Ecuación de la recta

I. Rectas en el plano cartesiano.

1. Ecuación principal de la recta.

Definición 1.1

Una recta es una línea infinita que se extiende en ambas direcciones a partir de un punto de referencia, la cual es continua y sin curvaturas.

Definición 1.2

En el plano cartesiano una recta se define como:

\[y=mx+b\]

Dicha expresión se denomina ecuación principal de la recta siendo \(m\) la pendiente y \(b\) el coeficiente de posición.

Ejemplo 1.3

En la ecuación \(y=3x-7\) la pendiente es \(m=3\) y el coeficiente de posición es \(b=-7\).

Ejemplo 1.4

Determinar la pendiente y coeficiente de posición de la recta \(2y=-8x+12\).

Respuesta

Paso 1: Despejar \(y\).

\(\Rightarrow\) \(2y=-8x+12\)

\(\Rightarrow\) \(y=-\dfrac{8}{2}x+\dfrac{12}{2}\)

\(\Rightarrow\) \(y=-4x+6\)

Paso 2: Conclusión.

La pendiente es \(m=-4\) y el coeficiente de posición es \(b=6\).

Ejemplo 1.5

Determinar la pendiente y coeficiente de posición de \(5(2y-3)+7x=2(x-9)\).

Respuesta

Paso 1: Despejar \(y\).

\(\Rightarrow\) \(5(2y-3)+7x=2(x-9)\)

\(\Rightarrow\) \(10y-15+7x=2x-18\)

\(\Rightarrow\) \(10y=2x-18+15-7x\)

\(\Rightarrow\) \(10y=2x-7x-18+15\)

\(\Rightarrow\) \(10y=-5x-3\)

\(\Rightarrow\) \(y=-\dfrac{5}{10}\bigg|_5x-\dfrac{3}{10}\)

\(\Rightarrow\) \(y=-\dfrac{1}{2} x-\dfrac{3}{10}\)

Paso 2: Conclusión.

La pendiente es \(m=-\dfrac{1}{2}\) y el coeficiente de posición es \(b=-\dfrac{3}{10}\).

2. Gráfica de una recta.

Definición 2.1

La gráfica de una recta en el plano cartesiano corresponde al conjunto:

\[G=\{(x,y):x,y\in \mathbb{R}\wedge y=mx+b\}\]

En el plano cartesiano los valores de \(\textcolor{blue}{x}\) se distribuyen en la recta numérica horizontal denominada abscisa o eje x, mientras que los valores de \(\textcolor{blue}{y}\) se distribuyen en la recta numérica vertical denominada ordenada o eje y.

Coeficiente de posición.

Definición 2.2

El coeficiente de posición \(b\) representa el valor en la ordenada por donde pasa la recta.

Pendiente de la recta.

Definición 2.3

La pendiente \(m\) representa la tasa de crecimiento o decrecimiento de la recta por cada unidad de desplazamiento sobre la abscisa.

• Si \(m>0\), la recta es creciente.

• Si \(m<0\), la recta es decreciente.

• Si \(m=0\), la recta es horizontal.

• Si \(\nexists\) \(m\) , la recta es vertical.

Ejemplo 2.4

Graficar \(y=2x-3\)

Respuesta

La recta tiene pendiente \(m=2\) y coeficiente de posición \(b=-3\).

La pendiente positiva está asociada a una recta creciente.

Ejemplo 2.5

Graficar \(y=-5x+4\)

Respuesta

La recta tiene pendiente \(m=-5\) y coeficiente de posición \(b=4\).

La pendiente negativa está asociada a una recta decreciente.

Ejemplo 2.6

Graficar \(y=-3\)

Respuesta

La recta tiene pendiente \(m=0\) y coeficiente de posición \(b=-3\).

La pendiente cero está asociada a una recta horizontal, que carece de crecimiento o decrecimiento.

Ejemplo 2.7

Graficar \(x=4\)

Respuesta

La recta tiene pendiente infinita y no hay coeficiente de posición.

La pendiente infinita está asociada a una recta vertical.

3. Intersección de rectas.

Propiedad 3.1

Dos rectas que se intersectan los hacen en un único punto.

Para determinar de forma algebraica el punto de intersección entre dos rectas, debemos de seguir los siguientes pasos:

• Paso 1: Despejar \(y\) en ambas ecuaciones.

• Paso 2: Igualar entre sí los resultados obtenidos en el paso anterior y determinar el valor de \(x\).

