Tugas MSR Praktikum 5: Pembuktian Dalil Limit Pusat

Kelompok 13

Aida Darajati, Cahyani Dyah Rofiana, Much Fazrin Sepranjani Fatah

Sebaran Negatif Chi-Square

Sebaran yang menjulur ke kiri

set.seed(16)
negatifchiquare <- -rchisq(1000000, 3)
hist(negatifchiquare, main="Populasi Terhingga Negatif Chi-Square")

Terlihat bahwa sebaran negatif chi-square memiliki bentuk sebaran yang menjulur ke kiri.

5 sampel

set.seed(16)
k_nchisq5 = 1000 #ulangan
n_nchisq5 = 5
z_nchisq5 = matrix(-rchisq(n_nchisq5*k_nchisq5, df = 3), k_nchisq5)
z_nchisq5 = apply(z_nchisq5, 1, mean)

hist(z_nchisq5, main = "Sebaran Percontohan Negatif Chi-Square 5 Sampel")

Terlihat bahwa sebaran percontohan negatif chi-square dengan 5 sampel memiliki bentuk sebaran yang menjulur ke kiri

50 sampel

set.seed(16)
k_nchisq50 = 1000 #ulangan
n_nchisq50 = 50
z_nchisq50 = matrix(-rchisq(n_nchisq50*k_nchisq50, df = 3), k_nchisq50)
z_nchisq50 = apply(z_nchisq50, 1, mean)

hist(z_nchisq50, main = "Sebaran Percontohan Negatif Chi-Square 50 Sampel")

Terlihat bahwa sebaran percontohan negatif chi-square dengan 50 sampel memiliki bentuk sebaran yang sudah mulai mengikuti sebaran normal namun masih sedikit menjulur ke kiri

500 sampel

set.seed(16)
k_nchisq500 = 1000 #ulangan
n_nchisq500 = 500
z_nchisq500 = matrix(-rchisq(n_nchisq500*k_nchisq500, df = 3), k_nchisq500)
z_nchisq500 = apply(z_nchisq500, 1, mean)

hist(z_nchisq500, main = "Sebaran Percontohan Negatif Chi-Square 500 Sampel")

Terlihat bahwa sebaran percontohan negatif chi-square dengan 500 sampel memiliki bentuk sebaran yang simetrik seperti sebaran normal

Dari ketiga percobaan negatif chi-square tersebut, diketahui bahwa sebaran rata-rata percontohan negatif chi-square memilki bentuk sebaran awal yang menjulur ke kiri tetapi sebaran ini akan semakin simetrik seperti sebaran normal seiring dengan bertambahnya jumlah sampel.

Sebaran Normal

set.seed(16)
normal <- rnorm(1000000)
hist(normal, main="Populasi Terhingga Normal")

Terlihat bahwa sebaran normal memiliki bentuk sebaran simetris terhadap garis vertikal.

5 sampel

set.seed(16)
k_normal5 = 1000 #ulangan
n_normal5 = 5
z_normal5 = matrix(rnorm(n_normal5*k_normal5), k_normal5)
z_normal5 = apply(z_normal5, 1, mean)

hist(z_normal5, main = "Sebaran Percontohan Normal 5 Sampel",xlim=c(-1,1) )

Terlihat bahwa sebaran percontohan normal dengan 5 sampel memiliki bentuk sebaran simetris terhadap garis vertikal

50 sampel

set.seed(16)
k_normal50 = 1000 #ulangan
n_normal50 = 50
z_normal50 = matrix(rnorm(n_normal50*k_normal50), k_normal50)
z_normal50 = apply(z_normal50, 1, mean)

hist(z_normal50, main = "Sebaran Percontohan Normal 50 Sampel",xlim=c(-1,1) )

Terlihat bahwa sebaran percontohan normal dengan 50 sampel memiliki bentuk sebaran simetris terhadap garis vertikal

500 sampel

set.seed(16)
k_normal500 = 1000 #ulangan
n_normal500 = 500
z_normal500 = matrix(rnorm(n_normal500*k_normal500), k_normal500)
z_normal500 = apply(z_normal500, 1, mean)

hist(z_normal500, main = "Sebaran Percontohan Normal 500 Sampel",xlim=c(-1,1) )

Terlihat bahwa sebaran percontohan normal dengan 500 sampel juga memiliki bentuk sebaran simetris terhadap garis vertikal.

Dari ketiga percobaan normal tersebut, diketahui bahwa sebaran normal akan selalu simetris berapapun jumlah sampelnya.

Sebaran Eksponensial

set.seed(16)
eksponensial <- rexp(1000000)
hist(eksponensial, main="Populasi Terhingga Eksponensial")

Terlihat bahwa sebaran eksponensial memiliki bentuk sebaran yang menjulur ke kanan.

