Верны ли равенства \(f^{-1}(f(A))=A\) и \(f(f^{-1}(S))=S\) где \(A\) - множество из области определения функции \(f\), а \(S\) - множество из области значений этой функции
Оба равенства верны при выполнении некоторых условий.
Равенство \(f^{-1}(f(A))=A\) верно, если функция \(f\) является инъективной (взаимно однозначной) на множестве \(A\). Это означает, что каждому элементу из области значений функции \(f\) соответствует ровно один элемент из области определения \(A\), и обратное отображение \(f^{-1}\) сохраняет структуру множества \(A\).
Равенство \(f(f^{-1}(S))=S\) верно, если множество \(S\) содержится в области значений функции \(f\). Это означает, что для каждого элемента \(s\) из множества \(S\) существует элемент \(a\) из области определения \(A\), такой что \(f(a) = s\). Обратное отображение \(f^{-1}\) позволяет найти все такие элементы \(a\), для которых \(f(a) = s\), и применение функции \(f\) к этим элементам дает обратно множество \(S\).
Доказать, что
\[f(\bigcap\limits_{k=1}^{n}A_{k}) = \bigcap\limits_{k=1}^{n}f(A_{k})\]
если \(f: A_k \rightarrow Y\) - взаимнооднозначное отображение (\(k = \overline{1,n}\)).
Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами взаимно однозначного отображения.
Пусть \(f: A_k \rightarrow Y\) является взаимно однозначным отображением. Тогда для любого элемента \(y \in Y\) существует ровно один элемент \(x \in A_k\) такой, что \(f(x) = y\). Обозначим через \(A_k\) множество всех элементов \(x \in A_k\), для которых \(f(x) \in f(A_k)\). Так как \(f\) является взаимно однозначным отображением, то каждый элемент \(y \in f(A_k)\) имеет ровно один прообраз \(x \in A_k\), и этот прообраз принадлежит \(A_k\). Следовательно, \(f(A_k) \subseteq f(A_k)\).
Теперь рассмотрим обратную ситуацию. Пусть \(y \in f(A_k)\). Тогда существует ровно один элемент \(x \in A_k\) такой, что \(f(x) = y\). Но поскольку \(y \in f(A_k)\), то \(y \in f(A_k)\). Таким образом, \(y \in f(A_k)\) тогда и только тогда, когда \(y \in f(A_k)\). Отсюда следует, что \(f(A_k) \subseteq f(A_k)\).
Следовательно, \(f(A_k) = f(A_k)\).
Для доказательства данного утверждения методом математической индукции, нам необходимо показать, что оно выполняется для \(n = 0\) (базовый случай) и что если оно выполняется для некоторого \(n\), то оно также выполняется и для \(n+1\).
Базовый случай: Для \(n = 0\), у нас есть одно множество \(A_0\). Тогда выражение \(\bigcap\limits_{k=1}^{n}A_{k}\) превращается в пустое множество \(\emptyset\), так как нет других множеств для пересечения. Функция \(f\) является взаимнооднозначной, поэтому \(f(\emptyset)\) также будет пустым множеством. Таким образом, \[f(\bigcap\limits_{k=1}^{0}A_{k}) = f(\emptyset) = \emptyset = \bigcap\limits_{k=1}^{0}f(A_{k}).\]
Индукционный шаг: Предположим, что утверждение верно для \(n = k\): \[f(\bigcap\limits_{k=1}^{k}A_{k}) = \bigcap\limits_{k=1}^{k}f(A_{k}).\]
Теперь докажем, что оно верно для \(n = k + 1\): \[f(\bigcap\limits_{k=1}^{k+1}A_{k}) = f(\bigcap\limits_{k=1}^{k}A_{k} \cap A_{k+1}).\]
Поскольку \(f\) является взаимнооднозначным отображением, мы можем применить свойства отображения к объединению множеств: \[f(\bigcap\limits_{k=1}^{k}A_{k} \cap A_{k+1}) = f(\bigcap\limits_{k=1}^{k}A_{k}) \cap f(A_{k+1}).\]
Заменив \(\bigcap\limits_{k=1}^{k}A_{k}\) его значением из предположения индукции, получим: \[f(\bigcap\limits_{k=1}^{k}A_{k}) \cap f(A_{k+1}) = \bigcap\limits_{k=1}^{k}f(A_{k}) \cap f(A_{k+1}).\]
Так как \(f\) является взаимнооднозначным отображением, то оно сохраняет отношения между множествами, включая пересечение. Поэтому: \[\bigcap\limits_{k=1}^{k}f(A_{k}) \cap f(A_{k+1}) = \bigcap\limits_{k=1}^{k+1}f(A_{k}).\]
Таким образом, утверждение верно для \(n = k + 1\), что завершает доказательство методом математической индукции.
В каком случае справедливы равенства
\[f(A\cap B) = f(A)\cap f(B)\]
и
\[f(A \setminus B) = f(A) \setminus f(B)\]
где \(A\) и \(B\) - множества из области определения функции \(f\)?
Первое равенство \[f(A\cap B) = f(A)\cap f(B)\] справедливо, если функция f сохраняет совпадения, то есть инъективна. Это значит, что если два элемента из области определения функции имеют одинавый образ (то есть дают один и тот же результат при подстановке в функцию), то эти элементы должны были иметь одинаковые образы и до применения функции.
Второе равенство \[f(A \setminus B) = f(A) \setminus f(B)\] справедливо, если функция f сохраняет различия, то есть сюръективна. Это значит, что если два элемента из области определения функции имеют разные образы, то они имели разные образы и до применения функции.
Однако, ни одно из этих условий не гарантирует, что оба равенства будут выполняться одновременно. Например, функция \(f(x) = x^2\) сохраняет совпадения, но не сохраняет различия (поскольку \((-a)^2 = a^2\)).