問題：3変数の関係

• 必ずしも因果関係の解明がデータ解析の目的ではない
  • 事実を記述するだけでじゅうぶん研究として価値のある場合もある
• しかし、因果関係が知りたい場合も多い
  • しかし、実験できないことも多い
• フィールド・データで因果関係を推定したい
  
• 以下の内容については、 今井 (2018), 高橋 (2022), 太郎丸 (2005) を参照

3変数分析が必要な場合1: 交絡の統制 control

• フィールドデータでは、交絡要因 confounder が存在しうるので、処置（因果的効果がどの程度あるか知りたい独立変数）と従属変数／結果変数だけを調べても、正確な因果関係は推定はできないかもしれない
• しかし、交絡要因を測定できれば、交絡要因の効果と処置の効果を分離し、処置の効果を正確に推定する方法はある
• それゆえ、交絡要因、処置、結果変数のあいだの関係を分析することはよくある

3変数分析が必要な場合2: 交互作用効果の推定

• 交絡要因がないとしても、交互作用効果を推定したい場合もある、例えば…
  • 男女で学歴が賃金に及ぼす影響はどう異なるか?
  • 学歴が肥満度に及ぼす影響は国によってどう異なるか?
  • 遺伝子が肥満度に及ぼす影響は学歴によってどう異なるか?
• これらのような場合、3変数（処置、調整変数、結果）間の関係を記述する必要がある

3変数分析が必要な場合3: 媒介関係 mediation

• 例1: 親社会的地位 \(\rightarrow\) 子学歴 \(\rightarrow\) 子賃金
• 例2: ホームチーム (HT) を応援する観客数 \(\rightarrow\) HT を贔屓した判定数 \(\rightarrow\) HT の勝率
• 上のような因果の連鎖がある場合、子学歴は、親の社会的地位の子学歴に対する効果を媒介している mediate、という
• このような効果は間接効果とか、媒介効果とか呼ばれ、子学歴や贔屓した判定の数は媒介変数と呼ばれる
• それに対して、学歴や判定数を経由せずに親の社会的地位や観客数が直接子の賃金を引き上げる効果がある場合、直接効果という。例えば、
  • 親の社長職を子が継ぐような場合や
  • 応援がホームチームを鼓舞してパフォーマンスを高めるような場合

・直接効果・間接効果・総効果

• 媒介変数は複数ありうる。例えば、
  • 親の社会的地位 \(\rightarrow\) 子社会関係資本 \(\rightarrow\) 子賃金、
  • HT応援観客数 \(\rightarrow\) HTのモチベーション \(\rightarrow\) HT の勝率
  • 実際のデータ分析では、測定された媒介変数では説明できない残余が「直接」効果と推定される
• 直接効果と間接効果の総和を総効果という
• 媒介変数や間接効果は、平均処置効果の推定では無視していい
  • 例えば、親の社会的地位がどれぐらい賃金を引き上げる効果を持つのか推定したいだけなら、子の学歴は無視していい
• しかし、媒介効果の大きさを知りたい場合もある

概念の整理：独立変数と従属変数

• 独立変数 independent variable : 原因となったり、他の変数を予測するのに役立ったりする変数
  • 昔は説明変数 explanatory variable とも言ったが、最近はあまり聞かない
  • 因子 factor, 共変量 covariate, 予測変数 predictor など論者による言葉遣いの違いあり
• 従属変数 dependent variable ／結果変数 outcome variable: 結果に当たる変数、予測される変数

独立変数の分類

• 処置 Treatment: 因果効果を知りたい注目の独立変数。実際には研究者の介入がなくても、因果推論系の論者はそれを処置と呼ぶ様子
• 交絡要因 Confounder: 処置と結果変数の両方に影響する変数
• 媒介変数 Mediating variable, mediator: 処置の影響を受け、結果変数に影響を与える変数

