Estudio descriptivo multivariante con base en un conjunto de datos que registra información relacionada con la insuficiencia cardiaca
Por: G2::john.tagara::julian.esteban.betancourt::julian.andres.gallego::@correounivalle.edu.co
2024-03-20
Fase 1 [Descripcion Multivariante]
1.1 Objetivos del Estudio
Estudiar, desde el punto de vista de la estadística descriptiva multivariante (calculos, visualizaciones e interpretaciones) a un conjunto de datos relacionados con la insuficiencia cardíaca.
1.2 Descripcion del conjunto de datos
Fuente del conjunto de Datos
El conjunto de datos de trabajo se obtuvo totalmente de Kaggle: Insuficiencia cardiaca. Es conveniente anotar que Kaggle es una compañia subsidiaria de Google LLC que mantiene una comunidad online de científicos de datos y profesionales del aprendizaje automático, Esta empresa permite a sus usuarios encontrar y publicar conjuntos de datos, explorar y crear modelos en un entorno de ciencia de datos basado en la web, trabajar con otros cientificos de datos e ingenieros de aprendizaje automatico y participar en concursos para resolver desafios de ciencia de datos.
Contexto del conjunto de Datos
El conjunto registra datos sobre 11 campos relacionados con el estado de salud, comportamientos y resultados de chequeos médicos generales. Este conjunto de datos fue actualizado por ultima vez en septiembre del 2021.
Descripcion del conjunto de Datos
El conjunto de datos contiene 12 campos y 917 registros. En donde uno de los campos tiene valores negativos en los registros; también existen otros 3 campos en donde sus registros son de naturaleza politómica, otros 4 campos de naturaleza dicotómica y el resto de campos son de naturaleza estrictamente numérica positiva. La lista a continuación hará una descripción en el mismo orden de los campo que seria de izquierda a derecha, también se hará una descripción del tipo de variable y su escala medición con base en esta nomenclatura (tipo de variable::escala de medición [ordenamiento]).
• Edad (cuantitativa::razón): Registra la edad del paciente en años.
• Sexo (cualitativa::nominal): Registra el sexo de cada paciente de la siguiente forma: M (paciente del sexo masculino) y F (paciente del sexo femenino).
• Tipo_dolor_pecho (cualitativa::nominal): Registra el tipo de dolor en el pecho que presenta el paciente, el cual se clasifica en el conjunto de datos de la siguiente forma: Anginia atípica, dolor no anginoso, anginia atípica y asintomático. Se recalcar que los criterios de estas categorías no fueron proporcionados.
• PA_reposo (cuantitativa::razón): Registra la presión arterial en reposo y la unidad de medida a utilizar es milímetro de mercurio (mm Hg).La escala de este campo desde 80 hasta 200.
• Colesterol (cuantitativa::razón): Registra el nivel de colesterol sérico de cada paciente utilizando una unidad de medida de miligramo por decilitro (mg/dl) y la escala que utiliza va desde 40 hasta 603.
• AZ_Ayunas (cuantitativa::razón): Registra el nivel de azúcar en la sangre en ayunas de los pacientes, la cual utiliza una escala de medida de miligramo por decilitro (mg/dl) desde 80 hasta 400.
• ECG_reposo (cualitativa::nominal): Registra el resultado del electrocardiograma en reposo el cual tiene 3 categorias: Normal, ST (anomalia en las ondas st-t) y LVH (Hipertrofia ventricular izquierda).
• FrecC_Max (cuantitativa::razón): Registra la frecuencia cardiaca máxima de los pacientes, y se mide en latidos por minuto (lpm) y la escala del campo esta entre 60 y 202.
• Anginia_Ejercicio (cualitativa::nominal): Registra la angina o dolor en la caja torácica inducida por el ejercicio y esta tiene dos clasificaciones N (no presenta), y Y (si presenta).
• Oldpeak (cuantitativa::razón): Registra el valor numérico de la depresión del segmento ST en un electrocardiograma y se mide en milímetros (mm) el cual tiene una escala que va desde -26 hasta 62.
• Pendi_Segme_ST_Ejercicio (cualitativa::nominal): Registra la pendiente del segmento ST cuando se esta realizando el máximo ejercicio y este tiene 3 clasificaciones: Ascendente, descendente y plano.
• Clase_salida (cualitativa::nominal): Registra si el paciente se diagnostica con una enfermedad cardiaca o si sale en condiciones normales, este campo tiene dos clasificaciones 0 (para salida normal) y 1 (para salida con enfermedad cardiaca).
Por último, se recalca que el conjunto de datos fue reescrito, y en algunos casos en las variables cuantitativas como el azúcar en sangre que originalmente era una variable cualitativa con registros 0 (menor o igual a 120 mg/dl) y 1 (mayor a 120 mg/dl) a una cuantitiva de escala razon.
Estructura del Conjunto de Datos
str(heart_diseases_Dataset)## tibble [917 × 12] (S3: tbl_df/tbl/data.frame)
## $ Edad : num [1:917] 40 49 37 48 54 39 45 54 37 48 ...
## $ Sexo : chr [1:917] "M" "F" "M" "F" ...
## $ Tipo_dolor_pecho : chr [1:917] "angina atipica" "dolor no anginoso" "angina atipica" "asintomatico" ...
## $ PA_reposo : num [1:917] 140 160 130 138 150 120 130 110 140 120 ...
## $ Colesterol : num [1:917] 289 180 283 214 195 339 237 208 207 284 ...
## $ AZ_Ayunas : num [1:917] 92 122 109 112 97 109 85 98 95 100 ...
## $ ECG_reposo : chr [1:917] "Normal" "Normal" "ST" "Normal" ...
## $ FrecC_Max : num [1:917] 172 156 98 108 122 170 170 142 130 120 ...
## $ Angina_Ejercicio : chr [1:917] "N" "N" "N" "Y" ...
## $ Oldpeak : num [1:917] 0 1 0 15 0 0 0 0 15 0 ...
## $ Pendi_Segme_ST_Ejercicio: chr [1:917] "ascendente" "plano" "ascendente" "plano" ...
## $ Clase_salida : chr [1:917] "Normal" "Enfermedad cardiaca" "Normal" "Enfermedad cardiaca" ...Visualización del Conjunto de datos
heart_diseases_Dataset## # A tibble: 917 × 12
## Edad Sexo Tipo_dolor_pecho PA_reposo Colesterol AZ_Ayunas ECG_reposo
## <dbl> <chr> <chr> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>
## 1 40 M angina atipica 140 289 92 Normal
## 2 49 F dolor no anginoso 160 180 122 Normal
## 3 37 M angina atipica 130 283 109 ST
## 4 48 F asintomatico 138 214 112 Normal
## 5 54 M dolor no anginoso 150 195 97 Normal
## 6 39 M dolor no anginoso 120 339 109 Normal
## 7 45 F angina atipica 130 237 85 Normal
## 8 54 M angina atipica 110 208 98 Normal
## 9 37 M asintomatico 140 207 95 Normal
## 10 48 F angina atipica 120 284 100 Normal
## # ℹ 907 more rows
## # ℹ 5 more variables: FrecC_Max <dbl>, Angina_Ejercicio <chr>, Oldpeak <dbl>,
## # Pendi_Segme_ST_Ejercicio <chr>, Clase_salida <chr>1.3 Estimaciones Multivariantes
Las medidas de media, varianza y covarianza constituyen un conjunto fundamental para describir el comportamiento posicional, dispersivo y correlacional de variables aleatorias. En el contexto de un conjunto de datos que contiene seis variables aleatorias numéricas y se representa matricialmente, estas medidas se calculan utilizando vectores y matrices en el análisis descriptivo multivariable.
El vector de medias describe el comportamiento posicional de cada variable en relación con todos sus registros, representando el valor esperado o punto medio para cada variable.
La matriz de varianzas-covarianzas proporciona información sobre las dispersiones de cada variable en relación con sus medias. En su diagonal principal, se encuentran las varianzas de cada variable respecto a su media. Por encima o por debajo de la diagonal principal, se encuentran las covarianzas que estiman las relaciones lineales entre todas las combinaciones posibles de pares de variables en el conjunto de datos.
Planteamiento del Problema
Con base en el cojunto de datos mencionado anteriormente lo que se pretendera es calcular e interpretar este conjunto, para las variables estrictamente numericas, como: el vector de medias, la varianza-covarianza y la matriz de correlacionadas. Para recordar cuales fueron las variables numericas (con una escala de medicion de razon) son: Edad, PA_reposo, Colesterol, AZ_Ayunas, FrecC_Max y Oldpeak
Desarrollo del Análisis
En base a la navegacion de pestañas que nos permite RStudio se calculo los siguientes tres objetos: Vector de Medias, Matriz de Varianzas-Cobarianzas y Matriz de Correlaciones.
Basándonos en la pestaña Vector de Medias, se observa que en general los datos registrados para cada una de las variables tienden a presentar colas derechas en sus distribuciones, lo que hace que las medias estimadas tiendan a ser altas. Además, en relación con la mediana, solo la variable Colesterol y Oldpeak muestran un sesgo notable en comparación con las demás. También se ha observado que todos los casos atípicos se encuentran en el extremo superior. Si revisamos los rangos de las variables estudiadas, podemos encontrar que las medias son bajas en comparación con los extremos superiores de cada rango.
Basandonos en la pestaña Matriz de Varianza-Covarianza Se puede interpretar que en general, las relaciones entre las variables tomadas por pares en su mayoria tienden a ser de proporcionalidad indirecta y en la diagonal de la matriz podemos observar como varian los datos dentro de su propia clasificacion.
Basandonos en la pestaña Matriz de Correlaciones y al considerar los resultados de la Matriz de Varianzas-Covarianzas se puede verificar que los coeficientes de correlacion son negativos y positivos entre las variables: Edad, PA_reposo, Colesterol, AZ_Ayunas, FrecC_Max y Oldpeak. Estas correlaciones eran de esperarse en el conjunto estudiado.
Vector de Medias
apply(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], 2, mean)## Edad PA_reposo Colesterol AZ_Ayunas FrecC_Max Oldpeak
## 53.50927 132.54089 210.95856 140.54853 136.78953 5.38277heart_diseases_Dataset_Reducido =heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)]
par(mfrow = c(1, ncol(heart_diseases_Dataset_Reducido)))
invisible(lapply(1:ncol(heart_diseases_Dataset_Reducido), function(i) boxplot(heart_diseases_Dataset_Reducido[, i])))
Matriz de Varianzas y Covarianzas
round(cov(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11, 12)]),2)## Edad PA_reposo Colesterol AZ_Ayunas FrecC_Max Oldpeak
## Edad 89.07 44.69 -77.67 126.27 -91.88 18.83
## PA_reposo 44.69 323.99 103.07 116.81 -50.28 16.31
## Colesterol -77.67 103.07 6865.61 -1271.61 501.51 13.56
## AZ_Ayunas 126.27 116.81 -1271.61 6233.09 -240.75 51.56
## FrecC_Max -91.88 -50.28 501.51 -240.75 648.57 -17.86
## Oldpeak 18.83 16.31 13.56 51.56 -17.86 76.97Matriz de correlaciones
round(cor(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)]),2)## Edad PA_reposo Colesterol AZ_Ayunas FrecC_Max Oldpeak
## Edad 1.00 0.26 -0.10 0.17 -0.38 0.23
## PA_reposo 0.26 1.00 0.07 0.08 -0.11 0.10
## Colesterol -0.10 0.07 1.00 -0.19 0.24 0.02
## AZ_Ayunas 0.17 0.08 -0.19 1.00 -0.12 0.07
## FrecC_Max -0.38 -0.11 0.24 -0.12 1.00 -0.08
## Oldpeak 0.23 0.10 0.02 0.07 -0.08 1.001.4 Graficas Multivariadas
Se menciona que en términos generales, los gráficos multivariados cumplen dos objetivos escenciales: en primer lugar, ayudan a comparar el comportamiento de poblaciones de estudio basándose en variables categóricas, y en segundo lugar, facilitan la comprensión de la estructura de correlación entre múltiples variables. En este contexto, el conjunto de datos en cuestión será respaldado visualmente a través de tres tipos de diagramas: uno que integra dispersión, distribución y correlaciones; otro que utiliza la renderización de polígonos; y finalmente, uno que emplea caras de Chernoff para representación gráfica.
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la fase 1 seccion 1.2, se calcularán e interpretarán diversas gráficas multivariadas para las variables numéricas. Las variables numéricas utilizadas (en una escala de medición de razón) incluyen: Edad, PA_reposo, Colesterol, AZ_Ayunas, FrecC_Max y Oldpeak.
A continuación, se realizarán las siguientes gráficas multivariadas:
Diagrama de Correlaciones: Este diagrama mostrará las relaciones de correlación entre pares de variables numéricas. Las líneas o colores indicarán la fuerza y dirección de la correlación entre cada par de variables. Esto ayudará a identificar patrones de asociación lineal entre las variables.
Matriz de Diagrama de Dispersión: La matriz de diagrama de dispersión representará gráficamente la relación entre todas las combinaciones posibles de variables numéricas. Cada celda de la matriz mostrará un diagrama de dispersión que ilustra la relación entre un par específico de variables. Esto permitirá visualizar simultáneamente múltiples relaciones entre las variables.
Diagrama de Estrellas: Este tipo de diagrama se utiliza para mostrar relaciones complejas entre múltiples variables. Cada variable se representa como un eje en un gráfico radial, y los puntos o líneas conectadas indicarán las observaciones de datos. Esto facilita la identificación de patrones o agrupaciones en los datos multivariados.
Caras de Chernoff: Las caras de Chernoff son un método visual único para representar múltiples variables numéricas mediante la modificación de las características faciales (como forma de ojos, boca, etc.) para reflejar los valores de las variables. Cada cara representa una observación en el conjunto de datos y permite una visualización intuitiva de las diferencias y similitudes entre las observaciones basadas en múltiples características.
Estas gráficas multivariadas proporcionarán una visión completa y detallada de la estructura de los datos numéricos, ayudando a identificar patrones, asociaciones y posibles agrupaciones en el conjunto de datos descrito en la sección 1.2.
Desarollo del Analisis
La navegación a través de pestañas que nos permite RStudio mostrará las gráficas multivariadas de: Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones (sin agrupación SA y con agrupación CA; teniendo en cuenta las 6 variables categóricas: Sexo: SEX, Tipo_dolor_pecho: TIP, ECG_reposo: ECG, Angina_Ejercicio: ANE, Pendi_Segme_ST_Ejercicio: PST, Clase_salida: CS), Diagrama de Estrellas y Caras de Chernoff.
Basándonos en la pestaña Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [SA], donde podemos observar que existen dos correlaciones, una positiva más alta, superior a \(0.2\), y una negativa más baja, inferior a \(-0.1\). En general, dependiendo de con quién se correlacionen, nos pueden dar resultados positivos o negativos. Ahora, el significado de esto nos indica el nivel de proporcionalidad (directa o indirecta) que tienen las variables cuando se relacionan unas con otras. Sin embargo, es importante destacar que ninguna de estas variables es extremadamente explicativa por sí sola. Aunque muestran correlaciones altas y bajas, lo que sugiere un cierto nivel de relación entre ellas, ninguna de ellas puede explicar completamente este fenómeno, lo cual sugiere que también hay influencia de otros factores externos para poder diagnosticar si existe insuficiencia cardíaca o no en el paciente.
De manera complementaria, basándonos en las pestañas Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones, pero en sus versiones en grupos de las variables categóricas: Sexo, Tipo_dolor_pecho, ECG_reposo, Angina_Ejercicio, Pendi_Segme_ST_Ejercicio y Clase_salida, se puede apreciar que en la comparativa entre distintas categorías, el Sexo no muestra tanta relevancia como para elevar de manera tan significativa la probabilidad de que a un paciente se le diagnostique insuficiencia cardíaca, a diferencia de lo que ocurre con la categoría Pendi_Segme_ST_Ejercicio, que se muestra de manera diferente a lo mencionado anteriormente. Es decir, que un paciente que muestra una pendiente anómala en el momento en que se le realiza su evaluación cardíaca, este resultado puede resultar más significativo en el diagnóstico de insuficiencia cardíaca. Por otro lado, la categoría Angina_Ejercicio también puede dar una correlación significativa entre la insuficiencia cardíaca y los padecimientos resultantes al realizar ejercicio.
En base a la pestaña Diagrama de Estrellas, se puede interpretar que hay una gran variedad bastante notable entre los pacientes y, en términos de datos, hay ciertas relaciones pero no son lo suficientemente altas como para separar en grupos, en general presentan una alta variablilidad
Además complementariamente Diagramas de Estrellas, la pestaña Caras de Chernoff revela la gran diversidad entre los pacientes. Con bastante claridad, las Caras de Chernoff, desde el número 1 hasta el 23, muestran una gran variabilidad, lo que hace imposible separarlos en grupos similares. Este hallazgo coincide con lo observado en el Diagrama de Estrellas.
Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [SA]
ggpairs(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)])
Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [CA:SEX]
ggpairs(heart_diseases_Dataset, columns = c(1,4,5,6,8,10), aes(color = Sexo, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [CA:TIP]
ggpairs(heart_diseases_Dataset, columns = c(1,4,5,6,8,10), aes(color = Tipo_dolor_pecho, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [CA:ECG]
ggpairs(heart_diseases_Dataset, columns = c(1,4,5,6,8,10), aes(color = ECG_reposo, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [CA:ANE]
ggpairs(heart_diseases_Dataset, columns = c(1,4,5,6,8,10), aes(color = Angina_Ejercicio, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [CA:PST]
ggpairs(heart_diseases_Dataset, columns = c(1,4,5,6,8,10), aes(color = Pendi_Segme_ST_Ejercicio, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
Diagrama Conjunto de Dispersión, Distribución y Correlaciones [CA:CS]
ggpairs(heart_diseases_Dataset, columns = c(1,4,5,6,8,10), aes(color = Clase_salida, alpha = 0.5), upper = list(continuous = wrap("cor", size = 2.5)))
Diagrama de Estrellas
set.seed(780728)
heart_diseases_Dataset_Muestreado = heart_diseases_Dataset[sample(1:nrow(heart_diseases_Dataset),23),-c(2,3,7,9,11,12)]
stars(heart_diseases_Dataset_Muestreado, len = 1, cex = 0.4, key.loc = c(10, 2), draw.segments = TRUE)
Caras de Chernoff
set.seed(780728)
heart_diseases_Dataset_Muestreado = heart_diseases_Dataset[sample(1:nrow(heart_diseases_Dataset),23),-c(2,3,7,9,11,12)]
faces(heart_diseases_Dataset_Muestreado)
## effect of variables:
## modified item Var
## "height of face " "Edad"
## "width of face " "PA_reposo"
## "structure of face" "Colesterol"
## "height of mouth " "AZ_Ayunas"
## "width of mouth " "FrecC_Max"
## "smiling " "Oldpeak"
## "height of eyes " "Edad"
## "width of eyes " "PA_reposo"
## "height of hair " "Colesterol"
## "width of hair " "AZ_Ayunas"
## "style of hair " "FrecC_Max"
## "height of nose " "Oldpeak"
## "width of nose " "Edad"
## "width of ear " "PA_reposo"
## "height of ear " "Colesterol"1.5 Normalidad Multivariada
Para investigar o determinar el tipo de distribución multivariada de un conjunto de datos, se pueden utilizar procedimientos descriptivos, como gráficos, o procedimientos inferenciales, como pruebas estadísticas. En este contexto, se logra una generalización de resultados al emplear estos últimos, aunque los primeros respaldan las interpretaciones.
En esta sección se considera el uso de procedimientos inferenciales para determinar si el conjunto de datos con respecto a sus variables numéricas, sigue una distribución normal multivariada (DNM). Se aplicarán pruebas de normalidad multivariada (PNM) que incluyen las pruebas de Mardia, Henze-Zirkler, Doornik-Hansen y Royston. Estas pruebas de normalidad se llevarán a cabo con un nivel de significancia \(\alpha = 0.05\) y bajo las siguientes hipótesis:\[H_0: \text {El conjunto de datos sigue una distribución normal multivariada.}\] \[H_1: \text {El conjunto de datos NO sigue una distribución normal multivariada.}\]
La prueba de Mardia se fundamenta en extensiones de asimetría y curtosis, el cuadrado de la distancia de Mahalanobis, la cantidad de variables \(p\) en análisis y la cantidad de registros \(n\). En este contexto, la prueba estadística para la asimetría sigue una distribución \(\chi^2\), mientras que la prueba estadística para la curtosis se aproxima a una distribución normal.
La prueba de Henze-Zirkler se fundamenta en la distancia funcional. Si el conjunto de datos sigue una distribución normal multivariada, el estadístico de la prueba se distribuye aproximadamente como una log-normal, con parámetros de media \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\).
La prueba de Doornik-Hansen se basa en la asimetría y la curtosis de un conjunto de datos multivariados, los cuales se transforman para asegurar la independencia. Esta prueba se considera más potente que la prueba de Shapiro-Wilk en casos multivariados. El estadístico de prueba está definido como la suma de las transformaciones al cuadrado de la asimetría y la curtosis, y sigue aproximadamente una distribución \(\chi^2\).
La prueba de Royston utiliza las pruebas de Shapiro-Wilk o Shapiro-Francia para evaluar la normalidad multivariada. Si la curtosis es mayor que 3, la prueba de Royston emplea Shapiro-Francia para distribuciones leptocúrticas. Por otro lado, para distribuciones platicúrticas utiliza Shapiro-Wilk. En esta prueba, los parámetros son obtenidos mediante aproximaciones polinomiales.
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la fase 1 sección 1.2, se realizará una prueba estadística de normalidad multivariada con un nivel de significancia \(\alpha=0.05\), para determinar si los datos métricos provienen de una población normal multivariada. Las variables numéricas del conjunto de datos (en escala de medición de razón) son: Edad, PA_reposo, Colesterol, AZ_Ayunas, FrecC_Max y Oldpeak.
Se utilizará una de las pruebas de normalidad multivariada mencionadas anteriormente, como la prueba de Mardia, Henze-Zirkler, Doornik-Hansen o Royston, dependiendo de la distribución de las variables y la curtosis observada. El objetivo es evaluar si estas variables siguen una distribución normal conjunta en el espacio multivariado.
