Definición 1.1
Un número racional es cualquier cantidad que puede ser expresada como fracción simple, es decir, con numerador y denominador enteros.
Ejemplo 1.2
Las siguientes cantidades corresponden a números racionales.
Definición 1.3
El conjunto de los números racionales se define como:
\[\mathbb{Q}=\bigg\lbrace \dfrac{a}{b}:a\in \mathbb{Z}\wedge b\in \mathbb{Z}-\{0\}\bigg\} \]
Definición 2.1
Un decimal es finito si después de la coma tiene una cantidad contable de dígitos.
Ejemplo 2.2
Las siguientes cantidades corresponden a decimales finitos.
Propiedad 2.3
La fracción equivalente a un decimal finito tiene como numerador al entero que se forma en correspondencia con los dígitos del decimal, en tanto su denominador tendrá una potencia de \(10\) con tantos ceros como dígitos tenga la parte no entera del decimal.
Ejemplo 2.4
Expresar a fracción el decimal \(3{,}4\).
Ejemplo 2.5
Expresar a fracción el decimal \(2{,}15\).
Ejemplo 2.6
Expresar a fracción el decimal \(0{,}0079\).
Definición 3.1
Un decimal es infinito periódico si después de la coma tiene una cantidad infinita de dígitos, los cuales se repiten siguiendo un patrón específico.
Ejemplo 3.2
Las siguientes cantidades corresponden a decimales infinitos periódicos.
Definición 3.3
La fracción equivalente a un decimal infinito periódico tiene como numerador a lo que resulta de la resta entre el entero que se forma en correspondencia con los dígitos del decimal y su antiperiodo, en tanto su denominador tendrá solo nueves, tantos como dígitos periódicos tenga el decimal.
Ejemplo 3.4
Expresar a fracción el decimal \(2{,}\overline{4}\)
\(\Rightarrow\) \(2{,}\overline{4}=\dfrac{24-2}{9}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{2{,}\overline{4}}=\dfrac{22}{9}\)Ejemplo 3.5
Expresar a fracción el decimal \(-7{,}\overline{12}\)
\(\Rightarrow\) \(-7{,}\overline{12}=-\dfrac{712-7}{99}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{-7{,}\overline{12}}=-\dfrac{705}{99}\)Ejemplo 3.6
Expresar a fracción el decimal \(0{,}\overline{001}\)
\(\Rightarrow\) \(0{,}\overline{001}=\dfrac{1-0}{999}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{0{,}\overline{001}}=\dfrac{1}{999}\)Definición 4.1
Un decimal es infinito semiperiódico si después de la coma solo algunos de sus dígitos se repiten de forma indefinida siguiendo un patro específico.
Ejemplo 4.2
Las siguientes cantidades corresponden a decimales infinitos semiperiódicos.
Definición 4.3
La fracción equivalente a un decimal infinito semiperiódico tiene como numerador a lo que resulta de la resta entre el entero que se forma en correspondencia con los dígitos del decimal y su antiperiodo, en tanto su denominador comenzará con tantos nueves como dígitos periódicos tenga el decimal después de la coma, seguido de tantos ceros como dígitos no periódicos después de la coma tenga el mismo decimal.
Ejemplo 4.4
Expresar a fracción el decimal \(4{,}1\overline{3}\)
\(\Rightarrow\) \(4{,}1\overline{3}=\dfrac{413-41}{90}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{4{,}1\overline{3}}=\dfrac{372}{90}\)Ejemplo 4.5
Expresar a fracción el decimal \(-11{,}5\overline{71}\)
\(\Rightarrow\) \(-11{,}5\overline{71}=-\dfrac{11.571-115}{990}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{-11{,}5\overline{71}}=-\dfrac{11.456}{990}\)Ejemplo 4.6
Expresar a fracción el decimal \(0{,}00\overline{876}\)
\(\Rightarrow\) \(0{,}00\overline{876}=\dfrac{876-0}{99.900}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{0{,}00\overline{876}}=\dfrac{876}{99.900}\)
Definición 5.1
Una aproximación por redondeo implica seleccionar un valor posicional específico e incrementarlo en una unidad si el dígito inmediatamente a su derecha es igual o mayor a cinco, reemplazando por cero a cada dígito que se encuentra a la derecha del valor posicional seleccionado y conservando aquellos que se encuentran a su izquierda.
