{n}\hspace{10mm}(6)\] Si se formula la razón \(SCE/STC\) se calcula la proporción de variación total inexplicada por el modelo de regresión lineal simple; por lo tanto, se llega a la definición del coeficiente de determinación \(r^2\): \[r^2=1-\frac{SCE}{STC}\hspace{10mm}(7)\] que se interpreta como la proporción de variación \(y\) observada que puede ser explicada por el modelo de regresión lineal simple; es decir, aquella atribuida a una relación lineal aproximada entre \(x\) y \(y\): mientras más cercano a 1 sea \(r^2\), más exitoso es el modelo de regresión lineal simple al explicar la variación de \(y\). Una forma alternativa de calcular el coeficiente de determinación se basa en la suma de cuadrados debidad a la regresión SCR (o al modelo de regresión SCM), que es la cantidad de variación total que es explicada por el modelo. Con base en ella el coeficiente de determinación se expresa como: \[r^2=1-\frac{SCE}{STC}=\frac{STC-SCE}{STC}=\frac{SCR}{STC}\hspace{10mm}(8)\]Como se sabe, cualquier cantidad calculada a partir de datos muestrales varía de una cantidad a otra, en este sentido, los procedimientos inferenciales estandarizan un estimador restando su valor medio y luego dividiéndolo entre su desviación estándar estimada. En particular, para un modelo supuesto de regresión lineal simple se implica que las variables estándares: \(t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_0-\beta_0}{\hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}}\) y \(t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_1-\beta_1}{ \hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}}}\) tienen distribuciones \(t\) con \(n-2\) grados de libertad. De esto se deduce que los intervalos de confianza de \(100*(1-\alpha)\%\) para la pendiente \(\beta_1\) y el intercepto \(\beta_0\) de la línea de regrasión verdadera son: \[\hat{\beta}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}\hspace{10mm}(9)\] \[\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}} \hspace{10mm} (10)\]estos intervalos están centarados en la en la estimación puntual de cada parámetro y la cantidad abarcada a cada lado de la estimación depende del nivel de confianza deseado y de la cantidad de variabilidad del estimador.
Dado lo anterior, para los procedimientos de prueba de hipótesis, y como se procede habitualmente, las hipótesis nulas respecto a los beta del modelo de regresión lineal simple serán enunciados de igualdad. Los valores nulos para \(\beta_0\) y \(\beta_1\) se representan respectivamente como \(\beta_{00}\) (“beta cero cero”) y \(\beta_{10}\) (“beta uno cero”). Además, como los estadísticos de prueba tienen distribuciones \(t\) con \(n-2\) grados de libertad cuando \(H_0\) es verdadera, la probabilidad de error Tipo I permanece al nivel deseado \(\alpha\) usando un valor crítico \(t\) adecuado. Así, las hipótesis comúnmente usadas para \(\beta_0\)son: \[H_0: \beta_0 = \beta_{00}\hspace{10mm}(11)\] \[H_1: \beta_0 \neq \beta_{00}\hspace{10mm}(12)\]cuyo estadístico de prueba es: \[t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_0-\beta_{00}}{\hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}}\hspace{10mm}(13)\]y para \(\beta_1\) son: \[H_0: \beta_1 = \beta_{10}\hspace{10mm}(14)\] \[H_1: \beta_1 \neq \beta_{10}\hspace{10mm}(15)\]cuyo estadístico de prueba es:\[t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_1-\beta_{10}}{\hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}}}\hspace{10mm}(16)\]el par de hipótesis definidas por \(14\), \(15\) y \(16\) se conoce como la prueba de utilidad del modelo de regresión lineal simple, donde: la región de rechazo de \(H_0\) para una prueba a nivel \(\alpha\) a favor de \(H_1: \beta_1>\beta_{10}\) es \(t\geq t_{\alpha,n-2}\); la región de rechazo de \(H_0\) para una prueba a nivel \(\alpha\) a favor de \(H_1: \beta_1<\beta_{10}\) es \(t\leq -t_{\alpha,n-2}\); y la región de rechazo de \(H_0\) para una prueba a nivel \(\alpha\) a favor de \(H_1: \beta_1\neq\beta_{10}\) es \(t\leq -t_{\alpha/2,n-2}\) o \(t\geq t_{\alpha/2,n-2}\). Además, se sabe que la prueba de utilidad del modelo de regresión simple puede ser probada con una tabla ANOVA: rechazando \(H_0\) si \(f\geq F_{\alpha,1,n-2}\). La prueba \(F\) da exactamente el mismo resultado que la prueba \(t\) de utilidad del modelo de regresión lineal simple.
Por último, se entiende que en un modelo de regresión lineal simple un valor futuro de \(Y\) no es parámetro sino una variable aleatoria, por lo que se debe hacer referencia a un intervalo de valores factibles para un valor futuro de \(Y\), al cual se le llama intervalo de predicción. Cuando se predice con base en el modelo de regresión lineal simple, el error de predicción es \(Y-( \hat{\beta}_0+ \hat{\beta}_1 x^*)\) que corresponde con una diferencia entre dos variables aleatorias, por lo que, en comparación con una estimación, habrá más incertidumbre en ese; por lo tanto, un intervalo de predicción será más ancho que un intervalo de confianza. Además, a partir de la varianza del error de predicción se puede establecer que la variable estandarizada: \[T=\dfrac{Y-(\hat{\beta}_0+ \hat{\beta}_1 x^*)}{S \displaystyle\sqrt{1+\dfrac{1}{n} + \dfrac{(x^*-\bar{x})^2}{S_{xx}}}}\hspace{10mm}(17)\] tiene una distribución \(t\) con \(n-2\) grados de libertad, a partir de la cual se obtine un intervalo de predicción de \(100*(1-\alpha)\%\) para una observación \(Y\) futura que se hará cuando \(x=x^*\) igual a: \[\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x^*\pm t_{n-2,\alpha/2}\cdot s \displaystyle\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{(x^*-\bar{x})^2}{S_{xx}}}\hspace{10mm}(18)\] La interpretación del nivel de predicción de \(100*(1-\alpha)\%\) establece que al usar \((18)\) repetidamente, los intervalos resultantes contendrán los valores \(y\) observados el \(100*(1-\alpha)\%\) del tiempo. Además, el número \(1\) en la raíz cuadrada hace que el intervalo de predicción sea más ancho que intervalos de confianza como \((9)\) y \((10)\). Asimismo, a medida que \(n\to\infty\) el ancho del intervalo no tiende a cero, porque la incertidumbre en la predicción será permanente, incluso al tener conocimiento perfecto sobre \(\beta_0\) y \(\beta_1\).
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la fase 2 se formulará un modelo de regresión lineal simple para estudiar la relación lineal supuesta entre las varaibles definidas por los campos: peso (Variable dependiente) y altura (variable independiente).
Desarrollo del Análisis
En el siguiente desarrollo del análisis se hara en R Stutio y este mismo contara con varias secciones que se presentaran a continuacion.
4.2.1. Resumen estadístico de las variables por estudiar.
En base a la navegacion a través de pestañas muestra el resumen estadistico de las variables de interes: peso (Variable dependiente) y altura (variable independiente) junto con sus repectivos diagramas de caja. Además de manera complementaria se incluye el diagrama de dispersion de sus valores conjuntos donde se comparan con las dos combinaciones posibles entre estas variables.
En base en la pestaña Resumen de peso se puede apreciar que la variable peso presenta un sesgo lijeramente simetrico con un rango cuartilico un poco homogeneo entre el tercer y cuarto cuartil esto debido a como se encuentran los datos lo cuales tambien no tiene un sesgo muy significativo. En comparacion segun la pestaña Resumen de altura, la variable altura se puede apreciar que tiene un sesgo mas negativo que el anterior dado que su media y mediana se encuentran en valores extremadamente cercanas entre si lo cual nos indica que no muestra valores atipicos y esto lo podemos comprobar de manera grafica.
De manera complementaria en Diagrama de Dispersion peso vs. altura se puede observar que existe una correlacion positiva de naturaleza aparentemente lineal entre las variables peso y altura, cabe recalcar que tambien que se puede apreciar que tambien tiene una linea de tendencia. Si se observa el grafico de Diagramas Totales de Dispersion (en donde se excluyen las variables cualitativas::nominales) es razonable mencionar que hay otro par de variables que muestran una correlacion mas internsa entre las mismas peso y edades.
Resumen de Peso
summary(clinic_dataset$peso)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 42.00 55.00 70.00 70.39 85.00 101.00boxplot(clinic_dataset$peso, main = "Diagrama de Caja de Peso", col = c("orange"))
Resumen de Altura
summary(clinic_dataset$altura)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.470 1.510 1.640 1.637 1.690 1.780boxplot(clinic_dataset$altura, main = "Diagrama de Caja de altura", col = c("orange"))
Diagrama de Dispersión PESO vs. ALTURA
plot(clinic_dataset$peso, clinic_dataset$altura, main = "Diagrama de Dispersión peso vs altura")
Diagramas Totales de Dispersión
pairs(~edades + numero_de_hijos + peso + altura + ingresos_mensuales, data = clinic_dataset, pch = 21, bg = rgb(0, 0, 0, alpha = 0.5), cex = 1)
4.2.2. Formulación del modelo de RLS entre las variables de estudio
En base a la navegacion a través de la pestañas se muestran los coeficientes del modelo de regrecion linela simple, su resumen estadistico y su tabla ANOVA. Se menciona de nuevo que las variables de interes son peso (variable dependiente) y altura (variable independiente).
Se considero las dos posibles combinaciones pero finalmente se utilizaran los resultados de la pestaña Coeficientes del Modelo RLS y a traves de este se pudo establecer que el modelo de regresion lineal simple que relaciona a las varaibles de interes, las cuales se resumiran como \(PES\) y \(ALT\), se tiene la formulacion: \(PES = -134.8886 + 125.3731*ALT\) \((19)\) Para este modelo se obvia la interpretacion del intercepto por caracter de sentido dado que para peso se obtendria un valor negativo lo cual carece de sentido si el sucede un valor nulo en altura lo que es medicamente imposible, y la ultima situacion en especial carece de sentido, sin embargo, el coeficiente lineal muestra una correlacion de proporcionalidad directa entre las dos variables de interes, aunque con un crecimiento bastante alto en peso por cada unidad marginal de altura.
De manera complementaria, la pestaña de Resumen Estadistico del Modelo se consta que a cualquier nivel de significancia las evidencias a favor son altas pero esto era de esperar dado el nivle de correlacion existente entre las variables de interes. Ademas, el nivel de del coeficiente de determinacion esta a favor de la correlacion con un resultado bajo del \(60.74\) \(%\) de la variabilidad de peso es explicado por altura, en resumen lo que nos indica este resultado nos sugiere que el altura es un predictor fuerte del peso y pero aun asi tambien hay otros factores influyendo en esta como era de esperarse dado el contexto en el que se encuentra, estos resultados eran de esperarse dado el fenomeno que se esta estudiando, y lo anteriormente mencionado quedo confirmado a traves de la pestaña Tabla ANOVA para el Modelo RLS
Coeficientes del Modelo RLS
modelo_RL_Simple = lm(clinic_dataset$peso~clinic_dataset$altura)
coef(modelo_RL_Simple)## (Intercept) clinic_dataset$altura
## -134.8886 125.3731Resumen Estadístico del Modelo RLS
summary(modelo_RL_Simple)##
## Call:
## lm(formula = clinic_dataset$peso ~ clinic_dataset$altura)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -27.0217 -3.7382 -0.4247 4.3365 30.2768
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -134.889 2.339 -57.67 <2e-16 ***
## clinic_dataset$altura 125.373 1.426 87.94 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 10.45 on 4997 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.6075, Adjusted R-squared: 0.6074
## F-statistic: 7733 on 1 and 4997 DF, p-value: < 2.2e-16Tabla ANOVA para el Modelo RLS
anova(modelo_RL_Simple)## Analysis of Variance Table
##
## Response: clinic_dataset$peso
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## clinic_dataset$altura 1 845148 845148 7733.3 < 2.2e-16 ***
## Residuals 4997 546105 109
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 14.2.3. Análisis del modelo RLS
En base a la navegacion a traves de pestañas muestran el intervalo de confianza para \(\beta_1\) y para la prediccion del modelo de regresion linal, ambos estarán al \(95\) \(%\). Se volvera a recapitular sobre cuales son las variables de interes que son: peso (variable dependiente) y altura (variable independiente).
El analisis del modelo RLS muestra que no muestra un gran aporte como en cuanto a la variable predictora posiblemente por diversos factores aun asi fue relevante estimar peso a partir de altura. Esto debido a que el intervalo de confianza de \(ALT\) en el modelo excluye al cero:
\(122.5781 < \beta_1 < 128.1681\) \((20)\)
Por ultimo, la pestaña Predicciones y Intervalos de Prediccion muestran los calculos con base en el modelo, bajo un intervalo de predicccion al \(95\) \(%\), de las predicciones de todas las pestañas del conjunto de datos para la variable peso. Cabe recalcar que estos intervalos resultan mas anchos que en aquellos calculados en la pestaña Predicciones y sus intervalos de confianza y esta misma como lo dice su nombre a un mismo nivel de significancia.
Intervalo de Confianza para B1
confint(modelo_RL_Simple, level = 0.95)## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) -139.4741 -130.3032
## clinic_dataset$altura 122.5781 128.1681Predicciones y sus Intervalos de Predicción
predict(modelo_RL_Simple, data.frame(seq(1,1000)), interval='prediction', level = 0.95)## Warning: 'newdata' had 1000 rows but variables found have 4999 rows## fit lwr upr
## 1 50.66354 30.16230 71.16478
## 2 88.27547 67.77507 108.77587
## 3 71.97697 51.48042 92.47352
## 4 50.66354 30.16230 71.16478
## 5 88.27547 67.77507 108.77587
## 6 88.27547 67.77507 108.77587
## 7 70.72324 50.22672 91.21976
## 8 75.73816 55.24129 96.23503
## 9 50.66354 30.16230 71.16478
## 10 61.94712 41.44974 82.44450
## 11 88.27547 67.77507 108.77587
## 12 49.40981 28.90795 69.91167
## 13 49.40981 28.90795 69.91167
## 14 88.27547 67.77507 108.77587
## 15 75.73816 55.24129 96.23503
## 16 75.73816 55.24129 96.23503
## 17 70.72324 50.22672 91.21976
## 18 74.48443 53.98771 94.98115
## 19 49.40981 28.90795 69.91167
## 20 70.72324 50.22672 91.21976
## 21 54.42473 33.92512 74.92434
## 22 88.27547 67.77507 108.77587
## 23 88.27547 67.77507 108.77587
## 24 54.42473 33.92512 74.92434
## 25 74.48443 53.98771 94.98115
## 26 50.66354 30.16230 71.16478
## 27 71.97697 51.48042 92.47352
## 28 50.66354 30.16230 71.16478
## 29 88.27547 67.77507 108.77587
## 30 88.27547 67.77507 108.77587
## 31 88.27547 67.77507 108.77587
## 32 70.72324 50.22672 91.21976
## 33 64.45458 43.95764 84.95153
## 34 88.27547 67.77507 108.77587
## 35 54.42473 33.92512 74.92434
## 36 75.73816 55.24129 96.23503
## 37 50.66354 30.16230 71.16478
## 38 54.42473 33.92512 74.92434
## 39 70.72324 50.22672 91.21976
## 40 88.27547 67.77507 108.77587
## 41 70.72324 50.22672 91.21976
## 42 54.42473 33.92512 74.92434
## 43 54.42473 33.92512 74.92434
## 44 70.72324 50.22672 91.21976
## 45 87.02174 66.52187 107.52161
## 46 54.42473 33.92512 74.92434
## 47 75.73816 55.24129 96.23503
## 48 88.27547 67.77507 108.77587
## 49 71.97697 51.48042 92.47352
## 50 76.99189 56.49484 97.48894
## 51 70.72324 50.22672 91.21976
## 52 49.40981 28.90795 69.91167
## 53 70.72324 50.22672 91.21976
## 54 50.66354 30.16230 71.16478
## 55 49.40981 28.90795 69.91167
## 56 66.96204 46.46538 87.45871
## 57 70.72324 50.22672 91.21976
## 58 54.42473 33.92512 74.92434
## 59 70.72324 50.22672 91.21976
## 60 87.02174 66.52187 107.52161
## 61 70.72324 50.22672 91.21976
## 62 54.42473 33.92512 74.92434
## 63 50.66354 30.16230 71.16478
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## 4921 88.27547 67.77507 108.77587
## 4922 54.42473 33.92512 74.92434
## 4923 68.21578 47.71920 88.71235
## 4924 88.27547 67.77507 108.77587
## 4925 61.94712 41.44974 82.44450
## 4926 54.42473 33.92512 74.92434
## 4927 50.66354 30.16230 71.16478
## 4928 88.27547 67.77507 108.77587
## 4929 88.27547 67.77507 108.77587
## 4930 69.46951 48.97298 89.96604
## 4931 50.66354 30.16230 71.16478
## 4932 74.48443 53.98771 94.98115
## 4933 70.72324 50.22672 91.21976
## 4934 88.27547 67.77507 108.77587
## 4935 66.96204 46.46538 87.45871
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## 4938 54.42473 33.92512 74.92434
## 4939 75.73816 55.24129 96.23503
## 4940 69.46951 48.97298 89.96604
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## 4943 88.27547 67.77507 108.77587
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## 4945 69.46951 48.97298 89.96604
## 4946 64.45458 43.95764 84.95153
## 4947 71.97697 51.48042 92.47352
## 4948 54.42473 33.92512 74.92434
## 4949 88.27547 67.77507 108.77587
## 4950 74.48443 53.98771 94.98115
## 4951 66.96204 46.46538 87.45871
## 4952 76.99189 56.49484 97.48894
## 4953 88.27547 67.77507 108.77587
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## 4960 51.91727 31.41662 72.41793
## 4961 88.27547 67.77507 108.77587
## 4962 70.72324 50.22672 91.21976
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## 4967 66.96204 46.46538 87.45871
## 4968 54.42473 33.92512 74.92434
## 4969 88.27547 67.77507 108.77587
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## 4976 74.48443 53.98771 94.98115
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## 4981 71.97697 51.48042 92.47352
## 4982 88.27547 67.77507 108.77587
## 4983 71.97697 51.48042 92.47352
## 4984 75.73816 55.24129 96.23503
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## 4988 88.27547 67.77507 108.77587
## 4989 75.73816 55.24129 96.23503
## 4990 70.72324 50.22672 91.21976
## 4991 87.02174 66.52187 107.52161
## 4992 49.40981 28.90795 69.91167
## 4993 54.42473 33.92512 74.92434
## 4994 68.21578 47.71920 88.71235
## 4995 74.48443 53.98771 94.98115
## 4996 70.72324 50.22672 91.21976
## 4997 88.27547 67.77507 108.77587
## 4998 70.72324 50.22672 91.21976
## 4999 88.27547 67.77507 108.77587Predicciones y sus Intervalos de Confianza
predict(modelo_RL_Simple, data.frame(seq(1,1000)), interval='confidence', level = 0.95)## Warning: 'newdata' had 1000 rows but variables found have 4999 rows## fit lwr upr
## 1 50.66354 50.13685 51.19024
## 2 88.27547 87.78251 88.76843
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## 4 50.66354 50.13685 51.19024
## 5 88.27547 87.78251 88.76843
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## 13 49.40981 48.85956 49.96006
## 14 88.27547 87.78251 88.76843
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## 60 87.02174 86.55110 87.49238
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## 70 54.42473 53.96572 54.88375
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## 4819 76.99189 76.66680 77.31698
## 4820 69.46951 69.17892 69.76010
## 4821 49.40981 48.85956 49.96006
## 4822 54.42473 53.96572 54.88375
## 4823 54.42473 53.96572 54.88375
## 4824 88.27547 87.78251 88.76843
## 4825 50.66354 50.13685 51.19024
## 4826 54.42473 53.96572 54.88375
## 4827 70.72324 70.43328 71.01320
## 4828 70.72324 70.43328 71.01320
## 4829 88.27547 87.78251 88.76843
## 4830 73.23070 72.93400 73.52740
## 4831 87.02174 86.55110 87.49238
## 4832 88.27547 87.78251 88.76843
## 4833 75.73816 75.42473 76.05159
## 4834 66.96204 66.66228 67.26181
## 4835 50.66354 50.13685 51.19024
## 4836 70.72324 70.43328 71.01320
## 4837 70.72324 70.43328 71.01320
## 4838 87.02174 86.55110 87.49238
## 4839 88.27547 87.78251 88.76843
## 4840 71.97697 71.68495 72.26898
## 4841 88.27547 87.78251 88.76843
## 4842 71.97697 71.68495 72.26898
## 4843 69.46951 69.17892 69.76010
## 4844 54.42473 53.96572 54.88375
## 4845 74.48443 74.18053 74.78833
## 4846 70.72324 70.43328 71.01320
## 4847 70.72324 70.43328 71.01320
## 4848 70.72324 70.43328 71.01320
## 4849 76.99189 76.66680 77.31698
## 4850 50.66354 50.13685 51.19024
## 4851 88.27547 87.78251 88.76843
## 4852 88.27547 87.78251 88.76843
## 4853 88.27547 87.78251 88.76843
## 4854 70.72324 70.43328 71.01320
## 4855 87.02174 86.55110 87.49238
## 4856 87.02174 86.55110 87.49238
## 4857 70.72324 70.43328 71.01320
## 4858 88.27547 87.78251 88.76843
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## 4860 50.66354 50.13685 51.19024
## 4861 87.02174 86.55110 87.49238
## 4862 88.27547 87.78251 88.76843
## 4863 88.27547 87.78251 88.76843
## 4864 75.73816 75.42473 76.05159
## 4865 71.97697 71.68495 72.26898
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## 4867 69.46951 69.17892 69.76010
## 4868 73.23070 72.93400 73.52740
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## 4870 70.72324 70.43328 71.01320
## 4871 70.72324 70.43328 71.01320
## 4872 70.72324 70.43328 71.01320
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## 4874 76.99189 76.66680 77.31698
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## 4878 75.73816 75.42473 76.05159
## 4879 54.42473 53.96572 54.88375
## 4880 70.72324 70.43328 71.01320
## 4881 88.27547 87.78251 88.76843
## 4882 54.42473 53.96572 54.88375
## 4883 88.27547 87.78251 88.76843
## 4884 49.40981 48.85956 49.96006
## 4885 71.97697 71.68495 72.26898
## 4886 54.42473 53.96572 54.88375
## 4887 54.42473 53.96572 54.88375
## 4888 70.72324 70.43328 71.01320
## 4889 88.27547 87.78251 88.76843
## 4890 88.27547 87.78251 88.76843
## 4891 88.27547 87.78251 88.76843
## 4892 49.40981 48.85956 49.96006
## 4893 70.72324 70.43328 71.01320
## 4894 88.27547 87.78251 88.76843
## 4895 88.27547 87.78251 88.76843
## 4896 50.66354 50.13685 51.19024
## 4897 70.72324 70.43328 71.01320
## 4898 71.97697 71.68495 72.26898
## 4899 49.40981 48.85956 49.96006
## 4900 88.27547 87.78251 88.76843
## 4901 88.27547 87.78251 88.76843
## 4902 87.02174 86.55110 87.49238
## 4903 88.27547 87.78251 88.76843
## 4904 69.46951 69.17892 69.76010
## 4905 87.02174 86.55110 87.49238
## 4906 76.99189 76.66680 77.31698
## 4907 88.27547 87.78251 88.76843
## 4908 69.46951 69.17892 69.76010
## 4909 71.97697 71.68495 72.26898
## 4910 50.66354 50.13685 51.19024
## 4911 75.73816 75.42473 76.05159
## 4912 75.73816 75.42473 76.05159
## 4913 64.45458 64.13595 64.77322
## 4914 69.46951 69.17892 69.76010
## 4915 88.27547 87.78251 88.76843
## 4916 71.97697 71.68495 72.26898
## 4917 74.48443 74.18053 74.78833
## 4918 88.27547 87.78251 88.76843
## 4919 70.72324 70.43328 71.01320
## 4920 70.72324 70.43328 71.01320
## 4921 88.27547 87.78251 88.76843
## 4922 54.42473 53.96572 54.88375
## 4923 68.21578 67.92189 68.50966
## 4924 88.27547 87.78251 88.76843
## 4925 61.94712 61.60151 62.29273
## 4926 54.42473 53.96572 54.88375
## 4927 50.66354 50.13685 51.19024
## 4928 88.27547 87.78251 88.76843
## 4929 88.27547 87.78251 88.76843
## 4930 69.46951 69.17892 69.76010
## 4931 50.66354 50.13685 51.19024
## 4932 74.48443 74.18053 74.78833
## 4933 70.72324 70.43328 71.01320
## 4934 88.27547 87.78251 88.76843
## 4935 66.96204 66.66228 67.26181
## 4936 49.40981 48.85956 49.96006
## 4937 75.73816 75.42473 76.05159
## 4938 54.42473 53.96572 54.88375
## 4939 75.73816 75.42473 76.05159
## 4940 69.46951 69.17892 69.76010
## 4941 54.42473 53.96572 54.88375
## 4942 71.97697 71.68495 72.26898
## 4943 88.27547 87.78251 88.76843
## 4944 50.66354 50.13685 51.19024
## 4945 69.46951 69.17892 69.76010
## 4946 64.45458 64.13595 64.77322
## 4947 71.97697 71.68495 72.26898
## 4948 54.42473 53.96572 54.88375
## 4949 88.27547 87.78251 88.76843
## 4950 74.48443 74.18053 74.78833
## 4951 66.96204 66.66228 67.26181
## 4952 76.99189 76.66680 77.31698
## 4953 88.27547 87.78251 88.76843
## 4954 75.73816 75.42473 76.05159
## 4955 54.42473 53.96572 54.88375
## 4956 88.27547 87.78251 88.76843
## 4957 70.72324 70.43328 71.01320
## 4958 71.97697 71.68495 72.26898
## 4959 70.72324 70.43328 71.01320
## 4960 51.91727 51.41368 52.42087
## 4961 88.27547 87.78251 88.76843
## 4962 70.72324 70.43328 71.01320
## 4963 70.72324 70.43328 71.01320
## 4964 54.42473 53.96572 54.88375
## 4965 75.73816 75.42473 76.05159
## 4966 88.27547 87.78251 88.76843
## 4967 66.96204 66.66228 67.26181
## 4968 54.42473 53.96572 54.88375
## 4969 88.27547 87.78251 88.76843
## 4970 88.27547 87.78251 88.76843
## 4971 70.72324 70.43328 71.01320
## 4972 49.40981 48.85956 49.96006
## 4973 88.27547 87.78251 88.76843
## 4974 88.27547 87.78251 88.76843
## 4975 88.27547 87.78251 88.76843
## 4976 74.48443 74.18053 74.78833
## 4977 71.97697 71.68495 72.26898
## 4978 54.42473 53.96572 54.88375
## 4979 49.40981 48.85956 49.96006
## 4980 70.72324 70.43328 71.01320
## 4981 71.97697 71.68495 72.26898
## 4982 88.27547 87.78251 88.76843
## 4983 71.97697 71.68495 72.26898
## 4984 75.73816 75.42473 76.05159
## 4985 54.42473 53.96572 54.88375
## 4986 51.91727 51.41368 52.42087
## 4987 88.27547 87.78251 88.76843
## 4988 88.27547 87.78251 88.76843
## 4989 75.73816 75.42473 76.05159
## 4990 70.72324 70.43328 71.01320
## 4991 87.02174 86.55110 87.49238
## 4992 49.40981 48.85956 49.96006
## 4993 54.42473 53.96572 54.88375
## 4994 68.21578 67.92189 68.50966
## 4995 74.48443 74.18053 74.78833
## 4996 70.72324 70.43328 71.01320
## 4997 88.27547 87.78251 88.76843
## 4998 70.72324 70.43328 71.01320
## 4999 88.27547 87.78251 88.768434.3. Regresión Lineal Múltiple
Este modelo, que puede inicialmente pensarse como una extensión de la regresión lineal simple para facilitar su comprensión, y que eventualmente será llamado en este estudio como RLM, tiene como ecuación general aditiva:
\[y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i1}+\cdots+\beta_k x_{ik}+\varepsilon_i, \hspace{3mm}i=1,2,\dots,n\hspace{10mm}(21)\]
donde \(E(\epsilon)=0\) y \(V(\epsilon)=\sigma^2\). También, para hacer pruebas de hipótesis y calcular intervalos de confianza y de predicción, se supone que \(\epsilon\) está normalmente distribuida. Complementariamente, con base en el enfoque de los mínimos cuadrados ordinarios, la estimación de sus parámetros se plantea en términos de la minimización de una función de ensayo desde la cual se observan los cuadrados de las desviaciones de la variable estudiada. La función de ensayo se representa como \(f(b_0,b_1,...,b_k)= \sum_{j}[y_i-(b_0+b_1x_{1j}+b_2x_{2j}+...+b_kx_{kj})]^2\). Esto conduce a un conjunto de ecuaciones normales lineales en \(b_0,b_1,...,b_k\), que al ser resueltas entregan las estimaciones de mínimos cuadrados de \(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1},...,, \hat{\beta_k}\).
Complementariamente, la proporción de variación total explicada por el modelo de regresión múltiple a través del coeficiente de determinación múltiple se ajusta, generalmente, con base en el número de parámetros del modelo.
Además, una prueba de utilidad del modelo de regresión lineal múltiple consiste en una prueba de hipótesis basada en un estadístico que tiene una distribución \(F\) particular cuando \(H_0\) es verdadera, esto de expresa en el par:
\[H_0:\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_k=0\hspace{10mm}(22)\] \[H_1: \text {al menos una }\beta_i\neq 0\hspace{5mm}(i=1,...,k)\hspace{10mm}(23)\]
el valor del estadístico de prueba es:
\[f=\frac{R^2/k}{(1-R^2)(n-(k+1))}=\frac{SCR/k}{SCE/(n-(k+1))}=\frac{RMC}{CME}\hspace{10mm}(24)\]
donde \(SCR=STC-SCE\), que es la suma de cuadrados de regresión, y la región de rechazo para una prueba de nivel \(\alpha\) es:
\[f\geq F_{\alpha, k,n-(k+1)}\hspace{10mm}(25)\]
Por último, un intervalo de confianza al \(100(1-\alpha)\%\) para \(\beta_i\) es:
\[\hat\beta_i\pm t_{\alpha/2,n-(k+1)}\cdot s_{\hat\beta_{i}}\hspace{10mm}(26)\] y un intervalo de confianza al mismo nivel de significancia para un valor futuro está dado por:
\[\hat y\pm t_{\alpha/2,n-(k+1)}\cdot \sqrt{s^2+s^2_{\hat Y}}\hspace{10mm}(27)\]
Para cerrar, es necesario mencionar que eventualmente surgen problemas en los análisis de regresión múltiple que implican considerar técnicas de solución relacionadas con transformaciones de no-linealidad, estandarización y selección de variables, identificación de observaciones influyentes, multicolinealidad, entre otras.
Planteaminto del problema
Basandonos en el conjunto descrito en la fase 1 se formulara un modelo de regresion linal multiple para estudiar la relacion linal multiple supuesta entre las varaibles definidas por los campos: peso (Variable dependiente) y las demas como variables independientes: edades, numero_de_hijos, genero_del_paciente, asistencia_privada_publico, uso_sustancias_psicoativas, residencia_cerca_al_centro, estrato_socioeconomico, altura e ingresos_mensuales
Desarrollo del análisis
En el siguiente desarrollo del análisis se hara en R Stutio y este mismo contara con varias secciones que se presentaran a continuacion.
4.3.1. Resumen estadístico de las variables de estudio
En base a la navegacion a través de pestañas muestran un resumen estadistico de todas la variables del conjunto de datos, Sin embargo, para las variables que son de naturaleza Cuantitativas::Razon el resumen se hara de manera tradiconal, pero para las variables que son de naturaleza Cualitativas::Nominal el resumen estadistico solo considerara conteos, proporciones y diagramas de barra. Se recalca de nuevo que la variable dependiente es peso.
Resumen Variables Cuantitativas
summary(clinic_dataset$edades)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 12.00 33.00 42.00 39.35 45.00 56.00summary(clinic_dataset$numero_de_hijos)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.000 2.000 3.000 3.312 5.000 6.000summary(clinic_dataset$peso)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 42.00 55.00 70.00 70.39 85.00 101.00summary(clinic_dataset$altura)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.470 1.510 1.640 1.637 1.690 1.780summary(clinic_dataset$ingresos_mensuales)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 12608 2451457 5046744 5011386 7511554 9999180Resumen Variables Cualitativas
table(clinic_dataset$genero_del_paciente)##
## femenino masculino
## 531 4468prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente))##
## femenino masculino
## 0.1062212 0.8937788barplot(table(clinic_dataset$genero_del_paciente))
table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica)##
## privada publica
## 416 4583prop.table(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica))##
## privada publica
## 0.08321664 0.91678336barplot(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica))
table(clinic_dataset$uso_sustancias_psicoativas)##
## no si
## 3520 1479prop.table(table(clinic_dataset$uso_sustancias_psicoativas))##
## no si
## 0.7041408 0.2958592barplot(table(clinic_dataset$uso_sustancias_psicoativas))
table(clinic_dataset$residencia_cerca_al_centro)##
## no si
## 1278 3721prop.table(table(clinic_dataset$residencia_cerca_al_centro))##
## no si
## 0.2556511 0.7443489barplot(table(clinic_dataset$residencia_cerca_al_centro))
table(clinic_dataset$estrato_socioeconomico)##
## cinco cuatro dos seis tres uno
## 1173 1742 706 213 799 366prop.table(table(clinic_dataset$estrato_socioeconomico))##
## cinco cuatro dos seis tres uno
## 0.23464693 0.34846969 0.14122825 0.04260852 0.15983197 0.07321464barplot(table(clinic_dataset$estrato_socioeconomico))
Diagramas de Dispersión Variables Cuantitativas
pairs(~edades + numero_de_hijos + peso + altura + ingresos_mensuales, data = clinic_dataset, pch = 21, bg = rgb(0, 0, 0, alpha = 0.5), cex = 1)
4.3.2. Formulación del modelo de RLM entre las variables de estudio
En base a la navegacion a traves de las pestañas muestra el resumen y la tabla ANOVA del modelo de regresion lineal multiple total y los coeficientes tanto del modelo mencionado anteriormente como el logrado luego de reducirlo. Con base en la exploracion de lo datos mencionados anteriormente y la tabla ANOVA del modelo total se formularan para comparaciones del modelo RLM: uno que incluye a todas las variables del conjunto de datos y se excluyeron las variables ingresos_mensuales, genero_del_paciente y residencia_cerca_al_centro. Se menciona de nuevo que peso es la variable dependiente
Antes de continuar cabe reclacar que se hicieron las siguientes modificaciones en cuanto a las variables Cualitativas en donde se modifico su etiquetado por uno numerico: genero_del_paciente (0: masculino y 1: femenino), asistencia_privada_publica (0: no y 1: si), uso_sustancias_psicoativas (0: no y 1: si), estrato_socioeconomico (1: uno, 2: dos, 3: tres, 4: cuatro, 5: cinco, 6: seis) y residencia_cerca_al_centro (0: no y 1: si)el conjunto de datos se llamara clinic_dataset_bi.
Al considerar los resultados que se presentan en la pestaña de Coeficientes del Modelo RLM Total se puede establecer que el modelo de regresion linal multiple que relaciona a la variable de interes, las cuales se resumirian como: \(PES\) (peso), \(ED\) (edades), \(NUM\) (numero_de_hijos), \(ALT\) (altura), \(INM\) (ingresos_mensuales), \(G_1\) (genero_del_paciente::1), \(A_1\) (asistencia_privada_publica::1), \(E_2\) (estrato_socioeconomico::2) \(E_3\) (estrato_socioeconomico::3), \(E_4\) (estrato_socioeconomico::4), \(E_5\) (estrato_socioeconomico::5), \(E_6\) (estrato_socioeconomico::6), \(U_1\) (uso_sustancias_psicoativas::1) y \(R_1\) (residencia_cerca_al_centro::1), tiene la formualcion (con unos coeficientes redondeados a 4 cifras decimales por tema de estetica)
\(PES = -149.1411+0.21459*ED+0.1473*NUM+128.4016*ALT+4.30884e-08*INM+0.0838*G_1+0.4924*A_1\) \(+0.6185*E_2+0.2086*E_3+0.1741*E_4+0.2263*E_5+0.9382*E_6-0.6862*U_1+0.0308*R_1\) \((28)\)
Para este modelo se obvian las interpretaciones en que las variables fucen cero ya que por la naturaleza de alguna de estas carece de sentido y la interpretacion del intercepto si que tiene sentido ya que trabajamos con una frecuencia cardiaca aunque el valor que tomaria seria muy alto comparado con lo normal.
Por otro lado, luego de revisar el resumen estadistico y la tabal ANOVA del modelo RLM total (con nombre de pestaña homonimo a este), se puede establecer, con el apoyo de los resumenes estadisticos de las variables de estudio, que pueden excluirse directamente del modelo por baja significancia a las variables ingresos_mensuales, genero_del_paciente y residencia_cerca_al_centro. Esto implico que se calculase un modelo reducidocon la formulacion (Con base ne las mismas consideraciones de edicion del modelo total):
\(PES = -148.9231+0.2147*ED+0.1477*NUM+ 128.4201*ALT+0.6134*E_2+0.2057*E_3+0.1707*E_4+0.2225*E_5+0.9217*E_6-0.6826*U_1\) \((29)\)
Resumen y ANOVA del Modelo RLM Total
summary(lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales+as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)+as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)+as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)))##
## Call:
## lm(formula = clinic_dataset_bi$peso ~ clinic_dataset_bi$edades +
## clinic_dataset_bi$numero_de_hijos + clinic_dataset_bi$altura +
## clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales + as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente) +
## as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) +
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) +
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico) + as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -25.562 -3.514 -1.260 6.733 34.954
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error
## (Intercept) -1.491e+02 2.532e+00
## clinic_dataset_bi$edades 2.146e-01 1.359e-02
## clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 1.479e-01 9.441e-02
## clinic_dataset_bi$altura 1.284e+02 1.409e+00
## clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales 4.309e-08 4.983e-08
## as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)1 8.381e-02 4.697e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)1 4.924e-01 5.233e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)1 -6.862e-01 3.167e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)2 6.185e-01 6.644e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)3 2.086e-01 6.580e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)4 1.741e-01 6.156e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)5 2.263e-01 6.231e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)6 9.382e-01 9.656e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)1 3.081e-02 3.323e-01
## t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -58.903 <2e-16 ***
## clinic_dataset_bi$edades 15.787 <2e-16 ***
## clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 1.566 0.1173
## clinic_dataset_bi$altura 91.140 <2e-16 ***
## clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales 0.865 0.3872
## as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)1 0.178 0.8584
## as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)1 0.941 0.3468
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)1 -2.167 0.0303 *
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)2 0.931 0.3520
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)3 0.317 0.7512
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)4 0.283 0.7774
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)5 0.363 0.7165
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)6 0.972 0.3313
## as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)1 0.093 0.9261
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 10.2 on 4985 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.627, Adjusted R-squared: 0.6261
## F-statistic: 644.7 on 13 and 4985 DF, p-value: < 2.2e-16anova(lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales+as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)+as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)+as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)))## Analysis of Variance Table
##
## Response: clinic_dataset_bi$peso
## Df Sum Sq Mean Sq
## clinic_dataset_bi$edades 1 1267 1267
## clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 1 74 74
## clinic_dataset_bi$altura 1 870149 870149
## clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales 1 69 69
## as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente) 1 3 3
## as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) 1 98 98
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 1 493 493
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico) 5 220 44
## as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro) 1 1 1
## Residuals 4985 518880 104
## F value Pr(>F)
## clinic_dataset_bi$edades 12.1696 0.00049 ***
## clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 0.7070 0.40048
## clinic_dataset_bi$altura 8359.7265 < 2e-16 ***
## clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales 0.6668 0.41422
## as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente) 0.0299 0.86270
## as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) 0.9370 0.33309
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 4.7346 0.02961 *
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico) 0.4225 0.83332
## as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro) 0.0086 0.92612
## Residuals
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Coeficientes del Modelo RLM Total
coefficients(lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales+as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)+as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)+as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)))## (Intercept)
## -1.491411e+02
## clinic_dataset_bi$edades
## 2.145862e-01
## clinic_dataset_bi$numero_de_hijos
## 1.478829e-01
## clinic_dataset_bi$altura
## 1.284016e+02
## clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales
## 4.308784e-08
## as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)1
## 8.380616e-02
## as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)1
## 4.924345e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)1
## -6.862209e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)2
## 6.184540e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)3
## 2.086074e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)4
## 1.740564e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)5
## 2.262611e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)6
## 9.382103e-01
## as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)1
## 3.080993e-02Coeficientes del Modelo RLM Reducido
coefficients(lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)++as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)))## (Intercept)
## -148.9231115
## clinic_dataset_bi$edades
## 0.2146992
## clinic_dataset_bi$numero_de_hijos
## 0.1472730
## clinic_dataset_bi$altura
## 128.4200877
## as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)1
## 0.4912091
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)1
## -0.6825910
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)2
## 0.6134569
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)3
## 0.2056547
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)4
## 0.1707819
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)5
## 0.2224551
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)6
## 0.92170724.3.3. Análisis del modelo RLM
En base a travez de la navegacion de pestañas, en primera parte Mejor Modelo Iterado según AIC muestra que la desicion de de que excluir dos variables (ingresos_mensuales, genero_del_paciente y residencia_cerca_al_centro) de las tres propuestas tambien nos muestra que solo es necesario conservar 4 variables en el modelo (numero_de_hijos, uso_sustancias_psicoativas, edades y altura) esto cabe recalcar que fue un cambio curioso si lo miramos lo que aporta la variable al modelo, tambien se debe mencionar que todo esto se hizo en la sexta iteracion. Ademas el algoritmo tambien construyo un modelo basado en casi las mismas variables del modelo reducido lo cual fundamenta la inspeccion de las variables en la partes precedentes.
De manera complementaria, en la pestaña de Bondades de Ajuste, Significancias y Criterios de Informacion Comparados se presenta de manera paralela los modelos generados. La consideracion de todas las variables del cojunto de datos presento una bondad de ajuste con base en el coeficiente de determinacion multiple que no se redujo hablando en terminos absolutos (es decir que en los dos casos explica el \(062.7\) \(%\) de la variablidad) en comparacion con el modelo reducido y el iterado; ademas, las significancias global e individuales de estos evidencias que ambos modelos son similares pero no iguales, tiene cierto grado de diferencia, aportan una cantidad significante de informacion relevante para la variable dependiente peso, porque para los valores criticos obtenidos para las pruebas \(F\) (para la significancia glogal) y \(t\) (para las significancias individuales), los \(p-value\) en la mayoria de los casos resultaron siempre menores para cualquier nivel de significancia \(\alpha\) incluido dentro de los tradiciones commo por ejemplo, \(\alpha\ = 0,01\).
Por ultimo, los criterios de informacion AIC y BIC muestran efectivamente que los modelos son similares reducido e iterado la relacion entre el sesgo y la varianza en sus formulaciones respectivas, es decir, entre sus semejanzas y complejidades, resulta modelo total: \(AIC_{IteradoSTEP}=37409.81<37424.08=AIC_{RLMTotal}>37420.83=AIC_{RLMReducido}\) y \(BIC_{IteradoSTEP}=37448.91<37505.55=BIC_{RLMReducido}<37521.83=BIC_{RLMTotal}\).
Y tambien demuestran que el modelo iterado por el metodo STEP tiene los valores mas bajos tanto en el AIC como de BIC en comparacion con el modelo total y reducido, es decir que le modelo iterado por el metod STEP proporcion un mejor ajuste de los datos.
Mejor Modelo Iterado según AIC
modelo_Iterado_STEP = step(lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales+as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)+as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)+as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)))## Start: AIC=23235.53
## clinic_dataset_bi$peso ~ clinic_dataset_bi$edades + clinic_dataset_bi$numero_de_hijos +
## clinic_dataset_bi$altura + clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales +
## as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente) + as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) +
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) +
## as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico) + as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)
##
## Df Sum of Sq RSS
## - as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico) 5 220 519100
## - as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro) 1 1 518881
## - as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente) 1 3 518883
## - clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales 1 78 518958
## - as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) 1 92 518972
## <none> 518880
## - clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 1 255 519135
## - as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 1 489 519369
## - clinic_dataset_bi$edades 1 25943 544823
## - clinic_dataset_bi$altura 1 864614 1383494
## AIC
## - as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico) 23228
## - as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro) 23234
## - as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente) 23234
## - clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales 23234
## - as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) 23234
## <none> 23236
## - clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 23236
## - as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 23238
## - clinic_dataset_bi$edades 23477
## - clinic_dataset_bi$altura 28136
##
## Step: AIC=23227.65
## clinic_dataset_bi$peso ~ clinic_dataset_bi$edades + clinic_dataset_bi$numero_de_hijos +
## clinic_dataset_bi$altura + clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales +
## as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente) + as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) +
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) +
## as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)
##
## Df Sum of Sq RSS
## - as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro) 1 1 519101
## - as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente) 1 2 519102
## - clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales 1 75 519175
## - as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) 1 90 519190
## <none> 519100
## - clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 1 432 519531
## - as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 1 493 519593
## - clinic_dataset_bi$edades 1 26019 545119
## - clinic_dataset_bi$altura 1 866205 1385305
## AIC
## - as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro) 23226
## - as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente) 23226
## - clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales 23226
## - as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) 23227
## <none> 23228
## - clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 23230
## - as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 23230
## - clinic_dataset_bi$edades 23470
## - clinic_dataset_bi$altura 28133
##
## Step: AIC=23225.66
## clinic_dataset_bi$peso ~ clinic_dataset_bi$edades + clinic_dataset_bi$numero_de_hijos +
## clinic_dataset_bi$altura + clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales +
## as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente) + as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) +
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)