El procedimiento implicará calcular el estadístico de prueba específico (por ejemplo, basado en asimetría y curtosis) y compararlo con su distribución teórica bajo la hipótesis nula de normalidad multivariada. Se establecerá un criterio de rechazo de la hipótesis nula si el valor \(p-value\) asociado al estadístico de prueba es menor que \(\alpha\).
Una conclusión positiva (no rechazo de la hipótesis nula) indicaría evidencia de que las variables analizadas siguen una distribución normal multivariada. Por el contrario, un rechazo de la hipótesis nula sugeriría que al menos una de las variables no sigue una distribución normal, lo que podría tener implicaciones en el análisis posterior de los datos.
Desarrollo del Análisis
La exploración a través de las diferentes pruebas de normalidad multivariada indica que el conjunto de datos, considerando sus variables numéricas, no sigue una distribución normal multivariada. Aquí están los hallazgos clave de cada prueba:
Prueba de Mardia: Los valores \(p\) asociados con las pruebas de asimetría (Skewness) y curtosis (Kurtosis) son menores que el nivel de significancia \(\alpha = 0.05\). Esto sugiere que no hay suficiente evidencia para sostener la hipótesis de normalidad multivariada para las variables del conjunto de datos.
Prueba de Henze-Zirkler: El estadístico de prueba no se distribuye aproximadamente como log-normal, ya que el valor \(p\) es menor que \(\alpha = 0.05\). Por lo tanto, no hay apoyo para que el conjunto de datos siga una distribución normal multivariada según esta prueba.
Prueba de Doornik-Hansen: El estadístico de prueba no sigue una distribución \(\chi^2\) aproximadamente, dado que el valor \(p\) es menor que \(\alpha = 0.05\). Esto sugiere que las evidencias no respaldan la normalidad multivariada del conjunto de datos.
Prueba de Royston: El conjunto de datos, reducido a sus variables numéricas, no sigue una distribución normal multivariada según esta prueba, ya que el valor \(p\) es menor que \(\alpha = 0.05\).
En resumen, con un nivel de significancia de \(0.05\), las pruebas indican consistentemente que el conjunto de datos analizado, con respecto a sus variables numéricas, no sigue una distribución normal multivariada. Este hallazgo es importante para la interpretación y el análisis subsiguiente de los datos.
PNM Mardia
mvn(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], mvnTest="mardia")## $multivariateNormality
## Test Statistic p value Result
## 1 Mardia Skewness 1330.39701506226 2.03529324264984e-241 NO
## 2 Mardia Kurtosis 15.8588696120447 0 NO
## 3 MVN <NA> <NA> NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling Edad 2.7693 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling PA_reposo 7.4597 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling Colesterol 7.0365 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling AZ_Ayunas 124.7066 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling FrecC_Max 1.6082 4e-04 NO
## 6 Anderson-Darling Oldpeak 101.4988 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th Skew
## Edad 917 53.50927 9.437636 54 28 77 47 60 -0.1946831
## PA_reposo 917 132.54089 17.999749 130 80 200 120 140 0.6052097
## Colesterol 917 210.95856 82.858974 219 40 603 163 264 0.1055706
## AZ_Ayunas 917 140.54853 78.949925 109 80 400 95 124 1.8483617
## FrecC_Max 917 136.78953 25.467129 138 60 202 120 156 -0.1419928
## Oldpeak 917 5.38277 8.773387 1 -26 62 0 8 1.9282516
## Kurtosis
## Edad -0.3990863
## PA_reposo 0.7727619
## Colesterol 0.7795042
## AZ_Ayunas 2.2250249
## FrecC_Max -0.4585589
## Oldpeak 5.0171989PNM Henze-Zirkler
mvn(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], mvnTest="hz")## $multivariateNormality
## Test HZ p value MVN
## 1 Henze-Zirkler 6.525351 0 NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling Edad 2.7693 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling PA_reposo 7.4597 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling Colesterol 7.0365 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling AZ_Ayunas 124.7066 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling FrecC_Max 1.6082 4e-04 NO
## 6 Anderson-Darling Oldpeak 101.4988 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th Skew
## Edad 917 53.50927 9.437636 54 28 77 47 60 -0.1946831
## PA_reposo 917 132.54089 17.999749 130 80 200 120 140 0.6052097
## Colesterol 917 210.95856 82.858974 219 40 603 163 264 0.1055706
## AZ_Ayunas 917 140.54853 78.949925 109 80 400 95 124 1.8483617
## FrecC_Max 917 136.78953 25.467129 138 60 202 120 156 -0.1419928
## Oldpeak 917 5.38277 8.773387 1 -26 62 0 8 1.9282516
## Kurtosis
## Edad -0.3990863
## PA_reposo 0.7727619
## Colesterol 0.7795042
## AZ_Ayunas 2.2250249
## FrecC_Max -0.4585589
## Oldpeak 5.0171989PNM Doornik-Hansen
mvn(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], mvnTest="dh")## $multivariateNormality
## Test E df p value MVN
## 1 Doornik-Hansen 359.3139 12 1.517767e-69 NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling Edad 2.7693 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling PA_reposo 7.4597 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling Colesterol 7.0365 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling AZ_Ayunas 124.7066 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling FrecC_Max 1.6082 4e-04 NO
## 6 Anderson-Darling Oldpeak 101.4988 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th Skew
## Edad 917 53.50927 9.437636 54 28 77 47 60 -0.1946831
## PA_reposo 917 132.54089 17.999749 130 80 200 120 140 0.6052097
## Colesterol 917 210.95856 82.858974 219 40 603 163 264 0.1055706
## AZ_Ayunas 917 140.54853 78.949925 109 80 400 95 124 1.8483617
## FrecC_Max 917 136.78953 25.467129 138 60 202 120 156 -0.1419928
## Oldpeak 917 5.38277 8.773387 1 -26 62 0 8 1.9282516
## Kurtosis
## Edad -0.3990863
## PA_reposo 0.7727619
## Colesterol 0.7795042
## AZ_Ayunas 2.2250249
## FrecC_Max -0.4585589
## Oldpeak 5.0171989PNM Royston
mvn(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], mvnTest="royston")## $multivariateNormality
## Test H p value MVN
## 1 Royston 459.6305 3.937501e-96 NO
##
## $univariateNormality
## Test Variable Statistic p value Normality
## 1 Anderson-Darling Edad 2.7693 <0.001 NO
## 2 Anderson-Darling PA_reposo 7.4597 <0.001 NO
## 3 Anderson-Darling Colesterol 7.0365 <0.001 NO
## 4 Anderson-Darling AZ_Ayunas 124.7066 <0.001 NO
## 5 Anderson-Darling FrecC_Max 1.6082 4e-04 NO
## 6 Anderson-Darling Oldpeak 101.4988 <0.001 NO
##
## $Descriptives
## n Mean Std.Dev Median Min Max 25th 75th Skew
## Edad 917 53.50927 9.437636 54 28 77 47 60 -0.1946831
## PA_reposo 917 132.54089 17.999749 130 80 200 120 140 0.6052097
## Colesterol 917 210.95856 82.858974 219 40 603 163 264 0.1055706
## AZ_Ayunas 917 140.54853 78.949925 109 80 400 95 124 1.8483617
## FrecC_Max 917 136.78953 25.467129 138 60 202 120 156 -0.1419928
## Oldpeak 917 5.38277 8.773387 1 -26 62 0 8 1.9282516
## Kurtosis
## Edad -0.3990863
## PA_reposo 0.7727619
## Colesterol 0.7795042
## AZ_Ayunas 2.2250249
## FrecC_Max -0.4585589
## Oldpeak 5.0171989Fase 2 [Componentes Principales]
2.1. Objetivos
En términos generales, esta segunda etapa del estudio presentará cálculos, visualizaciones e interpretaciones basadas en el conjunto de datos tratado en la fase 1. Esta vez, el enfoque se centrará en el análisis de componentes principales de las variables cuantitativas, lo que incluirá la selección, calidad de representación, contribuciones e interpretación.
2.2. Selección de Componentes
El Análisis de Componentes Principales (ACP) reestructura un conjunto de datos multivariado al reducir el número de variables, sin necesidad de asumir ninguna distribución de probabilidad para ellas. Esta reducción se logra mediante combinaciones lineales de las variables originales, que capturan la mayor variabilidad posible presente en el conjunto de datos. Así, el ACP crea nuevas variables, conocidas como componentes principales, que son estadísticamente independientes (basadas en el supuesto de normalidad) y no están correlacionadas.
El ACP se desarrolla a través de las siguientes fases: generación de nuevas variables, reducción dimensional del espacio de datos, eliminación de variables de poco aporte e interpretación de los componentes resultantes en el contexto del problema del cual se obtuvieron los datos.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la fase anterior, primero se debe establecer el porcentaje de varianza explicado por cada dimensión una vez procesado el ACP. Posteriormente, utilizando el autovalor medio o un diagrama de sedimentación, se decidirá cuántos componentes retener.
Desarrollo del Análisis
Con base a la navegacion en pestañas se puede apreciar que el conjunto de datos, relacionado con sus variables numericas puede ser representado por unos conjuntos mas pequeños que llegan a retener el \(79,21\) \(\%\) de la variabilidad del conjunto, estas en particular:
La Matriz ACP muestra en total seis dimenciones en donde la primera retiene un \(23,32\) \(\%\), la siguiente un \(19,72\) \(\%\) y las demas de manera respectiva \(15,26\) \(\%\) y \(14,91\) \(\%\) dandonos un total de \(79,21\) \(\%\) como habiamos mencionado antes, En este sentido la representatividad de la combinacion lineal por dimenciones individuales es relativamente baja pero si tomamos de la dimencion 1 a 4 son significativamente altas a comparacion del resto. Como esta matriz no identifica la relacion con las variables originales se seguira indagando para indentificar las variables que mas contribuyes a las 4 primeras dimensiones que tengan el valor propio mas alto.
La Matriz de Correlaciones permite continuar con el proceso de las descripciones de las combinaciones lineales que conforman las dimensiones de mayor interés: Dimencion 1 a 4. Así mismo esta matriz como se describio en secciones pasadas, ayudara a verificar que la intencidad de correlaciones es relativamente aceptable y positiva entre las variables: PA_reposo, Edad, FrecC_Max y Colesterol, lo cual muestra una relacion con el fenomeno que se esta estudiando, por lo tanto, se podira esperar que estas variables participen de manera significativa en la combinación Lineal que define a la dimencion 1 a 4.
La pestaña de Valores y Vectores Propios muestra estos elementos calculados a partir de la matriz de correlaciones del conjunto de datos. En este contexto, se asegura que la suma de los valores propios sea igual a la dimensión de dicha matriz y a la variabilidad total del conjunto, lo que permite calcular fácilmente las proporciones de retención de variabilidad. Además, la matriz de vectores propios define, para cada componente y en relación con cada variable del conjunto de datos, los coeficientes de la combinación lineal que la conforman, por ejemplo, ajustados a dos cifras decimales, la componente 1 estaria representada por la combinacion lineal (donde \(E\) es Edad, \(P\) es PA_reposo, \(C\) es Colesterol, \(A\) es AZ_Ayunas, \(F\) es FrecC_Max y \(O\) es Oldpeak, y ademas son variables estandarizadas): de esta mismma forma se haran con los componenetes 1 a 4 quedando de la siguiente forma: \[Componente_1 = 0.58*E+0.33*P-0,29*C+0,35*A-0,51*F+0.30*O\]
\[Componente_2 = 0,19*E+0,50*P+0,67*C-0,28*A+0,19*F+0,39*O\] \[Componente_3 = 0,17*E+0,21*P+0,02*C-0,60*A-0,45*F-0,60*O\] \[Componente_4 = 0,09*E-0,56*P-0,08*C-0,54*A+-0.25*F+0,56*O\] Se escogen estas 4 porque en el ACP forman el \(79,21\) \(\%\) y juntas representan una versión más compacta y rica del conjunto original, y hasta este punto se puede observar que el numero de dimensiones resultantes es equivalente al numero de variables tratadas, sin contar las variables nuevas ya que estan son incorreladas entre si, ver la pestaña Correlaciones comparadas.
Por último, tanto el Gráfico de Cattell como el Gráfico de Cattell-Kaiser, que representan el codo y la sedimentación respectivamente, ayudan a decidir cuántas componentes retener en la reducción de dimensionalidad, asegurando que se conserve una cantidad suficiente de variabilidad para abordar el problema en cuestión. No obstante, es importante destacar que se sugiere tomar decisiones basadas en criterios más comunes en lugar de criterios de aceptación universal.
El Gráfico de Cattell revela que los cambios en la pendiente indican una alta capacidad explicativa de las dimensiones en comparación con las demás. Por otro lado, el Gráfico de Cattell-Kaiser, al combinar el gráfico anterior con el criterio de Kaiser en la misma visualización, respalda la idea de retener solo 2 dimensión y no 4 como se habia propuesto, enfatizando que esta elección debe conservar un porcentaje adecuado de variabilidad para el análisis del problema en cuestión.
Matriz ACP
get_eigenvalue(PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F))## eigenvalue variance.percent cumulative.variance.percent
## Dim.1 1.7592474 29.320790 29.32079
## Dim.2 1.1830382 19.717303 49.03809
## Dim.3 0.9155510 15.259183 64.29728
## Dim.4 0.8946274 14.910457 79.20773
## Dim.5 0.6954416 11.590693 90.79843
## Dim.6 0.5520944 9.201574 100.00000Matriz de Correlaciones
round(cor(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)]),2)## Edad PA_reposo Colesterol AZ_Ayunas FrecC_Max Oldpeak
## Edad 1.00 0.26 -0.10 0.17 -0.38 0.23
## PA_reposo 0.26 1.00 0.07 0.08 -0.11 0.10
## Colesterol -0.10 0.07 1.00 -0.19 0.24 0.02
## AZ_Ayunas 0.17 0.08 -0.19 1.00 -0.12 0.07
## FrecC_Max -0.38 -0.11 0.24 -0.12 1.00 -0.08
## Oldpeak 0.23 0.10 0.02 0.07 -0.08 1.00Valores y Vectores Propios
princomp(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], cor = TRUE)$sdev^2## Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.6
## 1.7592474 1.1830382 0.9155510 0.8946274 0.6954416 0.5520944princomp(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], cor = TRUE)$loadings[ ,1:6]## Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.6
## Edad 0.5776364 0.1872497 0.16574216 0.09472231 0.2633580 0.7248955
## PA_reposo 0.3266561 0.5023551 0.21376899 -0.56185201 -0.4950656 -0.1856618
## Colesterol -0.2889849 0.6695748 0.01694501 -0.08358424 0.6561984 -0.1740330
## AZ_Ayunas 0.3487904 -0.2783312 -0.60487484 -0.54444940 0.3509656 -0.1241026
## FrecC_Max -0.5149622 0.1897350 -0.44646771 -0.24897437 -0.2818786 0.5983622
## Oldpeak 0.2987956 0.3883024 -0.60111416 0.55673179 -0.2287442 -0.1906041Correlaciones Comparadas
par(mfrow=c(1,2))
corrplot::corrplot(cor(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)]), method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
corrplot::corrplot(cor(princomp(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], cor = TRUE)$scores), method = "color", type = "upper", number.cex = 0.4)
Gráfico de Cattell
fviz_eig(PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], scale.unit = T, graph = F), addlabels = T, ylim=c(0,90), main = "")
Gráfico de Cattell-Kaiser
scree(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)],factors = FALSE, pc = TRUE, main ="")
2.3. Calidad de Representación
Después de reducir la dimensionalidad del conjunto de datos y proyectar las variables estandarizadas en la hiperesfera de correlaciones, es esencial iniciar la interpretación de los componentes teniendo en cuenta estas correlaciones. Esto nos permite entender cómo las variables originales se relacionan entre sí y cómo estas relaciones se reflejan en los componentes principales. Esta comprensión nos ayuda a inferir patrones y estructuras importantes en los datos. Además, es crucial evaluar la calidad de las representaciones de los componentes, asegurándonos de que conserven la información crucial del conjunto de datos original y sean útiles para el análisis subsiguiente, garantizando así una comprensión precisa y útil de la estructura de los datos.
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la fase 1 se requiere determinar la calidad de representación de las variables cuantitativas en relación con la cantidad de dimensiones calculadas que retienen la mayor cantidad de variabilidad. Para obtener más información al respecto, se recomienda consultar la sección 2.2 del documento.
Desarrollo del Análisis
Explorar las pestañas revela, que reducir la dimensionalidad del conjunto de datos permite analizar las calidades de representación. Esto se evalúa en función de la escala de contribuciones relativas, basada en un cociente de proyecciones con propiedades aditivas y una respuesta en una escala continua de 0 a 1. Así, en particular:
El Círculo de correlaciones nos muestra de manera visual cómo se comportan las seis variables de interés. En este caso, cuatro de ellas están bastante próximas a las fronteras del círculo unitario y cerca de los dos ejes principales, dependiendo de la variable que se tome como referencia. Esto indica que estas variables tienen una buena representación en el plano de los componentes principales. Además, podemos observar tanto correlaciones positivas como negativas entre ellas. Un aspecto importante a destacar es la correlación existente entre las variables. Un ejemplo representativo es la relación entre PA_reposo y Oldpeak. Estas dos variables muestran cómo las correlaciones pueden variar significativamente, reflejando relaciones complejas que pueden ser positivas o negativas dependiendo de su posición relativa en el círculo.
La Matriz de Representación muestra algunos valores signicativamente cercanos a 0 y pocos cercanos a 1,los valores anteriormente mencionados son los cocientes de las proyecciones coseno cuadrado que estan relacionados con la dimensión 1. así de la misma manera la Calidad de Representación en cuanto se relaciona con la componente 1 esta encabezada Edad y cierra con Colesterol cabe recalcar que en la dimension 2 se obtine una mejor representacion por parte del Colesterol, por lo tanto lo que nos dice esto es que la representacion relacionada con la primera dimension se ve afectada. Tambien es importante mencionar que la escala que muestra la Calidad de Representación indica su escala un piso alto de \(0.04\).
Por último, las Coordenadas Individuales permiten identificar, aunque de manera menos intuitiva, los perfiles de los registros individuales, en este caso los pacientes, en relación con las dimensiones más importantes que retienen la mayor parte de la variabilidad: las componentes 1 y 2. Estas coordenadas nos ayudan a entender cómo se distribuyen y agrupan los pacientes en el espacio definido por estas componentes principales. Por ejemplo, al analizar los registros 1, 6, 17 y 20, podemos observar que los registros anteriormente mencionados presentan perfiles similares. Esta observación se mantiene incluso cuando consideramos otras variables como la peor representada. Este análisis sugiere que las principales diferencias y similitudes entre estos registros se capturan de manera efectiva a través de las componentes 1 y 2.
Círculo de Correlaciones
fviz_pca_var(PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], scale.unit = T, graph = F),col.var="#3B83BD", repel = T, col.circle = "#CDCDCD", ggtheme = theme_bw())
Matriz de Representación
(get_pca_var(PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F)))$cos2## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5 Dim.6
## Edad 0.5869973 0.04148021 0.0251506119 0.008026879 0.04823403 0.290111004
## PA_reposo 0.1877191 0.29855232 0.0418380998 0.282413903 0.17044573 0.019030872
## Colesterol 0.1469188 0.53039205 0.0002628851 0.006250157 0.29945457 0.016721547
## AZ_Ayunas 0.2140208 0.09164794 0.3349759121 0.265190061 0.08566229 0.008503053
## FrecC_Max 0.4665280 0.04258863 0.1824999061 0.055456374 0.05525670 0.197670404
## Oldpeak 0.1570636 0.17837703 0.3308235854 0.277290021 0.03638823 0.020057559Calidad de Representación
fviz_pca_var(PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), col.var="cos2", gradient.cols=c("#00AFBB","#E7B800","#FC4E07"), repel = TRUE)
Coordenadas Individuales
head((PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F))$ind$coord, n = 23L)## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5 Dim.6
## 1 -2.0745726 0.76644699 0.009227874 0.79858453 -0.4295182466 -0.25808450
## 2 -0.2895121 0.44149242 -0.346393583 1.20981991 -1.3077699147 0.01117777
## 3 -0.8466390 -0.23244178 -0.985698628 -0.09620251 0.6094854060 -2.13917590
## 4 0.5351111 0.37964288 -0.033227936 -0.86031274 -0.3389857782 -1.32706703
## 5 0.3260574 0.17324290 -1.175071823 0.42085244 -0.4827020407 -0.27111234
## 6 -2.5578366 0.51750272 0.349457699 0.33219744 0.5868934249 -0.30735765
## 7 -1.7589753 0.17580935 -0.037903336 0.31571282 -0.4357491967 0.30264406
## 8 -0.8458294 -0.69305982 -0.343944020 -0.61275276 0.5040290251 0.58297405
## 9 -0.5980179 0.38448539 0.393303433 -0.59655370 -1.0758632563 -1.63443788
## 10 -0.8429563 -0.08949189 -0.743457451 -0.36487444 0.9160561373 -0.66137655
## 11 -1.5165263 -0.46190515 -0.252835121 0.21322041 -0.4794341960 -0.94249379
## 12 0.9231004 -0.44359735 -1.400312147 -0.49500497 -0.0644372390 -0.32566049
## 13 -1.6516759 -0.70393272 -0.184087642 -0.15899785 -0.2771234148 -0.58619841
## 14 -0.6632656 0.31674827 -0.653407515 0.25549002 -0.2990938923 -0.22012789
## 15 -1.3461761 -0.84700088 -0.188829742 -0.29917130 0.1639075188 -0.53355797
## 16 -0.4357071 0.75095454 0.876526211 -0.94335531 0.3707367228 0.16743651
## 17 -2.3047020 -0.90058769 0.299305439 -0.28463015 -0.3391489529 -0.04464171
## 18 -1.8583487 -0.45384180 -0.002599241 -0.09626023 -0.4685229681 0.21812171
## 19 -0.4701640 -0.57341891 -0.652691545 -1.25062637 1.3769438016 0.65914534
## 20 -2.1503982 -0.09410554 0.508481756 0.05656228 0.0006864491 -0.69947908
## 21 -1.6826551 -1.12582727 0.087750216 -0.68906606 0.6621182939 -0.21586985
## 22 -1.2074402 -0.72329648 -0.297915574 -0.36363041 -0.3155482275 -0.24273915
## 23 -1.2035596 -0.38569260 0.164190710 0.26222677 -0.2042976920 0.545235742.4. Contribuciones
La interpretación de los resultados en el análisis de componentes principales (ACP) se ve enriquecida por el cálculo de diversas métricas, tales como coordenadas, contribuciones y cosenos cuadrados. Estos indicadores son fundamentales para comprender la relación entre las variables originales y los componentes principales generados. Es crucial que las variables estén claramente conceptualizadas, contextualizadas en el marco del problema de estudio, para poder interpretar con precisión sus contribuciones a los componentes.