• Paso 3: Reemplazar el valor encontrado para \(x\) en cualquiera de las dos ecuaciones dadas.

• Paso 4: Los valores \(x\) e \(y\) forman el punto \((x,y)\) el que representa al punto de intersección de las rectas dadas.

Ejemplo 3.2

Determinar el punto de intersección entre las rectas \(y=x+4\) e \(y=2x+5\) se intersectan en el punto \((-1,3)\).

Respuesta

Paso 1: Las ecuaciones deben estar despejadas en \(y\).

\(\Rightarrow\) \(y=x+4\) ; \(y=2x+5\)

Paso 2: Igualar entre sí ambas ecuaciones y determinar el valor de \(x\).

\(\Rightarrow\) \(x+4=2x+5\)

\(\Rightarrow\) \(x-2x=5-4\)

\(\Rightarrow\) \(-x=1\)

\(\Rightarrow\) \(x=-1\)

Paso 3: Reemplazar \(x=-1\) en una de las dos ecuaciones dadas.

\(\Rightarrow\) \(y=x+4\)

\(\Rightarrow\) \(y=-1+4\)

\(\Rightarrow\) \(y=3\)

Paso 4: Construir el punto de intersección \((x,y)\).

\(\Rightarrow\) \((-1,3)\)

A continuación, se muestra la representación gráfica de la intersección entre \(y=x+4\) e \(y=2x+5\).

4. Rectas paralelas.

Propiedad 4.1

Dos rectas son paralelas una respecto a la otra, si y solo si tienen la misma pendiente.

Ejemplo 4.2

Determinar si las rectas \(y=3x-8\) e \(y=3x+12\) son paralelas entre sí.

Respuesta

Ambas ecuaciones tienen pendiente \(m=3\), por lo que son paralelas entre sí.

Ejemplo 4.3

Determinar si las rectas \(5y=10x+12\) e \(3(y-1)=6x\) son paralelas entre sí.

Respuesta

Paso 1: Despejar \(y\) de \(5y=10x+12\).

\(\Rightarrow\) \(5y=10x+12\)

\(\Rightarrow\) \(y=\dfrac{10}{5}x+\dfrac{12}{5}\)

\(\Rightarrow\) \(y=2x+\dfrac{12}{5}\)

Luego, su pendiente es \(m_1=2\)

Paso 2: Despejar \(y\) de \(3(y-1)=6x\).

\(\Rightarrow\) \(3(y-1)=6x\)

\(\Rightarrow\) \(3y-3=6x\)

\(\Rightarrow\) \(3y=6x+3\)

\(\Rightarrow\) \(y=\dfrac{6}{3}x+\dfrac{3}{3}\)

\(\Rightarrow\) \(y=2x+1\)

Luego, su pendiente es \(m_2=2\)

Paso 3: Conclusión.

Puesto que ambas rectas tienen la misma pendiente \(m=2\), estas son paralelas entre sí.

A continuación, se muestra la representación gráfica de las rectas paralelas \(5y=10x+12\) e \(3(y-1)=6x\).

5. Rectas perpendiculares.

Definición 5.1

Dos rectas son perpendiculares una respecto a la otra, si y solo si el producto de sus pendientes es equivalente a \(-1\).

Ejemplo 5.2

Determinar si las rectas \(y=7x+1\) e \(y=-\dfrac{x}{7}\) son perpendiculares entre sí.

Respuesta

Paso 1: Identificar las pendientes de cada ecuación.

\(\Rightarrow\) \(m_1=7\) y \(m_2=-\dfrac{1}{7}\)

Paso 2: Multiplicar las pendientes.

\(\Rightarrow\) \(m_1\cdot m_2=7\cdot -\dfrac{1}{7}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{m_1\cdot m_2}=-\dfrac{7}{7}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{m_1\cdot m_2}=-1\)

Paso 3: Conclusión.

Puesto que el producto de las pendientes es \(-1\), las rectas son perpendiculares entre sí.

A continuación, se muestra la representación gráfica de las rectas perpendiculares \(y=7x+1\) e \(y=-\dfrac{x}{7}\).

6. Recta dado punto y pendiente.

Propiedad 6.1

La ecuación de la recta que pasa por el punto \((x_1,y_1)\) y tiene pendiente \(m\), se determina mediante la expresión:

\[y-y_1=m(x-x_1)\]

Ejemplo 6.2

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto \((2,3)\) y tiene pendiente \(m=5\).

