Estudio Descriptivo Multivariable con base en un conjunto de datos del ranking mundial de Universidades registrado en el año 2023.
Por:G3::maria.camila.araujo::samuel.munera::samuel.martinez::@correounivalle.edu.co
2024-03-20
Fase 1 [Descripciones multivariantes]
1. Objetivos
Hacer un analisis detenido desde el punto de vista que nos brinda la estadistica descriptiva multivariante (calculos, visualizaciones e interpretaciones) a un conjunto de datos del ranking mundial de universidades registradas en el año 2023.
1.2. Descripcion del conjunto de datos
Fuente del conjunto de datos
El conjunto de datos de trabajo se obtuvo casi totalmente de Kaggle: https://www.kaggle.com/datasets/tahirrfarooqq/2023-qs-world-university-ranking. Es conveniente anotar que Kaggle es una compañía subsidiaria de Google LLC que mantiene una comunidad online de científicos de datos y profesionales del aprendizaje automático. Esta empresa permite a sus usuarios encontrar y publicar conjuntos de datos, explorar y crear modelos en un entorno de ciencia de datos basado en la web, trabajar con otros científicos de datos e ingenieros de aprendizaje automático y participar en concursos para resolver desafíos de ciencia de datos.
Contexto del conjunto de datos
El conjunto de datos 2023 QS World University Rankings contiene información sobre las mejores universidades de todo el mundo. El conjunto de datos incluye metrícas, como el nombre de la institución, la ubicación y varias subpuntuaciones en diferentes campos, así como las clasificaciones de las universidades.
Descripcion del conjunto de datos
El conjunto de datos contiene las siguientes medidas:
- 2024 RANK (Posición en el Ranking 2024):
- Representa la posición de la universidad en el ranking mundial para el año 2024.
- Escala de medición: nominal: Las posiciones en el ranking son números enteros que representan la posición relativa de las universidades.
- 2023 RANK (Posición en el Ranking 2023):
- La posición de la universidad en el ranking mundial para el año 2023.
- Escala de medición: Nominal. Las posiciones en el ranking son números enteros que representan la posición relativa de las universidades.
- Size (Tamaño):
- El tamaño de la universidad, posiblemente en términos de número de estudiantes, personal académico, etc.
- Escala de medición: Nominal. Tamaño relativo, pero puede representarse con etiquetas como “pequeño”, “mediano” o “grande”.
- Focus (Enfoque):
- El enfoque principal de la universidad, por ejemplo, en ciencia, ingeniería, artes, etc.
- Escala de medición: Nominal. Los enfoques son etiquetas únicas sin un orden intrínseco.
- Research (Investigación):
- La cantidad y calidad de la investigación realizada por la universidad.
- Escala de medición: Nominal. Los niveles de investigación pueden ser etiquetas como “baja”, “media” o “alta”.
- Age Band (Grupo de Edad):
- El rango de edad de la universidad.
- Escala de medición: Nominal. Los grupos de edad pueden ser etiquetas como “joven”, “intermedio” o “antiguo”.
- Status (Estado):
- El estado o categoría de la universidad, por ejemplo, pública o privada.
- Escala de medición: Nominal. Los estados son etiquetas únicas sin un orden intrínseco.
- Rank (Rango):
- Representa la posición de cada universidad en la clasificación mundial.
- Escala de Medición: Ordinal. Las universidades se clasifican en función de su posición relativa, pero no se pueden realizar operaciones matemáticas significativas entre los valores de ranking.
- Institución:
- El nombre de la universidad correspondiente a cada entrada en el conjunto de datos.
- Escala de Medición: Nominal. No hay un orden específico entre las universidades; simplemente se identifican por su nombre.
- Código de Ubicación:
- Representa un código único para la ubicación de cada universidad.
- Escala de Medición: Nominal. Los códigos son identificadores únicos sin un orden específico.
- Ubicación:
- Indica la ubicación geográfica de la universidad (por ejemplo, país o ciudad).
- Escala de Medición: Nominal. No hay un orden específico entre las ubicaciones; simplemente se identifican por su nombre.
- Puntuación de Reputación Académica (AR):
- Representa la reputación académica de cada universidad.
- Escala de Medición: De Razón. Las diferencias entre los valores son significativas y se pueden realizar operaciones matemáticas entre ellos.
- Rango de Reputación Académica (AR):
- Indica la posición de la universidad en términos de su reputación académica.
- Escala de Medición: Ordinal. Las universidades se clasifican en función de su posición relativa en la reputación académica.
- Puntuación de Reputación del Empleador (ER):
- Representa la reputación de la universidad entre los empleadores.
- Escala de Medición: De Razón. Las diferencias entre los valores son significativas y se pueden realizar operaciones matemáticas entre ellos.
- Rango de Reputación del Empleador (ER):
- Indica la posición de la universidad en términos de su reputación entre los empleadores.
- Escala de Medición: Ordinal. Las universidades se clasifican en función de su posición relativa en la reputación del empleador.
- Puntuación de Relación entre Profesores y Estudiantes
(FSR):
- Representa la relación entre profesores y estudiantes en cada universidad.
- Escala de Medición: De Razón. Las diferencias entre los valores son significativas y se pueden realizar operaciones matemáticas entre ellos.
- Rango de Relación entre Profesores y Estudiantes (FSR):
- Indica la posición de la universidad en términos de su relación entre profesores y estudiantes.
- Escala de Medición: Ordinal. Las universidades se clasifican en función de su posición relativa en la relación entre profesores y estudiantes.
- Puntuación de Citas por Profesor (CPF):
- Representa la cantidad de citas por profesor en cada universidad.
- Escala de Medición: De Razón. Las diferencias entre los valores son significativas y se pueden realizar operaciones matemáticas entre ellos.
- Rango de Citas por Profesor (CPF):
- Indica la posición de la universidad en términos de la cantidad de citas por profesor.
- Escala de Medición: Ordinal. Las universidades se clasifican en función de su posición relativa en las citas por profesor.
- Puntuación de Internacionalización (IFR):
- Representa el nivel de internacionalización de cada universidad.
- Escala de Medición: De Razón. Las diferencias entre los valores son significativas y se pueden realizar operaciones matemáticas entre ellos.
- Rango de Internacionalización (IFR):
- Indica la posición de la universidad en términos de su nivel de internacionalización.
- Escala de Medición: Ordinal. Las universidades se clasifican en función de su posición relativa.
- Puntuación de Internacionalización de los Estudiantes
(ISR):
- Indica el indice internacionalizacion de los estudias
- Tipo de medida: Continua.
- Rango de Internacionalización de los Estudiantes (ISR):
- Indica el rango en el indicador de internacionalización de los estudiantes.
- Tipo de medida: Discreta.
- Puntuación de Relaciones Internacionales (IRN):
- Representa la puntuación en el indicador de relaciones internacionales.
- Tipo de medida: Continua.
- Rango de Relaciones Internacionales (IRN):
- Descripción: Mide el rango en el indicador de relaciones internacionales.
- Tipo de medida: Discreta.
- Puntuación de Proporción de Estudiantes Graduados (GER):
- Descripción: Evalúa la proporción de estudiantes graduados en la universidad.
- Tipo de medida: Continua.
- Rango de Proporción de Estudiantes Graduados (GER):
- Descripción: Indica el rango en el indicador de proporción de estudiantes graduados.
- Tipo de medida: Discreta.
Estructura del conjunto de datos inicial
str(Universidad_Dataset)## tibble [1,323 × 29] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
## $ rank display : num [1:1323] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...
## $ rank display2: num [1:1323] 1 2 4 5 3 6 9 11 8 27 ...
## $ institution : chr [1:1323] "Massachusetts Institute of Technology (MIT)" "University of Cambridge" "University of Oxford" "Harvard University" ...
## $ location code: chr [1:1323] "US" "UK" "UK" "US" ...
## $ location : chr [1:1323] "United States" "United Kingdom" "United Kingdom" "United States" ...
## $ size : chr [1:1323] "M" "L" "L" "L" ...
## $ focus : chr [1:1323] "CO" "FC" "FC" "FC" ...
## $ research : chr [1:1323] "VH" "VH" "VH" "VH" ...
## $ age band : num [1:1323] 5 5 5 5 5 5 5 3 5 5 ...
## $ status : num [1:1323] 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ...
## $ ar score : num [1:1323] 100 100 100 100 100 98.3 98.8 99.4 99.5 100 ...
## $ ar rank : num [1:1323] 4 3 2 1 5 23 19 15 13 6 ...
## $ er score : num [1:1323] 100 100 100 100 100 99.4 83.6 88.6 97.9 100 ...
## $ er rank : num [1:1323] 2 4 5 1 3 12 62 54 22 6 ...
## $ fsr score : num [1:1323] 100 100 100 98.3 100 98.5 72.1 76.5 98.4 20.5 ...
## $ fsr rank : num [1:1323] 16 14 8 44 11 42 177 157 43 656 ...
## $ cpf score : num [1:1323] 100 92.3 90.6 100 99.9 94 98.9 93.2 74.3 99.9 ...
## $ cpf rank : num [1:1323] 4 68 73 1 8 58 21 64 131 7 ...
## $ ifr score : num [1:1323] 100 100 98.2 84.6 99.9 100 100 100 99.1 92.2 ...
## $ ifr rank : num [1:1323] 56 64 110 210 78 61 22 33 96 172 ...
## $ isr score : num [1:1323] 88.2 95.8 98.2 66.8 51.2 100 98.5 81.9 100 63.9 ...
## $ isr rank : num [1:1323] 128 85 60 223 284 14 56 154 15 235 ...
## $ irn score : num [1:1323] 94.3 99.9 100 100 95.8 96.7 96 76.3 100 92.4 ...
## $ irn rank : num [1:1323] 58 7 1 5 44 35 42 165 2 66 ...
## $ ger score : num [1:1323] 100 100 100 100 100 83 79.1 100 51.6 98.7 ...
## $ ger rank : num [1:1323] 4 6 3 1 2 45 52 7 126 15 ...
## $ SUS SCORE : num [1:1323] 95.2 97.3 97.8 96.7 94.4 94.4 88.4 88.1 92.5 100 ...
## $ SUS RANK : num [1:1323] 51 33 26 39 63 61 103 106 74 1 ...
## $ Overall Score: num [1:1323] 100 99.2 98.9 98.3 98.1 97.8 93.3 92.7 92.4 90.4 ...Visualizacion del conjunto de Datos
Universidad_Dataset## # A tibble: 1,323 × 29
## `rank display` `rank display2` institution `location code` location size
## <dbl> <dbl> <chr> <chr> <chr> <chr>
## 1 1 1 Massachusetts … US United … M
## 2 2 2 University of … UK United … L
## 3 3 4 University of … UK United … L
## 4 4 5 Harvard Univer… US United … L
## 5 5 3 Stanford Unive… US United … L
## 6 6 6 Imperial Colle… UK United … L
## 7 7 9 ETH Zurich - S… CH Switzer… L
## 8 8 11 National Unive… SG Singapo… XL
## 9 9 8 UCL UK United … XL
## 10 10 27 University of … US United … XL
## # ℹ 1,313 more rows
## # ℹ 23 more variables: focus <chr>, research <chr>, `age band` <dbl>,
## # status <dbl>, `ar score` <dbl>, `ar rank` <dbl>, `er score` <dbl>,
## # `er rank` <dbl>, `fsr score` <dbl>, `fsr rank` <dbl>, `cpf score` <dbl>,
## # `cpf rank` <dbl>, `ifr score` <dbl>, `ifr rank` <dbl>, `isr score` <dbl>,
## # `isr rank` <dbl>, `irn score` <dbl>, `irn rank` <dbl>, `ger score` <dbl>,
## # `ger rank` <dbl>, `SUS SCORE` <dbl>, `SUS RANK` <dbl>, …1.3. Estimaciones Multivariantes
Como se menciona en (Aristizábal R., 2017) la de media, varianza y covarianza conforman un conjunto de medidas fundamentales para describir el comportamiento posicional, dispersivo y correlacional de variables aleatorias. En este sentido, el conjunto de datos de trabajo que posee , y que está representado matricialmente, estima las medidas anteriores a partir de vectores y matrices en el estudio descriptivo multivariable.
El vector de medias indica el comportamiento posicional en el sentido de valor esperado o punto medio para cada variable en relación con todos sus registros. La matriz de varianzas-covarianzas estima las dispersiones, en su diagonal principal, de cada variable del conjunto de datos respecto de cada media obtenida del vector de medias. Además, por encima o por debajo de la diagonal principal, se estiman las covarianzas entre las combinaciones de los posibles pares de variables del conjunto de datos. Para más detalles se puede consultar a (Aristizábal R., 2017).
Lo anterior, para el conjunto de datos de trabajo, se desarrolla en la sección 3.2.
planteamiento del problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se calcularán e intepretarán, para las variables numéricas, el vector de medias, la matriz de varianzas-covarianzas y la matriz de correlaciones. Se recuerda que las variables numéricas (en escalada de medición de razón) son: La puntuacion de AR, ER, FSR, CPF, IFR, ISR, IRN y GER.
desarrollo del analisis
La navegación a través de las pestañas muestra el cálculo de los siguientes objetos: Vector de Medias x, Matriz de Varianzas-Covarianzas S y Matriz de Correlaciones R.
vector de medias y boxplots
apply(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)], 2, mean)## ar score ar rank er score er rank fsr score
## 21.81663 466.58881 21.48707 467.29554 29.17717
## fsr rank cpf score cpf rank ifr score ifr rank
## 533.56992 25.07370 523.95767 31.56327 521.10809
## isr score isr rank irn score irn rank ger score
## 26.74596 522.36206 25.89327 522.03250 21.02623
## ger rank SUS SCORE SUS RANK Overall Score
## 523.02192 26.67937 515.74603 25.33605Universidad_Dataset_Reducido = Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,16,18,20,22,24,26,28,29)]
par(mfrow = c(1, ncol(Universidad_Dataset_Reducido)))
invisible(lapply(1:ncol(Universidad_Dataset_Reducido), function(i) boxplot(Universidad_Dataset_Reducido[, i])))
matriz de varianzas-covarianzas
round(cov(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)]),2)## ar score ar rank er score er rank fsr score fsr rank cpf score
## ar score 538.86 -4176.80 474.84 -3456.82 237.98 -1857.86 360.75
## ar rank -4176.80 36113.27 -3678.23 28042.34 -1863.74 14672.03 -2916.68
## er score 474.84 -3678.23 604.62 -4487.93 234.06 -1838.74 280.51
## er rank -3456.82 28042.34 -4487.93 35910.12 -1640.45 12940.82 -2083.82
## fsr score 237.98 -1863.74 234.06 -1640.45 785.61 -6193.87 96.09
## fsr rank -1857.86 14672.03 -1838.74 12940.82 -6193.87 50421.93 -698.97
## cpf score 360.75 -2916.68 280.51 -2083.82 96.09 -698.97 804.97
## cpf rank -2872.71 23534.20 -2206.97 16516.52 -676.38 4913.08 -6343.80
## ifr score 318.06 -2643.18 277.77 -2116.58 168.82 -1288.60 418.23
## ifr rank -2050.52 17030.16 -1792.57 13647.29 -1090.40 8231.45 -2752.91
## isr score 278.61 -2206.87 258.66 -1861.33 205.66 -1570.48 308.37
## isr rank -2050.39 16451.17 -1887.57 13716.42 -1517.24 11504.48 -2218.19
## irn score 497.34 -4210.91 357.47 -2726.93 154.48 -1220.67 475.41
## irn rank -3572.14 30370.33 -2560.83 19527.00 -1120.20 8844.71 -3467.45
## ger score 346.91 -2642.94 338.70 -2488.43 166.46 -1306.99 241.75
## ger rank -3623.88 29597.18 -3559.69 27203.70 -1681.19 13449.49 -2717.22
## SUS SCORE 526.12 -4474.55 430.80 -3255.01 171.67 -1326.74 503.09
## SUS RANK -3793.64 32563.43 -3116.35 23582.53 -1181.73 9104.43 -3644.09
## Overall Score 419.98 -3305.14 389.29 -2855.38 244.69 -1905.58 407.84
## cpf rank ifr score ifr rank isr score isr rank irn score irn rank
## ar score -2872.71 318.06 -2050.52 278.61 -2050.39 497.34 -3572.14
## ar rank 23534.20 -2643.18 17030.16 -2206.87 16451.17 -4210.91 30370.33
## er score -2206.97 277.77 -1792.57 258.66 -1887.57 357.47 -2560.83
## er rank 16516.52 -2116.58 13647.29 -1861.33 13716.42 -2726.93 19527.00
## fsr score -676.38 168.82 -1090.40 205.66 -1517.24 154.48 -1120.20
## fsr rank 4913.08 -1288.60 8231.45 -1570.48 11504.48 -1220.67 8844.71
## cpf score -6343.80 418.23 -2752.91 308.37 -2218.19 475.41 -3467.45
## cpf rank 51560.27 -3404.73 22384.98 -2470.14 17875.52 -3965.66 28960.44
## ifr score -3404.73 1185.47 -7775.44 764.90 -5537.55 468.52 -3428.45
## ifr rank 22384.98 -7775.44 51894.70 -5024.99 36481.44 -3016.35 22104.34
## isr score -2470.14 764.90 -5024.99 986.60 -7047.67 373.17 -2737.91
## isr rank 17875.52 -5537.55 36481.44 -7047.67 51889.53 -2759.01 20234.21
## irn score -3965.66 468.52 -3016.35 373.17 -2759.01 974.08 -7102.77
## irn rank 28960.44 -3428.45 22104.34 -2737.91 20234.21 -7102.77 52326.10
## ger score -1903.83 255.33 -1651.79 213.06 -1549.54 319.52 -2306.66
## ger rank 21859.06 -2991.89 19262.74 -2363.29 17323.35 -3703.35 26859.06
## SUS SCORE -4206.37 521.78 -3332.82 399.30 -2936.26 760.68 -5581.70
## SUS RANK 30534.34 -3740.80 23980.51 -2837.19 20891.18 -5545.80 40790.19
## Overall Score -3237.98 387.82 -2520.00 334.69 -2432.93 446.93 -3234.92
## ger score ger rank SUS SCORE SUS RANK Overall Score
## ar score 346.91 -3623.88 526.12 -3793.64 419.98
## ar rank -2642.94 29597.18 -4474.55 32563.43 -3305.14
## er score 338.70 -3559.69 430.80 -3116.35 389.29
## er rank -2488.43 27203.70 -3255.01 23582.53 -2855.38
## fsr score 166.46 -1681.19 171.67 -1181.73 244.69
## fsr rank -1306.99 13449.49 -1326.74 9104.43 -1905.58
## cpf score 241.75 -2717.22 503.09 -3644.09 407.84
## cpf rank -1903.83 21859.06 -4206.37 30534.34 -3237.98
## ifr score 255.33 -2991.89 521.78 -3740.80 387.82
## ifr rank -1651.79 19262.74 -3332.82 23980.51 -2520.00
## isr score 213.06 -2363.29 399.30 -2837.19 334.69
## isr rank -1549.54 17323.35 -2936.26 20891.18 -2432.93
## irn score 319.52 -3703.35 760.68 -5545.80 446.93
## irn rank -2306.66 26859.06 -5581.70 40790.19 -3234.92
## ger score 435.38 -4314.60 387.52 -2764.79 296.08
## ger rank -4314.60 52162.62 -4417.22 31800.26 -3159.58
## SUS SCORE 387.52 -4417.22 983.14 -7110.43 480.40
## SUS RANK -2764.79 31800.26 -7110.43 52608.51 -3457.01
## Overall Score 296.08 -3159.58 480.40 -3457.01 382.24matriz de correlaciones
round(cor(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)]),2)## ar score ar rank er score er rank fsr score fsr rank cpf score
## ar score 1.00 -0.95 0.83 -0.79 0.37 -0.36 0.55
## ar rank -0.95 1.00 -0.79 0.78 -0.35 0.34 -0.54
## er score 0.83 -0.79 1.00 -0.96 0.34 -0.33 0.40
## er rank -0.79 0.78 -0.96 1.00 -0.31 0.30 -0.39
## fsr score 0.37 -0.35 0.34 -0.31 1.00 -0.98 0.12
## fsr rank -0.36 0.34 -0.33 0.30 -0.98 1.00 -0.11
## cpf score 0.55 -0.54 0.40 -0.39 0.12 -0.11 1.00
## cpf rank -0.55 0.55 -0.40 0.38 -0.11 0.10 -0.98
## ifr score 0.40 -0.40 0.33 -0.32 0.17 -0.17 0.43
## ifr rank -0.39 0.39 -0.32 0.32 -0.17 0.16 -0.43
## isr score 0.38 -0.37 0.33 -0.31 0.23 -0.22 0.35
## isr rank -0.39 0.38 -0.34 0.32 -0.24 0.22 -0.34
## irn score 0.69 -0.71 0.47 -0.46 0.18 -0.17 0.54
## irn rank -0.67 0.70 -0.46 0.45 -0.17 0.17 -0.53
## ger score 0.72 -0.67 0.66 -0.63 0.28 -0.28 0.41
## ger rank -0.68 0.68 -0.63 0.63 -0.26 0.26 -0.42
## SUS SCORE 0.72 -0.75 0.56 -0.55 0.20 -0.19 0.57
## SUS RANK -0.71 0.75 -0.55 0.54 -0.18 0.18 -0.56
## Overall Score 0.93 -0.89 0.81 -0.77 0.45 -0.43 0.74
## cpf rank ifr score ifr rank isr score isr rank irn score irn rank
## ar score -0.55 0.40 -0.39 0.38 -0.39 0.69 -0.67
## ar rank 0.55 -0.40 0.39 -0.37 0.38 -0.71 0.70
## er score -0.40 0.33 -0.32 0.33 -0.34 0.47 -0.46
## er rank 0.38 -0.32 0.32 -0.31 0.32 -0.46 0.45
## fsr score -0.11 0.17 -0.17 0.23 -0.24 0.18 -0.17
## fsr rank 0.10 -0.17 0.16 -0.22 0.22 -0.17 0.17
## cpf score -0.98 0.43 -0.43 0.35 -0.34 0.54 -0.53
## cpf rank 1.00 -0.44 0.43 -0.35 0.35 -0.56 0.56
## ifr score -0.44 1.00 -0.99 0.71 -0.71 0.44 -0.44
## ifr rank 0.43 -0.99 1.00 -0.70 0.70 -0.42 0.42
## isr score -0.35 0.71 -0.70 1.00 -0.98 0.38 -0.38
## isr rank 0.35 -0.71 0.70 -0.98 1.00 -0.39 0.39
## irn score -0.56 0.44 -0.42 0.38 -0.39 1.00 -0.99
## irn rank 0.56 -0.44 0.42 -0.38 0.39 -0.99 1.00
## ger score -0.40 0.36 -0.35 0.33 -0.33 0.49 -0.48
## ger rank 0.42 -0.38 0.37 -0.33 0.33 -0.52 0.51
## SUS SCORE -0.59 0.48 -0.47 0.41 -0.41 0.78 -0.78
## SUS RANK 0.59 -0.47 0.46 -0.39 0.40 -0.77 0.78
## Overall Score -0.73 0.58 -0.57 0.55 -0.55 0.73 -0.72
## ger score ger rank SUS SCORE SUS RANK Overall Score
## ar score 0.72 -0.68 0.72 -0.71 0.93
## ar rank -0.67 0.68 -0.75 0.75 -0.89
## er score 0.66 -0.63 0.56 -0.55 0.81
## er rank -0.63 0.63 -0.55 0.54 -0.77
## fsr score 0.28 -0.26 0.20 -0.18 0.45
## fsr rank -0.28 0.26 -0.19 0.18 -0.43
## cpf score 0.41 -0.42 0.57 -0.56 0.74
## cpf rank -0.40 0.42 -0.59 0.59 -0.73
## ifr score 0.36 -0.38 0.48 -0.47 0.58
## ifr rank -0.35 0.37 -0.47 0.46 -0.57
## isr score 0.33 -0.33 0.41 -0.39 0.55
## isr rank -0.33 0.33 -0.41 0.40 -0.55
## irn score 0.49 -0.52 0.78 -0.77 0.73
## irn rank -0.48 0.51 -0.78 0.78 -0.72
## ger score 1.00 -0.91 0.59 -0.58 0.73
## ger rank -0.91 1.00 -0.62 0.61 -0.71
## SUS SCORE 0.59 -0.62 1.00 -0.99 0.78
## SUS RANK -0.58 0.61 -0.99 1.00 -0.77
## Overall Score 0.73 -0.71 0.78 -0.77 1.001.4.Gráficas multivariadas
En la guía de clase de ( Aristizábal R., 2017 ) se menciona que, en general, los gráficos multivariados cumplen dos objetivos esenciales: primero, ayudan a comparar el comportamiento de poblaciones de estudio con base en variables categóricas y suavizan la comprensión de la Estructura de evaluación entre varias variables. En este sentido, el conjunto de datos de trabajo tendrá apoyo descriptivo gráfico a través de tres diagramas: uno conjunto que integra dispersión, distribución y correlaciones; otro basado en la renderización de polígonos, y por último, uno que recurre a las caras de Chernoff.
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se calcularán e interpretarán, para las variables numéricas, las gráficas multivariadas de diagrama de correlaciones, matriz de diagrama de dispersión, diagrama de estrellas y caras de Chernoff. Se recuerda que las variables numéricas (en escalada de medición de razón) son: La puntuacion de AR, ER, FSR, CPF, IFR, ISR, IRN y GER.
Desarrollo del Análisis
La navegación a través de las pestañas muestra las gráficas multivariadas de: Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones (sin agrupación SA y con agrupación CA (con base en las tres variables categóricas: AR, ER, FSR, CPF, IFR, ISR, IRN,GER, Overall Score), Diagrama de Estrellas y Caras de Chernoff. Con base en la pestaña Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones se puede describir que las correlaciones más altas , mayores que 0.9 , se dan entre variables esperadas como: AR, ER, FSR, CPF, IFR,ISR,IRN,GER y Overall Score . Estas variables, según las definiciones dadas en la sección 2 de descripción de datos, son nucleares en el fenómeno estudiado, porque están involucradas con el historial de rendimiento y desempeño de la universidad, su puntaje, puntuación de reputación(académica,empleador y estudiantes), rango de reputación(académica,empleador y estudiantes), puntualización de internalicionalizacion, puntuación total .
Con base en la pestaña Diagrama de Estrellas se interpreta que hay una variedad notoria de términos de desempeños asociados con las variables numéricas estudiadas, incluso con la que mide el status. Pero, también es notoria la presencia de grupos de universidades con desempeños aproximadamente homogéneos en todas las variables estudiadas, aunque sus escalas de desempeño varían. Complementariamente a los diagramas de estrellas, la pestaña Caras de Chernoff muestra que la variedad de los datos es sensible de establecer. Podemos apreciar en las Caras de Chernoff número 9, 10, 12,14,17,18,19, pueden conformar un par de grupos de universidades que muestran desempeños significativos en las variables medidas, teniendo en cuenta que estas se parecen pero tienen un porcentaje de variabilidad en su color, cabello, ojos, boca y nariz, tenemos también otros grupos más pequeños conformados por 5,8 ,4 otro grupo conformado por 18 y 22 aunque con cambios de escala; es decir, los del segundo y tercer grupo se desempeñan de una manera diferente que los del primero considerando todas las variables estudiadas. Esto compagina con lo mostrado en el Diagrama de Estrellas. Por último, es relevante mencionar que las evidencias descriptivas expuestas en este apartado estén en contra de considerar que el conjunto de datos limitado a las variables numéricas tenga una distribución normal multivariada. Esto se estudia en la sección 5.
diagrama de conjunto de dispersión, correlación
library(tidyverse)ggpairs(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)])
diagrama de conjunto de dispersión, correlación
library(tidyverse)Universidad_Dataset$status <- factor(Universidad_Dataset$status)
ggpairs(Universidad_Dataset,
columns = c(11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29),
aes(color = status),
alpha = 0.5,
upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
Diagrama de estrellas
set.seed(780728)
Universidad_Dataset_Reducido = Universidad_Dataset[sample(1:nrow(Universidad_Dataset),23),-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)]
stars(Universidad_Dataset_Reducido, len = 1, cex = 0.4, key.loc = c(10, 2), draw.segments = TRUE)
Caras de chernoff
set.seed(780728)
Universidad_Dataset_Reducido = Universidad_Dataset [sample(1:nrow(Universidad_Dataset),23),-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)]
faces(Universidad_Dataset_Reducido)
## effect of variables:
## modified item Var
## "height of face " "ar score"
## "width of face " "ar rank"
## "structure of face" "er score"
## "height of mouth " "er rank"
## "width of mouth " "fsr score"
## "smiling " "fsr rank"
## "height of eyes " "cpf score"
## "width of eyes " "cpf rank"
## "height of hair " "ifr score"
## "width of hair " "ifr rank"
## "style of hair " "isr score"
## "height of nose " "isr rank"
## "width of nose " "irn score"
## "width of ear " "irn rank"
## "height of ear " "ger score"1.5.Normalidad multivariada
Como menciona (Porras C., 2016) para indagar o establecer el tipo de distribución multivariada de un conjunto de datos se puede recurrir a procedimientos descriptivos, como los gráficos, o a procedimientos inferenciales, como las pruebas estadísticas. En este sentido, se alcanza generalización de resultados al usar las estos últimos, si bien los primeros apoyan a las interpretaciones.
En este apartado se contempla el uso de procedimientos inferenciales para determinar si el conjunto de datos de trabajo, en relación con sus variables numéricas, se distribuye normal multivariado (DNM). Las pruebas de normalidad multivariada (PNM) a las que será sometido son: Mardia, Henze-Zirkler, Doornik-Hansen y Royston. Para estas pruebas de normalidad los test obedecen a un nivel de significancia α=0.05 y a las hipótesis:
H0:Las variables tienen una DNM
H1:Las variables NO tienen una DNM
La prueba de Mardia se basa en extensiones de asimetría y curtosis, el cuadrado de la distancia de Mahalanobis, la cantidad de variables p por tratar y la cantidad de registros n. Además, considera que la prueba estadística para la asimetría tiene una distribución χ2 y la prueba estadística para la curtosis se distirbuye aproximadamente normal. Los detalles sobre los parámetros de las distribuciones pueden consultarse en el trabajo de (Porras C., 2016).
La prueba de Henze-Zirkler se basa en la distancia funcional, dado que si el conjunto de datos presenta una distribución normal multivariada, el estadístico de la prueba se distribuye aproximadamente como una lognormal, cuyos parámetros de media μ y varianza σ2 pueden ser consultados en (Porras C., 2016).
La prueba de Doornik-Hansen está basada en la asimetría y la curtosis de un conjunto de datos multivariados, que se transforma para garantizar la independencia. Es considerada más potente que la prueba de Shapiro-Wilk para casos multivariados. Su estadístico de prueba está definido como la suma de las transformaciones al cuadrado de la asimetría y la curtosis, y sigue, aproximadamente, una distribución χ2 . Los detalles de la prueba pueden ser consultados en (Doornik & Hansen, 2008).
La prueba de Royston recurre a las pruebas Shapiro-Wilk o Shapiro-Francia para probar la normalidad multivariada. Así, si la curtosis es mayor que 3, la prueba de Royston usa Shapiro-Francia para distribuciones leptocurticas. Mientras que para distribuciones platicurticas usa Shapiro-Wilk. En ella los parámetros son obtenidos por aproximaciones polinomiales, esto puede ser consultado en (Porras C., 2016)
Planteamiento del problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se hará una prueba estadística de normalidad multivariada, con un nivel de significancia α=0.05, para establecer si sus datos métricos provienen de una población normal multivariada. Se recuerda que las variables numéricas del conjunto de datos (en escalada de medición de razón) son: AR, ER, FSR, CPF, IFR, ISR, IRN y GER.
Desarrollo del análisis
La navegación a través de las pestañas muestra que el conjunto de datos, en relación con sus variables numéricas, no se distribuye normal multivariado. En particular:
La PNM de Mardia establece que si ambas pruebas (para asimetría y curtosis) indican una normalidad multivariante, los datos siguen una DNM con un nivel de significancia \(\alpha=0.05\); sin embargo, el caso tratado es contrario a esto. Obsérvese a través de la pestaña PNM Mardia que los \(p-value\) para la asimetría (Skewness) y curtoris (Kurtosis) son mayores que el nivel de significancia. Por lo tanto, las evidencias no apoyan una hipótesis de normalidad multivariada para el conjunto de datos restringido a sus variables numéricas.
La PNM de PNM Henze-Zirkler establece que el estadístico de prueba no se distribuye aproximadamente como lo normal dado que su \(p-value\) es menor que el nivel de significancia \(\alpha=0.05\), obsérvese esto a través de la pestaña PNM Henze-Zirkler. Así, por contrarrecíproco de la implicación formulada en la descripción de la prueba en la sección 5, el conjunto de datos no está apoyado por las evidencias para seguir una distribución normal multivariada.
La PNM de Doornik-Hansen establece que su estadístico de prueba no sigue una distribución aproximadamente \(\chi^2\) dado que su \(p-value\) es menor que el nivel de significancia \(\alpha=0.05\), obsérvese esto a través de la pestaña PNM Doornik-Hansen. Por lo tanto, las evidencias están lejos de apoyar que el conjunto de datos sigue una DNM.
La PNM de Royston establece que el conjunto de datos reducido a sus variables numéricas no sigue una DNM, dado que su \(p-value\) es menor que el nivel de significancia \(\alpha=0.05\). Obsérvese esto a través de la pestaña PNM Royston.
En general, pudo constatarse que para un nivel de significancia \(\alpha=0.05\) el conjunto de datos reducido a sus variables numéricas no sigue una distribución normal multivariada.
PNM Mardia
mvn(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)], mvnTest="mardia")## $multivariateNormality
## Test Statistic p value Result
## 1 Mardia Skewness 5616.9457970419 0 NO
## 2 Mardia Kurtosis 35.9498571587682 0 NO
## 3 MVN <NA> <NA> NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling ar score 123.3862 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling er score 112.9612 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling fsr score 81.3454 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling cpf score 97.1423 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling ifr score 112.0499 <0.001 NO
## 6 Anderson-Darling isr score 117.1051 <0.001 NO
## 7 Anderson-Darling irn score 115.1879 <0.001 NO
## 8 Anderson-Darling ger score 138.3226 <0.001 NO
## 9 Anderson-Darling SUS SCORE 108.4261 <0.001 NO
## 10 Anderson-Darling Overall Score 64.5792 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th Skew
## ar score 1323 21.81663 23.21326 12.2 1.6 100 6.50 26.30 1.8613963
## er score 1323 21.48707 24.58899 11.0 1.0 100 4.50 29.10 1.6828865
## fsr score 1323 29.17717 28.02874 17.2 1.1 100 7.70 43.05 1.1673779
## cpf score 1323 25.07370 28.37199 12.0 1.0 100 3.00 39.85 1.2294236
## ifr score 1323 31.56327 34.43070 13.8 1.0 100 4.50 54.65 0.9639938
## isr score 1323 26.74596 31.41018 10.9 1.0 100 3.20 40.05 1.1938657
## irn score 1323 25.89327 31.21025 9.0 1.0 100 1.30 45.40 1.0632612
## ger score 1323 21.02623 20.86573 12.4 1.0 100 8.50 24.40 2.1508311
## SUS SCORE 1323 26.67937 31.35509 10.3 1.0 100 1.60 45.80 1.0507126
## Overall Score 1323 25.33605 19.55102 19.0 0.4 100 11.75 32.55 1.4956057
## Kurtosis
## ar score 2.7639734
## er score 2.0421633
## fsr score 0.2155732
## cpf score 0.3706534
## ifr score -0.6211708
## isr score 0.0328332
## irn score -0.2721850
## ger score 4.2281733
## SUS SCORE -0.2957462
## Overall Score 1.9449896PNM Henze-Zirkler
mvn(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)], mvnTest="hz")## $multivariateNormality
## Test HZ p value MVN
## 1 Henze-Zirkler 13.20262 0 NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling ar score 123.3862 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling er score 112.9612 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling fsr score 81.3454 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling cpf score 97.1423 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling ifr score 112.0499 <0.001 NO
## 6 Anderson-Darling isr score 117.1051 <0.001 NO
## 7 Anderson-Darling irn score 115.1879 <0.001 NO
## 8 Anderson-Darling ger score 138.3226 <0.001 NO
## 9 Anderson-Darling SUS SCORE 108.4261 <0.001 NO
## 10 Anderson-Darling Overall Score 64.5792 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th Skew
## ar score 1323 21.81663 23.21326 12.2 1.6 100 6.50 26.30 1.8613963
## er score 1323 21.48707 24.58899 11.0 1.0 100 4.50 29.10 1.6828865
## fsr score 1323 29.17717 28.02874 17.2 1.1 100 7.70 43.05 1.1673779
## cpf score 1323 25.07370 28.37199 12.0 1.0 100 3.00 39.85 1.2294236
## ifr score 1323 31.56327 34.43070 13.8 1.0 100 4.50 54.65 0.9639938
## isr score 1323 26.74596 31.41018 10.9 1.0 100 3.20 40.05 1.1938657
## irn score 1323 25.89327 31.21025 9.0 1.0 100 1.30 45.40 1.0632612
## ger score 1323 21.02623 20.86573 12.4 1.0 100 8.50 24.40 2.1508311
## SUS SCORE 1323 26.67937 31.35509 10.3 1.0 100 1.60 45.80 1.0507126
## Overall Score 1323 25.33605 19.55102 19.0 0.4 100 11.75 32.55 1.4956057
## Kurtosis
## ar score 2.7639734
## er score 2.0421633
## fsr score 0.2155732
## cpf score 0.3706534
## ifr score -0.6211708
## isr score 0.0328332
## irn score -0.2721850
## ger score 4.2281733
## SUS SCORE -0.2957462
## Overall Score 1.9449896PNM Doornik-Hansen
mvn(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)], mvnTest="dh")## $multivariateNormality
## Test E df p value MVN
## 1 Doornik-Hansen 3938.846 20 0 NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling ar score 123.3862 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling er score 112.9612 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling fsr score 81.3454 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling cpf score 97.1423 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling ifr score 112.0499 <0.001 NO
## 6 Anderson-Darling isr score 117.1051 <0.001 NO
## 7 Anderson-Darling irn score 115.1879 <0.001 NO
## 8 Anderson-Darling ger score 138.3226 <0.001 NO
## 9 Anderson-Darling SUS SCORE 108.4261 <0.001 NO
## 10 Anderson-Darling Overall Score 64.5792 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th Skew
## ar score 1323 21.81663 23.21326 12.2 1.6 100 6.50 26.30 1.8613963
## er score 1323 21.48707 24.58899 11.0 1.0 100 4.50 29.10 1.6828865
## fsr score 1323 29.17717 28.02874 17.2 1.1 100 7.70 43.05 1.1673779
## cpf score 1323 25.07370 28.37199 12.0 1.0 100 3.00 39.85 1.2294236
## ifr score 1323 31.56327 34.43070 13.8 1.0 100 4.50 54.65 0.9639938
## isr score 1323 26.74596 31.41018 10.9 1.0 100 3.20 40.05 1.1938657
## irn score 1323 25.89327 31.21025 9.0 1.0 100 1.30 45.40 1.0632612
## ger score 1323 21.02623 20.86573 12.4 1.0 100 8.50 24.40 2.1508311
## SUS SCORE 1323 26.67937 31.35509 10.3 1.0 100 1.60 45.80 1.0507126
## Overall Score 1323 25.33605 19.55102 19.0 0.4 100 11.75 32.55 1.4956057
## Kurtosis
## ar score 2.7639734
## er score 2.0421633
## fsr score 0.2155732
## cpf score 0.3706534
## ifr score -0.6211708
## isr score 0.0328332
## irn score -0.2721850
## ger score 4.2281733
## SUS SCORE -0.2957462
## Overall Score 1.9449896PNM Royston
mvn(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)], mvnTest="royston")## $multivariateNormality