El cálculo de las contribuciones de cada variable a cada componente permite entender el grado de influencia de cada una en la formación de los componentes principales. Este análisis facilita la identificación de aquellas variables que más contribuyen a la estructura de cada componente y, por ende, a la variabilidad general de los datos. Además, proporciona insights sobre las relaciones subyacentes entre las variables y cómo estas se reflejan en los componentes.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la fase 1 se requiere determinar las contribuciones que cada variable realiza en la construcción de cada componente. Este análisis permitirá comprender el papel de cada variable en la estructura subyacente de los datos y su impacto en la formación de los componentes principales. Mediante el cálculo de estas contribuciones, será posible identificar qué variables tienen una influencia más significativa en cada componente, lo que facilitará la interpretación de los resultados del análisis de componentes principales y proporcionará información valiosa para el estudio del problema en cuestión.
Desarrollo del Análisis
Con base a través de las pestañas de navegacion nos permite reconocer las representaciones numericas y graficas de las contribuciones de cada variable del conjunto de datos de manera porcentual a la construcion de cada componente. Entonces en particular llegamos a encontrar lo siguiente:
La Matriz de contribuciones nos muestra en terminos numericos la retencion de la variabilidad que tiene cada variable en su respectiva componente, de la misma se haran diagramas de barras que nos expliquen de manera visual las Contribuciones a D1 hasta Contribuciones a D6 y esta misma se hara a través de la naevagacion de pestañas. Tambien de manera complementaria cada grafico tendra su propia linea que nos ayudara a identificar la contribucion media, esto nos ayudara a identificar las variables que contribuyan de mejor manera a sus repectivas dimenciones.
En Contribuciones a D1 se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: Edad y FrecC_Max que retiene aproximadamente el \(59,89\) \(%\) de la variabilidad de la componente 1.
En Contribuciones a D2 se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: Colesterol y PA_reposo que retiene aproximadamente el \(70,07\) \(%\) de la variabilidad de la componente 2.
En Contribuciones a D3 se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: AZ_Ayunas, Oldpeak y FrecC_Max que retiene aproximadamente el \(91,63\) \(%\) de la variabilidad de la componente 3.
En Contribuciones a D4 se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: PA_reposo, Oldpeak y AZ_Ayunas que retiene aproximadamente el \(92.21\) \(%\) de la variabilidad de la componente 4.
En Contribuciones a D5 se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: Colesterol y PA_reposo que retiene aproximadamente el \(67,57\) \(%\) de la variabilidad de la componente 5.
Por ultimo tenenemos la pestaña Contribuciones a D6 se visualizan que las variables que estan por encima de la contribucion media son: Edad y FrecC_Max que retiene aproximadamente el \(88,35\) \(%\) de la variabilidad de la componente 6.
Con los datos procesados hasta este momento podemos seguir con el siguiente paso que seria la interpretacion de cada componenete.
Matriz de Contribuciones
(get_pca_var(PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F)))$contrib## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5 Dim.6
## Edad 33.366385 3.506244 2.74704652 0.8972315 6.935741 52.547351
## PA_reposo 10.670419 25.236068 4.56971810 31.5677683 24.508995 3.447032
## Colesterol 8.351229 44.833046 0.02871332 0.6986325 43.059631 3.028748
## AZ_Ayunas 12.165472 7.746828 36.58735690 29.6425152 12.317683 1.540145
## FrecC_Max 26.518611 3.599937 19.93334135 6.1988236 7.945556 35.803730
## Oldpeak 8.927884 15.077876 36.13382381 30.9950290 5.232393 3.632994Contribuciones a D1
fviz_contrib(PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 1, top = 10)
Contribuciones a D2
fviz_contrib(PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 2, top = 10)
Contribuciones a D3
fviz_contrib(PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 3, top = 10)
Contribuciones a D4
fviz_contrib(PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 4, top = 10)
Contribuciones a D5
fviz_contrib(PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 5, top = 10)
Contribuciones a D6
fviz_contrib(PCA(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F), choice = "var", axes = 6, top = 10)
2.5. Interpretación de componentes
Se sabe que a partir de las coordenadas de los registros dimensionalmente reducidos, es posible ubicarlos en un plano de factores para análisis e interpretación. En este proceso, las variables reducidas actúan como las componentes principales, que se representan como ejes en el plano, mientras que los valores que toman son los puntajes de las componentes. Como se explica en el mismo trabajo, las distancias entre los puntos definidos por los puntajes de las componentes tienen un significado relevante al ayudar a establecer semejanzas de perfiles en las observaciones realizadas.
Es importante destacar que los valores semejantes de las variables pueden darse solo en algunas de ellas, sin que sea necesario que suceda en todas. Sin embargo, se espera que las distancias en el espacio dimensional original de las observaciones queden bien representadas en el espacio reducido de las componentes. Este proceso de reducción dimensional conserva la estructura subyacente de las relaciones entre las observaciones, lo que permite una representación más compacta y comprensible de los datos mientras se mantienen las distancias relevantes para la interpretación de semejanzas y diferencias entre observaciones.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cuantitativas del conjunto de datos descrito en la fase 1 se requiere definir e interpretar sus componentes principales. La definición de cada componente principal implica comprender cómo se combinan linealmente las variables originales para formarlos, así como su contribución relativa a la variabilidad total de los datos. Por otro lado, la interpretación de los componentes implica analizar qué aspectos o patrones de los datos representan, y cómo se relacionan con el problema o fenómeno estudiado.
Desarrollo del Análisis
La navegación a través de las pestañas permite visualizar objetos gráficos y matriciales que, al incluir lo hecho en las secciones anteriores, ayudan a robustecer la interpretación de las componentes calculadas. Como se mostró en la sección 2.3, la cantidad de componentes seleccionadas se redujo (según el criterio de Kaiser) a dos, y se estableció que la componente 1 y 2 retiene el \(49\) \(%\) de la variabilidad de los datos. Así, en el círculo de correlaciones de la sección 2.4 se observa que la representación de las variables conjugadas en la componente 1 y 2 la configura como una de tipo tamaño, lo que puede interpretarse como una especie de índice de proporcionalidad directa. Esto también se respalda con el hecho de que todas las variables presentan calidades de representación entre 0.4 y 0.6. En consecuencia, cuanto mayor sea el valor de las variables, mayor será la probabilidad de que el paciente se le diagnostique insuficiencia cardiaca. Así, dada la naturaleza de las variables, estas componentes puede representar para un paciente la probabilidad de sufrir problemas cardiacos. Al respecto:
Las pestañas de Biplot Variables y Registros Totales en S (Sexo), TDP (Tipo_dolor_pecho), ECG (ECG_reposo), AE (Angina_Ejercicio), PST (Pendi_Segme_ST_Ejercicio) y CS (Clase_salida), se muestran con base en las agrupaciones que estas variables categoricas cualitativas se prestan para establecer la representacion en una dimencionalidad reducida en el plano de factores de registros y dimenciones con base en los puntajes por componentes. En este sentido, es posible apreciar que las agrupaciones con base en Clase_salida y Angina_Ejercicio capturan diferencias acentuadas en la distribucion de las observaciones, contrario al resto de agrupaciones anteriormente mensionadas.
Por ultimo, para mostar de manera mas facil la ubicacion en el plano de componentes (en particular, siempre esta conformado por las dos componentes por el interes que sucitan) y, asi mismo, las semejanzas de perfiles de correlacion entre cada variable, se dispone de las pestañas de Coordenadas Individuales [Subconjunto CS] y Biplot de Variables y Registros [Subconjunto CS]. Estas muestran, con base en un subconjunto de 61 registros muestreados de manera aleatoria simple, los puntajes por componente y el biplot de ese subconjunto, con base en la agrupacion provista por la variable categorica Clase_salida, sin perder una cantidad significativa de detalles. Esto, se insiste con el fin de visualizar los datos de mejor manera ya que el conjunto original posee mas de 900 registros y genera una dificualdad en la identificacion visual.
Biplot de Variables y Registros [Total S]
data_HD <- heart_diseases_Dataset[,-c(3,7,9,11,12)]
data_All <- cbind(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], data_HD$Sexo)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 7), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 7)
Biplot de Variables y Registros [Total TDP]
data_HD <- heart_diseases_Dataset[,-c(2,7,9,11,12)]
data_All <- cbind(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], data_HD$Tipo_dolor_pecho)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 7), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 7)
Biplot de Variables y Registros [Total ECG]
data_HD <- heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,9,11,12)]
data_All <- cbind(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], data_HD$ECG_reposo)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 7), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 7)
Biplot de Variables y Registros [Total AE]
data_HD <- heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,11,12)]
data_All <- cbind(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], data_HD$Angina_Ejercicio)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 7), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 7)
Biplot de Variables y Registros [Total PSSE]
data_HD <- heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,12)]
data_All <- cbind(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], data_HD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 7), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 7)
Biplot de Variables y Registros [Total CS]
data_HD <- heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11)]
data_All <- cbind(heart_diseases_Dataset[,-c(2,3,7,9,11,12)], data_HD$Clase_salida)
fviz_pca_biplot(PCA(data_All, ncp = 6, scale.unit = TRUE, graph = F, quali.sup = 7), axes = c(1, 2), repel = TRUE, habillage = 7)
Coordenadas Individuales [Subconjunto CS]
set.seed(780728)
data_61_HD <- heart_diseases_Dataset[sample(1:nrow(heart_diseases_Dataset),61),-c(2,3,7,9,11)]
set.seed(780728)
data_61 <- cbind(heart_diseases_Dataset[sample(1:nrow(heart_diseases_Dataset),61),-c(2,3,7,9,11,12)], data_61_HD$Clase_salida)
head(PCA(data_61, ncp = 6, scale.unit = T, graph = F, quali.sup = 7)$ind$coord, n = 61L)## Dim.1 Dim.2 Dim.3 Dim.4 Dim.5 Dim.6
## 1 0.55854136 -0.015910010 2.55820760 -0.23511977 -0.93029910 -1.45684946
## 2 1.13696122 0.054712778 -0.78132994 -0.95249261 1.11732238 -0.39405787
## 3 -1.52620507 -0.106554514 -0.15662412 1.02498076 -0.02252833 -0.21550983
## 4 0.44406833 2.384642044 0.12572117 -0.65472060 -2.12516548 0.44237233
## 5 1.40425851 -0.663404925 -0.51811628 -1.83571571 0.04924307 -0.32077657
## 6 -1.60406673 -0.371429541 0.59642586 0.13853442 0.63843117 0.59254226
## 7 -0.14583240 0.768092867 -0.84650985 -0.46672270 -0.60098248 -0.24494774
## 8 -0.47418483 0.082834291 0.05551959 -1.36212705 -0.52161261 0.67880454
## 9 -1.00259945 -1.619082122 0.30303647 -0.21473776 -0.08333087 -0.20905487
## 10 0.11605793 0.103431902 -0.73511408 -1.62320226 -1.19461724 0.58982899
## 11 -2.41836764 0.915732091 0.12688408 0.54838579 -0.63259375 0.83311552
## 12 -0.80896616 0.176442461 0.21576542 -0.66992953 -0.35083059 1.18913549
## 13 2.23546348 -2.633541989 1.31076163 0.43399177 -1.31529051 0.04908444
## 14 -1.29482427 -1.412528871 0.55102729 0.34392086 0.38775536 0.05018932
## 15 -0.82075189 0.368059423 0.33798096 -0.44367263 0.71548309 0.93310137
## 16 0.74182564 -0.164390756 -0.73596169 -0.93787347 0.25254014 0.08926713
## 17 0.27728830 -0.645326124 0.09180417 0.72665333 0.75583231 0.37085936
## 18 0.01526031 0.672166823 0.46496814 -0.58637446 0.70103646 1.25422167
## 19 0.75805337 0.110128262 -0.81117419 -1.46993462 0.04412278 0.22418287
## 20 -1.39060049 -0.721065453 0.67123118 -0.29111271 0.64250636 0.20487969
## 21 -1.93951953 -0.886761862 0.05795576 0.58531909 -0.46806205 -0.63129669
## 22 0.65984886 0.405535995 -0.64578650 0.23299686 1.07473784 -0.69874560
## 23 0.59032645 -1.533831556 -0.15728874 1.03523093 -0.36691333 0.86812888
## 24 -0.48442083 -1.293114316 0.02129009 -0.89419238 0.03124815 -0.26057307
## 25 -0.76301602 0.534559728 -0.38186530 0.18336419 0.39936093 0.16087822
## 26 0.46894593 1.813010422 -0.25225232 -0.74345713 -0.30667938 0.29924466
## 27 -0.65120803 -0.082099424 0.06894299 0.26614946 0.37515951 0.06758962
## 28 -0.28996053 -0.495342057 -0.21904876 -0.27526685 0.35198805 0.01123825
## 29 -2.23359595 -1.184207506 0.28010116 -0.07102325 -1.36361868 -0.18011047
## 30 0.11616013 1.747504992 -1.17327185 -0.01838953 0.01663929 0.54999472
## 31 -1.87635059 -0.994126993 0.28824563 0.04326530 -0.43841382 -0.25188799
## 32 -0.66780962 1.096042881 -0.72602777 0.61343576 0.80397740 -0.23373338
## 33 0.53836682 0.038682766 0.16760247 -1.00525987 1.54068274 0.91470026
## 34 0.83106567 1.227865019 0.17188471 -0.81281674 -1.63626735 -0.51093177
## 35 1.40098174 -0.485674407 -0.94843508 -1.01501678 0.96859366 -0.56327331
## 36 0.61796699 -0.246056639 -1.54810837 -0.64432964 -0.34761095 -1.92020423
## 37 -2.39362121 -1.656655898 0.73503478 0.37782089 -0.54740764 -0.19631137
## 38 1.48863356 -1.141826648 -0.43357676 1.13322684 0.46676564 0.19230755
## 39 1.67892095 -1.297810516 -0.23261688 0.59384402 0.81273251 0.36272741
## 40 -0.67903331 0.434718949 0.36567421 -0.15120207 0.06804151 0.25622615
## 41 -1.63250373 -3.085301434 -0.44663519 0.02818511 0.63679694 -0.42142955
## 42 0.97836636 2.445140846 3.17256984 0.60531984 0.14993696 -0.81035506
## 43 -0.70333619 -0.004349406 -0.19785640 -0.17291137 0.32742078 0.13411447
## 44 2.05160351 0.307933850 1.33527177 -0.96830790 1.56940682 -0.03928967
## 45 0.71470820 2.185972498 1.86716284 0.79983829 0.06040591 -0.63918440
## 46 -1.64815145 -0.884073369 0.28928473 0.10861140 0.14707816 -0.31585334
## 47 3.55750471 0.039227262 -0.81288499 1.41306953 0.17421551 -0.89264279
## 48 -1.17154123 0.693540388 -0.75281082 -0.11323964 -1.05430438 -0.01521446
## 49 0.54598398 0.091931221 -0.97591214 -0.68337004 0.05705810 -0.25043117
## 50 -0.59451677 -0.113403024 0.86715318 -0.29621670 -0.46893453 0.27006755
## 51 2.09483760 -1.615382089 -0.50233304 1.99164118 0.08283898 1.02360627
## 52 -0.17809752 0.668894607 -0.38172603 -0.22935159 0.65491521 -0.11399294
## 53 -1.77087364 0.103090232 -0.50535141 1.15550776 -0.39169039 -0.80831895
## 54 -1.52422644 2.451864644 -1.35383487 2.34170150 0.39875678 -0.69578652
## 55 0.08601282 0.138581216 -1.26378265 -0.64986948 -0.72038382 -0.80121489
## 56 2.59464758 -0.238455007 2.00551087 -0.16302103 0.40247856 -0.71760066
## 57 -0.83255171 0.215008949 1.15857700 0.25955909 1.14657166 -0.01296365
## 58 -0.42816162 2.918762552 -1.31448479 1.13590482 0.54484818 0.60882886
## 59 2.24311259 -0.724651338 -1.94065240 1.06529779 -1.11602118 -0.37008539
## 60 3.41479136 -0.473735232 0.49568429 1.30813645 -1.69783489 1.79186073
## 61 -0.41166939 1.595981065 0.99409331 0.15708485 0.13446445 0.17952906Biplot de Variables y Registros [Subconjunto UR]
set.seed(780728)
data_61_HD <- heart_diseases_Dataset[sample(1:nrow(heart_diseases_Dataset),61),-c(2,3,7,9,11)]
set.seed(780728)
data_61 <- cbind(heart_diseases_Dataset[sample(1:nrow(heart_diseases_Dataset),61),-c(2,3,7,9,11,12)], data_61_HD$Clase_salida)
fviz_pca_biplot(PCA(data_61, ncp = 6, scale.unit = T, graph = F, quali.sup = 7), axes = c(1, 2), repel = T, habillage = 7)
Fase 3 [Correspondencias]
3.1. Objetivos
En términos generales, esta tercera etapa de estudio presentará cálculos, visualizaciones e interpretaciones basadas en el conjunto de datos tratado en las fases 1 y 2. En esta fase, se utilizará un enfoque de análisis de correspondencias simples y múltiples aplicado a las variables cualitativas. Este análisis incluirá la construcción de tablas de contingencia y tablas disyuntivas completas, así como la evaluación de las calidades de representación, contribuciones y las correspondientes interpretaciones. Es importante recordar que el conjunto de datos de trabajo está descrito en la sección 2 y los fundamentos teóricos se encuentran en la sección 1.
3.2. Correspondencias Simples
Se sabe que el análisis de correspondencias simple (ACS) busca representar en un espacio multidimensional reducido la relación existente entre las categorías de un par de variables categóricas. En este sentido, el ACS muestra las distancias entre los niveles de dos variables categóricas y, en consecuencia, ayuda a visualizar tablas de contingencia. Además, se establece que el número máximo de dimensiones que expliquen la asociación entre las variables fila y columna es igual a uno menos el menor número de categorías de alguna de las variables involucradas. Por lo tanto, el análisis de correspondencias permite describir la proximidad existente entre los perfiles de los objetos observados.
El ACS, que basa sus cálculos en tablas de contingencia, puede extenderse a más de dos variables categóricas, lo cual se conoce como análisis de correspondencias múltiples (ACM), basado en una estructura llamada tabla disyuntiva completa.
Esta sección trata el análisis de correspondencias simples basándose en pares de variables categóricas del conjunto de datos descrito.
Planteamiento del problema
A partir de las variables cualitativas del conjunto de datos descrito, se requiere desarrollar un análisis de correspondencias simple. Este análisis se basará en tablas de contingencia y de frecuencias relativas, y se apoyará en gráficos de perfiles y de puntos superpuestos en el primer plano factorial.
Desarrollo del análisis
Con base en la navegacion en pestañas esta nos permitira visualizar objetos matriciales y graficos que nos ayudaran a darle peso a la interpretacion del análisis de correspondecias simples o binarias entre cada par de variables categoricas que mostraron mayor relevancia en el biplot de la seccion 2.5 del conjunto de datos: Sexo, Anginia_Ejerccio y Clase_salida. Por ser una baja cantidad de variables se trabajara con las parejas combinadas sin repeticion de estas tres variables.
La pestaña AC Parejas Totales agrupa los calculos para totas las combinaciones de parejas variables. En particular en Contingencias para darnos un ejemplo haremos una lectura de las tablas de contigencia: La tabla de contingencia Sexo vs. Angina_Ejercicio se encontro que 43 pacientes de un total de 193 del sexo femenino presentaron dolor anginoso a la hora realizar ejercicio; ademas, de los 546 pacientes que no presentaron dolor anginoso a la hora de hacer ejercicio 150 son del sexo femenino y 396 del sexo masculino, de un total de 917 pasientes. En la tabla de contingencia Sexo vs. Clase_salida se encontro que de un total de 724 pasientes del sexo masculino, 457 presentaron una salida con enfermedad cardiaca. ademas, de los 917 pasientes, 507 presentaron salida con enfermedad cardiaca y 410 con una salida normal. En la tabla de contingencia Angina_Ejercicio vs. Clase_salida se encontro que de los 371 que presentaron anginia a la hora de realizar ejercicio 316 pacientes tuvieron una salida con enfermedad cardiaca; ademas, de los 546 pasientes que no presentaron anginia solo 355 tuvieron una salida normal.
Si tomamos como base las tablas de contingencia antes mencionadas, se presenta a traves de una subpestañas la Probabilidades las proporciones relativas en terminos de los pares de variables que se examinaron con anterioridad. En concordancia con esto, a nivel de ejemplo se presenta algunas lecturas de los resultados: en la tabla de probabilidades sexo vs. Angina_Ejercicio el \(40,46\) \(%\) aproximadamente presento angina por ejercicio de los cuales el \(35,77\) \(%\) aproximadamente son de sexo masculino; ademas, encontramos que el \(78,95\) \(%\) aproximadamente son pasientes del sexo masculino en el conjunto de datos, en la tabla de probabiidades Sexo vs. Clase_salida se encontro que de un \(55,26\) \(%\) aproximadamente el \(49,94\) \(%\) son de sexo masculino; ademas, el \(78,95\) \(%\) de los pasientes son de sexo masculino, la tabla de probabilidades Angina_Ejercicio vs. Clase_salida se encontro que el \(40,46\) \(%\) de los pacientes tuvo angina por ejercicio adicional a ello \(34,46\) \(%\) son de sexo masculino.
