Nombre de numéros gagnants (r)
|
Probabilités | Gains ($) |
|---|---|---|
0
|
0.0080161 | 0 $ |
1
|
0.052279 | 0 $ |
2
|
0.14794 | 0 $ |
3
|
0.2404 | 0 $ |
4
|
0.25021 | 0 $ |
5
|
0.17615 | 0 $ |
6
|
0.086348 | 0 $ |
7
|
0.02989 | 8 $ |
8
|
0.0073314 | 25 $ |
9
|
0.0012672 | 130 $ |
10
|
0.00015206 | 300 $ |
11
|
0.000012342 | 2600 $ |
12
|
0.0000006496 | 8000 $ |
13
|
0.000000020677 | 25000 $ |
14
|
0.00000000035046 | 32000 $ |
15
|
0.0000000000023364 | 40000 $ |
Article Keno
Introduction - Présentation du Keno
Le Keno est un jeu d’argent et de hasard très populaire à Las Vegas . Un joueur , nommons le Bill, achète une carte Keno pour 1,00 $. Cette carte liste les numéros de 1 à 80. Bill sélectionne alors 15 de ces 80 numéros sur sa carte, marque les numéros qu’il a choisis et la remet pour enregistrement. Bill attend ensuite impatiemment le tirage au sort au cours duquel l’opérateur du jeu sélectionne aléatoirement 20 numéros gagnants parmi les 80 numéros.
Bill compare ensuite les 20 numéros avec les 15 numéros qu’il a sélectionnés précédemment. Selon le nombre de numéros sélectionnés par Bill qui se trouvent parmi les 20 numéros gagnant, il reçoit des gains d’importance variée. Quelles sont les probabilités des divers résultats ? Par exemple, quelle est la probabilité que exactement 10 des numéros sélectionnés par Bill se trouvent dans le jeu gagnant ? Commençons par calculer le nombre de façons dont Bill peut sélectionner ses 15 numéros ; c’est \(\binom{80}{15}\) le nombre de façons de sélectionner un sous-ensemble non ordonné de 15 éléments parmi un ensemble de 80 éléments. Rappelons que
\[ \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]
donc
\[ \binom{80}{15} = \frac{80!}{15!(80-15)!} \]
Pour que Bill sélectionne exactement 10 numéros parmi le jeu gagnant, les deux tâches suivantes doivent être accomplies :
Bill sélectionne 10 des 20 numéros dans le jeu gagnant ; cela peut être accompli de \(\binom{20}{10}\) façons.
Bill sélectionne 5 numéros parmi le jeu non-gagnant. Cela peut être fait de \(\binom{60}{5}\) façons (puisque 60 = 80 - 20 et 5 = 15 - 10 ).
La probabilité que le billet de Bill contienne exactement 10 numéros gagnants est :
$$
P(10 \text{ gagnants}) = \frac{\binom{20}{10} \times \binom{60}{5}}{\binom{80}{15}}
$$
Pour simplifier une telle fraction, il est bien sûr nécessaire d’utiliser une calculatrice. En général, la probabilité que le billet de Bill contienne r numéros gagnants est :
\((0 \leq r \leq 15)\)
$$
P(r \text{ numéros gagnants parmi les 15 joués}) = \frac{\binom{20}{r} \times \binom{60}{15-r}}{\binom{80}{15}}
$$
Représentation du tableau n°1 et 1 bis
Le Tableau I présente les probabilités pour chaque valeur de r. Le tableau affiche également le gain associé à chaque valeur de r pour le jeu de Keno de Las Vegas (en 1984). Dans le cas de l’utilisation d’une calculatrice de poche pour laqulle les factorielles de grands nombres ne sont pas disponibles, il faut simplifier l’expression en éliminant les facteurs communs au dénominateur et au numérateur avant d’effectuer les calculs.
Le Tableau I bis suivant reproduit le précédent dans les seuls cas où le joueur est gagnant ( à partir de 7 bons numéros sur 15)
Nombre de numéros gagnants (r)
|
Probabilité | Gain ($) |
|---|---|---|
7
|
0.02989 | 8 $ |
8
|
0.0073314 | 25 $ |
9
|
0.0012672 | 130 $ |
10
|
0.00015206 | 300 $ |
11
|
0.000012342 | 2600 $ |
12
|
0.0000006496 | 8000 $ |
13
|
0.000000020677 | 25000 $ |
14
|
0.00000000035046 | 32000 $ |
15
|
0.0000000000023364 | 40000 $ |
Notez que les probabilités des résultats qui rapportent de l’argent sont très faibles. Les probabilités associées à un gain important sont quasiment nulles. Dans un peu plus de 96 % des cas (en additionnant les produits pour \((0 \leq r \leq 6)\)), Bill ne gagne rien.
Quel est le “gain attendu” de Bill ou l’espérance ou encore son gain moyen ? Pour calculer cette valeur , il faut multiplier chaque gain par la probabilité qui lui correspond, puis additionnez les produits obtenus. L’espérance est alors: (0.00801610) x 0 $ + (0.052279) x 0 $ + … + (0.02989) x 8 $ + (0.0073314) x 25 $ + … + (2,3364 x 10-12) x 40000 $
Représenation du tableau n°2
Le Tableau II présente les produits non nuls correspondant à chaque valeur de r.