交互作用効果の図示

• 原因を左、結果を右に配置するのが一般的（だが例外も）
• 交互作用効果をパス図で図示することはあまりないが、
• 以下のように図示する場合も

視点による呼び名の相対性

• 想定する因果関係が同じでも、論者がどの独立変数に注目するかで、各変数の呼び方は変わってくる。 例えば、 +親社会的地位 \(\rightarrow\) 子学歴 \(\rightarrow\) 子賃金 という因果連鎖において、親の社会的地位の効果に注目すると、親の社会的地位が処置で、子学歴が媒介変数だが、
  • 子学歴に注目する人にとっては、子学歴が処置で親の社会的地位は交絡要因

実際の研究で必要なこと: 第三変数による統制／層化

1. 交絡要因を統制して、処置の因果的な効果がどれぐらいか推定
2. 媒介変数を統制して、処置の直接効果がどれぐらいか推定
3. 調整変数の値によって、処置の効果がどれぐらい変わるか推定

交絡要因、媒介変数、調整変数を第三変数と呼ぶならば、いずれも第三変数の統制 control が必要になる、ということ。

交絡要因の統制の架空例: 統制なし

• 処置がカフェイン摂取か、プラシボ摂取か、結果が計算問題の点数、交絡要因が教室で座っている位置（前か、後ろか）
• 単純に処置群と統制群の平均点を図示したのが以下（ナイーブな比較）。処置群のほうが \(84.75 - 54.4 = 30.35\) 点だけ平均点が高い

交絡要因の統制の架空例: 統制あり

• 以下は座席で被験者を分類し、さらに処置群と統制群に分類して、それぞれの平均点を計算
  • 前に座っていた人の平均処置効果は \(90 - 72 = 18\)
  • 後ろに座っていた人の平均処置効果は \(75 - 50 = 25\)

交絡要因の統制 架空例まとめ

• ナイーブな比較で平均処置効果を過大に推定してしまっているのは、前に座っている人ほど処置群に割り当てられやすく、前に座っている人ほど計算が早く正確だったから
• 座席別に計算した平均処置効果は、それぞれ座席は一定なので、座席の位置の影響を排除できている
• 座席別ではなく、全体の平均処置効果が知りたい場合、二つの平均処置効果をそれぞれの人数で重みづけして平均すればよい。この例では、前に座っていたのが 170 人、後ろに座っていたのが 230 人、平均処置効果がそれぞれ、18、25 なので、 \[ \frac{170}{400} \times 18 + \frac{230}{400} \times 25 = 22 \]

交絡要因の統制まとめ

• 上の例のように、第三変数（上の例では座席の位置）でサンプルを分類し、それぞれのサブサンプルについて、平均値を比較したり、相関係数を計算したり、… したりすることを第三変数で統制するとか、層化 stratify するという。
• 上の例では結果変数が連続変数、処置が離散変数だったが、結果変数が離散変数だったり、処置が連続変数の場合もある。そのときも、層化してからクロス表を作ったり、相関係数を計算したりすれば、交絡要因の効果を排除できる

交絡要因の統制：補足

• 処置が3つ以上のカテゴリからなる場合、上の架空例のような平均値の比較を3通り行う必要あり。
  • 例えば、プラシボ、カフェイン少し、カフェイン多い、の三つの群ごとに計算問題の平均点を計算し、「プラシ vs カフェ少」「プラシ vs カフェ多」「カフェ少 vs カフェ多」で比較
• ナイーブな比較はしたほうがよいが、最終的にレポートや論文に書くことは必須ではない
• 上の例では、座席の位置と処置の関連をきちんと示していないが、確認したほうが良い（レポート等に示すべきかはケースバイケース）

間接／直接効果分割の架空例: 総効果

• 母学歴が処置、子学歴が媒介変数、子収入が結果変数、交絡要因は存在しないと仮定する
• 母学歴の総効果（平均処置効果）は \(300 - 243 = 57\)

間接／直接効果分割の架空例: 直接効果

• 子が高学歴のときの母学歴の平均処置効果は、\(316 - 295 = 21\)
• 子が低学歴のときの母学歴の平均処置効果は、\(216 - 201 = 15\)
• 全体の平均処置効果は \(0.56 \times 21 + 0.44 \times 15 = 18\)

