Tarea 1 - Probabilidad y Estadística

Author

Jennifer Sherlyn López García

Published

June 5, 2024

Ejercicio 1

Se convocaron a estudiantes de enfermería y al público en general para registrarse y apoyar como voluntario en los puestos de vacunación contra covid. Si 7 de cada 10 voluntarios son estudiantes de enfermería:

Calcule la probabilidad de que se necesiten 40 voluntarios registrados para completar 20 estudiantes de enfermería.
Solución:
Sea
- $X$: número de estudiantes de enfermería entre los voluntarios registrados en una muestra de 40.
Dado que 7 de cada 10 voluntarios son estudiantes de enfermería, la probabilidad de que un voluntario registrado sea estudiante de enfermería es $p=\frac{7}{10}=0.7$. Entonces $X \sim Binomial(n=40,p=\frac{7}{10})$

Queremos calcular $P(X=20)$.
prob <- dbinom(20, 40, 0.7)
La probabilidad buscada es: 0.003835144
Calcule la probabilidad de que se necesiten 30 voluntarios registrados para completar 20 estudiantes de enfermería.
Solución:
Sea
- $X$: número de estudiantes de enfermería entre los voluntarios registrados en una muestra de 30.
Dado que 7 de cada 10 voluntarios son estudiantes de enfermería, la probabilidad de que un voluntario registrado sea estudiante de enfermería es $p=\frac{7}{10}=0.7$. Entonces $X \sim Binomial(n=30,p=\frac{7}{10})$

Queremos calcular $P(X=20)$.
probabilidad <- dbinom(20,30,0.7)
La probabilidad buscada es: 0.1415617

Grafique la función de probabilidad (o densidad) utilizada.

Muestra 1: $n=40$

x1 <- seq(0,40,1)
tabla.prob1 <- data.frame(x = x1, probabilidad = dbinom(x1,40,7/10))
plot(tabla.prob1, main = "Bin(n=40, p=7/10)", pch=19, ylab="f(x)", col="blue")

Muestra 2: $n=30$

x2 <- seq(0,30,1)
tabla.prob2 <- data.frame(x = x2, probabilidad = dbinom(x2,30,7/10))
plot(tabla.prob2, main = "Bin(n=30, p=7/10)", pch=19, ylab="f(x)", col="blue")

Ejercicio 2

Los precios nacionales por arrendamiento de tanques con oxígeno medicinal con capacidad para 10,000 litros de oxígeno, tan demandados durante la contingencia sanitaria por covid, tienen una media de MX$1177 y una desviación estándar de MX$972. Si se elige una muestra de 40 tanques:

Aproxime la probabilidad de que la media muestral de sus precios se encuentre entre MX$1000 y MX$1200 pesos.
Solución:
Sea

$X$: Media muestral de los precios de los tanques de oxígeno medicinal.

Calculemos primero la media $(\mu_{_{\bar{X}}})$ y desviación estándar $(\sigma_{_{\bar X}})$ muestral:

\[ \begin{split} n & = 40\\ \mu_{_{\bar X}}&=\mu= 1177\\ \sigma_{_\bar{X}}&= \frac{\sigma}{\sqrt n}=\frac{972}{\sqrt{40}} \end{split} \]

Queremos calcular $P(1000\leq X\leq 1200)$.
n <- 40 mu_x <- 1177 sigma_x <- 972/sqrt(n) probabilidad = pnorm(1200, mu_x, sigma_x) - pnorm(1000, mu_x, sigma_x)
La probabilidad buscada es: 0.4347582

Grafique la función de probabilidad (o densidad) utilizada.

Gráfica

x <- seq(1000, 1200, by = 10)
densidad <- dnorm(x, mu_x, sigma_x)
plot(x, densidad, type = "l", main = "Norm(mu=1177, sd=972/sqrt(40))", xlab = "Precios (MX$)", ylab = "Densidad", col='blue')

Ejercicio 3

Ante la demanda ocasionada por la pandemia de COVID, se realizó una investigación de los precios por recargas de oxígeno medicinal en cilindros con capacidad para 10,000 litros de oxígeno. Si el precio ofrecido por los proveedores nacionales sigue una distribución normal con media de MX$731 y desviación estándar de MX$175:

Calcule el porcentaje de tanques cuyo precio oscila entre MX$600 y MX$700.

Solución:

Sea

$X$: Precio por recargas de oxígeno medicinal de los cilindros.

Queremos calcular $P(600\leq X\leq 700)\%$.

mean_x <- 731
sd_x <- 175
prob <- pnorm(700, mean_x, sd_x) - pnorm(600, mean_x, sd_x)
porcentaje <- prob * 100

El porcentaje de tanques cuyo precio oscila entre MX$600 y MX$700 es: 20.26 %

Calcule el porcentaje de tanques cuyo precio es de al menos MX$800.
Solución:
Sea

$X$: Precio por recargas de oxígeno medicinal de los cilindros.