5 sampel

set.seed(16)
k_ekspo5 = 1000 #ulangan
n_ekspo5 = 5
z_ekspo5 = matrix(rexp(n_ekspo5*k_ekspo5), k_ekspo5)
z_ekspo5 = apply(z_ekspo5, 1, mean)

hist(z_ekspo5, main = "Sebaran Percontohan Eksponensial 5 Sampel")

Terlihat bahwa sebaran percontohan eksponensial dengan 5 sampel memiliki bentuk sebaran yang menjulur ke kanan

50 sampel

set.seed(16)
k_ekspo50 = 1000 #ulangan
n_ekspo50 = 50
z_ekspo50 = matrix(rexp(n_ekspo50*k_ekspo50), k_ekspo50)
z_ekspo50 = apply(z_ekspo50, 1, mean)

hist(z_ekspo50, main = "Sebaran Percontohan Eksponensial 50 Sampel")

Terlihat bahwa sebaran percontohan eksponensial dengan 50 sampel memiliki bentuk sebaran yang simetrik seperti sebaran normal tapi masih sedikit menjulur ke kanan

500 sampel

set.seed(16)
k_ekspo500 = 1000 #ulangan
n_ekspo500 = 500
z_ekspo500 = matrix(rexp(n_ekspo500*k_ekspo500), k_ekspo500)
z_ekspo500 = apply(z_ekspo500, 1, mean)

hist(z_ekspo500, main = "Sebaran Percontohan Eksponensial 500 Sampel")

Terlihat bahwa sebaran percontohan eksponensial dengan 500 sampel memiliki bentuk sebaran yang simetrik seperti sebaran normal

Dari ketiga percobaan eksponensial tersebut, diketahui bahwa sebaran rata-rata percontohan eksponensial memilki bentuk sebaran awal yang menjulur ke kanan tetapi sebaran ini akan semakin simetrik seperti sebaran normal seiring dengan bertambahnya jumlah sampel.

Sebaran Seragam

set.seed(16)
seragam <- runif(1000000)
hist(seragam, main="Populasi Terhingga Seragam")

Terlihat bahwa sebaran seragam memiliki bentuk sebaran seragam dengan frekuensi yang hampir sama

5 sampel

set.seed(16)
k_seragam5 = 1000 #ulangan
n_seragam5 = 5
z_seragam5 = matrix(runif(n_seragam5*k_seragam5), k_seragam5)
z_seragam5 = apply(z_seragam5, 1, mean)

hist(z_seragam5, main = "Sebaran Percontohan Seragam 5 Sampel")

Terlihat bahwa sebaran percontohan seragam dengan 5 sampel memiliki bentuk sebaran yang seragam

50 sampel

set.seed(16)
k_seragam50 = 1000 #ulangan
n_seragam50 = 50
z_seragam50 = matrix(runif(n_seragam50*k_seragam50), k_seragam50)
z_seragam50 = apply(z_seragam50, 1, mean)

hist(z_seragam50, main = "Sebaran Percontohan Seragam 50 Sampel")

Terlihat bahwa sebaran percontohan seragam dengan 50 sampel memiliki bentuk sebaran yang sudah mulai simetrik seperti sebaran normal

500 sampel

set.seed(16)
k_seragam500 = 1000 #ulangan
n_seragam500 = 50
z_seragam500 = matrix(runif(n_seragam500*k_seragam500), k_seragam500)
z_seragam500 = apply(z_seragam500, 1, mean)

hist(z_seragam500, main = "Sebaran Percontohan Seragam 500 Sampel")

Terlihat bahwa sebaran percontohan seragam dengan 500 sampel memiliki bentuk sebaran yang simetrik seperti sebaran normal.

Dari ketiga percobaan seragam tersebut, diketahui bahwa sebaran seragam memilki bentuk sebaran awal yang seragam tetapi sebaran rata-rata percontohan ini akan semakin simetrik seperti sebaran normal seiring dengan bertambahnya jumlah sampel.

Gabungan Sebaran

par(mfrow=c(2,3))
hist(z_nchisq5, main = "Negatif Chi-Square 5 Sampel")
hist(z_nchisq50, main = "Negatif Chi-Square 50 Sampel")
hist(z_nchisq500, main = "Negatif Chi-Square 500 Sampel")

hist(z_normal5, main = "Normal 5 Sampel")
hist(z_normal50, main = "Normal 50 Sampel")
hist(z_normal500, main = "Normal 500 Sampel")

par(mfrow=c(2,3))
hist(z_ekspo5, main = "Eksponensial 5 Sampel")
hist(z_ekspo50, main = "Eksponensial 50 Sampel")
hist(z_ekspo500, main = "Eksponensial 500 Sampel")

hist(z_seragam5, main = "Seragam 5 Sampel")
hist(z_seragam50, main = "Seragam 50 Sampel")
hist(z_seragam500, main = "Seragam 500 Sampel")

Dari keempat sebaran tersebut, diketahui bahwa apapun bentuk sebarannya, sebaran rata-rata percontohan akan semakin simetrik seperti sebaran normal seiring dengan bertambahnya jumlah sampel.

Hal ini sesuai dengan dalil limit pusat yang menyatakan bahwa Jika dari suatu populasi dengan nilai harapan miu dan ragam sigma^2 ditarik contoh secara acak berukuran n yang besar maka rata-rata contoh akan memiliki sebaran yang mendekati normal jika ukuran contoh (n) semakin besar, nilai harapan rata-rata contoh adalah miu, dan ragam dari rata-rata contoh adalah sigma^2/n.