##
## Df Sum of Sq RSS
## - as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente) 1 2 519103
## - clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales 1 75 519176
## - as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) 1 90 519191
## <none> 519101
## - clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 1 431 519531
## - as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 1 493 519593
## - clinic_dataset_bi$edades 1 26028 545129
## - clinic_dataset_bi$altura 1 866232 1385333
## AIC
## - as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente) 23224
## - clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales 23224
## - as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) 23225
## <none> 23226
## - clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 23228
## - as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 23228
## - clinic_dataset_bi$edades 23468
## - clinic_dataset_bi$altura 28131
##
## Step: AIC=23223.67
## clinic_dataset_bi$peso ~ clinic_dataset_bi$edades + clinic_dataset_bi$numero_de_hijos +
## clinic_dataset_bi$altura + clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales +
## as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) +
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)
##
## Df Sum of Sq RSS
## - clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales 1 75 519178
## - as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) 1 90 519193
## <none> 519103
## - clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 1 430 519532
## - as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 1 494 519597
## - clinic_dataset_bi$edades 1 26032 545134
## - clinic_dataset_bi$altura 1 867384 1386487
## AIC
## - clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales 23222
## - as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) 23223
## <none> 23224
## - clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 23226
## - as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 23226
## - clinic_dataset_bi$edades 23466
## - clinic_dataset_bi$altura 28133
##
## Step: AIC=23222.4
## clinic_dataset_bi$peso ~ clinic_dataset_bi$edades + clinic_dataset_bi$numero_de_hijos +
## clinic_dataset_bi$altura + as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) +
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)
##
## Df Sum of Sq RSS
## - as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) 1 90 519267
## <none> 519178
## - clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 1 427 519605
## - as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 1 489 519667
## - clinic_dataset_bi$edades 1 26067 545244
## - clinic_dataset_bi$altura 1 868203 1387381
## AIC
## - as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica) 23221
## <none> 23222
## - clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 23225
## - as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 23225
## - clinic_dataset_bi$edades 23465
## - clinic_dataset_bi$altura 28134
##
## Step: AIC=23221.26
## clinic_dataset_bi$peso ~ clinic_dataset_bi$edades + clinic_dataset_bi$numero_de_hijos +
## clinic_dataset_bi$altura + as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)
##
## Df Sum of Sq RSS
## <none> 519267
## - clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 1 435 519703
## - as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 1 496 519763
## - clinic_dataset_bi$edades 1 26088 545356
## - clinic_dataset_bi$altura 1 870449 1389717
## AIC
## <none> 23221
## - clinic_dataset_bi$numero_de_hijos 23224
## - as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas) 23224
## - clinic_dataset_bi$edades 23464
## - clinic_dataset_bi$altura 28141coefficients(modelo_Iterado_STEP)## (Intercept)
## -148.7056274
## clinic_dataset_bi$edades
## 0.2149216
## clinic_dataset_bi$numero_de_hijos
## 0.1718786
## clinic_dataset_bi$altura
## 128.4236907
## as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)1
## -0.6902613Bondades de Ajuste, Significancias y Criterios de Información Comparados
modelo_RLM_TOTAL = lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales+as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)+as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)+as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro))
modelo_RLM_REDUCIDO = lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)+as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico))
stargazer(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP, type = "text", df = TRUE)##
## ==============================================================================================================
## Dependent variable:
## ---------------------------------------------------------------------------------
## peso
## (1) (2) (3)
## --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
## edades 0.215*** 0.215*** 0.215***
## (0.014) (0.014) (0.014)
##
## numero_de_hijos 0.148 0.148 0.172**
## (0.094) (0.094) (0.084)
##
## altura 128.402*** 128.431*** 128.424***
## (1.409) (1.408) (1.404)
##
## ingresos_mensuales 0.00000
## (0.00000)
##
## genero_del_paciente)1 0.084 0.091
## (0.470) (0.469)
##
## asistencia_privada_publica)1 0.492 0.492
## (0.523) (0.523)
##
## uso_sustancias_psicoativas)1 -0.686** -0.681** -0.690**
## (0.317) (0.316) (0.316)
##
## estrato_socioeconomico)2 0.618 0.618
## (0.664) (0.664)
##
## estrato_socioeconomico)3 0.209 0.206
## (0.658) (0.658)
##
## estrato_socioeconomico)4 0.174 0.171
## (0.616) (0.615)
##
## estrato_socioeconomico)5 0.226 0.225
## (0.623) (0.623)
##
## estrato_socioeconomico)6 0.938 0.923
## (0.966) (0.965)
##
## residencia_cerca_al_centro)1 0.031
## (0.332)
##
## Constant -149.141*** -148.953*** -148.706***
## (2.532) (2.511) (2.453)
##
## --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
## Observations 4,999 4,999 4,999
## R2 0.627 0.627 0.627
## Adjusted R2 0.626 0.626 0.626
## Residual Std. Error 10.202 (df = 4985) 10.201 (df = 4987) 10.197 (df = 4994)
## F Statistic 644.699*** (df = 13; 4985) 762.039*** (df = 11; 4987) 2,096.557*** (df = 4; 4994)
## ==============================================================================================================
## Note: *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01AIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)## df AIC
## modelo_RLM_TOTAL 15 37424.08
## modelo_RLM_REDUCIDO 13 37420.83
## modelo_Iterado_STEP 6 37409.81BIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)## df BIC
## modelo_RLM_TOTAL 15 37521.83
## modelo_RLM_REDUCIDO 13 37505.55
## modelo_Iterado_STEP 6 37448.914.4. Regresión Logística Simple
Este modelo, eventualmente llamado RLogS, difiere del modelo de regresión lineal simple al relacionar una variable categórica dicotómica (con valores posibles \(1\) (éxito) y \(0\) (fracaso)) dependiente \(y\) con el valor de probabilidad \(p(x)\in [0, 1]\) que depende de alguna variable cuantitativa \(x\).
Como se mencionó en la sección 1, los modelos de regresión usados en este estudio pueden ser vistos como casos particulares del Modelo Lineal Generalizado (GLM). Este modelo extiende el modelo lineal general al relacionar la variable dependiente linealmente con sus factores y covariables a través de alguna función de enlace, permitiendo que la variable dependiente tenga una distribución diferente a la normal. Además de los modelos usados en este estudio, el GLM también cubre modelos loglineales para datos de recuento, modelos log-log complementarios para datos de supervivencia censurados por intervalos, y otros modelos estadísticos a través de la formulación general del modelo.
Como el GLM permite especificar distribuciones diferentes a la normal y una función de enlace diferente a la identidad, se pueden trabajar con muchas combinaciones posibles de distribuciones y funciones de enlace, varias de las cuales pueden ser adecuadas para un conjunto de datos en particular. La elección de la combinación estará orientada por consideraciones teóricas a priori, la naturaleza de las variables, la experiencia del investigador y los resultados al comparar combinaciones.
En este caso, se trabajará con una distribución binomial (adecuada para variables que representan una respuesta binaria) con función de enlace logit:
\[\pi(x)=\dfrac{e^{\beta_0+\beta_1 x}}{1+ e^{\beta_0 +\beta_1 x}}= \dfrac{1}{1+ e^{-(\beta_0+\beta_1 x)}}\hspace{10mm}(30)\]
Este enfoque, conocido como regresión logística binaria, es apropiado para la distribución binomial. El término “logístico” se refiere a que la función de enlace constituye un refinamiento del modelo exponencial de crecimiento, descrito por la función sigmoidea, de una magnitud asociada con un conjunto \(C\).
Para facilitar las interpretaciones, la función de enlace \(\pi(x)\) proviene de una razón de probabilidades (conocida en inglés como ODDS ratio (OR)), que a su vez es el argumento de un logaritmo: \(\log\left(\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}\right)\). Así, se modela la probabilidad de que la variable de respuesta pertenezca al nivel de referencia \(1\) en función del valor de los predictores. La transformación conserva la monotonicidad de sentidos y convierte el intervalo de probabilidad \([0,1]\) a \((-\infty,\infty)\).
Las propiedades entre las probabilidades complementarias de éxito y fracaso, sus razones y la función de enlace logit son:
| \(p(éxito)=p(fracaso)\) | \(OR=1\) | \(Logit\left(OR\right)=0\) |
| \(p(éxito)<p(fracaso)\) | \(OR<1\) | \(Logit\left(OR\right)<0\) |
| \(p(éxito)>p(fracaso)\) | \(OR>1\) | \(Logit\left(OR\right)>0\) |
Es importante tener en cuenta que la transformación Logit carece de sentido para la certeza del éxito o del fracaso.
Plantemiento del problema
Tomando como base el conjunto de datos descrito en la fase 2 se formulara un modelo de regresion logistica simple para estudiar la relacion logistica supuesta entre las variables definidas por campos: peso (variable independiente) y uso_sustancias_psicoativas (varaible dependiente), con base en una distribucion binomial y la funcion de enlace \(Logit\).
Desarrollo del Análisis
En el siguiente desarrollo del análisis se hara en R Stutio y este mismo contara con varias secciones que se presentaran a continuacion.
4.4.1. Resumen estadístico de las variables de estudio
En base a la navegacion de las pestañas se muestra el resumen estadistico de la variable independiente peso, se presenta su bloxpot e histograma. De la variable dependiente uso_sustancias_psicoativas se mostrara su diagrama de barras, asi como su media y mediana. Ademas, se exhibira un diagrama de Cajas conjunto entre aquellas variables que mencionamos.
En base en la pestaña Resumen y Bloxplot de peso se puede comentar que la variable peso como se menciono en la seccion 4.2.1. presenta un sesgo mas simetrico dado que su media y mediana se encuentran en valores extremadamente cercanas entre si lo cual nos indica que no muestra valores atipicos. Lo anterior mencionado tambien es contable a traves de la pestaña Histograma de peso y cabe aclarar que debido a la frecuencia de unos datos puede parecer que no es tan simetrico.
Continuando, segun la pestaña Resumen y Diagrama de Barras de uso_sustancias_psicoativas la variable cualitativa::nominal uso_sustancias_psicoativas muestra una mayor proporcionalidad para los casos 1 (si), que para los caso 0 (no): \(29.59\) \(%\) y \(70.41\) \(%\), repespectivamente.
Complementariamente, el Resumen y el Diagrama de Cajas Conjunto muestran que las observaciones son muy similares para los casos 0 (no) y 1 (si) de la variable uso_sustancias_psicoativas no varian demasiado para los valores de peso, cabe aclarar que esto pasa tambien con las otras categorias binarias lo cual en secciones posteriores sera un poco explicativo.
En cuanto a la dispersión, se observan diferencias opuestas entre los grupos: el grupo con uso_sustancias_psicoativas = 0 muestra una una dispercion bastante simetrica, mientras que el grupo con uso_sustancias_psicoativas = 1 muestra una distribucion bastate similar al caso 0. No muestra de manera aparente casos atipicos en los valores de la variable peso.
Resumen y Boxplot de peso
summary(clinic_dataset_bi$peso)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 42.00 55.00 70.00 70.39 85.00 101.00boxplot(clinic_dataset_bi$peso, main = "Diagrama de Caja de peso", col = c("orange"))
Histograma de peso
summary(clinic_dataset_bi$peso)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 42.00 55.00 70.00 70.39 85.00 101.00hist(clinic_dataset_bi$peso, main = "Histograma de peso", col = c("gold"))
Resumen y Diagrama de Barras de uso_sustancias_psicoativas
table(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)##
## 0 1
## 3520 1479prop.table(table(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas))##
## 0 1
## 0.7041408 0.2958592barplot(table(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas))
Resumen y Diagrama de Cajas Conjunto
tapply(clinic_dataset_bi$peso, clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas, mean)## 0 1
## 70.51250 70.09736tapply(clinic_dataset_bi$peso, clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas, median)## 0 1
## 70 70boxplot(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas, main = "Boxplot Conjunto: Peso - uso_sustancias_psicoativas", col = c("orange", "gold"))
4.4.2. Formulación del modelo de RLogS entre las variables de estudio
En base a la navegacion a traves de pestañas se muestran los coeficientes del modelo RLogS y su resumen estadistico. Se menciona de nuevo las variables que son de interes: peso (Variable independiente) y uso_sustancias_psicoativas (Variable dependiente).
La pestaña Coeficientes del Modelo RLogS nos permite establecer que el modelo RLogS selcciona a \(\pi(x)\) con \(x\) a través de la función de enlace \(Logit\) de la siguiente manera:\[\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}=e^{-0.762073811-0.001493798\cdot x}\hspace{10mm}(31)\]
De la misma forma, la pestaña Resumen Estadistico del Modelo RLogS muestra para efectos de comparacion, los resumenes del modelo estuadiado y uno alternativo tomando como base la variable cualitativa::nominal genero_del_paciente. Con base en el criterio de informacion que nos proporciona el Akaike (AIC por sus siglas en ingles), del cual se sabe que es una medida de bondad de ajuste de un modelo estadistico que describe la relacion entre el sesgo y la varianza en la formulacion del modelo, es decir, entre su exatitud y complejidad, se verifica que en base a los resultados podemos verificar que el mejor modelo es con la variable genero_del_paciente} que con la variable uso_sustancias_psicoativas por una diferencia bastante grande, porque: \(AIC_U = 6075.3 > 3384.7 = AIC_G\). Tambien, para apoyar que el modelo basado en la variable genero_del_paciente es mejor que el modelo basado en la variable uso_sustancias_psicoativas, el cociente entre la desviacion nula (Null Deviance) y la desviacion recidual (Residual Desviance), observable en la pestaña Resumen Estadistico del Modelo RLogS, es mayor en el modelo propuesto que en el de comparacion.
Coeficientes del Modelo RLogS
modelo_RLog_Simple = glm(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas~clinic_dataset_bi$peso, family = "binomial", data = data.frame(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas, clinic_dataset_bi$peso))
coef(modelo_RLog_Simple)## (Intercept) clinic_dataset_bi$peso
## -0.762073811 -0.001493798Resumen Estadístico del Modelo RLogS
summary(modelo_RLog_Simple)##
## Call:
## glm(formula = clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas ~
## clinic_dataset_bi$peso, family = "binomial", data = data.frame(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas,
## clinic_dataset_bi$peso))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -0.762074 0.134252 -5.676 1.38e-08 ***
## clinic_dataset_bi$peso -0.001494 0.001860 -0.803 0.422
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 6071.9 on 4998 degrees of freedom
## Residual deviance: 6071.3 on 4997 degrees of freedom
## AIC: 6075.3
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4modelo_RLog_Simple_S = glm(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente~clinic_dataset_bi$peso, family = "binomial", data = data.frame(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente, clinic_dataset_bi$peso))
summary(modelo_RLog_Simple_S)##
## Call:
## glm(formula = clinic_dataset_bi$genero_del_paciente ~ clinic_dataset_bi$peso,
## family = "binomial", data = data.frame(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente,
## clinic_dataset_bi$peso))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -1.738950 0.197988 -8.783 <2e-16 ***
## clinic_dataset_bi$peso -0.005603 0.002784 -2.013 0.0442 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 3384.7 on 4998 degrees of freedom
## Residual deviance: 3380.7 on 4997 degrees of freedom
## AIC: 3384.7
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 44.4.3. Análisis del modelo RLogS
En base a pestañas se motraran los resultados de algunas predicciones obtenidas a traves del modelo RLogS para identificar en sus respuestas la correspondencia de sentido en las razones de probabilidades ODDS a favor o en contra del evento considerando: \(\frac{\pi}{1-\pi}\) y \(\frac{1-\pi}{\pi}\), respectivamente. Se menciona de nuevo que las variables de interes son peso (variable independiente) y genero_del_paciente (varaible dependiente).
La pestaña Variable Predictora igual a Cero plantea dos situaciones interpretativas. La primera nos permite comprender el coeficiente del factor en el cual esta presente la variable predictora, y una probabilidad cercana a cero de que un caso sea favorable pero dado el contexto de la variable predictora esta es imposible que se torne cero por lo tanto carece de sentido, la segunda situacion conlleva una interpretacion mas delicada: como la variable peso se mide en el intervalo \([42 , 101]\) una medida de unidad razonable para el aumento seria de una unidad ejemplo: pasar de \(51\) kg a \(52\) kg implicando un aumanto de una unidad de medida. Asi, se entiende que el cociente de probabilidades en relacion con la variable predictora en le modelo RLogS refleja un incremento acumulado de \(\approx 0.994412\) veces desde \(42\) hasta \(101\) con incrementos de \(1\).
Con base en lo anterior, a traves de la pestaña Probabilidades Estimadas se puede apreciar entre los registros \(1\) y \(12\) un delta de cambio absoluto igual a \(0.00057638\) (equivalente a un icremento relativo del \(\approx 0.49\) \(%\)) al incrementar la variable predictora en una unidad como se definio en el parrafo anterior.
Por ultimo, el grafico de curva logistica, en la pestaña Grafica del modelo RLogS, nos permite visualizar y comprender el comportamiento de las variables involucradas en el modelo propuesto; en general y como nota lo siguiente a mencionar pasa con todas la variables categoricas binarias de este conjunto de datos aunque en donde se ubica la curva de regrecion si varia segun la variable, para los casos faborables y desvaorables de la variable genero_del_paciente no cambian mucho segun el valor de la variable peso lo cual implica que la linea permanezca casi constante lo cual indica que no hay mucha relacion entre las variables pero en general es asi con cada combinacion de par de variables, lo que sugiere hacer una revision mas a fondo del conjunto de datos y revisar que variables que faltan pueden presentar mas aporte.
Variable Predictora igual a Cero
coef(modelo_RLog_Simple_S)## (Intercept) clinic_dataset_bi$peso
## -1.738950056 -0.005603193round(exp(coef(modelo_RLog_Simple_S)),6)## (Intercept) clinic_dataset_bi$peso
## 0.175705 0.994412Probabilidades Estimadas
predict(modelo_RLog_Simple_S, data.frame(seq(1, 917)), type = "response")## Warning: 'newdata' had 917 rows but variables found have 4999 rows## 1 2 3 4 5 6 7
## 0.11663254 0.09118349 0.09839190 0.11663254 0.09118349 0.09118349 0.10610363
## 8 9 10 11 12 13 14
## 0.10504544 0.11434314 0.12014120 0.09593439 0.11605649 0.11605649 0.09118349
## 15 16 17 18 19 20 21
## 0.10504544 0.10504544 0.09642146 0.11043082 0.11605649 0.09642146 0.11955016
## 22 23 24 25 26 27 28
## 0.10347561 0.09593439 0.11491179 0.11043082 0.11434314 0.09839190 0.11434314
## 29 30 31 32 33 34 35
## 0.09593439 0.09593439 0.09593439 0.10610363 0.11321318 0.09118349 0.11491179
## 36 37 38 39 40 41 42
## 0.10504544 0.11663254 0.11491179 0.10610363 0.09593439 0.10610363 0.11491179
## 43 44 45 46 47 48 49
## 0.11491179 0.10610363 0.11153650 0.11955016 0.10504544 0.09118349 0.09839190
## 50 51 52 53 54 55 56
## 0.10090534 0.09072022 0.11605649 0.10610363 0.11434314 0.11605649 0.12192947
## 57 58 59 60 61 62 63
## 0.10610363 0.11377693 0.10610363 0.11153650 0.10610363 0.11491179 0.11434314
## 64 65 66 67 68 69 70
## 0.09839190 0.09642146 0.10610363 0.09839190 0.10504544 0.11491179 0.11955016
## 71 72 73 74 75 76 77
## 0.10295697 0.11434314 0.10610363 0.10610363 0.10610363 0.09072022 0.10610363
## 78 79 80 81 82 83 84
## 0.10504544 0.10295697 0.11955016 0.10610363 0.11605649 0.09118349 0.11663254
## 85 86 87 88 89 90 91
## 0.09118349 0.10610363 0.11605649 0.11043082 0.10504544 0.10504544 0.11605649
## 92 93 94 95 96 97 98
## 0.09118349 0.10504544 0.11955016 0.10610363 0.09118349 0.11605649 0.09839190
## 99 100 101 102 103 104 105
## 0.10347561 0.11955016 0.10504544 0.10610363 0.09593439 0.09118349 0.10295697
## 106 107 108 109 110 111 112
## 0.10347561 0.11377693 0.11955016 0.10504544 0.09118349 0.09118349 0.11434314
## 113 114 115 116 117 118 119
## 0.11663254 0.10347561 0.10090534 0.10610363 0.11605649 0.10295697 0.09593439
## 120 121 122 123 124 125 126
## 0.10347561 0.10610363 0.10295697 0.09642146 0.10610363 0.10610363 0.11153650
## 127 128 129 130 131 132 133
## 0.11605649 0.10610363 0.11377693 0.09118349 0.10610363 0.11605649 0.10610363
## 134 135 136 137 138 139 140
## 0.11434314 0.11491179 0.10295697 0.10090534 0.10295697 0.11955016 0.10504544
## 141 142 143 144 145 146 147
## 0.10295697 0.09642146 0.11434314 0.10504544 0.11321318 0.11434314 0.11491179
## 148 149 150 151 152 153 154
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## 0.10610363 0.09839190 0.10610363 0.11548291 0.09593439 0.10610363 0.10610363
## 4964 4965 4966 4967 4968 4969 4970
## 0.11491179 0.10504544 0.10347561 0.12192947 0.11491179 0.10347561 0.10347561
## 4971 4972 4973 4974 4975 4976 4977
## 0.10610363 0.11605649 0.09118349 0.09593439 0.09118349 0.11043082 0.09839190
## 4978 4979 4980 4981 4982 4983 4984
## 0.11955016 0.11605649 0.09642146 0.09839190 0.09593439 0.09839190 0.10504544
## 4985 4986 4987 4988 4989 4990 4991
## 0.11955016 0.11548291 0.09118349 0.09593439 0.10504544 0.10610363 0.11153650
## 4992 4993 4994 4995 4996 4997 4998
## 0.11605649 0.11955016 0.11209297 0.11043082 0.10610363 0.09593439 0.10610363
## 4999
## 0.09118349Gráfica del Modelo RLogS
genero_paciente <- clinic_dataset_bi$genero_del_paciente
peso <- clinic_dataset_bi$peso
dataPlot <- data.frame(peso, genero_paciente)
plot(genero_paciente~peso, data = dataPlot, main = "Modelo RLogS: peso - genero_paciente", xlab = "peso", ylab = "genero_paciente = 0 | genero_paciente = 1", col = "gold", pch = "I")
curve(predict(glm(genero_paciente~peso, family = "binomial", data = dataPlot), data.frame(peso = x), type = "response"), col = "orange", lwd = 3, add = TRUE)
---
title: "Estudio descriptivo multivariante sobre un conjunto de datos con relacion a registros clinicos sobre pacientes pertenecientes a una clinica de colombia"
author: " Por: G6 ::ana.callejas ::bueno.yuri ::luisa.ibanez ::@correounivalle.edu.co"
date: "2024-03-20"

