Definición 1.1
Sea \(n\) par y \(a\in \mathbb{R^-}\). Las cantidades de la forma \(\sqrt[n]{a}\) se denominan números imaginarios y el conjunto que los contiene es \(\mathbb{I}\).
Ejemplo 1.2
Las siguientes cantidades corresponden a números imaginarios.
Definición 1.3
La unidad fundamental del número imaginario se define como:
\[\sqrt{-1}=i\]
Ejemplo 1.4
Expresar \(\sqrt{-25}\) a su notación fundamental.
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{-25}=\sqrt{25\cdot -1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt{-25}}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{-1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt{-25}}=5i\)Ejemplo 1.5
Expresar \(\sqrt{-12}\) a su notación fundamental.
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{-12}=\sqrt{4\cdot 3\cdot -1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt{-12}}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{-1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt{-12}}=2\sqrt{3}i\)
Definición 2.1
Sean \(a,b\in \mathbb{R}\) e \(i=\sqrt{-1}\). Las cantidades imaginarias \(ai\) y \(bi\) se adicionan o sustraen tal como se muestra a continuación.
\[ai\pm bi=(a\pm b)i\]
Ejemplo 2.2
Resolver \(5i+9i-12i\)
\(\Rightarrow\) \(5i+9i-12i=(5+9-12)i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{5i+9i-12i}=2i\)Ejemplo 2.3
Resolver \(\sqrt{-9}+8i\)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{-9}+8i=\sqrt{9\cdot -1}+8i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt{-9}+8i}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{-1}+8i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt{-9}+8i}=3i+8i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt{-9}+8i}=(3+8)i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt{-9}+8i}=11i\)Ejemplo 2.4
Resolver \(\sqrt{-2}+\sqrt{-18}\)
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{-2}+\sqrt{-18}=\sqrt{2\cdot -1}+ \sqrt{9\cdot 2\cdot -1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt{-2}+\sqrt{-18}}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{-1}+ \sqrt{9}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{-1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt{-2}+\sqrt{-18}}=\sqrt{2}i+3 \sqrt{2}i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt{-2}+\sqrt{-18}}=(\sqrt{2}+3 \sqrt{2})i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\sqrt{-2}+\sqrt{-18}}=4\sqrt{2}i\)
Definición 3.1
Para \(i=\sqrt{-1}\) se cumple que.
\[i^2=-1\]
Ejemplo 3.2
Reducir \(i^5\)
\(\Rightarrow\) \(i^5=(i^2)^2i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{i^5}=(-1)^2i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{i^5}=1i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{i^5}=i\)
Ejemplo 3.2
Reducir \(i^{12}\)
\(\Rightarrow\) \(i^{12}=(i^2)^6\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{i^{12}}=(-1)^6\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{i^{12}}=1\)
Ejemplo 3.2
Reducir \(i^{27}\)
\(\Rightarrow\) \(i^{27}=(i^2)^{13}i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{i^{27}}=(-1)^{13}i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{i^{27}}=-1i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{i^{27}}=-i\)
Definición 4.1
Sea \(a,b\in\mathbb{R}\) e \(i=\sqrt{-1}\). Las cantidades imaginarias \(ai\) y \(bi\) se multiplican tal como se muestra a continuación.
\[ai^m\cdot bi^n=(a\cdot b)i^{m+n}\]
Ejemplo 4.2
Resolver \(2i^2\cdot i^4\)
\(\Rightarrow\) \(2i^2\cdot i^4=2i^6\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{2i^2\cdot i^4}=2(i^2)^3\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{2i^2\cdot i^4}=2(-1)^3\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{2i^2\cdot i^4}=2(-1)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{2i^2\cdot i^4}=-2\)
Ejemplo 4.3
Resolver \(7i^6\cdot 3i^5\)
\(\Rightarrow\) \(7i^6\cdot 3i^5=35i^{11}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{7i^6\cdot 3i^5}=35(i^2)^5i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{7i^6\cdot 3i^5}=35(-1)^5i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{7i^6\cdot 3i^5}=35(-1)i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{7i^6\cdot 3i^5}=-35i\)
Ejemplo 4.4
Resolver \(-4i^7\cdot 2i^{-2}\cdot i^{5}\)
\(\Rightarrow\) \(-4i^7\cdot 2i^{-2}\cdot i^{5}=-8i^{10}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{-4i^7\cdot 2i^{-2}\cdot i^{5}}=-8(i^2)^5\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{-4i^7\cdot 2i^{-2}\cdot i^{5}}=-8(-1)^5\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{-4i^7\cdot 2i^{-2}\cdot i^{5}}=-8(-1)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{-4i^7\cdot 2i^{-2}\cdot i^{5}}=8\)
Definición 5.1
Sea \(a,b\in\mathbb{R}\) e \(i=\sqrt{-1}\). Las cantidades imaginarias \(ai\) y \(bi\) se dividen tal como se muestra a continuación.
\[ai^m\div bi^n=(a\cdot b)i^{m-n}\]
Ejemplo 5.2
Resolver \(12i^7\div 4i^2\)
\(\Rightarrow\) \(12i^7\div 4i^2=3i^5\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{12i^7\div 4i^2}=3(i^2)^2i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{12i^7\div 4i^2}=3(-1)^2i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{12i^7\div 4i^2}=3(1)i\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{12i^7\div 4i^2}=3i\)