Queremos calcular $P(X\geq 800)\%= [1 - P(X< 800)]\%$.
mean_x <- 731 sd_x <- 175 prob <- 1 - pnorm(800, mean_x, sd_x) porcentaje <- prob * 100
El porcentaje de tanques cuyo precio es de al menos MX$800 es: 34.67 %

Grafique la función de probabilidad (o densidad) utilizada.

Gráfico

x <- seq(100, 1400, 10)
densidad <- dnorm(x, 731, 175)
tabla.prob <- data.frame(x,densidad)
plot(tabla.prob, type = "l", main = "Norm(mu=731, sd=175)", xlab = "Precios (MX$)", ylab = "Densidad", col='blue')

Ejercicio 4

El primer filtro en un puesto de vacunación contra covid, consiste en preguntar a las personas si han presentado en la última semana alguno de los síntomas asociados a la enfermedad como tos y fiebre. Si alguna persona ha presentado al menos uno de estos síntomas, se le invita a pasar a responder un cuestionario más detallado con profesionales de la salud para decidir si es conveniente vacunarlo o no. Si de registros previos se sabe que el 97% de las personas que acuden a vacunarse no han presentado síntomas en la última semana:

Calcule la probabilidad de que se necesiten encuestar a 100 personas para encontrar a la primera que pasará a responder el cuestionario detallado.
Solución:
Como queremos calcular la probabilidad del número de fracasos antes de encontrar el primer éxito, eso nos sugiere usar una función de probabilidad $X\sim Geom(p)$, donde

$X$: Cantidad de personas que no pasaron de la primera fase.

$p = 0.03$ (probabilidad de éxito)

Queremos calcular $P(X= 99)$.
prob <- dgeom(99, 0.03)
La probabilidad buscada es: 0.001470696
Calcule la probabilidad de que la 50° persona sea la primera que pasará a responder el cuestionario detallado.
Solución:
Queremos calcular $P(X=49)$.
prob <- dgeom(49, 0.03)
La probabilidad buscada es: 0.00674429
Calcule la probabilidad de que la primera persona encuestada sea la primera que pasará a responder el cuestionario detallado.
Solución:
Queremos calcular $P(X=0)$.
prob <- dgeom(0, 0.03)
La probabilidad buscada es: 0.03

Grafique la función de probabilidad (o densidad) utilizada.

Gráfico

x <- seq(0, 200, 10)
densidad <- dgeom(x, 0.03)
tabla.prob <- data.frame(x,densidad)
plot(tabla.prob, main = "Geom(p=0.03)", ylab = "Densidad", col='blue', pch=19)

Ejercicio 5

Durante el proceso de vacunación contra covid, se aplicaron en cierto centro de salud 100 vacunas de la marca Moderna, y 200 de la marca Pfizer. Si de las 300 personas vacunadas se selecciona una muestra de 15, y se les contacta por teléfono para dar seguimiento e investigar las posibles reacciones provocadas por la vacuna:

Calcule la probabilidad de que todas personas seleccionadas en la muestra hayan sido vacunadas con la vacuna Moderna.
Solución:
Sean
- $X=$ Cantidad de personas seleccionadas en la muestra hayan sido vacunadas con la vacuna Moderna.
- $N=$ 100 (Total de vacunas Moderna)
- $M=$ 200 (Total de vacunas Pfizer)
- $k = 15$ (tamaño de la muestra)
Queremos calcular $P(X= k)$.
prob <- dhyper(15, 200, 100, 15)
La probabilidad buscada es: 0.001902921
Calcule la probabilidad de que dos o más de las personas de la muestra hayan sido vacunadas con Moderna
Solución:
Queremos calcular $P(X\geq 2)= 1- P(X\leq 1)$.
prob <- 1 - phyper(1, 200, 100, 15)
La probabilidad buscada es: 0.9999988
Calcule la probabilidad de que entre 7 y 10 personas hayan sido vacunadas con Pfizer
Solución:
Sea

$X_1$: Cantidad de personas seleccionadas en la muestra hayan sido vacunadas con la vacuna Pfizer.

Queremos calcular $P(7\leq X_1\leq 10)=\sum_{i=7}^{10} f(i)$.
prob <- sum(dhyper(7:10, 100,200,15))
La probabilidad buscada es: 0.1961087

Grafique la función de probabilidad (o densidad) utilizada.

Gráfica 5.1

x <- seq(0,15,1)
tabla.prob <- data.frame(x, dhyper(x,200,100,15))
plot(tabla.prob, main = 'Hyper(N=100, M=200, n=15)', pch=19, ylab= 'p(x)', col='blue')

Gráfica 5.2

x <- seq(0,15,1)
tabla.prob <- data.frame(x, 1 - phyper(x,200,100,15))
plot(tabla.prob, main = 'Hyper(N=100, M=200, n=15)', pch=19, ylab= 'p(x)', col='blue')

Gráfica 5.3

x <- seq(0,15,1)
tabla.prob <- data.frame(x, dhyper(x,100,200,15))
plot(tabla.prob, main = 'Hyper(N=200, M=100, n=15)', pch=19, ylab= 'p(x)', col='blue')