間接効果の計算

• \(総効果 - 直接効果 = 間接効果\)
• \(57 - 18 = 39\)
• 間接効果の推定はパス解析、構造方程式モデリング、媒介分析と呼ばれるような手法を用いるのが一般的で (小杉 and 清水 2014; 豊田 2014)、ここで紹介した方法とは若干異なる推定結果になる場合もある

第三変数の統制／層化の限界

• 実際には交絡要因は複数あることが多いし、カテゴリも3つ以上あることも多い。交絡要因が連続変数である場合も
• そのとき、層別の分析をすると、多数の層に分類する必要があるが、各層のサンプルサイズが小さくなり、処置群または統制群のいずれかの人数がゼロになってしまう場合も
  • 例えば 3カテゴリからなる交絡要因が 5 つあれば、サンプルを \(3^5=243\) の層に分類する必要あり
• そのため、応用的な研究では回帰分析や傾向スコアを使って因果関係が推定されることが多い

交互作用効果

• カフェイン計算実験の例では、カフェインの平均処置効果は前に座っていると 18 後ろだと 25 であった。平均処置効果には、7 の差がある。このような差を交互作用効果という。
• 母子学歴と子収入の例では、母学歴の平均処置効果は、子が高学歴だと21 子が低学歴だと 14.7538462 であった。交互作用効果は、6 である。
• 応用的な研究では交互作用効果や平均処置効果、等の検定や信頼区間の推定が必要（D科目や E科目で勉強してください）

パネルデータ panel data による交絡要因の統制

• パネルデータ：同じ事例に関して繰り返し同じ事柄を測定したデータ
  • 毎日同じ大学生たちに、主観的幸福感とその日の主な活動（授業、サークル活動、アルバイト、等々）を尋ねる
  • OECD諸国の2003-2023の大学進学率と一人当たりGDPを調べる
• 同じ事例に関して時間による変化が調べられる

パネルデータの架空例

• 48時間以内に「他人に親切にした」かどうかが処置（1: した, 0: しなかった）、調査時の主観的幸福感（0～10）が結果、交絡は性格などいろいろ（測定されていないが、性格だけ便宜的にデータに示す）

ロングフォーマットへの変換

• データは前ページのように1つの行が一つの事例を表すように整理するのが普通だが、パネルデータの場合、以下のように整理することも多い。
• 前者をワイドフォーマット／ワイドデータ、後者をロングフォーマット／ロングデータという

個人id による層化

• id \(= 1\) の親切にした時の平均幸福感が \((10+9)/2 = 9.5\)、親切にしなかったときは \(5/1 = 5\)、 平均処置効果は \(9.5-5=4.5\)
• id \(= 2\) の親切にした時の平均幸福感が \(10 / 1 = 10\)、親切にしなかったときは \((5+5)/2 = 5\) 、平均処置効果は \(10-5=5\)
• 以下同様に計算したのが下の表（NA はいつも親切、またはいつも親切でないので計算できないセル）

全体の平均処置効果とパネルデータ分析の限界

• 平均処置効果は、回答者によって異なるが、それらを平均すると全体の平均処置効果が得られる。上の例の場合、5.8
• 個人 id で層化すると、時間によって変化しない個人の特性はすべて統制できる（同じ個人内で比較しているから）
  • 幼少期の体験、性格、学歴など調査期間内に変化しないものはすべて統制可
• しかし、時間によって変化する特性は統制できない
• 個人内で処置が変化しないと分析できない
• このような分析は固定効果モデルと呼ばれる分析法と基本的には同じ

参考: 3変数の関連のパターン

• 以下の図では因果の向きを無視し、関連があるかどうかだけ検討
• 3変数の関連は、以下の4つと交互作用あり（対数線形モデルでは飽和モデルと呼ばれる）の合計5種類に分類できる
• 交互作用は 9枚目のスライドのように図示される場合もあるが、因果の向きを無視する場合、図示できない (Wickens 1989)