output:
  html_document:
    toc: TRUE
    toc_float: TRUE
    code_download: TRUE
    theme: united
---
<!-- Configuration Global de R -->

```{r setup, include=FALSE}


library(readxl)
library(corrplot)
library(GGally)
library(ggplot2)
library(andrews)
library(tcltk)
library(aplpack)
library(graphics)
library(MVN)
library(reshape2)
library(FactoMineR)
library(factoextra)
library(psych)
library(FactoClass)
library(cluster)
library(dendextend)
library(magrittr)
library(stargazer)
library(tidyverse)

knitr::opts_chunk$set(echo=TRUE)

clinic_dataset <-read_excel("registrosclinicos(V1).xlsx")
clinic_dataset_bi <-read_excel("C:/Users/julia/Downloads/registrosclinicos(V1)_BI.xlsx")
```
 
# **Fase 1 [Descripcion Multivariante] **

## **1.1. Objetivos del Estudio**

Estudiar desde el punto de vista de la estadistica descriptiva multivariante (cálculos("registrosclinicos(V1).xlsx"), visualizaciones e interpretaciones) a un conjunto de datos sobre registros clinicos de pacientes de una clínica de Colombia.

## **1.2. Descripción de los Datos**  {.tabset .tabset-pills}

El conjunto de datos "Registros clínicos" recopila información sobre pacientes y aspectos socioeconómicos. Incluye variables como el número de hijos, género del paciente, tipo de asistencia médica, uso de sustancias psicoactivas, proximidad a centros médicos, estrato socioeconómico, peso, altura e ingresos mensuales. Estos datos pueden utilizarse para analizar la salud de los pacientes y cómo factores socioeconómicos pueden influir en su bienestar y acceso a la atención médica.

**Fuente del conjunto de Datos**

El conjunto de datos del trabajo se obtuvo casi totalmente de **Kaggle** : https://www.kaggle.com/

Es conveniente anotar que **Kaggle** es una compañia subsidiaria de Google LLC que mantiene una comunidad online de cientificos de datos y profesionales de aprendizaje automático. Esta empresa permite sus usuarios encontrar y publicar conjunto de datos, explorar y crear modelos en un entorno de ciencia de datos basados en la web, trabajar con otros cientificos de datos e ingenieros de aprendizaje automatico y participar en un curso para resolver desafios de ciencia de datos.

**Contexto del conjunto de Datos**

Recopila resgistros sobre la atención medica de pacientes en una clinica de Colombia este conjunto incluye datos demograficos como edad, estrato socioeconomico, peso, altura, ingreso mensul, genero, numero de hijos e información sobre procedimientos médicos y de comportamiento de pacientes. Este conjunto de datos se actualizó por última vez en el año 2022.

**Descripcion del conjunto de Datos**

El conjunto de datos contiene 11 campos y 4999 registros. Uno de los campos es simplemente un identificador numérico secuencial de los registros de cada paciente;otro campo es un identificador de decision;otros tres son de naturaleza politómica; y el resto son numéricos estrictamente positivos. La lista siguiente describe de izquierda a derecha, como aparecen en el rango o conjunto de datos que los contiene y se establece para cada campo, excepto el campo Codigo de paciente, el tipo de variable y su escala de medición (tipo_de_variable::escala_de_medición[ordenamiento]):

-	**Código de paciente** (identificador): registra un número secuenciado a partir de 1 para identificar de forma única cada registro de paciente consignado en el conjunto de datos.

-	**Edades** (cuantitativa::razón): contiene las edades de cada paciente a partir de 12 hasta 56 años de edad.

-	**Número de hijos** (cualitativa::razón): registra la cantidad de hijos que tienen los pacientes, donde estos van desde ***1*** y el ***máximo rango*** va hasta ***6 integrantes***.

-	**Genero del paciente** (cualitativa::nominal): registra el sexo del paciente y se categoriza por ***femenino*** y ***masculino.*** 

-	**Asistencia privada publica** (cualitativa::nominal): registro dado a partir de la asistencia a la clínica donde el paciente informa el dato sobre su atención, donde esta se clasifica en dos las cuales son ***privada*** o ***pública***. 

-	**Uso sustancias psicoactivas** (cuantitativa::nominal) registra el consuma de sustancias psicoactivas por parte del paciente y se categoriza con respuesta cerrada donde solo existen dos opciones : ***no*** y ***si***.

-	**Residencia cerca al centro** (cuantitativa::nominal) registra la residencia del paciente si es cerca al centro o no.

-	**Estrato socioeconómico** (cualitativa::nominal) registra los datos clasificándolos de **1** a **6**.

-	**Peso** (cuantitativa::razón): contiene el peso de cada paciente en kilogramos donde este va de 42kg a 101kg.

-	**Altura** (cuantitativa::razón): registra la altura de cada paciente usando la escala de medición en cm 

-	**Ingresos mensuales** (cuantitativa::razón): registra los ingresos mensuales de cada paciente en pesos colombianos.

### Estructura del conjunto de Datos
```{r Estructura_Conjunto_de_Datos, fig.align = 'center'}
str(clinic_dataset)
```

### Visualizacion del conjunto de Datos
```{r Visualizacion_Conjunto_De_Datos, fig.align='center'}
clinic_dataset
```

## **1.3. Estimaciones Multivariadas** {.tabset .tabset-pills}

La de media, varianza y covarianza conforman un conjunto de medidas fundamentales para describir el comportamiento posicional, dispersivo y correlacional de variables aleatorias. En este sentido, el conjunto de datos de trabajo que posee cinco variables numéricas, y que está representado matricialmente, estima las medidas anteriores a partir de vectores y matrices en el estudio descriptivo multivariable.
El vector de medias indica el comportamiento posicional en el sentido de valor esperado o punto medio para cada variable en relación con todos sus registros. La matriz de varianzas-covarianzas estima las dispersiones, en su diagonal principal, de cada variable del conjunto de datos respecto de cada media obtenida del vector de medias. Además, por encima o por debajo de la diagonal principal, se estiman las covarianzas entre las combinaciones de los posibles pares de variables del conjunto de datos.

**Planteamiento del Problema**

Con base en el conjunto de datos descrito se calcularán e interpretarán, para las variables numéricas, el vector de medias, la matriz de varianzas-covarianzas y la matriz de correlaciones. Se recuerda que las variables numéricas son: **edades, numero_de_hijos, peso, altura** y **ingresos_mensuales**

**Desarrollo del Análisis**

En base a la navegacion de pestañas que nos permite RStudio se calculo los siguientes tres objetos: **Vector de Medias**, **Matriz de Varianzas-Cobarianzas** y **Matriz de Correlaciones**.

Basándonos en la pestaña **Vector de Medias**, se observa que en general los datos registrados para cada una de las variables tienden a presentar colas derechas en sus distribuciones, lo que hace que las medias estimadas tiendan a ser altas. Además, en relación con la mediana, solo la variable **edades** muestran un sesgo notable en comparación con las demás. También se ha observado que todos los casos atípicos se encuentran en el extremo inferior. Si revisamos los rangos de las variables estudiadas, podemos encontrar que las medias son altas en comparación con los su escala y rango de medida.

Basandonos en la pestaña **Matriz de Varianza-Covarianza** Se puede interpretar que en general, las relaciones entre las variables tomadas por pares en su mayoria tienden a ser de proporcionalidad indirecta y en la diagonal de la matriz podemos observar como varian los datos dentro de su propia clasificacion.

Basandonos en la pestaña **Matriz de Correlaciones** y al considerar los resultados de la **Matriz de Varianzas-Covarianzas** se puede verificar que los coeficientes de correlacion son negativos y positivos entre las variables: **edades, numero_de_hijos, peso, altura** y **ingresos_mensuales**. Estas correlaciones eran de esperarse en el conjunto estudiado.
   
### Vector de Medias
```{r}
apply(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], 2, mean)
clinic_dataset_Reducido = clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)]
par(mfrow = c(1, ncol(clinic_dataset_Reducido)))
invisible(lapply(1:ncol(clinic_dataset_Reducido), function(i) boxplot(clinic_dataset_Reducido[, i])))
```

### Matriz de varianza-covarianza
```{r}
round(cov(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)]),2)
```

### Matriz de correlaciones
```{r}
round(cor(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)]),2)
```

## **1.4. Gráficas multivariadas** {.tabset .tabset-pills}
Se menciona que, en general, los gráficos multivariados cumplen dos objetivos esenciales: primero, ayudan a comparar el comportamiento de poblaciones de estudio con base en variables categóricas y suavizan la comprensión de la Estructura de evaluación entre varias variables. En este sentido, el conjunto de datos de trabajo tendrá apoyo descriptivo gráfico a través de tres diagramas: uno conjunto que integra dispersión, distribución y correlaciones; otro basado en la renderización de polígonos, y por último, uno que recurre a las caras de Chernoff.

**Planteamiento del problema**

Con base en el conjunto de datos descrito en la fase 1 seccion 1.2, se calcularán e interpretarán diversas gráficas multivariadas para las variables numéricas. Las variables numéricas utilizadas (en una escala de medición de razón) incluyen: **edades, numero_de_hijos, peso, altura** y **ingresos_mensuales**.

A continuación, se realizarán las siguientes gráficas multivariadas:

- **Diagrama de Correlaciones:** Este diagrama mostrará las relaciones de correlación entre pares de variables numéricas. Las líneas o colores indicarán la fuerza y dirección de la correlación entre cada par de variables. Esto ayudará a identificar patrones de asociación lineal entre las variables.

- **Matriz de Diagrama de Dispersión**: La matriz de diagrama de dispersión representará gráficamente la relación entre todas las combinaciones posibles de variables numéricas. Cada celda de la matriz mostrará un diagrama de dispersión que ilustra la relación entre un par específico de variables. Esto permitirá visualizar simultáneamente múltiples relaciones entre las variables.

- **Diagrama de Estrellas:** Este tipo de diagrama se utiliza para mostrar relaciones complejas entre múltiples variables. Cada variable se representa como un eje en un gráfico radial, y los puntos o líneas conectadas indicarán las observaciones de datos. Esto facilita la identificación de patrones o agrupaciones en los datos multivariados.

- **Caras de Chernoff:** Las caras de Chernoff son un método visual único para representar múltiples variables numéricas mediante la modificación de las características faciales (como forma de ojos, boca, etc.) para reflejar los valores de las variables. Cada cara representa una observación en el conjunto de datos y permite una visualización intuitiva de las diferencias y similitudes entre las observaciones basadas en múltiples características.

Estas gráficas multivariadas proporcionarán una visión completa y detallada de la estructura de los datos numéricos, ayudando a identificar patrones, asociaciones y posibles agrupaciones en el conjunto de datos descrito en la sección 1.2.

**Desarrollo del análisis** 

La navegación a través de pestañas que nos permite RStudio mostrará las gráficas multivariadas de: **Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones** (sin agrupación **SA** y con agrupación **CA**; teniendo en cuenta las 5 variables categóricas: genero_del_paciente: GE, asistencia_privada_publica: AS, uso_sustancias_psicoativas: US, residencia_cerca_al_centro: RE y estrato_socioeconomico: ES, **Diagrama de Estrellas** y **Caras de Chernoff**.

Basándonos en la pestaña **Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [SA]**, donde podemos observar que existen dos correlaciones, una positiva más alta, superior a $0.779$, y una negativa más baja $-0.009$. En general, dependiendo de con quién se correlacionen, nos pueden dar resultados positivos o negativos. Ahora, el significado de esto nos indica el nivel de proporcionalidad (directa o indirecta) que tienen las variables cuando se relacionan unas con otras. Sin embargo, es importante destacar que ninguna de estas variables es extremadamente explicativa por sí sola. Aunque muestran correlaciones altas y bajas, lo que sugiere un cierto nivel de relación entre ellas, ninguna de ellas puede explicar completamente este fenómeno, lo cual sugiere que también hay influencia de otros factores externos.

De manera complementaria, basándonos en las pestañas **Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones**, pero en sus versiones en grupos de las variables categóricas:  **genero_del_paciente**, **asistencia_privada_publica**, **uso_sustancias_psicoativas**, **residencia_cerca_al_centro** y **estrato_socioeconomico**, se puede apreciar que en la comparativa entre distintas categorías, el **uso_sustancias_psicoativas** no muestra tanta relevancia como para elevar de manera tan significativa la probabilidad de que tenga acceso medicoo no, a diferencia de lo que ocurre con la categoría **estrato_socioeconomico**, que se muestra de manera diferente a lo mencionado anteriormente. Es decir, que un paciente que muestra que segun el estrato del paciente este puede tener un acceso mas facil al servicio de salud, este resultado puede resultar más significativo en el diagnóstico de insuficiencia cardíaca. Por otro lado, la categoría **asistencia_privada_publica** también puede dar una correlación significativa entre la los pacientes que tiene una u otra asistencia.

En base a la pestaña **Diagrama de Estrellas**, se puede interpretar que hay una gran variedad bastante notable entre los pacientes y, en términos de datos, hay ciertas relaciones pero no son lo suficientemente altas como para separar en grupos, en general presentan una alta variablilidad

Además complementariamente **Diagramas de Estrellas**, la pestaña **Caras de Chernoff** revela la gran diversidad entre los pacientes. Con bastante claridad, las Caras de Chernoff, desde el número 1 hasta el 23, muestran una gran variabilidad, lo que hace imposible separarlos en grupos similares. Este hallazgo coincide con lo observado en el Diagrama de Estrellas.


### Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [SA]
```{r message=FALSE, warning=FALSE}
ggpairs(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)])
```

### Diagrama de conjunto de dispersión, distribucion y correlaciones [CA-GE]
```{r Diagrama_Conjunto_DDC_CA_GE}
ggpairs(clinic_dataset, columns = c(2,3,9,10,11), aes(color = genero_del_paciente, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
```

### Diagrama de conjunto de dispersión, distribucion y correlaciones [CA-AS]
```{r Diagrama_Conjunto_DDC_CA_AS}
ggpairs(clinic_dataset, columns = c(2,3,9,10,11), aes(color = asistencia_privada_publica, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
```

### Diagrama de conjunto de dispersión, distribucion y correlaciones [CA-US]
```{r Diagrama_Conjunto_DDC_CA_US}
ggpairs(clinic_dataset, columns = c(2,3,9,10,11), aes(color = uso_sustancias_psicoativas, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
```

### Diagrama de conjunto de dispersión, distribucion y correlaciones [CA-RE]
```{r Diagrama_Conjunto_DDC_CA_RE}
ggpairs(clinic_dataset, columns = c(2,3,9,10,11), aes(color = residencia_cerca_al_centro, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
```

### Diagrama de conjunto de dispersión, distribucion y correlaciones [CA-ES]
```{r Diagrama_Conjunto_DDC_CA_ES}
ggpairs(clinic_dataset, columns = c(2,3,9,10,11), aes(color = estrato_socioeconomico, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
```

### Diagrama de estrella
```{r}
set.seed(780728)
clinic_dataset_Reducido = clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),23),-c(1,4,5,6,7)]
stars(clinic_dataset_Reducido, len = 1, cex = 0.4, key.loc = c(10, 2), draw.segments = TRUE)
```

### Caras de chernoff
```{r}
set.seed(780728)
clinic_dataset_Reducido = clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),23),-c(1,4,5,6,7,8)]
faces(clinic_dataset_Reducido)
```

## **1.5. Normalidad multivariada**  {.tabset .tabset-pills}

Para investigar o determinar el tipo de distribución multivariada de un conjunto de datos, se pueden utilizar procedimientos descriptivos, como gráficos, o procedimientos inferenciales, como pruebas estadísticas. En este contexto, se logra una generalización de resultados al emplear estos últimos, aunque los primeros respaldan las interpretaciones.

En esta sección se considera el uso de procedimientos inferenciales para determinar si el conjunto de datos con respecto a sus variables numéricas, sigue una distribución normal multivariada (DNM). Se aplicarán pruebas de normalidad multivariada (PNM) que incluyen las pruebas de Mardia, Henze-Zirkler, Doornik-Hansen y Royston. Estas pruebas de normalidad se llevarán a cabo con un nivel de significancia $\alpha = 0.05$ y bajo las siguientes hipótesis:$$H_0: \text {El conjunto de datos sigue una distribución normal multivariada.}$$ $$H_1: \text {El conjunto de datos NO sigue una distribución normal multivariada.}$$ 

La prueba de Mardia se fundamenta en extensiones de asimetría y curtosis, el cuadrado de la distancia de Mahalanobis, la cantidad de variables $p$ en análisis y la cantidad de registros $n$. En este contexto, la prueba estadística para la asimetría sigue una distribución $\chi^2$, mientras que la prueba estadística para la curtosis se aproxima a una distribución normal.

La prueba de Henze-Zirkler se fundamenta en la distancia funcional. Si el conjunto de datos sigue una distribución normal multivariada, el estadístico de la prueba se distribuye aproximadamente como una log-normal, con parámetros de media
$\mu$ y varianza $\sigma^2$.

La prueba de Doornik-Hansen se basa en la asimetría y la curtosis de un conjunto de datos multivariados, los cuales se transforman para asegurar la independencia. Esta prueba se considera más potente que la prueba de Shapiro-Wilk en casos multivariados. El estadístico de prueba está definido como la suma de las transformaciones al cuadrado de la asimetría y la curtosis, y sigue aproximadamente una distribución $\chi^2$.

La prueba de Royston utiliza las pruebas de Shapiro-Wilk o Shapiro-Francia para evaluar la normalidad multivariada. Si la curtosis es mayor que 3, la prueba de Royston emplea Shapiro-Francia para distribuciones leptocúrticas. Por otro lado, para distribuciones platicúrticas utiliza Shapiro-Wilk. En esta prueba, los parámetros son obtenidos mediante aproximaciones polinomiales.

**Planteamiento del problema** 

Con base en el conjunto de datos descrito en la fase 1 sección 1.2, se realizará una prueba estadística de normalidad multivariada con un nivel de significancia $\alpha=0.05$, para determinar si los datos métricos provienen de una población normal multivariada. Las variables numéricas del conjunto de datos (en escala de medición de razón) son: **edades, numero_de_hijos, peso, altura** y **ingresos_mensuales**.

