Teste Modelos lineares P2
2024-06-07
Suposições do modelo de regressão linear, página 118
Resumo sobre modelos lineares sem o intercepto (regressão pela origem)
Modelo com intercepto : \(\hat{Y} = \hat{B_0} + \hat{B_1}X_1 + E_i ; i=1,...,n\)
Modelo sem intercepto : \(\hat{Y} = \hat{B_0} + E_i ; i=1,...,n\)
Diferença nas retas
Modelo com intercepto:\[\hat{\beta_1}= \frac{\sum_{i=1}^{n} X_iY_i - n\bar{X}\bar{Y}}{\sum_{i=1}^{n} X_i² - n\bar{X}^2}\]
Modelo sem o intercepto:\[\hat{\beta_1^*} = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_iY_i}{\sum_{i=1}^{n} X_i²}\]
Só usamos o modelo sem intercepto com forte embasamento teórico como por exemplo chegar na conclusão de que b0 não é significativo pelo p-valor do teste por exemplo
Diferença entre coeficiente de correlação
Com o intercepto: \[ {r^2 = \frac{(\sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}))^2}{\sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar{X})^2\sum_{i=1}^{n}(Y_i-\bar{Y})^2}} \] Sem o intercepto:
\[ \ {r^2 = \frac{(\sum_{i=1}^{n} (X_i)(Y_i))^2}{\sum_{i=1}^{n} (X_i)^2\sum_{i=1}^{n}(Y_i)^2}} \]
Existe diferença na inclinação
Sim, o modelo sem o intercepto é forçado a passar na origem já o com intercepto não passa pela origem pois ele possui \(B0\) como inclinação da reta.
Diferença nas variâncias
Modelo com intercepto:
\[ var(\hat{\beta_1}) = \frac{\hat{\sigma}²}{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})² } \]
Onde \(\hat{\sigma}² = \frac{\sum_{i=1}^n \hat{u}_i} {n-2}\)
Modelo sem intercepto:
\[ var(\hat{\beta_1}) = \frac{\hat{\sigma}²}{\sum_{i=1}^n X_i^2 }\]
Onde \(\hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^n \hat{u}_i^2}{n-1}\)
ResÃduo
Modelo com o intercepto:
\[ \sum_{i=1}^n E_i = 0 \]
Já no modelo sem o intercepto não podemos garantir que:
\[ \sum_{i=1}^n E_i = 0 \] Pois sem \(\hat{B}_0\) não podemos garantir que *
Retas dos modelos de variáveis independentes qualitativas e binária
\[ Y = {\alpha}_1 + {\alpha}_2D_i+ {\beta}_1X_1 + {\beta}_2X_1D_i + u_i \] Onde \({\alpha} => intercepto; {\beta}=>inclinação\)
Ao realizar os testes de hipóteses (T-student com t-n graus de liberdade) com a hipótese nula de que $ _i = 0 $ e olhar ao p-valor, aceitamos (não contribui para explicar Y) ou rejeitamos (contribui para explicar Y) a hipótese nula e chegamos a conclusão se a variável é ou não significativa para o modelo. De acordo com isso o modelo pode ter então retas paralelas, concorrentes, dissimilares.
Retas paralelas:
Em regressões paralelas Os coeficientes angulares são iguais, tendo apenas os interceptos diferentes.Acontece quando \({\beta_1}\) é estatisticamente não significativo.
Retas dissimilares:
Em regressões dissimilares os interceptos e os coeficientes angulares são diferentes. Acontece quando \({\alpha}_1\) e \({\beta}_1\) são estatisticamente significativos.
Retas concorrentes:
Em regressões concorrentes os interceptos são iguais mas os coeficientes angulares são diferentes. Acontece quando \({\alpha}_1\) é estatisticamente não significativo.
Retas coincidentes:
Em regressões coincidentes os interceptos e os coeficientes angulares são iguais.Acontece quando \({\alpha}_1\) e \({\beta}_1\) não são estatisticamente significativos.
Prática de regressão com variáveis independentes qualitativas e binária
Número de nascidos vivos antes e depois da pandemia no total das maes
O modelo 1 foi estimado com as variáveis X, D e XD para verificar se existe diferenca na tendencia dos nascimentos durante a pandemia em comparacao com o perÃodo anterior.Ao realizar o teste de hipótese como podemos ver na tabela 1 abaixo rejeitamos a hipótese nula de que as não sao significativas para o modelo de acordo com o seu p-valor e a nÃvel 5% de significancia. Logo o modelo possui retas dissimilares em que o tanto os interceptos quanto os coeficientes angulares são diferentes.