## Test H p value MVN
## 1 Royston 1451.997 1.510541e-307 NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling ar score 123.3862 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling er score 112.9612 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling fsr score 81.3454 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling cpf score 97.1423 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling ifr score 112.0499 <0.001 NO
## 6 Anderson-Darling isr score 117.1051 <0.001 NO
## 7 Anderson-Darling irn score 115.1879 <0.001 NO
## 8 Anderson-Darling ger score 138.3226 <0.001 NO
## 9 Anderson-Darling SUS SCORE 108.4261 <0.001 NO
## 10 Anderson-Darling Overall Score 64.5792 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th Skew
## ar score 1323 21.81663 23.21326 12.2 1.6 100 6.50 26.30 1.8613963
## er score 1323 21.48707 24.58899 11.0 1.0 100 4.50 29.10 1.6828865
## fsr score 1323 29.17717 28.02874 17.2 1.1 100 7.70 43.05 1.1673779
## cpf score 1323 25.07370 28.37199 12.0 1.0 100 3.00 39.85 1.2294236
## ifr score 1323 31.56327 34.43070 13.8 1.0 100 4.50 54.65 0.9639938
## isr score 1323 26.74596 31.41018 10.9 1.0 100 3.20 40.05 1.1938657
## irn score 1323 25.89327 31.21025 9.0 1.0 100 1.30 45.40 1.0632612
## ger score 1323 21.02623 20.86573 12.4 1.0 100 8.50 24.40 2.1508311
## SUS SCORE 1323 26.67937 31.35509 10.3 1.0 100 1.60 45.80 1.0507126
## Overall Score 1323 25.33605 19.55102 19.0 0.4 100 11.75 32.55 1.4956057
## Kurtosis
## ar score 2.7639734
## er score 2.0421633
## fsr score 0.2155732
## cpf score 0.3706534
## ifr score -0.6211708
## isr score 0.0328332
## irn score -0.2721850
## ger score 4.2281733
## SUS SCORE -0.2957462
## Overall Score 1.9449896Fase 2 [Componentes Principales]
2.1. Objetivos
En términos generales, esta segunda etapa de estudio mostrará cálculos, visualizaciones e interpretaciones con base en el conjunto de datos tratado en la fase 1, pero ahora desde un enfoque de análisis de componentes principales sobre las variables cuantitativas, que incluirá: selección, calidad de representación, contribuciones e interpretación.
Recuérdese que el conjunto de datos de trabajo es descrito en la sección 2 y los referentes teóricos en la sección 1.
Por último, este trabajo fue procesado con R version 4.3.3 (2024-02-29 ucrt) mediado por RStudio en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea y para cumplir con el requisito temporal de entrega, será actualizado, como máximo, hasta las 22:00hrs del viernes 24 de mayo de 2024.
2.2. Selección de Componentes
Como es mencionado en el trabajo de [@AEDMDiaz-Morales1ed] el Análisis de Componentes Principales (en adelante ACP) reestructura un conjunto de datos multivariado a través de la reducción de la cantidad de sus variables, en cuyo transfondo es innecesario asumir ninguna distribución de probabilidad de ellas. Esta reducción es lograda a través de combinaciones lineales de las variables originales, que deberán contener la mayor variabilidad posible presente en el conjunto de datos. En este sentido, el ACP logra crear nuevas variables, conocidas como componentes principales, que poseen características estadísticas de independencia (con base en el supuesto de normalidad) y no correlación.
El ACP se logra a lo largo de las siguientes fases: generación de nuevas variables, reducción dimensional del espacio de los datos, eliminación de varaibles de poco aporte e interpretación de los componentes resultantes en el contexto del problema del cual se obtuvieron los datos. Estas fases se desarrollan entre las secciones 7, 8, 9 y 10.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la sección 2 se demanda primero establecer el porcentaje de varianza explicado por cada dimensión una vez procesado el ACP; y posteriormente, con base en el autovalor medio o usando un diagrama de sedimentación, decidir cuántos componentes retener.
Desarrollo del Análisis
La navegación a través de las pestañas muestra que el conjunto de datos, en relación con sus variables numéricas, puede ser representado por un conjuto de variables más pequeño que retiene el \(57.08\) \(\%\) de la variabilidad del conjunto. En particular:
La Matriz ACP muestra seis dimensiones donde solo la primera retiene el \(57.08\) \(\%\), la siguiente el \(11.73\) \(\%\) y las demás solo porcentajes con parte entera de una cifra. En este sentido, la representatividad de la combinación lineal que define a la dimensión 1 es significativamente alta en comparación con las demás. Como esta matriz es muda en relación con las variables originales se sigue indagando la identificación de las variables que más contribuyan a la dimensión de valor propio más alto.
La Matriz de Correlaciones permite continuar con las descripciones de las combinaciones lineales que conforman a la dimensión de mayor interés: la dimensión 1. Así, esta matriz, como se mostró en la sección 3.2., ayuda a verificar que la intensidad de las corelaciones es más alta y siempre positiva entre las variables: ar score, er score, fsr score, ger score y overall score, asunto esperado en relación con el fenómeno estudiado, por lo tanto, se podría esperar que estas variables participaran en la combinación lineal que define a la dimensión 1.
La pestaña de Valores y Vectores Propios muestra estos objetos calculados a partir de la matriz de correlaciones del conjunto de datos. En este sentido, se garantiza que la suma de los valores propios sea igual a la dimensión de dicha matriz y a la variabilidad total del conjunto, por lo cual las proporciones de retención de variabilidad son de cálculo inmediato. Además, la matriz de vectores propios define para cada componente, en relación con cada variable del conjunto de datos, los coeficientes de la combinación lineal que la conforman, por ejemplo, con un ajuste a dos cifras decimales, la componente 1 estaría representada por la combinación lineal (donde \(A\) es ar score, \(E\) es er, \(F\) es fsr score, \(C\) es cpf, \(IF\) es ifr, \(IS\) es isr, \(IR\) es irn score, \(G\) es ger y \(O\) es Overall score, y ademas, son variables estandarizadas):\[Componente_1 = 0.40*A+0.36*E+0.19*F+0.31*C+0.28*IF+0.27*IS+0.33*IR+0.34*G+0.44*O\]Hasta este punto, se puede observar que se dispone de un número de dimensiones menor al número de variables tratadas, con la salvedad que las variables nuevas son incorreladas entre sí, ver la pestaña Correlaciones Comparadas.
Por último, el Gráfico de Cattell y el Gráfico de Cattell-Kaiser, de codo y sedimentación, inducen a la elección de una componente en la reducción de dimensión que retiene la cantidad de variabilidad suficiente para tratar el problema. Sin embargo, debe resaltarse que se propone elegir con base en criterios más usados, a cambio de criterios de aceptación universal. El Gráfico de Cattell muestra que los cambios en la pendiente indican que la capacidad explicativa de la dimensión 1 es del \(56.10\) \(\%\), la dimensión 2 es del \(13.00\) \(\%\) y la dimensión 3 es del \(10.04\) \(\%\), representando el \(79.50\) \(\%\) solo esas 3 dimensiónes. Así, el de Cattell-Kaiser al conjugar el instrumento gráfico anterior con el criterio de Kaiser en la misma gráfica apoya que la cantidad de dimensiones suficientes por retener es 3, aclarando que esta elección retenga un porcentaje de variabilidad adecuado para estudiar el problema.
Matriz ACP
get_eigenvalue(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F))## eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
## Dim.1 5.708863992 57.08863992 57.08864
## Dim.2 1.173355596 11.73355596 68.82220
## Dim.3 0.995553073 9.95553073 78.77773
## Dim.4 0.622470028 6.22470028 85.00243
## Dim.5 0.523649123 5.23649123 90.23892
## Dim.6 0.368727999 3.68727999 93.92620
## Dim.7 0.280545383 2.80545383 96.73165
## Dim.8 0.209306828 2.09306828 98.82472
## Dim.9 0.113366660 1.13366660 99.95839
## Dim.10 0.004161318 0.04161318 100.00000Matriz de Correlaciones
round(cor(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)]),2)## ar score er score fsr score cpf score ifr score isr score
## ar score 1.00 0.83 0.37 0.55 0.40 0.38
## er score 0.83 1.00 0.34 0.40 0.33 0.33
## fsr score 0.37 0.34 1.00 0.12 0.17 0.23
## cpf score 0.55 0.40 0.12 1.00 0.43 0.35
## ifr score 0.40 0.33 0.17 0.43 1.00 0.71
## isr score 0.38 0.33 0.23 0.35 0.71 1.00
## irn score 0.69 0.47 0.18 0.54 0.44 0.38
## ger score 0.72 0.66 0.28 0.41 0.36 0.33
## SUS SCORE 0.72 0.56 0.20 0.57 0.48 0.41
## Overall Score 0.93 0.81 0.45 0.74 0.58 0.55
## irn score ger score SUS SCORE Overall Score
## ar score 0.69 0.72 0.72 0.93
## er score 0.47 0.66 0.56 0.81
## fsr score 0.18 0.28 0.20 0.45
## cpf score 0.54 0.41 0.57 0.74
## ifr score 0.44 0.36 0.48 0.58
## isr score 0.38 0.33 0.41 0.55
## irn score 1.00 0.49 0.78 0.73
## ger score 0.49 1.00 0.59 0.73
## SUS SCORE 0.78 0.59 1.00 0.78
## Overall Score 0.73 0.73 0.78 1.00Valores y Vectores Propios
princomp(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], cor = TRUE)$sdev^2## Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.6
## 5.049995501 1.173165470 0.936234842 0.617634217 0.459202985 0.365857068
## Comp.7 Comp.8 Comp.9
## 0.279343970 0.113412416 0.005153531princomp(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], cor = TRUE)$loadings[ ,1:9]## Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5
## ar score 0.4036938 0.25608511 0.07913431 0.08423813 0.09207676
## er score 0.3572525 0.32472141 -0.03379263 0.35331701 -0.18263901
## fsr score 0.1907390 0.24916908 -0.79825294 -0.47490691 0.04377456
## cpf score 0.3079549 -0.13405790 0.39836496 -0.57719297 -0.54953164
## ifr score 0.2856499 -0.59231921 -0.13353245 0.13605674 -0.03334780
## isr score 0.2729042 -0.57365299 -0.28872753 0.21341568 0.00613073
## irn score 0.3358361 -0.04098676 0.30575392 -0.24978208 0.79705837
## ger score 0.3405372 0.25136092 0.03629685 0.41455168 -0.10939836
## Overall Score 0.4397275 0.06432460 0.02638180 -0.10526569 -0.07644560
## Comp.6 Comp.7 Comp.8 Comp.9
## ar score 0.22598621 0.031858184 0.7650953302 0.33490250
## er score 0.52180164 0.141051852 -0.5392739647 0.15686235
## fsr score -0.12320491 0.040146564 -0.0729241223 0.12150618
## cpf score -0.06679404 -0.112428833 -0.1146877136 0.25120891
## ifr score -0.13058149 0.711389832 0.0243422453 0.07992570
## isr score 0.16693481 -0.659269566 0.0008520515 0.07066692
## irn score -0.05046772 -0.036092456 -0.2868339209 0.09073165
## ger score -0.77561700 -0.150811921 -0.0898629993 0.05755163
## Overall Score 0.08924634 0.008870619 0.1199966650 -0.87317724Correlaciones Comparadas
library(corrplot)
library(stats)
datos_correlacion = Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)]
matriz_correlacion = cor(datos_correlacion)
pca_result = princomp(datos_correlacion, cor = TRUE)
matriz_correlacion_pca = cor(pca_result$scores)
par(mfrow=c(1,2))
corrplot::corrplot(matriz_correlacion, method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
corrplot::corrplot(matriz_correlacion_pca, method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
Gráfico de Cattell
fviz_eig(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], scale.unit = T, graph = F), addlabels = T, ylim=c(0,90), main = "")
Gráfico de Cattell-Kaiser
scree(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)],factors = FALSE, pc = TRUE, main ="")
2.3. Calidad de Representación
Al retomar el trabajo de (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012) se verifica que, una vez reducida la dimensionalidad del conjunto de datos y entendido que sus variables (estandarizadas) están representadas gráficamente por proyecciones de la hiperesfera de correlaciones, es necesario iniciar la interpretación de componentes a partir de dichas correlaciones, para luego la calidad de sus representaciones dada la reducción dimensional del conjunto de datos en términos de sus variables.
###Planteamiento del Problema Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se demanda determinar la calidad de representación de las variables cuantitativas respecto a la cantidad de dimensiones calculadas que retienen la mayor cantidad de variabilidad, ver la sección 7.
###Desarrollo del Análisis {.tabset .tabset-pills} La navegación a través de las pestañas muestra que la reducción de la dimensionalidad del conjunto de datos conduce analizar las calidades de representación en términos de la escala de contribuciones relativas basada en un cociente de proyecciones con propiedades aditivas y de respuesta en escala continua entre 0 y 1 . Así, en particular:
El Círculo de Correlaciones expresa que se puede concebir una compenente tipo tamaño en el sentido de que la dimensión 1 muestra en él una correlación positiva con las seis variables de interés, además cercanas a la frontera del círculo unitario y significativamente próximas al eje que la representa. Por otro lado, la dimensión 2 contrapone a las variables ifr score, isr score, cpf score e irn score con las demás. Otro aspecto por resaltar es la correlación mostrada entre pares de variables, que en términos del fenómeno estudiado conservan su naturaleza correlacional esperada hasta este punto del análisis. Un ejemplo resaltable es el par ifr score y isr score que, en cierto sentido, están influidas por la subjetividad, véase la sección 2.
La Matriz de Representación, por otro lado, muestra valores significativamente cercanos a 1 del cociente de proyecciones coseno cuadrado en relación con la dimensión 1. En este sentido, los puntos proyectados están altamente asociados con este componente. Así, la pestaña que muestra la Calidad de Representación indica en su escala un piso alto de 0.4 de esta manera las calidades de representación, en relación con la componente 1, están encabezadas por Overall score y cierran con fsr score.
Por último, las Coordenadas Individuales ayudan, aunque de manera menos digestiva, a identificar a nivel de observaciones a los perfiles de los registros, en este caso universidades, en relación con las, por lo menos, dimensiones más importantes de retención de variabilidad: las componentes 1 y 2. Por ejemplo, al observar los primeros 6 registros 1 al 6, se manifiestan semejanzas positivas, por otro lado, en la dimensión 2, se evidencia que los registros 14,19,20 y 22 son los unicos registros positivos.
Círculo de Correlaciones
fviz_pca_var(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], scale.unit = T, graph = F),col.var="#3B83BD", repel = T, col.circle = "#CDCDCD", ggtheme = theme_bw())
Matriz de Representación
(get_pca_var(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F)))$cos2## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## ar score 0.8229913 0.076935702 0.0058629258 0.004382771 3.893182e-03
## er score 0.6445277 0.123703252 0.0010691256 0.077101074 1.531764e-02
## fsr score 0.1837257 0.072836246 0.5965761058 0.139299104 8.799302e-04
## cpf score 0.4789225 0.021083568 0.1485754509 0.205765906 1.386724e-01
## ifr score 0.4120587 0.411595773 0.0166939245 0.011433296 5.106685e-04
## isr score 0.3761070 0.386062652 0.0780478926 0.028130925 1.725954e-05
## irn score 0.5695684 0.001970818 0.0875243441 0.038534869 2.917326e-01
## ger score 0.5856258 0.074123307 0.0012334533 0.106142350 5.495742e-03
## Overall Score 0.9764685 0.004854152 0.0006516189 0.006843921 2.683550e-03
## Dim.6
## ar score 0.0186842355
## er score 0.0996144460
## fsr score 0.0055535086
## cpf score 0.0016322509
## ifr score 0.0062384215
## isr score 0.0101954230
## irn score 0.0009318345
## ger score 0.2200929293
## Overall Score 0.0029140185Calidad de Representación
fviz_pca_var(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), col.var="cos2", gradient.cols=c("#00AFBB","#E7B800","#FC4E07"), repel = TRUE)
Coordenadas Individuales
head((PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F))$ind$coord, n = 23L)## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5 Dim.6
## 1 8.604819 -0.9827841796 0.72867617 0.004886556 0.6272023 0.6990522
## 2 8.629549 -0.8703370249 0.85291624 -0.162951235 0.3303241 0.6532230
## 3 8.611337 -0.8643828665 0.89130551 -0.207561260 0.2914437 0.6311618
## 4 8.302540 -1.6105942495 0.37014029 0.218885196 0.4668423 0.7639094
## 5 8.254708 -1.6527507551 0.37731843 0.256512987 0.5866384 0.9062574
## 6 8.292507 -0.5402657869 0.89273056 0.137185776 0.3541877 0.0266511
## 7 7.759548 -0.0456250417 0.05425442 0.072594296 0.3511108 0.1350172
## 8 7.782103 -0.7634340569 0.26936138 -0.506392072 0.8823736 0.8652672
## 9 7.470893 -0.2408953384 1.18653395 0.376743364 -0.3142675 -1.1410811
## 10 7.528902 -0.8096872512 -1.75479395 -1.189750900 0.7508319 0.4412548
## 11 7.448577 -1.3307879605 1.04433191 -0.672121589 0.9679218 0.5985904
## 12 7.494274 -1.3229708604 1.10896625 -0.477847762 0.1875507 1.0012503
## 13 7.204749 -1.3621008526 -0.79209203 -0.513270953 0.9102471 0.6711046
## 14 7.493966 0.0639109012 -1.49801573 -1.432257684 0.3897563 0.2101997
## 15 6.264374 -0.2488729737 1.49880114 0.828165943 2.0311157 -1.5977230
## 16 7.476871 -1.5533092010 1.46424553 -1.124463504 -0.2628562 0.6244792
## 17 6.337688 -2.6852903618 0.24878461 0.360537664 1.6903150 0.2414396
## 18 6.534529 -2.5733600656 -0.45438660 -0.319568164 1.5789015 0.2360913
## 19 7.423895 0.2995001670 -1.44554207 -1.275273027 0.4301802 0.5256798
## 20 7.264483 0.3685185855 -1.52741017 -1.363626530 0.5076237 0.1456785
## 21 7.446413 -0.5557653376 0.09222387 -1.615248519 -0.2679663 0.3554156
## 22 6.879056 0.0006484455 0.68472945 -0.327689011 -0.6108409 -1.3599230
## 23 7.356298 -1.7826455496 1.45626390 -1.108516647 -0.7170471 0.45310512.4. Contribuciones
Según el trabajo de [@AEDMDiaz-Morales1ed] la interpretación de resultados está vinculada con el cálculo de coordenadas, contribuciones, cosenos cuadrados, etc, por lo tanto, la conceptualización de las variables debe ser clara para establecerla con la mayor claridad posible, es decir, los datos deben ponerse en contexto. En este sentido, la contribución de una variable a una componente allana el camino de la interpretación de resultados. Esto se hace en este apartado en el sentido de calcular lor aportes con que cada variable participa para definir a cada componente generada.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la sección 2 se demanda determinar las contribuciones que hace cada variable a la construcción de cada componente.
Desarrollo del Análisis
La navegación a través de las pestañas permite reconocer en representaciones numéricas y gráficas las contribuciones de las variables del conjunto de datos a la construcción de cada componente. Así, se entiende cuánta variabilidad explica cada variable de la variabilidad total de la componente con que esté involucrada. en particular:
La Matriz de Contribuciones muestra en términos relativos la retención de variabilidad que tiene cada variable en la construcción de cada componente. Así, los diagramas de barras visualizados a través de las pestañas desde Contribuciones a D1 hasta Contribuciones a D6, muestran con base en diagramas de barras las respectivas contribuciones que hacen las variables para explicar la varianzar en cada componente; además, cada gráfico incluye una línea que ayuda a identificar la contribución media, esto ayuda a identificar con mayor facilidad a las variables que contribuyen con mayor explicación de variabilidad de los componentes que conforman.
En Contribuciones a D1 se visualiza que las variables por enciama de la contribución media: overall score, are score, er score y ger Score retienen aproximadamente el \(70.9\) \(\%\) de la variabilidad del componente 1.
En Contribuciones a D2 se visualiza que las variables por enciama de la contribución media: ifr score y isr score retienen aproximadamente el \(68\) \(\%\) de la variabilidad del componente 2.
En Contribuciones a D3 se visualiza que las variables por enciama de la contribución media: fsr score y cpf score retienen aproximadamente el \(79.3\) \(\%\) de la variabilidad del componente 3.
En Contribuciones a D4 se visualiza que las variables por enciama de la contribución media: cpf score , *fsr score, **ger score* y er score retienen aproximadamente el \(83.12\) \(\%\) de la variabilidad del componente 4.
En Contribuciones a D5 se visualiza que las variables por enciama de la contribución media: irn Score y cpf Score retienen aproximadamente el \(93.3\) \(\%\) de la variabilidad del componente 5.
Por último, en Contribuciones a D6 se visualiza que las variables por enciama de la contribución media: ger score y ir score retienen aproximadamente el \(87.18\) \(\%\) de la variabilidad del componente 6.
Con los datos procesados hasta ahora se puede proceder con la intepretación de los componentes.
Matriz de Contribuciones
(get_pca_var(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F)))$contrib## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5
## ar score 16.296872 6.5579583 0.62622384 0.7096062 0.847812902
## er score 12.762937 10.5443994 0.11419417 12.4832906 3.335700785
## fsr score 3.638135 6.2085228 63.72077595 22.5536572 0.191621175
## cpf score 9.483622 1.7971521 15.86946398 33.3151726 30.198502135
## ifr score 8.159585 35.0842045 1.78309157 1.8511436 0.111207568
## isr score 7.447670 32.9077749 8.33635848 4.5546255 0.003758585
## irn score 11.278592 0.1679914 9.34854592 6.2391085 63.530203898
## ger score 11.596562 6.3182312 0.13174614 17.1853092 1.196800042
## Overall Score 19.336026 0.4137654 0.06959995 1.1080865 0.584392910
## Dim.6
## ar score 5.1069768
## er score 27.2276949
## fsr score 1.5179449
## cpf score 0.4461444
## ifr score 1.7051527
## isr score 2.7867230
## irn score 0.2546990
## ger score 60.1581734
## Overall Score 0.7964910Contribuciones a D1
fviz_contrib(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 1, top = 10)
Contribuciones a D2
fviz_contrib(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 2, top = 10)
Contribuciones a D3
fviz_contrib(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 3, top = 10)
Contribuciones a D4
fviz_contrib(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 4, top = 10)
Contribuciones a D5
fviz_contrib(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 5, top = 10)
Contribuciones a D6
fviz_contrib(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 6, top = 10)
2.5. Interpretación de Componentes
Con base en [Diaz Morales & morales rivera, 2012] se sabe que a partir de las coordenadas de los registros dimensionalmente reducidos se puede ubicar en un plano de factores para efectos de análisis e interpretación. Así, las variables reducidas son las componentes principales que se grafican como ejes en un plano, y los valores que tomen son los puntajes de las componentes. Como bien se explica en el mismo trabajo, las distancias entre los puntos definidos por los puntajes de las componentes tiene un significado relevante al ayudar a establecer semejanzas de perfiles en las observaciones hechas. Sin embargo, los valores semejantes de las variables pueden darse solo en algunas de ellas, sin esperar necesariamente a que suceda en todas. Así, se espera que las distancias en el espacio dimensional original de las observaciones queden bien representadas en el espacio reducido de las componentes.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la sección 2 se demanda definir e interpretar sus componentes principales.
Desarrollo del Análisis
La navegación a través de las pestañas permite visualizar objetos gráficos y matriciales que, al incluir lo hecho en las secciones anteriores, ayudan a robustecer la interpretación de las componentes calculadas. Como se mostró en la sección 7, la cantidad de componentes seleccionadas se redujo (según el criterio de Kaiser) a una y se estableció que la componente 1 retiene el \(57.08\) \(\%\) de la variabilidad de los datos. Así, en el círculo de correlaciones de la sección 8 se aprecia que la representación de las variables conjugadas en la componente 1 la configuran como una de tipo tamaño, lo que puede interpretarse como una especie de índice de proporcionalidad directa. Esto también se apoya con base en el hecho de que todas las variables presentan calidades de representación entre \(0.18\) y \(0.97\). En consecuencia, cuanto mayor sea el valor las variables mayor será el estado de favorabilidad de que la universidad este en un mejor Ranking a nivel de las universidades del conjunto de datos. Así, dada la naturaleza de las variables esta componente puede representar para un estudiante su medida de competitividad formativa. Al respecto:
Las pestañas Biplot de Variables y Registros Totales en S (Status), F (Focus) y R (Reserach), muestran, con base en las agrupaciones que estas variables categóricas pueden establecer, la representación en dimensionalidad reducida en el plano de factores de registros y dimensiones con base en los puntajes por componentes. En este sentido, es posible apreciar que las agrupaciones con base en Status , Focus y Research capturan diferencias acentuadas en la distribuciones de las observaciones.
Biplot de Variables y Registros [Total UR]
library(FactoMineR)
library(factoextra)
data_UR <- Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)]
data_UR <- as.data.frame(lapply(data_UR, function(x) as.numeric(as.character(x))))
if (any(!is.finite(as.matrix(data_UR)))) {
for (i in 1:ncol(data_UR)) {
data_UR[, i][!is.finite(data_UR[, i])] <- median(data_UR[, i], na.rm = TRUE)
}
}
data_UR <- data_UR[complete.cases(data_UR), ]
data_All <- cbind(data_UR, status = Universidad_Dataset$status)
pca_result <- PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = FALSE, quali.sup = ncol(data_All))
fviz_pca_biplot(pca_result, axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = ncol(data_All))
Biplot de Variables y Registros [Total G]
library(FactoMineR)
library(factoextra)
data_UR <- Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)]
data_UR <- as.data.frame(lapply(data_UR, function(x) as.numeric(as.character(x))))
if (any(!is.finite(as.matrix(data_UR)))) {
for (i in 1:ncol(data_UR)) {
data_UR[, i][!is.finite(data_UR[, i])] <- median(data_UR[, i], na.rm = TRUE)
}
}
data_UR <- data_UR[complete.cases(data_UR), ]
data_All <- cbind(data_UR, focus = Universidad_Dataset$focus)
pca_result <- FactoMineR::PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = FALSE, quali.sup = ncol(data_All))
factoextra::fviz_pca_biplot(pca_result, axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = ncol(data_All))
Biplot de Variables y Registros [Total R]
library(FactoMineR)
library(factoextra)
library(ggplot2)
data_UR <- Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)]
data_UR <- as.data.frame(lapply(data_UR, function(x) as.numeric(as.character(x))))
if (any(!is.finite(as.matrix(data_UR)))) {
for (i in 1:ncol(data_UR)) {
data_UR[, i][!is.finite(data_UR[, i])] <- median(data_UR[, i], na.rm = TRUE)
}
}
data_UR <- data_UR[complete.cases(data_UR), ]
data_All <- cbind(data_UR, research = Universidad_Dataset$research)
pca_result <- FactoMineR::PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = FALSE, quali.sup = ncol(data_All))
factoextra::fviz_pca_biplot(pca_result, axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = ncol(data_All))
Fase 3 [Correspondencias]
En términos generales, esta tercera etapa de estudio mostrará cálculos, visualizaciones e interpretaciones con base en el conjunto de datos tratado en la fase 1 y 2, pero ahora desde un enfoque de análisis de correspondencias simples y múltiples sobre las variables cuanlitativas, que incluirá: construcción de tablas de contingencias y disyuntivas completas, calidades de representación, contribuciones e interpretaciones.
Recuérdese que el conjunto de datos de trabajo es descrito en la sección 2 y los referentes teóricos en la sección 1.
Por último, este trabajo fue procesado con R version 4.3.3 (2024-02-29 ucrt) mediado por RStudio 2022.12.0 Build 353 en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea y para cumplir con el requisito temporal de entrega, será actualizado, como máximo, hasta las 11:59 p.m. del miercoles 12 de junio de 2024.
3.1. Objetivos
3.2. Correspondencias Simples
Con base en el trabajo de [@AMARAldas-Uriel2ed] se sabe que el análisis de correspondencias simple (ACS) busca representar en un espacio multidimensional reducido la relación que exista entre las categorías de un par de variables categóricas. En este sentido, el ACS muestra las distancia entre los niveles de dos variables categóricas y, en consecuencia, ayuda a visualizar tablas de contingencia. Además, se establece que el número máximo de dimensiones que expliquen la asociación entre variables fila y columna es igual a uno menos el menor número de categorías de alguna de las variables involucradas. En consecuencia, el análisis de correspondencias permite describir la proximidad existente entre los perfiles de los objetos observados. Además, el ACS, que basa sus cálculos en tablas de contingencia, puede extenderse a más de dos variables categóricas, conociéndose como anáslisis de correspondencias múltiples (ACM), con base en una objeto llamado tabla disyuntiva completa.
Esta sección trata el análisis de correspondecias simple con base en pares de variables categóricas del conjunto de datos descrito en la sección 2. Complementariamente, la sección 12 muestra el análisis de correspondencias múltiples con base en las varaibles categóricas del mismo conjunto de datos.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cualitativas del conjunto de datos descrito en la sección 2 se demanda desarrollar el análisis de correspondencias, en principio simple, apoyado en tablas de contingencia y de frecuencias relativas y gráficos de perfiles y de puntos superpuestos en el primer plano factorial.
Desarrollo del Análisis
La navegación a través de las pestañas permite visualizar objetos matriciales y gráficos que ayudan a robustecer la interpretación del análisis de correspondencias simple (binario) entre cada par de varaibles categóricas del conjunto de datos: focus, Research y status. Por ser baja la cantidad de variables categóricas se trabaja el ACS sobre las tres combinaciones posibles.
La pestaña AC Parejas Totales agrupa los cálculos para todas las combinaciones de parejas de variables. En particular, en Contingencias se hacen las siguientes lecturas de ejemplo de las tablas de contingencias: en la tabla de contingencias status vs. research se encontró que el registro “VH” de la etiqueta research tiene 773 registros en el status de valor “0” y 916 de un total de 1323, y que el registro “0” es el que tiene mas registros tiene con 1043, miestras que “1” solo tiene un total de 280. En la tabla de contingencias focus vs. status se calculó que “SP” de la etiqueta focus es el que menos registros tiene con un total de 56, seguido de “FO” con 295, luego de “CO” con 416 y por ultimo “FC” con 556. Por último, en la tabla de contingencia research vs. focus se puede determinar que el reistro “SP” solo coincide con el reistro “VH” de research, por lo que se podria decir que estos registros estan estrechamente relacionados, por otro lado el registro “LO” solo tiene un registro.
PERFILES CPF Y CPC
Grafico 1 : Este gráfico facilita la comparación de cómo se distribuyen las categorías de enfoque de investigación en distintas áreas. Es evidente que las áreas “marg” y “CO” tienen una mayor diversidad de categorías en comparación con “SP” y “FO”, que están más concentradas en LO.
Grafico 2: Este gráfico de barras apiladas vertical muestra la proporción de cada área de investigación (SP, FO, FC, CO) dentro de cada categoría (HI, LO, MD, VH, marg). Las barras representan las proporciones, con la siguiente distribución:
HI (alta): Distribución equilibrada entre SP y FO, con menor presencia de FC y CO. LO (baja): Predominio de FC y CO, menor representación de SP y FO. MD (media): Principalmente FC y CO, similar a LO. VH (muy alta): Mayor diversidad, con todas las áreas representadas, aunque predomina FC. marg (marginal): Distribución más balanceada entre las áreas, con ligera predominancia de CO.
Grafico 3: Este gráfico de barras apiladas horizontal muestra la proporción del estatus (0 y 1) dentro de cada área de investigación (marg, SP, FO, FC, CO):
marg: Mayor proporción de estatus 1. SP: Predominio del estatus 0, con una proporción significativa de estatus 1. FO: Similar a SP, con más estatus 0. FC: Mayoritariamente estatus 0, con una menor proporción de estatus 1. CO: Predominio de estatus 0, pero con una buena representación de estatus 1.
Grafico 4: Este gráfico es un gráfico de barras apiladas que muestra
la proporción de diferentes enfoques (SP, FO, FC, CO) en función del
estado de las universidades (0 y 1). El eje y representa la proporción
de universidades en cada categoría de enfoque. El eje x representa los
estados de las universidades (0 y 1). Las categorías de enfoque están
codificadas en diferentes colores.
* Se observa que para ambos estados (0 y 1), las proporciones de los
enfoques (SP, FO, FC, CO) son relativamente similares.*Las universidades
con el estado 0 parecen tener una proporción ligeramente mayor en la
categoría CO en comparación con las universidades con el estado 1. La
categoría SP es la menos representada en ambos estados
Grafico 5 : Este gráfico es otro gráfico de barras apiladas, pero en este caso muestra la proporción de investigación (VH, MD, LO, HI) en función del estado de las universidades (0 y 1). El eje y representa las diferentes categorías de investigación, el eje x representa la proporción de universidades en cada estado (0 y 1). En la categoría VH (muy alta), la mayoría de las universidades están en el estado 1. En las categorías MD (media) y LO (baja), hay una mezcla más equilibrada entre los estados 0 y 1, aunque el estado 0 parece estar ligeramente más representado en LO. En la categoría HI (alta), la mayoría de las universidades están en el estado 0
Grafico 6:El eje y representa la proporción de universidades en cada nivel de investigación.El eje x representa los estados de las universidades (0 y 1).Los niveles de investigación están codificados en diferentes colores: VH (Muy Alto), MD (Medio), LO (Bajo), HI (Alto).
Estado 0:
Las universidades en el estado 0 tienen una mayor proporción en los niveles de investigación HI (Alto) y LO (Bajo). La categoría HI (Alto) es la más representada, seguida de la categoría LO (Bajo). Las categorías VH (Muy Alto) y MD (Medio) tienen una representación mínima o nula en el estado 0.
Estado 1:
Las universidades en el estado 1 tienen una mayor proporción en los niveles de investigación VH (Muy Alto) y MD (Medio). La categoría VH (Muy Alto) es la más representada, seguida de la categoría MD (Medio). La proporción de las categorías LO (Bajo) y HI (Alto) es considerablemente menor en comparación con el estado 0.
Podemos concluir lo siguiente:
Estado 0: Está asociado principalmente con universidades que tienen niveles de investigación altos (HI) y bajos (LO). Esto sugiere que estas universidades tienen una variabilidad considerable en sus niveles de investigación, con una inclinación hacia extremos altos o bajos.
Estado 1: Está asociado principalmente con universidades que tienen niveles de investigación muy altos (VH) y medios (MD). Esto indica que las universidades con este estado tienen una orientación más fuerte hacia la excelencia en investigación, con un enfoque significativo en mantener niveles de investigación muy altos y medios.
Las universidades con estado 1 muestran una clara tendencia hacia niveles de investigación más elevados en comparación con las universidades con estado 0. Esto podría implicar que las universidades en el estado 1 tienen más recursos, mejores programas de investigación o políticas que favorecen el desarrollo de la investigación de alto nivel. El gráfico proporciona una visión clara de cómo los niveles de investigación están distribuidos en función del estado de las universidades, indicando que el estado 1 se asocia con una mayor calidad y cantidad en investigación comparado con el estado 0.
AC Parejas Totales
Contingencias
# Verificar la longitud de las columnas
cat("Longitud de la columna status: ", length(Universidad_Dataset$status), "\n")## Longitud de la columna status: 1323cat("Longitud de la columna Research: ", length(Universidad_Dataset$research), "\n")## Longitud de la columna Research: 1323cat("Longitud de la columna focus: ", length(Universidad_Dataset$focus), "\n")## Longitud de la columna focus: 1323# Verificar si hay valores NA
cat("Valores NA en status: ", sum(is.na(Universidad_Dataset$status)), "\n")## Valores NA en status: 0cat("Valores NA en Research: ", sum(is.na(Universidad_Dataset$research)), "\n")## Valores NA en Research: 0cat("Valores NA en focus: ", sum(is.na(Universidad_Dataset$focus)), "\n")## Valores NA en focus: 0# Eliminar filas con valores NA