Ejemplo 5.2
Redondear \(5{,}346\) a la centésima.
\(\Rightarrow\) \(5{,}346\approx 5{,}3\textcolor{blue}{4}6\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{5{,}346}\approx 5{,}3\textcolor{blue}{5}0\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{5{,}346}\approx 5{,}3\textcolor{blue}{5}\)Ejemplo 5.3
Redondear \(8.871\) a la centena.
\(\Rightarrow\) \(8.871\approx 8.\textcolor{blue}{8}71\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{8.871}\approx 8.\textcolor{blue}{9}00\)Ejemplo 5.4
Redondear \(31.412\) a la unidad de mil.
\(\Rightarrow\) \(31.412\approx 3\textcolor{blue}{1}.412\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{31.412}\approx 3\textcolor{blue}{1}.000\)Definición 6.1
Una aproximación por truncamiento implica reescribir el número reemplazando por cero a cada dígito que se encuentre a la derecha del valor posicional seleccionado y conservando aquellos que se encuentran a su izquierda.
Ejemplo 6.2
Truncar \(16{,}8272\) a la décima.
\(\Rightarrow\) \(16{,}8272 \approx 16{,}\textcolor{blue}{8}272\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{16{,}8272}\approx 16{,}\textcolor{blue}{8}000\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{16{,}8272}\approx 16{,}\textcolor{blue}{8}\)Ejemplo 6.3
Truncar \(87.938\) a la unidad de mil.
\(\Rightarrow\) \(87.938\approx 8\textcolor{blue}{7}.939\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{87.938}\approx 8\textcolor{blue}{7}.000\)Ejemplo 6.4
Truncar \(-5.129\) a la decena.
\(\Rightarrow\) \(-5.129\approx -5.1\textcolor{blue}{2}9\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{-5.129}\approx -5.1\textcolor{blue}{2}0\)Definición 7.1
Una aproximación por defecto consiste en ajustar el número hacia el valor entero más próximo por debajo del valor posicional seleccionado, reemplazando por cero a cada dígito que se encuentre a la derecha del valor posicional seleccionado y conservando aquellos que se encuentran a su izquierda.
Ejemplo 7.2
Aproximar por defecto \(75{,}129\) a la centésima.
\(\Rightarrow\) \(75{,}129 \approx 75{,}1\textcolor{blue}{2}9\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{75{,}129}\approx 75{,}1\textcolor{blue}{2}0\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{75{,}129}\approx 75{,}1\textcolor{blue}{2}\)Ejemplo 7.3
Aproximar por defecto \(11.928\) a la centena.
\(\Rightarrow\) \(11.928 \approx 11.\textcolor{blue}{9}28\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{11.928}\approx 11\textcolor{blue}{9}00\)Ejemplo 7.4
Aproximar por defecto \(-123.928\) a la decena de mil.
\(\Rightarrow\) \(-123.928 \approx -1\textcolor{blue}{2}3.928\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{-123.928}\approx -1\textcolor{blue}{3}0.000\)
Observa que si la cantidad es negativa, el valor posicional seleccionado se aumenta en una unidad.Definición 8.1
Una aproximación por exceso consiste en ajustar el número hacia el valor entero más próximo por encima del valor posicional seleccionado, reemplazando por cero a cada dígito que se encuentre a la derecha del valor posicional seleccionado y conservando aquellos que se encuentran a su izquierda.
Ejemplo 8.2
Aproximar por exceso \(0{,}113\) a la centésima.
\(\Rightarrow\) \(0{,}113\approx 0{,}1\textcolor{blue}{1}3\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{0{,}113}\approx 0{,}1\textcolor{blue}{2}0\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{0{,}113}\approx 0{,}1\textcolor{blue}{2}\)Ejemplo 8.3
Aproximar por exceso \(78.238\) a la unidad de mil.
\(\Rightarrow\) \(78.238\approx 7\textcolor{blue}{8}.238\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{78.238}\approx 7\textcolor{blue}{9}.000\)Ejemplo 8.4
Aproximar por defecto \(-311.122\) a centena de mil.