Respuesta

Paso 1: Identificar valores de \(x_1\), \(y_1\) y \(m\).

\(\Rightarrow\) \(x_1=2\); \(y_1=3\); \(m=5\).

Paso 2: Reemplazar valores de \(x_1\), \(y_1\) y \(m\) en ecuación de la recta.

\(\Rightarrow\) \(y-y_1=m(x-x_1)\)

\(\Rightarrow\) \(y-3=5(x-2)\)

\(\Rightarrow\) \(y-3=5x-10\)

\(\Rightarrow\) \(y=5x-10+3\)

\(\Rightarrow\) \(y=5x-7\)

Paso 3: Conclusión.

La recta que pasa por el punto \((2,3)\) y tiene pendiente \(m=5\) es \(y=5x-7\).

7. Recta dado dos puntos.

Propiedad 7.1

La ecuación de la recta que pasa por los puntos \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) se determina mediante la expresión:

\[y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\]

Ejemplo 7.2

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos \((2,3)\) y \((1,5)\).

Respuesta

Paso 1: Identificar valores de \(x_1\), \(y_1\), \(x_2\) e \(y_2\).

\(\Rightarrow\) \(x_1=2\); \(y_1=3\); \(x_2=1\); \(y_2=5\).

Paso 2: Reemplazar valores de \(x_1\), \(y_1\), \(x_2\) e \(y_2\) en ecuación de la recta.

\(\Rightarrow\) \(y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\)

\(\Rightarrow\) \(y-3=\dfrac{5-3}{1-2}(x-2)\)

\(\Rightarrow\) \(y-3=\dfrac{2}{-1}(x-2)\)

\(\Rightarrow\) \(y-3=-2(x-2)\)

\(\Rightarrow\) \(y-3=-2x+4\)

\(\Rightarrow\) \(y=-2x+4+3\)

\(\Rightarrow\) \(y=-2x+7\)

Paso 3: Conclusión.

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos \((2,3)\) y \((1,5)\) es \(y=-2x+7\).

8. Ecuación general de la recta.

Definición 8.1

La ecuación general de la recta se define como:

\[ax+by+c=0\]

Ejemplo 8.2

Expresar \(y=3x-7\) a su forma general.

Respuesta

Paso 1: Ordenar los términos de la ecuación hasta anularla.

\(\Rightarrow\) \(y=3x-7\)

\(\Rightarrow\) \(y-3x+7=0\)

Paso 2: Ordenar los términos alfabéticamente.

\(\Rightarrow\) \(-3x+y+7=0\)

Paso 3: Conclusión.

La ecuación general de \(y=3x-7\) es \(-3x+y+7=0\).

Ejemplo 8.3

Expresar \(y=\dfrac{2}{3}x+5\) a su forma general.

Respuesta

Paso 1: Multiplicar la ecuación por su mínimo común múltiplo.

\(\Rightarrow\) \(y=\dfrac{2}{3}x+5\)   \(\textcolor{red}{/\cdot 3}\)

\(\Rightarrow\) \(\textcolor{red}{3}y=\cancel{\textcolor{red}{3}}\cdot\dfrac{2}{\cancel{3}}x+\textcolor{red}{3}\cdot 5\)

\(\Rightarrow\) \(3y=2x+15\)

Paso 2: Ordenar los términos de la ecuación hasta anularla.

\(\Rightarrow\) \(3y-2x-15=0\)

Paso 3: Ordenar los términos alfabéticamente.

\(\Rightarrow\) \(-2x+3y-15=0\)

Paso 4: Conclusión.

La ecuación general de \(y=\dfrac{2}{3}x+5\) es \(-2x+3y-15=0\).

9. Distancia entre punto y recta.

Propiedad 9.1

La menor distancia entre un punto \((x_1,y_1)\) a la recta \(ax+by+c=0\), se determina mediante la expresión:

\[d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

Ejemplo 9.2

Determinar la menor distancia entre el punto \((0,4)\) y la recta \(x-3y-5=0\).

Respuesta

Paso 1: Identificar valores de \(x_1\), \(y_1\), \(a\), \(b\) y \(c\).

\(\Rightarrow\) \(x_1=0\); \(y_1=4\); \(a=1\); \(b=-3\); \(c=-5\).