Universidad_Dataset <- na.omit(Universidad_Dataset)
# Verificar la longitud de las columnas después de eliminar NA
cat("Longitud de la columna status después de omitir NA: ", length(Universidad_Dataset$status), "\n")## Longitud de la columna status después de omitir NA: 1323cat("Longitud de la columna Research después de omitir NA: ", length(Universidad_Dataset$research), "\n")## Longitud de la columna Research después de omitir NA: 1323cat("Longitud de la columna focus después de omitir NA: ", length(Universidad_Dataset$focus), "\n")## Longitud de la columna focus después de omitir NA: 1323# Asegurarse de que todas las columnas sean factores
Universidad_Dataset$status <- as.factor(Universidad_Dataset$status)
Universidad_Dataset$research <- as.factor(Universidad_Dataset$research)
Universidad_Dataset$focus <- as.factor(Universidad_Dataset$focus)
# Crear y mostrar las tablas de contingencia con márgenes adicionales
tabla_status_focus <- addmargins(table(Universidad_Dataset$status, Universidad_Dataset$focus))
tabla_research_focus <- addmargins(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$focus))
tabla_status_research <- addmargins(table(Universidad_Dataset$status, Universidad_Dataset$research))
# Imprimir las tablas
print(tabla_status_focus)##
## CO FC FO SP Sum
## 0 327 463 215 38 1043
## 1 89 93 80 18 280
## Sum 416 556 295 56 1323print(tabla_research_focus)##
## CO FC FO SP Sum
## HI 111 155 54 0 320
## LO 0 1 0 0 1
## MD 23 46 17 0 86
## VH 282 354 224 56 916
## Sum 416 556 295 56 1323print(tabla_status_research)##
## HI LO MD VH Sum
## 0 222 1 47 773 1043
## 1 98 0 39 143 280
## Sum 320 1 86 916 1323Probabilidades
addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research))*100)##
## HI LO MD VH Sum
## CO 8.39002268 0.00000000 1.73847317 21.31519274 31.44368859
## FC 11.71579743 0.07558579 3.47694633 26.75736961 42.02569917
## FO 4.08163265 0.00000000 1.28495843 16.93121693 22.29780801
## SP 0.00000000 0.00000000 0.00000000 4.23280423 4.23280423
## Sum 24.18745276 0.07558579 6.50037793 69.23658352 100.00000000addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status))*100)##
## 0 1 Sum
## CO 24.716553 6.727135 31.443689
## FC 34.996221 7.029478 42.025699
## FO 16.250945 6.046863 22.297808
## SP 2.872260 1.360544 4.232804
## Sum 78.835979 21.164021 100.000000addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))*100)##
## 0 1 Sum
## HI 16.78004535 7.40740741 24.18745276
## LO 0.07558579 0.00000000 0.07558579
## MD 3.55253212 2.94784580 6.50037793
## VH 58.42781557 10.80876795 69.23658352
## Sum 78.83597884 21.16402116 100.00000000Frecuencias [CPF y CPC]
round(addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research), 1)*100, 2), 2)##
## HI LO MD VH Sum
## CO 26.68 0.00 5.53 67.79 100.00
## FC 27.88 0.18 8.27 63.67 100.00
## FO 18.31 0.00 5.76 75.93 100.00
## SP 0.00 0.00 0.00 100.00 100.00round(addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research), 2)*100, 1), 2)##
## HI LO MD VH
## CO 34.69 0.00 26.74 30.79
## FC 48.44 100.00 53.49 38.65
## FO 16.88 0.00 19.77 24.45
## SP 0.00 0.00 0.00 6.11
## Sum 100.00 100.00 100.00 100.00round(addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status), 1)*100, 2), 2)##
## 0 1 Sum
## CO 78.61 21.39 100.00
## FC 83.27 16.73 100.00
## FO 72.88 27.12 100.00
## SP 67.86 32.14 100.00round(addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status), 2)*100, 1), 2)##
## 0 1
## CO 31.35 31.79
## FC 44.39 33.21
## FO 20.61 28.57
## SP 3.64 6.43
## Sum 100.00 100.00round(addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status), 1)*100, 2), 2)##
## 0 1 Sum
## HI 69.38 30.63 100.00
## LO 100.00 0.00 100.00
## MD 54.65 45.35 100.00
## VH 84.39 15.61 100.00round(addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status), 2)*100, 1), 2)##
## 0 1
## HI 21.28 35.00
## LO 0.10 0.00
## MD 4.51 13.93
## VH 74.11 51.07
## Sum 100.00 100.00Perfiles [CPF y CPC]
plotct(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research),"row")
plotct(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research),"col")
plotct(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status),"row")
plotct(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status),"col")
plotct(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status),"row")
plotct(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status),"col")
Pruebas de Hipótesis
chisq.test(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research))## Warning in chisq.test(table(Universidad_Dataset$focus,
## Universidad_Dataset$research)): Chi-squared approximation may be incorrect##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research)
## X-squared = 42.706, df = 9, p-value = 2.441e-06chisq.test(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status))##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status)
## X-squared = 16.89, df = 3, p-value = 0.0007447chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))## Warning in chisq.test(table(Universidad_Dataset$research,
## Universidad_Dataset$status)): Chi-squared approximation may be incorrect##
## Pearson's Chi-squared test
##
## data: table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status)
## X-squared = 64.511, df = 3, p-value = 6.383e-14AC Pareja Única
Contingencias y Residuales [R-UR]
chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))$observed## Warning in chisq.test(table(Universidad_Dataset$research,
## Universidad_Dataset$status)): Chi-squared approximation may be incorrect##
## 0 1
## HI 222 98
## LO 1 0
## MD 47 39
## VH 773 143chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))$expected ## Warning in chisq.test(table(Universidad_Dataset$research,
## Universidad_Dataset$status)): Chi-squared approximation may be incorrect##
## 0 1
## HI 252.2751323 67.7248677
## LO 0.7883598 0.2116402
## MD 67.7989418 18.2010582
## VH 722.1375661 193.8624339chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))$residuals## Warning in chisq.test(table(Universidad_Dataset$research,
## Universidad_Dataset$status)): Chi-squared approximation may be incorrect##
## 0 1
## HI -1.9061138 3.6788490
## LO 0.2383614 -0.4600437
## MD -2.5259793 4.8752054
## VH 1.8927235 -3.6530053chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))$stdres## Warning in chisq.test(table(Universidad_Dataset$research,
## Universidad_Dataset$status)): Chi-squared approximation may be incorrect##
## 0 1
## HI -4.7585999 4.7585999
## LO 0.5183237 -0.5183237
## MD -5.6783971 5.6783971
## VH 7.4177261 -7.4177261Contribuciones [R-UR]
chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))$residuals^2/chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))$statistic*100## Warning in chisq.test(table(Universidad_Dataset$research,
## Universidad_Dataset$status)): Chi-squared approximation may be incorrect
## Warning in chisq.test(table(Universidad_Dataset$research,
## Universidad_Dataset$status)): Chi-squared approximation may be incorrect##
## 0 1
## HI 5.63204170 20.97935534
## LO 0.08807246 0.32806991
## MD 9.89071686 36.84292031
## VH 5.55319014 20.68563329Correspondencia Simple Unidimensional [R-UR]
CA(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status), graph = FALSE)$eig## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## dim 1 0.04876093 100 100CA(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status), graph = FALSE)$col## $coord
## [,1]
## 0 0.1144123
## 1 -0.4261859
##
## $contrib
## [,1]
## 0 21.16402
## 1 78.83598
##
## $cos2
## [,1]
## 0 1
## 1 1
##
## $inertia
## [1] 0.01031977 0.03844115CA(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status), graph = FALSE)$row## $coord
## HI LO MD VH
## -0.2316193 0.5181278 -0.5920815 0.1359378
##
## $contrib
## HI LO MD VH
## 26.6113970 0.4161424 46.7336372 26.2388234
##
## $cos2
## HI LO MD VH
## 1 1 1 1
##
## $inertia
## [1] 0.0129759638 0.0002029149 0.0227877545 0.0127942934Correspondencias Múltiples
Recuperando de nuevo el trabajo de [@AEDMDiaz-Morales1ed] se dice que el ACS se puede extender desde tablas de contingencia hacia tablas disyuntivas completas. En estas las filas son los objetos a los cuales se les registran características de interés a través de las columnas que compilan las modalidades de las variables categóricas estudiadas de ellos. Así, el análisis de correspondencias múltiple (ACM) es el AC aplicado a una tabla disyuntiva completa. Por lo tanto, en el ACM una variable categórica asigna a cada objeto de una población una modalidad a través de la cual los particiona exclusiva y exhaustivamente.
Esta sección es desarrollada como alternativa de completitud del análisis de correspondencias simples que en la sección 11 fue inapreciable debido a la unidimensionalidad de la representación de los datos a nivel de proyección de las variables categóricas que cumplieron la hipótesis de dependencia. Por lo tanto, del tratamiento conjunto de todas las varaibles categóricas se espera obtener una representación en el primer plano factorial.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cualitativas del conjunto de datos descrito en la sección 2 se demanda desarrollar el análisis de correspondencias múltiples para lograr una representación gráfica en el primer plano factorial, debido a la imposibilidad de lograrlo en el análisis de correspondencias simple.
Desarrollo del Análisis
La navegación a través de las pestañas permite visualizar objetos matriciales y gráficos que ayudan a desarrollar e interpretar el análisis de correspondencias múltiple (ACM) entre las variables categóricas del conjunto de datos descrito en la sección 2.
Análisis de la Tabla de Valores Propios (ACM ) La tabla proporcionada muestra los valores propios (eigenvalues), el porcentaje de varianza explicado por cada dimensión y el porcentaje acumulado de varianza explicado por las dimensiones en un Análisis de Correspondencias Múltiples (ACM). 1. Eigenvalue (Valor Propio): Representa la cantidad de varianza capturada por cada dimensión. Valores más altos indican que la dimensión explica una mayor parte de la variabilidad total en los datos. 2. Percentage of Variance (Porcentaje de Varianza): Indica el porcentaje de la varianza total explicada por cada dimensión individualmente. Es útil para determinar qué dimensiones son las más informativas. 3. Cumulative Percentage of Variance (Porcentaje Acumulado de Varianza): Muestra el porcentaje total de la varianza explicada al ir acumulando dimensiones. Ayuda a entender cuánta varianza se ha explicado al considerar múltiples dimensiones juntas. Significancia de las Dimensiones: Las dos primeras dimensiones (Dim 1 y Dim 2) juntas explican aproximadamente el 40% de la varianza total. Las tres primeras dimensiones explican más del 50% de la varianza total. Con cuatro dimensiones, se explica más del 70% de la varianza. Las seis dimensiones juntas explican el 100% de la varianza, lo cual es esperado en un ACM ya que todas las dimensiones combinadas deben explicar toda la variabilidad en los datos. Dimensiones Más Informativas: Las primeras dos dimensiones son las más informativas, explicando individualmente más del 20% y 19% de la varianza respectivamente. Las dimensiones 3 y 4 también son importantes, cada una explicando alrededor del 16% de la varianza. Las dimensiones 5 y 6, aunque menos informativas individualmente, aún aportan una cantidad significativa de información con 14.81% y 12.17% respectivamente. En aplicaciones prácticas, se podría decidir centrarse en las primeras 3 o 4 dimensiones, ya que juntas explican una parte significativa de la varianza (más del 70%). Sin embargo, si se necesita una representación completa de los datos, se deben considerar todas las dimensiones. Este análisis permite comprender mejor la estructura de la variabilidad en los datos y cómo se distribuye entre las diferentes dimensiones del ACM.
CALIDAD DE REPRESENTACIÓN Dimensiones y Varianza El gráfico de MCA presenta dos dimensiones principales: Dim1 (20.6%): Explica el 20.6% de la varianza total de los datos. Dim2 (19.1%): Explica el 19.1% de la varianza total. Interpretación de Categorías Las categorías están representadas en un plano bidimensional. La calidad de la representación de cada categoría en estas dimensiones se mide a través del cos2 (coseno cuadrado), que indica la contribución de una categoría a la definición de las dimensiones. Análisis de las Categorías Alta Representación (alto cos2): C (Categoría C): Ubicada en la parte superior derecha del gráfico, muestra una alta calidad de representación en ambas dimensiones. Su color rojo intenso indica un cos2 alto, lo que significa que esta categoría está bien representada en el espacio bidimensional. H (Categoría H): También bien representada, localizada cerca de la categoría C, con un cos2 alto. Moderada a Baja Representación (bajo cos2): FO, CO, SP, FC (Categorías FO, CO, SP y FC): Estas categorías se encuentran en la parte inferior izquierda del gráfico y están menos representadas en las dimensiones principales. Los colores más tenues (amarillo a verde) indican un cos2 menor, sugiriendo que estas categorías no contribuyen significativamente a la variabilidad capturada por Dim1 y Dim2. Datos del cos2 La tabla incluida debajo del gráfico proporciona los valores específicos de cos2 para cada categoría en las cinco dimensiones principales: C y H muestran valores cos2 significativos en las primeras dimensiones, confirmando su alta calidad de representación. FO, CO, SP, FC tienen valores cos2 más distribuidos, lo que refleja su menor contribución a las primeras dos dimensiones.
CONTRIBUCIONES
GRAFICO 1 Contribuciones Destacadas: H Tiene la contribución más alta a Dim1 con más del 40%. Esto indica que esta variable es la más influyente en la configuración de esta dimensión. B y C: Ambas tienen contribuciones significativas, con B alrededor del 25% y C cerca del 20%. Contribuciones Moderadas: FO, CO, A, FC Estas variables tienen contribuciones menores, cada una representando entre el 5% y el 10%. Contribuciones Bajas: YH y SP Estas variables tienen una contribución mínima, con valores muy por debajo del 5%. Las variables H, B y C son las más influyentes en la primera dimensión del MCA, mientras que FO, CO, A y FC también tienen un papel pero menos significativo. Las variables YH y SP contribuyen muy poco a esta dimensión. El gráfico muestra la contribución de las variables a la dimensión 2 (Dim2) en el análisis de correspondencias múltiples (MCA).
GRAFICO 2
Contribuciones Destacadas: C Tiene la contribución más alta a Dim2 con más del 40%. Esto indica que esta variable es la más influyente en la configuración de esta dimensión. FO: La siguiente contribución más significativa con alrededor del 20%. B: También tiene una contribución considerable, cercana al 15%. Contribuciones Moderadas : FC, CO Estas variables tienen contribuciones intermedias, cada una representando entre el 5% y el 10%. Contribuciones Bajas: H, SP, A, YH Estas variables tienen una contribución mínima, con valores muy por debajo del 5%. Comparación con Dim1 : En comparación con el gráfico de Dim1: C ha pasado a ser la más influyente en Dim2, mientras que H, que era la más influyente en Dim1, ahora tiene una contribución mucho menor. FO y B también son más influyentes en Dim2 en comparación con Dim1. Las variables C, FO y B son las más influyentes en la segunda dimensión del MCA, mientras que H, que era prominente en Dim1, tiene un papel menor en Dim2. Otras variables como FC y CO también contribuyen, pero en menor medida. Las variables SP, A y YH tienen contribuciones mínimas en esta dimensión.
Grafico 3
Contribuciones Destacadas: SP Tiene la contribución más alta a Dim3 con más del 40%. Esto indica que esta variable es la más influyente en la configuración de esta dimensión. CO La siguiente contribución más significativa con alrededor del 25%. FO También tiene una contribución considerable, cercana al 20%. Contribuciones Moderadas: B Esta variable tiene una contribución intermedia, cercana al 5%. Contribuciones Bajas: G, H, A, FC, YH Estas variables tienen una contribución mínima, con valores muy por debajo del 5%. Comparación con Dim1 y Dim2 : En comparación con los gráficos de Dim1 y Dim2: SP pasa a ser la más influyente en Dim3, mientras que tenía una contribución mínima en Dim1 y Dim2. CO y FO también aumentan su influencia en Dim3 en comparación con Dim1 y Dim2. B, que tenía contribuciones significativas en Dim1 y Dim2, tiene una contribución mucho menor en Dim3. Las variables SP, CO y FO son las más influyentes en la tercera dimensión del MCA, indicando que estas variables explican una parte significativa de la variabilidad en esta dimensión. Otras variables como B tienen contribuciones menores, mientras que G, H, A, FC y YH tienen una influencia mínima en esta dimensión.
Grafico 4
Contribuciones Destacadas: SP Tiene la contribución más alta a Dim4, con casi el 50%. Esto indica que esta variable es la más influyente en la configuración de esta dimensión. CO La siguiente contribución más significativa, con alrededor del 25%. FO También tiene una contribución considerable, cercana al 20%. Contribuciones Moderadas: FC Esta variable tiene una contribución intermedia, cercana al 10%. Contribuciones Bajas: G, B, H, A, YH Estas variables tienen una contribución mínima, con valores muy por debajo del 10%. Comparación con Dim1, Dim2 y Dim3 En comparación con los gráficos de Dim1, Dim2 y Dim3: SP es nuevamente la más influyente en Dim4, similar a su contribución destacada en Dim3. CO y FO mantienen una influencia significativa en Dim4, similar a su influencia en Dim3. FC tiene una contribución menor pero notable en Dim4, mientras que en las dimensiones anteriores tenía una influencia mínima. B y H, que tenían contribuciones más significativas en Dim1 y Dim2, tienen una contribución mucho menor en Dim4. Las variables SP, CO y FO son las más influyentes en la cuarta dimensión del MCA, indicando que estas variables explican una parte significativa de la variabilidad en esta dimensión. La variable FC también tiene una contribución notable. Otras variables, como G, B, H, A y YH, tienen una influencia mínima en esta dimensión.
Cálculo del Umbral Promedio La línea roja en el diagrama representa el umbral promedio de contribución esperada de las variables a la dimensión en cuestión. Este umbral se calcula como el valor de contribución que se esperaría si todas las variables contribuyeran por igual a la dimensión. El umbral promedio de contribución esperada se puede calcular dividiendo 100% entre el número total de variables consideradas en el análisis. Por ejemplo, si hay 10 variables en el análisis, el umbral promedio sería:
Interpretación • Variables por encima de la línea roja: Las variables que tienen una contribución por encima de este umbral son más influyentes de lo que se esperaría por azar. Estas variables tienen una importancia significativa en la configuración de la dimensión. • Variables por debajo de la línea roja: Las variables que tienen una contribución por debajo del umbral tienen menos influencia en la dimensión y no son tan importantes en la configuración de esta. En los diagramas analizados: • En Dim1, las variables H, B y C están por encima del umbral, indicando una alta influencia. • En Dim2, las variables C, FO y B están por encima del umbral. • En Dim3, las variables SP, CO y FO están por encima del umbral. • En Dim4, las variables SO, CO y FO están por encima del umbral. • En Dim5, la variable B es la única que esta por encima del umbral. Esto nos ayuda a identificar rápidamente qué variables son más relevantes en la configuración de cada dimensión del análisis de correspondencias múltiples.
BIPLOT CON CONTRIBUCIONES
Este diagrama muestra las categorías de variables en un espacio bidimensional, resultado del análisis de correspondencias múltiples (MCA). Los ejes Dim1 y Dim2 representan las dos primeras dimensiones del MCA, que explican el 20.6% y el 19.1% de la variabilidad total, respectivamente. Interpretación de los Elementos del Diagrama Posición de las Categorías: C: Se encuentra en la parte superior derecha del gráfico, lo que indica que tiene una alta contribución tanto en Dim1 como en Dim2. H y I: Están en la parte derecha, indicando una fuerte contribución a Dim1, pero también tienen una ligera contribución a Dim2. FO, CO, SP, A, YH, VH, FC y B: Están agrupadas en la parte inferior izquierda, lo que sugiere que tienen contribuciones menores en ambas dimensiones. Color: El color de cada punto varía de azul a rojo, donde el rojo indica una mayor contribución y el azul una menor contribución. Por lo tanto, las categorías como C, H y I tienen colores más cercanos al rojo, indicando una alta contribución. Contribuciones: C Tiene la mayor contribución en ambas dimensiones, lo que la convierte en una categoría muy influyente. H e I: También son influyentes, especialmente en Dim1. FO, CO, SP, A, YH, VH, FC y B: Tienen contribuciones más bajas, reflejadas por sus colores más cercanos al azul. Categorías Influyentes: Las categorías C, H e I son las más influyentes en la configuración de Dim1 y Dim2. Estas categorías deberían ser examinadas más a fondo para entender qué aspectos específicos están conduciendo su alta contribución. Categorías Menos Influyentes: Las categorías FO, CO, SP, A, YH, VH, FC y B tienen menor influencia en estas dos dimensiones, pero esto no significa que no sean importantes en otras dimensiones. Su agrupación cerca del origen sugiere que no tienen un impacto fuerte en la variabilidad explicada por Dim1 y Dim2. Dimensiones Dim1 (20.6%): Influencias Principales: H, I, C. Dim2 (19.1%): Influencias Principales: C, H.
ACM
round(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE)$eig,2)## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## dim 1 0.41 20.62 20.62
## dim 2 0.38 19.08 39.70
## dim 3 0.33 16.69 56.39
## dim 4 0.33 16.62 73.01
## dim 5 0.30 14.81 87.83
## dim 6 0.24 12.17 100.00Biplot ACM
# Seleccionar las columnas relevantes
selected_columns <- Universidad_Dataset[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)]
# Verificar si hay valores NA en las columnas seleccionadas
cat("Valores NA en las columnas seleccionadas: ", sum(is.na(selected_columns)), "\n")## Valores NA en las columnas seleccionadas: 0# Eliminar filas con valores NA en las columnas seleccionadas
selected_columns <- na.omit(selected_columns)
# Convertir las columnas a factores
selected_columns <- data.frame(lapply(selected_columns, as.factor))
# Verificar que todas las columnas tengan al menos dos niveles
valid_columns <- selected_columns[, sapply(selected_columns, function(col) nlevels(col) > 1)]
# Mostrar las columnas válidas
cat("Número de columnas válidas: ", ncol(valid_columns), "\n")## Número de columnas válidas: 3# Realizar el Análisis de Componentes Múltiples (MCA)
if (ncol(valid_columns) > 1) {
mca_result <- MCA(valid_columns, graph = FALSE)
# Crear y mostrar el biplot del MCA
fviz_mca_biplot(mca_result, repel = TRUE)
} else {
cat("No hay suficientes columnas válidas para realizar el MCA\n")
}
Calidad de Representación
fviz_mca_var(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), col.var ="cos2", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
MCA(Universidad_Dataset[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE)$var$cos2## Dim 1 Dim 2 Dim 3 Dim 4 Dim 5
## CO 0.124177544 0.067651277 5.604214e-01 0.243555756 0.004194073
## FC 0.330367892 0.004470375 2.553762e-02 0.611682821 0.027941289
## FO 0.138165922 0.001216209 5.929467e-01 0.256211053 0.011460103
## SP 0.003511351 0.943469541 3.268312e-02 0.001276858 0.019059129
## HI 0.463264293 0.008139659 1.467064e-27 0.049646642 0.478949406
## VH 0.463264293 0.008139659 1.494104e-27 0.049646642 0.478949406
## 0 0.421841193 0.011979868 2.162325e-27 0.231174569 0.335004370
## 1 0.421841193 0.011979868 2.066063e-27 0.231174569 0.335004370Contribuciones
fviz_contrib(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 1, top = 15)
fviz_contrib(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 2, top = 15)
fviz_contrib(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 3, top = 15)
fviz_contrib(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 4, top = 15)
fviz_contrib(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 5, top = 15)
Biplot con Contribuciones
fviz_mca_var(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), col.var ="contrib", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
Fase 4 [Análisis de Regresión]
4.1. Objetivo
Se sabe que el análisis de regresión es un proceso de naturaleza estadística usado para estimar relaciones entre variables (una dependiente o de respuesta y otras independientes o predictoras) a través de técnicas de modelado y análisis que permiten entender cómo el valor de la variable dependiente varía al cambiar el valor de una o más variables independientes. Los modelos de análisis de regresión estudiados a través de este documento serán: lineal (simple y múltiple) y logístico, ellos entendidos como casos del modelo de regresión lineal generalizado.
4.2. Regresión Lineal Simple
Este modelo, que eventualmente será llamado en este estudio como RLS, está conformado por dos variables estadísticas \(x\) y \(Y\), donde \(Y\) se asume que está influida por \(x\). La relación está dada matemáticamente por: \[Y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon \hspace{10mm} \hspace{10mm}(1)\] donde:
- \(Y\): es una variable de respuesta de naturaleza aleatoria.
- \(x\): es una variable predictora de naturaleza no aleatoria.
- \(\varepsilon\): es una variable aleatoria no observable.
- \(\beta_0\) y \(\beta_1\): son parámetros reales desconocidos del modelo.
En comparación con el modelo lineal simple determinístico \(y = \beta_0 + \beta_1 x\), el probablístico supone que el valor esperado de \(Y\) es una función lineal de \(x\), pero que con \(x\) fija, la variable \(Y\) difiere de su valor esperado en una cantidad aleatoria \(\varepsilon\). Además, la cantidad \(\varepsilon\) en la ecuación de modelo \((1)\) se supone normalmente distribuida con \(E(\varepsilon)=0\) y \(V(\varepsilon)=\sigma^2\). La variable aleatoria \(\varepsilon\) también se conoce como término de error aleatorio o desviación aleatoria en el modelo.
Complementariamente, casi nunca serán conocidos los valores \(\beta_0\), \(\beta_1\) y \(\sigma^2\), a cambio estará disponible una muestra de datos compuesta de pares ordenados \((x_1,y_1)... (x_n,y_n)\) con la que los parámetros del modelo y la línea de regresión verdadera pueden ser estimados, bajo el supuesto de independencia de las observaciones. Así, \(y_i\) es el valor observado de una variable aleatoria \(Y_i\), donde \(Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i\) y las \(n\) desviaciones \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\), \(...\), \(\varepsilon_n\) son variables independientes.
De acuerdo con el modelo, los puntos observados estarán distribuidos aleatoriamente alrededor de la línea de regresión verdadera. En este sentido, la estimación de \(y=\beta_0+\beta_1x\) deberá ser una línea que se ajuste lo mejor posible a los puntos muestra. Tal línea deberá poseer la característica de que las distancias verticales (desviaciones) de los puntos observados a la línea misma son pequeñas. La medida de la bondad de ajuste será la suma de los cuadrados de estas desviaciones. En consecuencia, la línea que mejor se ajusta será la que tenga la suma más pequeña posible de desviaciones al cuadrado. El resultado que implica las ideas expuestas se conoce como: principio de los mínimos cuadrados y se remonta a los matemáticos Carl Friedrich Gauss y Adrien-Marie Legendre, entre el último lustro del siglo XVIII y el primero del siglo XIX.
El principio de los mínimos cuadrados establece que la desviación vertical del punto \((x_i,y_i)\) con respecto a la línea \(y=b_0+b_1x\) es \(y_i-(b_0+b_1x)\) y la suma de las desviaciones verticales al cuadrado de los puntos \((x_i,y_i)\) a la línea es \(f(b_0,b_1)=\sum_{i=1}^n (y_i-(b_0+b_1x_i))^2\). Así, las estimaciones puntuales de \(\beta_0\) y \(\beta_1\), representadas como \(\hat{\beta}_0\) y \(\hat{\beta}_1\) y llamadas estimaciones de mínimos cuadrados, son los valores que minimizan a \(f(b_0,b_1)\); es decir, \(f(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)\leq f(b_0,b_1)\) para cualesquiera \(\beta_0\) y \(\beta_1\). Por lo tanto, la línea de regresión estimada o línea de mínimos cuadrados es \(y=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x\).
Luego de calcular y resolver las ecuaciones en derivadas parciales de \(f(b_0,b_1)\) respecto a \(b_0\) y \(b_1\) igualadas a cero, se obtiene un sistemas de ecuaciones llamadas normales que son lineales en \(b_0\) y \(b_1\) y para las cuales, siempre que por lo menos dos de las \(x_i\) sean diferentes, las estimaciones de los mínimos cuadrados son la única solución del sistema. En consecuencia, la estimación de los mínimos cuadrados de \(\beta_1\) de la línea de regresión verdadera es: \[\hat{\beta}_1=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}\hspace{10mm}(2)\] y la estimación de los mínimos cuadrados de \(\beta_0\) de la línea de regresión verdadera es: \[\hat{\beta}_0=\dfrac{\sum_{i=1}^ny_i-\hat{\beta}_1\sum_{i=1}^nx_i}{n}=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}\hspace{10mm}(3)\] Para hacer los cálculos que las ecuaciones anteriores demandan es necesario reducir al mínimo los efectos de redondeo. También, antes de calcular \(\hat{\beta}_1\) y \(\hat{\beta}_0\) se debe examir gráficamente el conjunto de datos por usar para percibir la factibilidad de uso de un modelo probabilístico lineal, es decir, si gráficamente los puntos están lejos de tender a aglomerarse en torno a una línea recta con aproximadamente el mismo grado de dispersión de todas las \(x_i\), entonces deben ser indagados otros modelos.
Es indispensable mencionar que la línea de mínimos cuadrados debe usarse restringidamente para predecir valores de \(x\) lejanos del rango de los datos, porque la relación ajustada puede carecer de validez para ellos.
Ahora, el parámetro \(\sigma^2\) que determina la cantidad de variabilidad es inherente en el modelo de regresión descrito: su valor conducirá a establecer que los valores observados estarán dispersos en mayor o menor medida en torno a la línea de regresión verdadera. Así, los residuos \(y_i - \hat{y_i}\) son las desviaciones verticales con respecto a la línea estimada. Si todos los residuos son pequeños comparados con cero, entonces la variabilidad de los valores \(y\) observados se debería en una elevada medida a la relación lineal entre \(x\) y \(y\), mientras que si los residuos son grandes comparados con cero, entonces queda sugerida una variabilidad inherente en \(y\) con respecto a la cantidad debida a la relación lineal. Así, la estimación de \(\sigma^2\) en un análisis de regresión está basada en el cálculo de la suma de cuadrados residuales (o suma de cuadrados del error SCE) que se reduce a: \[SCE=\sum_{i=1}^ny_i^2-\hat{\beta}_0\sum_{i=1}^ny_i-\hat{\beta}_1\sum_{i=1}^nx_iy_i\hspace{10mm}(4)\] \[\hat\sigma^2=s^2=\dfrac{SCE}{n-2}\hspace{10mm}(5)\] Si se ha entendido que la cantidad SCE establece una medida de cuánta variación de \(y\) es inexplicada por el modelo; es decir, sin atribución a la relación lineal, se entenderá también que existe otra cantidad llamada la suma total de los cuadrados STC, que permite obtener una medida de la cantidad de variación total en los valores \(y\) observados: \[STC=\sum_{i=1}^ny_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^ny_i)^2}{n}\hspace{10mm}(6)\] Si se formula la razón \(SCE/STC\) se calcula la proporción de variación total inexplicada por el modelo de regresión lineal simple; por lo tanto, se llega a la definición del coeficiente de determinación \(r^2\): \[r^2=1-\frac{SCE}{STC}\hspace{10mm}(7)\] que se interpreta como la proporción de variación \(y\) observada que puede ser explicada por el modelo de regresión lineal simple; es decir, aquella atribuida a una relación lineal aproximada entre \(x\) y \(y\): mientras más cercano a 1 sea \(r^2\), más exitoso es el modelo de regresión lineal simple al explicar la variación de \(y\). Una forma alternativa de calcular el coeficiente de determinación se basa en la suma de cuadrados debidad a la regresión SCR (o al modelo de regresión SCM), que es la cantidad de variación total que es explicada por el modelo. Con base en ella el coeficiente de determinación se expresa como: \[r^2=1-\frac{SCE}{STC}=\frac{STC-SCE}{STC}=\frac{SCR}{STC}\hspace{10mm}(8)\]Como se sabe, cualquier cantidad calculada a partir de datos muestrales varía de una cantidad a otra, en este sentido, los procedimientos inferenciales estandarizan un estimador restando su valor medio y luego dividiéndolo entre su desviación estándar estimada. En particular, para un modelo supuesto de regresión lineal simple se implica que las variables estándares: \(t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_0-\beta_0}{\hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}}\) y \(t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_1-\beta_1}{ \hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}}}\) tienen distribuciones \(t\) con \(n-2\) grados de libertad. De esto se deduce que los intervalos de confianza de \(100*(1-\alpha)\%\) para la pendiente \(\beta_1\) y el intercepto \(\beta_0\) de la línea de regrasión verdadera son: \[\hat{\beta}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}\hspace{10mm}(9)\] \[\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}} \hspace{10mm} (10)\]estos intervalos están centarados en la en la estimación puntual de cada parámetro y la cantidad abarcada a cada lado de la estimación depende del nivel de confianza deseado y de la cantidad de variabilidad del estimador.
Dado lo anterior, para los procedimientos de prueba de hipótesis, y como se procede habitualmente, las hipótesis nulas respecto a los beta del modelo de regresión lineal simple serán enunciados de igualdad. Los valores nulos para \(\beta_0\) y \(\beta_1\) se representan respectivamente como \(\beta_{00}\) (“beta cero cero”) y \(\beta_{10}\) (“beta uno cero”). Además, como los estadísticos de prueba tienen distribuciones \(t\) con \(n-2\) grados de libertad cuando \(H_0\) es verdadera, la probabilidad de error Tipo I permanece al nivel deseado \(\alpha\) usando un valor crítico \(t\) adecuado. Así, las hipótesis comúnmente usadas para \(\beta_0\)son: \[H_0: \beta_0 = \beta_{00}\hspace{10mm}(11)\] \[H_1: \beta_0 \neq \beta_{00}\hspace{10mm}(12)\]cuyo estadístico de prueba es: \[t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_0-\beta_{00}}{\hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}}\hspace{10mm}(13)\]y para \(\beta_1\) son: \[H_0: \beta_1 = \beta_{10}\hspace{10mm}(14)\] \[H_1: \beta_1 \neq \beta_{10}\hspace{10mm}(15)\]cuyo estadístico de prueba es:\[t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_1-\beta_{10}}{\hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}}}\hspace{10mm}(16)\]el par de hipótesis definidas por \(14\), \(15\) y \(16\) se conoce como la prueba de utilidad del modelo de regresión lineal simple, donde: la región de rechazo de \(H_0\) para una prueba a nivel \(\alpha\) a favor de \(H_1: \beta_1>\beta_{10}\) es \(t\geq t_{\alpha,n-2}\); la región de rechazo de \(H_0\) para una prueba a nivel \(\alpha\) a favor de \(H_1: \beta_1<\beta_{10}\) es \(t\leq -t_{\alpha,n-2}\); y la región de rechazo de \(H_0\) para una prueba a nivel \(\alpha\) a favor de \(H_1: \beta_1\neq\beta_{10}\) es \(t\leq -t_{\alpha/2,n-2}\) o \(t\geq t_{\alpha/2,n-2}\). Además, se sabe que la prueba de utilidad del modelo de regresión simple puede ser probada con una tabla ANOVA: rechazando \(H_0\) si \(f\geq F_{\alpha,1,n-2}\). La prueba \(F\) da exactamente el mismo resultado que la prueba \(t\) de utilidad del modelo de regresión lineal simple.