De la misma forma que ocurrio con las tablas de probabilidades, en la subpestaña Frecuencias [CPF y CPC] las frecuencias condicionadas por filas y columnas de manera respectiva, se calcularon con base en las tablas de contingencia Siguiendo con esto mismo se hara una lectora como ejemplo de los resultados: segun la matriz de frecuencias CPF de Sexo vs. Angina_Ejercicio el \(77,72\) \(%\) de los pacientes de sexo femenino no muestras angina por ejercicio mientras que el \(22,28\) \(%\) si la presenta, en el caso de los pacientes de sexo masculino el \(54,7\) \(%\) no la presenta y el \(45,30\) \(%\) si presenta angina por ejercicio; por otro lado en la CPC tenemos a los pacientes de sexo masuculino que presentan un \(88,41\) \(%\) de presentar anginia por ejercicio; por otro lado el \(77,53\) \(%\) de los pacientes que no presentan angina por ejercicio son de sexo masculino y el \(27,47\) \(%\) son de sexo femenino, ahora en le caso de los pacientes que la presentan el \(88,41\) \(%\) son de sexo masculino, esto nos indica que hay mas prevalencia de sufir de angina por ejercicio segun el sexo del paciente, segun la matriz de frecuencias CPF Sexo vs. Clase_salida en cuanto a pacientes de sexo masuculino el \(63,12\) \(%\) presentaron una salida con enfermedad cardiaca, el caso de los pacientes de sexo femenino el \(74,09\) \(%\) presentaron una salida normal; por otro lado en la CPC tenemos que el \(90,14\) \(%\) de los pacientes que salieron con enferdad cardiaca fueron de sexo masculino y para el sexo femenino el \(34,88\) \(%\) tuvo una salida normal, segun la matriz de frecuencias CPF de Angina_Ejercicio vs. Clase_salida el \(85,18\) \(%\) de los que presentaron angina por ejercicio y presentaron una salida con enfermedad cardiaca, y el \(65,02\) \(%\) de los que no presentaron angina por ejercicio y tuvieron una salida normal, por otro lado la CPC tenemos que de los que tuvieron una clase de salida con enfermedad cardiaca el \(62,33\) \(%\) presento angina por ejercicio mientras que el \(37,67\) \(%\) que tuvo esta salida no presento angina por ejercicio.
Con base en las matrices de frecuencia se entienden los perfiles condicionados por filas y columnas que se muestran en la subpestaña Perfiles [CPF y CPC]. Los graficos de perfiles se muestran en el mismo orden de lo anteriormente mensionado. Sin embargo, en los graficos de perfiles se pueden cotejar las proporciones contra un individuo promedio o un perfil promedio el cual se va a etiquetar como marg. Con esto dicho, los perfiles fila y columna que corresponden a las variables Sexo y Angina_Ejercicio muestran ua distribucion marginal un poco alejadas entre si; es decir, si son calculadas las proporciones totales seran un poco distintas entre si, por ejemplo: (Perfiles Fila) la proporcion de pacientes de sexo masculino y femenino que si presentaron angina por ejercicio son \(22,47\) \(%\) y \(45,30\) \(%\) respectivamente; ademas, (perfiles columna) la proporcion de pasientes de sexo masculino que no presentaron y si presentaron angina por ejercicio son \(72,53\) \(%\) y \(88,41\) \(%\) respectivamente. De la misma forma, los perfiles fila y columna que corresponden con las variables Sexo y Clase_salida muestran una distribucion marginal un poco alejadas entre si, por ejemplo: (perfiles fila) las proporciones de pasientes de sexo masculino y femenino que presentaron una salida con enfermedad cardiaca son \(63,12\) \(%\) y \(25,91\) \(%\) de manera respectiva; ademas, (Perfiles Columna) la proporcion de pacientes de sexo masculino que presentaron una clase de salida por enfermedad cardiaca y normal es \(90,14\) \(%\) y \(65,12\) \(%\) de manera respectiva, de la misma forma los perfiles fila y columna que corresponden con las variables Angina_Ejercicio y Clase_salida muestran una distribucion marginal un poco alejadas entre si, por ejemplo: (Perfiles Fila) las proporciones de pasientes que presentaron y no presentaron angina por ejercicio y tubieron una salida con enfermedad cardiaca son \(85,18\) \(%\) y \(34,98\) \(%\) de manera respectiva, ademas, (perfiles Columna) la proporcion de pasientes que si presentaron angina por ejercicio y tuvieron una salida con enfermedad cardiaca y normal son \(62,33\) \(%\) y \(13,41\) \(%\) respectivamente.
Con base en las descripciones hechas es posible anticipar que los pares de variables categoricas Sexo vs Clase_salida y Angina_Ejercicio vs Clase_salida sean independientes. Este conclucion se apoya en los resultados de la prueba de hipótesis visualizada a través de la subpestaña con ese mismo nombre. Para estas prubebas a un nivel de significancia \(\alpha = 0.05\), las hipótesis formuladas fueron:\[H_0: \text {Las variables categóricas son independientes}\] \[H_1: \text {las variables categóricas son dependientes}\] De la misma forma, el par de variables que tuvo a favor de a dependencia fueron Angina_Ejercicio y Clase_salida, en esta prueba \(p-valor\) resultó menor o igual que el nivel de significancia y, comparativamente, el valor del estadístico \(\chi^2\) fue grande. Por lo tanto, el par de variables que continuaron en análisis fueron estas últimas.
A través de la pestaña AC Pareja Única se despliegan las subpestañas relacionadas con el análisis de correspondencias entre las variables seleccionadas. En la sección de Contingencias y Residuales [ANG-CS] (donde ANG representa Angina_Ejercicio y CS Clase_salida) se pueden visualizar las tablas de contingencia, valores esperados y residuales de la pareja de variables en curso. En las dos primeras tablas, se observa que el recuento observado y el recuento esperado bajo la hipótesis nula son significativamente diferentes, lo que refuerza la dependencia entre las variables. El rango_observado representa los recuentos asociados con cada categoría de datos, mientras que el rango_esperado indica los recuentos esperados bajo la hipótesis nula. Además, el análisis de residuales de Pearson y estandarizados muestra que las mayores desviaciones respecto a los valores esperados ocurren entre las universidades de cinco, cuatro, dos y una estrella. En la subpestaña Contribuciones [ANG-CS], se puede apreciar que el valor de aquellos que no presentaron Angina_ejercicio es más bajo en comparación con los que sí la presentaron; sin embargo, los valores no están muy alejados en general, lo que indica que ambos grupos aportan una contribución significativa al comportamiento del conjunto de datos.
Por ultimo, el resultado que sera definitivo del analisis de correspondencias simples se muestra en la subpestaña Correspondecias Simples Unidimencionales [ANG-CS]. En este apartado se establece qeu solo una dimension absorbe toda la variabilidad de la pareja, por lo que la representacion bidimensional en le plano de factores es imposible de realizar. Sin embargo, es posible hacer una interpretacion unidimensional de los resultados obtenidos. Al ser requeridas las variables de soporte del AC, primero por columnas y luego por filas, las coordenadas proyectadas de la variable Clase_salida en relacion con las categoria normal se presenta en el lado positivo del eje, mientras tanto la categoria enfermedad cardiaca se encuentra en lado negativo del eje, Asi mismo presentando una mayor contribucion la categoria normal, aunque cabe recalcar que la categoria enfermedad cardiaca tambien presenta una buena contribucion pero es menor a la otra categoria es decir son bastante equilibradas, ademas, es determinante que la calidad de representacion alcanza el maximo con cada una de las variables. Un comportamiento semenjante a lo mensionado de manera anterior se puede apreciar con la variable fila Angina_ejercicio su calidad de representacion es maxima, las coordenadas de sus categorias se interponen en el eje unidimensional y sus contribuciones son bastante equilibradas. De lo mencionado se puede interpretar que presenta asociacion relevante, positiva y negativa entre filas y columnas, las cotegorias (de las respectivas variables) Sin angina por ejercicio con salida normal y con angina por ejercicio con enfermedad cardiaca
AC Parejas Totales
Contingencias
addmargins(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio))##
## N Y Sum
## F 150 43 193
## M 396 328 724
## Sum 546 371 917addmargins(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Clase_salida))##
## Enfermedad cardiaca Normal Sum
## F 50 143 193
## M 457 267 724
## Sum 507 410 917addmargins(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida))##
## Enfermedad cardiaca Normal Sum
## N 191 355 546
## Y 316 55 371
## Sum 507 410 917Probabilidades
addmargins(prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio))*100)##
## N Y Sum
## F 16.357688 4.689204 21.046892
## M 43.184297 35.768811 78.953108
## Sum 59.541985 40.458015 100.000000addmargins(prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Clase_salida))*100)##
## Enfermedad cardiaca Normal Sum
## F 5.452563 15.594329 21.046892
## M 49.836423 29.116685 78.953108
## Sum 55.288986 44.711014 100.000000addmargins(prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida))*100)##
## Enfermedad cardiaca Normal Sum
## N 20.828790 38.713195 59.541985
## Y 34.460196 5.997819 40.458015
## Sum 55.288986 44.711014 100.000000Frecuencias [CPF y CPC]
round(addmargins(prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio), 1)*100, 2), 2)##
## N Y Sum
## F 77.72 22.28 100.00
## M 54.70 45.30 100.00round(addmargins(prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio), 2)*100, 1), 2)##
## N Y
## F 27.47 11.59
## M 72.53 88.41
## Sum 100.00 100.00round(addmargins(prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Clase_salida), 1)*100, 2), 2)##
## Enfermedad cardiaca Normal Sum
## F 25.91 74.09 100.00
## M 63.12 36.88 100.00round(addmargins(prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Clase_salida), 2)*100, 1), 2)##
## Enfermedad cardiaca Normal
## F 9.86 34.88
## M 90.14 65.12
## Sum 100.00 100.00round(addmargins(prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida), 1)*100, 2), 2)##
## Enfermedad cardiaca Normal Sum
## N 34.98 65.02 100.00
## Y 85.18 14.82 100.00round(addmargins(prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida), 2)*100, 1), 2)##
## Enfermedad cardiaca Normal
## N 37.67 86.59
## Y 62.33 13.41
## Sum 100.00 100.00Perfiles [CPF y CPC]
plotct(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio),"row")
plotct(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio),"col")
plotct(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Clase_salida),"row")
plotct(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Clase_salida),"col")
plotct(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida),"row")
plotct(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida),"col")
Pruebas de Hipótesis
chisq.test(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio))##
## Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
##
## data: table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio)
## X-squared = 32.583, df = 1, p-value = 1.142e-08chisq.test(table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Clase_salida))##
## Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
##
## data: table(heart_diseases_Dataset$Sexo, heart_diseases_Dataset$Clase_salida)
## X-squared = 83.871, df = 1, p-value < 2.2e-16chisq.test(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida))##
## Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
##
## data: table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida)
## X-squared = 223.11, df = 1, p-value < 2.2e-16AC Pareja Única
Contingencias y Residuales [AGE-CS]
chisq.test(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida))$observed##
## Enfermedad cardiaca Normal
## N 191 355
## Y 316 55chisq.test(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida))$expected ##
## Enfermedad cardiaca Normal
## N 301.8779 244.1221
## Y 205.1221 165.8779chisq.test(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida))$residuals##
## Enfermedad cardiaca Normal
## N -6.381595 7.096452
## Y 7.741740 -8.608959chisq.test(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida))$stdres##
## Enfermedad cardiaca Normal
## N -15.00444 15.00444
## Y 15.00444 -15.00444Contribuciones [ANG-CS]
chisq.test(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida))$residuals^2/chisq.test(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida))$statistic*100##
## Enfermedad cardiaca Normal
## N 18.25344 22.57194
## Y 26.86356 33.21908Correspondencia Simple Unidimensional [ANG-CS]
CA(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida), graph = FALSE)$eig## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## dim 1 0.2455105 100 100CA(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida), graph = FALSE)$col## $coord
## [,1]
## Enfermedad cardiaca -0.4455772
## Normal 0.5509942
##
## $contrib
## [,1]
## Enfermedad cardiaca 44.71101
## Normal 55.28899
##
## $cos2
## [,1]
## Enfermedad cardiaca 1
## Normal 1
##
## $inertia
## [1] 0.1097702 0.1357402CA(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset$Clase_salida), graph = FALSE)$row## $coord
## N Y
## 0.4084375 -0.6010967
##
## $contrib
## N Y
## 40.45802 59.54198
##
## $cos2
## N Y
## 1 1
##
## $inertia
## [1] 0.09932866 0.146181803.3. Correspondecias Múltiples
Se afirma que el Análisis de Correspondencias Simples (ACS) puede ampliarse desde tablas de contingencia hacia tablas disyuntivas completas. En estas últimas, las filas representan objetos a los que se les registran características de interés a través de las columnas, que recopilan las modalidades de las variables categóricas estudiadas. De esta manera, el Análisis de Correspondencias Múltiple (ACM) es el ACS aplicado a una tabla disyuntiva completa. Por lo tanto, en el ACM, una variable categórica asigna a cada objeto de una población una modalidad específica, dividiéndolos de manera exclusiva y exhaustiva.
Esta sección se desarrolla como una alternativa para completar el análisis de correspondencias simples, que resultó insuficiente debido a la unidimensionalidad en la representación de los datos al proyectar las variables categóricas que cumplían con la hipótesis de dependencia. Por lo tanto, se espera que el tratamiento conjunto de todas las variables categóricas proporcione una representación en el primer plano factorial.
Planteamiento del Problema
Con base en las variables cualitativas del conjunto de datos descrito, se requiere desarrollar un análisis de correspondencias múltiples (ACM) para lograr una representación gráfica en el primer plano factorial, ya que esto no fue posible mediante el análisis de correspondencias simple (ACS).
El ACM permitirá analizar conjuntamente todas las variables categóricas del conjunto de datos, proporcionando una representación más completa y multidimensional. Se utilizarán tablas disyuntivas completas para este análisis y se generarán gráficos que representen los perfiles y puntos superpuestos en el primer plano factorial, facilitando así una interpretación más clara y detallada de las relaciones entre las variables categóricas y los objetos estudiados.
Desarrollo del Análisis
Con base en la navegacion a través de pestañas se permitira visualizar objetos matriciales y graficos que ayuden a desarrollar e interpretar los resultados del análisis de correspondecias múltiples (ACM) entre las variables categoricas del conjunto de datos.
La pestaña ACM muestra la multidimencionalidad que se esperaba,comparada con la unidimensional del ACS de la fase 3 al trabajar de manera conjunta con las 6 variables categoricas del conjunto de datos: Sexo, Tipo_dolor_pecho, ECG_reposo, Angina_Ejercicio, Pendi_Segme_ST_Ejercicio y Clase_salida. Muestran ademas que las dimensiones del plan principal explican el \(37,59\) \(%\) del conjunto (sera este plano que se continuara con las interpretaciones del ACM). Ademas, la evidente baja de concentracion de absorcion de varianza por parte de algunas dimensiones se vera reflejado en las distacias de los perfiles de las variables categoricas.
En la pestaña Biplot ACM se mostraran las semenjazas de los perfiles de los pacientes de manera grafica por este motivo a partir de este se creo el Biplot ACM [Reducido] que facilitara la comprension de los resultados, en concordancia con esto los puntos azules sobrepuestos indican coordenadas de convergencia y las asociaciones entre algunas categorias de las variables y conjuntos de pasientes. Cabe reclacar que las sememjanzas entre categorias de variables estan representadas por sus coordenadas respecto a los semiejes dimensionales, mas que por la proximidad de estos entre si, esto concuerda con los resultados obtenidos en la fase 3. Por ejemplo, en semejanza a nivel de las categorias de las variables destacan los grupos: observaciones numeradas en el lado derecho del gráfico, cercanas a modalidades como angina típica y Angina_Ejersicio_N, sugieren que estas observaciones tienen características relacionadas con estas modalidades. Por otro lado, observaciones numeradas en el lado izquierdo del gráfico, cercanas a modalidades como Enfermedad cardíaca y ECG en reposo_LVH, indican una asociación con estas condiciones. En general se pueden visualizar facilmente las asociaciones entre las categorias de las variables y los grupos de pacientes afines a estas.
Seguidamente, la pestaña Calidad de Representacion muestra que las categorias de la variable Clase_salida fueron las mejores representadas, en posicion a las categorias desendentes de la variable Pendi_Segme_ST_Ejercicio. El resto quedo en un rango en un rango bajo-alto de calidad de representacion. Como la calidad de representacion en subespacios de dimensiones reducidas se mide en porcentajes de inercia con repecto al total del acercania de un punto repecto al origen del plano factorial indica una baja representacion en el, de manera complementaria la matriz de calidad de representaciones evidencia numerica de las contribuciones de cada dimension tomando como ejemplo la 1 teniendo la contribucion mas alta de \(0,73\).
Tambien de manera complementaria, la pestaña Contribuciones muestra que para las dimenciones del primer plano factorial, y en concordancia con lo antes mencionado la categoria de la variable Clase_salida: normal y enfermedad cardiaca quedan por encima de la linea media de la primera dimension, pero de manera particular, la categoria de Tipo_dolor_pecho: angina atipica se encuentra un poco mas arriba de la linea media en las dos primeras dimenciones, cosa que no ocurre con la primera variable mencionada, En ese sentido en la pestaña Biplot con contribuciones se visualiza una representacion en el primer plano factorial semejante a la obtenida en la pestaña Calidad de Representaciones.
ACM
round(MCA(heart_diseases_Dataset[1:917, -c(1,4,5,6,8,10)], graph = FALSE)$eig,2)## eigenvalue percentage of variance cumulative percentage of variance
## dim 1 0.44 26.22 26.22
## dim 2 0.19 11.37 37.59
## dim 3 0.17 10.36 47.96
## dim 4 0.16 9.89 57.85
## dim 5 0.16 9.67 67.52
## dim 6 0.16 9.43 76.96
## dim 7 0.14 8.41 85.36
## dim 8 0.10 5.93 91.30
## dim 9 0.09 5.44 96.74
## dim 10 0.05 3.26 100.00Biplot ACM
fviz_mca_biplot(MCA(heart_diseases_Dataset[1:917, -c(1,4,5,6,8,10)], graph = FALSE), repel = TRUE)
Biplot ACM [Reducido]
set.seed(780728)
fviz_mca_biplot(MCA(heart_diseases_Dataset[sample(1:nrow(heart_diseases_Dataset),150), -c(1,4,5,6,8,10)], graph = FALSE), repel = TRUE)
Calidad de Representación
fviz_mca_var(MCA(heart_diseases_Dataset[1:917, -c(1,4,5,6,8,10)], graph = FALSE), col.var ="cos2", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
MCA(heart_diseases_Dataset[1:917, -c(1,4,5,6,8,10)], graph = FALSE)$var$cos2## Dim 1 Dim 2 Dim 3
## F 0.1733053996 1.165236e-02 0.0450171827
## M 0.1733053996 1.165236e-02 0.0450171827
## angina atipica 0.3238946018 1.553950e-01 0.0746789380
## angina tipica 0.0075263309 3.360387e-01 0.0814224737
## asintomatico 0.4855875046 3.194743e-02 0.0070496922
## dolor no anginoso 0.0649938918 7.937301e-02 0.2593093186
## ECG_reposo_LVH 0.0004140751 5.260410e-01 0.0116631482
## ECG_reposo_Normal 0.0266934484 2.467054e-01 0.0676042458
## ECG_reposo_ST 0.0329513132 1.570603e-02 0.1867725248
## Angina_Ejercicio.N 0.5431374271 1.483601e-02 0.0002465765
## Angina_Ejercicio.Y 0.5431374271 1.483601e-02 0.0002465765
## ascendente 0.5902330512 1.426892e-02 0.0201714935
## descendente 0.0406801756 5.519248e-02 0.3723242915
## plano 0.4340536342 3.011041e-07 0.2019123077
## Clase_salida_Enfermedad cardiaca 0.7337250662 9.484742e-05 0.0019903810
## Clase_salida_Normal 0.7337250662 9.484742e-05 0.0019903810
## Dim 4 Dim 5
## F 0.0001932359 0.0037435604
## M 0.0001932359 0.0037435604
## angina atipica 0.0384898912 0.0138189370
## angina tipica 0.3538838909 0.0180390268
## asintomatico 0.0062927454 0.0268773726
## dolor no anginoso 0.3527293847 0.0563399087
## ECG_reposo_LVH 0.0005794692 0.0306929063
## ECG_reposo_Normal 0.0350302800 0.2720974461
## ECG_reposo_ST 0.0429200170 0.6801257328
## Angina_Ejercicio.N 0.0083368055 0.0052494001
## Angina_Ejercicio.Y 0.0083368055 0.0052494001
## ascendente 0.0019596869 0.0025643025
## descendente 0.2501756081 0.1893266477
## plano 0.0881365118 0.0288905904
## Clase_salida_Enfermedad cardiaca 0.0081818339 0.0005200968
## Clase_salida_Normal 0.0081818339 0.0005200968Contribuciones
fviz_contrib(MCA(heart_diseases_Dataset[1:917, -c(1,4,5,6,8,10)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 1, top = 15)
fviz_contrib(MCA(heart_diseases_Dataset[1:917, -c(1,4,5,6,8,10)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 2, top = 15)
fviz_contrib(MCA(heart_diseases_Dataset[1:917, -c(1,4,5,6,8,10)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 3, top = 15)
fviz_contrib(MCA(heart_diseases_Dataset[1:917, -c(1,4,5,6,8,10)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 4, top = 15)
fviz_contrib(MCA(heart_diseases_Dataset[1:917, -c(1,4,5,6,8,10)], graph = FALSE), choice = "var", axes = 5, top = 15)
Biplot con Contribuciones
fviz_mca_var(MCA(heart_diseases_Dataset[1:917, -c(1,4,5,6,8,10)], graph = FALSE), col.var ="contrib", gradient.cols = c("#00AFBB", "#E7B800", "#FC4E07"), repel = TRUE)
Fase 4 [Análisis de Regresión]
4.1. Objetivos
En términos generales, este estudio explorará la relación entre dos o más variables mediante la obtención de información sobre una de ellas basada en el conocimiento de los valores de las demás. La relación establecida entre ellas será de naturaleza no determinística, es decir, se formularán relaciones probabilísticas y se desarrollarán procedimientos para hacer inferencias sobre los modelos utilizados en este estudio, al mismo tiempo que se obtienen medidas cuantitativas del grado de relación entre las variables. Los modelos analizados pueden considerarse casos especiales del modelo lineal generalizado: Regresión Lineal Simple, Regresión Lineal Múltiple y Regresión Logística. En cada sección se describirá teóricamente cada modelo y se aplicará a un conjunto de datos específico. Se reconoce que el análisis de regresión es un proceso de naturaleza estadística utilizado para estimar relaciones entre variables (una dependiente o de respuesta y otras independientes o predictoras) mediante técnicas de modelado y análisis que permiten comprender cómo varía el valor de la variable dependiente al cambiar el valor de una o más variables independientes. Los modelos de análisis de regresión estudiados en este documento serán: lineal (simple y múltiple) y logístico, todos ellos entendidos como casos del modelo de regresión lineal generalizado.