\(\Rightarrow\) \(-311.122 \approx -\textcolor{blue}{3}11.122\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{-311.122}\approx -\textcolor{blue}{3}00.000\)
Observa que si la cantidad es negativa, el valor posicional seleccionado se conserva.Definición 9.1
El mínimo común múltiplo entre un grupo de números enteros corresponde a la menor cantidad posible divisible por dichos enteros.
Ejemplo 9.2
Determinar el mínimo común múltiplo entre \(12,15\) y \(10\).
Paso 1: Dividir cada cantidad por el menor número primo posible de tal manera que su resto sea cero. Este paso se repite con los cocientes que se van obteniendo hasta que cada cociente se convierte en 1.
| \(12\) | \(15\) | \(10\) | \(MCM\) |
| \(6\) | \(15\) | \(5\) | \(2\) |
| \(3\) | \(15\) | \(5\) | \(2\) |
| \(\cancel{1}\) | \(5\) | \(5\) | \(3\) |
| \(\cancel{1}\) | \(\cancel{1}\) | \(5\) |
Paso 2: Cálcular del mínimo común múltiplo.
\(\Rightarrow\) \(MCM(12,15,10)=2\cdot 2\cdot3 \cdot5\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{MCM(12,15,10)}=60\)Ejemplo 9.3
Determinar el mínimo común múltiplo entre \(18,20,45\) y \(90\).
Paso 1: Dividir cada cantidad por el menor número primo posible de tal manera que su resto sea cero. Este paso se repite con los cocientes que se van obteniendo hasta que cada cociente se convierte en 1.
| \(18\) | \(20\) | \(45\) | \(90\) | \(MCM\) |
| \(9\) | \(10\) | \(45\) | \(45\) | \(2\) |
| \(9\) | \(5\) | \(45\) | \(45\) | \(2\) |
| \(3\) | \(5\) | \(15\) | \(15\) | \(3\) |
| \(\cancel{1}\) | \(5\) | \(5\) | \(5\) | \(3\) |
| \(\cancel{1}\) | \(\cancel{1}\) | \(\cancel{1}\) | \(5\) |
Paso 2: Cálcular del mínimo común múltiplo.
\(\Rightarrow\) \(MCM(18,20,45,90)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 \cdot5\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{MCM(18,20,45.90)}=180\)
Definición 10.1
Amplificar una fracción consiste en multiplicar a su numerador y denominador por una misma cantidad.
Ejemplo 10.2
Amplificar \(\dfrac{3}{7}\) por \(13\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{3}{7}\bigg|^{13}=\dfrac{3\cdot 13}{7 \cdot 13}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{3}{7}\bigg|^{13}}=\dfrac{39}{71}\)Ejemplo 10.3
Amplificar \(\dfrac{11}{21}\) por \(19\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{11}{21}\bigg|^{19}=\dfrac{11\cdot 19}{21 \cdot 19}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{11}{21}\bigg|^{19}}=\dfrac{209}{399}\)Propiedad 11.1
Para ordenar fracciones corresponden los siguientes pasos:
Determinar el mínimo común múltiplo entre sus denominadores.
Amplicar cada fracción por la cantidad que le permita a su denominador tener el mismo valor que el mínimo común multiplo encontrado en el paso anterior.
Ordenar las fracciones resultantes considerando el valor de su numerador.
Ejemplo 11.2
Ordenar de menor a mayor \(\dfrac{2}{3},\dfrac{5}{4}\) y \(\dfrac{7}{12}\).
Paso 1: Dividir cada cantidad por el menor número primo posible de tal manera que su resto sea cero. Este paso se repite con los cocientes que se van obteniendo hasta que cada cociente se convierte en 1.
| \(3\) | \(4\) | \(12\) | \(MCM\) |
| \(3\) | \(2\) | \(6\) | \(2\) |
| \(3\) | \(\cancel{1}\) | \(3\) | \(2\) |
| \(\cancel{1}\) | \(\cancel{1}\) | \(3\) |
Paso 2: Calcular el mínimo común múltiplo.