Por último, se entiende que en un modelo de regresión lineal simple un valor futuro de \(Y\) no es parámetro sino una variable aleatoria, por lo que se debe hacer referencia a un intervalo de valores factibles para un valor futuro de \(Y\), al cual se le llama intervalo de predicción. Cuando se predice con base en el modelo de regresión lineal simple, el error de predicción es \(Y-( \hat{\beta}_0+ \hat{\beta}_1 x^*)\) que corresponde con una diferencia entre dos variables aleatorias, por lo que, en comparación con una estimación, habrá más incertidumbre en ese; por lo tanto, un intervalo de predicción será más ancho que un intervalo de confianza. Además, a partir de la varianza del error dde predicción se puede establecer que la variable estandarizada:\[T=\dfrac{Y-(\hat{\beta}_0+ \hat{\beta}_1 x^*)}{S \displaystyle\sqrt{1+\dfrac{1}{n} + \dfrac{(x^*-\bar{x})^2}{S_{xx}}}}\hspace{10mm}(17)\]tiene una distribución \(t\) con \(n-2\) grados de libertad, a partir de la cual se obtine un intervalo de predicción de \(100*(1-\alpha)\%\) para una observación \(Y\) futura que se hará cuando \(x=x^*\) igual a:\[\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x^*\pm t_{n-2,\alpha/2}\cdot s \displaystyle\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{(x^*-\bar{x})^2}{S_{xx}}}\hspace{10mm}(18)\] la interpretación del nivel de predicción de \(100*(1-\alpha)\%\) establece que al usar \((18)\) repetidamente, los intervalos resultantes contendrán los valores \(y\) observados el \(100*(1-\alpha)\%\) del tiempo. Además, el número \(1\) en la raíz cuadrada hace que el intervalo de predicción sea más ancho que intervalos de confianza como \((9)\) y \((10)\). Asimismo, a medida que \(n\to\infty\) el ancho del intervalo no-tiende a cero, porque la incertidumbre en la predicción será permanente, incluso al tener conocimiento perfecto sobre \(\beta_0\) y \(\beta_1\).
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se formulará un modelo de regresión lineal simple para estudiar la relación lineal supuesta entre las varaibles definidas por los campos: Chance of Admit (variable dependiente) y TOEFL Score (variable independiente).
Desarrollo del Análisis
El estudio de regresión lineal simple ha sido procesado con R version 4.3.3 (2024-02-29 ucrt) mediado por RStudio 2022.07.2 Build 576 en una plataforma x86_64-w64-mingw32.
Resumen estadístico de las variables por estudiar.
La navegación a través de las pestañas muestra el resumen estadístico de las variables de interés: Overall Score (variable dependiente) y TOEFL Score (variable independiente), junto con sus respectivos diagramas de caja. Además, incluye el diagrama de dispersión de sus valores conjuntos.
Con base en la pestaña Resumen de Chance of Admit se puede comentar que la variable Chance of Admit presenta asimetría de sesgo negativo con rango intercuartílico estrecho de dispersión imperceptible. Además, un dato se visualiza como outlier. Así, puede decirse que la variable registra valores altos en relación con su intervalo de medición. En comparación, según la pestaña Resumen de TOEFL Score, la variable TOEFL Score se visualiza más simétrica que la anterior, sin presentar datos atípicos, pero con mediana que muestra una ligera concentración de medidas hacia la mitad superior de los datos.
Complementariamente, en Diagrama de Dispersión TOEFL vs. CoA se puede observar que existe una correlación positiva de naturaleza apreciablemente lineal entre las variable Chance of Admit y TOEFL Score. Sin embargo, si se observa el gráfico de Diagramas Totales de Dispersión (que excluyeron las variables cualitativas::nominales) es constatable que existe una correlación más fuerte entre la variable de interés Chance of Admit y CGPA.
Resumen de Overall Score
summary(Universidad_Dataset$`Overall Score`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 0.40 11.75 19.00 25.34 32.55 100.00boxplot(Universidad_Dataset$`Overall Score`, main = "Diagrama de Caja de Overall Score", col = c("orange"))
Resumen de research
summary(Universidad_Dataset$research)## HI LO MD VH
## 320 1 86 916boxplot(Universidad_Dataset$research, main = "Diagrama de Caja de research", col = c("gold"))
Diagrama de Dispersión research vs. OS
plot(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$`Overall Score`, main = "Diagrama de Dispersión research vs. Overall Score")
Formulación del modelo de RLS entre las variables de estudio.
La navegación a través de las pestañas muestra los coeficientes del modelo de regresión lineal simple, su resumen estadístico y su tabla ANOVA. Se menciona de nuevo que las variables de interés son: Chance of Admit (variable dependiente) y TOEFL Score (variable independiente).
Al considerar los resultados presentados en la pestaña Coeficientes del Modelo RLS se puede establer que el modelo de regresión lineal simple que relaciona a las variables de interés, las cuales se resumirán como \(COA\) y \(TOEFL\), tiene la formulación:\[\hat{COA}=-1,2734005+0,0185993\cdot TOEFL\hspace{10mm}(19)\] para este modelo se obvia la interpretación del intercepto por carecer de sentido dado que Chance of Admit resultaría negativa en caso de un valor nulo de TOEFL Score, y ambas situaciones carecen de sentido. Sin embargo, el coeficiente lineal una correlación de proporcionalidad directa entre las variables de interés, aunque de crecimiento moderado en Chance of Admit por cada unidad marginal de TOEFL Score.
Complementariamente, en la pestaña Resumen Estadístico del Modelo RLS se constata que para cualquier nivel de significancia las evidencias estarán a favor de la correlación positiva entre las variables de interés. Además, el coeficiente de detreminación está a favor de la correlación estableciendo que el \(62.57\) \(\%\) de la variabilidad de Chance of Admit es explicada por TOEFL Score, esto también queda confirmado a través de la pestaña Tabla ANOVA para el Modelo RLS.
Coeficientes del Modelo RLS
modelo_RL_Simple = lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$research)
coef(modelo_RL_Simple)## (Intercept) Universidad_Dataset$researchLO
## 13.614688 -7.514688
## Universidad_Dataset$researchMD Universidad_Dataset$researchVH
## -3.810036 17.295356Resumen Estadístico del Modelo RLS
summary(modelo_RL_Simple)##
## Call:
## lm(formula = Universidad_Dataset$`Overall Score` ~ Universidad_Dataset$research)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -30.510 -11.912 -3.815 6.095 69.090
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 13.6147 0.9877 13.784 <2e-16 ***
## Universidad_Dataset$researchLO -7.5147 17.6966 -0.425 0.6712
## Universidad_Dataset$researchMD -3.8100 2.1461 -1.775 0.0761 .
## Universidad_Dataset$researchVH 17.2954 1.1474 15.074 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 17.67 on 1319 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1851, Adjusted R-squared: 0.1833
## F-statistic: 99.87 on 3 and 1319 DF, p-value: < 2.2e-16Tabla ANOVA para el Modelo RLS
anova(modelo_RL_Simple)## Analysis of Variance Table
##
## Response: Universidad_Dataset$`Overall Score`
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Universidad_Dataset$research 3 93540 31179.9 99.873 < 2.2e-16 ***
## Residuals 1319 411785 312.2
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Análisis del modelo RLS.
La navegación a través de las pestañas muestra el intervalo de confianza para \(\beta_1\) y para la predicción del modelo de regresión lineal simple, ambos al 95 %. Se menciona de nuevo que las variables de interés son: Chance of Admit (variable dependiente) y TOEFL Score (variable independiente).
El análisis del modelo RLS muestra que es significativo y en consecuencia aporta información relevante para estimar Chance of Admit a partir de TOEFL Score. Esto debido a que el intervalo de confianza para el coeficiente de TOEFL en el modelo RLS excluye al cero:\[0,01718449<\beta_1<0,02001411\hspace{10mm}(20)\]
Por último, la pestaña Predicciones y sus Intevalos de Predicción muestran los cálculos con base en el modelo, bajo intervalos de predicción al \(95\) \(\%\), de las predicciones de todas las pestañas del conjunto de datos para la variable Chance of Admit. Cabe mencionar que estos intervalos resultan más anchos que aquellos calculados con base en intervalos de confianza al mismo nivel de significancia.
Intervalo de Confianza para B1
confint(modelo_RL_Simple, level = 0.95)## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) 11.676997 15.5523782
## Universidad_Dataset$researchLO -42.231271 27.2018958
## Universidad_Dataset$researchMD -8.020193 0.4001203
## Universidad_Dataset$researchVH 15.044509 19.5462031Predicciones y sus Intervalos de Predicción
predict(modelo_RL_Simple, data.frame(seq(1,400)), interval='prediction', level = 0.95)## Warning: 'newdata' had 400 rows but variables found have 1323 rows## fit lwr upr
## 1 30.910044 -3.771337 65.59142
## 2 30.910044 -3.771337 65.59142
## 3 30.910044 -3.771337 65.59142
## 4 30.910044 -3.771337 65.59142
## 5 30.910044 -3.771337 65.59142
## 6 30.910044 -3.771337 65.59142
## 7 30.910044 -3.771337 65.59142
## 8 30.910044 -3.771337 65.59142
## 9 30.910044 -3.771337 65.59142
## 10 30.910044 -3.771337 65.59142
## 11 30.910044 -3.771337 65.59142
## 12 30.910044 -3.771337 65.59142
## 13 30.910044 -3.771337 65.59142
## 14 30.910044 -3.771337 65.59142
## 15 30.910044 -3.771337 65.59142
## 16 30.910044 -3.771337 65.59142
## 17 30.910044 -3.771337 65.59142
## 18 30.910044 -3.771337 65.59142
## 19 30.910044 -3.771337 65.59142
## 20 30.910044 -3.771337 65.59142
## 21 30.910044 -3.771337 65.59142
## 22 30.910044 -3.771337 65.59142
## 23 30.910044 -3.771337 65.59142
## 24 30.910044 -3.771337 65.59142
## 25 30.910044 -3.771337 65.59142
## 26 30.910044 -3.771337 65.59142
## 27 30.910044 -3.771337 65.59142
## 28 30.910044 -3.771337 65.59142
## 29 30.910044 -3.771337 65.59142
## 30 30.910044 -3.771337 65.59142
## 31 30.910044 -3.771337 65.59142
## 32 30.910044 -3.771337 65.59142
## 33 30.910044 -3.771337 65.59142
## 34 30.910044 -3.771337 65.59142
## 35 30.910044 -3.771337 65.59142
## 36 30.910044 -3.771337 65.59142
## 37 30.910044 -3.771337 65.59142
## 38 30.910044 -3.771337 65.59142
## 39 30.910044 -3.771337 65.59142
## 40 30.910044 -3.771337 65.59142
## 41 30.910044 -3.771337 65.59142
## 42 30.910044 -3.771337 65.59142
## 43 30.910044 -3.771337 65.59142
## 44 30.910044 -3.771337 65.59142
## 45 30.910044 -3.771337 65.59142
## 46 30.910044 -3.771337 65.59142
## 47 30.910044 -3.771337 65.59142
## 48 30.910044 -3.771337 65.59142
## 49 30.910044 -3.771337 65.59142
## 50 30.910044 -3.771337 65.59142
## 51 30.910044 -3.771337 65.59142
## 52 30.910044 -3.771337 65.59142
## 53 30.910044 -3.771337 65.59142
## 54 30.910044 -3.771337 65.59142
## 55 30.910044 -3.771337 65.59142
## 56 30.910044 -3.771337 65.59142
## 57 30.910044 -3.771337 65.59142
## 58 30.910044 -3.771337 65.59142
## 59 30.910044 -3.771337 65.59142
## 60 30.910044 -3.771337 65.59142
## 61 30.910044 -3.771337 65.59142
## 62 30.910044 -3.771337 65.59142
## 63 30.910044 -3.771337 65.59142
## 64 30.910044 -3.771337 65.59142
## 65 30.910044 -3.771337 65.59142
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## 1213 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1214 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1215 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1216 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1217 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1218 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1219 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1220 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1221 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1222 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1223 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1224 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1225 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1226 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1227 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1228 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1229 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1230 6.100000 -42.920129 55.12013
## 1231 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1232 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1233 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1234 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1235 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1236 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1237 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1238 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1239 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1240 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1241 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1242 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1243 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1244 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1245 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1246 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1247 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1248 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1249 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1250 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1251 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1252 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1253 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1254 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1255 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1256 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1257 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1258 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1259 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1260 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1261 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1262 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1263 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1264 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1265 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1266 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1267 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1268 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1269 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1270 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1271 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1272 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1273 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1274 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1275 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1276 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1277 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1278 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1279 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1280 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1281 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1282 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1283 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1284 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1285 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1286 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1287 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1288 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1289 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1290 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1291 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1292 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1293 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1294 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1295 13.614688 -21.101896 48.33127
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## 1298 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1299 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1300 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1301 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1302 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1303 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1304 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1305 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1306 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1307 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1308 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1309 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1310 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1311 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1312 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1313 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1314 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1315 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1316 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1317 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1318 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1319 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1320 13.614688 -21.101896 48.33127
## 1321 30.910044 -3.771337 65.59142
## 1322 9.804651 -25.058758 44.66806
## 1323 30.910044 -3.771337 65.59142Predicciones y sus Intervalos de Confianza
predict(modelo_RL_Simple, data.frame(seq(1,400)), interval='confidence', level = 0.95)## Warning: 'newdata' had 400 rows but variables found have 1323 rows## fit lwr upr
## 1 30.910044 29.764764 32.05532
## 2 30.910044 29.764764 32.05532
## 3 30.910044 29.764764 32.05532
## 4 30.910044 29.764764 32.05532
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## 7 30.910044 29.764764 32.05532
## 8 30.910044 29.764764 32.05532
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## 10 30.910044 29.764764 32.05532
## 11 30.910044 29.764764 32.05532
## 12 30.910044 29.764764 32.05532
## 13 30.910044 29.764764 32.05532
## 14 30.910044 29.764764 32.05532
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## 19 30.910044 29.764764 32.05532
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## 22 30.910044 29.764764 32.05532
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## 24 30.910044 29.764764 32.05532
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## 28 30.910044 29.764764 32.05532
## 29 30.910044 29.764764 32.05532
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## 40 30.910044 29.764764 32.05532
## 41 30.910044 29.764764 32.05532
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## 43 30.910044 29.764764 32.05532
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## 50 30.910044 29.764764 32.05532
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## 63 30.910044 29.764764 32.05532
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## 75 30.910044 29.764764 32.05532
## 76 30.910044 29.764764 32.05532
## 77 30.910044 29.764764 32.05532
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## 87 30.910044 29.764764 32.05532
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## 89 30.910044 29.764764 32.05532
## 90 30.910044 29.764764 32.05532
## 91 30.910044 29.764764 32.05532
## 92 30.910044 29.764764 32.05532
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## 94 30.910044 29.764764 32.05532
## 95 30.910044 29.764764 32.05532
## 96 30.910044 29.764764 32.05532
## 97 30.910044 29.764764 32.05532
## 98 30.910044 29.764764 32.05532
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## 100 30.910044 29.764764 32.05532
## 101 30.910044 29.764764 32.05532
## 102 30.910044 29.764764 32.05532
## 103 30.910044 29.764764 32.05532
## 104 30.910044 29.764764 32.05532
## 105 30.910044 29.764764 32.05532
## 106 30.910044 29.764764 32.05532
## 107 30.910044 29.764764 32.05532
## 108 30.910044 29.764764 32.05532
## 109 30.910044 29.764764 32.05532
## 110 30.910044 29.764764 32.05532
## 111 30.910044 29.764764 32.05532
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## 1236 13.614688 11.676997 15.55238
## 1237 13.614688 11.676997 15.55238
## 1238 13.614688 11.676997 15.55238
## 1239 13.614688 11.676997 15.55238
## 1240 13.614688 11.676997 15.55238
## 1241 13.614688 11.676997 15.55238
## 1242 13.614688 11.676997 15.55238
## 1243 30.910044 29.764764 32.05532
## 1244 13.614688 11.676997 15.55238
## 1245 13.614688 11.676997 15.55238
## 1246 30.910044 29.764764 32.05532
## 1247 13.614688 11.676997 15.55238
## 1248 13.614688 11.676997 15.55238
## 1249 30.910044 29.764764 32.05532
## 1250 30.910044 29.764764 32.05532
## 1251 30.910044 29.764764 32.05532
## 1252 30.910044 29.764764 32.05532
## 1253 13.614688 11.676997 15.55238
## 1254 30.910044 29.764764 32.05532
## 1255 13.614688 11.676997 15.55238
## 1256 9.804651 6.066901 13.54240
## 1257 13.614688 11.676997 15.55238
## 1258 13.614688 11.676997 15.55238
## 1259 13.614688 11.676997 15.55238
## 1260 13.614688 11.676997 15.55238
## 1261 13.614688 11.676997 15.55238
## 1262 30.910044 29.764764 32.05532
## 1263 13.614688 11.676997 15.55238
## 1264 13.614688 11.676997 15.55238
## 1265 13.614688 11.676997 15.55238
## 1266 30.910044 29.764764 32.05532
## 1267 13.614688 11.676997 15.55238
## 1268 13.614688 11.676997 15.55238
## 1269 30.910044 29.764764 32.05532
## 1270 30.910044 29.764764 32.05532
## 1271 13.614688 11.676997 15.55238
## 1272 13.614688 11.676997 15.55238
## 1273 30.910044 29.764764 32.05532
## 1274 13.614688 11.676997 15.55238
## 1275 13.614688 11.676997 15.55238
## 1276 13.614688 11.676997 15.55238
## 1277 9.804651 6.066901 13.54240
## 1278 13.614688 11.676997 15.55238
## 1279 13.614688 11.676997 15.55238
## 1280 13.614688 11.676997 15.55238
## 1281 13.614688 11.676997 15.55238
## 1282 30.910044 29.764764 32.05532
## 1283 9.804651 6.066901 13.54240
## 1284 9.804651 6.066901 13.54240
## 1285 13.614688 11.676997 15.55238
## 1286 9.804651 6.066901 13.54240
## 1287 9.804651 6.066901 13.54240
## 1288 30.910044 29.764764 32.05532
## 1289 9.804651 6.066901 13.54240
## 1290 30.910044 29.764764 32.05532
## 1291 9.804651 6.066901 13.54240
## 1292 13.614688 11.676997 15.55238
## 1293 9.804651 6.066901 13.54240
## 1294 9.804651 6.066901 13.54240
## 1295 13.614688 11.676997 15.55238
## 1296 9.804651 6.066901 13.54240
## 1297 9.804651 6.066901 13.54240
## 1298 13.614688 11.676997 15.55238
## 1299 13.614688 11.676997 15.55238
## 1300 9.804651 6.066901 13.54240
## 1301 9.804651 6.066901 13.54240
## 1302 9.804651 6.066901 13.54240
## 1303 13.614688 11.676997 15.55238
## 1304 13.614688 11.676997 15.55238
## 1305 9.804651 6.066901 13.54240
## 1306 13.614688 11.676997 15.55238
## 1307 9.804651 6.066901 13.54240
## 1308 9.804651 6.066901 13.54240
## 1309 13.614688 11.676997 15.55238
## 1310 9.804651 6.066901 13.54240
## 1311 13.614688 11.676997 15.55238
## 1312 13.614688 11.676997 15.55238
## 1313 9.804651 6.066901 13.54240
## 1314 13.614688 11.676997 15.55238
## 1315 30.910044 29.764764 32.05532
## 1316 30.910044 29.764764 32.05532
## 1317 13.614688 11.676997 15.55238
## 1318 13.614688 11.676997 15.55238
## 1319 13.614688 11.676997 15.55238
## 1320 13.614688 11.676997 15.55238
## 1321 30.910044 29.764764 32.05532
## 1322 9.804651 6.066901 13.54240
## 1323 30.910044 29.764764 32.055324.3. Regresión Lineal Múltiple
Este modelo, que puede inicialmente pensarse como una extensión de la regresión lineal simple para facilitar su comprensión, y que eventualmente será llamado en este estudio como RLM, tiene como ecuación general aditiva:\[y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i1}+\cdots+\beta_k x_{ik}+\varepsilon_i, \hspace{3mm}i=1,2,\dots,n\hspace{10mm}(21)\] donde \(E(\epsilon)=0\) y \(V(\epsilon)=\sigma^2\). También, para hacer pruebas de hipótesis y calcular intervalos de confianza y de predicción, se supone que \(\epsilon\) está normalmente distribuida. Complementariamente, con base en el enfoque de los mínimos cuadrados ordinarios, la estimación de sus parámetros se plantea en términos de la minimización de una función de ensayo desde la cual se observan los cuadrados de las desviaciones de la varaible estudiada. La función de ensayo se representa como \(f(b_0,b_1,...,b_k)= \sum_{j}[y_i-(b_0+b_1x_{1j}+b_2x_{2j}+...+b_kx_{kj})]^2\). Esto conduce a un conjunto de ecuaciones normales lineales en \(b_0,b_1,...,b_k\), que al ser resueltas entregan las estimaciones de mínimos cuadrados de \(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1},...,, \hat{\beta_k}\).
Complementariamente, la proporción de variación total explicada por el modelo de regresión múltiple a través del coeficiente de determinación múltiple se ajusta, generalmente, con base en el número de parámetros del modelo.
Además, una prueba de utilidad del modelo de regresión lineal múltiple consiste en una prueba de hipótesis basada en un estadístico que tiene una distribución \(F\) particular cuando \(H_0\) es verdadera, esto de expresa en el par:\[H_0:\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_k=0\hspace{10mm}(22)\] \[H_1: \text {al menos una }\beta_i\neq 0\hspace{5mm}(i=1,...,k)\hspace{10mm}(23)\] el valor del estadístico de prueba es:\[f=\frac{R^2/k}{(1-R^2)(n-(k+1))}=\frac{SCR/k}{SCE/(n-(k+1))}=\frac{RMC}{CME}\hspace{10mm}(24)\] donde \(SCR=STC-SCE\), que es la suma de cuadrados de regresión, y la región de rechazo para una prueba de nivel \(\alpha\) es: \[f\geq F_{\alpha, k,n-(k+1)}\hspace{10mm}(25)\] Por último, un intervalo de confianza al \(100(1-\alpha)\%\) para \(\beta_i\) es: \[\hat\beta_i\pm t_{\alpha/2,n-(k+1)}\cdot s_{\hat\beta_{i}}\hspace{10mm}(26)\] y un intervalo de confianza al mismo nivel de significancia para un valor futuro está dado por: \[\hat y\pm t_{\alpha/2,n-(k+1)}\cdot \sqrt{s^2+s^2_{\hat Y}}\hspace{10mm}(27)\] Para cerrar, es necesario mencionar que eventualmente surgen problemas en los análisis de regresión múltiple que implican considerar técnicas de solución relacionadas con transformaciones de no-linealidad, estandarización y selección de variables, identificación de observaciones influyentes, multicolinealidad, entre otras.
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se formulará un modelo de regresión lineal múltiple para estudiar la relación lineal múltiple supuesta entre las varaibles definidas por los campos: Chance of Admit (variable dependiente) y los demás como variables independientes: Gender, GRE Score, TOEFL Score, SOP, LOR, CGPA, Research y University Rating.
Desarrollo del Análisis
El estudio de regresión lineal múltiple ha sido procesado con R version 4.3.3 (2024-02-29 ucrt) mediado por RStudio 2022.07.2 Build 576 en una plataforma x86_64-w64-mingw32.
Resumen estadístico de las variables de estudio.
La navegación a través de las pestañas muestra el resumen estadístico de todas las variables del conjunto de datos, excepto Serial, porque simplemente es un índice posicional. Sin embargo, para las varaibles de naturaleza cuantitativa::razón el resumen será el tradicional, pero para las variables de naturaleza cualitativa::nominal el resumen estadístico consistirá en conteos, proporciones y diagramas de barras. Se menciona de nuevo que Chance of Admit es la variable dependiente.
Resumen Variables Cuantitativas
summary(Universidad_Dataset$`ar score`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.60 6.50 12.20 21.82 26.30 100.00summary(Universidad_Dataset$`er score`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.00 4.50 11.00 21.49 29.10 100.00summary(Universidad_Dataset$`fsr score`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.10 7.70 17.20 29.18 43.05 100.00summary(Universidad_Dataset$`cpf score`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.00 3.00 12.00 25.07 39.85 100.00summary(Universidad_Dataset$`ifr score`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.00 4.50 13.80 31.56 54.65 100.00summary(Universidad_Dataset$`isr score`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.00 3.20 10.90 26.75 40.05 100.00summary(Universidad_Dataset$`irn score`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.00 1.30 9.00 25.89 45.40 100.00summary(Universidad_Dataset$`ger score`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.00 8.50 12.40 21.03 24.40 100.00summary(Universidad_Dataset$`SUS SCORE`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 1.00 1.60 10.30 26.68 45.80 100.00summary(Universidad_Dataset$`Overall Score`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 0.40 11.75 19.00 25.34 32.55 100.00Resumen Variables Cualitativas
table(Universidad_Dataset$status)##
## 0 1
## 1043 280prop.table(table(Universidad_Dataset$status))##
## 0 1
## 0.7883598 0.2116402barplot(table(Universidad_Dataset$status))
table(Universidad_Dataset$research)##
## HI LO MD VH
## 320 1 86 916prop.table(table(Universidad_Dataset$research))##
## HI LO MD VH
## 0.2418745276 0.0007558579 0.0650037793 0.6923658352barplot(table(Universidad_Dataset$research))
table(Universidad_Dataset$focus)##
## CO FC FO SP
## 416 556 295 56prop.table(table(Universidad_Dataset$focus))##
## CO FC FO SP
## 0.31443689 0.42025699 0.22297808 0.04232804barplot(table(Universidad_Dataset$focus))
Diagramas de Dispersión Variables Cuantitativas
pairs(~`ar score`+`er score`+`fsr score`+`cpf score`+`ifr score`+`isr score`+`irn score`+`ger score`+`SUS SCORE`+`Overall Score`, data = Universidad_Dataset)
Formulación del modelo de RLM entre las variables de estudio.
La navegación a través de las pestañas muestra el resúmen y la tabla ANOVA del modelo de regresión lineal múltiple total y los coeficientes tanto del modelo mencionado como el logrado luego de reducirlo. Con base en la exploración de los datos del resumen estadistico de las variables de estudio y el resúmen y la tabla ANOVA del modelo total se formulan para comparación dos modelos RLM: uno que incluye a todas las varibles del conjunto de datos, excepto Serial, y otro que excluye a Gender, SOP y University Rating. Se menciona de nuevo que Chance of Admit es la variable dependiente.
Al considerar los resultados presentados en la pestaña Coeficientes del Modelo RLM Total se puede establer que el modelo de regresión lineal múltiple total que relaciona a las variables de interés, las cuales se resumirán como: \(OS\) (Overall Score), \(AR\) (ar Score), \(ER\) (er Score), \(FSR\) (fsr score), \(CPF\) (CPF score), \(IFR\) (ifr score), \(ISR\) (isr score), \(IRN\) (irn score), \(GER\) (er score), \(UR_3\) (University Rating::3), \(UR_4\) (University Rating::4) y \(UR_5\) (University Rating::5), tiene la formulación (con coeficientes redondeados a cuatro cifras decimales por motivos de edición):\[\tiny \hat{COA}=-1,2425+0,0017\cdot GRE+0,0031\cdot TOEFL-0,0026\cdot SOP+0,0227\cdot LOR+0,1188\cdot CGPA-0,0009\cdot G_1+0,0244\cdot R_1-0.0146\cdot UR_2-0,0093\cdot UR_3-0,0072\cdot UR_4+0,0105\cdot UR_5\hspace{10mm}(28)\] para este modelo se obvia la interpretación del intercepto por carecer de sentido dado que Chance of Admit resultaría negativa en caso de un que las variables predictoras fuesen nulas a la vez, y ambas situaciones carecen de sentido.
Por otro lado, luego de auscultar el resumen estadístico y la tabla ANOVA del modelo RLM Total (como se muestra en la pestaña homónima), se pudo establecer, con el apoyo de los resúmenes estadísticos de las variables de estudio, que podía excluirse directamente del modelo por baja significancia las variables Gender y University Rating; sin embargo, la variable SOP presentó un parte contradictorio: significancia en el resumen, pero lo contrario en ANOVA, la decisión tomada fue excluirla del modelo. Esto implicó que se calculase un modelo reducido con la formulación (con base en las mismas consideraciones de edición del modelo total):\[\hat{COA}=-1,2985+0,0018\cdot GRE+0,0030\cdot TOEFL+0,0228\cdot LOR+0,1210\cdot CGPA+0,0246\cdot R_1\hspace{10mm}(29)\]
Resumen y ANOVA del Modelo RLM Total
summary(lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$status)+as.factor(Universidad_Dataset$research)+as.factor(Universidad_Dataset$focus)))##
## Call:
## lm(formula = Universidad_Dataset$`Overall Score` ~ Universidad_Dataset$`ger score` +
## Universidad_Dataset$`isr score` + Universidad_Dataset$`irn score` +
## Universidad_Dataset$`ifr score` + Universidad_Dataset$`cpf score` +
## Universidad_Dataset$`ar score` + Universidad_Dataset$`er score` +
## Universidad_Dataset$`fsr score` + as.factor(Universidad_Dataset$status) +
## as.factor(Universidad_Dataset$research) + as.factor(Universidad_Dataset$focus))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.2992 -1.1248 0.1007 1.2083 4.1358
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 1.535893 0.121342 12.658 < 2e-16
## Universidad_Dataset$`ger score` 0.063393 0.003104 20.424 < 2e-16
## Universidad_Dataset$`isr score` 0.050820 0.002043 24.878 < 2e-16
## Universidad_Dataset$`irn score` 0.062854 0.002306 27.257 < 2e-16
## Universidad_Dataset$`ifr score` 0.051960 0.001908 27.231 < 2e-16
## Universidad_Dataset$`cpf score` 0.195296 0.002110 92.539 < 2e-16
## Universidad_Dataset$`ar score` 0.315158 0.004777 65.976 < 2e-16
## Universidad_Dataset$`er score` 0.146590 0.003454 42.445 < 2e-16
## Universidad_Dataset$`fsr score` 0.096537 0.001757 54.955 < 2e-16
## as.factor(Universidad_Dataset$status)1 -0.081273 0.116733 -0.696 0.486412
## as.factor(Universidad_Dataset$research)LO -0.170420 1.598203 -0.107 0.915097
## as.factor(Universidad_Dataset$research)MD -0.561349 0.195258 -2.875 0.004107
## as.factor(Universidad_Dataset$research)VH 0.307668 0.126997 2.423 0.015544
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)FC 0.125827 0.117215 1.073 0.283257
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)FO -0.449024 0.123749 -3.629 0.000296
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)SP -0.245713 0.235132 -1.045 0.296216
##
## (Intercept) ***
## Universidad_Dataset$`ger score` ***
## Universidad_Dataset$`isr score` ***
## Universidad_Dataset$`irn score` ***
## Universidad_Dataset$`ifr score` ***
## Universidad_Dataset$`cpf score` ***
## Universidad_Dataset$`ar score` ***
## Universidad_Dataset$`er score` ***
## Universidad_Dataset$`fsr score` ***
## as.factor(Universidad_Dataset$status)1
## as.factor(Universidad_Dataset$research)LO
## as.factor(Universidad_Dataset$research)MD **
## as.factor(Universidad_Dataset$research)VH *
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)FC
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)FO ***
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)SP
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.594 on 1307 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9934, Adjusted R-squared: 0.9934
## F-statistic: 1.318e+04 on 15 and 1307 DF, p-value: < 2.2e-16anova(lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$status)+as.factor(Universidad_Dataset$research)+as.factor(Universidad_Dataset$focus)))## Analysis of Variance Table
##
## Response: Universidad_Dataset$`Overall Score`
## Df Sum Sq Mean Sq F value
## Universidad_Dataset$`ger score` 1 266181 266181 1.0480e+05
## Universidad_Dataset$`isr score` 1 53975 53975 2.1252e+04
## Universidad_Dataset$`irn score` 1 64508 64508 2.5399e+04
## Universidad_Dataset$`ifr score` 1 4552 4552 1.7922e+03
## Universidad_Dataset$`cpf score` 1 41605 41605 1.6381e+04
## Universidad_Dataset$`ar score` 1 58064 58064 2.2862e+04
## Universidad_Dataset$`er score` 1 4891 4891 1.9258e+03
## Universidad_Dataset$`fsr score` 1 8138 8138 3.2040e+03
## as.factor(Universidad_Dataset$status) 1 6 6 2.2313e+00
## as.factor(Universidad_Dataset$research) 3 33 11 4.3037e+00
## as.factor(Universidad_Dataset$focus) 3 53 18 6.8956e+00
## Residuals 1307 3320 3
## Pr(>F)
## Universidad_Dataset$`ger score` < 2.2e-16 ***
## Universidad_Dataset$`isr score` < 2.2e-16 ***
## Universidad_Dataset$`irn score` < 2.2e-16 ***
## Universidad_Dataset$`ifr score` < 2.2e-16 ***
## Universidad_Dataset$`cpf score` < 2.2e-16 ***
## Universidad_Dataset$`ar score` < 2.2e-16 ***
## Universidad_Dataset$`er score` < 2.2e-16 ***
## Universidad_Dataset$`fsr score` < 2.2e-16 ***
## as.factor(Universidad_Dataset$status) 0.1354824
## as.factor(Universidad_Dataset$research) 0.0049662 **
## as.factor(Universidad_Dataset$focus) 0.0001316 ***
## Residuals
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Coeficientes del Modelo RLM Total
coefficients(lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$status)+as.factor(Universidad_Dataset$research)+as.factor(Universidad_Dataset$focus)))## (Intercept)