4.2. Regresión Lineal Simple
Este modelo, que eventualmente será llamado en este estudio como RLS, está conformado por dos variables estadísticas \(x\) y \(Y\), donde \(Y\) se asume que está influida por \(x\). La relación está dada matemáticamente por: \[Y = \beta_0 + \beta_1 x + \varepsilon \hspace{10mm} \hspace{10mm}(1)\] donde:
- \(Y\): es una variable de respuesta de naturaleza aleatoria.
- \(x\): es una variable predictora de naturaleza no aleatoria.
- \(\varepsilon\): es una variable aleatoria no observable.
- \(\beta_0\) y \(\beta_1\): son parámetros reales desconocidos del modelo.
En comparación con el modelo lineal simple determinístico \(y = \beta_0 + \beta_1 x\), el probablístico supone que el valor esperado de \(Y\) es una función lineal de \(x\), pero que con \(x\) fija, la variable \(Y\) difiere de su valor esperado en una cantidad aleatoria \(\varepsilon\). Además, la cantidad \(\varepsilon\) en la ecuación de modelo \((1)\) se supone normalmente distribuida con \(E(\varepsilon)=0\) y \(V(\varepsilon)=\sigma^2\). La variable aleatoria \(\varepsilon\) también se conoce como término de error aleatorio o desviación aleatoria en el modelo.
Complementariamente, casi nunca serán conocidos los valores \(\beta_0\), \(\beta_1\) y \(\sigma^2\), a cambio estará disponible una muestra de datos compuesta de pares ordenados \((x_1,y_1)... (x_n,y_n)\) con la que los parámetros del modelo y la línea de regresión verdadera pueden ser estimados, bajo el supuesto de independencia de las observaciones. Así, \(y_i\) es el valor observado de una variable aleatoria \(Y_i\), donde \(Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i\) y las \(n\) desviaciones \(\varepsilon_1\), \(\varepsilon_2\), \(...\), \(\varepsilon_n\) son variables independientes.
De acuerdo con el modelo, los puntos observados estarán distribuidos aleatoriamente alrededor de la línea de regresión verdadera. En este sentido, la estimación de \(y=\beta_0+\beta_1x\) deberá ser una línea que se ajuste lo mejor posible a los puntos muestra. Tal línea deberá poseer la característica de que las distancias verticales (desviaciones) de los puntos observados a la línea misma son pequeñas. La medida de la bondad de ajuste será la suma de los cuadrados de estas desviaciones. En consecuencia, la línea que mejor se ajusta será la que tenga la suma más pequeña posible de desviaciones al cuadrado. El resultado que implica las ideas expuestas se conoce como: principio de los mínimos cuadrados y se remonta a los matemáticos Carl Friedrich Gauss y Adrien-Marie Legendre, entre el último lustro del siglo XVIII y el primero del siglo XIX.
El principio de los mínimos cuadrados establece que la desviación vertical del punto \((x_i,y_i)\) con respecto a la línea \(y=b_0+b_1x\) es \(y_i-(b_0+b_1x)\) y la suma de las desviaciones verticales al cuadrado de los puntos \((x_i,y_i)\) a la línea es \(f(b_0,b_1)=\sum_{i=1}^n (y_i-(b_0+b_1x_i))^2\). Así, las estimaciones puntuales de \(\beta_0\) y \(\beta_1\), representadas como \(\hat{\beta}_0\) y \(\hat{\beta}_1\) y llamadas estimaciones de mínimos cuadrados, son los valores que minimizan a \(f(b_0,b_1)\); es decir, \(f(\hat{\beta}_0,\hat{\beta}_1)\leq f(b_0,b_1)\) para cualesquiera \(\beta_0\) y \(\beta_1\). Por lo tanto, la línea de regresión estimada o línea de mínimos cuadrados es \(y=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x\).
Luego de calcular y resolver las ecuaciones en derivadas parciales de \(f(b_0,b_1)\) respecto a \(b_0\) y \(b_1\) igualadas a cero, se obtiene un sistemas de ecuaciones llamadas normales que son lineales en \(b_0\) y \(b_1\) y para las cuales, siempre que por lo menos dos de las \(x_i\) sean diferentes, las estimaciones de los mínimos cuadrados son la única solución del sistema. En consecuencia, la estimación de los mínimos cuadrados de \(\beta_1\) de la línea de regresión verdadera es: \[\hat{\beta}_1=\dfrac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}\hspace{10mm}(2)\] y la estimación de los mínimos cuadrados de \(\beta_0\) de la línea de regresión verdadera es: \[\hat{\beta}_0=\dfrac{\sum_{i=1}^ny_i-\hat{\beta}_1\sum_{i=1}^nx_i}{n}=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}\hspace{10mm}(3)\] Para hacer los cálculos que las ecuaciones anteriores demandan es necesario reducir al mínimo los efectos de redondeo. También, antes de calcular \(\hat{\beta}_1\) y \(\hat{\beta}_0\) se debe examir gráficamente el conjunto de datos por usar para percibir la factibilidad de uso de un modelo probabilístico lineal, es decir, si gráficamente los puntos están lejos de tender a aglomerarse en torno a una línea recta con aproximadamente el mismo grado de dispersión de todas las \(x_i\), entonces deben ser indagados otros modelos.
Es indispensable mencionar que la línea de mínimos cuadrados debe usarse restringidamente para predecir valores de \(x\) lejanos del rango de los datos, porque la relación ajustada puede carecer de validez para ellos.
Ahora, el parámetro \(\sigma^2\) que determina la cantidad de variabilidad es inherente en el modelo de regresión descrito: su valor conducirá a establecer que los valores observados estarán dispersos en mayor o menor medida en torno a la línea de regresión verdadera. Así, los residuos \(y_i - \hat{y_i}\) son las desviaciones verticales con respecto a la línea estimada. Si todos los residuos son pequeños comparados con cero, entonces la variabilidad de los valores \(y\) observados se debería en una elevada medida a la relación lineal entre \(x\) y \(y\), mientras que si los residuos son grandes comparados con cero, entonces queda sugerida una variabilidad inherente en \(y\) con respecto a la cantidad debida a la relación lineal. Así, la estimación de \(\sigma^2\) en un análisis de regresión está basada en el cálculo de la suma de cuadrados residuales (o suma de cuadrados del error SCE) que se reduce a: \[SCE=\sum_{i=1}^ny_i^2-\hat{\beta}_0\sum_{i=1}^ny_i-\hat{\beta}_1\sum_{i=1}^nx_iy_i\hspace{10mm}(4)\] \[\hat\sigma^2=s^2=\dfrac{SCE}{n-2}\hspace{10mm}(5)\] Si se ha entendido que la cantidad SCE establece una medida de cuánta variación de \(y\) es inexplicada por el modelo; es decir, sin atribución a la relación lineal, se entenderá también que existe otra cantidad llamada la suma total de los cuadrados STC, que permite obtener una medida de la cantidad de variación total en los valores \(y\) observados: \[STC=\sum_{i=1}^ny_i^2-\frac{(\sum_{i=1}^ny_i)^2}{n}\hspace{10mm}(6)\] Si se formula la razón \(SCE/STC\) se calcula la proporción de variación total inexplicada por el modelo de regresión lineal simple; por lo tanto, se llega a la definición del coeficiente de determinación \(r^2\): \[r^2=1-\frac{SCE}{STC}\hspace{10mm}(7)\] que se interpreta como la proporción de variación \(y\) observada que puede ser explicada por el modelo de regresión lineal simple; es decir, aquella atribuida a una relación lineal aproximada entre \(x\) y \(y\): mientras más cercano a 1 sea \(r^2\), más exitoso es el modelo de regresión lineal simple al explicar la variación de \(y\). Una forma alternativa de calcular el coeficiente de determinación se basa en la suma de cuadrados debidad a la regresión SCR (o al modelo de regresión SCM), que es la cantidad de variación total que es explicada por el modelo. Con base en ella el coeficiente de determinación se expresa como: \[r^2=1-\frac{SCE}{STC}=\frac{STC-SCE}{STC}=\frac{SCR}{STC}\hspace{10mm}(8)\]Como se sabe, cualquier cantidad calculada a partir de datos muestrales varía de una cantidad a otra, en este sentido, los procedimientos inferenciales estandarizan un estimador restando su valor medio y luego dividiéndolo entre su desviación estándar estimada. En particular, para un modelo supuesto de regresión lineal simple se implica que las variables estándares: \(t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_0-\beta_0}{\hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}}\) y \(t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_1-\beta_1}{ \hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}}}\) tienen distribuciones \(t\) con \(n-2\) grados de libertad. De esto se deduce que los intervalos de confianza de \(100*(1-\alpha)\%\) para la pendiente \(\beta_1\) y el intercepto \(\beta_0\) de la línea de regrasión verdadera son: \[\hat{\beta}_0 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}\hspace{10mm}(9)\] \[\hat{\beta}_1 \pm t_{\alpha/2, n-2} \cdot \hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}} \hspace{10mm} (10)\]estos intervalos están centarados en la en la estimación puntual de cada parámetro y la cantidad abarcada a cada lado de la estimación depende del nivel de confianza deseado y de la cantidad de variabilidad del estimador.
Dado lo anterior, para los procedimientos de prueba de hipótesis, y como se procede habitualmente, las hipótesis nulas respecto a los beta del modelo de regresión lineal simple serán enunciados de igualdad. Los valores nulos para \(\beta_0\) y \(\beta_1\) se representan respectivamente como \(\beta_{00}\) (“beta cero cero”) y \(\beta_{10}\) (“beta uno cero”). Además, como los estadísticos de prueba tienen distribuciones \(t\) con \(n-2\) grados de libertad cuando \(H_0\) es verdadera, la probabilidad de error Tipo I permanece al nivel deseado \(\alpha\) usando un valor crítico \(t\) adecuado. Así, las hipótesis comúnmente usadas para \(\beta_0\)son: \[H_0: \beta_0 = \beta_{00}\hspace{10mm}(11)\] \[H_1: \beta_0 \neq \beta_{00}\hspace{10mm}(12)\]cuyo estadístico de prueba es: \[t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_0-\beta_{00}}{\hat{\sigma} \sqrt{1/n+\bar{x}^2/S_{xx}}}\hspace{10mm}(13)\]y para \(\beta_1\) son: \[H_0: \beta_1 = \beta_{10}\hspace{10mm}(14)\] \[H_1: \beta_1 \neq \beta_{10}\hspace{10mm}(15)\]cuyo estadístico de prueba es:\[t_{(n-2)}=\dfrac{\hat{\beta}_1-\beta_{10}}{\hat{\sigma} \sqrt{1/S_{xx}}}\hspace{10mm}(16)\]el par de hipótesis definidas por \(14\), \(15\) y \(16\) se conoce como la prueba de utilidad del modelo de regresión lineal simple, donde: la región de rechazo de \(H_0\) para una prueba a nivel \(\alpha\) a favor de \(H_1: \beta_1>\beta_{10}\) es \(t\geq t_{\alpha,n-2}\); la región de rechazo de \(H_0\) para una prueba a nivel \(\alpha\) a favor de \(H_1: \beta_1<\beta_{10}\) es \(t\leq -t_{\alpha,n-2}\); y la región de rechazo de \(H_0\) para una prueba a nivel \(\alpha\) a favor de \(H_1: \beta_1\neq\beta_{10}\) es \(t\leq -t_{\alpha/2,n-2}\) o \(t\geq t_{\alpha/2,n-2}\). Además, se sabe que la prueba de utilidad del modelo de regresión simple puede ser probada con una tabla ANOVA: rechazando \(H_0\) si \(f\geq F_{\alpha,1,n-2}\). La prueba \(F\) da exactamente el mismo resultado que la prueba \(t\) de utilidad del modelo de regresión lineal simple.
Por último, se entiende que en un modelo de regresión lineal simple un valor futuro de \(Y\) no es parámetro sino una variable aleatoria, por lo que se debe hacer referencia a un intervalo de valores factibles para un valor futuro de \(Y\), al cual se le llama intervalo de predicción. Cuando se predice con base en el modelo de regresión lineal simple, el error de predicción es \(Y-( \hat{\beta}_0+ \hat{\beta}_1 x^*)\) que corresponde con una diferencia entre dos variables aleatorias, por lo que, en comparación con una estimación, habrá más incertidumbre en ese; por lo tanto, un intervalo de predicción será más ancho que un intervalo de confianza. Además, a partir de la varianza del error de predicción se puede establecer que la variable estandarizada: \[T=\dfrac{Y-(\hat{\beta}_0+ \hat{\beta}_1 x^*)}{S \displaystyle\sqrt{1+\dfrac{1}{n} + \dfrac{(x^*-\bar{x})^2}{S_{xx}}}}\hspace{10mm}(17)\] tiene una distribución \(t\) con \(n-2\) grados de libertad, a partir de la cual se obtine un intervalo de predicción de \(100*(1-\alpha)\%\) para una observación \(Y\) futura que se hará cuando \(x=x^*\) igual a: \[\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 x^*\pm t_{n-2,\alpha/2}\cdot s \displaystyle\sqrt{1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{(x^*-\bar{x})^2}{S_{xx}}}\hspace{10mm}(18)\] La interpretación del nivel de predicción de \(100*(1-\alpha)\%\) establece que al usar \((18)\) repetidamente, los intervalos resultantes contendrán los valores \(y\) observados el \(100*(1-\alpha)\%\) del tiempo. Además, el número \(1\) en la raíz cuadrada hace que el intervalo de predicción sea más ancho que intervalos de confianza como \((9)\) y \((10)\). Asimismo, a medida que \(n\to\infty\) el ancho del intervalo no tiende a cero, porque la incertidumbre en la predicción será permanente, incluso al tener conocimiento perfecto sobre \(\beta_0\) y \(\beta_1\).
Planteamiento del Problema
Con base en el conjunto de datos descrito en la fase 2 se formulará un modelo de regresión lineal simple para estudiar la relación lineal supuesta entre las varaibles definidas por los campos: FrecC_Max (Variable dependiente) y Colesterol (variable independiente).
Desarrollo del Análisis
En el siguiente desarrollo del análisis se hara en R Stutio y este mismo contara con varias secciones que se presentaran a continuacion.
4.2.1. Resumen estadístico de las variables por estudiar.
En base a la navegacion a través de pestañas muestra el resumen estadistico de las variables de interes: FrecC_Max (Variable dependiente) y Colesterol (variable independiente) junto con sus repectivos diagramas de caja. Además de manera complementaria se incluye el diagrama de dispersion de sus valores conjuntos donde se comparan con las dos combinaciones posibles entre estas variables.
En base en la pestaña Resumen de Colesterol se puede apreciar que la variable Colesterol presenta un sesgo lijeramente negativo con un rango cuartilico muy ancho entre el tercer y cuarto cuartil esto debido a la presencia de valores atipicos lo cuales tambien estan generando el sesgo. En comparacion segun la pestaña Resumen de FrecC_Max, la variable FrecC_Max se puede apreciar que tiene un sesgo mas simetrico que el anterior dado que su media y mediana se encuentran en valores extremadamente cercanas entre si lo cual nos indica que no muestra valores atipicos y esto lo podemos comprobar de manera grafica.
De manera complementaria en Diagrama de Dispersion Colesterol vs. FrecC_Max se puede observar que existe una correlacion positiva de naturaleza aparentemente lineal entre las variables Colesterol y FrecC_Max, cabe recalcar que tambien existe una variante donde las posiciones de las variables se invierten. Si se observa el grafico de Diagramas Totales de Dispersion (en donde se excluyen las variables cualitativas::nominales) es razonable mencionar que hay otro par de variables que muestran una correlacion mas internsa entre las mismas PA_reposo y Edad.
Resumen de Colesterol
summary(heart_diseases_Dataset$Colesterol)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 40 163 219 211 264 603boxplot(heart_diseases_Dataset$Colesterol, main = "Diagrama de Caja de Colesterol", col = c("orange"))
Resumen de FrecC_Max
summary(heart_diseases_Dataset$FrecC_Max)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 60.0 120.0 138.0 136.8 156.0 202.0boxplot(heart_diseases_Dataset$FrecC_Max, main = "Diagrama de Caja de FrecC_Max", col = c("orange"))
Diagrama de Dispersión Colesterol vs. FrecC_Max
plot(heart_diseases_Dataset$Colesterol, heart_diseases_Dataset$FrecC_Max , main = "Diagrama de Dispersión Colesterol vs. FrecC_Max")
Diagrama de Dispersión FrecC_Max vs. Colesterol
plot(heart_diseases_Dataset$FrecC_Max, heart_diseases_Dataset$Colesterol, main = "Diagrama de Dispersión FrecC_Max vs. Colesterol")
Diagramas Totales de Dispersión
pairs(~Edad + PA_reposo + Colesterol + AZ_Ayunas + FrecC_Max + Oldpeak, data = heart_diseases_Dataset)
4.2.2. Formulación del modelo de RLS entre las variables de estudio
En base a la navegacion a través de la pestañas se muestran los coeficientes del modelo de regrecion linela simple, su resumen estadistico y su tabla ANOVA. Se menciona de nuevo que las variables de interes son FrecC_Max (variable dependiente) y Colesterol (variable independiente).
Se considero las dos posibles combinaciones pero finalmente se utilizaran los resultados de la pestaña Coeficientes del Modelo RLS FRE/CO y a traves de este se pudo establecer que el modelo de regresion lineal simple que relaciona a las varaibles de interes, las cuales se resumiran como \(FRECM\) y \(COL\), se tiene la formulacion: \(FRECM = 121,37957942 +0,07304729*COL\) \((19)\) Para este modelo se obvia la interpretacion del intercepto por caracter de sentido dado que para FrecC_Max se obtendria un valor moderado si el sucede un valor nulo en Colesterol lo que es medicamente imposible, y la ultima situacion en especial carece de sentido, sin embargo, el coeficiente lineal muestra una correlacion de proporcionalidad directa entre las dos variables de interes, aunque con un crecimiento medianamente moderado en FrecC_Max por cada unidad marginal de Colesterol.
De manera complementaria, la pestaña de Resumen Estadistico del Modelo RLS FRE/CO se consta que a cualquier nivel de significancia las evidencias a favor son un poco bajas pero esto era de esperar dado el nivle de correlacion existente entre las variables de interes. Ademas, el nivel de del coeficiente de determinacion esta a favor de la correlacion con un resultado bajo del \(5,55\) \(%\) de la variabilidad de FrecC_Max es explicado por Colesterol, en resumen lo que nos indica este resultado nos sugiere que el colesterol no es un predictor fuerte de la frecuencia cardiaca maxima y que hay otros factores influyendo en esta como era de esperarse dado el contexto en el que se encuentra, estos resultados eran de esperarse dado el fenomeno medico que se esta estudiando, y lo anteriormente mencionado quedo confirmado a traves de la pestaña Tabla ANOVA para el Modelo RLS FREC/CO
Coeficientes del Modelo RLS CO/FRE
modelo_RL_Simple_CO_FRE = lm(heart_diseases_Dataset$Colesterol~heart_diseases_Dataset$FrecC_Max)
coef(modelo_RL_Simple_CO_FRE)## (Intercept) heart_diseases_Dataset$FrecC_Max
## 105.1852444 0.7732559Coeficientes del Modelo RLS FRE/CO
modelo_RL_Simple_FRE_CO = lm(heart_diseases_Dataset$FrecC_Max~heart_diseases_Dataset$Colesterol)
coef(modelo_RL_Simple_FRE_CO)## (Intercept) heart_diseases_Dataset$Colesterol
## 121.37957942 0.07304729Resumen Estadístico del Modelo RLS CO/FRE
summary(modelo_RL_Simple_CO_FRE)##
## Call:
## lm(formula = heart_diseases_Dataset$Colesterol ~ heart_diseases_Dataset$FrecC_Max)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -178.17 -53.71 4.48 52.29 401.16
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 105.1852 14.5368 7.236 9.79e-13 ***
## heart_diseases_Dataset$FrecC_Max 0.7733 0.1045 7.401 3.06e-13 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 80.53 on 915 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.05648, Adjusted R-squared: 0.05545
## F-statistic: 54.78 on 1 and 915 DF, p-value: 3.057e-13Resumen Estadístico del Modelo RLS FRE/CO
summary(modelo_RL_Simple_FRE_CO)##
## Call:
## lm(formula = heart_diseases_Dataset$FrecC_Max ~ heart_diseases_Dataset$Colesterol)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -68.246 -17.251 0.774 18.175 65.719
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 121.37958 2.23678 54.265 < 2e-16 ***
## heart_diseases_Dataset$Colesterol 0.07305 0.00987 7.401 3.06e-13 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 24.75 on 915 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.05648, Adjusted R-squared: 0.05545
## F-statistic: 54.78 on 1 and 915 DF, p-value: 3.057e-13Tabla ANOVA para el Modelo RLS FRE/CO
anova(modelo_RL_Simple_FRE_CO)## Analysis of Variance Table
##
## Response: heart_diseases_Dataset$FrecC_Max
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## heart_diseases_Dataset$Colesterol 1 33557 33557 54.777 3.057e-13 ***
## Residuals 915 560537 613
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 14.2.3. Análisis del modelo RLS
En base a la navegacion a traves de pestañas muestran el intervalo de confianza para \(\beta_1\) y para la prediccion del modelo de regresion linal, ambos estarán al \(95\) \(%\). Se volvera a recapitular sobre cuales son las variables de interes que son: FrecC_Max (variable dependiente) y Colesterol (variable independiente).
El analisis del modelo RLS muestra que no muestra un gran aporte como en cuanto a la variable predictora posiblemente por diversos factores aun asi fue relevante estimar FrecC_Max a partir de Colesterol. Esto debido a que el intervalo de confianza de \(COL\) en el modelo excluye al cero:
\(0,05367739 < \beta_1 < 0,09241719\) \((20)\)
Por ultimo, la pestaña Predicciones y Intervalos de Prediccion muestran los calculos con base en el modelo, bajo un intervalo de predicccion al \(95\) \(%\), de las predicciones de todas las pestañas del conjunto de datos para la variable FrecC_MAx. Cabe recalcar que estos intervalos resultan mas anchos que en aquellos calculados en la pestaña Predicciones y sus intervalos de confianza y esta misma como lo dice su nombre a un mismo nivel de significancia.