Nombre de numéros gagnants (r)
|
Produits (Probabilité x Gain)
|
|---|---|
7
|
0.23912 $
|
8
|
0.18329 $
|
9
|
0.16473 $
|
10
|
0.045618 $
|
11
|
0.03209 $
|
12
|
0.0051968 $
|
13
|
0.00051693 $
|
14
|
0.000011215 $
|
15
|
0.000000093456 $
|
Le total est de 0,6706 $, soit environ 0,67 $. Comme Bill a payé 1,00 $ pour son ticket, il devrait s’attendre à perdre de l’argent à long terme en jouant au Keno. Cela ne devrait pas le surprendre, car le casino s’attend évidemment à réaliser un profit.
Il est intéressant d’observer les contributions à l’espérance totale fournies par les produits du Tableau II. Pour de petites valeurs de r, ces contributions sont relativement importantes. À mesure que r approche et atteint 15, les produits ne contribuent presque pas à la somme. Le gain maximal de 40 000 $ (lorsque r = 15) peut sembler important, mais il est si rare que le produit est négligeable.
Notre description du jeu de Bill suppose qu’il sélectionne 15 numéros. En réalité, un joueur peut en choisir moins de 15 ; il existe différents gains associés à différents résultats. Supposons que Ginny ne sélectionne que 7 numéros sur sa carte de Keno. Le Tableau III montre la probabilité pour elle de sélectionner r numéros gagnants (\((0 \leq r \leq 7)\)) ; la probabilité est
Représentation du tableau n°3
$$
P(r \text{ numéros gagnants}) = \frac{\binom{20}{r} \times \binom{60}{7-r}}{\binom{80}{7}}
$$ Pour chaque valeur de r, le tableau III indique la probabilité associée , le gain correspondant,et le produit probabilité par gain :
Nombre de numéros gagnants
|
Probabilité
|
Gain ($)
|
Produit
|
|---|---|---|---|
0
|
0.12157
|
0 $
|
0
|
1
|
0.31519
|
0 $
|
0
|
2
|
0.32665
|
0 $
|
0
|
3
|
0.17499
|
0 $
|
0
|
4
|
0.052191
|
2 $
|
0.10438
|
5
|
0.0086385
|
23 $
|
0.19869
|
6
|
0.00073208
|
350 $
|
0.25623
|
7
|
0.000024403
|
5000 $
|
0.12201
|
Le total est de 0,68131 $, soit 0,68 $ ; ainsi, les gains espérés de Ginny sont de 0,68 $. Rappelons que ceux de Bill étaient de 0,67 $. Chacun représente environ les \(\frac{2}{3}\) du 1,00 $ investi, mais le jeu de Ginny semble légèrement plus avantageux que celui de Bill.
Ginny aurait pu sélectionner n’importe quel nombre de numéros de 1 à 15 inclus sur sa carte de Keno. Chacun de ces jeux distincts a sa propre structure de gains. Le Tableau IV présente ces gains non nuls
Représenation du tableau n°4
| Nombre de numéros joués | Nombre de numéros gagnants | Gain ($) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 $ |
| 2 | 2 | 12 $ |
| 3 | 2 | 1 $ |
| 3 | 40 $ | |
| 4 | 2 | 1 $ |
| 3 | 3 $ | |
| 4 | 112 $ | |
| 5 | 3 | 1 $ |
| 4 | 22 $ | |
| 5 | 500 $ | |
| 6 | 3 | 1 $ |
| 4 | 3 $ | |
| 5 | 85 $ | |
| 6 | 1500 $ | |
| 7 | 4 | 2 $ |
| 5 | 23 $ | |
| 6 | 350 $ | |
| 7 | 5000 $ | |
| 8 | 5 | 9 $ |
| 6 | 85 $ | |
| 7 | 1500 $ | |
| 8 | 18000 $ | |
| 9 | 5 | 4 $ |
| 6 | 40 $ | |
| 7 | 300 $ | |
| 8 | 4000 $ | |
| 9 | 18000 $ | |
| 10 | 5 | 2 $ |
| 6 | 20 $ | |
| 7 | 126 $ | |
| 8 | 950 $ | |
| 9 | 4000 $ | |
| 10 | 18000 $ | |
| 11 | 6 | 9 $ |
| 7 | 75 $ | |
| 8 | 380 $ | |
| 9 | 2000 $ | |
| 10 | 12000 $ | |
| 11 | 25000 $ | |
| 12 | 6 | 5 $ |
| 7 | 30 $ | |
| 8 | 240 $ | |
| 9 | 600 $ | |
| 10 | 1500 $ | |
| 11 | 8000 $ | |
| 12 | 25000 $ | |
| 13 | 6 | 1 $ |
| 7 | 16 $ | |
| 8 | 80 $ | |
| 9 | 700 $ | |
| 10 | 4000 $ | |
| 11 | 8000 $ | |
| 12 | 20000 $ | |
| 13 | 25000 $ | |
| 14 | 6 | 1 $ |
| 7 | 10 $ | |
| 8 | 40 $ | |
| 9 | 300 $ | |
| 10 | 1000 $ | |
| 11 | 3500 $ | |
| 12 | 12000 $ | |
| 13 | 25000 $ | |
| 14 | 36000 $ | |
| 15 | 7 | 8 $ |
| 8 | 25 $ | |
| 9 | 130 $ | |
| 10 | 300 $ | |
| 11 | 2600 $ | |
| 12 | 8000 $ | |
| 13 | 25000 $ | |
| 14 | 32000 $ | |
| 15 | 40000 $ |