Se utilizará una de las pruebas de normalidad multivariada mencionadas anteriormente, como la prueba de Mardia, Henze-Zirkler, Doornik-Hansen o Royston, dependiendo de la distribución de las variables y la curtosis observada. El objetivo es evaluar si estas variables siguen una distribución normal conjunta en el espacio multivariado.

El procedimiento implicará calcular el estadístico de prueba específico (por ejemplo, basado en asimetría y curtosis) y compararlo con su distribución teórica bajo la hipótesis nula de normalidad multivariada. Se establecerá un criterio de rechazo de la hipótesis nula si el valor $p-value$ asociado al estadístico de prueba es menor que $\alpha$.

Una conclusión positiva (no rechazo de la hipótesis nula) indicaría evidencia de que las variables analizadas siguen una distribución normal multivariada. Por el contrario, un rechazo de la hipótesis nula sugeriría que al menos una de las variables no sigue una distribución normal, lo que podría tener implicaciones en el análisis posterior de los datos.

**Desarrollo del análisis**

La exploración a través de las diferentes pruebas de normalidad multivariada indica que el conjunto de datos, considerando sus variables numéricas, no sigue una distribución normal multivariada. Aquí están los hallazgos clave de cada prueba:

1. **Prueba de Mardia**: Los valores $p$ asociados con las pruebas de asimetría (Skewness) y curtosis (Kurtosis) son menores que el nivel de significancia $\alpha = 0.05$. Esto sugiere que no hay suficiente evidencia para sostener la hipótesis de normalidad multivariada para las variables del conjunto de datos.

2. **Prueba de Henze-Zirkler**: El estadístico de prueba no se distribuye aproximadamente como log-normal, ya que el valor $p$ es menor que $\alpha = 0.05$. Por lo tanto, no hay apoyo para que el conjunto de datos siga una distribución normal multivariada según esta prueba.

3. **Prueba de Doornik-Hansen**: El estadístico de prueba no sigue una distribución $\chi^2$ aproximadamente, dado que el valor $p$ es menor que $\alpha = 0.05$. Esto sugiere que las evidencias no respaldan la normalidad multivariada del conjunto de datos.

4. **Prueba de Royston**: El conjunto de datos, reducido a sus variables numéricas, no sigue una distribución normal multivariada según esta prueba, ya que el valor $p$ es menor que $\alpha = 0.05$.

En resumen, con un nivel de significancia de $0.05$, las pruebas indican consistentemente que el conjunto de datos analizado, con respecto a sus variables numéricas, no sigue una distribución normal multivariada. Este hallazgo es importante para la interpretación y el análisis subsiguiente de los datos.

### PNM Mardia
```{r}
mvn(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], mvnTest="mardia")
```

### PNM Hense-Zirkler
```{r}
mvn(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], mvnTest="hz")
```

### PNM de Doornik-Hansen
```{r}
mvn(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], mvnTest="dh")
```

### PNM de Royston
```{r}
mvn(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),2000), -c(1,4,5,6,7,8)], mvnTest="royston")
```

# **Fase 2 [Componentes Principales]**

## **2.1 Objetivos**

En términos generales, esta segunda etapa del estudio presentará cálculos, visualizaciones e interpretaciones basadas en el conjunto de datos tratado en la **fase 1.** Esta vez, el enfoque se centrará en el análisis de componentes principales de las variables cuantitativas, lo que incluirá la selección, calidad de representación, contribuciones e interpretación.

## **2.2. Seleccion de componentes** {.tabset .tabset-pills}

El Análisis de Componentes Principales (en adelante ACP) reestructura un conjunto de datos multivariado a través de la reducción de la cantidad de sus variables, en cuyo transfondo es innecesario asumir ninguna distribución de probabilidad de ellas. Esta reducción es lograda a través de combinaciones lineales de las variables originales, que deberán contener la mayor variabilidad posible presente en el conjunto de datos. En este sentido, el ACP logra crear nuevas variables, conocidas como componentes principales, que poseen características estadísticas de independencia (con base en el supuesto de normalidad) y no correlación.

El ACP se logra a lo largo de las siguientes fases: generación de nuevas variables, reducción dimensional del espacio de los datos, eliminación de varaibles de poco aporte e interpretación de los componentes resultantes en el contexto del problema del cual se obtuvieron los datos.

**Planteamiento del problema**

Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la fase anterior, primero se debe establecer el porcentaje de varianza explicado por cada dimensión una vez procesado el ACP. Posteriormente, utilizando el autovalor medio o un diagrama de sedimentación, se decidirá cuántos componentes retener.

**Desarrollo del análisis**

Con base a la navegacion en pestañas se puede apreciar que el conjunto de datos, relacionado con sus variables numericas puede ser representado por unos conjuntos mas pequeños que llegan a retener el $76.15$ $\%$ de la variabilidad del conjunto, estas en particular:

La **Matriz ACP** muestra en total seis dimenciones en donde la primera retiene un $35.76$ $\%$, la siguiente un $20.46$ $\%$ y las demas de manera respectiva $19.94$ $\%$ dandonos un total de $76.15$ $\%$ como habiamos mencionado antes, En este sentido la representatividad de la combinacion lineal por dimenciones individuales es relativamente buena pero si tomamos de la dimencion 1 a 3 son significativamente altas a comparacion del resto. Como esta matriz no identifica la relacion con las variables originales se seguira indagando para indentificar las variables que mas contribuyes a las 3 primeras dimensiones que tengan el valor propio mas alto.

La **Matriz de Correlaciones** permite continuar con el proceso de las descripciones de las combinaciones lineales que conforman las dimensiones de mayor interés: Dimencion 1 a 3. Así mismo esta matriz como se describio en secciones pasadas, ayudara a verificar que la intencidad de correlaciones es relativamente aceptable y positiva entre las variables: **edades** y **altura**, lo cual muestra una relacion con el fenomeno que se esta estudiando, por lo tanto, se podira esperar que estas variables participen de manera significativa en la combinación Lineal que define a la dimencion 1 a 3.

La pestaña de **Valores y Vectores Propios** muestra estos elementos calculados a partir de la matriz de correlaciones del conjunto de datos. En este contexto, se asegura que la suma de los valores propios sea igual a la dimensión de dicha matriz y a la variabilidad total del conjunto, lo que permite calcular fácilmente las proporciones de retención de variabilidad. Además, la matriz de vectores propios define, para cada componente y en relación con cada variable del conjunto de datos, los coeficientes de la combinación lineal que la conforman, por ejemplo, ajustados a dos cifras decimales, la componente 1 estaria representada por la combinacion lineal (donde $E$ es edades, $N$ es numero_de_hijos, $P$ es peso, $A$ es altura y $I$ ingresos_mensuales, y ademas son variables estandarizadas): de esta mismma forma se haran con los componenetes 1 a 3 quedando de la siguiente forma:
$$Componente_1 = 0.093*E+0.003*N-0.698*P+-0.708*A-0.04*I$$ 
$$Componente_2 = 0.72*E-0.439*N+0.103*P-0.037*A+0.519*I$$
$$Componente_3 = 0.59*E+0.768*N+0.119*P-0.023*A-0.20*I$$
Se escogen estas 3 porque en el **ACP** forman el $76.15$ $\%$ y juntas representan una versión más compacta y rica del conjunto original, y hasta este punto se puede observar que el numero de dimensiones resultantes es equivalente al numero de variables tratadas, sin contar las variables nuevas ya que estan son incorreladas entre si, ver la pestaña **Correlaciones comparadas**. 

Por último, tanto el Gráfico de Cattell como el Gráfico de Cattell-Kaiser, que representan el codo y la sedimentación respectivamente, ayudan a decidir cuántas componentes retener en la reducción de dimensionalidad, asegurando que se conserve una cantidad suficiente de variabilidad para abordar el problema en cuestión. No obstante, es importante destacar que se sugiere tomar decisiones basadas en criterios más comunes en lugar de criterios de aceptación universal.

El Gráfico de Cattell revela que los cambios en la pendiente indican una alta capacidad explicativa de las dimensiones en comparación con las demás. Por otro lado, el Gráfico de Cattell-Kaiser, al combinar el gráfico anterior con el criterio de Kaiser en la misma visualización, respalda la idea de retener solo 2 dimensión y no 3 como se habia propuesto, enfatizando que esta elección debe conservar un porcentaje adecuado de variabilidad para el análisis del problema en cuestión.

### Matriz ACP
```{r}
get_eigenvalue(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 11, scale.unit = TRUE, graph = F))
```

### Matriz de correlaciones
```{r}
round(cor(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)]),2)
```

### Valores y vectores propios 
```{r}
princomp(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], cor = TRUE)$sdev^2
princomp(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], cor = TRUE)$loadings[ ,1:5]
```

### Correlaciones comparadas
```{r}
par(mfrow=c(1,2))
corrplot::corrplot(cor(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)]), method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
corrplot::corrplot(cor(princomp(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], cor = TRUE)$scores), method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
```

### Gráfico de cattell
```{r}
fviz_eig(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], scale.unit = T, graph = F), addlabels = T, ylim=c(0,90), main = "")
```

### Gráfico de cattell-kaiser
```{r}
scree(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)],factors = FALSE, pc = TRUE, main ="")
```

## **2.3. Calidad de representación** {.tabset .tabset-pills}

Después de reducir la dimensionalidad del conjunto de datos y proyectar las variables estandarizadas en la hiperesfera de correlaciones, es esencial iniciar la interpretación de los componentes teniendo en cuenta estas correlaciones. Esto nos permite entender cómo las variables originales se relacionan entre sí y cómo estas relaciones se reflejan en los componentes principales. Esta comprensión nos ayuda a inferir patrones y estructuras importantes en los datos. Además, es crucial evaluar la calidad de las representaciones de los componentes, asegurándonos de que conserven la información crucial del conjunto de datos original y sean útiles para el análisis subsiguiente, garantizando así una comprensión precisa y útil de la estructura de los datos.

**Planteamiento del problema**

Con base en el conjunto de datos descrito en la fase 1 se requiere determinar la calidad de representación de las variables cuantitativas en relación con la cantidad de dimensiones calculadas que retienen la mayor cantidad de variabilidad. Para obtener más información al respecto, se recomienda consultar la **sección 2.2** del documento.

**Desarrollo del análisis**

Explorar las pestañas revela, que reducir la dimensionalidad del conjunto de datos permite analizar las calidades de representación. Esto se evalúa en función de la escala de contribuciones relativas, basada en un cociente de proyecciones con propiedades aditivas y una respuesta en una escala continua de 0 a 1. Así, en particular:

El **Círculo de correlaciones** nos muestra de manera visual cómo se comportan las seis variables de interés. En este caso, cuatro de ellas están bastante próximas a las fronteras del círculo unitario y cerca de los dos ejes principales, dependiendo de la variable que se tome como referencia. Esto indica que estas variables tienen una buena representación en el plano de los componentes principales. Además, podemos observar tanto correlaciones positivas como negativas entre ellas. Un aspecto importante a destacar es la correlación existente entre las variables. Un ejemplo representativo es la relación entre **edades** y **altura**. Estas dos variables muestran cómo las correlaciones pueden variar significativamente, reflejando relaciones complejas que pueden ser positivas o negativas dependiendo de su posición relativa en el círculo.

La **Matriz de Representación** muestra algunos valores signicativamente cercanos a 0 y pocos cercanos a 1,los valores anteriormente mencionados son los cocientes de las proyecciones coseno cuadrado que estan relacionados con la dimensión 1. así de la misma manera la **Calidad de Representación** en cuanto se relaciona con la componente 1 esta encabezada **edades** y cierra con **ingresos_mensuales** cabe recalcar que en la dimension 2 se obtine una mejor representacion por parte del **ingresos_mensuales**, por lo tanto lo que nos dice esto es que la representacion relacionada con la primera dimension se ve afectada. Tambien es importante mencionar que la escala que muestra la **Calidad de Representación** indica su escala un piso alto de $0.02$ y las variables mas representativas son **edades** y **altura**.

Por último, las **Coordenadas Individuales** permiten identificar, aunque de manera menos intuitiva, los perfiles de los registros individuales, en este caso los pacientes, en relación con las dimensiones más importantes que retienen la mayor parte de la variabilidad: las componentes 1 y 2. Estas coordenadas nos ayudan a entender cómo se distribuyen y agrupan los pacientes en el espacio definido por estas componentes principales.
Por ejemplo, al analizar los registros 1, 4, 13 y 21, podemos observar que los registros anteriormente mencionados presentan perfiles similares. Esta observación se mantiene incluso cuando consideramos otras variables como la peor representada. Este análisis sugiere que las principales diferencias y similitudes entre estos registros se capturan de manera efectiva a través de las componentes 1 y 2.

### Círculo de correlaciones
```{r}
fviz_pca_var(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], scale.unit = T, graph = F),col.var="#3B83BD", repel = T, col.circle = "#CDCDCD", ggtheme = theme_bw())
```

### Matriz de representacion
```{r}
(get_pca_var(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F)))$cos2
```

### Calidad de representación
```{r}
fviz_pca_var(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), col.var="cos2", gradient.cols=c("#00AFBB","#E7B800","#FC4E07"), repel = TRUE)
```

### Coordenadas individuales
```{r}
head((PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F))$ind$coord, n = 23L)
```

## **2.4. Contribuciones** {.tabset .tabset-pills}

La interpretación de los resultados en el análisis de componentes principales (ACP) se ve enriquecida por el cálculo de diversas métricas, tales como coordenadas, contribuciones y cosenos cuadrados. Estos indicadores son fundamentales para comprender la relación entre las variables originales y los componentes principales generados. Es crucial que las variables estén claramente conceptualizadas, contextualizadas en el marco del problema de estudio, para poder interpretar con precisión sus contribuciones a los componentes.

El cálculo de las contribuciones de cada variable a cada componente permite entender el grado de influencia de cada una en la formación de los componentes principales. Este análisis facilita la identificación de aquellas variables que más contribuyen a la estructura de cada componente y, por ende, a la variabilidad general de los datos. Además, proporciona insights sobre las relaciones subyacentes entre las variables y cómo estas se reflejan en los componentes.

**Planteamiento del Problema**

Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la fase 1 se requiere determinar las contribuciones que cada variable realiza en la construcción de cada componente. Este análisis permitirá comprender el papel de cada variable en la estructura subyacente de los datos y su impacto en la formación de los componentes principales. Mediante el cálculo de estas contribuciones, será posible identificar qué variables tienen una influencia más significativa en cada componente, lo que facilitará la interpretación de los resultados del análisis de componentes principales y proporcionará información valiosa para el estudio del problema en cuestión.

**Desarrollo del Análisis**

Con base a través de las pestañas de navegacion nos permite reconocer las representaciones numericas y graficas de las contribuciones de cada variable del conjunto de datos de manera porcentual a la construcion de cada componente. Entonces en particular llegamos a encontrar lo siguiente:

La **Matriz de contribuciones** nos muestra en terminos numericos la retencion de la variabilidad que tiene cada variable en su respectiva componente, de la misma se haran diagramas de barras que nos expliquen de manera visual las **Contribuciones a D1** hasta **Contribuciones a D5** y esta misma se hara a través de la naevagacion de pestañas. Tambien de manera complementaria cada grafico tendra su propia linea que nos ayudara a identificar la contribucion media, esto nos ayudara a identificar las variables que contribuyan de mejor manera a sus repectivas dimenciones.

- En **Contribuciones a D1** se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: **peso** y **altura** que retiene aproximadamente el $98.9$ $%$ de la variabilidad de la componente 1.

- En **Contribuciones a D2** se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: **edades** y **ingresos_mensuales** que retiene aproximadamente el $79.5$ $%$ de la variabilidad de la componente 2.

- En **Contribuciones a D3** se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: **edades** y **numero_de_hijos** que retiene aproximadamente el $94.5$ $%$ de la variabilidad de la componente 3.

- En **Contribuciones a D4** se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: **numero_de_hijos** y **ingresos_mensuales** que retiene aproximadamente el $90.2$ $%$ de la variabilidad de la componente 4.

- Por ultimo tenenemos la pestaña **Contribuciones a D5** se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: **altura** y **peso** que retiene aproximadamente el $98$ $%$ de la variabilidad de la componente 6.

Con los datos procesados hasta este momento podemos seguir con el siguiente paso que seria la interpretacion de cada componenete.

### Matriz de contribuciones
```{r}
(get_pca_var(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F)))$contrib
```

### Contribuciones a D1
```{r}
fviz_contrib(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 1, top = 10)
```

### Contribuciones a D2
```{r}
fviz_contrib(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 2, top = 10)
```

### Contribuciones a D3
```{r}
fviz_contrib(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 3, top = 10)
```

### Contribuciones a D4
```{r}
fviz_contrib(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 4, top = 10)
```

### Contribuciones a D5
```{r}
fviz_contrib(PCA(clinic_dataset[,-c(1,4,5,6,7,8)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 5, top = 10)
```

## **2.5 Interpretacion de componentes** {.tabset .tabset-pills}

Se sabe que a partir de las coordenadas de los registros dimensionalmente reducidos, es posible ubicarlos en un plano de factores para análisis e interpretación. En este proceso, las variables reducidas actúan como las componentes principales, que se representan como ejes en el plano, mientras que los valores que toman son los puntajes de las componentes. Como se explica en el mismo trabajo, las distancias entre los puntos definidos por los puntajes de las componentes tienen un significado relevante al ayudar a establecer semejanzas de perfiles en las observaciones realizadas.

Es importante destacar que los valores semejantes de las variables pueden darse solo en algunas de ellas, sin que sea necesario que suceda en todas. Sin embargo, se espera que las distancias en el espacio dimensional original de las observaciones queden bien representadas en el espacio reducido de las componentes. Este proceso de reducción dimensional conserva la estructura subyacente de las relaciones entre las observaciones, lo que permite una representación más compacta y comprensible de los datos mientras se mantienen las distancias relevantes para la interpretación de semejanzas y diferencias entre observaciones.

**Planteamiento del Problema**

Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la fase 1 se requiere definir e interpretar sus componentes principales. La definición de cada componente principal implica comprender cómo se combinan linealmente las variables originales para formarlos, así como su contribución relativa a la variabilidad total de los datos. Por otro lado, la interpretación de los componentes implica analizar qué aspectos o patrones de los datos representan, y cómo se relacionan con el problema o fenómeno estudiado.

**Desarrollo del análisis**

La navegación a través de las pestañas permite visualizar objetos gráficos y matriciales que, al incluir lo hecho en las secciones anteriores, ayudan a robustecer la interpretación de las componentes calculadas. Como se mostró en la **sección 2.3**, la cantidad de componentes seleccionadas se redujo (según el criterio de Kaiser) a dos, y se estableció que la componente 1 y 2 retiene el $56.3$ $%$ de la variabilidad de los datos. Así, en el círculo de correlaciones se observa que la representación de las variables conjugadas en la componente 1 y 2 la configura como una de tipo tamaño, lo que puede interpretarse como una especie de índice de proporcionalidad directa. Esto también se respalda con el hecho de que todas las variables presentan calidades de representación entre **0.2** y **0.8**. En consecuencia, cuanto mayor sea el valor de las variables, mayor será la probabilidad de que el paciente se le diagnostique insuficiencia cardiaca. Así, dada la naturaleza de las variables, estas componentes puede representar para un paciente la probabilidad de estar en algun servicio de salud. Al respecto:

Las pestañas de **Biplot Variables y Registros Totales** en **G** (genero_del_paciente), **A** (asistencia_privada_publica), **U** (uso_sustancias_psicoativas), **R** (residencia_cerca_al_centro) y **R** (estrato_socieconomico), se muestran con base en las agrupaciones que estas variables categoricas cualitativas se prestan para establecer la representacion en una dimencionalidad reducida en el plano de factores de registros y dimenciones con base en los puntajes por componentes. En este sentido, es posible apreciar que las agrupaciones con base en **estrato_socieconomico** capturan diferencias acentuadas en la distribucion de las observaciones, contrario al resto de agrupaciones anteriormente mensionadas ya que en general se muestran bastante dispersas en cuanto a las categorias de las variables.

Por ultimo, para mostar de manera mas facil la ubicacion en el plano de componentes (en particular, siempre esta conformado por las dos componentes por el interes que sucitan) y, asi mismo, las semejanzas de perfiles de correlacion entre cada variable, se dispone de las pestañas de **Coordenadas Individuales [Subconjunto E]** y **Biplot de Variables y Registros [Subconjunto E]**. Estas muestran, con base en un subconjunto de 61 registros muestreados de manera aleatoria simple, los puntajes por componente y el biplot de ese subconjunto, con base en la agrupacion provista por la variable categorica **estrato_socieconomico**, sin perder una cantidad significativa de detalles. Esto, se insiste con el fin de visualizar los datos de mejor manera ya que el conjunto original posee mas de 4999 registros y genera una dificualdad en la identificacion visual.

### Biplot de variables y registros [total G -> genero_del_paciente]
```{r}
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,5,6,7,8)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$genero_del_paciente)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 6), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 6)
```

### Biplot de variables y registros [total A -> asistencia_privada_publica]
```{r}
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,6,7,8)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$asistencia_privada_publica)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 6), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 6)
```

### Biplot de variables y registros [total U -> uso_sustancias_psicoativas]
```{r}
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,7,8)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$uso_sustancias_psicoativas)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 6), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 6)
```

### Biplot de variables y registros [total R -> residencia_cerca_al_centro]
```{r}
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,8)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$residencia_cerca_al_centro)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 6), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 6)
```

### Biplot de variables y registros [total E -> estrato_socieconomico]
```{r}
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,7)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),500),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$estrato_socioeconomico)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 6), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 6)
```

### Coordenadas Individuales [Subconjunto E -> estrato_socieconomico]]
```{r Coordenadas_Individuales_Subconjunto, fig.align = 'center'}
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset_bi[sample(1:nrow(clinic_dataset),61),-c(1,4,5,6,7)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),61),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$estrato_socioeconomico)
head(PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = T, graph = F, quali.sup = 5)$ind$coord, n = 61L)
```

### Biplot de Variables y Registros [Subconjunto E]
```{r Biplot_de_Variables_y_Registros_Subconjunto, fig.align = 'center'}
set.seed(780728)
data_E <- clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),61),-c(1,4,5,6,7)]
set.seed(780728)
data_All <- cbind(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),61),-c(1,4,5,6,7,8)], data_E$estrato_socioeconomico)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 5, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 6), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 6)
```

# **Fase 3 [Correspondencias]**

## **3.1. Objetivos**

En términos generales, esta tercera etapa de estudio mostrará cálculos, visualizaciones e interpretaciones con base en el conjunto de datos tratado en la fase 1 y 2, pero ahora desde un enfoque de análisis de correspondencias simples y múltiples sobre las variables cuanlitativas, que incluirá: construcción de tablas de contingencias y disyuntivas completas, calidades de representación, contribuciones e interpretaciones.