\(\Rightarrow\) \(MCM(3,4,12)=2\cdot 2\cdot 3\)
\(\Rightarrow\) \(MCM(3,4,12)=12\)
Paso 3: Amplificar cada fracción por la cantidad que permita que su denominador sea igual a el mínimo común múltiplo.
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2}{3}\bigg|^{4};\dfrac{5}{4}\bigg|^{3};\dfrac{7}{12}\bigg|^{1}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{8}{12};\dfrac{15}{12};\dfrac{7}{12}\)
Paso 4: Ordenar las fracciones en este caso de menor a mayor.
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{7}{12}<\dfrac{8}{12}<\dfrac{15}{12}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{7}{12}<\dfrac{2}{3}<\dfrac{5}{4}\)Definición 12.1
El máximo común divisor entre un grupo de números enteros corresponde a la mayor cantidad posible que divide exactamente dichos enteros.
Ejemplo 12.2
Determinar el máximo común divisor entre \(24,30\) y \(42\).
Paso 1: Dividir cada cantidad por el menor número primo posible en común de tal manera que su resto sea cero. Este paso se repite con los cocientes que se van obteniendo siempre y cuando el divisor primo sea común a ellos.
| \(24\) | \(30\) | \(42\) | \(MCD\) |
| \(12\) | \(15\) | \(21\) | \(2\) |
| \(4\) | \(5\) | \(7\) | \(3\) |
Paso 2: Cálcular el máximo común divisor.
\(\Rightarrow\) \(MCD(24,30,42)=2\cdot 3\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{MCD(24,30,42)}=6\)
Ejemplo 12.3
Determinar el máximo común divisor entre \(75,60,30\) y \(45\).
Paso 1: Dividir cada cantidad por el menor número primo posible en común de tal manera que su resto sea cero. Este paso se repite con los cocientes que se van obteniendo siempre y cuando el divisor primo sea común a ellos.
| \(75\) | \(60\) | \(30\) | \(45\) | \(MCD\) |
| \(25\) | \(20\) | \(10\) | \(15\) | \(3\) |
| \(5\) | \(4\) | \(2\) | \(3\) | \(5\) |
Paso 2: Cálcular el máximo común divisor.
\(\Rightarrow\) \(MCD(75,60,30,45)=3\cdot 5\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{MCD(75,60,30,45)}=15\)Definición 13.1
Simplificar una fracción consiste en dividir a su numerador y denominador por una misma cantidad.
Ejemplo 13.2
Simplificar \(\dfrac{12}{30}\) por \(6\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{12}{30}\bigg|_{6}=\dfrac{12\div 6}{30 \div 6}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{12}{30}\bigg|_{6}}=\dfrac{2}{5}\)Ejemplo 13.3
Simplificar \(\dfrac{33}{352}\) por \(11\).
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{33}{352}\bigg|_{11}=\dfrac{33\div 11}{352 \div 11}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{33}{352}\bigg|_{11}}=\dfrac{1}{32}\)Propiedad 14.1
En el algoritmo de la división del Euclides el máximo común divisor (MCD) entre el divididendo \((D)\) y el divisor \((d)\) es equivalente al máximo común divisior entre el divisor \((d)\) y el resto \((r)\), con \(D>d>r\), lo que es equivalente a.
\[MCD(D,d)=MCD(d,r)\]
Ejemplo 14.2
Simplificar al máximo \(\dfrac{34}{51}\)
Paso 1: Aplicar el teorema de Euclides sobre el máximo común divisor.
\(\Rightarrow\) \(MCD(51,34)=MCD(34,17)\)
\(\Rightarrow\) \(MCD(34,17)=MCD(17,0)=17\)
Paso 2: Simplificar la fracción por el MCD encontrado.
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{34}{51}\bigg|_{17}=\dfrac{2}{3}\)
Ejemplo 14.3
Simplificar al máximo \(\dfrac{46}{161}\)
Paso 1: Aplicar el teorema de Euclides sobre el máximo común divisor.
\(\Rightarrow\) \(MCD(161,46)=MCD(46,23)\)
\(\Rightarrow\) \(MCD(46,23)=MCD(23,0)=23\)
Paso 2: Simplificar la fracción por el MCD encontrado.