## 1.53589325
## Universidad_Dataset$`ger score`
## 0.06339278
## Universidad_Dataset$`isr score`
## 0.05082023
## Universidad_Dataset$`irn score`
## 0.06285381
## Universidad_Dataset$`ifr score`
## 0.05195978
## Universidad_Dataset$`cpf score`
## 0.19529574
## Universidad_Dataset$`ar score`
## 0.31515842
## Universidad_Dataset$`er score`
## 0.14659004
## Universidad_Dataset$`fsr score`
## 0.09653695
## as.factor(Universidad_Dataset$status)1
## -0.08127251
## as.factor(Universidad_Dataset$research)LO
## -0.17041955
## as.factor(Universidad_Dataset$research)MD
## -0.56134852
## as.factor(Universidad_Dataset$research)VH
## 0.30766801
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)FC
## 0.12582741
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)FO
## -0.44902426
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)SP
## -0.24571296Coeficientes del Modelo RLM Reducido
coefficients(lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$research)))## (Intercept)
## 1.470676071
## Universidad_Dataset$`ger score`
## 0.063869935
## Universidad_Dataset$`isr score`
## 0.050050807
## Universidad_Dataset$`irn score`
## 0.065342828
## Universidad_Dataset$`ifr score`
## 0.052088080
## Universidad_Dataset$`cpf score`
## 0.195842421
## Universidad_Dataset$`ar score`
## 0.317974674
## Universidad_Dataset$`er score`
## 0.145023268
## Universidad_Dataset$`fsr score`
## 0.096340069
## as.factor(Universidad_Dataset$research)LO
## -0.007860749
## as.factor(Universidad_Dataset$research)MD
## -0.561414359
## as.factor(Universidad_Dataset$research)VH
## 0.158272963Análisis del modelo RLM.
La navegación a través de las pestañas, primero por Mejor Modelo Iterado según AIC, muestra que la decisión de excluir del modelo total a la variable SOP resultó acertada, el algoritmo iterado que considera componentes ANOVA y de desviación de residuales la excluyó en la cuarta iteración. Además, el mismo algoritmo determinó un modelo basado en las mismas variables del modelo reducido fundamento en la inspección de varaibles de las dos secciones precedentes.
Complementariamente, en la pestaña de Bondades de Ajuste, Significancias y Criterios de Información Comparados se presentan en paralelo los modelos generados. La consideración de todas las variables del conjunto de datos presentó una bondad de ajuste con base en el coeficiente de determinación múltiple que solo se redujo en terminos absolutos \(0,002\) puntos (es decir, se pasó de explicar el \(80,5\) \(\%\) de la variabilidad a el \(80,3\) \(\%\)) en comparación con el modelo reducido y el iterado; además, las significancias global e individuales de estos evidencian que ambos modelos, que son idénticos, aportan información relevante para estimar la variable dependiente Chance of Admit, porque para los valores críticos obtenidos de las pruebas \(F\) (para la significancia global) y \(t\) (para las significancias individuales), los p-valores resultaron siempre menores para cualquier nivel de significancia \(\alpha\) incluido dentro de los tradicionales, por ejemplo, \(\alpha=0,01\).
Por último, los criterios de información AIC y BIC muestran que efectivamente en los modelos idénticos reducido e iterado la relación entre el sesgo y la varianza en sus formulaciones, es decir, entre sus exactitudes y complejidades, resulta mejor que en modelo total: \(AIC_{RLMReducido}=AIC_{RLMIterado}=-1059,225<-1052,314=AIC_{RLMTotal}\) y \(BIC_{RLMReducido}=BIC_{RLMIterado}=-1031,284<-1000,425=BIC_{RLMTotal}\).
Mejor Modelo Iterado según AIC
modelo_Iterado_STEP = step(lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$status)+as.factor(Universidad_Dataset$research)+as.factor(Universidad_Dataset$focus)))## Start: AIC=1249.05
## Universidad_Dataset$`Overall Score` ~ Universidad_Dataset$`ger score` +
## Universidad_Dataset$`isr score` + Universidad_Dataset$`irn score` +
## Universidad_Dataset$`ifr score` + Universidad_Dataset$`cpf score` +
## Universidad_Dataset$`ar score` + Universidad_Dataset$`er score` +
## Universidad_Dataset$`fsr score` + as.factor(Universidad_Dataset$status) +
## as.factor(Universidad_Dataset$research) + as.factor(Universidad_Dataset$focus)
##
## Df Sum of Sq RSS AIC
## - as.factor(Universidad_Dataset$status) 1 1.2 3320.7 1247.5
## <none> 3319.5 1249.0
## - as.factor(Universidad_Dataset$research) 3 49.7 3369.2 1262.7
## - as.factor(Universidad_Dataset$focus) 3 52.5 3372.0 1263.8
## - Universidad_Dataset$`ger score` 1 1059.5 4379.0 1613.5
## - Universidad_Dataset$`isr score` 1 1571.9 4891.4 1759.9
## - Universidad_Dataset$`ifr score` 1 1883.3 5202.8 1841.6
## - Universidad_Dataset$`irn score` 1 1886.9 5206.4 1842.5
## - Universidad_Dataset$`er score` 1 4575.6 7895.1 2393.3
## - Universidad_Dataset$`fsr score` 1 7670.3 10989.8 2830.9
## - Universidad_Dataset$`ar score` 1 11055.2 14374.7 3186.1
## - Universidad_Dataset$`cpf score` 1 21749.5 25069.0 3921.9
##
## Step: AIC=1247.54
## Universidad_Dataset$`Overall Score` ~ Universidad_Dataset$`ger score` +
## Universidad_Dataset$`isr score` + Universidad_Dataset$`irn score` +
## Universidad_Dataset$`ifr score` + Universidad_Dataset$`cpf score` +
## Universidad_Dataset$`ar score` + Universidad_Dataset$`er score` +
## Universidad_Dataset$`fsr score` + as.factor(Universidad_Dataset$research) +
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)
##
## Df Sum of Sq RSS AIC
## <none> 3320.7 1247.5
## - as.factor(Universidad_Dataset$research) 3 53.3 3374.1 1262.6
## - as.factor(Universidad_Dataset$focus) 3 53.9 3374.7 1262.8
## - Universidad_Dataset$`ger score` 1 1065.1 4385.9 1613.6
## - Universidad_Dataset$`isr score` 1 1573.2 4893.9 1758.6
## - Universidad_Dataset$`ifr score` 1 1882.3 5203.0 1839.6
## - Universidad_Dataset$`irn score` 1 1935.0 5255.7 1853.0
## - Universidad_Dataset$`er score` 1 4657.5 7978.2 2405.2
## - Universidad_Dataset$`fsr score` 1 7721.8 11042.5 2835.2
## - Universidad_Dataset$`ar score` 1 11171.7 14492.5 3194.9
## - Universidad_Dataset$`cpf score` 1 21809.6 25130.3 3923.1coefficients(modelo_Iterado_STEP)## (Intercept)
## 1.51616630
## Universidad_Dataset$`ger score`
## 0.06314630
## Universidad_Dataset$`isr score`
## 0.05083650
## Universidad_Dataset$`irn score`
## 0.06307003
## Universidad_Dataset$`ifr score`
## 0.05191416
## Universidad_Dataset$`cpf score`
## 0.19536265
## Universidad_Dataset$`ar score`
## 0.31546512
## Universidad_Dataset$`er score`
## 0.14623024
## Universidad_Dataset$`fsr score`
## 0.09642053
## as.factor(Universidad_Dataset$research)LO
## -0.15120532
## as.factor(Universidad_Dataset$research)MD
## -0.57178688
## as.factor(Universidad_Dataset$research)VH
## 0.31701549
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)FC
## 0.12856709
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)FO
## -0.45269385
## as.factor(Universidad_Dataset$focus)SP
## -0.25201950Bondades de Ajuste, Significancias y Criterios de Información Comparados
library(stargazer)##
## Please cite as:## Hlavac, Marek (2022). stargazer: Well-Formatted Regression and Summary Statistics Tables.## R package version 5.2.3. https://CRAN.R-project.org/package=stargazermodelo_RLM_TOTAL = lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$status)+as.factor(Universidad_Dataset$research)+as.factor(Universidad_Dataset$focus))
modelo_RLM_REDUCIDO = lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$research))
stargazer(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP, type = "text", df = TRUE)##
## =============================================================================================================
## Dependent variable:
## -----------------------------------------------------------------------------------------
## `Overall Score`
## (1) (2) (3)
## -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
## `ger score` 0.063*** 0.064*** 0.063***
## (0.003) (0.003) (0.003)
##
## `isr score` 0.051*** 0.050*** 0.051***
## (0.002) (0.002) (0.002)
##
## `irn score` 0.063*** 0.065*** 0.063***
## (0.002) (0.002) (0.002)
##
## `ifr score` 0.052*** 0.052*** 0.052***
## (0.002) (0.002) (0.002)
##
## `cpf score` 0.195*** 0.196*** 0.195***
## (0.002) (0.002) (0.002)
##
## `ar score` 0.315*** 0.318*** 0.315***
## (0.005) (0.005) (0.005)
##
## `er score` 0.147*** 0.145*** 0.146***
## (0.003) (0.003) (0.003)
##
## `fsr score` 0.097*** 0.096*** 0.096***
## (0.002) (0.002) (0.002)
##
## status)1 -0.081
## (0.117)
##
## research)LO -0.170 -0.008 -0.151
## (1.598) (1.608) (1.598)
##
## research)MD -0.561*** -0.561*** -0.572***
## (0.195) (0.196) (0.195)
##
## research)VH 0.308** 0.158 0.317**
## (0.127) (0.119) (0.126)
##
## focus)FC 0.126 0.129
## (0.117) (0.117)
##
## focus)FO -0.449*** -0.453***
## (0.124) (0.124)
##
## focus)SP -0.246 -0.252
## (0.235) (0.235)
##
## Constant 1.536*** 1.471*** 1.516***
## (0.121) (0.101) (0.118)
##
## -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
## Observations 1,323 1,323 1,323
## R2 0.993 0.993 0.993
## Adjusted R2 0.993 0.993 0.993
## Residual Std. Error 1.594 (df = 1307) 1.604 (df = 1311) 1.593 (df = 1308)
## F Statistic 13,177.080*** (df = 15; 1307) 17,727.250*** (df = 11; 1311) 14,123.820*** (df = 14; 1308)
## =============================================================================================================
## Note: *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01AIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)## df AIC
## modelo_RLM_TOTAL 17 5005.557
## modelo_RLM_REDUCIDO 13 5019.355
## modelo_Iterado_STEP 16 5004.048BIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)## df BIC
## modelo_RLM_TOTAL 17 5093.747
## modelo_RLM_REDUCIDO 13 5086.795
## modelo_Iterado_STEP 16 5087.0504.4. Regresión Logística
Este modelo, que eventualmente será llamado en este estudio como RLogS, establece que, en comparación con un modelo de regresión lineal simple que relacione una variable cuantitativa dependiente \(y\) con una varaible cuantitativa independiente \(x\), relaciona una variable categórica dicotómica (con valores posibles \(1\) (éxito) y \(0\) (fracaso)) dependiente \(y\) con el valor de probabilidad \(p(x)\in [0, 1]\) que depende de alguna variable cuantitativa \(x\).
Como se mencionó en la sección 1 los modelos de regresión usados en este estudio pueden ser vistos como casos particulares del Modelo Lineal Generalizado (GLM por sus siglas en inglés). Este modelo extiende al modelo lineal general al lograr que la variable dependiente está relacionada linealmente con sus factores y covariables a través de alguna función de enlace y que la variable dependiente pueda tener una distribución diferente a la normal. Además de los modelos usados en este estudio, el GLM también cubre: modelos loglineales para datos de recuento, modelos log-log complementario para datos de supervivencia censurados por intervalos, y otros modelos estadísticos a través de la propia formulación general del modelo.
Como GLM permite especificar distribuciones diferentes a la normal y una función de enlace (entendida como una transformación de la variable dependiente que permite la estimación del modelo) diferente a la identidad se puede trabajar con muchas combinaciones posibles de distribuciones y funciones de enlace, varias de las cuales pueden ser adecuadas para un conjunto de datos en particular, esto implica que la elección de la combinación estará orientada por consideraciones teóricas a priori, por la naturaleza de las variables, la experiencia del investigador y los resultados al comparar combinaciones.
En el caso por tratar, se trabajará con base en una distribución binomial (adecuada para variables que representan una respuesta binaria) con función de enlace logit:\[\pi(x)=\dfrac{e^{\beta_0+\beta_1 x}}{1+ e^{\beta_0 +\beta_1 x}}= \dfrac{1}{1+ e^{-(\beta_0+\beta_1 x)}}\hspace{10mm}(30)\](del inglés logarithmic unit: unidad logarítmica (natural)); que además es apropiada únicamente para la distribución binomial), por lo cual un nombre más adecuado para la regresión podría ser regresión logística binaria. Cabe anotar que el término logístico hace referencia a que la función de enlace constituye, en cierto sentido, un refinamiento del modelo exponencial de crecimiento, descrito por la función sigmoidea, de una magnitud asociada con un conjunto \(C\).
Para facilitar las interpretaciones se entiende que la función de enlace \(\pi(x)\) proviene de una razón de probabilidades (conocida en idioma inglés como ODDS ratio (OR)), que a su vez es el argumento de un logaritmo: \(\log\left(\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}\right)\), así, se modela la probabilidad de que la variable de respuesta pertenezca al nivel de referencia \(1\) en función del valor de los predictores. Complementariamente, la transformación de probabilidades a razones de probabilidad es conserva la monotonicidad de sentidos. Además, la transformación convierte el intervalo de probabilidad \([0,1]\) a \((-\infty,\infty)\). Las propiedades que se dan entre las probabilidades complementarias de éxito y fracaso, sus razones y la función de enlace logit son:
| \(p(éxito)=p(fracaso)\) | \(OR=1\) | \(Logit\left(OR\right)=0\) |
| \(p(éxito)<p(fracaso)\) | \(OR<1\) | \(Logit\left(OR\right)<0\) |
| \(p(éxito)>p(fracaso)\) | \(OR>1\) | \(Logit\left(OR\right)>0\) |
Se entiende que la transformación \(Logit\) carece de sentido para la certeza del éxito o del fracaso.
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se formulará un modelo de regresión logística simple para estudiar la relación logística supuesta entre las varaibles definidas por los campos: Chance of Admit (variable independiente) y Research (variable dependiente), con base en una distribución binomial y la función de enlace \(Logit\).
Desarrollo del Análisis
El estudio de regresión lineal simple ha sido procesado con R version 4.3.3 (2024-02-29 ucrt) mediado por RStudio 2022.07.2 Build 576 en una plataforma x86_64-w64-mingw32.
Resumen estadístico de las variables de estudio.
La navegación a través de las pestañas muestra el resumen estadístico de la variable independiente Chance of Admit, su boxplot e histograma. De la variable dependiente Research se mostrará su diagrama de barras, así como su media y mediana. Además, se exhibirá un Diagrama de Cajas conjunto entre aquellas.
Con base en la pestaña Resumen y Boxplot de Chance of Admit se puede comentar que la variable Chance of Admit, como se hizo en la sección 3.1.2.1., presenta asimetría de sesgo negativo con rango intercuartílico estrecho de dispersión imperceptible. Además, un dato se visualiza como outlier. Así, puede decirse que la variable registra valores altos en relación con su intervalo de medición. Lo expuesto también es constatable a través de la pestaña Histograma de Chance of Admit.
Asimismo, según la pestaña Resumen y Diagrama de Barras de Research, la variable cualitativa::nominal Research muestra proporcionalidad mayor para los casos favorables 1, que para los casos desfavorables 0: \(54.75\) \(\%\) y \(45.25\) \(\%\), respectivamente.
Complementariamente, la pestaña Resumen y Diagrama de Cajas Conjunto muestra que las observaciones son consistentes con el contexto del problema; es decir, para los casos favorables de Research los resultados de Chance of Admit son mayores, en comparación con los casos desfavorables. Además, ambos casos: los favorables y los desfavorables, muestran sesgo negativo, aunque es más notorio para los casos favorable. También, en el rango intercuartílico se visualizan dispersiones opuestas entre los casos desfavorables, hacia la mitad inferior de los datos, y los casos favorables, hacia la mitad superior. Asimismo, los atípicos, en ambos casos, se presentan en los extremos inferiores de las distribuciones, es decir, resultaron más extraños los valores bajos.
Resumen y Boxplot de Overral Score
summary(Universidad_Dataset$`Overall Score`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 0.40 11.75 19.00 25.34 32.55 100.00boxplot(Universidad_Dataset$`Overall Score`, main = "Diagrama de Caja de Overall Score", col = c("orange"))
Histograma de Overall Score
summary(Universidad_Dataset$`Overall Score`)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 0.40 11.75 19.00 25.34 32.55 100.00hist(Universidad_Dataset$`Overall Score`, main = "Histograma de Overall Score", col = c("gold"))
Resumen y Diagrama de Barras de research
table(Universidad_Dataset$research)##
## HI LO MD VH
## 320 1 86 916prop.table(table(Universidad_Dataset$research))##
## HI LO MD VH
## 0.2418745276 0.0007558579 0.0650037793 0.6923658352barplot(table(Universidad_Dataset$research))
Resumen y Diagrama de Cajas Conjunto
tapply(Universidad_Dataset$`Overall Score`, Universidad_Dataset$research, mean)## HI LO MD VH
## 13.614688 6.100000 9.804651 30.910044tapply(Universidad_Dataset$`Overall Score`, Universidad_Dataset$research, median)## HI LO MD VH
## 12.55 6.10 9.65 23.65boxplot(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$research, main = "Boxplot Conjunto: Chance of Admit - Research", col = c("orange", "gold"))
Formulación del modelo de RLogS entre las variables de estudio.
La navegación a través de las pestañas muestra los coeficientes del modelo RLogS y su resumen estadístico. Se menciona de nuevo que las variables de interés son: Chance of Admit (variable independiente) y Research (variable dependiente).
La pestaña Coeficientes del Modelo RLogS permite establecer que el modelo RLogS relaciona a \(\pi(x)\) con \(x\) a través de la función de enlace \(Logit\) de la siguiente manera:\[\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}=e^{-7,658709+10,886959\cdot x}\hspace{10mm}(31)\]
Asimismo, la pestaña Resumen Estadístico del Modelo RLogS muestra, para efectos de comparación, los resúmenes del modelo estudiado y de uno alternativo con base en la variable cualitativa::nominal Gender. Con base en el criterio de información de Akaike (AIC por sus siglas en inglés), del cual se sabe que es una medida de la bondad de ajuste de un modelo estadístico que describe la relación entre el sesgo y la varianza en la formulación del modelo, es decir, entre su exactitud y complejidad, se verifica que resulta un mejor modelo de la variable Research que de la variable Gender, porque: \(AIC_R=412.60<534.09=AIC_G\). También, para apoyar que el modelo basado en la variable Research es mejor que aquél basado en Gender, el cociente entre la desviación nula (Null Deviance) y la desviación residual (Residual Deviance), observable en la pestaña Resumen Estadístico del Modelo RLosgS, es mayor en el modelo propuesto que en el de comparación.
Coeficientes del Modelo RLogS
modelo_RLog_Simple = glm(Universidad_Dataset$research~Universidad_Dataset$`Overall Score`, family = "binomial", data = data.frame(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$`Overall Score`))
coef(modelo_RLog_Simple)## (Intercept) Universidad_Dataset$`Overall Score`
## -0.55960759 0.08967601Resumen Estadístico del Modelo RLogS
summary(modelo_RLog_Simple)##
## Call:
## glm(formula = Universidad_Dataset$research ~ Universidad_Dataset$`Overall Score`,
## family = "binomial", data = data.frame(Universidad_Dataset$research,
## Universidad_Dataset$`Overall Score`))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -0.559608 0.141197 -3.963 7.39e-05 ***
## Universidad_Dataset$`Overall Score` 0.089676 0.007985 11.230 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 1463.8 on 1322 degrees of freedom
## Residual deviance: 1228.2 on 1321 degrees of freedom
## AIC: 1232.2
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 6modelo_RLog_Simple_S = glm(Universidad_Dataset$status~Universidad_Dataset$`Overall Score`, family = "binomial", data = data.frame(Universidad_Dataset$status, Universidad_Dataset$`Overall Score`))
summary(modelo_RLog_Simple_S)##
## Call:
## glm(formula = Universidad_Dataset$status ~ Universidad_Dataset$`Overall Score`,
## family = "binomial", data = data.frame(Universidad_Dataset$status,
## Universidad_Dataset$`Overall Score`))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) -0.987172 0.111708 -8.837 < 2e-16 ***
## Universidad_Dataset$`Overall Score` -0.013746 0.003964 -3.468 0.000525 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 1365.7 on 1322 degrees of freedom
## Residual deviance: 1352.3 on 1321 degrees of freedom
## AIC: 1356.3
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 4Análisis del modelo RLogS.
Se mostrarán, a través de pestañas, los resultados de algunas predicciones obtenidas a través del modelo RLogS para identificar en sus respuestas la correspondencia de sentido en las razones de probabilidades ODDS a favor o en contra del evento considerado: \(\frac{\pi}{1-\pi}\) y \(\frac{1-\pi}{\pi}\), respectivamente. Se menciona de nuevo que las variables de interés son: Chance of Admit (variable independiente) y Research (variable dependiente).
La pestaña Variable Predictora igual a Cero plantea dos situaciones interpretativas. La primera, permite comprender que el coeficiente del factor en el cual está presente la varaible predictora, estima una probabilidad de caso favorable cercana a cero en el orden de la diezmilésima. La segunda, acarrea una interpretación más delicada: como la variable Chance of Admit se mide en el intervalo \([0,1]\) con dos cifras significativas y dos decimales de precisión, una unidad de medida razonable en ella sería una centésima, por ejemplo: pasar de \(0.62\) a \(0.63\) implica incrementar en una unidad de medida a \(0.62\). Así, se entiende que el cociente de probabilidades en relación con la variable predictora en el modelo RLogS refleje un incremento acumulado de \(\approx 53474.4\) veces desde \(0\) hasta \(1\), con incrementos de \(0.01\).
Con base en lo anterior, a través de la pestaña Probabilidades Estimadas se puede apreciar entre los registros \(19\) y \(20\) un delta de cambio absoluto igual a \(0.022795\) (equivalente a un incremento relativo \(\approx 7.94\) \(\%\)) al incrementarse la variable predictora en una unidad como se definió en el párrafo anterior.
Por último, el gráfico de curva logística, en la pestaña Gráfica del Modelo RLogS, permite visualmente comprender el comportamiento de las variables involucradas en el modelo propuesto; es decir, los casos favorables en relación con la variable Research logran superar la barrera del \(90\)\(\%\) del valor de Chance of Admit.
Variable Predictora igual a Cero
coef(modelo_RLog_Simple)## (Intercept) Universidad_Dataset$`Overall Score`
## -0.55960759 0.08967601round(exp(coef(modelo_RLog_Simple)),6)## (Intercept) Universidad_Dataset$`Overall Score`
## 0.571433 1.093820Probabilidades Estimadas
predict(modelo_RLog_Simple, data.frame(seq(1, 400)), type = "response")## Warning: 'newdata' had 400 rows but variables found have 1323 rows## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 0.9997770 0.9997604 0.9997539 0.9997403 0.9997356 0.9997283 0.9995934 0.9995709
## 9 10 11 12 13 14 15 16
## 0.9995592 0.9994726 0.9994679 0.9994232 0.9994180 0.9993402 0.9993343 0.9993283
## 17 18 19 20 21 22 23 24
## 0.9992848 0.9992848 0.9992653 0.9992653 0.9992385 0.9992247 0.9992107 0.9992036
## 25 26 27 28 29 30 31 32
## 0.9991367 0.9991052 0.9991052 0.9991052 0.9990890 0.9990473 0.9990387 0.9989005
## 33 34 35 36 37 38 39 40
## 0.9988501 0.9988293 0.9988293 0.9987081 0.9986610 0.9985997 0.9985997 0.9985743
## 41 42 43 44 45 46 47 48
## 0.9984685 0.9984268 0.9984126 0.9983694 0.9982326 0.9981351 0.9981183 0.9981183
## 49 50 51 52 53 54 55 56
## 0.9981183 0.9977894 0.9977696 0.9976465 0.9975825 0.9973799 0.9973563 0.9973086
## 57 58 59 60 61 62 63 64
## 0.9972600 0.9972106 0.9971855 0.9970304 0.9967527 0.9967235 0.9964807 0.9964491
## 65 66 67 68 69 70 71 72
## 0.9963199 0.9963199 0.9962869 0.9960824 0.9960473 0.9959760 0.9959399 0.9956780
## 73 74 75 76 77 78 79 80
## 0.9954807 0.9954807 0.9951027 0.9949699 0.9949699 0.9949248 0.9947404 0.9943514
## 81 82 83 84 85 86 87 88
## 0.9941463 0.9941463 0.9939339 0.9938796 0.9937695 0.9937695 0.9934273 0.9934273
## 89 90 91 92 93 94 95 96
## 0.9933092 0.9931889 0.9930665 0.9930665 0.9929419 0.9929419 0.9926860 0.9926860
## 97 98 99 100 101 102 103 104
## 0.9926206 0.9925547 0.9924881 0.9922848 0.9922848 0.9920053 0.9919339 0.9917891
## 105 106 107 108 109 110 111 112
## 0.9915671 0.9914918 0.9911051 0.9911051 0.9910257 0.9909456 0.9907010 0.9905343
## 113 114 115 116 117 118 119 120
## 0.9904498 0.9899272 0.9897468 0.9896554 0.9894702 0.9893763 0.9889926 0.9888945
## 121 122 123 124 125 126 127 128
## 0.9887956 0.9882878 0.9877573 0.9875385 0.9875385 0.9873159 0.9873159 0.9866241
## 129 130 131 132 133 134 135 136
## 0.9863853 0.9860192 0.9860192 0.9853875 0.9853875 0.9849950 0.9849950 0.9847276
## 137 138 139 140 141 142 143 144
## 0.9845921 0.9845921 0.9844555 0.9843177 0.9838969 0.9838969 0.9837542 0.9837542
## 145 146 147 148 149 150 151 152
## 0.9836103 0.9836103 0.9836103 0.9834651 0.9833187 0.9833187 0.9827200 0.9827200
## 153 154 155 156 157 158 159 160
## 0.9821002 0.9814585 0.9814585 0.9814585 0.9814585 0.9812946 0.9809626 0.9809626
## 161 162 163 164 165 166 167 168
## 0.9809626 0.9807944 0.9806247 0.9801069 0.9801069 0.9801069 0.9795756 0.9790303
## 169 170 171 172 173 174 175 176
## 0.9786589 0.9786589 0.9784708 0.9784708 0.9782811 0.9782811 0.9782811 0.9778967
## 177 178 179 180 181 182 183 184
## 0.9778967 0.9778967 0.9771080 0.9769065 0.9769065 0.9767033 0.9764984 0.9760833
## 185 186 187 188 189 190 191 192
## 0.9760833 0.9760833 0.9754471 0.9745732 0.9743501 0.9743501 0.9743501 0.9741250
## 193 194 195 196 197 198 199 200
## 0.9741250 0.9738980 0.9734382 0.9729705 0.9727336 0.9724948 0.9722539 0.9722539
## 201 202 203 204 205 206 207 208
## 0.9722539 0.9720109 0.9705094 0.9705094 0.9702516 0.9699917 0.9697295 0.9689298
## 209 210 211 212 213 214 215 216
## 0.9686587 0.9683853 0.9681096 0.9678316 0.9675512 0.9672685 0.9669833 0.9658187
## 217 218 219 220 221 222 223 224
## 0.9652217 0.9646146 0.9643072 0.9633696 0.9633696 0.9627314 0.9627314 0.9624083
## 225 226 227 228 229 230 231 232
## 0.9614228 0.9607520 0.9607520 0.9604125 0.9600701 0.9597249 0.9597249 0.9590259
## 233 234 235 236 237 238 239 240
## 0.9586721 0.9586721 0.9583153 0.9579556 0.9572273 0.9572273 0.9561122 0.9561122
## 241 242 243 244 245 246 247 248
## 0.9557343 0.9549693 0.9541917 0.9534014 0.9530014 0.9525981 0.9525981 0.9521915
## 249 250 251 252 253 254 255 256
## 0.9521915 0.9517816 0.9509518 0.9505318 0.9496816 0.9492514 0.9488176 0.9483804
## 257 258 259 260 261 262 263 264
## 0.9483804 0.9483804 0.9479396 0.9474953 0.9470474 0.9456819 0.9452194 0.9447532
## 265 266 267 268 269 270 271 272
## 0.9447532 0.9438096 0.9438096 0.9428508 0.9428508 0.9428508 0.9423657 0.9418767
## 273 274 275 276 277 278 279 280
## 0.9418767 0.9413838 0.9408870 0.9403863 0.9403863 0.9398815 0.9398815 0.9393728
## 281 282 283 284 285 286 287 288
## 0.9383433 0.9383433 0.9378225 0.9362351 0.9356977 0.9356977 0.9356977 0.9356977
## 289 290 291 292 293 294 295 296
## 0.9351560 0.9346101 0.9340599 0.9335054 0.9335054 0.9329466 0.9318158 0.9318158
## 297 298 299 300 301 302 303 304
## 0.9312439 0.9289113 0.9283169 0.9277178 0.9271142 0.9265059 0.9265059 0.9252752
## 305 306 307 308 309 310 311 312
## 0.9252752 0.9233937 0.9233937 0.9227570 0.9227570 0.9227570 0.9221153 0.9214689
## 313 314 315 316 317 318 319 320
## 0.9201612 0.9201612 0.9194999 0.9194999 0.9194999 0.9188336 0.9181623 0.9181623
## 321 322 323 324 325 326 327 328
## 0.9181623 0.9168045 0.9154262 0.9154262 0.9154262 0.9147293 0.9147293 0.9140273
## 329 330 331 332 333 334 335 336
## 0.9140273 0.9140273 0.9140273 0.9133200 0.9133200 0.9126074 0.9118895 0.9111663
## 337 338 339 340 341 342 343 344
## 0.9111663 0.9111663 0.9111663 0.9104378 0.9104378 0.9097039 0.9089645 0.9067138
## 345 346 347 348 349 350 351 352
## 0.9059525 0.9059525 0.9051856 0.9051856 0.9044132 0.9044132 0.9036351 0.9036351
## 353 354 355 356 357 358 359 360
## 0.9028514 0.9020620 0.9012669 0.9012669 0.9012669 0.9004660 0.9004660 0.8996594
## 361 362 363 364 365 366 367 368
## 0.8996594 0.8988470 0.8988470 0.8963746 0.8963746 0.8963746 0.8955386 0.8946967
## 369 370 371 372 373 374 375 376
## 0.8938488 0.8929950 0.8929950 0.8929950 0.8912690 0.8895187 0.8895187 0.8895187
## 377 378 379 380 381 382 383 384
## 0.8895187 0.8886344 0.8868470 0.8850347 0.8850347 0.8813342 0.8813342 0.8794456
## 385 386 387 388 389 390 391 392
## 0.8784916 0.8784916 0.8784916 0.8784916 0.8784916 0.8775312 0.8775312 0.8775312
## 393 394 395 396 397 398 399 400
## 0.8775312 0.8765641 0.8765641 0.8765641 0.8755906 0.8746104 0.8746104 0.8746104
## 401 402 403 404 405 406 407 408
## 0.8736237 0.8716302 0.8716302 0.8716302 0.8696100 0.8696100 0.8685898 0.8675629
## 409 410 411 412 413 414 415 416
## 0.8675629 0.8675629 0.8665291 0.8665291 0.8654885 0.8654885 0.8654885 0.8644411
## 417 418 419 420 421 422 423 424
## 0.8633868 0.8633868 0.8623256 0.8623256 0.8623256 0.8623256 0.8623256 0.8612575
## 425 426 427 428 429 430 431 432
## 0.8591005 0.8580115 0.8569155 0.8569155 0.8569155 0.8569155 0.8569155 0.8547023
## 433 434 435 436 437 438 439 440
## 0.8547023 0.8547023 0.8547023 0.8547023 0.8535851 0.8535851 0.8535851 0.8535851
## 441 442 443 444 445 446 447 448
## 0.8524608 0.8524608 0.8513294 0.8513294 0.8513294 0.8513294 0.8490450 0.8490450
## 449 450 451 452 453 454 455 456
## 0.8455645 0.8455645 0.8455645 0.8455645 0.8455645 0.8443898 0.8432079 0.8420186
## 457 458 459 460 461 462 463 464
## 0.8420186 0.8408221 0.8396182 0.8396182 0.8396182 0.8396182 0.8384069 0.8384069
## 465 466 467 468 469 470 471 472
## 0.8384069 0.8371883 0.8359623 0.8359623 0.8359623 0.8347288 0.8347288 0.8334880
## 473 474 475 476 477 478 479 480
## 0.8309839 0.8297207 0.8297207 0.8297207 0.8297207 0.8309839 0.8284500 0.8271717
## 481 482 483 484 485 486 487 488
## 0.8271717 0.8258860 0.8258860 0.8245927 0.8245927 0.8245927 0.8232918 0.8232918
## 489 490 491 492 493 494 495 496
## 0.8232918 0.8232918 0.8206674 0.8206674 0.8206674 0.8206674 0.8193438 0.8193438
## 497 498 499 500 501 502 503 504
## 0.8193438 0.8180126 0.8180126 0.8180126 0.8180126 0.8166738 0.8166738 0.8153274
## 505 506 507 508 509 510 511 512
## 0.8153274 0.8153274 0.8139734 0.8139734 0.8139734 0.8139734 0.8139734 0.8139734
## 513 514 515 516 517 518 519 520
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## 1049 1050 1051 1052 1053 1054 1055 1056
## 0.5856764 0.5856764 0.5856764 0.5856764 0.5856764 0.5856764 0.5834987 0.5834987
## 1057 1058 1059 1060 1061 1062 1063 1064
## 0.5834987 0.5834987 0.5834987 0.5834987 0.5834987 0.5834987 0.5834987 0.5834987
## 1065 1066 1067 1068 1069 1070 1071 1072
## 0.5834987 0.5813177 0.5813177 0.5813177 0.5813177 0.5813177 0.5813177 0.5813177
## 1073 1074 1075 1076 1077 1078 1079 1080
## 0.5813177 0.5813177 0.5813177 0.5813177 0.5791335 0.5791335 0.5791335 0.5791335
## 1081 1082 1083 1084 1085 1086 1087 1088
## 0.5791335 0.5791335 0.5791335 0.5791335 0.5791335 0.5791335 0.5791335 0.5791335
## 1089 1090 1091 1092 1093 1094 1095 1096
## 0.5769462 0.5769462 0.5769462 0.5769462 0.5769462 0.5769462 0.5769462 0.5769462
## 1097 1098 1099 1100 1101 1102 1103 1104
## 0.5769462 0.5747559 0.5725627 0.5725627 0.5725627 0.5725627 0.5725627 0.5725627
## 1105 1106 1107 1108 1109 1110 1111 1112
## 0.5725627 0.5725627 0.5725627 0.5725627 0.5725627 0.5725627 0.5725627 0.5725627
## 1113 1114 1115 1116 1117 1118 1119 1120
## 0.5725627 0.5725627 0.5725627 0.5725627 0.5725627 0.5703666 0.5703666 0.5703666
## 1121 1122 1123 1124 1125 1126 1127 1128
## 0.5703666 0.5703666 0.5703666 0.5703666 0.5703666 0.5703666 0.5703666 0.5703666
## 1129 1130 1131 1132 1133 1134 1135 1136
## 0.5703666 0.5703666 0.5703666 0.5703666 0.5703666 0.5703666 0.5703666 0.5703666
## 1137 1138 1139 1140 1141 1142 1143 1144
## 0.5681677 0.5681677 0.5681677 0.5681677 0.5681677 0.5681677 0.5681677 0.5681677
## 1145 1146 1147 1148 1149 1150 1151 1152
## 0.5681677 0.5681677 0.5659661 0.5659661 0.5659661 0.5659661 0.5659661 0.5637620
## 1153 1154 1155 1156 1157 1158 1159 1160
## 0.5637620 0.5637620 0.5615553 0.5593462 0.5593462 0.5593462 0.5593462 0.5571347
## 1161 1162 1163 1164 1165 1166 1167 1168
## 0.5571347 0.5571347 0.5571347 0.5549209 0.5549209 0.5549209 0.5549209 0.5527050
## 1169 1170 1171 1172 1173 1174 1175 1176
## 0.5527050 0.5527050 0.5527050 0.5504870 0.5504870 0.5504870 0.5482669 0.5482669
## 1177 1178 1179 1180 1181 1182 1183 1184
## 0.5482669 0.5460450 0.5460450 0.5460450 0.5460450 0.5460450 0.5438212 0.5438212
## 1185 1186 1187 1188 1189 1190 1191 1192
## 0.5438212 0.5438212 0.5438212 0.5415957 0.5415957 0.5393685 0.5393685 0.5393685
## 1193 1194 1195 1196 1197 1198 1199 1200
## 0.5371397 0.5371397 0.5349094 0.5349094 0.5349094 0.5349094 0.5349094 0.5326778
## 1201 1202 1203 1204 1205 1206 1207 1208
## 0.5326778 0.5326778 0.5304448 0.5304448 0.5304448 0.5282106 0.5282106 0.5259753
## 1209 1210 1211 1212 1213 1214 1215 1216
## 0.5259753 0.5237390 0.5215016 0.5215016 0.5192635 0.5170245 0.5147849 0.5147849
## 1217 1218 1219 1220 1221 1222 1223 1224
## 0.5125447 0.5103040 0.5080628 0.5080628 0.5058214 0.5035797 0.5035797 0.5013378
## 1225 1226 1227 1228 1229 1230 1231 1232
## 0.5013378 0.4990959 0.4990959 0.4990959 0.4968541 0.4968541 0.4946123 0.4923708
## 1233 1234 1235 1236 1237 1238 1239 1240
## 0.4923708 0.4923708 0.4901296 0.4901296 0.4878888 0.4878888 0.4856485 0.4834087
## 1241 1242 1243 1244 1245 1246 1247 1248
## 0.4834087 0.4834087 0.4811696 0.4811696 0.4789313 0.4766938 0.4766938 0.4744573
## 1249 1250 1251 1252 1253 1254 1255 1256
## 0.4744573 0.4722217 0.4722217 0.4699873 0.4699873 0.4699873 0.4677541 0.4655222
## 1257 1258 1259 1260 1261 1262 1263 1264
## 0.4655222 0.4610626 0.4588351 0.4566092 0.4543851 0.4521628 0.4499424 0.4477239
## 1265 1266 1267 1268 1269 1270 1271 1272
## 0.4455076 0.4432934 0.4410815 0.4388719 0.4388719 0.4388719 0.4366648 0.4344601
## 1273 1274 1275 1276 1277 1278 1279 1280
## 0.4344601 0.4322580 0.4300586 0.4300586 0.4278620 0.4256682 0.4234773 0.4212894
## 1281 1282 1283 1284 1285 1286 1287 1288
## 0.4191046 0.4169230 0.4169230 0.4169230 0.4147447 0.4125696 0.4125696 0.4125696
## 1289 1290 1291 1292 1293 1294 1295 1296
## 0.4103980 0.4103980 0.4082298 0.4082298 0.4060653 0.4060653 0.4039043 0.4039043
## 1297 1298 1299 1300 1301 1302 1303 1304
## 0.4039043 0.4017471 0.3995937 0.3974441 0.3974441 0.3952985 0.3952985 0.3952985
## 1305 1306 1307 1308 1309 1310 1311 1312
## 0.3952985 0.3931570 0.3931570 0.3910195 0.3888862 0.3888862 0.3867572 0.3867572
## 1313 1314 1315 1316 1317 1318 1319 1320
## 0.3846324 0.3825121 0.3825121 0.3803962 0.3782849 0.3782849 0.3761782 0.3740761
## 1321 1322 1323
## 0.3740761 0.3719788 0.3719788Gráfica del Modelo RLogS
research <- Universidad_Dataset$research
overall_score <- Universidad_Dataset$`Overall Score`
dataPlot <- data.frame(overall_score, research)
plot(research~overall_score, data = dataPlot, main = "Modelo RLogS: Overall Score - Research", xlab = "Overall Score", ylab = "Research = 0 | Research = 1", col = "gold", pch = "I")
curve(predict(glm(research~overall_score, family = "binomial", data = dataPlot), data.frame(overall_score = x), type = "response"), col = "orange", lwd = 3, add = TRUE)
---
title: "Estudio Descriptivo Multivariable con base en un conjunto de datos del ranking mundial de Universidades registrado en el año 2023."
author: "Por:G3::maria.camila.araujo::samuel.munera::samuel.martinez::@correounivalle.edu.co"
date: "2024-03-20"
output:
  html_document:
    toc: TRUE
    toc_float: TRUE
    code_download: TRUE
    theme: united
---
<!-- Configuración Global de R -->
```{r setup, include=FALSE}
```


```{r setup, include=FALSE}
library(readr)
library(readxl)
library(corrplot)
library(knitr)
library(ggplot2)
library(GGally)
library(andrews)
library(tidyverse)
library(ggimage)
library(nortest)
library(tcltk)
library(graphics)
library(cluster)
library(magrittr)
library(aplpack)
library(MVN)
library(reshape2)
library(FactoMineR)
library(factoextra)
library(psych)
library(FactoClass)
library(dendextend)
library(NbClust)
library(stats)
library(vcd)


knitr::opts_chunk$set(echo=TRUE)

Universidad_Dataset <- read_excel("C:/Users/l/OneDrive - correounivalle.edu.co/Gestion de Datos S4/Data set QS WORLD UNIVERSITY RANKINGS 2024.xlsx")
View(Universidad_Dataset)

Universidad_Dataset_C <- read_excel("C:/Users/l/OneDrive - correounivalle.edu.co/Gestion de Datos S4/Data set QS WORLD UNIVERSITY RANKINGS 2024_C.xlsx")
View(Universidad_Dataset_C)
```