Recuérdese que el conjunto de datos de trabajo es descrito en la sección 2 y los referentes teóricos en la sección 1.

## **3.2. Correspondencias Simples** {.tabset .tabset-pills}

Se sabe que el análisis de correspondencias simples (ACS) busca representar en un espacio multidimensional reducido la relación que existe entre las categorías de un par de variables categóricas. En este sentido, el ACS muestra las distancia entre los niveles de dos variables categóricas y, en consecuencia, ayuda a visualizar tablas de contingencia. Además, se establece que el número máximo de dimensiones que explican la asociación entre variables fila y columna es igual a uno menos el menor número de categorías de alguna de las variables involucradas. En consecuencia, el análisis de correspondencias permite describir la proximidad existente entre los perfiles de los objetos observados. Además, el ACS, que basa sus cálculos en tablas de contingencia, puede extenderse a más de dos variables categóricas, conociéndose como análisis de correspondencias Múltiples (ACM), con base en un objeto llamado tabla disyuntiva completa.

**Planteamiento del Problema**

Con base en las variables cualitativas del conjunto de datos descrito en la sección 2 se demanda desarrollar el análisis de correspondencias, en principio simple, apoyado en tablas de contingencia y de frecuencias relativas y gráficos de perfiles y de puntos superpuestos en el primer plano factorial.

**Desarrollo del Análisis**

Con base en la navegacion en pestañas esta nos permitira visualizar objetos matriciales y graficos que nos ayudaran a darle peso a la interpretacion del análisis de correspondecias simples o binarias entre cada par de variables categoricas que mostraron mayor relevancia en el biplot de la **seccion 2.5** del conjunto de datos: **genero_del_paciente**, **uso_sustancias_psiciactivas** y **estrato_socioeconomico**. Por ser una baja cantidad de variables se trabajara con las parejas combinadas sin repeticion de estas tres variables.

La pestaña **AC Parejas Totales** agrupa los calculos para totas las combinaciones de parejas variables. En particular en **Contingencias** para darnos un ejemplo haremos una lectura de las tablas de contigencia: La tabla de contingencia **genero_del_paciente** vs. **asistencia_privada_publica** se encontro que 39 personas de un total de 416 del sexo femenino estan en una privada; ademas, de los 4583 personas que se encuentran en una institucion publica 492 son del sexo femenino y 4091 del sexo masculino, de un total de 4999 registros. En la tabla de contingencia **genero_del_paciente** vs. **estrato_socioeconomico** se encontro que de un total de 4468 pasientes del sexo masculino, 1544 se encuentran en estrato 4. ademas, de los 4999 registros, 366 estan en estraro uno y 213 en estrato seis. En la tabla de contingencia **asistencia_privada_publica** vs. **estrato_socioeconomico** se encontro que de los 1742 que estan en un estrato economico 4 1601 asiste a una entidad publica y 141 a una entidad publica; ademas, de los 4999 registros 4468 esta en una entidad publica y 531 en una privada.

Si tomamos como base las tablas de contingencia antes mencionadas, se presenta a traves de una subpestañas la **Probabilidades** las proporciones relativas en terminos de los pares de variables que se examinaron con anterioridad. En concordancia con esto, a nivel de ejemplo se presenta algunas lecturas de los resultados: en la tabla de probabilidades **genero_del_paciente** vs. **asistencia_privada_publica** el $89.38$ $%$ aproximadamente del sexo masculino el $81.84$ $%$ aproximadamente son de una entidad publica; ademas, encontramos que el $10.62$ $%$ aproximadamente son personas del sexo femenino en el conjunto de datos, en la tabla de probabiidades **genero_del_paciente** vs. **estrato_socioeconomico** se encontro que de un $89.38$ $%$ aproximadamente de registros del sexo masculino el $21.20$ $%$ son de extrato 5; ademas, el $34.84$ $%$ de los registros son de estrato 4, la tabla de probabilidades **asistencia_privada_publica** vs. **estrato_socioeconomico** se encontro que el $91.67$ $%$ de los esta en una institucion publica a ello $32.02$ $%$ son de estrato 4.

De la misma forma que ocurrio con las tablas de probabilidades, en la subpestaña **Frecuencias [CPF y CPC]** las frecuencias condicionadas por filas y columnas de manera respectiva, se calcularon con base en las tablas de contingencia Siguiendo con esto mismo se hara una lectora como ejemplo de los resultados: segun la matriz de frecuencias CPF de **genero_del_paciente** vs. **asistencia_privada_publica** el $92.66$ $%$ de las personas de sexo femenino estan en una entidad publica mientras que el $7.34$ $%$ si la esta, en el caso de las personas de sexo masculino el $91.56$ $%$ esta en una publica y el $8.44$ $%$ no lo esta; por otro lado en la CPC tenemos que en una institucion privada $90.62$ $%$ de son de genero masculino; por otro lado el $89.26$ $%$ de los registros del sexo masculino pero ahora en una institucion publica lo que denota la gran presencia de este genero en las dos clasificaciones, ahora continuando con este analisis de la misma forma para el resto de parejas nos da a enterder de mejor manera como se agrupan los datos segun con que clasificacion se les este mirando.

Con base en las matrices de frecuencia se entienden los perfiles condicionados por filas y columnas que se muestran en la subpestaña **Perfiles [CPF y CPC]**. Los graficos de perfiles se muestran en el mismo orden de lo anteriormente mensionado. Sin embargo, en los graficos de perfiles se pueden cotejar las proporciones contra un individuo promedio o un perfil promedio el cual se va a etiquetar como **marg**. Con esto dicho, los perfiles fila y columna que corresponden a las variables **genero_del_paciente** y **asistencia_privada_publica** muestran ua distribucion marginal un bastante cercanas entre si; es decir, si son calculadas las proporciones totales seran un poco distintas entre si, por ejemplo: (Perfiles Fila) la proporcion de personas de sexo masculino y femenino que estan en una institucion privada son $8.44$ $%$ y $7.34$ $%$ respectivamente; ademas, (perfiles columna) la proporcion de pasientes de sexo masculino que estan en un esntidad privada y publica son $90.62$ $%$ y $89.26$ $%$ respectivamente. Y de la misma forma para cada pareja se presenta en general el mismo caso en que tienden al perfil promedio y esto se aprecia mejor en las graficas que este apartado nos proporciona.

Con base en las descripciones hechas es posible anticipar que los pares de variables categoricas **genero_del_paciente** vs. **estrato_socioeconomico** y **asistencia_privada_publica** vs. **estrato_socioeconomico** sean independientes. Este conclucion se apoya en los resultados de la prueba de hipótesis visualizada a través  de la subpestaña con ese mismo nombre. Para estas prubebas a un nivel de significancia $\alpha = 0.05$, las hipótesis formuladas fueron:$$H_0: \text {Las variables categóricas son independientes}$$ $$H_1: \text {las variables categóricas son dependientes}$$ De la misma forma, el par de variables que tuvo a favor de a dependencia fueron **genero_del_paciente** y **estrato_socioeconomico**, en esta prueba $p-valor$ resultó menor o igual que el nivel de significancia y, comparativamente, el valor del estadístico $\chi^2$ fue grande. Por lo tanto, el par de variables que continuaron en análisis fueron estas últimas.

A través de la pestaña **AC Pareja Única** se despliegan las subpestañas relacionadas con el análisis de correspondencias entre las variables seleccionadas. En la sección de **Contingencias y Residuales [G-E]** (donde **G** representa genero_del_paciente y **E** estrato_socioeconomico) se pueden visualizar las tablas de contingencia, valores esperados y residuales de la pareja de variables en curso. En las dos primeras tablas, se observa que el recuento observado y el recuento esperado bajo la hipótesis nula son significativamente diferentes, lo que refuerza la dependencia entre las variables. El **rango_observado** representa los recuentos asociados con cada categoría de datos, mientras que el **rango_esperado** indica los recuentos esperados bajo la hipótesis nula. Además, el análisis de residuales de Pearson y estandarizados muestra que las mayores desviaciones respecto a los valores esperados ocurren entre las las clasificaciones de estrato. En la subpestaña **Contribuciones [G-E]**, se puede apreciar que el valor de aquellos que sexo masculino es mas bajo en comparacion con los del sexo femenino; sin embargo, los valores no están muy alejados en general, lo que indica que ambos grupos aportan una contribución significativa al comportamiento del conjunto de datos.

Por ultimo, el resultado que sera definitivo del analisis de correspondencias simples se muestra en la subpestaña **Correspondecias Simples Unidimencionales [G-E]**. En este apartado se establece qeu solo una dimension absorbe toda la variabilidad de la pareja, por lo que la representacion bidimensional en le plano de factores es imposible de realizar. Sin embargo, es posible hacer una interpretacion unidimensional de los resultados obtenidos. Al ser requeridas las variables de soporte del AC, primero por columnas y luego por filas, las coordenadas proyectadas de la variable **estrato_socioeconomico** en relacion con las categoria cinco, dos y seis se presenta en el lado positivo del eje, mientras tanto la categoria uno, tres y cuatro se encuentra en lado negativo del eje, Asi mismo presentando una mayor contribucion la categoria dos, ademas, es determinante que la calidad de representacion alcanza el maximo con cada una de las variables. Un comportamiento semenjante a lo mensionado de manera anterior se puede apreciar con la variable fila **genero_del_paciente** su calidad de representacion es maxima, las coordenadas de sus categorias se interponen en el eje unidimensional y sus contribuciones son bastante equilibradas. De lo mencionado se puede interpretar que presenta asociacion relevante, positiva y negativa entre filas y columnas, las cotegorias (de las respectivas variables).

### AC Parejas Totales {.tabset .tabset-pills}

#### Contingencias
```{r}
addmargins(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica))

addmargins(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))

addmargins(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))
```

#### Probabilidades
```{r}
addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica)) * 100)

addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico)) * 100)

addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico)) * 100)
```

#### Frecuencias [CPF y CPC]
```{r}
round(addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica), 1)*100, 2), 2)

round(addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica), 2)*100, 1), 2)

round(addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), 1)*100, 2), 2)

round(addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), 2)*100, 1), 2)

round(addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), 1)*100, 2), 2)

round(addmargins(prop.table(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), 2)*100, 1), 2)
```

#### perfiles [CPF y CPC]
```{r}
plotct(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica),"row")

plotct(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica),"col")

plotct(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico),"row")

plotct(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico),"col")

plotct(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico),"row")

plotct(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico),"col")
```

#### prueba de hipotesis
```{r}
chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$asistencia_privada_publica))

chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))

chisq.test(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))
```

### AC Pareja Única {.tabset .tabset-pills}

#### Contingencias y Residuales [G-E]
```{r Contingencias_y_Residuales_G-E, fig.align = 'center'}
chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))$observed
chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))$expected 
chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))$residuals
chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))$stdres
```

#### Contribuciones [G-E]
```{r Contribuciones_G-E, fig.align = 'center'}
chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))$residuals^2/chisq.test(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico))$statistic*100
```

#### Correspondencia Simple Unidimensional [G-E]
```{r Biplot_Correspondencia_Simple_G-E, fig.align = 'center'}
CA(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), graph = FALSE)$eig
CA(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), graph = FALSE)$col
CA(table(clinic_dataset$genero_del_paciente, clinic_dataset$estrato_socioeconomico), graph = FALSE)$row
```

## **3.3. Correspondecias Múltiples** {.tabset .tabset-pills}

Recuperando de nuevo el trabajo de ( Díaz Morales & Morales Rivera, 2012 ) se dice que el ACS se puede extender desde tablas de contingencia hacia tablas disyuntivas completas. En estas las filas son los objetos a los cuales se les registran características de interés a través de las columnas que compilan las modalidades de las variables categóricas estudiadas de ellos. Así, el análisis de correspondencias múltiples (ACM) es el AC aplicado a una tabla disyuntiva completa. Por lo tanto, en el ACM una variable categórica asigna a cada objeto de una población una modalidad a través de la cual los particiona exclusiva y exhaustivamente.

Esta sección es desarrollada como alternativa de completitud del análisis de correspondencias simples que en la sección 11 fue inapreciable debido a la unidimensionalidad de la representación de los datos a nivel de proyección de las variables categóricas que cumplieron la hipótesis de dependencia. Por lo tanto, del tratamiento conjunto de todas las variables categóricas se espera obtener una representación en el primer plano factorial.

**Planteamiento del Problema**

Con base en las variables cualitativas del conjunto de datos descritos en la sección 2 se exige desarrollar el análisis de correspondencias Múltiples para lograr una representación gráfica en el primer plano factorial, debido a la imposibilidad de lograrlo en el análisis de correspondencias simple.

**Desarrollo del Análisis**

Con base en la navegacion a través de pestañas se permitira visualizar objetos matriciales y graficos que ayuden a desarrollar e interpretar los resultados del análisis de correspondecias múltiples (ACM) entre las variables categoricas del conjunto de datos.

La pestaña **ACM** muestra la multidimencionalidad que se esperaba,comparada con la unidimensional del ACS de la **fase 3** al trabajar de manera conjunta con las 5 variables categoricas del conjunto de datos: **genero_del_paciente, asistencia_privada_publica, uso_sustancias_psicoativas, residencia_cerca_al_centro y estrato_socioeconomico**. Muestran ademas que las dimensiones del plan principal explican el $25.02$ $%$ del conjunto (sera este plano que se continuara con las interpretaciones del ACM). Ademas, la evidente baja de concentracion de absorcion de varianza por parte de algunas dimensiones se vera reflejado en las distacias de los perfiles de las variables categoricas.

En la pestaña **Biplot ACM** se mostraran las semenjazas de los perfiles de los pacientes de manera grafica por este motivo a partir de este se creo el **Biplot ACM [Reducido]** que facilitara la comprension de los resultados, en concordancia con esto los puntos azules sobrepuestos indican coordenadas de convergencia y las asociaciones entre algunas categorias de las variables y conjuntos de pasientes. Cabe reclacar que las sememjanzas entre categorias de variables estan representadas por sus coordenadas respecto a los semiejes dimensionales, mas que por la proximidad de estos entre si, esto concuerda con los resultados obtenidos en la **fase 3**. Por ejemplo, en semejanza a nivel de las categorias de las variables destacan los grupos: observaciones numeradas en el lado derecho del gráfico, cercanas a modalidades como **privada** y **dos**, sugieren que estas observaciones tienen características relacionadas con estas modalidades. Por otro lado, observaciones numeradas en el lado izquierdo del gráfico, cercanas a modalidades como **recidencia_cerca_centro_si** y **publica**, indican una asociación con estas condiciones. En general se pueden visualizar facilmente las asociaciones entre las categorias de las variables y los grupos de pacientes afines a estas.

Seguidamente, la pestaña **Calidad de Representacion** muestra que las categorias de la variable **residencia_cerca_al_centro** fueron las mejores representadas, en posicion a las categorias desendentes de la variable **genero_del_paciente**. El resto quedo en un rango en un rango bajo-alto de calidad de representacion. Como la calidad de representacion en subespacios de dimensiones reducidas se mide en porcentajes de inercia con repecto al total del  acercania de un punto repecto al origen del plano factorial indica una baja representacion en el, de manera complementaria la matriz de calidad de representaciones evidencia numerica de las contribuciones de cada dimension tomando como ejemplo la 3 teniendo la contribucion mas alta.

Tambien de manera complementaria, la pestaña **Contribuciones** muestra que para las dimenciones del primer plano factorial, y en concordancia con lo antes mencionado la categoria de la variable **residencia_cerca_al_centro**: si y no quedan por encima de la linea media de la primera dimension, pero de manera particular, la categoria de **genero_del_paciente**: femenino se encuentra  mas arriba  de la linea media en las dos primeras dimenciones, cosa que no ocurre con las otras dimenciones, En ese sentido en la pestaña **Biplot con contribuciones** se visualiza una representacion en el primer plano factorial semejante a la obtenida en la pestaña **Calidad de Representaciones**.

### ACM
```{r}
round(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE)$eig,2)
```

### ACM biplot
```{r}
fviz_mca_biplot(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), repel = TRUE)
```

### Biplot ACM [Reducido]
```{r Biplot_ACM_Reduciodo, fig.align = 'center'}
set.seed(780728)
fviz_mca_biplot(MCA(clinic_dataset[sample(1:nrow(clinic_dataset),150), -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), repel = TRUE)
```

### calidad de representacion
```{r}
fviz_mca_var(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), col.var ="cos2", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE)$var$cos2
```

### Contribuciones
```{r}
fviz_contrib(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 1, top = 15)
fviz_contrib(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 2, top = 15)
fviz_contrib(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 3, top = 15)
fviz_contrib(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 4, top = 15)
fviz_contrib(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 5, top = 15)
```

### Biplot con contribuciones
```{r}
fviz_mca_var(MCA(clinic_dataset[1:1000, -c(1,2,3,9,10,11)], graph = FALSE), col.var ="contrib", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
```

# **Fase 4 [Análisis de Regresión]**

## **4.1. Objetivos**

En términos generales, este estudio explorará la relación entre dos o más variables mediante la obtención de información sobre una de ellas basada en el conocimiento de los valores de las demás. La relación establecida entre ellas será de naturaleza no determinística, es decir, se formularán relaciones probabilísticas y se desarrollarán procedimientos para hacer inferencias sobre los modelos utilizados en este estudio, al mismo tiempo que se obtienen medidas cuantitativas del grado de relación entre las variables. Los modelos analizados pueden considerarse casos especiales del modelo lineal generalizado: Regresión Lineal Simple, Regresión Lineal Múltiple y Regresión Logística. En cada sección se describirá teóricamente cada modelo y se aplicará a un conjunto de datos específico. Se reconoce que el análisis de regresión es un proceso de naturaleza estadística utilizado para estimar relaciones entre variables (una dependiente o de respuesta y otras independientes o predictoras) mediante técnicas de modelado y análisis que permiten comprender cómo varía el valor de la variable dependiente al cambiar el valor de una o más variables independientes. Los modelos de análisis de regresión estudiados en este documento serán: lineal (simple y múltiple) y logístico, todos ellos entendidos como casos del modelo de regresión lineal generalizado.

## **4.2. Regresión Lineal Simple**

Este modelo, que eventualmente será llamado en este estudio como **RLS**, está conformado por dos variables estadísticas $x$ y $Y$, donde $Y$ se asume que está influida por $x$. La relación está dada matemáticamente por: $$Y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon \hspace{10mm} \hspace{10mm}(1)$$ donde:

+ $Y$: es una variable de respuesta de naturaleza aleatoria.
+ $x$: es una variable predictora de naturaleza no aleatoria.
+ $\varepsilon$: es una variable aleatoria no observable.
+ $\beta_0$ y $\beta_1$: son parámetros reales desconocidos del modelo.

En comparación con el modelo lineal simple determinístico $y = \beta_0 + \beta_1 x$, el probablístico supone que el valor esperado de $Y$ es una función lineal de $x$, pero que con $x$ fija, la variable $Y$ difiere de su valor esperado en una cantidad aleatoria $\varepsilon$. Además, la cantidad $\varepsilon$ en la ecuación de modelo $(1)$ se supone normalmente distribuida con $E(\varepsilon)=0$ y $V(\varepsilon)=\sigma^2$. La variable aleatoria $\varepsilon$ también se conoce como término de error aleatorio o desviación aleatoria en el modelo.

Complementariamente, casi nunca serán conocidos los valores $\beta_0$, $\beta_1$ y $\sigma^2$, a cambio estará disponible una muestra de datos compuesta de pares ordenados $(x_1,y_1)... (x_n,y_n)$ con la que los parámetros del modelo y la línea de regresión verdadera pueden ser estimados, bajo el supuesto de independencia de las observaciones. Así, $y_i$ es el valor observado de una variable aleatoria $Y_i$, donde $Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$ y las $n$ desviaciones $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, $...$, $\varepsilon_n$ son variables independientes.

De acuerdo con el modelo, los puntos observados estarán distribuidos aleatoriamente alrededor de la línea de regresión verdadera. En este sentido, la estimación de $y=\beta_0+\beta_1x$ deberá ser una línea que se ajuste lo mejor posible a los puntos muestra. Tal línea deberá poseer la característica de que las distancias verticales (desviaciones) de los puntos observados a la línea misma son **_pequeñas_**. La medida de la bondad de ajuste será la suma de los cuadrados de estas desviaciones. En consecuencia, la línea que mejor se ajusta será la que tenga la suma más pequeña posible de desviaciones al cuadrado. El resultado que implica las ideas expuestas se conoce como: principio de los mínimos cuadrados y se remonta a los matemáticos Carl Friedrich Gauss y Adrien-Marie Legendre, entre el último lustro del siglo XVIII y el primero del siglo XIX.