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{46}{161}\bigg|_{23}=\dfrac{2}{7}\)
Propiedad 15.1
Dos o más fracciones se puden adicionar o sustraer siempre y cuando tengan el mismo denominador. La adición y sustracción de fracciones se resuelve tal como se muestra a continuación.
\[\dfrac{n_1}{d}\pm \dfrac{n_2}{d}=\dfrac{n_1\pm n_2}{d}\]
Ejemplo 15.2
Resolver \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{30}\)
Paso 1: Dividir cada cantidad por el menor número primo posible de tal manera que su resto sea cero. Este paso se repite con los cocientes que se van obteniendo hasta que cada cociente se convierte en 1.
| \(3\) | \(5\) | \(30\) | \(MCM\) |
| \(3\) | \(5\) | \(15\) | \(2\) |
| \(\cancel{1}\) | \(5\) | \(5\) | \(3\) |
| \(\cancel{1}\) | \(\cancel{1}\) | \(5\) |
Paso 2: Calcular el mínimo común múltiplo.
\(\Rightarrow\) \(MCM(3,5,30)=2\cdot 3 \cdot 5\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{MCM(3,5,30)}=30\)
Paso 3: Amplificar cada fracción según corresponda y resolver.
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{30}=\dfrac{2}{3}\bigg|^{10}+\dfrac{1}{5}\bigg|^{6}-\dfrac{7}{30}\bigg|^{1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{30}}=\dfrac{20}{30}+\dfrac{6}{30}-\dfrac{7}{30}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{30}}=\dfrac{20+6-7}{30}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{7}{30}}=\dfrac{19}{30}\)Ejemplo 15.3
Resolver \(\dfrac{7}{4}-\dfrac{2}{8}-\dfrac{1}{12}\)
Paso 1: Dividir cada cantidad por el menor número primo posible de tal manera que su resto sea cero. Este paso se repite con los cocientes que se van obteniendo hasta que cada cociente se convierte en 1.
| \(4\) | \(8\) | \(12\) | \(MCM\) |
| \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(2\) |
| \(\cancel{1}\) | \(2\) | \(3\) | \(2\) |
| \(\cancel{1}\) | \(3\) | \(2\) | |
| \(\cancel{1}\) | \(3\) |
Paso 2: Calcular el mínimo común múltiplo.
\(\Rightarrow\) \(MCM(4,8,12)=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{MCM(4,8,12)}=24\)
Paso 3: Amplificar cada fracción según corresponda y resolver.
--
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{7}{4}-\dfrac{2}{8}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{7}{4}\bigg|^{6}-\dfrac{2}{8}\bigg|^{3}-\dfrac{1}{12}\bigg|^{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{7}{4}-\dfrac{2}{8}-\dfrac{1}{12}}=\dfrac{42}{24}-\dfrac{6}{24}-\dfrac{2}{24}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{7}{4}-\dfrac{2}{8}-\dfrac{1}{12}}=\dfrac{42-6-2}{24}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{7}{4}-\dfrac{2}{8}-\dfrac{1}{12}}=\dfrac{34}{24}\bigg|_{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{7}{4}-\dfrac{2}{8}-\dfrac{1}{12}}=\dfrac{17}{12}\)
Propiedad 16.1
La multiplicación de fracciones se resuelve tal como se muestra a continuación.
\[\dfrac{n_1}{d_1}\cdot\dfrac{n_2}{d_2}=\dfrac{n_1\cdot n_2}{d_1 \cdot d_2}\]
Ejemplo 16.2
Resolver \(\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{7}{5}\)
Ejemplo 16.3
Resolver \(\dfrac{13}{6}\cdot \dfrac{8}{3}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{13}{6}\cdot \dfrac{8}{3}=\dfrac{104}{18}\bigg|_{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{13}{6}\cdot \dfrac{8}{3}}=\dfrac{52}{9}\)Ejemplo 16.4
Resolver \(\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{7}{2}\)
Ejemplo 16.5
Resolver \(0{,}13\cdot \dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(0{,}13\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{13}{100}\cdot \dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{0{,}13\cdot \dfrac{1}{2}}=\dfrac{13}{200}\)Propiedad 17.1
La división de fracciones se resuelve tal como se muestra a continuación.
