“De uma lista c/ N unidades elementares, sorteia-se o primeiro c/ igual chance de ser sorteado e sorteia-se os elementos seguintes c/ o elemento anterior sendo retirado da amostra”.
Cochran (1977)
Para esse autor a amostra não é ordenada
Nº de distintas amostras \(\binom{N}{n}\)
Qual a probabilidade que todas n unidades da amostra sejam selecionadas em n sorteios?
\[P(\text{1º sorteio}) = \frac{n}{N}\]
\[P(\text{2º sorteio}) = \frac{n-1}{N-1}\]
\[\dots\]
Respondendo a pergunta
\[ \frac{n}{N} . \frac{n-1}{N-1} \dots \frac{1}{N-n+1} = \frac{n!(N-n)!}{N!} = \frac{1}{\binom{N}{n}}\]
Cap 3
Teorema
\[f_i \sim b(1,\frac{n}{N})\]
\[P(f_i = 1) = \frac{n}{N}\]
\[E[f_i] = \frac{n}{N}\]
\[Var[f_i] = \frac{n}{N}(1-\frac{n}{N})\]
\[\Pi_i = P(\delta_i=1) = \frac{n}{N}\]
\[Cov[f_i,f_j] = \frac{-n}{N^2} \frac{N-n}{N-1} = \frac{-Var(f)}{N-1}\]
Propriedades da estatística t(s)
\(E[t] = \text{n}\mu\)
\(Var[t] = \text{n}(1-f)S^2\)
Obs: fator \((1-\frac{n}{N}) = (1-f)\) é chamado de correção de população finita (“finite population corrector”, fpc)
Estimação do total e da média
\(T = \text{N}\bar{y}\); \(Var[T] = \text{N}^2(1-f)\frac{S^2}{\text{n}}\)
\(\bar{y} = \frac{\text{t}}{\text{n}}\); Var[\(\bar{y}\)] = \((1-f)\frac{S^2}{\text{n}}\)
Intervalo de Confiança
\[P(\frac{|\bar{y}-\mu| \leq z_\alpha}{\sqrt{(1-f)\frac{S^2}{\text{n}}}}) \approx 1-\alpha\]
\[\bar{y} \pm \sqrt{(1-f)\frac{S^2}{\text{n}}}\]
Tamanho da Amostra
\[\text{n} = \frac{n'}{1+\frac{n'}{N}}\]
Em que \(n' = \frac{S^2}{D}\) e D = \((\frac{B}{z_\alpha})^2\)
Proporção
\[S^2 = \frac{N}{N-1} \text{P(1-P)}\]
\[\hat{p} = \frac{m}{n}\]
\[Var[\hat{p}] = \frac{N-n}{N-1} \frac{\text{P(1-P)}}{n}\]
Intervalo de Confiança
\[\hat{p} \pm \sqrt{(1-f)\frac{\hat{P}(1-\hat{P})}{\text{n-1}}}\]
Tamanho da amostra
\[\text{n} = \frac{n'}{1+\frac{n'}{N}}\]
Onde \(n' = \frac{PQ}{D} \text{ ou } \frac{1}{D}\)
Bussab e Bolfarini
\[\text{n} = \frac{N}{\frac{(N-1)D}{PQ}+1} \text{ ou } \text{n}=\frac{N}{4(N-1)D + 1}\]