As retas para esse modelo sao: Antes da pandemia : \(\hat{Y}= 7852.64 - 94.03X\) Depois da pandemia :\(\hat{Y}= 11022.7 - 266,8X\) \({Tabela -1 }\)
##
## Call:
## lm(formula = Y ~ X + D + XD, data = Dados)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -68.238 -45.852 9.245 27.950 81.848
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 7852.64 238.51 32.924 5.22e-08 ***
## X -94.03 14.38 -6.540 0.000611 ***
## D 3170.06 626.30 5.062 0.002307 **
## XD -172.77 30.50 -5.665 0.001302 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 60.15 on 6 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9928, Adjusted R-squared: 0.9892
## F-statistic: 274.7 on 3 and 6 DF, p-value: 8.237e-07
Agora vamos iniciar a análise para cada faixa etaria de mae
Maes de até 19 anos
Agora vamos estimar o modelo 2 para verificar se existe diferenca tendencial nos nascidos vivos em comparacao durante a pandemia e antes esse perÃodo entre as maes de até 19 anos. Ao estimar o modelo 2 vemos que só rejeitamos a hipotese nula de que X nao é significativo para explicar o modelo, já para D e XD nao rejeitamos a hipotese observando o p-valor e a nivel 5% de significancia logo nao sao significativas para o modelo, ou seja possuem retas coincidentes.
##
## Call:
## lm(formula = Y1 ~ X + D + XD, data = Dados)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -29.24 -13.60 2.30 11.33 29.82
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 1636.695 85.395 19.166 1.30e-06 ***
## X -51.971 5.148 -10.096 5.49e-05 ***
## D -28.395 224.240 -0.127 0.903
## XD -1.229 10.920 -0.113 0.914
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 21.54 on 6 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9908, Adjusted R-squared: 0.9862
## F-statistic: 214.9 on 3 and 6 DF, p-value: 1.708e-06Como no modelo 2 que D e XD nao contribuem para explicar o modelo vamos estimar um modelo 3 sem essas variaveis. Esse modelo possue a reta abaixo:\[\hat{Y}=1763.636-60.018X\]
##
## Call:
## lm(formula = Y1 ~ X, data = Dados)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -30.382 -14.532 -7.282 13.750 39.673
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 1763.636 49.736 35.46 4.38e-10 ***
## X -60.018 2.657 -22.59 1.56e-08 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 24.13 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9846, Adjusted R-squared: 0.9826
## F-statistic: 510.4 on 1 and 8 DF, p-value: 1.561e-08
Maes de 30 a 34 anos
Vamos estimar agora um modelo 4. no modelo abaixo todas as variaveis sao significativas para o modelo, as retas sao
Antes da pandemia:\(\hat{Y}=5603.40-90.60X\) Depois da pandemia:\(\hat{Y}=7813.9-202.6X\)
##
## Call:
## lm(formula = Y2 ~ X + D + XD, data = Dados)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -57.00 -32.45 6.75 32.25 59.80
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 5603.40 200.55 27.940 1.39e-07 ***
## X -90.60 12.09 -7.494 0.000292 ***
## D 2210.50 526.63 4.197 0.005702 **
## XD -112.00 25.65 -4.367 0.004734 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 50.58 on 6 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9889, Adjusted R-squared: 0.9833
## F-statistic: 177.8 on 3 and 6 DF, p-value: 2.998e-06
Maes de 35 anos ou mais
Vamos estimar agora o modelo 5.Todas as variaveis sao significativas as retas sao
Antes da pandemia:\(\hat{Y}=614.457+48.457X\) Durante a pandemia:\(\hat{Y}=1606.7-11,3X\)
##
## Call:
## lm(formula = Y3 ~ X + D + XD, data = Dados)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -8.2286 -1.5036 -0.3571 2.7536 4.1429
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 614.457 17.781 34.56 3.91e-08 ***
## X 48.457 1.072 45.21 7.85e-09 ***
## D 992.243 46.691 21.25 7.08e-07 ***
## XD -59.757 2.274 -26.28 2.00e-07 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.484 on 6 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9975, Adjusted R-squared: 0.9962
## F-statistic: 792.3 on 3 and 6 DF, p-value: 3.489e-08