\[\dfrac{n_1}{d_1}\div\dfrac{n_2}{d_2}=\dfrac{n_1\cdot d_2}{d_1 \cdot n_2}\]
Ejemplo 17.2
Resolver \(\dfrac{1}{5}\div \dfrac{2}{9}\)
Ejemplo 17.3
Resolver \(\dfrac{3}{10}\div \dfrac{7}{11}\)
Ejemplo 17.4
Resolver \(\dfrac{2}{3}\div \dfrac{4}{5}\div \dfrac{6}{7}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2}{3}\div \dfrac{4}{5}\div \dfrac{6}{7}=\dfrac{10}{12}\div\dfrac{6}{7}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{2}{3}\div \dfrac{4}{5}\div \dfrac{6}{7}}=\dfrac{70}{72}\bigg|_{2}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{2}{3}\div \dfrac{4}{5}\div \dfrac{6}{7}}=\dfrac{35}{36}\)Propiedad 17.5
Una fracción de una fracción se resuelve tal como se muestra a continuación.
\[\dfrac{\dfrac{n_1}{d_1}}{\dfrac{n_2}{d_2}}=\dfrac{n_1 \cdot d_2}{d_1 \cdot n_2}\]
Ejemplo 17.6
Resolver \(\dfrac{\dfrac{11}{3}}{\dfrac{5}{7}}\)
Ejemplo 17.7
Resolver \(\dfrac{2}{\dfrac{4}{13}}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2}{\dfrac{4}{13}}=\dfrac{\dfrac{2}{1}}{\dfrac{4}{13}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{2}{\dfrac{4}{13}}}=\dfrac{26}{4}\bigg|_{2}\)Ejemplo 17.8
Resolver \(\dfrac{\dfrac{15}{2}}{7}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{\dfrac{15}{2}}{7}=\dfrac{\dfrac{15}{2}}{\dfrac{7}{1}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{2}{\dfrac{4}{13}}}=\dfrac{15}{14}\)Ejemplo 17.9
Resolver \(\dfrac{0{,}2}{1{,}\overline{3}}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{0{,}2}{1{,}\overline{3}}=\dfrac{\dfrac{2}{10}}{\dfrac{13-1}{9}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{0{,}2}{1{,}\overline{3}}}=\dfrac{\dfrac{2}{10}}{\dfrac{12}{9}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{0{,}2}{1{,}\overline{3}}}=\dfrac{18}{120}\bigg|_{6}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{0{,}2}{1{,}\overline{3}}}=\dfrac{3}{20}\)
Calculo 1
\(MCD(120,18)=MCD(18,12)\)
\(MCD(18,12)=MCD(12,6)\)
\(MCD(12,6)=MCD(6,0)=6\)
Ejemplo 18.1
Resolver \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{5}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{2}\bigg|^{10}+\dfrac{3}{20}\bigg|^{1}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{5}}=\dfrac{10}{20}+\dfrac{3}{20}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{5}}=\dfrac{13}{20}\)
Calculo 1
| \(2\) | \(20\) | \(MCM\) |
| \(\cancel{1}\) | \(10\) | \(2\) |
| \(\cancel{1}\) | \(10\) |
Ejemplo 18.2
Resolver \(7-\dfrac{3}{5}\div \dfrac{2}{14}\)
\(\Rightarrow\) \(7-\dfrac{3}{5}\div \dfrac{2}{14}=7-\dfrac{42}{10}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{7-\dfrac{3}{5}\div \dfrac{2}{14}}=\dfrac{28}{10}\bigg|_2\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{7-\dfrac{3}{5}\div \dfrac{2}{14}}=\dfrac{14}{5}\)Ejemplo 18.3
Resolver \(\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{5}{7}}+\dfrac{5}{\dfrac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{5}{7}}+\dfrac{5}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{21}{10}+\dfrac{\dfrac{5}{1}}{\dfrac{3}{4}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{\dfrac{5}{7}}+\dfrac{5}{\dfrac{3}{4}}}=\dfrac{21}{10}\bigg|^{3}+\dfrac{20}{3}\bigg|^{10}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{\dfrac{5}{7}}+\dfrac{5}{\dfrac{3}{4}}}=\dfrac{63}{30}+\dfrac{200}{30}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{\dfrac{1}{\dfrac{5}{7}}+\dfrac{5}{\dfrac{3}{4}}}=\dfrac{263}{30}\)