# Fase 1 [Descripciones multivariantes]


## 1. Objetivos
Hacer un analisis detenido desde el punto de vista que nos brinda la estadistica descriptiva multivariante (calculos, visualizaciones e interpretaciones) a un conjunto de datos del ranking mundial de universidades registradas en el año 2023.


## 1.2. Descripcion del conjunto de datos


### Fuente del conjunto de datos
El conjunto de datos de trabajo se obtuvo casi totalmente de **Kaggle**:  https://www.kaggle.com/datasets/tahirrfarooqq/2023-qs-world-university-ranking. Es conveniente anotar que **Kaggle** es una compañía subsidiaria de Google LLC que mantiene una comunidad online de científicos de datos y profesionales del aprendizaje automático. Esta empresa permite a sus usuarios encontrar y publicar conjuntos de datos, explorar y crear modelos en un entorno de ciencia de datos basado en la web, trabajar con otros científicos de datos e ingenieros de aprendizaje automático y participar en concursos para resolver desafíos de ciencia de datos.


### Contexto del conjunto de datos
El conjunto de datos 2023 QS World University Rankings contiene información sobre las mejores universidades de todo el mundo. El conjunto de datos incluye metrícas, como el nombre de la institución, la ubicación y varias subpuntuaciones en diferentes campos, así como las clasificaciones de las universidades.


### Descripcion del conjunto de datos {.tabset .tabset-pills}
El conjunto de datos contiene las siguientes medidas:

1. *2024 RANK (Posición en el Ranking 2024)*:
    - Representa la posición de la universidad en el ranking mundial para el año 2024.
    - Escala de medición: *nominal*: Las posiciones en el ranking son números enteros que representan la posición relativa de las universidades.

2. *2023 RANK (Posición en el Ranking 2023)*:
    - La posición de la universidad en el ranking mundial para el año 2023.
    - Escala de medición: *Nominal*. Las posiciones en el ranking son números enteros que representan la posición relativa de las universidades.

3. *Size (Tamaño)*:
    - El tamaño de la universidad, posiblemente en términos de número de estudiantes, personal académico, etc.
    - Escala de medición: *Nominal*. Tamaño relativo, pero puede representarse con etiquetas como "pequeño", "mediano" o "grande".

4. *Focus (Enfoque)*:
    - El enfoque principal de la universidad, por ejemplo, en ciencia, ingeniería, artes, etc.
    - Escala de medición: *Nominal*. Los enfoques son etiquetas únicas sin un orden intrínseco.

5. *Research (Investigación)*:
    - La cantidad y calidad de la investigación realizada por la universidad.
    - Escala de medición: *Nominal*. Los niveles de investigación pueden ser etiquetas como "baja", "media" o "alta".

6. *Age Band (Grupo de Edad)*:
    - El rango de edad de la universidad.
    - Escala de medición: *Nominal*. Los grupos de edad pueden ser etiquetas como "joven", "intermedio" o "antiguo".

7. *Status (Estado)*:
    - El estado o categoría de la universidad, por ejemplo, pública o privada.
    - Escala de medición: *Nominal*. Los estados son etiquetas únicas sin un orden intrínseco.

8. *Rank (Rango)*:
    - Representa la posición de cada universidad en la clasificación mundial.
    - Escala de Medición: *Ordinal*. Las universidades se clasifican en función de su posición relativa, pero no se pueden realizar operaciones matemáticas significativas entre los valores de ranking.

9. *Institución*:
    - El nombre de la universidad correspondiente a cada entrada en el conjunto de datos.
    - Escala de Medición: *Nominal*. No hay un orden específico entre las universidades; simplemente se identifican por su nombre.

10. *Código de Ubicación*:
    - Representa un código único para la ubicación de cada universidad.
    - Escala de Medición: *Nominal*. Los códigos son identificadores únicos sin un orden específico.

11. *Ubicación*:
    - Indica la ubicación geográfica de la universidad (por ejemplo, país o ciudad).
    - Escala de Medición: *Nominal*. No hay un orden específico entre las ubicaciones; simplemente se identifican por su nombre.

12. *Puntuación de Reputación Académica (AR)*:
    - Representa la reputación académica de cada universidad.
    - Escala de Medición: *De Razón*. Las diferencias entre los valores son significativas y se pueden realizar operaciones matemáticas entre ellos.

13. *Rango de Reputación Académica (AR)*:
    - Indica la posición de la universidad en términos de su reputación académica.
    - Escala de Medición: *Ordinal*. Las universidades se clasifican en función de su posición relativa en la reputación académica.

14. *Puntuación de Reputación del Empleador (ER)*:
    - Representa la reputación de la universidad entre los empleadores.
    - Escala de Medición: *De Razón*. Las diferencias entre los valores son significativas y se pueden realizar operaciones matemáticas entre ellos.

15. *Rango de Reputación del Empleador (ER)*:
    - Indica la posición de la universidad en términos de su reputación entre los empleadores.
    - Escala de Medición: *Ordinal*. Las universidades se clasifican en función de su posición relativa en la reputación del empleador.

16. *Puntuación de Relación entre Profesores y Estudiantes (FSR)*:
    - Representa la relación entre profesores y estudiantes en cada universidad.
    - Escala de Medición: *De Razón*. Las diferencias entre los valores son significativas y se pueden realizar operaciones matemáticas entre ellos.

17. *Rango de Relación entre Profesores y Estudiantes (FSR)*:
    - Indica la posición de la universidad en términos de su relación entre profesores y estudiantes.
    - Escala de Medición: *Ordinal*. Las universidades se clasifican en función de su posición relativa en la relación entre profesores y estudiantes.

18. *Puntuación de Citas por Profesor (CPF)*:
    - Representa la cantidad de citas por profesor en cada universidad.
    - Escala de Medición: *De Razón*. Las diferencias entre los valores son significativas y se pueden realizar operaciones matemáticas entre ellos.

19. *Rango de Citas por Profesor (CPF)*:
    - Indica la posición de la universidad en términos de la cantidad de citas por profesor.
    - Escala de Medición: *Ordinal*. Las universidades se clasifican en función de su posición relativa en las citas por profesor.

20. *Puntuación de Internacionalización (IFR)*:
    - Representa el nivel de internacionalización de cada universidad.
    - Escala de Medición: *De Razón*. Las diferencias entre los valores son significativas y se pueden realizar operaciones matemáticas entre ellos.

21. *Rango de Internacionalización (IFR)*:
    - Indica la posición de la universidad en términos de su nivel de internacionalización.
    - Escala de Medición: *Ordinal*. Las universidades se clasifican en función de su posición relativa.

22. *Puntuación de Internacionalización de los Estudiantes (ISR)*:
    - Indica el indice internacionalizacion de los estudias 
    - Tipo de medida: Continua.

23. *Rango de Internacionalización de los Estudiantes (ISR)*:
    - Indica el rango en el indicador de internacionalización de los estudiantes.
    - Tipo de medida: Discreta.
    
24. *Puntuación de Relaciones Internacionales (IRN)*:
    - Representa la puntuación en el indicador de relaciones internacionales.
    - Tipo de medida: Continua.
    
25. *Rango de Relaciones Internacionales (IRN)*:
    - Descripción: Mide el rango en el indicador de relaciones internacionales.
    - Tipo de medida: Discreta.
    
26. *Puntuación de Proporción de Estudiantes Graduados (GER)*:
    - Descripción: Evalúa la proporción de estudiantes graduados en la universidad.
    - Tipo de medida: Continua.
    
27. *Rango de Proporción de Estudiantes Graduados (GER)*:
    - Descripción: Indica el rango en el indicador de proporción de estudiantes graduados.
    - Tipo de medida: Discreta.

#### Estructura del conjunto de datos inicial
```{r Estructura_Conjunto_de_Datos, fig.align = 'center'}
str(Universidad_Dataset)
```

#### Visualizacion del conjunto de Datos
```{r Visualizacion_Conjunto_Datos}
Universidad_Dataset
```

## 1.3. Estimaciones Multivariantes

Como se menciona en (Aristizábal R., 2017) la de media, varianza y covarianza conforman un conjunto de medidas fundamentales para describir el comportamiento posicional, dispersivo y correlacional de variables aleatorias. En este sentido, el conjunto de datos de trabajo que posee , y que está representado matricialmente, estima las medidas anteriores a partir de vectores y matrices en el estudio descriptivo multivariable.

El vector de medias indica el comportamiento posicional en el sentido de valor esperado o punto medio para cada variable en relación con todos sus registros. La matriz de varianzas-covarianzas estima las dispersiones, en su diagonal principal, de cada variable del conjunto de datos respecto de cada media obtenida del vector de medias. Además, por encima o por debajo de la diagonal principal, se estiman las covarianzas entre las combinaciones de los posibles pares de variables del conjunto de datos. Para más detalles se puede consultar a (Aristizábal R., 2017).

Lo anterior, para el conjunto de datos de trabajo, se desarrolla en la sección 3.2.

### planteamiento del problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se calcularán e intepretarán, para las variables numéricas, el vector de medias, la matriz de varianzas-covarianzas y la matriz de correlaciones. Se recuerda que las variables numéricas (en escalada de medición de razón) son: La puntuacion de AR, ER, FSR, CPF, IFR, ISR, IRN y GER.

### desarrollo del analisis {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas muestra el cálculo de los siguientes objetos: **Vector de Medias x, Matriz de Varianzas-Covarianzas S y Matriz de Correlaciones R.**

#### vector de medias y boxplots
```{r}
apply(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)], 2, mean)
```

```{r}
Universidad_Dataset_Reducido = Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14,16,18,20,22,24,26,28,29)]
par(mfrow = c(1, ncol(Universidad_Dataset_Reducido)))
invisible(lapply(1:ncol(Universidad_Dataset_Reducido), function(i) boxplot(Universidad_Dataset_Reducido[, i])))
```




#### matriz de varianzas-covarianzas

```{r}
round(cov(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)]),2)
```


#### matriz de correlaciones

```{r}
round(cor(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)]),2)
```


## 1.4.Gráficas multivariadas
En la guía de clase de ( Aristizábal R., 2017 ) se menciona que, en general, los gráficos multivariados cumplen dos objetivos esenciales: primero, ayudan a comparar el comportamiento de poblaciones de estudio con base en variables categóricas y suavizan la comprensión de la Estructura de evaluación entre varias variables. En este sentido, el conjunto de datos de trabajo tendrá apoyo descriptivo gráfico a través de tres diagramas: uno conjunto que integra dispersión, distribución y correlaciones; otro basado en la renderización de polígonos, y por último, uno que recurre a las caras de Chernoff.

### Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se calcularán e interpretarán, para las variables numéricas, las gráficas multivariadas de diagrama de correlaciones, matriz de diagrama de dispersión, diagrama de estrellas y caras de Chernoff. Se recuerda que las variables numéricas (en escalada de medición de razón) son: La puntuacion de AR, ER, FSR, CPF, IFR, ISR, IRN y GER.

### Desarrollo del Análisis{.tabset .tabset-pills}

La navegación a través de las pestañas muestra las gráficas multivariadas de: Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones (sin agrupación SA y con agrupación CA (con base en las tres variables categóricas:  AR, ER, FSR, CPF, IFR, ISR, IRN,GER, Overall Score), Diagrama de Estrellas y Caras de Chernoff.
Con base en la pestaña Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones  se puede describir que las correlaciones más altas , mayores que 0.9 , se dan entre variables esperadas como: AR, ER, FSR, CPF, IFR,ISR,IRN,GER y Overall Score . Estas variables, según las definiciones dadas en la sección 2 de descripción de datos, son nucleares en el fenómeno estudiado, porque están involucradas con el historial de rendimiento y desempeño de la universidad, su puntaje, puntuación de reputación(académica,empleador y estudiantes), rango de reputación(académica,empleador y estudiantes), puntualización de internalicionalizacion, puntuación total .

Con base en la pestaña Diagrama de Estrellas se interpreta que hay una variedad notoria de términos de desempeños asociados con las variables numéricas estudiadas, incluso con la que mide el status. Pero, también es notoria la presencia de grupos de universidades con desempeños aproximadamente homogéneos en todas las variables estudiadas, aunque sus escalas de desempeño varían.
Complementariamente a los diagramas de estrellas, la pestaña Caras de Chernoff muestra que la variedad de los datos es sensible de establecer. Podemos apreciar en las Caras de Chernoff número 9, 10, 12,14,17,18,19, pueden conformar un par de grupos de universidades que muestran desempeños significativos en las variables medidas, teniendo en cuenta que estas se parecen pero tienen un porcentaje de variabilidad en su color, cabello, ojos, boca y nariz,  tenemos también otros grupos más pequeños conformados por 5,8 ,4 otro grupo conformado por 18 y 22 aunque con cambios de escala; es decir, los del segundo y tercer grupo se desempeñan de una manera diferente que los del primero considerando todas las variables estudiadas. Esto compagina con lo mostrado en el Diagrama de Estrellas.
Por último, es relevante mencionar que las evidencias descriptivas expuestas en este apartado estén en contra de considerar que el conjunto de datos limitado a las variables numéricas tenga una distribución normal multivariada. Esto se estudia en la sección 5.

#### diagrama de conjunto de dispersión, correlación

```{r message=FALSE, warning=FALSE}
library(tidyverse)
```

```{r message=FALSE, warning=FALSE}
ggpairs(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)])
```

#### diagrama de conjunto de dispersión, correlación

```{r message=FALSE, warning=FALSE}
library(tidyverse)

```

```{r message=FALSE, warning=FALSE}
Universidad_Dataset$status <- factor(Universidad_Dataset$status)
ggpairs(Universidad_Dataset, 
        columns = c(11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29), 
        aes(color = status), 
        alpha = 0.5, 
        upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))


```

#### Diagrama de estrellas

```{r}
set.seed(780728)
Universidad_Dataset_Reducido = Universidad_Dataset[sample(1:nrow(Universidad_Dataset),23),-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)]
stars(Universidad_Dataset_Reducido, len = 1, cex = 0.4, key.loc = c(10, 2), draw.segments = TRUE)
```

#### Caras de chernoff

```{r caras_de_Chernoff, fig.align = 'center'}
set.seed(780728)
Universidad_Dataset_Reducido = Universidad_Dataset [sample(1:nrow(Universidad_Dataset),23),-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)]
faces(Universidad_Dataset_Reducido)
```

## 1.5.Normalidad multivariada
Como menciona (Porras C., 2016) para indagar o establecer el tipo de distribución multivariada de un conjunto de datos se puede recurrir a procedimientos descriptivos, como los gráficos, o a procedimientos inferenciales, como las pruebas estadísticas. En este sentido, se alcanza generalización de resultados al usar las estos últimos, si bien los primeros apoyan a las interpretaciones.

En este apartado se contempla el uso de procedimientos inferenciales para determinar si el conjunto de datos de trabajo, en relación con sus variables numéricas, se distribuye normal multivariado (DNM). Las pruebas de normalidad multivariada (PNM) a las que será sometido son: Mardia, Henze-Zirkler, Doornik-Hansen y Royston. Para estas pruebas de normalidad los test obedecen a un nivel de significancia **α=0.05**
 y a las hipótesis:   
 
 **_H0_:Las variables tienen una DNM**

**_H1_:Las variables NO tienen una DNM**
 
 La prueba de Mardia se basa en extensiones de asimetría y curtosis, el cuadrado de la distancia de Mahalanobis, la cantidad de variables **p**
 por tratar y la cantidad de registros **n**. Además, considera que la prueba estadística para la asimetría tiene una distribución **χ2**
 y la prueba estadística para la curtosis se distirbuye aproximadamente normal. Los detalles sobre los parámetros de las distribuciones pueden consultarse en el trabajo de (Porras C., 2016).

La prueba de Henze-Zirkler se basa en la distancia funcional, dado que si el conjunto de datos presenta una distribución normal multivariada, el estadístico de la prueba se distribuye aproximadamente como una lognormal, cuyos parámetros de media **μ**
 y varianza **σ2**
 pueden ser consultados en (Porras C., 2016).

La prueba de Doornik-Hansen está basada en la asimetría y la curtosis de un conjunto de datos multivariados, que se transforma para garantizar la independencia. Es considerada más potente que la prueba de Shapiro-Wilk para casos multivariados. Su estadístico de prueba está definido como la suma de las transformaciones al cuadrado de la asimetría y la curtosis, y sigue, aproximadamente, una distribución **χ2**
. Los detalles de la prueba pueden ser consultados en (Doornik & Hansen, 2008).

La prueba de Royston recurre a las pruebas Shapiro-Wilk o Shapiro-Francia para probar la normalidad multivariada. Así, si la curtosis es mayor que 3, la prueba de Royston usa Shapiro-Francia para distribuciones leptocurticas. Mientras que para distribuciones platicurticas usa Shapiro-Wilk. En ella los parámetros son obtenidos por aproximaciones polinomiales, esto puede ser consultado en (Porras C., 2016)

### Planteamiento del problema

Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se hará una prueba estadística de normalidad multivariada, con un nivel de significancia α=0.05, para establecer si sus datos métricos provienen de una población normal multivariada. Se recuerda que las variables numéricas del conjunto de datos (en escalada de medición de razón) son: **AR, ER, FSR, CPF, IFR, ISR, IRN y GER.**

### Desarrollo del análisis {.tabset .tabset-pills}

La navegación a través de las pestañas muestra que el conjunto de datos, en relación con sus variables numéricas, no se distribuye normal multivariado. En particular:

La **PNM de Mardia** establece que si ambas pruebas (para asimetría y curtosis) indican una normalidad multivariante, los datos siguen una DNM con un nivel de significancia $\alpha=0.05$; sin embargo, el caso tratado es contrario a esto. Obsérvese a través de la pestaña **PNM Mardia** que los $p-value$ para la asimetría (Skewness) y curtoris (Kurtosis) son mayores que el nivel de significancia. Por lo tanto, las evidencias no apoyan una hipótesis de normalidad multivariada para el conjunto de datos restringido a sus variables numéricas.

La **PNM de PNM Henze-Zirkler** establece que el estadístico de prueba no se distribuye aproximadamente como lo normal dado que su $p-value$ es menor que el nivel de significancia $\alpha=0.05$, obsérvese esto a través de la pestaña **PNM Henze-Zirkler**. Así, por contrarrecíproco de la implicación formulada en la descripción de la prueba en la [sección 5](#sec5), el conjunto de datos no está apoyado por las evidencias para seguir una distribución normal multivariada.

La **PNM de Doornik-Hansen** establece que su estadístico de prueba no sigue una distribución aproximadamente $\chi^2$ dado que su $p-value$ es menor que el nivel de significancia $\alpha=0.05$, obsérvese esto a través de la pestaña **PNM Doornik-Hansen**. Por lo tanto, las evidencias están lejos de apoyar que el conjunto de datos sigue una DNM.

La **PNM de Royston** establece que el conjunto de datos reducido a sus variables numéricas no sigue una DNM, dado que su $p-value$ es menor que el nivel de significancia $\alpha=0.05$. Obsérvese esto a través de la pestaña **PNM Royston**.

En general, pudo constatarse que para un nivel de significancia $\alpha=0.05$ el conjunto de datos reducido a sus variables numéricas no sigue una distribución normal multivariada.

#### PNM Mardia
```{r PNM_Mardia, fig.align = 'center'}
mvn(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)], mvnTest="mardia")
```

#### PNM Henze-Zirkler
```{r PNM_Henze_Zirkler, fig.align = 'center'}
mvn(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)], mvnTest="hz")
```

#### PNM Doornik-Hansen
```{r PNM_Doornik_Hansen, fig.align = 'center'}
mvn(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)], mvnTest="dh")
```

#### PNM Royston
```{r PNM_Royston, fig.align = 'center'}
mvn(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)], mvnTest="royston")
```


# Fase 2 [Componentes Principales]

### 2.1. Objetivos

En términos generales, esta segunda etapa de estudio mostrará cálculos, visualizaciones e interpretaciones con base en el conjunto de datos tratado en la fase [1](#sec1), pero ahora desde un enfoque de análisis de componentes principales sobre las variables cuantitativas, que incluirá: selección, calidad de representación, contribuciones e interpretación.

Recuérdese que el conjunto de datos de trabajo es descrito en la [sección 2](#sec2) y los referentes teóricos en la [sección 1](#sec1).

Por último, este trabajo fue procesado con `r R.version.string` mediado por RStudio en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea y para cumplir con el requisito temporal de entrega, será actualizado, como máximo, hasta las 22:00hrs del viernes 24 de mayo de 2024.

### 2.2. Selección de Componentes

Como es mencionado en el trabajo de [@AEDMDiaz-Morales1ed] el Análisis de Componentes Principales (en adelante ACP) reestructura un conjunto de datos multivariado a través de la reducción de la cantidad de sus variables, en cuyo transfondo es innecesario asumir ninguna distribución de probabilidad de ellas. Esta reducción es lograda a través de combinaciones lineales de las variables originales, que deberán contener la mayor variabilidad posible presente en el conjunto de datos. En este sentido, el ACP logra crear nuevas variables, conocidas como componentes principales, que poseen características estadísticas de independencia (con base en el supuesto de normalidad) y no correlación.

El ACP se logra a lo largo de las siguientes fases: generación de nuevas variables, reducción dimensional del espacio de los datos, eliminación de varaibles de poco aporte e interpretación de los componentes resultantes en el contexto del problema del cual se obtuvieron los datos. Estas fases se desarrollan entre las secciones [7](#sec7), [8](#sec8), [9](#sec9) y [10](#sec10).

### Planteamiento del Problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2) se demanda primero establecer el porcentaje de varianza explicado por cada dimensión una vez procesado el ACP; y posteriormente, con base en el autovalor medio o usando un diagrama de sedimentación, decidir cuántos componentes retener. 

### Desarrollo del Análisis {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas muestra que el conjunto de datos, en relación con sus variables numéricas, puede ser representado por un conjuto de variables más pequeño que retiene el $57.08$ $\%$ de la variabilidad del conjunto. En particular:

La **Matriz ACP** muestra seis dimensiones donde solo la primera retiene el $57.08$ $\%$, la siguiente el $11.73$ $\%$ y las demás solo porcentajes con parte entera de una cifra. En este sentido, la representatividad de la combinación lineal que define a la dimensión 1 es significativamente alta en comparación con las demás. Como esta matriz es muda en relación con las variables originales se sigue indagando la identificación de las variables que más contribuyan a la dimensión de valor propio más alto.

La **Matriz de Correlaciones** permite continuar con las descripciones de las combinaciones lineales que conforman a la dimensión de mayor interés: la dimensión 1. Así, esta matriz, como se mostró en la [sección 3.2.](#sec3_2),  ayuda a verificar que la intensidad de las corelaciones es más alta y siempre positiva entre las variables: ar score, er score, fsr score, ger score y overall score, asunto esperado en relación con el fenómeno estudiado, por lo tanto, se podría esperar que estas variables participaran en la combinación lineal que define a la dimensión 1.

La pestaña de **Valores y Vectores Propios** muestra estos objetos calculados a partir de la matriz de correlaciones del conjunto de datos. En este sentido, se garantiza que la suma de los valores propios sea igual a la dimensión de dicha matriz y a la variabilidad total del conjunto, por lo cual las proporciones de retención de variabilidad son de cálculo inmediato. Además, la matriz de vectores propios define para cada componente, en relación con cada variable del conjunto de datos, los coeficientes de la combinación lineal que la conforman, por ejemplo, con un ajuste a dos cifras decimales, la componente 1 estaría representada por la combinación lineal (donde $A$ es ar score, $E$ es er, $F$ es fsr score, $C$ es cpf, $IF$ es ifr, $IS$ es isr, $IR$ es irn score, $G$ es ger y $O$ es Overall score, y ademas, son variables estandarizadas):$$Componente_1 = 0.40*A+0.36*E+0.19*F+0.31*C+0.28*IF+0.27*IS+0.33*IR+0.34*G+0.44*O$$Hasta este punto, se puede observar que se dispone de un número de dimensiones menor al número de variables tratadas, con la salvedad que las variables nuevas son incorreladas entre sí, ver la pestaña **Correlaciones Comparadas**.

Por último, el **Gráfico de Cattell** y el **Gráfico de Cattell-Kaiser**, de codo y sedimentación, inducen a la elección de una componente en la reducción de dimensión que retiene la cantidad de variabilidad suficiente para tratar el problema. Sin embargo, debe resaltarse que se propone elegir con base en criterios más usados, a cambio de criterios de aceptación universal. El **Gráfico de Cattell** muestra que los cambios en la pendiente indican que la capacidad explicativa de la dimensión 1 es del $56.10$ $\%$, la dimensión 2 es del $13.00$ $\%$ y la dimensión 3 es del  $10.04$ $\%$, representando el $79.50$ $\%$ solo esas 3 dimensiónes. Así, el de **Cattell-Kaiser** al conjugar el instrumento gráfico anterior con el criterio de Kaiser en la misma gráfica apoya que la cantidad de dimensiones suficientes por retener es 3, aclarando que esta elección retenga un porcentaje de variabilidad adecuado para estudiar el problema.

#### Matriz ACP
```{r Matriz_ACP, fig.align = 'center'}
get_eigenvalue(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F))

```

#### Matriz de Correlaciones
```{r Matriz_de_Correlaciones}
round(cor(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28)]),2)
```

#### Valores y Vectores Propios
```{r Valores_y_Vectores_Propios, fig.align = 'center'}
princomp(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], cor = TRUE)$sdev^2
princomp(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], cor = TRUE)$loadings[ ,1:9]
```

#### Correlaciones Comparadas
```{r Correlaciones_Comparadas, fig.align='center'}
library(corrplot)
library(stats)

datos_correlacion = Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)]
matriz_correlacion = cor(datos_correlacion)
pca_result = princomp(datos_correlacion, cor = TRUE)
matriz_correlacion_pca = cor(pca_result$scores)

par(mfrow=c(1,2))
corrplot::corrplot(matriz_correlacion, method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
corrplot::corrplot(matriz_correlacion_pca, method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)

```

#### Gráfico de Cattell
```{r Grafico_de_Cattell, fig.align = 'center'}
fviz_eig(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], scale.unit = T, graph = F), addlabels = T, ylim=c(0,90), main = "")
```

#### Gráfico de Cattell-Kaiser
```{r Grafico_de_Cattell_Kaiser, fig.align = 'center'}
scree(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)],factors = FALSE, pc = TRUE, main ="")
```

### 2.3. Calidad de Representación

Al retomar el trabajo de (Díaz Morales & Morales Rivera, 2012) se verifica que, una vez reducida la dimensionalidad del conjunto de datos y entendido que sus variables (estandarizadas) están representadas gráficamente por proyecciones de la hiperesfera de correlaciones, es necesario iniciar la interpretación de componentes a partir de dichas correlaciones, para luego la calidad de sus representaciones dada la reducción dimensional del conjunto de datos en términos de sus variables.

###Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección 2 se demanda determinar la calidad de representación de las variables cuantitativas respecto a la cantidad de dimensiones calculadas que retienen la mayor cantidad de variabilidad, ver la sección 7.

###Desarrollo del Análisis {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas muestra que la reducción de la dimensionalidad del conjunto de datos conduce analizar las calidades de representación en términos de la escala de contribuciones relativas basada en un cociente de proyecciones con propiedades aditivas y de respuesta en escala continua entre 0
 y 1
. Así, en particular:

El Círculo de Correlaciones expresa que se puede concebir una compenente tipo tamaño en el sentido de que la dimensión 1 muestra en él una correlación positiva con las seis variables de interés, además cercanas a la frontera del círculo unitario y significativamente próximas al eje que la representa. Por otro lado, la dimensión 2 contrapone a las variables ifr score, isr score, cpf score e irn score con las demás. Otro aspecto por resaltar es la correlación mostrada entre pares de variables, que en términos del fenómeno estudiado conservan su naturaleza correlacional esperada hasta este punto del análisis. Un ejemplo resaltable es el par ifr score y isr score que, en cierto sentido, están influidas por la subjetividad, véase la sección 2.

La Matriz de Representación, por otro lado, muestra valores significativamente cercanos a 1 del cociente de proyecciones coseno cuadrado en relación con la dimensión 1. En este sentido, los puntos proyectados están altamente asociados con este componente. Así, la pestaña que muestra la Calidad de Representación indica en su escala un piso alto de 0.4
 de esta manera las calidades de representación, en relación con la componente 1, están encabezadas por Overall score y cierran con fsr score.

Por último, las Coordenadas Individuales ayudan, aunque de manera menos digestiva, a identificar a nivel de observaciones a los perfiles de los registros, en este caso universidades, en relación con las, por lo menos, dimensiones más importantes de retención de variabilidad: las componentes 1 y 2. Por ejemplo, al observar los primeros 6 registros 1 al 6, se manifiestan semejanzas positivas, por otro lado, en la dimensión 2, se evidencia que los registros 14,19,20 y 22 son los unicos registros positivos.

#### Círculo de Correlaciones
```{r Circulo_de_Correlaciones, fig.align = 'center'}
fviz_pca_var(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], scale.unit = T, graph = F),col.var="#3B83BD", repel = T, col.circle = "#CDCDCD", ggtheme = theme_bw())
```

#### Matriz de Representación
```{r Matriz_de_Repressentacion_COS2, fig.align = 'center'}
(get_pca_var(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F)))$cos2
```

#### Calidad de Representación
```{r Calidad_de_la_Representacion, fig.align = 'center'}
fviz_pca_var(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), col.var="cos2", gradient.cols=c("#00AFBB","#E7B800","#FC4E07"), repel = TRUE)
```

#### Coordenadas Individuales
```{r Coordenadas_Registros, fig.align = 'center'}
head((PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F))$ind$coord, n = 23L)
```


### 2.4. Contribuciones
Según el trabajo de [@AEDMDiaz-Morales1ed] la interpretación de resultados está vinculada con el cálculo de coordenadas, contribuciones, cosenos cuadrados, etc, por lo tanto, la conceptualización de las variables debe ser clara para establecerla con la mayor claridad posible, es decir, los datos deben ponerse en contexto. En este sentido, la contribución de una variable a una componente allana el camino de la interpretación de resultados. Esto se hace en este apartado en el sentido de calcular lor aportes con que cada variable participa para definir a cada componente generada.

### Planteamiento del Problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2) se demanda determinar las contribuciones que hace cada variable a la construcción de cada componente.

### Desarrollo del Análisis {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas permite reconocer en representaciones numéricas y gráficas las contribuciones de las variables del conjunto de datos a la construcción de cada componente. Así, se entiende cuánta variabilidad explica cada variable de la variabilidad total de la componente con que esté involucrada. en particular:

La *Matriz de Contribuciones* muestra en términos relativos la retención de variabilidad que tiene cada variable en la construcción de cada componente. Así, los diagramas de barras visualizados a través de las pestañas desde *Contribuciones a D1* hasta *Contribuciones a D6*, muestran con base en diagramas de barras las respectivas contribuciones que hacen las variables para explicar la varianzar en cada componente; además, cada gráfico incluye una línea que ayuda a identificar la contribución media, esto ayuda a identificar con mayor facilidad a las variables que contribuyen con mayor explicación de variabilidad de los componentes que conforman.

En *Contribuciones a D1* se visualiza que las variables por enciama de la contribución media: *overall score, **are score, **er score* y *ger Score* retienen aproximadamente el $70.9$ $\%$ de la variabilidad del componente 1.

En *Contribuciones a D2* se visualiza que las variables por enciama de la contribución media: *ifr score* y *isr score* retienen aproximadamente el $68$ $\%$ de la variabilidad del componente 2.

En *Contribuciones a D3* se visualiza que las variables por enciama de la contribución media: *fsr score* y *cpf score* retienen aproximadamente el $79.3$ $\%$ de la variabilidad del componente 3.

En *Contribuciones a D4* se visualiza que las variables por enciama de la contribución media: *cpf score* , *fsr score, **ger score* y *er score* retienen aproximadamente el $83.12$ $\%$ de la variabilidad del componente 4.

En *Contribuciones a D5* se visualiza que las variables por enciama de la contribución media: *irn Score* y *cpf Score* retienen aproximadamente el $93.3$ $\%$ de la variabilidad del componente 5.

Por último, en *Contribuciones a D6* se visualiza que las variables por enciama de la contribución media: *ger score* y *ir score* retienen aproximadamente el $87.18$ $\%$ de la variabilidad del componente 6.


Con los datos procesados hasta ahora se puede proceder con la intepretación de los componentes.

#### Matriz de Contribuciones
```{r Matriz_de_Contribuciones, fig.align = 'center'}
(get_pca_var(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F)))$contrib
```

#### Contribuciones a D1
```{r Contribuciones_DIM_1, fig.align = 'center'}
fviz_contrib(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 1, top = 10)
```

#### Contribuciones a D2
```{r Contribuciones_DIM_2, fig.align = 'center'}
fviz_contrib(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 2, top = 10)
```

#### Contribuciones a D3
```{r Contribuciones_DIM_3, fig.align = 'center'}
fviz_contrib(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 3, top = 10)
```

#### Contribuciones a D4
```{r Contribuciones_DIM_4, fig.align = 'center'}
fviz_contrib(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 4, top = 10)
```

#### Contribuciones a D5
```{r Contribuciones_DIM_5, fig.align = 'center'}
fviz_contrib(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 5, top = 10)
```

#### Contribuciones a D6
```{r Contribuciones_DIM_6, fig.align = 'center'}
fviz_contrib(PCA(Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 6, top = 10)
```

### 2.5. Interpretación de Componentes

Con base en [Diaz Morales & morales rivera, 2012] se sabe que a partir de las coordenadas de los registros dimensionalmente reducidos se puede ubicar en un plano de factores para efectos de análisis e interpretación. Así, las variables reducidas son las componentes principales que se grafican como ejes en un plano, y los valores que tomen son los puntajes de las componentes. Como bien se explica en el mismo trabajo, las distancias entre los puntos definidos por los puntajes de las componentes tiene un significado relevante al ayudar a establecer semejanzas de perfiles en las observaciones hechas. Sin embargo, los valores semejantes de las variables pueden darse solo en algunas de ellas, sin esperar necesariamente a que suceda en todas. Así, se espera que las distancias en el espacio dimensional original de las observaciones queden bien representadas en el espacio reducido de las componentes.


### Planteamiento del Problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2) se demanda definir e interpretar sus componentes principales.

### Desarrollo del Análisis {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas permite visualizar objetos gráficos y matriciales que, al incluir lo hecho en las secciones anteriores, ayudan a robustecer la interpretación de las componentes calculadas. Como se mostró en la [sección 7](#sec7), la cantidad de componentes seleccionadas se redujo (según el criterio de Kaiser) a una y se estableció que la componente 1 retiene el $57.08$ $\%$ de la variabilidad de los datos. Así, en el círculo de correlaciones de la [sección 8](#sec8) se aprecia que la representación de las variables conjugadas en la componente 1 la configuran como una de tipo tamaño, lo que puede interpretarse como una especie de índice de proporcionalidad directa. Esto también se apoya con base en el hecho de que todas las variables presentan calidades de representación entre $0.18$ y $0.97$. En consecuencia, cuanto mayor sea el valor las variables mayor será el estado de favorabilidad de que la universidad este en un mejor Ranking a nivel de las universidades del conjunto de datos. Así, dada la naturaleza de las variables esta componente puede representar para un estudiante su *medida de competitividad formativa*. Al respecto:

Las pestañas *Biplot de Variables y Registros Totales* en *S* (Status), *F* (Focus) y *R* (Reserach), muestran, con base en las agrupaciones que estas variables categóricas pueden establecer, la representación en dimensionalidad reducida en el plano de factores de registros y dimensiones con base en los puntajes por componentes. En este sentido, es posible apreciar que las agrupaciones con base en *Status* , *Focus* y *Research* capturan diferencias acentuadas en la distribuciones de las observaciones.