El principio de los mínimos cuadrados establece que la desviación vertical del punto $(x_i,y_i)$ con respecto a la línea $y=b_0+b_1x$ es $y_i-(b_0+b_1x)$ y la suma de las desviaciones verticales al cuadrado de los puntos $(x_i,y_i)$ a la línea es $f(b_0,b_1)=\sum_{i=1}^n (y_i-(b_0+b_1x_i))^2$. Así, las estimaciones puntuales de $\beta_0$ y $\beta_1$, representadas como $\hat{\beta}_0$ y $\hat{\beta}_1$ y llamadas estimaciones de mínimos cuadrados, son los valores que minimizan a $f(b_0,b_1)$; es decir, $f(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)\leq f(b_0,b_1)$ para cualesquiera $\beta_0$ y $\beta_1$. Por lo tanto, la línea de regresión estimada o línea de mínimos cuadrados es $y=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x$.

Luego de calcular y resolver las ecuaciones en derivadas parciales de $f(b_0,b_1)$ respecto a $b_0$ y $b_1$ igualadas a cero, se obtiene un sistemas de ecuaciones llamadas normales que son lineales en $b_0$ y $b_1$ y para las cuales, siempre que por lo menos dos de las $x_i$ sean diferentes, las estimaciones de los mínimos cuadrados son la única solución del sistema. En consecuencia, la estimación de los mínimos cuadrados de $\beta_1$ de la línea de regresión verdadera es: $$\hat{\beta}_1=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}\hspace{10mm}(2)$$ y la estimación de los mínimos cuadrados de $\beta_0$ de la línea de regresión verdadera es: $$\hat{\beta}_0=\dfrac{\sum_{i=1}^ny_i-\hat{\beta}_1\sum_{i=1}^nx_i}{n}=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}\hspace{10mm}(3)$$ Para hacer los cálculos que las ecuaciones anteriores demandan es necesario reducir al mínimo los efectos de redondeo. También, antes de calcular $\hat{\beta}_1$ y $\hat{\beta}_0$ se debe examir gráficamente el conjunto de datos por usar para percibir la factibilidad de uso de un modelo probabilístico lineal, es decir, si gráficamente los puntos están lejos de tender a aglomerarse en torno a una línea recta con aproximadamente el mismo grado de dispersión de todas las $x_i$, entonces deben ser indagados otros modelos.

Es indispensable mencionar que la línea de mínimos cuadrados debe usarse restringidamente para predecir valores de $x$ **_lejanos_** del rango de los datos, porque la relación ajustada puede carecer de validez para ellos.

Ahora, el parámetro $\sigma^2$ que determina la cantidad de variabilidad es inherente en el modelo de regresión descrito: su valor conducirá a establecer que los valores observados estarán dispersos en mayor o menor medida en torno a la línea de regresión verdadera. Así, los residuos $y_i - \hat{y_i}$ son las desviaciones verticales con respecto a la línea estimada. Si todos los residuos son pequeños comparados con cero, entonces la variabilidad de los valores $y$ observados se debería en una elevada medida a la relación lineal entre $x$ y $y$, mientras que si los residuos son grandes comparados con cero, entonces queda sugerida una variabilidad inherente en $y$ con respecto a la cantidad debida a la relación lineal. Así, la estimación de $\sigma^2$ en un análisis de regresión está basada en el cálculo de la suma de cuadrados residuales (o suma de cuadrados del error SCE) que se reduce a: $$SCE=\sum_{i=1}^ny_i^2-\hat{\beta}_0\sum_{i=1}^ny_i-\hat{\beta}_1\sum_{i=1}^nx_iy_i\hspace{10mm}(4)$$ $$\hat\sigma^2=s^2=\dfrac{SCE}{n-2}\hspace{10mm}(5)$$ Si se ha entendido que la cantidad SCE establece una medida de cuánta variación de $y$ es inexplicada por el modelo; es decir, sin atribución a la relación lineal, se entenderá también que existe otra cantidad llamada la suma total de los cuadrados STC, que permite obtener una medida de la cantidad de variación total en los valores $y$ observados: $$STC=\sum_{i=1}^ny_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^ny_i)^2}{n}\hspace{10mm}(6)$$ Si se formula la razón $SCE/STC$ se calcula la proporción de variación total inexplicada por el modelo de regresión lineal simple; por lo tanto, se llega a la definición del coeficiente de determinación $r^2$: $$r^2=1-\frac{SCE}{STC}\hspace{10mm}(7)$$ que se interpreta como la proporción de variación $y$ observada que puede ser explicada por el modelo de regresión lineal simple; es decir, aquella atribuida a una relación lineal aproximada entre $x$ y $y$: mientras más cercano a 1 sea $r^2$, más exitoso es el modelo de regresión lineal simple al explicar la variación de $y$. Una forma alternativa de calcular el coeficiente de determinación se basa en la suma de cuadrados debidad a la regresión SCR (o al modelo de regresión SCM), que es la cantidad de variación total que es explicada por el modelo. Con base en ella el coeficiente de determinación se expresa como: $$r^2=1-\frac{SCE}{STC}=\frac{STC-SCE}{STC}=\frac{SCR}{STC}\hspace{10mm}(8)$$Como se sabe, cualquier cantidad calculada a partir de datos muestrales varía de una cantidad a otra, en este sentido, los procedimientos inferenciales estandarizan un estimador restando su valor medio y luego dividiéndolo entre su desviación estándar estimada. En particular, para un modelo supuesto de regresión lineal simple se implica que las variables estándares: $t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_0-\beta_0}{\hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}}$ y $t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_1-\beta_1}{ \hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}}}$ tienen distribuciones $t$ con $n-2$ grados de libertad. De esto se deduce que los intervalos de confianza de $100*(1-\alpha)\%$ para la pendiente $\beta_1$ y el intercepto $\beta_0$ de la línea de regrasión verdadera son: $$\hat{\beta}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot  \hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}\hspace{10mm}(9)$$ $$\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot  \hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}} \hspace{10mm}  (10)$$estos intervalos están centarados en la en la estimación puntual de cada parámetro y la cantidad abarcada a cada lado de la estimación depende del nivel de confianza deseado y de la cantidad de variabilidad del estimador.

Dado lo anterior, para los procedimientos de prueba de hipótesis, y como se procede habitualmente, las hipótesis nulas respecto a los beta del modelo de regresión lineal simple serán enunciados de igualdad. Los valores nulos para $\beta_0$ y $\beta_1$ se representan respectivamente como $\beta_{00}$ ("beta cero cero") y $\beta_{10}$ ("beta uno cero"). Además, como los estadísticos de prueba tienen distribuciones $t$ con $n-2$ grados de libertad cuando $H_0$ es verdadera, la probabilidad de error Tipo I permanece al nivel deseado $\alpha$ usando un valor crítico $t$ adecuado. Así, las hipótesis comúnmente usadas para $\beta_0$son: $$H_0: \beta_0 = \beta_{00}\hspace{10mm}(11)$$ $$H_1: \beta_0 \neq \beta_{00}\hspace{10mm}(12)$$cuyo estadístico de prueba es: $$t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_0-\beta_{00}}{\hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}}\hspace{10mm}(13)$$y para $\beta_1$ son:
$$H_0: \beta_1 = \beta_{10}\hspace{10mm}(14)$$ 
$$H_1: \beta_1 \neq \beta_{10}\hspace{10mm}(15)$$cuyo estadístico de prueba es:$$t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_1-\beta_{10}}{\hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}}}\hspace{10mm}(16)$$el par de hipótesis definidas por $14$, $15$ y $16$ se conoce como la prueba de utilidad del modelo de regresión lineal simple, donde: la región de rechazo de $H_0$ para una prueba a nivel $\alpha$ a favor de $H_1: \beta_1>\beta_{10}$ es $t\geq t_{\alpha,n-2}$; la región de rechazo de $H_0$ para una prueba a nivel $\alpha$ a favor de $H_1: \beta_1<\beta_{10}$ es $t\leq -t_{\alpha,n-2}$; y la región de rechazo de $H_0$ para una prueba a nivel $\alpha$ a favor de $H_1: \beta_1\neq\beta_{10}$ es $t\leq -t_{\alpha/2,n-2}$ o $t\geq t_{\alpha/2,n-2}$. Además, se sabe que la prueba de utilidad del modelo de regresión simple puede ser probada con una tabla ANOVA: rechazando $H_0$ si $f\geq F_{\alpha,1,n-2}$. La prueba $F$ da exactamente el mismo resultado que la prueba $t$ de utilidad del modelo de regresión lineal simple.

Por último, se entiende que en un modelo de regresión lineal simple un valor futuro de $Y$ no es parámetro sino una variable aleatoria, por lo que se debe hacer referencia a un intervalo de valores factibles para un valor futuro de $Y$, al cual se le llama intervalo de predicción. Cuando se predice con base en el modelo de regresión lineal simple, el error de predicción es $Y-( \hat{\beta}_0+ \hat{\beta}_1 x^*)$ que corresponde con una diferencia entre dos variables aleatorias, por lo que, en comparación con una estimación, habrá más incertidumbre en ese; por lo tanto, un intervalo de predicción será más ancho que un intervalo de confianza. Además, a partir de la varianza del error de predicción se puede establecer que la variable estandarizada: $$T=\dfrac{Y-(\hat{\beta}_0+ \hat{\beta}_1 x^*)}{S \displaystyle\sqrt{1+\dfrac{1}{n}  + \dfrac{(x^*-\bar{x})^2}{S_{xx}}}}\hspace{10mm}(17)$$ tiene una distribución $t$ con $n-2$ grados de libertad, a partir de la cual se obtine un intervalo de predicción de $100*(1-\alpha)\%$ para una observación $Y$ futura que se hará cuando $x=x^*$ igual a: $$\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x^*\pm t_{n-2,\alpha/2}\cdot s \displaystyle\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{(x^*-\bar{x})^2}{S_{xx}}}\hspace{10mm}(18)$$ La interpretación del nivel de predicción de $100*(1-\alpha)\%$ establece que al usar $(18)$ repetidamente, los intervalos resultantes contendrán los valores $y$ observados el $100*(1-\alpha)\%$ del tiempo. Además, el número $1$ en la raíz cuadrada hace que el intervalo de predicción sea más ancho que intervalos de confianza como $(9)$ y $(10)$. Asimismo, a medida que $n\to\infty$ el ancho del intervalo no tiende a cero, porque la incertidumbre en la predicción será permanente, incluso al tener conocimiento perfecto sobre $\beta_0$ y $\beta_1$.

**Planteamiento del Problema**

Con base en el conjunto de datos descrito en la **fase 2** se formulará un modelo de regresión lineal simple para estudiar la relación lineal supuesta entre las varaibles definidas por los campos: **peso** (Variable dependiente) y **altura** (variable independiente).

**Desarrollo del Análisis**

En el siguiente desarrollo del análisis se hara en R Stutio y este mismo contara con varias secciones que se presentaran a continuacion.

### **4.2.1. Resumen estadístico de las variables por estudiar.** {.tabset .tabset-pills}

En base a la navegacion a través de pestañas muestra el resumen estadistico de las variables de interes: **peso** (Variable dependiente) y **altura** (variable independiente) junto con sus repectivos diagramas de caja. Además  de manera complementaria se incluye el diagrama de dispersion de sus valores conjuntos donde se comparan con las dos combinaciones posibles entre estas variables.

En base en la pestaña **Resumen de peso** se puede apreciar que la variable **peso** presenta un sesgo lijeramente simetrico con un rango cuartilico un poco homogeneo entre el tercer y cuarto cuartil esto debido a como se encuentran los datos lo cuales tambien no tiene un sesgo muy significativo. En comparacion segun la pestaña **Resumen de altura**, la variable **altura** se puede apreciar que tiene un sesgo mas negativo que el anterior dado que su media y mediana se encuentran en valores extremadamente cercanas entre si lo cual nos indica que no muestra valores atipicos y esto lo podemos comprobar de manera grafica.

De manera complementaria en **Diagrama de Dispersion peso vs. altura** se puede observar que existe una correlacion positiva de naturaleza aparentemente lineal entre las variables **peso** y **altura**, cabe recalcar que tambien que se puede apreciar que tambien tiene una linea de tendencia. Si se observa el grafico de **Diagramas Totales de Dispersion** (en donde se excluyen las variables cualitativas::nominales) es razonable mencionar que hay otro par de variables que muestran una correlacion mas internsa entre las mismas **peso** y **edades**.

#### Resumen de Peso
```{r resumen_Peso, fig.align = 'center'}
summary(clinic_dataset$peso)
boxplot(clinic_dataset$peso, main = "Diagrama de Caja de Peso", col = c("orange"))
```

#### Resumen de Altura
```{r resumen_Altura, fig.align = 'center'}
summary(clinic_dataset$altura)
boxplot(clinic_dataset$altura, main = "Diagrama de Caja de altura", col = c("orange"))
```

#### Diagrama de Dispersión PESO vs. ALTURA
```{r dispersion_CO_FRE, fig.align = 'center'}
plot(clinic_dataset$peso, clinic_dataset$altura, main = "Diagrama de Dispersión peso vs altura")
```

#### Diagramas Totales de Dispersión
```{r dispersiones_Totales, fig.align = 'center'}
pairs(~edades + numero_de_hijos + peso + altura +  ingresos_mensuales, data = clinic_dataset, pch = 21,  bg = rgb(0, 0, 0, alpha = 0.5),  cex = 1)
```

### **4.2.2. Formulación del modelo de RLS entre las variables de estudio** {.tabset .tabset-pills}

En base a la navegacion a través de la pestañas se muestran los coeficientes del modelo de regrecion linela simple, su resumen estadistico y su tabla ANOVA. Se menciona de nuevo que las variables de interes son **peso** (variable dependiente) y **altura** (variable independiente).

Se considero las dos posibles combinaciones pero finalmente se utilizaran los resultados de la pestaña **Coeficientes del Modelo RLS** y a traves de este se pudo establecer que el modelo de regresion lineal simple que relaciona a las varaibles de interes, las cuales se resumiran como $PES$ y $ALT$, se tiene la formulacion:
$PES = -134.8886 + 125.3731*ALT$       $(19)$
Para este modelo se obvia la interpretacion del intercepto por caracter de sentido dado que para **peso** se obtendria un valor negativo lo cual carece de sentido si el sucede un valor nulo en **altura** lo que es medicamente imposible, y la ultima situacion en especial carece de sentido, sin embargo, el coeficiente lineal muestra una correlacion de proporcionalidad directa entre las dos variables de interes, aunque con un crecimiento bastante alto en **peso** por cada unidad marginal de **altura**.

De manera complementaria, la pestaña de **Resumen Estadistico del Modelo** se consta que a cualquier nivel de significancia las evidencias a favor son altas pero esto era de esperar dado el nivle de correlacion existente entre las variables de interes. Ademas, el nivel de del coeficiente de determinacion esta a favor de la correlacion con un resultado bajo del $60.74$ $%$ de la variabilidad de **peso** es explicado por **altura**, en resumen lo que nos indica este resultado nos sugiere que el altura es un predictor fuerte del peso y pero aun asi tambien hay otros factores influyendo en esta como era de esperarse dado el contexto en el que se encuentra, estos resultados eran de esperarse dado el fenomeno que se esta estudiando, y lo anteriormente mencionado quedo confirmado a traves de la pestaña **Tabla ANOVA para el Modelo RLS**

#### Coeficientes del Modelo RLS 
```{r coeficientes_Regresion_Lineal_Simple_CO/FRE, fig.align = 'center'}
modelo_RL_Simple = lm(clinic_dataset$peso~clinic_dataset$altura)
coef(modelo_RL_Simple)
```

#### Resumen Estadístico del Modelo RLS 
```{r resumen_Regresion_Lineal_Simple, fig.align = 'center'}
summary(modelo_RL_Simple)
```

#### Tabla ANOVA para el Modelo RLS
```{r ANOVA_Regresion_Lineal_Simple, fig.align = 'center'}
anova(modelo_RL_Simple)
```

### **4.2.3. Análisis del modelo RLS** {.tabset .tabset-pills}

En base a la navegacion a traves de pestañas muestran el intervalo de confianza para $\beta_1$ y para la prediccion del modelo de regresion linal, ambos estarán al $95$ $%$. Se volvera a recapitular sobre cuales son las variables de interes que son: **peso** (variable dependiente) y **altura** (variable independiente).

El analisis del modelo RLS muestra que no muestra un gran aporte como en cuanto a la variable predictora posiblemente por diversos factores aun asi fue relevante estimar **peso** a partir de **altura**. Esto debido a que el intervalo de confianza de $ALT$ en el modelo excluye al cero:

$122.5781 < \beta_1 < 128.1681$      $(20)$

Por ultimo, la pestaña **Predicciones y Intervalos de Prediccion** muestran los calculos con base en el modelo, bajo un intervalo de predicccion al $95$ $%$, de las predicciones de todas las pestañas del conjunto de datos para la variable **peso**. Cabe recalcar que estos intervalos resultan mas anchos que en aquellos calculados en la pestaña **Predicciones y sus intervalos de confianza** y esta misma como lo dice su nombre a un mismo nivel de significancia.

#### Intervalo de Confianza para B1
```{r Intervalo_Confianza_B1, fig.align = 'center'}
confint(modelo_RL_Simple, level = 0.95)
```

#### Predicciones y sus Intervalos de Predicción
```{r Intervalos_Prediccion_P, fig.align = 'center'}
predict(modelo_RL_Simple, data.frame(seq(1,1000)), interval='prediction', level = 0.95)
```

#### Predicciones y sus Intervalos de Confianza
```{r Intervalos_Prediccion_C, fig.align = 'center'}
predict(modelo_RL_Simple, data.frame(seq(1,1000)), interval='confidence', level = 0.95)
```

## **4.3. Regresión Lineal Múltiple**

Este modelo, que puede inicialmente pensarse como una extensión de la regresión lineal simple para facilitar su comprensión, y que eventualmente será llamado en este estudio como **RLM**, tiene como ecuación general aditiva:

$$y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i1}+\cdots+\beta_k x_{ik}+\varepsilon_i, \hspace{3mm}i=1,2,\dots,n\hspace{10mm}(21)$$ 

donde $E(\epsilon)=0$ y $V(\epsilon)=\sigma^2$. También, para hacer pruebas de hipótesis y calcular intervalos de confianza y de predicción, se supone que $\epsilon$ está normalmente distribuida. Complementariamente, con base en el enfoque de los mínimos cuadrados ordinarios, la estimación de sus parámetros se plantea en términos de la minimización de una función de ensayo desde la cual se observan los cuadrados de las desviaciones de la variable estudiada. La función de ensayo se representa como $f(b_0,b_1,...,b_k)= \sum_{j}[y_i-(b_0+b_1x_{1j}+b_2x_{2j}+...+b_kx_{kj})]^2$. Esto conduce a un conjunto de ecuaciones normales lineales en $b_0,b_1,...,b_k$, que al ser resueltas entregan las estimaciones de mínimos cuadrados de $\hat{\beta_0},\hat{\beta_1},...,, \hat{\beta_k}$.

Complementariamente, la proporción de variación total explicada por el modelo de regresión múltiple a través del coeficiente de determinación múltiple se ajusta, generalmente, con base en el número de parámetros del modelo.

Además, una prueba de utilidad del modelo de regresión lineal múltiple consiste en una prueba de hipótesis basada en un estadístico que tiene una distribución $F$ particular cuando $H_0$ es verdadera, esto de expresa en el par:

$$H_0:\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_k=0\hspace{10mm}(22)$$
$$H_1: \text {al menos una }\beta_i\neq 0\hspace{5mm}(i=1,...,k)\hspace{10mm}(23)$$ 

el valor del estadístico de prueba es:

$$f=\frac{R^2/k}{(1-R^2)(n-(k+1))}=\frac{SCR/k}{SCE/(n-(k+1))}=\frac{RMC}{CME}\hspace{10mm}(24)$$ 

donde $SCR=STC-SCE$, que es la suma de cuadrados de regresión, y la región de rechazo para una prueba de nivel $\alpha$ es: 

$$f\geq F_{\alpha, k,n-(k+1)}\hspace{10mm}(25)$$ 

Por último, un intervalo de confianza al $100(1-\alpha)\%$ para $\beta_i$ es: 

$$\hat\beta_i\pm t_{\alpha/2,n-(k+1)}\cdot s_{\hat\beta_{i}}\hspace{10mm}(26)$$ 
y un intervalo de confianza al mismo nivel de significancia para un valor futuro está dado por: 

$$\hat y\pm t_{\alpha/2,n-(k+1)}\cdot \sqrt{s^2+s^2_{\hat Y}}\hspace{10mm}(27)$$ 

Para cerrar, es necesario mencionar que eventualmente surgen problemas en los análisis de regresión múltiple que implican considerar técnicas de solución relacionadas con transformaciones de no-linealidad, estandarización y selección de variables, identificación de observaciones influyentes, multicolinealidad, entre otras.

**Planteaminto del problema**

Basandonos en el conjunto descrito en la **fase 1** se formulara un modelo de regresion linal multiple para estudiar la relacion linal multiple supuesta entre las varaibles definidas por los campos: **peso** (Variable dependiente) y las demas como variables independientes: **edades, numero_de_hijos, genero_del_paciente, asistencia_privada_publico, uso_sustancias_psicoativas, residencia_cerca_al_centro, estrato_socioeconomico, altura e ingresos_mensuales**

**Desarrollo del análisis**

En el siguiente desarrollo del análisis se hara en R Stutio y este mismo contara con varias secciones que se presentaran a continuacion.

### **4.3.1. Resumen estadístico de las variables de estudio** {.tabset .tabset-pills}

En base a la navegacion a través de pestañas muestran un resumen estadistico de todas la variables del conjunto de datos, Sin embargo, para las variables que son de naturaleza **Cuantitativas::Razon** el resumen se hara de manera tradiconal, pero para las variables que son de naturaleza **Cualitativas::Nominal** el resumen estadistico solo considerara conteos, proporciones y diagramas de barra. Se recalca de nuevo que la variable dependiente es **peso**.