Intervalo de Confianza para B1
confint(modelo_RL_Simple_FRE_CO, level = 0.95)## 2.5 % 97.5 %
## (Intercept) 116.98975820 125.76940064
## heart_diseases_Dataset$Colesterol 0.05367739 0.09241719Predicciones y sus Intervalos de Predicción
predict(modelo_RL_Simple_FRE_CO, data.frame(seq(1,917)), interval='prediction', level = 0.95)## fit lwr upr
## 1 142.4902 93.86505 191.1154
## 2 134.5281 85.92270 183.1335
## 3 142.0520 93.43024 190.6737
## 4 137.0117 88.40997 185.6134
## 5 135.6238 87.02113 184.2265
## 6 146.1426 97.47768 194.8075
## 7 138.6918 90.08748 187.2961
## 8 136.5734 87.97169 185.1751
## 9 136.5004 87.89862 185.1021
## 10 142.1250 93.50273 190.7473
## 11 136.7926 88.19087 185.3942
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## 13 136.2812 87.67935 184.8831
## 14 138.4726 89.86891 187.0764
## 15 136.7926 88.19087 185.3942
## 16 141.3215 92.70495 189.9380
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## 19 139.4953 90.88832 188.1023
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## 21 137.6691 89.06688 186.2714
## 22 134.8203 86.21579 183.4248
## 23 136.0621 87.46001 184.6642
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## 35 134.9664 86.36228 183.5705
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## 45 134.1629 85.55618 182.7695
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## 55 134.5281 85.92270 183.1335
## 56 135.5508 86.94795 184.1536
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## 743 136.0621 87.46001 184.6642
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## 813 138.8379 90.23316 187.4426
## 814 143.5860 94.95086 192.2210
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## 830 136.2812 87.67935 184.8831
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## 914 135.4777 86.87477 184.0806
## 915 130.9488 82.32241 179.5751
## 916 138.6187 90.01463 187.2229
## 917 134.1629 85.55618 182.7695Predicciones y sus Intervalos de Confianza
predict(modelo_RL_Simple_FRE_CO, data.frame(seq(1,917)), interval='confidence', level = 0.95)## fit lwr upr
## 1 142.4902 140.2861 144.6944
## 2 134.5281 132.8156 136.2406
## 3 142.0520 139.9258 144.1781
## 4 137.0117 135.4065 138.6169
## 5 135.6238 133.9902 137.2574
## 6 146.1426 143.1889 149.0963
## 7 138.6918 137.0103 140.3733
## 8 136.5734 134.9683 138.1785
## 9 136.5004 134.8944 138.1063
## 10 142.1250 139.9861 144.2639
## 11 136.7926 135.1885 138.3967
## 12 133.3593 131.5153 135.2034
## 13 136.2812 134.6715 137.8910
## 14 138.4726 136.8076 140.1377
## 15 136.7926 135.1885 138.3967
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## 765 139.6414 137.8680 141.4148
## 766 137.3769 135.7653 138.9886
## 767 140.8832 138.9463 142.8201
## 768 143.5129 141.1147 145.9112
## 769 140.0797 138.2537 141.9057
## 770 136.2812 134.6715 137.8910
## 771 137.2308 135.6225 138.8392
## 772 143.8781 141.4070 146.3492
## 773 135.4777 133.8363 137.1191
## 774 138.0344 136.3967 139.6721
## 775 138.2535 136.6031 139.9039
## 776 139.2031 137.4761 140.9302
## 777 140.5180 138.6337 142.4023
## 778 140.2988 138.4444 142.1533
## 779 136.7926 135.1885 138.3967
## 780 145.1199 142.3900 147.8499
## 781 139.9336 138.1258 141.7414
## 782 135.7699 134.1432 137.3966
## 783 138.6187 136.9429 140.2946
## 784 141.9789 139.8655 144.0924
## 785 138.4726 136.8076 140.1377
## 786 139.9336 138.1258 141.7414
## 787 143.2207 140.8795 145.5619
## 788 136.7926 135.1885 138.3967
## 789 134.6742 132.9748 136.3735
## 790 142.8555 140.5838 145.1271
## 791 143.1477 140.8205 145.4748
## 792 138.2535 136.6031 139.9039
## 793 139.9336 138.1258 141.7414
## 794 135.6968 134.0668 137.3269
## 795 138.9109 137.2111 140.6108
## 796 151.2559 147.0980 155.4138
## 797 133.9437 132.1710 135.7164
## 798 140.7371 138.8217 142.6525
## 799 139.3492 137.6074 141.0910
## 800 144.3895 141.8137 146.9652
## 801 134.8203 133.1333 136.5072
## 802 138.3996 136.7397 140.0595
## 803 150.1602 146.2687 154.0517
## 804 141.0293 139.0705 142.9881
## 805 138.8379 137.1443 140.5314
## 806 134.0898 132.3332 135.8464
## 807 143.9512 141.4653 146.4371
## 808 141.9789 139.8655 144.0924
## 809 140.0066 138.1898 141.8235
## 810 139.6414 137.8680 141.4148
## 811 139.4953 137.7381 141.2526
## 812 137.0117 135.4065 138.6169
## 813 138.8379 137.1443 140.5314
## 814 143.5860 141.1733 145.9986
## 815 141.6137 139.5620 143.6654
## 816 143.2938 140.9384 145.6491
## 817 140.2258 138.3810 142.0706
## 818 143.2207 140.8795 145.5619
## 819 142.4902 140.2861 144.6944
## 820 143.1477 140.8205 145.4748
## 821 144.6086 141.9872 147.2301
## 822 138.9109 137.2111 140.6108
## 823 143.9512 141.4653 146.4371
## 824 139.6414 137.8680 141.4148
## 825 142.4172 140.2263 144.6081
## 826 139.2762 137.5418 141.0105
## 827 136.9387 135.3341 138.5432
## 828 137.1578 135.5507 138.7649
## 829 136.2812 134.6715 137.8910
## 830 136.2812 134.6715 137.8910
## 831 139.7875 137.9972 141.5778
## 832 137.9613 136.3274 139.5952
## 833 140.2258 138.3810 142.0706
## 834 137.4500 135.8364 139.0636
## 835 138.8379 137.1443 140.5314
## 836 139.9336 138.1258 141.7414
## 837 133.6515 131.8445 135.4586
## 838 145.4852 142.6763 148.2941
## 839 134.7472 133.0542 136.4403
## 840 136.2082 134.5967 137.8197
## 841 140.5910 138.6965 142.4856
## 842 146.2887 143.3024 149.2750
## 843 142.0520 139.9258 144.1781
## 844 134.9664 133.2910 136.6417
## 845 143.8051 141.3487 146.2615
## 846 137.3769 135.7653 138.9886
## 847 140.3719 138.5076 142.2361
## 848 140.0066 138.1898 141.8235
## 849 138.2535 136.6031 139.9039
## 850 133.3593 131.5153 135.2034
## 851 138.4726 136.8076 140.1377
## 852 134.3090 132.5752 136.0427
## 853 140.1527 138.3174 141.9881
## 854 145.1199 142.3900 147.8499
## 855 141.3945 139.3785 143.4105
## 856 144.8278 142.1601 147.4954
## 857 140.6641 138.7592 142.5690
## 858 140.9563 139.0085 142.9040
## 859 143.8781 141.4070 146.3492
## 860 139.8605 138.0616 141.6595
## 861 139.4953 137.7381 141.2526
## 862 141.0293 139.0705 142.9881
## 863 134.8933 133.2123 136.5744
## 864 141.9789 139.8655 144.0924
## 865 135.1125 133.4479 136.7771
## 866 137.3769 135.7653 138.9886
## 867 142.5633 140.3458 144.7808
## 868 134.1629 132.4141 135.9116
## 869 136.8656 135.2614 138.4698
## 870 143.4399 141.0560 145.8238
## 871 139.1301 137.4101 140.8500
## 872 147.1653 143.9805 150.3501
## 873 145.8504 142.9615 148.7394
## 874 139.4223 137.6728 141.1717
## 875 146.2157 143.2457 149.1856
## 876 136.4273 134.8204 138.0343
## 877 142.1250 139.9861 144.2639
## 878 140.8102 138.8841 142.7362
## 879 138.1074 136.4657 139.7491
## 880 135.9160 134.2953 137.5367
## 881 140.5910 138.6965 142.4856
## 882 142.8555 140.5838 145.1271
## 883 135.4047 133.7591 137.0503
## 884 142.2711 140.1064 144.4358
## 885 137.1578 135.5507 138.7649
## 886 137.6691 136.0482 139.2901
## 887 139.4223 137.6728 141.1717
## 888 136.2812 134.6715 137.8910
## 889 136.2812 134.6715 137.8910
## 890 137.9613 136.3274 139.5952
## 891 141.6867 139.6229 143.7506
## 892 137.4500 135.8364 139.0636
## 893 138.3266 136.6715 139.9816
## 894 135.7699 134.1432 137.3966
## 895 145.8504 142.9615 148.7394
## 896 139.8605 138.0616 141.6595
## 897 136.3543 134.7460 137.9625
## 898 135.4047 133.7591 137.0503
## 899 136.2082 134.5967 137.8197
## 900 144.6086 141.9872 147.2301
## 901 137.8152 136.1882 139.4422
## 902 137.4500 135.8364 139.0636
## 903 137.5230 135.9072 139.1389
## 904 138.9109 137.2111 140.6108
## 905 136.8656 135.2614 138.4698
## 906 146.3618 143.3591 149.3644
## 907 133.7246 131.9263 135.5228
## 908 135.0394 133.3695 136.7093
## 909 135.7699 134.1432 137.3966
## 910 132.8480 130.9335 134.7626
## 911 134.2359 132.4947 135.9771
## 912 138.9840 137.2776 140.6904
## 913 140.6641 138.7592 142.5690
## 914 135.4777 133.8363 137.1191
## 915 130.9488 128.7190 133.1785
## 916 138.6187 136.9429 140.2946
## 917 134.1629 132.4141 135.91164.3. Regresión Lineal Múltiple
Este modelo, que puede inicialmente pensarse como una extensión de la regresión lineal simple para facilitar su comprensión, y que eventualmente será llamado en este estudio como RLM, tiene como ecuación general aditiva:
\[y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i1}+\cdots+\beta_k x_{ik}+\varepsilon_i, \hspace{3mm}i=1,2,\dots,n\hspace{10mm}(21)\]
donde \(E(\epsilon)=0\) y \(V(\epsilon)=\sigma^2\). También, para hacer pruebas de hipótesis y calcular intervalos de confianza y de predicción, se supone que \(\epsilon\) está normalmente distribuida. Complementariamente, con base en el enfoque de los mínimos cuadrados ordinarios, la estimación de sus parámetros se plantea en términos de la minimización de una función de ensayo desde la cual se observan los cuadrados de las desviaciones de la variable estudiada. La función de ensayo se representa como \(f(b_0,b_1,...,b_k)= \sum_{j}[y_i-(b_0+b_1x_{1j}+b_2x_{2j}+...+b_kx_{kj})]^2\). Esto conduce a un conjunto de ecuaciones normales lineales en \(b_0,b_1,...,b_k\), que al ser resueltas entregan las estimaciones de mínimos cuadrados de \(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1},...,, \hat{\beta_k}\).
Complementariamente, la proporción de variación total explicada por el modelo de regresión múltiple a través del coeficiente de determinación múltiple se ajusta, generalmente, con base en el número de parámetros del modelo.
Además, una prueba de utilidad del modelo de regresión lineal múltiple consiste en una prueba de hipótesis basada en un estadístico que tiene una distribución \(F\) particular cuando \(H_0\) es verdadera, esto de expresa en el par:
\[H_0:\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_k=0\hspace{10mm}(22)\] \[H_1: \text {al menos una }\beta_i\neq 0\hspace{5mm}(i=1,...,k)\hspace{10mm}(23)\]
el valor del estadístico de prueba es:
\[f=\frac{R^2/k}{(1-R^2)(n-(k+1))}=\frac{SCR/k}{SCE/(n-(k+1))}=\frac{RMC}{CME}\hspace{10mm}(24)\]
donde \(SCR=STC-SCE\), que es la suma de cuadrados de regresión, y la región de rechazo para una prueba de nivel \(\alpha\) es:
\[f\geq F_{\alpha, k,n-(k+1)}\hspace{10mm}(25)\]
Por último, un intervalo de confianza al \(100(1-\alpha)\%\) para \(\beta_i\) es:
\[\hat\beta_i\pm t_{\alpha/2,n-(k+1)}\cdot s_{\hat\beta_{i}}\hspace{10mm}(26)\] y un intervalo de confianza al mismo nivel de significancia para un valor futuro está dado por:
\[\hat y\pm t_{\alpha/2,n-(k+1)}\cdot \sqrt{s^2+s^2_{\hat Y}}\hspace{10mm}(27)\]
Para cerrar, es necesario mencionar que eventualmente surgen problemas en los análisis de regresión múltiple que implican considerar técnicas de solución relacionadas con transformaciones de no-linealidad, estandarización y selección de variables, identificación de observaciones influyentes, multicolinealidad, entre otras.
Planteaminto del problema
Basandonos en el conjunto descrito en la fase 1 se formulara un modelo de regresion linal multiple para estudiar la relacion linal multiple supuesta entre las varaibles definidas por los campos: FrecC_Max (Variable dependiente) y las demas como variables independientes: Edad, PA_reposo, Colesterol, AS_Ayunas, Oldpeak, Sexo, ipo_dolor_pecho, ECG_reposo, Angina_Ejercicio, Pendi_Segme_ST_Ejercicio y Clase_salida
Desarrollo del análisis
En el siguiente desarrollo del análisis se hara en R Stutio y este mismo contara con varias secciones que se presentaran a continuacion.
4.3.1. Resumen estadístico de las variables de estudio
En base a la navegacion a través de pestañas muestran un resumen estadistico de todas la variables del conjunto de datos, Sin embargo, para las variables qeu son de naturaleza Cuantitativas::Razon el resumen se hara de manera tradiconal, pero para las variables que son de naturaleza Cualitativas::Nominal el resumen estadistico solo considerara conteos, proporciones y diagramas de barra. Se recalca de nuevo que la variable dependiente es FrecC_Max.
Resumen Variables Cuantitativas
summary(heart_diseases_Dataset$Edad)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 28.00 47.00 54.00 53.51 60.00 77.00summary(heart_diseases_Dataset$PA_reposo)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 80.0 120.0 130.0 132.5 140.0 200.0summary(heart_diseases_Dataset$Colesterol)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 40 163 219 211 264 603summary(heart_diseases_Dataset$AS_Ayunas)## Warning: Unknown or uninitialised column: `AS_Ayunas`.## Length Class Mode
## 0 NULL NULLsummary(heart_diseases_Dataset$FrecC_Max)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 60.0 120.0 138.0 136.8 156.0 202.0summary(heart_diseases_Dataset$Oldpeak)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## -26.000 0.000 1.000 5.383 8.000 62.000Resumen Variables Cualitativas
table(heart_diseases_Dataset$Sexo)##
## F M
## 193 724prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Sexo))##
## F M
## 0.2104689 0.7895311barplot(table(heart_diseases_Dataset$Sexo))
table(heart_diseases_Dataset$Tipo_dolor_pecho)##
## angina atipica angina tipica asintomatico dolor no anginoso
## 173 46 496 202prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Tipo_dolor_pecho))##
## angina atipica angina tipica asintomatico dolor no anginoso
## 0.18865867 0.05016358 0.54089422 0.22028353barplot(table(heart_diseases_Dataset$Tipo_dolor_pecho))
table(heart_diseases_Dataset$ECG_reposo)##
## LVH Normal ST
## 188 551 178prop.table(table(heart_diseases_Dataset$ECG_reposo))##
## LVH Normal ST
## 0.2050164 0.6008724 0.1941112barplot(table(heart_diseases_Dataset$ECG_reposo))
table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio)##
## N Y
## 546 371prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio))##
## N Y
## 0.5954198 0.4045802barplot(table(heart_diseases_Dataset$Angina_Ejercicio))
table(heart_diseases_Dataset$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)##
## ascendente descendente plano
## 395 63 459prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Pendi_Segme_ST_Ejercicio))##
## ascendente descendente plano
## 0.43075245 0.06870229 0.50054526barplot(table(heart_diseases_Dataset$Pendi_Segme_ST_Ejercicio))
table(heart_diseases_Dataset$Clase_salida)##
## Enfermedad cardiaca Normal
## 507 410prop.table(table(heart_diseases_Dataset$Clase_salida))##
## Enfermedad cardiaca Normal
## 0.5528899 0.4471101barplot(table(heart_diseases_Dataset$Clase_salida))
Diagramas de Dispersión Variables Cuantitativas
pairs(~Edad + PA_reposo + Colesterol + AZ_Ayunas + FrecC_Max + Oldpeak, data = heart_diseases_Dataset)
4.3.2. Formulación del modelo de RLM entre las variables de estudio
En base a la navegacion a traves de las pestañas muestra el resumen y la tabla ANOVA del modelo de regresion lineal multiple total y los coeficientes tanto del modelo mencionado anteriormente como el logrado luego de reducirlo. Con base en la exploracion de lo datos mencionados anteriormente y la tabla ANOVA del modelo total se formularan para comparaciones del modelo RLM: uno que incluye a todas las variables del conjunto de datos y se excluyeron las variables PA_reposo, Colesterol y AS_Ayunas .Se menciona de nuevo que FrecC_Max es la variable dependiente
Antes de continuar cabe reclacar que se hicieron las siguientes modificaciones en cuanto a las variables Cualitativas en donde se modifico su etiquetado por uno numerico: Sexo (0: M y 1: F), Tipo_dolor_pecho (1: angina típica, 2: angina atípica, 3: dolor no anginoso y 4: asintomático), ECG_reposo (1: Normal, 2: ST y 3: LVH), Angina_Ejercicio (0: N y 1: Y), Pendi_Segme_ST_Ejercicio (1: ascendente, 2: Plano y 3: descendente) y Clase_salida (0: Normal y 1: Enfermedad cardíaca) el conjunto de datos se llamara Prediccion_Insuficiencia_cardiaca_Var_MOD.
Al considerar los resultados que se presentan en la pestaña de Coeficientes del Modelo RLM Total se puede establecer que el modelo de regresion linal multiple que relaciona a la variable de interes, las cuales se resumirian como: \(FRECM\) (FrecC_Max), \(ED\) (Edad), \(PAR\) (PA_reposo), \(COL\) (Colesterol), \(ASY\) (AS_Ayunas), \(OLD\) (Oldpeak), \(S_1\) (Sexo::1), \(T_2\) (Tipo_dolor_pecho::2) \(T_3\) (Tipo_dolor_pecho::3) \(T_4\) (Tipo_dolor_pecho::4), \(E_2\) (ECG_reposo::2), \(E_3\) (ECG_reposo::3), \(A_1\) (Angina_Ejercicio::1), \(P_2\) (Pendi_Segme_ST_Ejercicio::2), \(P_3\) (Pendi_Segme_ST_Ejercicio::3) y \(C_1\) (Clase_salida::1), tiene la formualcion (con unos coeficientes redondeados a 4 cifras decimales por tema de estetica)
\(FRECM = 184,9992-0,7925*ED-0,0054*PAR+0,0381*COL+0,0062*ASY+0,2071*OLD+3,2926*S_1-4,2267*T_2\) \(-4,2704*T_3-11,2141*T_4-1,3551*E_2+8,0578*E_3-6,9187*A_1-9,3213*P_2-5,7960*P_3-2,7596*C_1\) \((28)\)
Para este modelo se obvian las interpretaciones en que las variables fucen cero ya que por la naturaleza de alguna de estas carece de sentido y la interpretacion del intercepto si que tiene sentido ya que trabajamos con una frecuencia cardiaca aunque el valor que tomaria seria muy alto comparado con lo normal.
Por otro lado, luego de revisar el resumen estadistico y la tabal ANOVA del modelo RLM total (con nombre de pestaña homonimo a este), se puede establecer, con el apoyo de los resumenes estadisticos de las variables de estudio, que pueden excluirse directamente del modelo por baja significancia a las variables PA_reposo, Colesterol y AS_Ayunas. Esto implico que se calculase un modelo reducidocon la formulacion (Con base ne las mismas consideraciones de edicion del modelo total):
\(FRECM = 193,8626-0,8124*ED+0,2313*OLD+4,4319*S_1-3,5217*T_2-4,4422*T_3-11,2238*T_4\) \(-2,1197*E_2+9,3526*E_3-6,5243*A_1-8,990*P_2-6,2565*P_3-3.6201*C_1\) \((29)\)
Resumen y ANOVA del Modelo RLM Total
summary(lm(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max~heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)))##
## Call:
## lm(formula = heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max ~ heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad +
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo + heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol +
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas + heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) + as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) + as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida))
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -71.435 -12.249 0.991 14.600 55.542
##
## Coefficients:
## Estimate
## (Intercept) 184.999165
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad -0.792522
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo -0.005399
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 0.038062
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 0.006255
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 0.207178
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)1 3.292589
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)2 -4.226743
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)3 -4.270412
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)4 -11.214059
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)2 -1.355094
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)3 8.057764
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)1 -6.918709
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)2 -9.321259
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)3 -5.795977
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)1 -2.759563
## Std. Error
## (Intercept) 6.988841
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 0.081304
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo 0.040041
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 0.008985
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 0.009161
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 0.086784
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)1 1.792769
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)2 3.543471
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)3 3.410477
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)4 3.318489
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)2 1.836158
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)3 1.827431
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)1 1.723821
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)2 1.867817
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)3 3.163740
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)1 2.079388
## t value
## (Intercept) 26.471
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad -9.748
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo -0.135
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 4.236
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 0.683
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 2.387
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)1 1.837
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)2 -1.193
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)3 -1.252
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)4 -3.379
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)2 -0.738
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)3 4.409
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)1 -4.014
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)2 -4.990
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)3 -1.832
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)1 -1.327
## Pr(>|t|)
## (Intercept) < 2e-16 ***
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad < 2e-16 ***
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo 0.892773
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 2.51e-05 ***
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 0.494876
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 0.017179 *
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)1 0.066599 .