#### Biplot de Variables y Registros [Total UR]
```{r Biplot_de_Variables_y_Registros_Total_UR, fig.align = 'center'}
library(FactoMineR)
library(factoextra)

data_UR <- Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)]
data_UR <- as.data.frame(lapply(data_UR, function(x) as.numeric(as.character(x))))

if (any(!is.finite(as.matrix(data_UR)))) {
  for (i in 1:ncol(data_UR)) {
    data_UR[, i][!is.finite(data_UR[, i])] <- median(data_UR[, i], na.rm = TRUE)
  }
}

data_UR <- data_UR[complete.cases(data_UR), ]

data_All <- cbind(data_UR, status = Universidad_Dataset$status)

pca_result <- PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = FALSE, quali.sup = ncol(data_All))

fviz_pca_biplot(pca_result, axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = ncol(data_All))
```

#### Biplot de Variables y Registros [Total G]
```{r Biplot_de_Variables_y_Registros_Total_G, fig.align = 'center'}
library(FactoMineR)
library(factoextra)

data_UR <- Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)]
data_UR <- as.data.frame(lapply(data_UR, function(x) as.numeric(as.character(x))))

if (any(!is.finite(as.matrix(data_UR)))) {
  for (i in 1:ncol(data_UR)) {
    data_UR[, i][!is.finite(data_UR[, i])] <- median(data_UR[, i], na.rm = TRUE)
  }
}

data_UR <- data_UR[complete.cases(data_UR), ]

data_All <- cbind(data_UR, focus = Universidad_Dataset$focus)

pca_result <- FactoMineR::PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = FALSE, quali.sup = ncol(data_All))

factoextra::fviz_pca_biplot(pca_result, axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = ncol(data_All))
```

#### Biplot de Variables y Registros [Total R]
```{r Biplot_de_Variables_y_Registros_Total_R, fig.align = 'center'}
library(FactoMineR)
library(factoextra)
library(ggplot2)

data_UR <- Universidad_Dataset[,-c(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,28)]
data_UR <- as.data.frame(lapply(data_UR, function(x) as.numeric(as.character(x))))

if (any(!is.finite(as.matrix(data_UR)))) {
  for (i in 1:ncol(data_UR)) {
    data_UR[, i][!is.finite(data_UR[, i])] <- median(data_UR[, i], na.rm = TRUE)
  }
}

data_UR <- data_UR[complete.cases(data_UR), ]

data_All <- cbind(data_UR, research = Universidad_Dataset$research)

pca_result <- FactoMineR::PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = FALSE, quali.sup = ncol(data_All))

factoextra::fviz_pca_biplot(pca_result, axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = ncol(data_All))
```

# Fase 3 [Correspondencias]

En términos generales, esta tercera etapa de estudio mostrará cálculos, visualizaciones e interpretaciones con base en el conjunto de datos tratado en la fase [1](#sec1) y [2](#fase2), pero ahora desde un enfoque de análisis de correspondencias simples y múltiples sobre las variables cuanlitativas, que incluirá: construcción de tablas de contingencias y disyuntivas completas, calidades de representación, contribuciones e interpretaciones.

Recuérdese que el conjunto de datos de trabajo es descrito en la [sección 2](#sec2) y los referentes teóricos en la [sección 1](#sec1).

Por último, este trabajo fue procesado con `r R.version.string` mediado por RStudio 2022.12.0 Build 353 en una plataforma x86_64-w64-mingw32. Además, por su naturaleza de publicación en línea y para cumplir con el requisito temporal de entrega, será actualizado, como máximo, hasta las 11:59 p.m. del miercoles  12 de junio de 2024.

### 3.1. Objetivos


### 3.2. Correspondencias Simples

Con base en el trabajo de [@AMARAldas-Uriel2ed] se sabe que el análisis de correspondencias simple (ACS) busca representar en un espacio multidimensional reducido la relación que exista entre las categorías de un par de variables categóricas. En este sentido, el ACS muestra las distancia entre los niveles de dos variables categóricas y, en consecuencia, ayuda a visualizar tablas de contingencia. Además, se establece que el número máximo de dimensiones que expliquen la asociación entre variables fila y columna es igual a uno menos el menor número de categorías de alguna de las variables involucradas. En consecuencia, el análisis de correspondencias permite describir la proximidad existente entre los perfiles de los objetos observados. Además, el ACS, que basa sus cálculos en tablas de contingencia, puede extenderse a más de dos variables categóricas, conociéndose como anáslisis de correspondencias múltiples (ACM), con base en una objeto llamado tabla disyuntiva completa.

Esta sección trata el análisis de correspondecias simple con base en pares de variables categóricas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2). Complementariamente, la [sección 12](#sec12) muestra el análisis de correspondencias múltiples con base en las varaibles categóricas del mismo conjunto de datos.

### Planteamiento del Problema
Con base en las variables cualitativas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2) se demanda desarrollar el análisis de correspondencias, en principio simple, apoyado en tablas de contingencia y de frecuencias relativas y gráficos de perfiles y de puntos superpuestos en el primer plano factorial. 

### Desarrollo del Análisis {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas permite visualizar objetos matriciales y gráficos que ayudan a robustecer la interpretación del análisis de correspondencias simple (binario) entre cada par de varaibles categóricas del conjunto de datos: **focus**, **Research** y **status**. Por ser baja la cantidad de variables categóricas se trabaja el ACS sobre las tres combinaciones posibles.

La pestaña **AC Parejas Totales** agrupa los cálculos para todas las combinaciones de parejas de variables. En particular, en **Contingencias** se hacen las siguientes lecturas de ejemplo de las tablas de contingencias: en la tabla de contingencias **status** vs. **research** se encontró que el registro "VH" de la etiqueta research tiene 773 registros  en el status de valor "0" y 916 de un total de 1323, y que el registro "0" es el que tiene mas registros tiene con 1043, miestras que "1" solo tiene un total de 280. En la tabla de contingencias **focus** vs. **status** se calculó que "SP" de la etiqueta focus es el que menos registros tiene con un total de 56, seguido de "FO" con 295, luego de "CO" con 416 y por ultimo "FC" con 556. Por último, en la tabla de contingencia **research** vs. **focus** se puede determinar que el reistro "SP" solo coincide con el reistro "VH" de research, por lo que se podria decir que estos registros estan estrechamente relacionados, por otro lado el registro "LO" solo tiene un registro. 

PERFILES CPF Y CPC

Grafico 1 : Este gráfico facilita la comparación de cómo se distribuyen las categorías de enfoque de investigación en distintas áreas. Es evidente que las áreas "marg" y "CO" tienen una mayor diversidad de categorías en comparación con "SP" y "FO", que están más concentradas en LO.

Grafico 2: Este gráfico de barras apiladas vertical muestra la proporción de cada área de investigación (SP, FO, FC, CO) dentro de cada categoría (HI, LO, MD, VH, marg). Las barras representan las proporciones, con la siguiente distribución:

HI (alta): Distribución equilibrada entre SP y FO, con menor presencia de FC y CO.
LO (baja): Predominio de FC y CO, menor representación de SP y FO.
MD (media): Principalmente FC y CO, similar a LO.
VH (muy alta): Mayor diversidad, con todas las áreas representadas, aunque predomina FC.
marg (marginal): Distribución más balanceada entre las áreas, con ligera predominancia de CO.


Grafico 3: Este gráfico de barras apiladas horizontal muestra la proporción del estatus (0 y 1) dentro de cada área de investigación (marg, SP, FO, FC, CO):

marg: Mayor proporción de estatus 1.
SP: Predominio del estatus 0, con una proporción significativa de estatus 1.
FO: Similar a SP, con más estatus 0.
FC: Mayoritariamente estatus 0, con una menor proporción de estatus 1.
CO: Predominio de estatus 0, pero con una buena representación de estatus 1.

Grafico 4: Este gráfico es un gráfico de barras apiladas que muestra la proporción de diferentes enfoques (SP, FO, FC, CO) en función del estado de las universidades (0 y 1).
El eje y representa la proporción de universidades en cada categoría de enfoque.
El eje x representa los estados de las universidades (0 y 1).
Las categorías de enfoque están codificadas en diferentes colores.       
* Se observa que para ambos estados (0 y 1), las proporciones de los enfoques (SP, FO, FC, CO) son relativamente similares.*Las universidades con el estado 0 parecen tener una proporción ligeramente mayor en la categoría CO en comparación con las universidades con el estado 1. La categoría SP es la menos representada en ambos estados


Grafico 5 : Este gráfico es otro gráfico de barras apiladas, pero en este caso muestra la proporción de investigación (VH, MD, LO, HI) en función del estado de las universidades (0 y 1). El eje y representa las diferentes categorías de investigación, el eje x representa la proporción de universidades en cada estado (0 y 1).                                                                                               En la categoría VH (muy alta), la mayoría de las universidades están en el estado 1. En las categorías MD (media) y LO (baja), hay una mezcla más equilibrada entre los estados 0 y 1, aunque el estado 0 parece estar ligeramente más representado en LO. En la categoría HI (alta), la mayoría de las universidades están en el estado 0



Grafico 6:El eje y representa la proporción de universidades en cada nivel de investigación.El eje x representa los estados de las universidades (0 y 1).Los niveles de investigación están codificados en diferentes colores: VH (Muy Alto), MD (Medio), LO (Bajo), HI (Alto).

Estado 0:

Las universidades en el estado 0 tienen una mayor proporción en los niveles de investigación HI (Alto) y LO (Bajo).
La categoría HI (Alto) es la más representada, seguida de la categoría LO (Bajo).
Las categorías VH (Muy Alto) y MD (Medio) tienen una representación mínima o nula en el estado 0.

Estado 1:

Las universidades en el estado 1 tienen una mayor proporción en los niveles de investigación VH (Muy Alto) y MD (Medio).
La categoría VH (Muy Alto) es la más representada, seguida de la categoría MD (Medio).
La proporción de las categorías LO (Bajo) y HI (Alto) es considerablemente menor en comparación con el estado 0.

Podemos concluir lo siguiente: 

Estado 0: Está asociado principalmente con universidades que tienen niveles de investigación altos (HI) y bajos (LO). Esto sugiere que estas universidades tienen una variabilidad considerable en sus niveles de investigación, con una inclinación hacia extremos altos o bajos.

Estado 1: Está asociado principalmente con universidades que tienen niveles de investigación muy altos (VH) y medios (MD). Esto indica que las universidades con este estado tienen una orientación más fuerte hacia la excelencia en investigación, con un enfoque significativo en mantener niveles de investigación muy altos y medios.

Las universidades con estado 1 muestran una clara tendencia hacia niveles de investigación más elevados en comparación con las universidades con estado 0.
Esto podría implicar que las universidades en el estado 1 tienen más recursos, mejores programas de investigación o políticas que favorecen el desarrollo de la investigación de alto nivel.
El gráfico proporciona una visión clara de cómo los niveles de investigación están distribuidos en función del estado de las universidades, indicando que el estado 1 se asocia con una mayor calidad y cantidad en investigación comparado con el estado 0.

#### AC Parejas Totales {.tabset .tabset-pills}

##### Contingencias
```{r Tablas_de_Contingencia, fig.align = 'center'}
# Verificar la longitud de las columnas
cat("Longitud de la columna status: ", length(Universidad_Dataset$status), "\n")
cat("Longitud de la columna Research: ", length(Universidad_Dataset$research), "\n")
cat("Longitud de la columna focus: ", length(Universidad_Dataset$focus), "\n")

# Verificar si hay valores NA
cat("Valores NA en status: ", sum(is.na(Universidad_Dataset$status)), "\n")
cat("Valores NA en Research: ", sum(is.na(Universidad_Dataset$research)), "\n")
cat("Valores NA en focus: ", sum(is.na(Universidad_Dataset$focus)), "\n")

# Eliminar filas con valores NA
Universidad_Dataset <- na.omit(Universidad_Dataset)

# Verificar la longitud de las columnas después de eliminar NA
cat("Longitud de la columna status después de omitir NA: ", length(Universidad_Dataset$status), "\n")
cat("Longitud de la columna Research después de omitir NA: ", length(Universidad_Dataset$research), "\n")
cat("Longitud de la columna focus después de omitir NA: ", length(Universidad_Dataset$focus), "\n")

# Asegurarse de que todas las columnas sean factores
Universidad_Dataset$status <- as.factor(Universidad_Dataset$status)
Universidad_Dataset$research <- as.factor(Universidad_Dataset$research)
Universidad_Dataset$focus <- as.factor(Universidad_Dataset$focus)

# Crear y mostrar las tablas de contingencia con márgenes adicionales
tabla_status_focus <- addmargins(table(Universidad_Dataset$status, Universidad_Dataset$focus))
tabla_research_focus <- addmargins(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$focus))
tabla_status_research <- addmargins(table(Universidad_Dataset$status, Universidad_Dataset$research))

# Imprimir las tablas
print(tabla_status_focus)
print(tabla_research_focus)
print(tabla_status_research)
```

##### Probabilidades
```{r Tablas_de_Probabilidades, fig.align = 'center'}
addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research))*100)
addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status))*100)
addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))*100)
```

##### Frecuencias [CPF y CPC]
```{r Tablas_de_Frecuencias_Condicionadas, fig.align = 'center'}
round(addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research), 1)*100, 2), 2)
round(addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research), 2)*100, 1), 2)

round(addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status), 1)*100, 2), 2)
round(addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status), 2)*100, 1), 2)

round(addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status), 1)*100, 2), 2)
round(addmargins(prop.table(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status), 2)*100, 1), 2)
```

##### Perfiles [CPF y CPC]
```{r Graficos_de_Perfiles, fig.align = 'center'}
plotct(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research),"row")
plotct(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research),"col")

plotct(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status),"row")
plotct(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status),"col")

plotct(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status),"row")
plotct(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status),"col")
```

##### Pruebas de Hipótesis
```{r Pruebas_de_Correspondencia, fig.align = 'center'}
chisq.test(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$research))
chisq.test(table(Universidad_Dataset$focus, Universidad_Dataset$status))
chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))
```

#### AC Pareja Única {.tabset .tabset-pills}

##### Contingencias y Residuales [R-UR]
```{r Contingencias_y_Residuales, fig.align = 'center'}
chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))$observed
chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))$expected 
chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))$residuals
chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))$stdres
```

##### Contribuciones [R-UR]
```{r Contribuciones_R-UR, fig.align = 'center'}
chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))$residuals^2/chisq.test(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status))$statistic*100
```

##### Correspondencia Simple Unidimensional [R-UR]
```{r Biplot_Correspondencia_Simple_R-UR, fig.align = 'center'}
CA(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status), graph = FALSE)$eig
CA(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status), graph = FALSE)$col
CA(table(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$status), graph = FALSE)$row
```

### Correspondencias Múltiples

Recuperando de nuevo el trabajo de [@AEDMDiaz-Morales1ed] se dice que el ACS se puede extender desde tablas de contingencia hacia tablas disyuntivas completas. En estas las filas son los objetos a los cuales se les registran características de interés a través de las columnas que compilan las modalidades de las variables categóricas estudiadas de ellos. Así, el análisis de correspondencias múltiple (ACM) es el AC aplicado a una tabla disyuntiva completa. Por lo tanto, en el ACM una variable categórica asigna a cada objeto de una población una modalidad a través de la cual los particiona exclusiva y exhaustivamente.

Esta sección es desarrollada como alternativa de completitud del análisis de correspondencias simples que en la [sección 11](#sec11) fue inapreciable debido a la unidimensionalidad de la representación de los datos a nivel de proyección de las variables categóricas que cumplieron la hipótesis de dependencia. Por lo tanto, del tratamiento conjunto de todas las varaibles categóricas se espera obtener una representación en el primer plano factorial.

### Planteamiento del Problema

Con base en las variables cualitativas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2) se demanda desarrollar el análisis de correspondencias múltiples para lograr una representación gráfica en el primer plano factorial, debido a la imposibilidad de lograrlo en el análisis de correspondencias simple.

### Desarrollo del Análisis {.tabset .tabset-pills}

La navegación a través de las pestañas permite visualizar objetos matriciales y gráficos que ayudan a desarrollar e interpretar el análisis de correspondencias múltiple (ACM) entre las variables categóricas del conjunto de datos descrito en la [sección 2](#sec2).

Análisis de la Tabla de Valores Propios (ACM )
La tabla proporcionada muestra los valores propios (eigenvalues), el porcentaje de varianza explicado por cada dimensión y el porcentaje acumulado de varianza explicado por las dimensiones en un Análisis de Correspondencias Múltiples (ACM).
1. Eigenvalue (Valor Propio): Representa la cantidad de varianza capturada por cada dimensión. Valores más altos indican que la dimensión explica una mayor parte de la variabilidad total en los datos.
2. Percentage of Variance (Porcentaje de Varianza): Indica el porcentaje de la varianza total explicada por cada dimensión individualmente. Es útil para determinar qué dimensiones son las más informativas.
3. Cumulative Percentage of Variance (Porcentaje Acumulado de Varianza): Muestra el porcentaje total de la varianza explicada al ir acumulando dimensiones. Ayuda a entender cuánta varianza se ha explicado al considerar múltiples dimensiones juntas.
Significancia de las Dimensiones: Las dos primeras dimensiones (Dim 1 y Dim 2) juntas explican aproximadamente el 40% de la varianza total. Las tres primeras dimensiones explican más del 50% de la varianza total. Con cuatro dimensiones, se explica más del 70% de la varianza. Las seis dimensiones juntas explican el 100% de la varianza, lo cual es esperado en un ACM ya que todas las dimensiones combinadas deben explicar toda la variabilidad en los datos.
Dimensiones Más Informativas: Las primeras dos dimensiones son las más informativas, explicando individualmente más del 20% y 19% de la varianza respectivamente. Las dimensiones 3 y 4 también son importantes, cada una explicando alrededor del 16% de la varianza. Las dimensiones 5 y 6, aunque menos informativas individualmente, aún aportan una cantidad significativa de información con 14.81% y 12.17% respectivamente.
En aplicaciones prácticas, se podría decidir centrarse en las primeras 3 o 4 dimensiones, ya que juntas explican una parte significativa de la varianza (más del 70%).  Sin embargo, si se necesita una representación completa de los datos, se deben considerar todas las dimensiones. Este análisis permite comprender mejor la estructura de la variabilidad en los datos y cómo se distribuye entre las diferentes dimensiones del ACM.

CALIDAD DE REPRESENTACIÓN
Dimensiones y Varianza
El gráfico de MCA presenta dos dimensiones principales:
Dim1 (20.6%): Explica el 20.6% de la varianza total de los datos.
Dim2 (19.1%): Explica el 19.1% de la varianza total.
Interpretación de Categorías
Las categorías están representadas en un plano bidimensional. La calidad de la representación de cada categoría en estas dimensiones se mide a través del cos2 (coseno cuadrado), que indica la contribución de una categoría a la definición de las dimensiones.
Análisis de las Categorías
Alta Representación (alto cos2):
C (Categoría C): Ubicada en la parte superior derecha del gráfico, muestra una alta calidad de representación en ambas dimensiones. Su color rojo intenso indica un cos2 alto, lo que significa que esta categoría está bien representada en el espacio bidimensional.
H (Categoría H): También bien representada, localizada cerca de la categoría C, con un cos2 alto.
Moderada a Baja Representación (bajo cos2):
FO, CO, SP, FC (Categorías FO, CO, SP y FC): Estas categorías se encuentran en la parte inferior izquierda del gráfico y están menos representadas en las dimensiones principales. Los colores más tenues (amarillo a verde) indican un cos2 menor, sugiriendo que estas categorías no contribuyen significativamente a la variabilidad capturada por Dim1 y Dim2.
Datos del cos2
La tabla incluida debajo del gráfico proporciona los valores específicos de cos2 para cada categoría en las cinco dimensiones principales: C y H muestran valores cos2 significativos en las primeras dimensiones, confirmando su alta calidad de representación. FO, CO, SP, FC tienen valores cos2 más distribuidos, lo que refleja su menor contribución a las primeras dos dimensiones.

CONTRIBUCIONES

GRAFICO 1
Contribuciones Destacadas: H Tiene la contribución más alta a Dim1 con más del 40%. Esto indica que esta variable es la más influyente en la configuración de esta dimensión. B y C: Ambas tienen contribuciones significativas, con B alrededor del 25% y C cerca del 20%.
Contribuciones Moderadas: FO, CO, A, FC  Estas variables tienen contribuciones menores, cada una representando entre el 5% y el 10%.
Contribuciones Bajas: YH y SP Estas variables tienen una contribución mínima, con valores muy por debajo del 5%.
Las variables H, B y C son las más influyentes en la primera dimensión del MCA, mientras que FO, CO, A y FC también tienen un papel pero menos significativo. Las variables YH y SP contribuyen muy poco a esta dimensión.
El gráfico muestra la contribución de las variables a la dimensión 2 (Dim2) en el análisis de correspondencias múltiples (MCA).

GRAFICO 2

Contribuciones Destacadas: C Tiene la contribución más alta a Dim2 con más del 40%. Esto indica que esta variable es la más influyente en la configuración de esta dimensión. FO: La siguiente contribución más significativa con alrededor del 20%. B: También tiene una contribución considerable, cercana al 15%.
Contribuciones Moderadas : FC, CO Estas variables tienen contribuciones intermedias, cada una representando entre el 5% y el 10%.
Contribuciones Bajas: H, SP, A, YH  Estas variables tienen una contribución mínima, con valores muy por debajo del 5%.
Comparación con Dim1 : En comparación con el gráfico de Dim1: C ha pasado a ser la más influyente en Dim2, mientras que H, que era la más influyente en Dim1, ahora tiene una contribución mucho menor. FO y B también son más influyentes en Dim2 en comparación con Dim1.
Las variables C, FO y B son las más influyentes en la segunda dimensión del MCA, mientras que H, que era prominente en Dim1, tiene un papel menor en Dim2. Otras variables como FC y CO también contribuyen, pero en menor medida. Las variables SP, A y YH tienen contribuciones mínimas en esta dimensión.

Grafico 3

Contribuciones Destacadas: SP Tiene la contribución más alta a Dim3 con más del 40%. Esto indica que esta variable es la más influyente en la configuración de esta dimensión. CO La siguiente contribución más significativa con alrededor del 25%. FO También tiene una contribución considerable, cercana al 20%.
Contribuciones Moderadas: B Esta variable tiene una contribución intermedia, cercana al 5%.
Contribuciones Bajas: G, H, A, FC, YH Estas variables tienen una contribución mínima, con valores muy por debajo del 5%.
Comparación con Dim1 y Dim2 : En comparación con los gráficos de Dim1 y Dim2: SP pasa a ser la más influyente en Dim3, mientras que tenía una contribución mínima en Dim1 y Dim2. CO y FO también aumentan su influencia en Dim3 en comparación con Dim1 y Dim2. B, que tenía contribuciones significativas en Dim1 y Dim2, tiene una contribución mucho menor en Dim3.
Las variables SP, CO y FO son las más influyentes en la tercera dimensión del MCA, indicando que estas variables explican una parte significativa de la variabilidad en esta dimensión. Otras variables como B tienen contribuciones menores, mientras que G, H, A, FC y YH tienen una influencia mínima en esta dimensión.

Grafico 4

Contribuciones Destacadas: SP Tiene la contribución más alta a Dim4, con casi el 50%. Esto indica que esta variable es la más influyente en la configuración de esta dimensión. CO La siguiente contribución más significativa, con alrededor del 25%. FO También tiene una contribución considerable, cercana al 20%.
Contribuciones Moderadas: FC Esta variable tiene una contribución intermedia, cercana al 10%.
Contribuciones Bajas: G, B, H, A, YH Estas variables tienen una contribución mínima, con valores muy por debajo del 10%.
Comparación con Dim1, Dim2 y Dim3
En comparación con los gráficos de Dim1, Dim2 y Dim3: SP es nuevamente la más influyente en Dim4, similar a su contribución destacada en Dim3. CO y FO mantienen una influencia significativa en Dim4, similar a su influencia en Dim3. FC tiene una contribución menor pero notable en Dim4, mientras que en las dimensiones anteriores tenía una influencia mínima. B y H, que tenían contribuciones más significativas en Dim1 y Dim2, tienen una contribución mucho menor en Dim4.
Las variables SP, CO y FO son las más influyentes en la cuarta dimensión del MCA, indicando que estas variables explican una parte significativa de la variabilidad en esta dimensión. La variable FC también tiene una contribución notable. Otras variables, como G, B, H, A y YH, tienen una influencia mínima en esta dimensión.

Cálculo del Umbral Promedio
La línea roja en el diagrama representa el umbral promedio de contribución esperada de las variables a la dimensión en cuestión. Este umbral se calcula como el valor de contribución que se esperaría si todas las variables contribuyeran por igual a la dimensión.  El umbral promedio de contribución esperada se puede calcular dividiendo 100% entre el número total de variables consideradas en el análisis. Por ejemplo, si hay 10 variables en el análisis, el umbral promedio sería:
 
Interpretación
•	Variables por encima de la línea roja: Las variables que tienen una contribución por encima de este umbral son más influyentes de lo que se esperaría por azar. Estas variables tienen una importancia significativa en la configuración de la dimensión.
•	Variables por debajo de la línea roja: Las variables que tienen una contribución por debajo del umbral tienen menos influencia en la dimensión y no son tan importantes en la configuración de esta.
En los diagramas analizados:
•	En Dim1, las variables H, B y C están por encima del umbral, indicando una alta influencia.
•	En Dim2, las variables C, FO y B están por encima del umbral.
•	En Dim3, las variables SP, CO y FO están por encima del umbral.
•	En Dim4, las variables SO, CO y FO están por encima del umbral.
•	En Dim5, la variable B es la única que esta por encima del umbral.
Esto nos ayuda a identificar rápidamente qué variables son más relevantes en la configuración de cada dimensión del análisis de correspondencias múltiples.

BIPLOT CON CONTRIBUCIONES

Este diagrama muestra las categorías de variables en un espacio bidimensional, resultado del análisis de correspondencias múltiples (MCA). Los ejes Dim1 y Dim2 representan las dos primeras dimensiones del MCA, que explican el 20.6% y el 19.1% de la variabilidad total, respectivamente.
Interpretación de los Elementos del Diagrama
Posición de las Categorías:
C: Se encuentra en la parte superior derecha del gráfico, lo que indica que tiene una alta contribución tanto en Dim1 como en Dim2.
H y I: Están en la parte derecha, indicando una fuerte contribución a Dim1, pero también tienen una ligera contribución a Dim2.
FO, CO, SP, A, YH, VH, FC y B: Están agrupadas en la parte inferior izquierda, lo que sugiere que tienen contribuciones menores en ambas dimensiones.
Color: El color de cada punto varía de azul a rojo, donde el rojo indica una mayor contribución y el azul una menor contribución. Por lo tanto, las categorías como C, H y I tienen colores más cercanos al rojo, indicando una alta contribución.
Contribuciones: C Tiene la mayor contribución en ambas dimensiones, lo que la convierte en una categoría muy influyente. H e I: También son influyentes, especialmente en Dim1. FO, CO, SP, A, YH, VH, FC y B: Tienen contribuciones más bajas, reflejadas por sus colores más cercanos al azul.
Categorías Influyentes: Las categorías C, H e I son las más influyentes en la configuración de Dim1 y Dim2. Estas categorías deberían ser examinadas más a fondo para entender qué aspectos específicos están conduciendo su alta contribución.
Categorías Menos Influyentes: Las categorías FO, CO, SP, A, YH, VH, FC y B tienen menor influencia en estas dos dimensiones, pero esto no significa que no sean importantes en otras dimensiones. Su agrupación cerca del origen sugiere que no tienen un impacto fuerte en la variabilidad explicada por Dim1 y Dim2.
Dimensiones
Dim1 (20.6%): Influencias Principales: H, I, C.
Dim2 (19.1%): Influencias Principales: C, H.


#### ACM
```{r ACM, fig.align = 'center'}
round(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE)$eig,2)
```

#### Biplot ACM
```{r Biplot_ACM, fig.align = 'center'}
# Seleccionar las columnas relevantes
selected_columns <- Universidad_Dataset[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)]

# Verificar si hay valores NA en las columnas seleccionadas
cat("Valores NA en las columnas seleccionadas: ", sum(is.na(selected_columns)), "\n")

# Eliminar filas con valores NA en las columnas seleccionadas
selected_columns <- na.omit(selected_columns)

# Convertir las columnas a factores
selected_columns <- data.frame(lapply(selected_columns, as.factor))

# Verificar que todas las columnas tengan al menos dos niveles
valid_columns <- selected_columns[, sapply(selected_columns, function(col) nlevels(col) > 1)]

# Mostrar las columnas válidas
cat("Número de columnas válidas: ", ncol(valid_columns), "\n")

# Realizar el Análisis de Componentes Múltiples (MCA)
if (ncol(valid_columns) > 1) {
  mca_result <- MCA(valid_columns, graph = FALSE)
  
  # Crear y mostrar el biplot del MCA
  fviz_mca_biplot(mca_result, repel = TRUE)
} else {
  cat("No hay suficientes columnas válidas para realizar el MCA\n")
}
```

#### Calidad de Representación
```{r Calidad_de_Representacion_ACM, fig.align = 'center'}
fviz_mca_var(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), col.var ="cos2", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
MCA(Universidad_Dataset[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE)$var$cos2
```

#### Contribuciones
```{r Contribuciones_ACM, fig.align = 'center'}
fviz_contrib(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 1, top = 15)
fviz_contrib(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 2, top = 15)
fviz_contrib(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 3, top = 15)
fviz_contrib(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 4, top = 15)
fviz_contrib(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 5, top = 15)
```

#### Biplot con Contribuciones
```{r Biplot_con_Contribuciones_ACM, fig.align = 'center'}
fviz_mca_var(MCA(Universidad_Dataset_C[1:400, -c(1,2,3,4,5,6,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29)], graph = FALSE), col.var ="contrib", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
```



# Fase 4 [Análisis de Regresión]

### 4.1. Objetivo

Se sabe que el análisis de regresión es un proceso de naturaleza estadística usado para estimar relaciones entre variables (una dependiente o de respuesta y otras independientes o predictoras) a través de técnicas de modelado y análisis que permiten entender cómo el valor de la variable dependiente varía al cambiar el valor de una o más variables independientes. Los modelos de análisis de regresión estudiados a través de este documento serán: lineal (simple y múltiple) y logístico, ellos entendidos como casos del modelo de regresión lineal generalizado.

### 4.2. Regresión Lineal Simple

Este modelo, que eventualmente será llamado en este estudio como **RLS**, está conformado por dos variables estadísticas $x$ y $Y$, donde $Y$ se asume que está influida por $x$. La relación está dada matemáticamente por: $$Y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon \hspace{10mm} \hspace{10mm}(1)$$ donde:

+ $Y$: es una variable de respuesta de naturaleza aleatoria.
+ $x$: es una variable predictora de naturaleza no aleatoria.
+ $\varepsilon$: es una variable aleatoria no observable.
+ $\beta_0$ y $\beta_1$: son parámetros reales desconocidos del modelo.

En comparación con el modelo lineal simple determinístico $y = \beta_0 + \beta_1 x$, el probablístico supone que el valor esperado de $Y$ es una función lineal de $x$, pero que con $x$ fija, la variable $Y$ difiere de su valor esperado en una cantidad aleatoria $\varepsilon$. Además, la cantidad $\varepsilon$ en la ecuación de modelo $(1)$ se supone normalmente distribuida con $E(\varepsilon)=0$ y $V(\varepsilon)=\sigma^2$. La variable aleatoria $\varepsilon$ también se conoce como término de error aleatorio o desviación aleatoria en el modelo.

Complementariamente, casi nunca serán conocidos los valores $\beta_0$, $\beta_1$ y $\sigma^2$, a cambio estará disponible una muestra de datos compuesta de pares ordenados $(x_1,y_1)... (x_n,y_n)$ con la que los parámetros del modelo y la línea de regresión verdadera pueden ser estimados, bajo el supuesto de independencia de las observaciones. Así, $y_i$ es el valor observado de una variable aleatoria $Y_i$, donde $Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i$ y las $n$ desviaciones $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, $...$, $\varepsilon_n$ son variables independientes.

De acuerdo con el modelo, los puntos observados estarán distribuidos aleatoriamente alrededor de la línea de regresión verdadera. En este sentido, la estimación de $y=\beta_0+\beta_1x$ deberá ser una línea que se ajuste lo mejor posible a los puntos muestra. Tal línea deberá poseer la característica de que las distancias verticales (desviaciones) de los puntos observados a la línea misma son *_pequeñas_*. La medida de la bondad de ajuste será la suma de los cuadrados de estas desviaciones. En consecuencia, la línea que mejor se ajusta será la que tenga la suma más pequeña posible de desviaciones al cuadrado. El resultado que implica las ideas expuestas se conoce como: principio de los mínimos cuadrados y se remonta a los matemáticos Carl Friedrich Gauss y Adrien-Marie Legendre, entre el último lustro del siglo XVIII y el primero del siglo XIX.

El principio de los mínimos cuadrados establece que la desviación vertical del punto $(x_i,y_i)$ con respecto a la línea $y=b_0+b_1x$ es $y_i-(b_0+b_1x)$ y la suma de las desviaciones verticales al cuadrado de los puntos $(x_i,y_i)$ a la línea es $f(b_0,b_1)=\sum_{i=1}^n (y_i-(b_0+b_1x_i))^2$. Así, las estimaciones puntuales de $\beta_0$ y $\beta_1$, representadas como $\hat{\beta}_0$ y $\hat{\beta}_1$ y llamadas estimaciones de mínimos cuadrados, son los valores que minimizan a $f(b_0,b_1)$; es decir, $f(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)\leq f(b_0,b_1)$ para cualesquiera $\beta_0$ y $\beta_1$. Por lo tanto, la línea de regresión estimada o línea de mínimos cuadrados es $y=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x$.

Luego de calcular y resolver las ecuaciones en derivadas parciales de $f(b_0,b_1)$ respecto a $b_0$ y $b_1$ igualadas a cero, se obtiene un sistemas de ecuaciones llamadas normales que son lineales en $b_0$ y $b_1$ y para las cuales, siempre que por lo menos dos de las $x_i$ sean diferentes, las estimaciones de los mínimos cuadrados son la única solución del sistema. En consecuencia, la estimación de los mínimos cuadrados de $\beta_1$ de la línea de regresión verdadera es: $$\hat{\beta}_1=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}\hspace{10mm}(2)$$ y la estimación de los mínimos cuadrados de $\beta_0$ de la línea de regresión verdadera es: $$\hat{\beta}_0=\dfrac{\sum_{i=1}^ny_i-\hat{\beta}_1\sum_{i=1}^nx_i}{n}=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}\hspace{10mm}(3)$$ Para hacer los cálculos que las ecuaciones anteriores demandan es necesario reducir al mínimo los efectos de redondeo. También, antes de calcular $\hat{\beta}_1$ y $\hat{\beta}_0$ se debe examir gráficamente el conjunto de datos por usar para percibir la factibilidad de uso de un modelo probabilístico lineal, es decir, si gráficamente los puntos están lejos de tender a aglomerarse en torno a una línea recta con aproximadamente el mismo grado de dispersión de todas las $x_i$, entonces deben ser indagados otros modelos.

Es indispensable mencionar que la línea de mínimos cuadrados debe usarse restringidamente para predecir valores de $x$ **_lejanos_** del rango de los datos, porque la relación ajustada puede carecer de validez para ellos.