#### Resumen Variables Cuantitativas
```{r resumen_Variables_Cuantitativas, fig.align = 'center'}
summary(clinic_dataset$edades)
summary(clinic_dataset$numero_de_hijos)
summary(clinic_dataset$peso)
summary(clinic_dataset$altura)
summary(clinic_dataset$ingresos_mensuales)
```

#### Resumen Variables Cualitativas
```{r resumen_Variables_Cualitativas, fig.align = 'center'}
table(clinic_dataset$genero_del_paciente)
prop.table(table(clinic_dataset$genero_del_paciente))
barplot(table(clinic_dataset$genero_del_paciente))
table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica)
prop.table(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica))
barplot(table(clinic_dataset$asistencia_privada_publica))
table(clinic_dataset$uso_sustancias_psicoativas)
prop.table(table(clinic_dataset$uso_sustancias_psicoativas))
barplot(table(clinic_dataset$uso_sustancias_psicoativas))
table(clinic_dataset$residencia_cerca_al_centro)
prop.table(table(clinic_dataset$residencia_cerca_al_centro))
barplot(table(clinic_dataset$residencia_cerca_al_centro))
table(clinic_dataset$estrato_socioeconomico)
prop.table(table(clinic_dataset$estrato_socioeconomico))
barplot(table(clinic_dataset$estrato_socioeconomico))
```

#### Diagramas de Dispersión Variables Cuantitativas
```{r dispersiones_Variables_Cuantitativas, fig.align = 'center'}
pairs(~edades + numero_de_hijos + peso + altura +  ingresos_mensuales, data = clinic_dataset, pch = 21,  bg = rgb(0, 0, 0, alpha = 0.5),  cex = 1)
```

### **4.3.2. Formulación del modelo de RLM entre las variables de estudio** {.tabset .tabset-pills}

En base a la navegacion a traves de las pestañas muestra el resumen y la tabla ANOVA del modelo de regresion lineal multiple total y los coeficientes tanto del modelo mencionado anteriormente como el logrado luego de reducirlo. Con base en la exploracion de lo datos mencionados anteriormente y la tabla ANOVA del modelo total se formularan para comparaciones del modelo RLM: uno que incluye a todas las variables del conjunto de datos y se excluyeron las variables **ingresos_mensuales**, **genero_del_paciente** y **residencia_cerca_al_centro**. Se menciona de nuevo que **peso** es la variable dependiente

Antes de continuar cabe reclacar que se hicieron las siguientes modificaciones en cuanto a las variables Cualitativas en donde se modifico su etiquetado por uno numerico: **genero_del_paciente** (0: masculino y 1: femenino), **asistencia_privada_publica** (0: no y 1: si), **uso_sustancias_psicoativas** (0: no y 1: si), **estrato_socioeconomico** (1: uno, 2: dos, 3: tres, 4: cuatro, 5: cinco, 6: seis) y **residencia_cerca_al_centro** (0: no y 1: si)el conjunto de datos se llamara **clinic_dataset_bi**.

Al considerar los resultados que se presentan en la pestaña de **Coeficientes del Modelo RLM Total** se puede establecer que el modelo de regresion linal multiple que relaciona a la variable de interes, las cuales se resumirian como: $PES$ (**peso**), $ED$ (**edades**), $NUM$ (**numero_de_hijos**), $ALT$ (**altura**), $INM$ (**ingresos_mensuales**), $G_1$ (**genero_del_paciente::1**), $A_1$ (**asistencia_privada_publica::1**), $E_2$ (**estrato_socioeconomico::2**) $E_3$ (**estrato_socioeconomico::3**), $E_4$ (**estrato_socioeconomico::4**), $E_5$ (**estrato_socioeconomico::5**), $E_6$ (**estrato_socioeconomico::6**), $U_1$ (**uso_sustancias_psicoativas::1**) y $R_1$ (**residencia_cerca_al_centro::1**), tiene la formualcion (con unos coeficientes redondeados a 4 cifras decimales por tema de estetica)

$PES = -149.1411+0.21459*ED+0.1473*NUM+128.4016*ALT+4.30884e-08*INM+0.0838*G_1+0.4924*A_1$
  $+0.6185*E_2+0.2086*E_3+0.1741*E_4+0.2263*E_5+0.9382*E_6-0.6862*U_1+0.0308*R_1$     $(28)$

Para este modelo se obvian las interpretaciones en que las variables fucen cero ya que por la naturaleza de alguna de estas carece de sentido y la interpretacion del intercepto si que tiene sentido ya que trabajamos con una frecuencia cardiaca aunque el valor que tomaria seria muy alto comparado con lo normal.

Por otro lado, luego de revisar el resumen estadistico y la tabal ANOVA del modelo RLM total (con nombre de pestaña homonimo a este), se puede establecer, con el apoyo de los resumenes estadisticos de las variables de estudio, que pueden excluirse directamente del modelo por baja significancia a las variables **ingresos_mensuales**, **genero_del_paciente** y **residencia_cerca_al_centro**. Esto implico que se calculase un modelo reducidocon la formulacion (Con base ne las mismas consideraciones de edicion del modelo total):

$PES = -148.9231+0.2147*ED+0.1477*NUM+ 128.4201*ALT+0.6134*E_2+0.2057*E_3+0.1707*E_4+0.2225*E_5+0.9217*E_6-0.6826*U_1$       $(29)$

#### Resumen y ANOVA del Modelo RLM Total
```{r, resumen_y_ANOVA_RLM_Total, fig.align = 'center'}
summary(lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales+as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)+as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)+as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)))
anova(lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales+as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)+as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)+as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)))
```

#### Coeficientes del Modelo RLM Total
```{r, coeficientes_RLM_Total, fig.align = 'center'}
coefficients(lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales+as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)+as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)+as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)))
```

#### Coeficientes del Modelo RLM Reducido
```{r coeficientes_RLM_Reducido, fig.align = 'center'}
coefficients(lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)++as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)))
```

### **4.3.3. Análisis del modelo RLM** {.tabset .tabset-pills}

En base a travez de la navegacion de pestañas, en primera parte **Mejor Modelo Iterado según AIC** muestra que la desicion de de que excluir dos variables (**ingresos_mensuales**, **genero_del_paciente** y **residencia_cerca_al_centro**) de las tres propuestas tambien nos muestra que solo es necesario conservar 4 variables en el modelo (**numero_de_hijos, uso_sustancias_psicoativas,  edades y altura**) esto cabe recalcar que fue un cambio curioso si lo miramos lo que aporta la variable al modelo, tambien se debe mencionar que todo esto se hizo en la sexta iteracion. Ademas el algoritmo tambien construyo un modelo basado en casi las mismas variables del modelo reducido lo cual fundamenta la inspeccion de las variables en la partes precedentes.

De manera complementaria, en la pestaña de **Bondades de Ajuste, Significancias y Criterios de Informacion Comparados** se presenta de manera paralela los modelos generados. La consideracion de todas las variables del cojunto de datos presento una bondad de ajuste con base en el coeficiente de determinacion multiple que no se redujo hablando en terminos absolutos (es decir que en los dos casos explica el $062.7$ $%$ de la variablidad) en comparacion con el modelo reducido y el iterado; ademas, las significancias global e individuales de estos evidencias que ambos modelos son similares pero no iguales, tiene cierto grado de diferencia, aportan una cantidad significante de informacion relevante para la variable dependiente **peso**, porque para los valores criticos obtenidos para las pruebas $F$ (para la significancia glogal) y $t$ (para las significancias individuales), los $p-value$ en la mayoria de los casos resultaron siempre menores para cualquier nivel de significancia $\alpha$ incluido dentro de los tradiciones commo por ejemplo, $\alpha\ = 0,01$.

Por ultimo, los criterios de informacion **AIC** y **BIC** muestran efectivamente que los modelos son similares reducido e iterado la relacion entre el sesgo y la varianza en sus formulaciones respectivas, es decir, entre sus semejanzas y complejidades, resulta modelo total:
$AIC_{IteradoSTEP}=37409.81<37424.08=AIC_{RLMTotal}>37420.83=AIC_{RLMReducido}$ 
y 
$BIC_{IteradoSTEP}=37448.91<37505.55=BIC_{RLMReducido}<37521.83=BIC_{RLMTotal}$.

Y tambien demuestran que el modelo iterado por el metodo **STEP** tiene los valores mas bajos tanto en el **AIC** como de **BIC** en comparacion con el modelo total y reducido, es decir que le modelo iterado por el metod **STEP** proporcion un mejor ajuste de los datos.

#### Mejor Modelo Iterado según AIC
```{r, mejor_Modelo_AIC, fig.align = 'center'}
modelo_Iterado_STEP = step(lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales+as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)+as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)+as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro)))
coefficients(modelo_Iterado_STEP)
```

#### Bondades de Ajuste, Significancias y Criterios de Información Comparados
```{r}
modelo_RLM_TOTAL = lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+clinic_dataset_bi$ingresos_mensuales+as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)+as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico)+as.factor(clinic_dataset_bi$residencia_cerca_al_centro))

modelo_RLM_REDUCIDO = lm(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$edades+clinic_dataset_bi$numero_de_hijos+clinic_dataset_bi$altura+as.factor(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente)+as.factor(clinic_dataset_bi$asistencia_privada_publica)+as.factor(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)+as.factor(clinic_dataset_bi$estrato_socioeconomico))

stargazer(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP, type = "text", df = TRUE)
AIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)
BIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)
```

## **4.4. Regresión Logística Simple**

Este modelo, eventualmente llamado **RLogS**, difiere del modelo de regresión lineal simple al relacionar una variable categórica dicotómica (con valores posibles $1$ (éxito) y $0$ (fracaso)) dependiente $y$ con el valor de probabilidad $p(x)\in [0, 1]$ que depende de alguna variable cuantitativa $x$.

Como se mencionó en la sección **1**, los modelos de regresión usados en este estudio pueden ser vistos como casos particulares del Modelo Lineal Generalizado (**GLM**). Este modelo extiende el modelo lineal general al relacionar la variable dependiente linealmente con sus factores y covariables a través de alguna función de enlace, permitiendo que la variable dependiente tenga una distribución diferente a la normal. Además de los modelos usados en este estudio, el **GLM** también cubre modelos loglineales para datos de recuento, modelos log-log complementarios para datos de supervivencia censurados por intervalos, y otros modelos estadísticos a través de la formulación general del modelo.

Como el **GLM** permite especificar distribuciones diferentes a la normal y una función de enlace diferente a la identidad, se pueden trabajar con muchas combinaciones posibles de distribuciones y funciones de enlace, varias de las cuales pueden ser adecuadas para un conjunto de datos en particular. La elección de la combinación estará orientada por consideraciones teóricas a priori, la naturaleza de las variables, la experiencia del investigador y los resultados al comparar combinaciones.

En este caso, se trabajará con una distribución binomial (adecuada para variables que representan una respuesta binaria) con función de enlace logit:

$$\pi(x)=\dfrac{e^{\beta_0+\beta_1 x}}{1+ e^{\beta_0 +\beta_1 x}}=  \dfrac{1}{1+ e^{-(\beta_0+\beta_1 x)}}\hspace{10mm}(30)$$

Este enfoque, conocido como regresión logística binaria, es apropiado para la distribución binomial. El término "logístico" se refiere a que la función de enlace constituye un refinamiento del modelo exponencial de crecimiento, descrito por la función sigmoidea, de una magnitud asociada con un conjunto $C$.

Para facilitar las interpretaciones, la función de enlace $\pi(x)$ proviene de una razón de probabilidades (conocida en inglés como ODDS ratio (OR)), que a su vez es el argumento de un logaritmo: $\log\left(\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}\right)$. Así, se modela la probabilidad de que la variable de respuesta pertenezca al nivel de referencia $1$ en función del valor de los predictores. La transformación conserva la monotonicidad de sentidos y convierte el intervalo de probabilidad $[0,1]$ a $(-\infty,\infty)$.

Las propiedades entre las probabilidades complementarias de éxito y fracaso, sus razones y la función de enlace logit son:

||||
:-:|:-:|:-:|
$p(éxito)=p(fracaso)$|$OR=1$|$Logit\left(OR\right)=0$
$p(éxito)<p(fracaso)$|$OR<1$|$Logit\left(OR\right)<0$
$p(éxito)>p(fracaso)$|$OR>1$|$Logit\left(OR\right)>0$
||||

Es importante tener en cuenta que la transformación Logit carece de sentido para la certeza del éxito o del fracaso.

**Plantemiento del problema**

Tomando como base el conjunto de datos descrito en la **fase 2** se formulara un modelo de regresion logistica simple para estudiar la relacion logistica supuesta entre las variables definidas por campos: **peso** (variable independiente) y **uso_sustancias_psicoativas** (varaible dependiente), con base en una distribucion binomial y la funcion de enlace $Logit$.

**Desarrollo del Análisis**

En el siguiente desarrollo del análisis se hara en R Stutio y este mismo contara con varias secciones que se presentaran a continuacion.

### **4.4.1. Resumen estadístico de las variables de estudio** {.tabset .tabset-pills}

En base a la navegacion de las pestañas se muestra el resumen estadistico de la variable independiente **peso**, se presenta su bloxpot e histograma. De la variable dependiente **uso_sustancias_psicoativas** se mostrara su diagrama de barras, asi como su media y mediana. Ademas, se exhibira un diagrama de Cajas conjunto entre aquellas variables que mencionamos.

En base en la pestaña **Resumen y Bloxplot de peso** se puede comentar que la variable **peso** como se menciono en la seccion **4.2.1.** presenta un sesgo mas simetrico dado que su media y mediana se encuentran en valores extremadamente cercanas entre si lo cual nos indica que no muestra valores atipicos. Lo anterior mencionado tambien es contable a traves de la pestaña **Histograma de peso** y cabe aclarar que debido a la frecuencia de unos datos puede parecer que no es tan simetrico.

Continuando, segun la pestaña **Resumen y Diagrama de Barras de uso_sustancias_psicoativas** la variable cualitativa::nominal **uso_sustancias_psicoativas** muestra una mayor proporcionalidad para los casos 1 (si), que para los caso 0 (no): $29.59$ $%$ y $70.41$ $%$, repespectivamente.

Complementariamente, el **Resumen y el Diagrama de Cajas Conjunto** muestran que las observaciones son muy similares para los casos 0 (no) y 1 (si) de la variable **uso_sustancias_psicoativas** no varian demasiado para los valores de **peso**, cabe aclarar que esto pasa tambien con las otras categorias binarias lo cual en secciones posteriores sera un poco explicativo.

En cuanto a la dispersión, se observan diferencias opuestas entre los grupos: el grupo con **uso_sustancias_psicoativas = 0 ** muestra una una dispercion bastante simetrica, mientras que el grupo con **uso_sustancias_psicoativas = 1** muestra una distribucion bastate similar al caso 0. No muestra de manera aparente casos atipicos en los valores de la variable **peso**.

#### Resumen y Boxplot de peso
```{r resumen_peso_2, fig.align = 'center'}
summary(clinic_dataset_bi$peso)
boxplot(clinic_dataset_bi$peso, main = "Diagrama de Caja de peso", col = c("orange"))
```

#### Histograma de peso
```{r histograma_peso, fig.align = 'center'}
summary(clinic_dataset_bi$peso)
hist(clinic_dataset_bi$peso, main = "Histograma de peso", col = c("gold"))
```

#### Resumen y Diagrama de Barras de uso_sustancias_psicoativas
```{r resumen_uso_sustan, fig.align = 'center'}
table(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas)
prop.table(table(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas))
barplot(table(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas))
```

#### Resumen y Diagrama de Cajas Conjunto
```{r boxplot_Conjunto_pes-uso_sus, fig.align = 'center'}
tapply(clinic_dataset_bi$peso, clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas, mean)
tapply(clinic_dataset_bi$peso, clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas, median)
boxplot(clinic_dataset_bi$peso~clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas, main = "Boxplot Conjunto: Peso - uso_sustancias_psicoativas", col = c("orange", "gold"))
```

### **4.4.2. Formulación del modelo de RLogS entre las variables de estudio** {.tabset .tabset-pills}

En base a la navegacion a traves de pestañas se muestran los coeficientes del modelo **RLogS** y su resumen estadistico. Se menciona de nuevo las variables que son de interes: **peso** (Variable independiente) y **uso_sustancias_psicoativas** (Variable dependiente).

La pestaña **Coeficientes del Modelo RLogS** nos permite establecer que el modelo RLogS selcciona a $\pi(x)$ con $x$ a través de la función de enlace $Logit$ de la siguiente manera:$$\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}=e^{-0.762073811-0.001493798\cdot x}\hspace{10mm}(31)$$

De la misma forma, la pestaña **Resumen Estadistico del Modelo RLogS** muestra para efectos de comparacion, los resumenes del modelo estuadiado y uno alternativo tomando como base la variable cualitativa::nominal **genero_del_paciente**. Con base en el criterio de informacion que nos proporciona el Akaike (AIC por sus siglas en ingles), del cual se sabe que es una medida de bondad de ajuste de un modelo estadistico que describe la relacion entre el sesgo y la varianza en la formulacion del modelo, es decir, entre su exatitud y complejidad, se verifica que en base a los resultados podemos verificar que el mejor modelo es con la variable **genero_del_paciente**} que con la variable **uso_sustancias_psicoativas** por una diferencia bastante grande, porque:
$AIC_U = 6075.3 > 3384.7 = AIC_G$. Tambien, para apoyar que el modelo basado en la variable **genero_del_paciente** es mejor que el modelo basado en la variable **uso_sustancias_psicoativas**, el cociente entre la desviacion nula (Null Deviance) y la desviacion recidual (Residual Desviance), observable en la pestaña **Resumen Estadistico del Modelo RLogS**, es mayor en el modelo propuesto que en el de comparacion.

#### Coeficientes del Modelo RLogS
```{r coeficientes_Regresion_Logistica_Simple, fig.align = 'center'}
modelo_RLog_Simple = glm(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas~clinic_dataset_bi$peso, family = "binomial", data = data.frame(clinic_dataset_bi$uso_sustancias_psicoativas, clinic_dataset_bi$peso))
coef(modelo_RLog_Simple)
```

#### Resumen Estadístico del Modelo RLogS
```{r resumen_Regresion_Logistica_Simple, fig.align = 'center'}
summary(modelo_RLog_Simple)
modelo_RLog_Simple_S = glm(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente~clinic_dataset_bi$peso, family = "binomial", data = data.frame(clinic_dataset_bi$genero_del_paciente, clinic_dataset_bi$peso))
summary(modelo_RLog_Simple_S)
```

### **4.4.3. Análisis del modelo RLogS** {.tabset .tabset-pills}

En base a pestañas se motraran los resultados de algunas predicciones obtenidas a traves del modelo RLogS para identificar en sus respuestas la correspondencia de sentido en las razones de probabilidades ODDS a favor o en contra del evento considerando: $\frac{\pi}{1-\pi}$ y $\frac{1-\pi}{\pi}$, respectivamente.  Se menciona de nuevo que las variables de interes son **peso** (variable independiente) y **genero_del_paciente** (varaible dependiente).

La pestaña **Variable Predictora igual a Cero** plantea dos situaciones interpretativas. La primera  nos permite comprender el coeficiente del factor en el cual esta presente la variable predictora, y una probabilidad cercana a cero de que un caso sea favorable pero dado el contexto de la variable predictora esta es imposible que se torne cero por lo tanto carece de sentido, la segunda situacion conlleva una interpretacion mas delicada: como la variable **peso** se mide en el intervalo $[42 , 101]$ una medida de unidad razonable para el aumento seria de una unidad ejemplo: pasar de $51$ kg a $52$ kg implicando un aumanto de una unidad de medida. Asi, se entiende que el cociente de probabilidades en relacion con la variable predictora en le modelo RLogS refleja un incremento acumulado de $\approx 0.994412$ veces desde $42$ hasta $101$ con incrementos de $1$.

Con base en lo anterior, a traves de la pestaña **Probabilidades Estimadas** se puede apreciar entre los registros $1$ y $12$ un delta de cambio absoluto igual a $0.00057638$ (equivalente a un icremento relativo del $\approx 0.49$ $%$) al incrementar la variable predictora en una unidad como se definio en el parrafo anterior.

Por ultimo, el grafico de curva logistica, en la pestaña **Grafica del modelo RLogS**, nos permite visualizar y comprender el comportamiento de las variables involucradas en el modelo propuesto; en general y como nota lo siguiente a mencionar pasa con todas la variables categoricas binarias de este conjunto de datos aunque en donde se ubica la curva de regrecion si varia segun la variable, para los casos faborables y desvaorables de la variable **genero_del_paciente** no cambian mucho segun el valor de la variable **peso** lo cual implica que la linea permanezca casi constante lo cual indica que no hay mucha relacion entre las variables pero en general es asi con cada combinacion de par de variables, lo que sugiere hacer una revision mas a fondo del conjunto de datos y revisar que variables que faltan pueden presentar mas aporte.

#### Variable Predictora igual a Cero
```{r variable_Predictora_Cero, fig.align = 'center'}
coef(modelo_RLog_Simple_S)
round(exp(coef(modelo_RLog_Simple_S)),6)
```

#### Probabilidades Estimadas
```{r probabilidades_Estimadas, fig.align = 'center'}
predict(modelo_RLog_Simple_S, data.frame(seq(1, 917)), type = "response")
```

#### Gráfica del Modelo RLogS
```{r grafica_Modelo_RLogS, fig.align = 'center'}
genero_paciente <- clinic_dataset_bi$genero_del_paciente
peso <- clinic_dataset_bi$peso
dataPlot <- data.frame(peso, genero_paciente)
plot(genero_paciente~peso, data = dataPlot, main = "Modelo RLogS: peso - genero_paciente", xlab = "peso", ylab = "genero_paciente = 0 | genero_paciente = 1", col = "gold", pch = "I")
curve(predict(glm(genero_paciente~peso, family = "binomial", data = dataPlot), data.frame(peso = x), type = "response"), col = "orange", lwd = 3, add = TRUE)
```