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)2 0.233252
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)3 0.210842
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)4 0.000758 ***
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)2 0.460704
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)3 1.16e-05 ***
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)1 6.48e-05 ***
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)2 7.23e-07 ***
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)3 0.067281 .
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)1 0.184811
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 20.64 on 901 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.3537, Adjusted R-squared: 0.343
## F-statistic: 32.87 on 15 and 901 DF, p-value: < 2.2e-16anova(lm(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max~heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)))## Analysis of Variance Table
##
## Response: heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max
## Df Sum Sq
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 1 86820
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo 1 53
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 1 24392
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 1 193
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 1 0
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 1 9686
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 3 41729
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 2 11966
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 1 17954
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 2 16594
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 1 751
## Residuals 901 383956
## Mean Sq
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 86820
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo 53
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 24392
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 193
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 0
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 9686
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 13910
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 5983
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 17954
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 8297
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 751
## Residuals 426
## F value
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 203.7327
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo 0.1246
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 57.2385
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 0.4539
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 0.0006
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 22.7302
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 32.6407
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 14.0398
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 42.1314
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 19.4701
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 1.7612
## Residuals
## Pr(>F)
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad < 2.2e-16 ***
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo 0.7242
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 9.522e-14 ***
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 0.5006
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 0.9799
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 2.173e-06 ***
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) < 2.2e-16 ***
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 9.901e-07 ***
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 1.407e-10 ***
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 5.271e-09 ***
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 0.1848
## Residuals
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Coeficientes del Modelo RLM Total
coefficients(lm(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max~heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)))## (Intercept)
## 184.999164912
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad
## -0.792522115
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo
## -0.005398864
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol
## 0.038061776
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas
## 0.006255459
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak
## 0.207177645
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)1
## 3.292588647
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)2
## -4.226743236
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)3
## -4.270412166
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)4
## -11.214058889
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)2
## -1.355094124
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)3
## 8.057764318
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)1
## -6.918709208
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)2
## -9.321259141
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)3
## -5.795977024
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)1
## -2.759563310Coeficientes del Modelo RLM Reducido
coefficients(lm(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max~heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)))## (Intercept)
## 193.8625671
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad
## -0.8124233
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak
## 0.2313500
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)1
## 4.4318673
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)2
## -3.5216920
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)3
## -4.4422221
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)4
## -11.2238106
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)2
## -2.1196904
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)3
## 9.3525525
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)1
## -6.5242607
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)2
## -8.9903956
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)3
## -6.2564802
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)1
## -3.62014794.3.3. Análisis del modelo RLM
En base a travez de la navegacion de pestañas, en primera parte Mejor Modelo Iterado según AIC muestra que la desicion de de que excluir dos variables (PA_reposo, y AS_Ayunas) de las tres propuestas tambien nos mustra que desidio excluir la variable Clase_salida y la cambio por Colesterol esto cabe recalcar que fue un cambio curioso si lo miramos lo que aporta la variable al modelo, tambien se debe mencionar que todo esto se hizo en la cuarta iteracion. Ademas el algoritmo tambien construyo un modelo basado en casi las mismas variables del modelo reducido lo cual fundamenta la inspeccion de las variables en la partes precedentes.
De manera complementaria, en la pestaña de Bondades de Ajuste, Significancias y Criterios de Informacion Comparados se presenta de manera paralela los modelos generados. La consideracion de todas las variables del cojunto de datos presento una bondad de ajuste con base en el coeficiente de determinacion multiple qeu solo se redujo hablando en terminos absolutos en \(0,013\) puntos (es decir se paso de explicar el \(35,4\) \(%\) de la variabilidad a un \(34,1\) \(%\)) en comparacion con el modelo reducido y el iterado; ademas, las significancias global e individuales de estos evidencias que ambos modelos son similares pero no iguales, tiene cierto grado de diferencia, aportan una cantidad significante de informacion relevante para la variable dependiente FrecC_Max, porque para los valores criticos obtenidos para las pruebas \(F\) (para la significancia glogal) y \(t\) (para las significancias individuales), los \(p-value\) en la mayoria de los casos resultaron siempre menores para cualquier nivel de significancia \(\alpha\) incluido dentro de los tradiciones commo por ejemplo, \(\alpha\ = 0,01\).
Por ultimo, los criterios de informacion AIC y BIC muestran efectivamente que los modelos son similares reducido e iterado la relacion entre el sesgo y la varianza en sus formulaciones respectivas, es decir, entre sus semejanzas y complejidades, resulta modelo total: \(AIC_{IteradoSTEP}=8168,475<8172,424=AIC_{RLMTotal}<8184,6238=AIC_{RLMReducido}\) y \(BIC_{IteradoSTEP}=8235,971<8252,133=BIC_{RLMReducido}<8254,383=BIC_{RLMTotal}\).
Y tambien demuestran que el modelo iterado por el metodo STEP tiene los valores mas bajos tanto en el AIC como de BIC en comparacion con el modelo total y reducido, es decir que le modelo iterado por el metod STEP proporcion un mejor ajuste de los datos.
Mejor Modelo Iterado según AIC
modelo_Iterado_STEP = step(lm(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max~heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)))## Start: AIC=5568.09
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max ~ heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad +
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo + heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol +
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas + heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) + as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) + as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)
##
## Df
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo 1
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 1
## <none>
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 1
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 1
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 3
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 2
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 2
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 1
## Sum of Sq
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo 8
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 199
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 751
## <none>
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 1437
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 2429
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 6865
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 7648
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 9507
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 9739
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 10682
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 40491
## RSS
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo 383964
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 384155
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 384707
## <none> 383956
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 385394
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 386385
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 390821
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 391604
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 393463
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 393695
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 394638
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 424447
## AIC
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo 5566.1
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 5566.6
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 5567.9
## <none> 5568.1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 5569.5
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 5571.9
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 5582.3
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 5584.2
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 5584.5
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 5587.1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 5589.3
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 5658.0
##
## Step: AIC=5566.11
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max ~ heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad +
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol + heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas +
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak + as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) + as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)
##
## Df
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 1
## <none>
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 1
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 1
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 3
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 2
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 2
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 1
## Sum of Sq
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 195
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 754
## <none>
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 1436
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 2422
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 6979
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 7682
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 9508
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 9749
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 10686
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 42783
## RSS
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 384159
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 384717
## <none> 383964
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 385400
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 386386
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 390943
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 391645
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 393472
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 393713
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 394650
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 426747
## AIC
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas 5564.6
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 5565.9
## <none> 5566.1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 5567.5
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 5569.9
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 5580.6
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 5582.3
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 5582.5
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 5585.1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 5587.3
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 5661.0
##
## Step: AIC=5564.57
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max ~ heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad +
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol + heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) + as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) + as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)
##
## Df
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 1
## <none>
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 1
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 1
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 3
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 2
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 2
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 1
## Sum of Sq
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 657
## <none>
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 1413
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 2426
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 7268
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 7500
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 9507
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 9640
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 10714
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 42629
## RSS
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 384816
## <none> 384159
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 385572
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 386585
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 391427
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 391659
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 393666
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 393799
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 394873
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 426788
## AIC
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida) 5564.1
## <none> 5564.6
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 5565.9
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 5568.3
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 5579.8
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 5580.3
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 5581.0
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 5583.3
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 5585.8
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 5659.1
##
## Step: AIC=5564.14
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max ~ heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad +
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol + heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) + as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) + as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) +
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)
##
## Df
## <none>
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 1
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 1
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 2
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 3
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 2
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 1
## Sum of Sq
## <none>
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 1904
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 2192
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 8186
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 8293
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 9659
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 12145
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 16515
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 44153
## RSS
## <none> 384816
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 386720
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 387008
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 393002
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 393110
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 394475
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 396961
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 401332
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 428969
## AIC
## <none> 5564.1
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo) 5566.7
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak 5567.3
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol 5581.4
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio) 5581.7
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo) 5582.9
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho) 5586.6
## - as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio) 5598.7
## - heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad 5661.7coefficients(modelo_Iterado_STEP)## (Intercept)
## 184.92620045
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad
## -0.79953564
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol
## 0.03858603
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak
## 0.19561423
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)1
## 3.71107944
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)2
## -4.13451811
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)3
## -4.23820806
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)4
## -11.78892978
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)2
## -1.32079476
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)3
## 8.02554534
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)1
## -7.41921884
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)2
## -10.36377817
## as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)3
## -6.37187993Bondades de Ajuste, Significancias y Criterios de Información Comparados
modelo_RLM_TOTAL = lm(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max~heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$PA_reposo+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Colesterol+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$AZ_Ayunas+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida))
modelo_RLM_REDUCIDO = lm(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max~heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Edad+heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Oldpeak+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Sexo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Tipo_dolor_pecho)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$ECG_reposo)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Pendi_Segme_ST_Ejercicio)+as.factor(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida))
stargazer(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP, type = "text", df = TRUE)##
## =====================================================================================================
## Dependent variable:
## --------------------------------------------------------------------------
## FrecC_Max
## (1) (2) (3)
## -----------------------------------------------------------------------------------------------------
## Edad -0.793*** -0.812*** -0.800***
## (0.081) (0.079) (0.079)
##
## PA_reposo -0.005
## (0.040)
##
## Colesterol 0.038*** 0.039***
## (0.009) (0.009)
##
## AZ_Ayunas 0.006
## (0.009)
##
## Oldpeak 0.207** 0.231*** 0.196**
## (0.087) (0.087) (0.086)
##
## Sexo)1 3.293* 4.432** 3.711**
## (1.793) (1.785) (1.755)
##
## Tipo_dolor_pecho)2 -4.227 -3.522 -4.135
## (3.543) (3.564) (3.535)
##
## Tipo_dolor_pecho)3 -4.270 -4.442 -4.238
## (3.410) (3.432) (3.400)
##
## Tipo_dolor_pecho)4 -11.214*** -11.224*** -11.789***
## (3.318) (3.338) (3.281)
##
## ECG_reposo)2 -1.355 -2.120 -1.321
## (1.836) (1.832) (1.827)
##
## ECG_reposo)3 8.058*** 9.353*** 8.026***
## (1.827) (1.815) (1.826)
##
## Angina_Ejercicio)1 -6.919*** -6.524*** -7.419***
## (1.724) (1.717) (1.681)
##
## Pendi_Segme_ST_Ejercicio)2 -9.321*** -8.990*** -10.364***
## (1.868) (1.882) (1.670)
##
## Pendi_Segme_ST_Ejercicio)3 -5.796* -6.256** -6.372**
## (3.164) (3.179) (3.105)
##
## Clase_salida)1 -2.760 -3.620*
## (2.079) (2.056)
##
## Constant 184.999*** 193.863*** 184.926***
## (6.989) (5.172) (5.525)
##
## -----------------------------------------------------------------------------------------------------
## Observations 917 917 917
## R2 0.354 0.341 0.352
## Adjusted R2 0.343 0.332 0.344
## Residual Std. Error 20.643 (df = 901) 20.815 (df = 904) 20.632 (df = 904)
## F Statistic 32.874*** (df = 15; 901) 38.937*** (df = 12; 904) 40.969*** (df = 12; 904)
## =====================================================================================================
## Note: *p<0.1; **p<0.05; ***p<0.01AIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)## df AIC
## modelo_RLM_TOTAL 17 8172.424
## modelo_RLM_REDUCIDO 14 8184.638
## modelo_Iterado_STEP 14 8168.475BIC(modelo_RLM_TOTAL, modelo_RLM_REDUCIDO, modelo_Iterado_STEP)## df BIC
## modelo_RLM_TOTAL 17 8254.383
## modelo_RLM_REDUCIDO 14 8252.133
## modelo_Iterado_STEP 14 8235.9714.4. Regresión Logística Simple
Este modelo, eventualmente llamado RLogS, difiere del modelo de regresión lineal simple al relacionar una variable categórica dicotómica (con valores posibles \(1\) (éxito) y \(0\) (fracaso)) dependiente \(y\) con el valor de probabilidad \(p(x)\in [0, 1]\) que depende de alguna variable cuantitativa \(x\).
Como se mencionó en la sección 1, los modelos de regresión usados en este estudio pueden ser vistos como casos particulares del Modelo Lineal Generalizado (GLM). Este modelo extiende el modelo lineal general al relacionar la variable dependiente linealmente con sus factores y covariables a través de alguna función de enlace, permitiendo que la variable dependiente tenga una distribución diferente a la normal. Además de los modelos usados en este estudio, el GLM también cubre modelos loglineales para datos de recuento, modelos log-log complementarios para datos de supervivencia censurados por intervalos, y otros modelos estadísticos a través de la formulación general del modelo.
Como el GLM permite especificar distribuciones diferentes a la normal y una función de enlace diferente a la identidad, se pueden trabajar con muchas combinaciones posibles de distribuciones y funciones de enlace, varias de las cuales pueden ser adecuadas para un conjunto de datos en particular. La elección de la combinación estará orientada por consideraciones teóricas a priori, la naturaleza de las variables, la experiencia del investigador y los resultados al comparar combinaciones.
En este caso, se trabajará con una distribución binomial (adecuada para variables que representan una respuesta binaria) con función de enlace logit:
\[\pi(x)=\dfrac{e^{\beta_0+\beta_1 x}}{1+ e^{\beta_0 +\beta_1 x}}= \dfrac{1}{1+ e^{-(\beta_0+\beta_1 x)}}\hspace{10mm}(30)\]
Este enfoque, conocido como regresión logística binaria, es apropiado para la distribución binomial. El término “logístico” se refiere a que la función de enlace constituye un refinamiento del modelo exponencial de crecimiento, descrito por la función sigmoidea, de una magnitud asociada con un conjunto \(C\).
Para facilitar las interpretaciones, la función de enlace \(\pi(x)\) proviene de una razón de probabilidades (conocida en inglés como ODDS ratio (OR)), que a su vez es el argumento de un logaritmo: \(\log\left(\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}\right)\). Así, se modela la probabilidad de que la variable de respuesta pertenezca al nivel de referencia \(1\) en función del valor de los predictores. La transformación conserva la monotonicidad de sentidos y convierte el intervalo de probabilidad \([0,1]\) a \((-\infty,\infty)\).
Las propiedades entre las probabilidades complementarias de éxito y fracaso, sus razones y la función de enlace logit son:
| \(p(éxito)=p(fracaso)\) | \(OR=1\) | \(Logit\left(OR\right)=0\) |
| \(p(éxito)<p(fracaso)\) | \(OR<1\) | \(Logit\left(OR\right)<0\) |
| \(p(éxito)>p(fracaso)\) | \(OR>1\) | \(Logit\left(OR\right)>0\) |
Es importante tener en cuenta que la transformación Logit carece de sentido para la certeza del éxito o del fracaso.
Plantemiento del problema
Tomando como base el conjunto de datos descrito en la fase 2 se formulara un modelo de regresion logistica simple para estudiar la relacion logistica supuesta entre las variables definidas por campos: FrecC_Max (variable independiente) y Clase_salida (varaible dependiente), con base en una distribucion binomial y la funcion de enlace \(Logit\).
Desarrollo del Análisis
En el siguiente desarrollo del análisis se hara en R Stutio y este mismo contara con varias secciones que se presentaran a continuacion.
4.4.1. Resumen estadístico de las variables de estudio
En base a la navegacion de las pestañas se muestra el resumen estadistico de la variable independiente FrecC_Max, se presenta su bloxpot e histograma. De la variable dependiente Clase_salida se mostrara su diagrama de barras, asi como su media y mediana. Ademas, se exhibira un diagrama de Cajas conjunto entre aquellas variables que mencionamos.
En base en la pestaña Resumen y Bloxplot de FrecC_Max se puede comentar que la variable FrecC_Max como se menciono en la seccion 4.2.1. presenta un sesgo mas simetrico dado que su media y mediana se encuentran en valores extremadamente cercanas entre si lo cual nos indica que no muestra valores atipicos. Lo anterior mencionado tambien es contable a traves de la pestaña Histograma de FrecC_Mac.
Continuando, segun la pestaña Resumen y Diagrama de Barras de Clase_salida la variable cualitativa::nominal Clase_salida muestra una mayor proporcionalidad para los casos 1 (Enfermedad Caridiaca), que para los caso 0 (Normal): \(55,29\) \(%\) y \(44,71\) \(%\), repespectivamente.
Complementariamente, el Resumen y el Diagrama de Cajas Conjunto muestran que las observaciones son consistentes con el contexto del problema. Es decir, para los casos con Clase_salida = 0 (Normal), los valores de FrecC_Max son mayores en comparación con los casos con Clase_salida = 1 (Enfermedad Cardiaca). Además, ambos grupos muestran sesgo, aunque la asimetría negativa es más notoria para el grupo con Clase_salida = 1.
En cuanto a la dispersión, se observan diferencias opuestas entre los grupos: el grupo con Clase_salida = 0 muestra una mayor dispersión en el rango intercuartílico hacia la mitad superior de los datos, mientras que el grupo con Clase_salida = 1 muestra una dispersión más centrada pero con ligera asimetría negativa. Los atípicos en ambos grupos se presentan en los extremos inferiores de las distribuciones, sugiriendo que los valores bajos de FrecC_Max son más extraños.
Resumen y Boxplot de FrecC_Max
summary(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 60.0 120.0 138.0 136.8 156.0 202.0boxplot(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max, main = "Diagrama de Caja de FrecC_Max", col = c("orange"))
Histograma de FrecC_Max
summary(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max)## Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
## 60.0 120.0 138.0 136.8 156.0 202.0hist(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max, main = "Histograma de FrecC_Max", col = c("gold"))
Resumen y Diagrama de Barras de Clase_salida
table(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida)##
## 0 1
## 410 507prop.table(table(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida))##
## 0 1
## 0.4471101 0.5528899barplot(table(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida))
Resumen y Diagrama de Cajas Conjunto
tapply(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max, heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida, mean)## 0 1
## 148.1512 127.6016tapply(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max, heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida, median)## 0 1
## 150 126boxplot(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max~heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida, main = "Boxplot Conjunto: FrecC_MAx - Clase_salida", col = c("orange", "gold"))
4.4.2. Formulación del modelo de RLogS entre las variables de estudio
En base a la navegacion a traves de pestañas se muestran los coeficientes del modelo RLogS y su resumen estadistico. Se menciona de nuevo las variables que son de interes: FrecC_Max (Variable independiente) y Clase_salida (Variable dependiente).
La pestaña Coeficientes del Modelo RLogS nos permite establecer que el modelo RLogS selcciona a \(\pi(x)\) con \(x\) a través de la función de enlace \(Logit\) de la siguiente manera:\[\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}=e^{5,34123645-0,03714453\cdot x}\hspace{10mm}(31)\]
De la misma forma, la pestaña Resumen Estadistico del Modelo RLogS muestra para efectos de comparacion, los resumenes del modelo estuadiado y uno alternativo tomando como base la variable cualitativa::nominal Angina_Ejercicio. Con base en el criterio de informacion que nos proporciona el Akaike (AIC por sus siglas en ingles), del cual se sabe que es una medida de bondad de ajuste de un modelo estadistico que describe la relacion entre el sesgo y la varianza en la formulacion del modelo, es decir, entre su exatitud y complejidad, se verifica que en base a los resultados podemos verificar que el mejor modelo es con la variable Clase_salida que con la variable Angina_Ejercicio por una diferencia muy corta, porque: \(AIC_C = 1105,2 < 1108,7 = AIC_A\). Tambien, para apoyar que el modelo basado en la variable Clase_salida es mejor que el modelo basado en la variable Angina_Ejercicio, el cociente entre la desviacion nula (Null Deviance) y la desviacion recidual (Residual Desviance), observable en la pestaña Resumen Estadistico del Modelo RLogS, es un poco mayor en el modelo propuesto que en el de comparacion.
Coeficientes del Modelo RLogS
modelo_RLog_Simple = glm(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida~heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max, family = "binomial", data = data.frame(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida, heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max))
coef(modelo_RLog_Simple)## (Intercept) heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max
## 5.34123645 -0.03714453Resumen Estadístico del Modelo RLogS
summary(modelo_RLog_Simple)##
## Call:
## glm(formula = heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida ~ heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max,
## family = "binomial", data = data.frame(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida,
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 5.341236 0.461831 11.56 <2e-16
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max -0.037145 0.003277 -11.34 <2e-16
##
## (Intercept) ***
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 1261.0 on 916 degrees of freedom
## Residual deviance: 1101.2 on 915 degrees of freedom
## AIC: 1105.2
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 3modelo_RLog_Simple_AN = glm(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio~heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max, family = "binomial", data = data.frame(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio, heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max))
summary(modelo_RLog_Simple_AN)##
## Call:
## glm(formula = heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio ~
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max, family = "binomial",
## data = data.frame(heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Angina_Ejercicio,
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max))
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept) 4.127853 0.430926 9.579 <2e-16
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max -0.033427 0.003178 -10.518 <2e-16
##
## (Intercept) ***
## heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
##
## Null deviance: 1237.6 on 916 degrees of freedom
## Residual deviance: 1104.7 on 915 degrees of freedom
## AIC: 1108.7
##
## Number of Fisher Scoring iterations: 44.4.3. Análisis del modelo RLogS
En base a pestañas se motraran los resultados de algunas predicciones obtenidas a traves del modelo RLogS para identificar en sus respuestas la correspondencia de sentido en las razones de probabilidades ODDS a favor o en contra del evento considerando: \(\frac{\pi}{1-\pi}\) y \(\frac{1-\pi}{\pi}\), respectivamente. Se menciona de nuevo que las variables de interes son FrecC_Max (variable independiente) y Clase_salida (varaible dependiente).
La pestaña Variable Predictora igual a Cero plantea dos situaciones interpretativas. La primera nos permite comprender el coeficiente del factor en el cual esta presente la variable predictora, y una probabilidad cercana a cero de que un caso sea favorable pero dado el contexto de la variable predictora esta es imposible que se torne cero por lo tanto carece de sentido, la segunda situacion conlleva una interpretacion mas delicada: como la variable **FrecC_Max se mide en el intervalo \([60 , 202]\) una medida de unidad razonable para el aumento seria de una unidad ejemplo: pasar de \(99\) ppm a \(100\) ppm implicando un aumanto de una unidad de medida. Asi, se entiende que el cociente de probabilidades en relacion con la variable predictora en le modelo RLogS refleja un incremento acumulado de \(\approx 0,9635\) veces desde \(60\) hasta \(202\) con incrementos de \(1\).