Ahora, el parámetro $\sigma^2$ que determina la cantidad de variabilidad es inherente en el modelo de regresión descrito: su valor conducirá a establecer que los valores observados estarán dispersos en mayor o menor medida en torno a la línea de regresión verdadera. Así, los residuos $y_i - \hat{y_i}$ son las desviaciones verticales con respecto a la línea estimada. Si todos los residuos son pequeños comparados con cero, entonces la variabilidad de los valores $y$ observados se debería en una elevada medida a la relación lineal entre $x$ y $y$, mientras que si los residuos son grandes comparados con cero, entonces queda sugerida una variabilidad inherente en $y$ con respecto a la cantidad debida a la relación lineal. Así, la estimación de $\sigma^2$ en un análisis de regresión está basada en el cálculo de la suma de cuadrados residuales (o suma de cuadrados del error SCE) que se reduce a: $$SCE=\sum_{i=1}^ny_i^2-\hat{\beta}_0\sum_{i=1}^ny_i-\hat{\beta}_1\sum_{i=1}^nx_iy_i\hspace{10mm}(4)$$ $$\hat\sigma^2=s^2=\dfrac{SCE}{n-2}\hspace{10mm}(5)$$ Si se ha entendido que la cantidad SCE establece una medida de cuánta variación de $y$ es inexplicada por el modelo; es decir, sin atribución a la relación lineal, se entenderá también que existe otra cantidad llamada la suma total de los cuadrados STC, que permite obtener una medida de la cantidad de variación total en los valores $y$ observados: $$STC=\sum_{i=1}^ny_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^ny_i)^2}{n}\hspace{10mm}(6)$$ Si se formula la razón $SCE/STC$ se calcula la proporción de variación total inexplicada por el modelo de regresión lineal simple; por lo tanto, se llega a la definición del coeficiente de determinación $r^2$: $$r^2=1-\frac{SCE}{STC}\hspace{10mm}(7)$$ que se interpreta como la proporción de variación $y$ observada que puede ser explicada por el modelo de regresión lineal simple; es decir, aquella atribuida a una relación lineal aproximada entre $x$ y $y$: mientras más cercano a 1 sea $r^2$, más exitoso es el modelo de regresión lineal simple al explicar la variación de $y$. Una forma alternativa de calcular el coeficiente de determinación se basa en la suma de cuadrados debidad a la regresión SCR (o al modelo de regresión SCM), que es la cantidad de variación total que es explicada por el modelo. Con base en ella el coeficiente de determinación se expresa como: $$r^2=1-\frac{SCE}{STC}=\frac{STC-SCE}{STC}=\frac{SCR}{STC}\hspace{10mm}(8)$$Como se sabe, cualquier cantidad calculada a partir de datos muestrales varía de una cantidad a otra, en este sentido, los procedimientos inferenciales estandarizan un estimador restando su valor medio y luego dividiéndolo entre su desviación estándar estimada. En particular, para un modelo supuesto de regresión lineal simple se implica que las variables estándares: $t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_0-\beta_0}{\hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}}$ y $t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_1-\beta_1}{ \hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}}}$ tienen distribuciones $t$ con $n-2$ grados de libertad. De esto se deduce que los intervalos de confianza de $100*(1-\alpha)\%$ para la pendiente $\beta_1$ y el intercepto $\beta_0$ de la línea de regrasión verdadera son: $$\hat{\beta}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot  \hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}\hspace{10mm}(9)$$ $$\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot  \hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}} \hspace{10mm}  (10)$$estos intervalos están centarados en la en la estimación puntual de cada parámetro y la cantidad abarcada a cada lado de la estimación depende del nivel de confianza deseado y de la cantidad de variabilidad del estimador.

Dado lo anterior, para los procedimientos de prueba de hipótesis, y como se procede habitualmente, las hipótesis nulas respecto a los beta del modelo de regresión lineal simple serán enunciados de igualdad. Los valores nulos para $\beta_0$ y $\beta_1$ se representan respectivamente como $\beta_{00}$ ("beta cero cero") y $\beta_{10}$ ("beta uno cero"). Además, como los estadísticos de prueba tienen distribuciones $t$ con $n-2$ grados de libertad cuando $H_0$ es verdadera, la probabilidad de error Tipo I permanece al nivel deseado $\alpha$ usando un valor crítico $t$ adecuado. Así, las hipótesis comúnmente usadas para $\beta_0$son: $$H_0: \beta_0 = \beta_{00}\hspace{10mm}(11)$$ $$H_1: \beta_0 \neq \beta_{00}\hspace{10mm}(12)$$cuyo estadístico de prueba es: $$t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_0-\beta_{00}}{\hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}}\hspace{10mm}(13)$$y para $\beta_1$ son:
$$H_0: \beta_1 = \beta_{10}\hspace{10mm}(14)$$ 
$$H_1: \beta_1 \neq \beta_{10}\hspace{10mm}(15)$$cuyo estadístico de prueba es:$$t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_1-\beta_{10}}{\hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}}}\hspace{10mm}(16)$$el par de hipótesis definidas por $14$, $15$ y $16$ se conoce como la prueba de utilidad del modelo de regresión lineal simple, donde: la región de rechazo de $H_0$ para una prueba a nivel $\alpha$ a favor de $H_1: \beta_1>\beta_{10}$ es $t\geq t_{\alpha,n-2}$; la región de rechazo de $H_0$ para una prueba a nivel $\alpha$ a favor de $H_1: \beta_1<\beta_{10}$ es $t\leq -t_{\alpha,n-2}$; y la región de rechazo de $H_0$ para una prueba a nivel $\alpha$ a favor de $H_1: \beta_1\neq\beta_{10}$ es $t\leq -t_{\alpha/2,n-2}$ o  $t\geq t_{\alpha/2,n-2}$. Además, se sabe que la prueba de utilidad del modelo de regresión simple puede ser probada con una tabla ANOVA: rechazando $H_0$ si $f\geq F_{\alpha,1,n-2}$. La prueba $F$ da exactamente el mismo resultado que la prueba $t$ de utilidad del modelo de regresión lineal simple.

Por último, se entiende que en un modelo de regresión lineal simple un valor futuro de $Y$ no es parámetro sino una variable aleatoria, por lo que se debe hacer referencia a un intervalo de valores factibles para un valor futuro de $Y$, al cual se le llama intervalo de predicción. Cuando se predice con base en el modelo de regresión lineal simple, el error de predicción es $Y-( \hat{\beta}_0+ \hat{\beta}_1 x^*)$ que corresponde con una diferencia entre dos variables aleatorias, por lo que, en comparación con una estimación, habrá más incertidumbre en ese; por lo tanto, un intervalo de predicción será más ancho que un intervalo de confianza. Además, a partir de la varianza del error dde predicción se puede establecer que la variable estandarizada:$$T=\dfrac{Y-(\hat{\beta}_0+ \hat{\beta}_1 x^*)}{S \displaystyle\sqrt{1+\dfrac{1}{n}  + \dfrac{(x^*-\bar{x})^2}{S_{xx}}}}\hspace{10mm}(17)$$tiene una distribución $t$ con $n-2$ grados de libertad, a partir de la cual se obtine un intervalo de predicción de $100*(1-\alpha)\%$ para una observación $Y$ futura que se hará cuando $x=x^*$ igual a:$$\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x^*\pm t_{n-2,\alpha/2}\cdot s \displaystyle\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{(x^*-\bar{x})^2}{S_{xx}}}\hspace{10mm}(18)$$ la interpretación del nivel de predicción de $100*(1-\alpha)\%$ establece que al usar $(18)$ repetidamente, los intervalos resultantes contendrán los valores $y$ observados el $100*(1-\alpha)\%$ del tiempo. Además, el número $1$ en la raíz cuadrada hace que el intervalo de predicción sea más ancho que intervalos de confianza como $(9)$ y $(10)$. Asimismo, a medida que $n\to\infty$ el ancho del intervalo no-tiende a cero, porque la incertidumbre en la predicción será permanente, incluso al tener conocimiento perfecto sobre $\beta_0$ y $\beta_1$.

#### Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección **2** se formulará un modelo de regresión lineal simple para estudiar la relación lineal supuesta entre las varaibles definidas por los campos: **Chance of Admit** (variable dependiente) y **TOEFL Score** (variable independiente).

#### Desarrollo del Análisis
El estudio de regresión lineal simple ha sido procesado con `r R.version.string` mediado por RStudio 2022.07.2 Build 576 en una plataforma x86_64-w64-mingw32.

##### Resumen estadístico de las variables por estudiar. {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas muestra el resumen estadístico de las variables de interés: **Overall Score** (variable dependiente) y **TOEFL Score** (variable independiente), junto con sus respectivos diagramas de caja. Además, incluye el diagrama de dispersión de sus valores conjuntos.

Con base en la pestaña **Resumen de Chance of Admit** se puede comentar que la variable **Chance of Admit** presenta asimetría de sesgo negativo con rango intercuartílico estrecho de dispersión imperceptible. Además, un dato se visualiza como outlier. Así, puede decirse que la variable registra valores altos en relación con su intervalo de medición. En comparación, según la pestaña **Resumen de TOEFL Score**, la variable **TOEFL Score** se visualiza más simétrica que la anterior, sin presentar datos atípicos, pero con mediana que muestra una ligera concentración de medidas hacia la mitad superior de los datos.

Complementariamente, en **Diagrama de Dispersión TOEFL vs. CoA** se puede observar que existe una correlación positiva de naturaleza apreciablemente lineal entre las variable **Chance of Admit** y **TOEFL Score**. Sin embargo, si se observa el gráfico de **Diagramas Totales de Dispersión** (que excluyeron las variables cualitativas::nominales) es constatable que existe una correlación más fuerte entre la variable de interés **Chance of Admit** y **CGPA**.


###### Resumen de Overall Score
```{r resumen_Chance_of_Admit, fig.align = 'center'}
summary(Universidad_Dataset$`Overall Score`)
boxplot(Universidad_Dataset$`Overall Score`, main = "Diagrama de Caja de Overall Score", col = c("orange"))
```

###### Resumen de research
```{r resumen_research, fig.align = 'center'}
summary(Universidad_Dataset$research)
boxplot(Universidad_Dataset$research, main = "Diagrama de Caja de research", col = c("gold"))
```

###### Diagrama de Dispersión research vs. OS 
```{r dispersion_research, fig.align = 'center'}
plot(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$`Overall Score`, main = "Diagrama de Dispersión research vs. Overall Score")
```

##### Formulación del modelo de RLS entre las variables de estudio. {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas muestra los coeficientes del modelo de regresión lineal simple, su resumen estadístico y su tabla ANOVA. Se menciona de nuevo que las variables de interés son: **Chance of Admit** (variable dependiente) y **TOEFL Score** (variable independiente).

Al considerar los resultados presentados en la pestaña **Coeficientes del Modelo RLS** se puede establer que el modelo de regresión lineal simple que relaciona a las variables de interés, las cuales se resumirán como $COA$ y $TOEFL$, tiene la formulación:$$\hat{COA}=-1,2734005+0,0185993\cdot TOEFL\hspace{10mm}(19)$$ para este modelo se obvia la interpretación del intercepto por carecer de sentido dado que **Chance of Admit** resultaría negativa en caso de un valor nulo de **TOEFL Score**, y ambas situaciones carecen de sentido. Sin embargo, el coeficiente lineal una correlación de proporcionalidad directa entre las variables de interés, aunque de crecimiento moderado en **Chance of Admit** por cada unidad marginal de **TOEFL Score**.

Complementariamente, en la pestaña **Resumen Estadístico del Modelo RLS** se constata que para cualquier nivel de significancia las evidencias estarán a favor de la correlación positiva entre las variables de interés. Además, el coeficiente de detreminación está a favor de la correlación estableciendo que el $62.57$ $\%$ de la variabilidad de **Chance of Admit** es explicada por **TOEFL Score**, esto también queda confirmado a través de la pestaña **Tabla ANOVA para el Modelo RLS**.

###### Coeficientes del Modelo RLS
```{r coeficientes_Regresion_Lineal_Simple, fig.align = 'center'}
modelo_RL_Simple = lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$research)
coef(modelo_RL_Simple)
```
###### Resumen Estadístico del Modelo RLS
```{r resumen_Regresion_Lineal_Simple, fig.align = 'center'}
summary(modelo_RL_Simple)
```
###### Tabla ANOVA para el Modelo RLS
```{r ANOVA_Regresion_Lineal_Simple, fig.align = 'center'}
anova(modelo_RL_Simple)
```

##### Análisis del modelo RLS. {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas muestra el intervalo de confianza para $\beta_1$ y para la predicción del modelo de regresión lineal simple, ambos al 95 %. Se menciona de nuevo que las variables de interés son: **Chance of Admit** (variable dependiente) y **TOEFL Score** (variable independiente).

El análisis del modelo RLS muestra que es significativo y en consecuencia aporta información relevante para estimar **Chance of Admit** a partir de **TOEFL Score**. Esto debido a que el intervalo de confianza para el coeficiente de *TOEFL* en el modelo RLS excluye al cero:$$0,01718449<\beta_1<0,02001411\hspace{10mm}(20)$$

Por último, la pestaña **Predicciones y sus Intevalos de Predicción** muestran los cálculos con base en el modelo, bajo intervalos de predicción al $95$ $\%$, de las predicciones de todas las pestañas del conjunto de datos para la variable **Chance of Admit**. Cabe mencionar que estos intervalos resultan más anchos que aquellos calculados con base en intervalos de confianza al mismo nivel de significancia.

###### Intervalo de Confianza para B1
```{r Intervalo_Confianza_B1, fig.align = 'center'}
confint(modelo_RL_Simple, level = 0.95)
```
###### Predicciones y sus Intervalos de Predicción
```{r Intervalos_Prediccion_P, fig.align = 'center'}
predict(modelo_RL_Simple, data.frame(seq(1,400)), interval='prediction', level = 0.95)
```
###### Predicciones y sus Intervalos de Confianza
```{r Intervalos_Prediccion_C, fig.align = 'center'}
predict(modelo_RL_Simple, data.frame(seq(1,400)), interval='confidence', level = 0.95)
```

### 4.3. Regresión Lineal Múltiple

Este modelo, que puede inicialmente pensarse como una extensión de la regresión lineal simple para facilitar su comprensión, y que eventualmente será llamado en este estudio como **RLM**, tiene como ecuación general aditiva:$$y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i1}+\cdots+\beta_k x_{ik}+\varepsilon_i, \hspace{3mm}i=1,2,\dots,n\hspace{10mm}(21)$$ donde $E(\epsilon)=0$ y $V(\epsilon)=\sigma^2$. También, para hacer pruebas de hipótesis y calcular intervalos de confianza y de predicción, se supone que $\epsilon$ está normalmente distribuida. Complementariamente, con base en el enfoque de los mínimos cuadrados ordinarios, la estimación de sus parámetros se plantea en términos de la minimización de una función de ensayo desde la cual se observan los cuadrados de las desviaciones de la varaible estudiada. La función de ensayo se representa como $f(b_0,b_1,...,b_k)= \sum_{j}[y_i-(b_0+b_1x_{1j}+b_2x_{2j}+...+b_kx_{kj})]^2$. Esto conduce a un conjunto de ecuaciones normales lineales en $b_0,b_1,...,b_k$, que al ser resueltas entregan las estimaciones de mínimos cuadrados de $\hat{\beta_0},\hat{\beta_1},...,, \hat{\beta_k}$.

Complementariamente, la proporción de variación total explicada por el modelo de regresión múltiple a través del coeficiente de determinación múltiple se ajusta, generalmente, con base en el número de parámetros del modelo.

Además, una prueba de utilidad del modelo de regresión lineal múltiple consiste en una prueba de hipótesis basada en un estadístico que tiene una distribución $F$ particular cuando $H_0$ es verdadera, esto de expresa en el par:$$H_0:\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_k=0\hspace{10mm}(22)$$
$$H_1: \text {al menos una }\beta_i\neq 0\hspace{5mm}(i=1,...,k)\hspace{10mm}(23)$$ el valor del estadístico de prueba es:$$f=\frac{R^2/k}{(1-R^2)(n-(k+1))}=\frac{SCR/k}{SCE/(n-(k+1))}=\frac{RMC}{CME}\hspace{10mm}(24)$$ donde $SCR=STC-SCE$, que es la suma de cuadrados de regresión, y la región de rechazo para una prueba de nivel $\alpha$ es: $$f\geq F_{\alpha, k,n-(k+1)}\hspace{10mm}(25)$$ Por último, un intervalo de confianza al $100(1-\alpha)\%$ para $\beta_i$ es: $$\hat\beta_i\pm t_{\alpha/2,n-(k+1)}\cdot s_{\hat\beta_{i}}\hspace{10mm}(26)$$ y un intervalo de confianza al mismo nivel de significancia para un valor futuro está dado por: $$\hat y\pm t_{\alpha/2,n-(k+1)}\cdot \sqrt{s^2+s^2_{\hat Y}}\hspace{10mm}(27)$$ Para cerrar, es necesario mencionar que eventualmente surgen problemas en los análisis de regresión múltiple que implican considerar técnicas de solución relacionadas con transformaciones de no-linealidad, estandarización y selección de variables, identificación de observaciones influyentes, multicolinealidad, entre otras. 

#### Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección **2** se formulará un modelo de regresión lineal múltiple para estudiar la relación lineal múltiple supuesta entre las varaibles definidas por los campos: **Chance of Admit** (variable dependiente) y los demás como variables independientes: **Gender**, **GRE Score**, **TOEFL Score**, **SOP**, **LOR**, **CGPA**, **Research** y **University Rating**.

#### Desarrollo del Análisis
El estudio de regresión lineal múltiple ha sido procesado con `r R.version.string` mediado por RStudio 2022.07.2 Build 576 en una plataforma x86_64-w64-mingw32.

##### Resumen estadístico de las variables de estudio. {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas muestra el resumen estadístico de todas las variables del conjunto de datos, excepto **Serial**, porque simplemente es un índice posicional. Sin embargo, para las varaibles de naturaleza cuantitativa::razón el resumen será el tradicional, pero para las variables de naturaleza cualitativa::nominal el resumen estadístico consistirá en conteos, proporciones y diagramas de barras.  Se menciona de nuevo que **Chance of Admit** es la variable dependiente.

###### Resumen Variables Cuantitativas
```{r resumen_Variables_Cuantitativas, fig.align = 'center'}
summary(Universidad_Dataset$`ar score`)
summary(Universidad_Dataset$`er score`)
summary(Universidad_Dataset$`fsr score`)
summary(Universidad_Dataset$`cpf score`)
summary(Universidad_Dataset$`ifr score`)
summary(Universidad_Dataset$`isr score`)
summary(Universidad_Dataset$`irn score`)
summary(Universidad_Dataset$`ger score`)
summary(Universidad_Dataset$`SUS SCORE`)
summary(Universidad_Dataset$`Overall Score`)
```

###### Resumen Variables Cualitativas
```{r resumen_Variables_Cualitativas, fig.align = 'center'}
table(Universidad_Dataset$status)
prop.table(table(Universidad_Dataset$status))
barplot(table(Universidad_Dataset$status))
table(Universidad_Dataset$research)
prop.table(table(Universidad_Dataset$research))
barplot(table(Universidad_Dataset$research))
table(Universidad_Dataset$focus)
prop.table(table(Universidad_Dataset$focus))
barplot(table(Universidad_Dataset$focus))
```

###### Diagramas de Dispersión Variables Cuantitativas
```{r dispersiones_Variables_Cuantitativas, fig.align = 'center'}
pairs(~`ar score`+`er score`+`fsr score`+`cpf score`+`ifr score`+`isr score`+`irn score`+`ger score`+`SUS SCORE`+`Overall Score`, data = Universidad_Dataset)
```

##### Formulación del modelo de RLM entre las variables de estudio. {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas muestra el resúmen y la tabla ANOVA del modelo de regresión lineal múltiple total y los coeficientes tanto del modelo mencionado como el logrado luego de reducirlo. Con base en la exploración de los datos del resumen estadistico de las variables de estudio y el resúmen y la tabla ANOVA del modelo total se formulan para comparación dos modelos RLM: uno que incluye a todas las varibles del conjunto de datos, excepto **Serial**, y otro que excluye a **Gender**, **SOP** y **University Rating**. Se menciona de nuevo que **Chance of Admit** es la variable dependiente.

Al considerar los resultados presentados en la pestaña **Coeficientes del Modelo RLM Total** se puede establer que el modelo de regresión lineal múltiple total que relaciona a las variables de interés, las cuales se resumirán como: $OS$ (**Overall Score**), $AR$ (**ar Score**), $ER$ (**er Score**), $FSR$ (**fsr score**), $CPF$ (**CPF score**), $IFR$ (**ifr score**), $ISR$ (**isr score**), $IRN$ (**irn score**), $GER$ (**er score**), $UR_3$ (**University Rating::3**), $UR_4$ (**University Rating::4**) y $UR_5$ (**University Rating::5**), tiene la formulación (con coeficientes redondeados a cuatro cifras decimales por motivos de edición):$$\tiny \hat{COA}=-1,2425+0,0017\cdot GRE+0,0031\cdot TOEFL-0,0026\cdot SOP+0,0227\cdot LOR+0,1188\cdot CGPA-0,0009\cdot G_1+0,0244\cdot R_1-0.0146\cdot UR_2-0,0093\cdot UR_3-0,0072\cdot UR_4+0,0105\cdot UR_5\hspace{10mm}(28)$$ para este modelo se obvia la interpretación del intercepto por carecer de sentido dado que **Chance of Admit** resultaría negativa en caso de un que las variables predictoras fuesen nulas a la vez, y ambas situaciones carecen de sentido.

Por otro lado, luego de auscultar el resumen estadístico y la tabla ANOVA del modelo RLM Total (como se muestra en la pestaña homónima), se pudo establecer, con el apoyo de los resúmenes estadísticos de las variables de estudio, que podía excluirse directamente del modelo por baja significancia las variables **Gender** y **University Rating**; sin embargo, la variable **SOP** presentó un parte contradictorio: significancia en el resumen, pero lo contrario en ANOVA, la decisión tomada fue excluirla del modelo. Esto implicó que se calculase un modelo reducido con la formulación (con base en las mismas consideraciones de edición del modelo total):$$\hat{COA}=-1,2985+0,0018\cdot GRE+0,0030\cdot TOEFL+0,0228\cdot LOR+0,1210\cdot CGPA+0,0246\cdot R_1\hspace{10mm}(29)$$

###### Resumen y ANOVA del Modelo RLM Total
```{r, resumen_y_ANOVA_RLM_Total, fig.align = 'center'}
summary(lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$status)+as.factor(Universidad_Dataset$research)+as.factor(Universidad_Dataset$focus)))
anova(lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$status)+as.factor(Universidad_Dataset$research)+as.factor(Universidad_Dataset$focus)))
```

###### Coeficientes del Modelo RLM Total
```{r, coeficientes_RLM_Total, fig.align = 'center'}
coefficients(lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$status)+as.factor(Universidad_Dataset$research)+as.factor(Universidad_Dataset$focus)))
```

###### Coeficientes del Modelo RLM Reducido
```{r coeficientes_RLM_Reducido, fig.align = 'center'}
coefficients(lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$research)))
```

##### Análisis del modelo RLM. {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas, primero por **Mejor Modelo Iterado según AIC**, muestra que la decisión de excluir del modelo total a la variable **SOP** resultó acertada, el algoritmo iterado que considera componentes ANOVA y de desviación de residuales la excluyó en la cuarta iteración. Además, el mismo algoritmo determinó un modelo basado en las mismas variables del modelo reducido fundamento en la inspección de varaibles de las dos secciones precedentes.

Complementariamente, en la pestaña de **Bondades de Ajuste, Significancias y Criterios de Información Comparados** se presentan en paralelo los modelos generados. La consideración de todas las variables del conjunto de datos presentó una bondad de ajuste con base en el coeficiente de determinación múltiple que solo se redujo en terminos absolutos $0,002$ puntos (es decir, se pasó de explicar el $80,5$ $\%$ de la variabilidad a el $80,3$ $\%$) en comparación con el modelo reducido y el iterado; además, las significancias global e individuales de estos evidencian que ambos modelos, que son idénticos, aportan información relevante para estimar la variable dependiente **Chance of Admit**, porque para los valores críticos obtenidos de las pruebas $F$ (para la significancia global) y $t$ (para las significancias individuales), los p-valores resultaron siempre menores para cualquier nivel de significancia $\alpha$ incluido dentro de los tradicionales, por ejemplo, $\alpha=0,01$.

Por último, los criterios de información AIC y BIC muestran que efectivamente en los modelos idénticos reducido e iterado la relación entre el sesgo y la varianza en sus formulaciones, es decir, entre sus exactitudes y complejidades, resulta mejor que en modelo total: $AIC_{RLMReducido}=AIC_{RLMIterado}=-1059,225<-1052,314=AIC_{RLMTotal}$ y $BIC_{RLMReducido}=BIC_{RLMIterado}=-1031,284<-1000,425=BIC_{RLMTotal}$.

###### Mejor Modelo Iterado según AIC
```{r, mejor_Modelo_AIC, fig.align = 'center'}
modelo_Iterado_STEP = step(lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$status)+as.factor(Universidad_Dataset$research)+as.factor(Universidad_Dataset$focus)))
coefficients(modelo_Iterado_STEP)
```

###### Bondades de Ajuste, Significancias y Criterios de Información Comparados
```{r}
library(stargazer)

modelo_RLM_TOTAL = lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$status)+as.factor(Universidad_Dataset$research)+as.factor(Universidad_Dataset$focus))
modelo_RLM_REDUCIDO = lm(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$`ger score`+Universidad_Dataset$`isr score`+Universidad_Dataset$`irn score`+Universidad_Dataset$`ifr score`+Universidad_Dataset$`cpf score`+Universidad_Dataset$`ar score`+Universidad_Dataset$`er score`+Universidad_Dataset$`fsr score`+as.factor(Universidad_Dataset$research))

stargazer(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP, type = "text", df = TRUE)
AIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)
BIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)
```

### 4.4. Regresión Logística                                                                                                                    

Este modelo, que eventualmente será llamado en este estudio como **RLogS**, establece que, en comparación con un modelo de regresión lineal simple que relacione una variable cuantitativa dependiente $y$ con una varaible cuantitativa independiente $x$, relaciona una variable categórica dicotómica (con valores posibles $1$ (éxito) y $0$ (fracaso)) dependiente $y$ con el valor de probabilidad $p(x)\in [0, 1]$ que depende de alguna variable cuantitativa $x$.

Como se mencionó en la sección **1** los modelos de regresión usados en este estudio pueden ser vistos como casos particulares del Modelo Lineal Generalizado (**GLM** por sus siglas en inglés). Este modelo extiende al modelo lineal general al lograr que la variable dependiente está relacionada linealmente con sus factores y covariables a través de alguna función de enlace y que la variable dependiente pueda tener una distribución diferente a la normal. Además de los modelos usados en este estudio, el **GLM** también cubre: modelos loglineales para datos de recuento, modelos log-log complementario para datos de supervivencia censurados por intervalos, y otros modelos estadísticos a través de la propia formulación general del modelo.

Como **GLM** permite especificar distribuciones diferentes a la normal y una función de enlace (entendida como una transformación de la variable dependiente que permite la estimación del modelo) diferente a la identidad se puede trabajar con muchas combinaciones posibles de distribuciones y funciones de enlace, varias de las cuales pueden ser adecuadas para un conjunto de datos en particular, esto implica que la elección de la combinación estará orientada por consideraciones teóricas a priori, por la naturaleza de las variables, la experiencia del investigador y los resultados al comparar combinaciones.

En el caso por tratar, se trabajará con base en una distribución binomial (adecuada para variables que representan una respuesta binaria) con función de enlace logit:$$\pi(x)=\dfrac{e^{\beta_0+\beta_1 x}}{1+ e^{\beta_0 +\beta_1 x}}=  \dfrac{1}{1+ e^{-(\beta_0+\beta_1 x)}}\hspace{10mm}(30)$$(del inglés **log**arithmic un**it**: unidad logarítmica (natural)); que además es apropiada únicamente para la distribución binomial), por lo cual un nombre más adecuado para la regresión podría ser regresión logística binaria. Cabe anotar que el término logístico hace referencia a que la función de enlace constituye, en cierto sentido, un refinamiento del modelo exponencial de crecimiento, descrito por la función sigmoidea, de una magnitud asociada con un conjunto $C$.

Para facilitar las interpretaciones se entiende que la función de enlace $\pi(x)$ proviene de una razón de probabilidades (conocida en idioma inglés como ODDS ratio (OR)), que a su vez es el argumento de un logaritmo: $\log\left(\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}\right)$, así, se modela la probabilidad de que la variable de respuesta pertenezca al nivel de referencia $1$ en función del valor de los predictores. Complementariamente, la transformación de probabilidades a razones de probabilidad es conserva la monotonicidad de sentidos. Además, la transformación convierte el intervalo de probabilidad $[0,1]$ a $(-\infty,\infty)$. Las propiedades que se dan entre las probabilidades complementarias de éxito y fracaso, sus razones y la función de enlace logit son:

||||
:-:|:-:|:-:|
$p(éxito)=p(fracaso)$|$OR=1$|$Logit\left(OR\right)=0$
$p(éxito)<p(fracaso)$|$OR<1$|$Logit\left(OR\right)<0$
$p(éxito)>p(fracaso)$|$OR>1$|$Logit\left(OR\right)>0$
||||

Se entiende que la transformación $Logit$ carece de sentido para la certeza del éxito o del fracaso.

#### Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la sección **2** se formulará un modelo de regresión logística simple para estudiar la relación logística supuesta entre las varaibles definidas por los campos: **Chance of Admit** (variable independiente) y **Research** (variable dependiente), con base en una distribución binomial y la función de enlace $Logit$.

#### Desarrollo del Análisis
El estudio de regresión lineal simple ha sido procesado con `r R.version.string` mediado por RStudio 2022.07.2 Build 576 en una plataforma x86_64-w64-mingw32.

##### Resumen estadístico de las variables de estudio. {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas muestra el resumen estadístico de la variable independiente **Chance of Admit**, su boxplot e histograma. De la variable dependiente **Research**
se mostrará su diagrama de barras, así como su media y mediana. Además, se exhibirá un Diagrama de Cajas conjunto entre aquellas.

Con base en la pestaña **Resumen y Boxplot de Chance of Admit** se puede comentar que la variable **Chance of Admit**, como se hizo en la sección 3.1.2.1., presenta asimetría de sesgo negativo con rango intercuartílico estrecho de dispersión imperceptible. Además, un dato se visualiza como outlier. Así, puede decirse que la variable registra valores altos en relación con su intervalo de medición. Lo expuesto también es constatable a través de la pestaña **Histograma de Chance of Admit**.

Asimismo, según la pestaña **Resumen y Diagrama de Barras de Research**, la variable cualitativa::nominal **Research** muestra proporcionalidad mayor para los casos favorables 1, que para los casos desfavorables 0: $54.75$ $\%$ y $45.25$ $\%$, respectivamente.

Complementariamente, la pestaña **Resumen y Diagrama de Cajas Conjunto** muestra que las observaciones son consistentes con el contexto del problema; es decir, para los casos favorables de **Research** los resultados de **Chance of Admit** son mayores, en comparación con los casos desfavorables. Además, ambos casos: los favorables y los desfavorables, muestran sesgo negativo, aunque es más notorio para los casos favorable. También, en el rango intercuartílico se visualizan dispersiones opuestas entre los casos desfavorables, hacia la mitad inferior de los datos, y los casos favorables, hacia la mitad superior. Asimismo, los atípicos, en ambos casos, se presentan en los extremos inferiores de las distribuciones, es decir, resultaron más extraños los valores bajos.

###### Resumen y Boxplot de Overral Score
```{r resumen_Chance__of__Admit, fig.align = 'center'}
summary(Universidad_Dataset$`Overall Score`)
boxplot(Universidad_Dataset$`Overall Score`, main = "Diagrama de Caja de Overall Score", col = c("orange"))
```

###### Histograma de Overall Score
```{r histograma_Chance_of_Admit, fig.align = 'center'}
summary(Universidad_Dataset$`Overall Score`)
hist(Universidad_Dataset$`Overall Score`, main = "Histograma de Overall Score", col = c("gold"))
```

###### Resumen y Diagrama de Barras de research
```{r resumen_Research, fig.align = 'center'}
table(Universidad_Dataset$research)
prop.table(table(Universidad_Dataset$research))
barplot(table(Universidad_Dataset$research))
```

###### Resumen y Diagrama de Cajas Conjunto
```{r boxplot_Conjunto_Chance-of-Admit_Research, fig.align = 'center'}
tapply(Universidad_Dataset$`Overall Score`, Universidad_Dataset$research, mean)
tapply(Universidad_Dataset$`Overall Score`, Universidad_Dataset$research, median)
boxplot(Universidad_Dataset$`Overall Score`~Universidad_Dataset$research, main = "Boxplot Conjunto: Chance of Admit - Research", col = c("orange", "gold"))
```

##### Formulación del modelo de RLogS entre las variables de estudio. {.tabset .tabset-pills}
La navegación a través de las pestañas muestra los coeficientes del modelo RLogS y su resumen estadístico. Se menciona de nuevo que las variables de interés son: **Chance of Admit** (variable independiente) y **Research** (variable dependiente).

La pestaña **Coeficientes del Modelo RLogS** permite establecer que el modelo RLogS relaciona a $\pi(x)$ con $x$ a través de la función de enlace $Logit$ de la siguiente manera:$$\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}=e^{-7,658709+10,886959\cdot x}\hspace{10mm}(31)$$

Asimismo, la pestaña **Resumen Estadístico del Modelo RLogS** muestra, para efectos de comparación, los resúmenes del modelo estudiado y de uno alternativo con base en la variable cualitativa::nominal **Gender**. Con base en el criterio de información de Akaike (AIC por sus siglas en inglés), del cual se sabe que es una medida de la bondad de ajuste de un modelo estadístico que describe la relación entre el sesgo y la varianza en la formulación del modelo, es decir, entre su exactitud y complejidad, se verifica que resulta un mejor modelo de la variable **Research** que de la variable **Gender**, porque: $AIC_R=412.60<534.09=AIC_G$. También, para apoyar que el modelo basado en la variable **Research** es mejor que aquél basado en **Gender**, el cociente entre la desviación nula (Null Deviance) y la desviación residual (Residual Deviance), observable en la pestaña Resumen Estadístico del Modelo RLosgS, es mayor en el modelo propuesto que en el de comparación.

###### Coeficientes del Modelo RLogS
```{r coeficientes_Regresion_Logistica_Simple, fig.align = 'center'}
modelo_RLog_Simple = glm(Universidad_Dataset$research~Universidad_Dataset$`Overall Score`, family = "binomial", data = data.frame(Universidad_Dataset$research, Universidad_Dataset$`Overall Score`))
coef(modelo_RLog_Simple)
```
###### Resumen Estadístico del Modelo RLogS
```{r resumen_Regresion_Logistica_Simple, fig.align = 'center'}
summary(modelo_RLog_Simple)
modelo_RLog_Simple_S = glm(Universidad_Dataset$status~Universidad_Dataset$`Overall Score`, family = "binomial", data = data.frame(Universidad_Dataset$status, Universidad_Dataset$`Overall Score`))
summary(modelo_RLog_Simple_S)
```

##### Análisis del modelo RLogS. {.tabset .tabset-pills}
Se mostrarán, a través de pestañas, los resultados de algunas predicciones obtenidas a través del modelo RLogS para identificar en sus respuestas la correspondencia de sentido en las razones de probabilidades ODDS a favor o en contra del evento considerado: $\frac{\pi}{1-\pi}$ y $\frac{1-\pi}{\pi}$, respectivamente. Se menciona de nuevo que las variables de interés son: **Chance of Admit** (variable independiente) y **Research** (variable dependiente).

La pestaña **Variable Predictora igual a Cero** plantea dos situaciones interpretativas. La primera, permite comprender que el coeficiente del factor en el cual está presente la varaible predictora, estima una probabilidad de caso favorable cercana a cero en el orden de la diezmilésima. La segunda, acarrea una interpretación más delicada: como la variable **Chance of Admit** se mide en el intervalo $[0,1]$ con dos cifras significativas y dos decimales de precisión, una unidad de medida razonable en ella sería una centésima, por ejemplo: pasar de $0.62$ a $0.63$ implica incrementar en una unidad de medida a $0.62$. Así, se entiende que el cociente de probabilidades en relación con la variable predictora en el modelo RLogS refleje un incremento acumulado de $\approx 53474.4$ veces desde $0$ hasta $1$, con incrementos de $0.01$.

Con base en lo anterior, a través de la pestaña **Probabilidades Estimadas** se puede apreciar entre los registros $19$ y $20$ un delta de cambio absoluto igual a $0.022795$ (equivalente a un incremento relativo $\approx 7.94$ $\%$) al incrementarse la variable predictora en una unidad como se definió en el párrafo anterior.

Por último, el gráfico de curva logística, en la pestaña Gráfica del Modelo RLogS, permite visualmente comprender el comportamiento de las variables involucradas en el modelo propuesto; es decir, los casos favorables en relación con la variable **Research** logran superar la barrera del $90$$\%$ del valor de **Chance of Admit**.

###### Variable Predictora igual a Cero
```{r variable_Predictora_Cero, fig.align = 'center'}
coef(modelo_RLog_Simple)
round(exp(coef(modelo_RLog_Simple)),6)
```
###### Probabilidades Estimadas
```{r probabilidades_Estimadas, fig.align = 'center'}
predict(modelo_RLog_Simple, data.frame(seq(1, 400)), type = "response")
```
###### Gráfica del Modelo RLogS
```{r grafica_Modelo_RLogS, fig.align = 'center'}
research <- Universidad_Dataset$research
overall_score <- Universidad_Dataset$`Overall Score`
dataPlot <- data.frame(overall_score, research)
plot(research~overall_score, data = dataPlot, main = "Modelo RLogS: Overall Score - Research", xlab = "Overall Score", ylab = "Research = 0 | Research = 1", col = "gold", pch = "I")
curve(predict(glm(research~overall_score, family = "binomial", data = dataPlot), data.frame(overall_score = x), type = "response"), col = "orange", lwd = 3, add = TRUE)
```
 