Calculo 1
| \(10\) | \(3\) | \(MCM\) |
| \(5\) | \(3\) | \(2\) |
| \(5\) | \(\cancel{1}\) | \(3\) |
| \(\cancel{1}\) | \(5\) |
Ejemplo 18.4
Resolver \(2+\dfrac{2-\dfrac{1}{5}}{1+\dfrac{5}{\dfrac{2}{3}}}\)
\(\Rightarrow\) \(2+\dfrac{2-\dfrac{1}{5}}{1+\dfrac{5}{\dfrac{2}{3}}}=2+\dfrac{\dfrac{9}{5}}{1+\dfrac{\dfrac{5}{1}}{\dfrac{2}{3}}}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{2+\dfrac{2-\dfrac{1}{5}}{1+\dfrac{5}{\dfrac{2}{3}}}}=2+\dfrac{\dfrac{9}{5}}{1+\dfrac{15}{2}}\)Ejemplo 19.1
Un terreno se reparte entre tres personas, de tal manera que una recibe \(1/3\) del terreno y otra se queda con \(1/5\) de lo que sobra, dejando el resto para la tercera persona. ¿Qué fracción del terreno recibe la tercera persona?.
Paso 1: Interpretación.
Se desconoce la medida del terreno, por lo que se asume que su medida es 1.
Paso 2: Resolución.
La primera persona recibe \(1/3\) del terreno, lo que se representa como:
\(\Rightarrow\) \(P_1=\dfrac{1}{3}\cdot 1\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{P_1}=\dfrac{1}{3}\)
La segunda persona recibe \(1/5\) de lo que sobra del terreno, lo que se representa como.
\(\Rightarrow\) \(P_2=\dfrac{1}{5}\cdot \bigg(1-\dfrac{1}{3}\bigg)\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{P_2}=\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{P_2}=\dfrac{2}{15}\)
La tercera persona recibe lo que ha sobrado del terreno, lo que se representa como:
\(\Rightarrow\) \(P_3=1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{15}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{P_3}=\dfrac{2}{3}\bigg|^5-\dfrac{2}{15}\bigg|^1\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{P_3}=\dfrac{10}{15}-\dfrac{2}{15}\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{P_3}=\dfrac{8}{15}\)
Calculo 1
| \(3\) | \(15\) | \(MCM\) |
| \(\cancel{1}\) | \(5\) | \(3\) |
| \(\cancel{1}\) | \(5\) |
Paso 3: Conclusión.
La tercera persona recibe \(\dfrac{8}{15}\) del terreno.Ejemplo 19.2 La distancia entre dos ciudades es \(80[km]\), la cual se recorrerá en tres días. El primer día se avanza \(1/4\) de la distancia total, y el segundo día se recorre \(3/5\) de lo que resta. ¿Qué distancia se debe recorrer el tercer día?
Paso 1: Resolución.
El primer día recorre \(1/4\) de \(80[km]\), lo que se representa como.
\(\Rightarrow\) \(D_1=\dfrac{1}{4}\cdot 80 [km]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{D_1}=\dfrac{80}{4}[km]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{D_1}=20[km]\)
El segundo día recorre \(3/5\) de lo que resta, lo que se representa como.
\(\Rightarrow\) \(D_2=\dfrac{3}{5}\cdot (80-20) [km]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{D_2}=\dfrac{3}{5}\cdot 60[km]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{D_2}=\dfrac{180}{5}[km]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{D_2}=36[km]\)
El tercer día recorre lo que está faltando por completar la distancia total, lo que se representa como.
\(\Rightarrow\) \(D_3=(80-20-36) [km]\)
\(\Rightarrow\) \(\phantom{D_3}=24 [km]\)
Paso 2: Conclusión.
En el tercer día se debe recorrer \(24 [km]\).