Con base en lo anterior, a traves de la pestaña Probabilidades Estimadas se puede apreciar entre los registros \(422\) y \(540\) un delta de cambio absoluto igual a \(0,0156032\) (equivalente a un icremento relativo del \(\approx 2,21\) \(%\)) al incrementar la variable predictora en una unidad como se definio en el parrafo anterior.
Por ultimo, el grafico de curva logistica, en la pestaña Grafica del modelo RLogS, nos permite visualizar y comprender el comportamiento de las variables involucradas en el modelo propuesto; es decir, los casos favorables en relacion con la variable Clase_salida presenta una menor probabilidad a medida de que la FrecC_Max es mayor.
Variable Predictora igual a Cero
coef(modelo_RLog_Simple)## (Intercept) heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max
## 5.34123645 -0.03714453round(exp(coef(modelo_RLog_Simple)),6)## (Intercept) heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max
## 208.770686 0.963537Probabilidades Estimadas
predict(modelo_RLog_Simple, data.frame(seq(1, 917)), type = "response")## 1 2 3 4 5 6 7 8
## 0.2596818 0.3885739 0.8456747 0.7907789 0.6920250 0.2742164 0.2742164 0.5166720
## 9 10 11 12 13 14 15 16
## 0.6253800 0.7076282 0.5166720 0.8407645 0.4888216 0.5351922 0.5627758 0.4426427
## 17 18 19 20 21 22 23 24
## 0.3047550 0.3126817 0.6677819 0.3539117 0.5166720 0.5166720 0.3207195 0.4426427
## 25 26 27 28 29 30 31 32
## 0.5536158 0.2191733 0.7651363 0.7227576 0.6511006 0.4888216 0.6253800 0.7515245
## 33 34 35 36 37 38 39 40
## 0.6920250 0.6253800 0.4063629 0.3974345 0.8918387 0.5166720 0.4610405 0.6253800
## 41 42 43 44 45 46 47 48
## 0.6253800 0.8357285 0.2892468 0.2742164 0.7076282 0.7076282 0.2892468 0.2742164
## 49 50 51 52 53 54 55 56
## 0.1834183 0.2742164 0.6998845 0.8456747 0.6920250 0.4426427 0.5351922 0.2742164
## 57 58 59 60 61 62 63 64
## 0.4153536 0.5351922 0.5899767 0.8551231 0.2456567 0.2388387 0.4981059 0.6677819
## 65 66 67 68 69 70 71 72
## 0.4888216 0.6253800 0.4981059 0.1834183 0.9084941 0.2742164 0.4888216 0.5809622
## 73 74 75 76 77 78 79 80
## 0.4426427 0.7445237 0.6426159 0.7373946 0.6253800 0.4426427 0.5536158 0.2742164
## 81 82 83 84 85 86 87 88
## 0.3539117 0.4063629 0.7445237 0.3126817 0.6677819 0.8640860 0.7651363 0.5166720
## 89 90 91 92 93 94 95 96
## 0.3974345 0.7782225 0.3539117 0.5351922 0.4610405 0.8725771 0.2067252 0.5351922
## 97 98 99 100 101 102 103 104
## 0.5536158 0.3539117 0.5351922 0.4981059 0.7445237 0.8357285 0.6253800 0.4244010
## 105 106 107 108 109 110 111 112
## 0.6759704 0.5351922 0.7782225 0.2892468 0.5809622 0.8028046 0.6759704 0.8725771
## 113 114 115 116 117 118 119 120
## 0.6677819 0.4426427 0.5809622 0.4426427 0.2742164 0.6253800 0.1779202 0.2067252
## 121 122 123 124 125 126 127 128
## 0.2742164 0.5444192 0.5351922 0.7782225 0.4426427 0.7782225 0.1523581 0.2388387
## 129 130 131 132 133 134 135 136
## 0.5351922 0.4244010 0.6253800 0.4426427 0.6920250 0.6759704 0.7076282 0.2388387
## 137 138 139 140 141 142 143 144
## 0.2388387 0.4795451 0.7227576 0.6253800 0.8640860 0.6677819 0.3710769 0.3974345
## 145 146 147 148 149 150 151 152
## 0.4426427 0.6078200 0.3974345 0.2321517 0.3539117 0.6677819 0.7076282 0.8357285
## 153 154 155 156 157 158 159 160
## 0.4426427 0.5351922 0.3539117 0.4426427 0.4426427 0.6253800 0.8357285 0.6253800
## 161 162 163 164 165 166 167 168
## 0.7152534 0.8551231 0.2456567 0.4426427 0.5351922 0.2388387 0.5351922 0.7227576
## 169 170 171 172 173 174 175 176
## 0.8357285 0.3539117 0.3539117 0.1622018 0.3371149 0.2596818 0.5899767 0.5809622
## 177 178 179 180 181 182 183 184
## 0.8086188 0.4426427 0.4426427 0.8806110 0.7076282 0.4426427 0.6759704 0.5351922
## 185 186 187 188 189 190 191 192
## 0.6253800 0.8725771 0.7782225 0.5536158 0.7782225 0.7076282 0.7076282 0.7373946
## 193 194 195 196 197 198 199 200
## 0.3539117 0.7782225 0.2067252 0.7373946 0.6078200 0.5718933 0.7373946 0.8456747
## 201 202 203 204 205 206 207 208
## 0.4426427 0.4426427 0.4795451 0.4426427 0.8357285 0.5351922 0.2067252 0.5351922
## 209 210 211 212 213 214 215 216
## 0.1779202 0.5351922 0.7782225 0.5351922 0.6426159 0.3207195 0.8456747 0.2742164
## 217 218 219 220 221 222 223 224
## 0.4426427 0.5627758 0.4426427 0.2742164 0.7651363 0.4426427 0.6677819 0.1779202
## 225 226 227 228 229 230 231 232
## 0.5627758 0.4426427 0.5351922 0.5899767 0.2742164 0.1834183 0.3710769 0.2969424
## 233 234 235 236 237 238 239 240
## 0.6340408 0.5166720 0.5351922 0.3539117 0.7227576 0.5718933 0.8407645 0.8252737
## 241 242 243 244 245 246 247 248
## 0.3974345 0.5166720 0.5073915 0.7227576 0.8198527 0.5627758 0.4426427 0.4426427
## 249 250 251 252 253 254 255 256
## 0.6253800 0.7076282 0.5809622 0.7445237 0.7445237 0.4244010 0.8551231 0.6253800
## 257 258 259 260 261 262 263 264
## 0.4426427 0.2596818 0.7076282 0.3974345 0.3126817 0.5536158 0.7445237 0.6677819
## 265 266 267 268 269 270 271 272
## 0.4888216 0.2388387 0.7782225 0.4426427 0.8766502 0.4888216 0.5351922 0.3126817
## 273 274 275 276 277 278 279 280
## 0.6253800 0.5899767 0.2067252 0.8357285 0.4426427 0.6594907 0.6594907 0.3974345
## 281 282 283 284 285 286 287 288
## 0.5809622 0.6920250 0.3539117 0.3539117 0.2742164 0.7076282 0.5351922 0.6078200
## 289 290 291 292 293 294 295 296
## 0.3885739 0.2067252 0.5536158 0.5809622 0.4610405 0.8683896 0.6511006 0.7782225
## 297 298 299 300 301 302 303 304
## 0.5444192 0.6166380 0.8725771 0.4518252 0.4518252 0.4426427 0.7076282 0.6840526
## 305 306 307 308 309 310 311 312
## 0.6594907 0.6511006 0.3974345 0.7076282 0.5536158 0.1948076 0.4063629 0.7782225
## 313 314 315 316 317 318 319 320
## 0.2321517 0.4063629 0.5259410 0.6840526 0.4610405 0.6998845 0.9228067 0.5718933
## 321 322 323 324 325 326 327 328
## 0.2388387 0.7845671 0.3047550 0.6426159 0.5989311 0.6426159 0.5536158 0.7152534
## 329 330 331 332 333 334 335 336
## 0.9084941 0.6253800 0.5073915 0.9084941 0.2128829 0.4981059 0.2742164 0.5899767
## 337 338 339 340 341 342 343 344
## 0.7515245 0.4063629 0.4518252 0.4888216 0.6920250 0.7515245 0.7583957 0.7076282
## 345 346 347 348 349 350 351 352
## 0.8143013 0.6253800 0.7445237 0.6426159 0.8143013 0.6677819 0.7076282 0.5351922
## 353 354 355 356 357 358 359 360
## 0.8357285 0.8357285 0.8725771 0.6677819 0.7583957 0.8596644 0.6426159 0.7445237
## 361 362 363 364 365 366 367 368
## 0.9350408 0.6759704 0.8407645 0.4610405 0.8504604 0.5351922 0.7301386 0.7076282
## 369 370 371 372 373 374 375 376
## 0.7076282 0.8953700 0.9526252 0.7907789 0.8456747 0.7445237 0.8086188 0.6998845
## 377 378 379 380 381 382 383 384
## 0.7227576 0.6920250 0.3797863 0.3885739 0.8407645 0.7076282 0.4888216 0.3885739
## 385 386 387 388 389 390 391 392
## 0.3974345 0.8086188 0.8407645 0.5809622 0.9053590 0.4888216 0.9574081 0.8725771
## 393 394 395 396 397 398 399 400
## 0.7445237 0.7076282 0.8456747 0.4426427 0.5073915 0.8086188 0.6920250 0.9394098
## 401 402 403 404 405 406 407 408
## 0.7782225 0.3288651 0.9454505 0.6426159 0.7076282 0.6253800 0.8357285 0.9350408
## 409 410 411 412 413 414 415 416
## 0.8640860 0.6920250 0.9201188 0.4426427 0.8198527 0.8456747 0.7782225 0.8806110
## 417 418 419 420 421 422 423 424
## 0.7651363 0.6511006 0.5351922 0.4518252 0.8407645 0.7076282 0.8086188 0.5351922
## 425 426 427 428 429 430 431 432
## 0.5259410 0.3797863 0.5351922 0.7301386 0.7076282 0.7076282 0.4610405 0.8953700
## 433 434 435 436 437 438 439 440
## 0.9021280 0.6677819 0.7076282 0.7227576 0.6759704 0.8028046 0.7717454 0.7373946
## 441 442 443 444 445 446 447 448
## 0.2067252 0.6340408 0.6677819 0.5351922 0.7076282 0.6759704 0.7301386 0.7782225
## 449 450 451 452 453 454 455 456
## 0.8086188 0.7782225 0.6920250 0.7227576 0.5989311 0.6840526 0.6166380 0.9144854
## 457 458 459 460 461 462 463 464
## 0.3126817 0.8953700 0.7717454 0.7227576 0.9021280 0.7301386 0.7968580 0.6426159
## 465 466 467 468 469 470 471 472
## 0.3539117 0.6677819 0.6253800 0.8504604 0.3454651 0.8028046 0.6253800 0.5351922
## 473 474 475 476 477 478 479 480
## 0.6920250 0.6253800 0.7076282 0.5444192 0.7907789 0.4610405 0.6840526 0.7782225
## 481 482 483 484 485 486 487 488
## 0.7227576 0.6677819 0.8028046 0.7651363 0.6426159 0.2067252 0.4981059 0.5809622
## 489 490 491 492 493 494 495 496
## 0.5351922 0.8252737 0.7907789 0.4888216 0.6511006 0.7782225 0.5351922 0.9414899
## 497 498 499 500 501 502 503 504
## 0.4610405 0.6253800 0.6253800 0.5351922 0.5536158 0.5351922 0.5536158 0.7651363
## 505 506 507 508 509 510 511 512
## 0.6166380 0.7651363 0.9144854 0.4426427 0.7782225 0.6594907 0.8882032 0.4153536
## 513 514 515 516 517 518 519 520
## 0.4426427 0.7076282 0.3539117 0.6078200 0.7076282 0.7782225 0.6998845 0.6426159
## 521 522 523 524 525 526 527 528
## 0.5809622 0.7076282 0.7301386 0.4426427 0.4981059 0.7583957 0.5809622 0.6511006
## 529 530 531 532 533 534 535 536
## 0.7845671 0.6426159 0.7445237 0.8252737 0.5351922 0.5809622 0.6920250 0.7152534
## 537 538 539 540 541 542 543 544
## 0.6253800 0.7651363 0.8357285 0.6920250 0.7076282 0.8086188 0.6340408 0.7076282
## 545 546 547 548 549 550 551 552
## 0.5444192 0.3371149 0.8357285 0.5351922 0.5809622 0.9327478 0.8953700 0.7907789
## 553 554 555 556 557 558 559 560
## 0.7373946 0.3539117 0.7227576 0.7651363 0.6920250 0.6759704 0.8252737 0.5627758
## 561 562 563 564 565 566 567 568
## 0.5259410 0.4063629 0.6594907 0.3539117 0.7445237 0.6426159 0.7445237 0.8086188
## 569 570 571 572 573 574 575 576
## 0.7782225 0.7152534 0.7845671 0.5809622 0.6253800 0.7651363 0.6594907 0.7076282
## 577 578 579 580 581 582 583 584
## 0.7782225 0.7152534 0.7782225 0.6253800 0.3624504 0.9021280 0.6594907 0.7373946
## 585 586 587 588 589 590 591 592
## 0.7076282 0.6920250 0.3126817 0.6920250 0.8640860 0.5989311 0.7782225 0.4426427
## 593 594 595 596 597 598 599 600
## 0.6253800 0.7583957 0.5351922 0.8357285 0.5718933 0.6511006 0.8456747 0.8551231
## 601 602 603 604 605 606 607 608
## 0.6840526 0.8456747 0.7651363 0.4334993 0.8551231 0.7907789 0.6426159 0.5536158
## 609 610 611 612 613 614 615 616
## 0.6594907 0.4063629 0.5627758 0.8357285 0.5809622 0.8683896 0.7845671 0.3539117
## 617 618 619 620 621 622 623 624
## 0.5259410 0.8086188 0.6998845 0.5351922 0.5166720 0.5166720 0.2742164 0.4063629
## 625 626 627 628 629 630 631 632
## 0.3454651 0.7717454 0.2067252 0.4888216 0.3624504 0.6677819 0.7076282 0.3974345
## 633 634 635 636 637 638 639 640
## 0.4981059 0.2191733 0.6340408 0.2067252 0.2007002 0.5073915 0.3624504 0.5444192
## 641 642 643 644 645 646 647 648
## 0.4244010 0.3797863 0.3126817 0.6253800 0.4426427 0.5536158 0.2742164 0.5351922
## 649 650 651 652 653 654 655 656
## 0.6594907 0.4426427 0.5536158 0.6677819 0.4426427 0.1725521 0.2007002 0.3288651
## 657 658 659 660 661 662 663 664
## 0.2128829 0.3885739 0.5899767 0.3126817 0.6594907 0.2255963 0.7076282 0.7515245
## 665 666 667 668 669 670 671 672
## 0.6677819 0.1834183 0.3797863 0.2128829 0.2388387 0.2892468 0.6677819 0.8551231
## 673 674 675 676 677 678 679 680
## 0.5073915 0.8198527 0.2526048 0.5166720 0.2816707 0.2668862 0.4426427 0.7651363
## 681 682 683 684 685 686 687 688
## 0.1725521 0.4244010 0.4518252 0.4244010 0.5351922 0.3288651 0.5073915 0.7373946
## 689 690 691 692 693 694 695 696
## 0.5166720 0.4702826 0.4610405 0.2128829 0.2526048 0.2191733 0.8086188 0.6253800
## 697 698 699 700 701 702 703 704
## 0.7717454 0.2892468 0.6594907 0.2191733 0.5351922 0.4888216 0.3288651 0.6426159
## 705 706 707 708 709 710 711 712
## 0.3207195 0.2816707 0.7845671 0.7907789 0.2892468 0.7227576 0.4334993 0.3885739
## 713 714 715 716 717 718 719 720
## 0.5989311 0.3371149 0.2388387 0.9372608 0.3288651 0.6759704 0.4702826 0.3047550
## 721 722 723 724 725 726 727 728
## 0.5073915 0.3797863 0.3371149 0.5536158 0.7301386 0.4153536 0.3454651 0.2742164
## 729 730 731 732 733 734 735 736
## 0.3371149 0.3371149 0.4981059 0.5989311 0.7515245 0.8198527 0.5444192 0.7373946
## 737 738 739 740 741 742 743 744
## 0.8882032 0.4334993 0.4244010 0.3288651 0.8407645 0.2816707 0.3710769 0.3539117
## 745 746 747 748 749 750 751 752
## 0.2816707 0.6078200 0.2191733 0.8551231 0.3126817 0.3539117 0.2596818 0.4981059
## 753 754 755 756 757 758 759 760
## 0.1430097 0.2892468 0.6078200 0.1948076 0.3288651 0.6677819 0.1298882 0.8596644
## 761 762 763 764 765 766 767 768
## 0.3539117 0.7515245 0.2526048 0.2596818 0.2128829 0.3710769 0.2969424 0.6920250
## 769 770 771 772 773 774 775 776
## 0.4518252 0.2596818 0.7717454 0.2742164 0.3371149 0.3126817 0.1948076 0.4063629
## 777 778 779 780 781 782 783 784
## 0.3974345 0.6253800 0.3454651 0.4063629 0.3624504 0.4244010 0.4244010 0.2456567
## 785 786 787 788 789 790 791 792
## 0.6166380 0.4795451 0.6677819 0.7445237 0.2456567 0.8028046 0.6920250 0.4702826
## 793 794 795 796 797 798 799 800
## 0.3288651 0.3288651 0.1341442 0.4426427 0.3710769 0.6920250 0.2526048 0.3371149
## 801 802 803 804 805 806 807 808
## 0.8086188 0.4702826 0.3797863 0.7651363 0.3539117 0.6677819 0.3885739 0.3885739
## 809 810 811 812 813 814 815 816
## 0.2388387 0.3454651 0.6920250 0.3710769 0.4334993 0.3371149 0.4334993 0.2668862
## 817 818 819 820 821 822 823 824
## 0.5259410 0.2526048 0.4888216 0.2191733 0.3539117 0.4063629 0.6166380 0.1673130
## 825 826 827 828 829 830 831 832
## 0.3624504 0.3047550 0.3126817 0.6166380 0.1032189 0.2596818 0.2596818 0.4063629
## 833 834 835 836 837 838 839 840
## 0.4702826 0.2742164 0.6594907 0.6511006 0.2456567 0.6078200 0.1948076 0.6078200
## 841 842 843 844 845 846 847 848
## 0.8504604 0.5718933 0.3371149 0.1523581 0.4795451 0.5351922 0.1779202 0.3454651
## 849 850 851 852 853 854 855 856
## 0.4795451 0.4888216 0.3539117 0.7076282 0.3885739 0.2596818 0.4426427 0.1948076
## 857 858 859 860 861 862 863 864
## 0.5073915 0.3539117 0.5166720 0.4981059 0.3710769 0.4610405 0.3974345 0.5166720
## 865 866 867 868 869 870 871 872
## 0.7583957 0.1622018 0.4153536 0.6840526 0.3797863 0.3371149 0.5627758 0.6078200
## 873 874 875 876 877 878 879 880
## 0.3710769 0.2668862 0.2596818 0.6078200 0.3539117 0.2668862 0.2892468 0.3371149
## 881 882 883 884 885 886 887 888
## 0.2526048 0.4153536 0.4610405 0.7907789 0.7445237 0.2816707 0.5073915 0.3885739
## 889 890 891 892 893 894 895 896
## 0.3371149 0.3974345 0.4244010 0.4244010 0.3207195 0.6166380 0.5073915 0.2128829
## 897 898 899 900 901 902 903 904
## 0.6253800 0.2456567 0.3454651 0.5351922 0.4795451 0.4981059 0.3288651 0.2816707
## 905 906 907 908 909 910 911 912
## 0.4426427 0.3047550 0.4981059 0.4981059 0.5718933 0.1948076 0.8806110 0.6840526
## 913 914 915 916 917
## 0.6078200 0.5259410 0.7445237 0.2456567 0.2526048Gráfica del Modelo RLogS
Clase_salida <- heart_diseases_Dataset_VR_MOD$Clase_salida
FrecC_Max <- heart_diseases_Dataset_VR_MOD$FrecC_Max
dataPlot <- data.frame(FrecC_Max, Clase_salida)
plot(Clase_salida~FrecC_Max, data = dataPlot, main = "Modelo RLogS: FrecC_Max - Clase_salida", xlab = "FrecC_Max", ylab = "Clase_salida = 0 | Clase_salida = 1", col = "gold", pch = "I")
curve(predict(glm(Clase_salida~FrecC_Max, family = "binomial", data = dataPlot), data.frame(FrecC_Max = x), type = "response"), col = "orange", lwd = 3, add = TRUE)
Conclucion
Complementariamente a los analisis que fueron expuestos en las fases anteriores de estudio de cada modelo tratado en este trabajo es importante hacer una mencion global sobre el problema que se esta tratando abordar considerando a la luz de todo lo obtenido:
Para que a un paciente se le diagnostique de insuficiencia cardiaca, para el cual el genero es poco significativo, la frecuencia cardiaca maxima y la angina porducida por el ejercicio como ejemplo segun su valor puede ayudar a que el paciente se le diagnostique insuficiencia cardiaca. Sin embargo, las variables de trabajo usadas en este estudio solo explican en conjunto, aproximadamente el \(35\) \(%\) de la variabilidad de la variable objetivo, este valor no es suficiente para decir con certeza si un paciente se le diagnostica insuficiencia cardiaca o no, dado que el \(75\) \(%\) restante queda sujeto a especulaciones como si tiene problemas cardiacos hereditarios en su nucleo familiar, la cantidad de ejercicio que realiza por dia, como estos y otros parametros que no se cuentan en el conjunto de datos que se estudio, sin embargo que resultaria interesenta de estudiar para tener un resultado mas preciso sobre el problema que se aborda.
Por último, es importante resaltar el aspecto técnico relacionado con el procesamiento estadístico hecho en este estudio a nivel de robustez, eficiencia e integración que R, RStudio y RMarkdown ofrecen al usuario para que este se pueda enfocar en él sin pasar mayores inconvenientes con el soporte documental para presentarlo.