Paso 2: Reemplazar valores de \(x_1\), \(y_1\), \(a\) y \(b\) en ecuación de la recta.

\(\Rightarrow\) \(d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{d}=\dfrac{|1\cdot 0+-3\cdot 4+-5|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{d}=\dfrac{|0-12+-5|}{\sqrt{1+9}}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{d}=\dfrac{|-17|}{\sqrt{10}}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{d}=\dfrac{17}{\sqrt{10}}\bigg|^{\sqrt{10}}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{d}=\dfrac{17\sqrt{10}}{10}\)

Paso 3: Conclusión.

La menor distancia del punto \((0,4)\) a la recta \(x-3y-5=0\) es \(d=\dfrac{17\sqrt{10}}{10}\).

Ejemplo 9.3

Determinar la menor distancia entre el punto \((1,2)\) y la recta \(3x+5y-7=0\).

Respuesta

Paso 1: Identificar valores de \(x_1\), \(y_1\), \(a\), \(b\) y \(c\).

\(\Rightarrow\) \(x_1=1\); \(y_1=2\); \(a=3\); \(b=5\); \(c=-7\).

Paso 2: Reemplazar valores de \(x_1\), \(y_1\), \(a\) y \(b\) en ecuación de la recta.

\(\Rightarrow\) \(d=\dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{d}=\dfrac{|3\cdot 1+5\cdot 2+-7|}{\sqrt{3^2+5^2}}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{d}=\dfrac{|3+10+-7|}{\sqrt{9+25}}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{d}=\dfrac{|6|}{\sqrt{34}}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{d}=\dfrac{6}{\sqrt{34}}\bigg|^{\sqrt{34}}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{d}=\dfrac{6\sqrt{34}}{34}\bigg|_{2}\)

\(\Rightarrow\) \(\phantom{d}=\dfrac{3\sqrt{34}}{17}\)

Paso 3: Conclusión.

La menor distancia del punto \((1,2)\) a la recta \(3x+5y-7=0\) es \(d=\dfrac{3\sqrt{34}}{17}\).

II. Rectas en el espacio.

1. Ecuación paramétrica.

Definición 1.1

La ecuación paramétrica de una recta en el espacio es:

\[\begin{equation} \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} \end{equation}\]

donde \(\textcolor{blue}{t}\) es un parámetro real, \(\textcolor{blue}{(x_0, y_0, z_0)}\) es un punto en la recta, y \(\textcolor{blue}{ \langle a, b, c \rangle }\) es el vector director.

2. Vector director.

Definición 2.1

Dado dos puntos en el espacio \(\textcolor{blue}{(x_1, y_1, z_1)}\) y \(\textcolor{blue}{(x_2, y_2, z_2) }\). El vector director \(\textcolor{blue}{\vec{d}}\) de la recta que pasa por estos dos puntos se define como:

\[\begin{equation} \vec{d} = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 \rangle \end{equation}\]

Con \(\textcolor{blue}{\vec{d} = \langle a, b, c \rangle = \langle x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1 \rangle}\)

3. Rectas paralelas.

Definición 3.1

Sean \(\textcolor{blue}{\vec{d_1} = \langle a_1,b_1,c_1\rangle}\) y \(\textcolor{blue}{\vec{d_2} = \langle a_2,b_2,c_2\rangle}\) vectores directores de las rectas \(\textcolor{blue}{L_1}\) y \(\textcolor{blue}{L_2}\), respectivamente. Dichas rectas serán paralelas entre sí, solo si existe \(\textcolor{blue}{k\in \mathbb{R}}\) tal que \(\textcolor{blue}{\vec{d_1}=k\cdot \vec{d_2}}\), es decir.

\[\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{c_2}{c_1}=k\]

4. Rectas perpendiculares.

Definición 4.1

Sean \(\textcolor{blue}{\vec{d_1} = \langle a_1,b_1,c_1\rangle}\) y \(\textcolor{blue}{\vec{d_2} = \langle a_2,b_2,c_2\rangle}\) vectores directores de las rectas \(\textcolor{blue}{L_1}\) y \(\textcolor{blue}{L_2}\), respectivamente. Dichas rectas serán perpendiculares entre sí, solo si existe \(\vec{d_1}\cdot \vec{d_2}=0\), es decir.

\[a_1\cdot a_2 + b_1\cdot b_2 + c_1\cdot c_2=0\]

Dicha multiplicación entre vectores se denomina producto punto.