2.1.1 Asumsi Normalitas

Asumsi normalitas adalah salah satu syarat dalam analisis ANOVA yang menyatakan bahwa data yang digunakan harus berdistribusi normal. Hal ini penting karena ANOVA menggunakan metode statistik yang menganggap data mengikuti distribusi normal. Jika data tidak berdistribusi normal, hasil analisis bisa menjadi tidak akurat dan menyesatkan.

Untuk memeriksa asumsi normalitas dalam ANOVA, kita dapat menggunakan berbagai uji statistik. Dalam penelitian ini, akan digunakan uji Jarque-Bera dan uji Shapiro-Wilk.

Uji Jarque-Bera adalah metode yang menguji apakah data berdistribusi normal dengan memeriksa skewness (kecondongan) dan kurtosis (keruncingan) data. Data yang berdistribusi normal akan memiliki skewness dan kurtosis yang mendekati nol.

Uji Shapiro-Wilk adalah metode lain untuk menguji normalitas. Uji ini mengukur seberapa dekat data yang diuji dengan distribusi normal yang diharapkan, berdasarkan koefisien korelasi. Hasil dari uji ini akan menunjukkan apakah data berdistribusi normal atau tidak.

Dengan menggunakan kedua uji ini, kita dapat lebih memastikan apakah data yang digunakan dalam ANOVA memenuhi asumsi normalitas atau tidak.

2.1.2 Asumsi Homogenitas

Uji homogenitas digunakan untuk mengetahui apakah beberapa varian populasi adalah sama atau tidak. Uji ini dilakukan sebagai prasyarat dalam analisis independent sample t test dan Anova. Asumsi yang mendasari dalam analisis varian (Anova) adalah bahwa varian dari populasi adalah sama. Uji kesamaan dua varians digunakan untuk menguji apakah sebaran data tersebut homogen atau tidak, yaitu dengan membandingkan kedua variansnya. Jika dua kelompok data atau lebih mempunyai varians yang sama besarnya, maka uji homogenitas tidak perlu dilakukan lagi karena datanya sudah dianggap homogen. Uji homogenitas dapat dilakukan apabila kelompok data tersebut dalam distribusi normal.

Uji homogenitas variansi sangat diperlukan dalam membandingkan dua kelompok atau lebih agar perbedaan yang ada bukan disebabkan oleh adanya perbedaan data dasar. Uji homogenitas yang digunakan adalah Uji Levene. Uji Levene digunakan untuk menguji kesamaan varians dari beberapa populasi. Uji Levene merupakan uji alternatif dari uji Bartlett. Jika ada bukti yang kuat bahwa data berdistribusi normal atau mendekati normal, maka uji Bartlett lebih baik digunakan. Uji Levene menggunakan analisis varian satu arah. Data ditransformasikan dengan jalan mencari selisih masing-masing skor dengan rata-rata kelompoknya.

Hipotesis

\(H_0 : \sigma_1^2 = \sigma_2^2\) (Ragam Galat Homogen)

\(H_1 : \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\) (Ragam Galat Tidak Homogen)

Kriteria Uji:

Jika P-value > α , maka H0 diterima

Jika P-value ≤ α, maka H0 ditolak

2.2.1 ANOVA Satu Arah

Menurut Ilhamzen (2013), ANOVA Satu Arah atau One-way ANOVA adalah jenis uji statistic yang bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan rata- rata dua atau lebih grub sampel dengan sumber keragaman yang dianalisis berlangsung satu arah yaitu antar perlakuan. Langkah- langkah untuk menguji hipotesis dapat dilakukan sebagai berikut:

1. Hipotesis dalam ANOVA Satu Arah dituliskan sebagai berikut : \(H_0 : \mu_1 = \mu_2 = ... = \mu_n\) (Tidak ada perbedaan yang nyata antara rata-rata hitung dari n kelompok) \(H_1 : \mu_1 \neq \mu_2 \neq ... \neq \mu_n\) (Ada perbedaan yang nyata antara rata rata hitung dari n kelompok)

2. Menghitung JKT, JKG, JKP dan FK

Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP)

\[ JKP = \Sigma(\frac {\Sigma (Y_ij)^2}{n})- \frac{(\Sigma\Sigma Y_ij)^2}{np} \]

Jumlah Kuadrat Total (JKT) \[ JKT = \Sigma \Sigma Y_ij^2 - \frac{(\Sigma\Sigma Y_ij)^2}{np} \] Jumlah Kuadrat Galat (JKG) \[ JKG = JKT-JKP \] Faktor Koreksi (FK) \[ FK = \frac {(Y_ij^2)}{n} \]

3. Memasukan hasil perhitungan ke tabel analisis ragam sebagai berikut:

4. Menentukan keputusan

Kriteria Uji:

• Jika P-value > α atau \(F_hitung\) \(\le\) \(F_tabel\), maka \(H_0\) diterima

• Jika P-value ≤ α atau \(F_hitung\) > \(F_tabel\), maka \(H_0\) ditolak

2.3.1 Uji BNT

Uji BNT (Beda Nyata Terkecil) adalah metode yang digunakan sebagai uji lanjutan setelah One Way ANOVA, Rancangan Acak Lengkap (RAL) Non Faktorial, dan RAL Faktorial. Pemilihan antara BNT, DMRT, dan BNJ bergantung pada jumlah perlakuan yang dibandingkan dalam penelitian. Jika jumlah perlakuan yang dibandingkan kurang dari atau sama dengan 3, maka uji lanjutan yang tepat adalah BNT. Berikut ini adalah rumus uji BNT:

\[ BNT = \sqrt{\frac{2*KTG}{r}} \]

Kesimpulan dari uji BNT dibuat dengan cara membandingkan nilai BNT dengan perbedaan rata-rata antara dua perlakuan. Jika perbedaan rata-rata lebih besar dari nilai BNT, maka perlakuan tersebut dianggap berbeda secara signifikan. Sebaliknya, jika perbedaannya lebih kecil atau sama dengan nilai BNT, maka perlakuan tersebut tidak dianggap berbeda nyata.

2.3.2 Uji BNJ

Uji BNJ (Beda Nyata Jujur) adalah metode uji lanjutan yang digunakan ketika ada lebih dari 3 perlakuan yang dibandingkan, sama seperti uji DMRT. Namun, uji BNJ hanya memerlukan satu nilai tabel, mirip dengan uji BNT. Jika dibandingkan dengan DMRT, uji BNJ memiliki perbedaan nilai yang tidak seketat DMRT. Berikut adalah rumus uji BNJ:

\[ BNJ =\sqrt{\frac{KTG}{r}}\]

Kesimpulan dari uji BNJ dilakukan dengan membandingkan nilai BNJ dengan perbedaan rata-rata antara dua perlakuan. Jika selisih rata-rata perlakuan lebih besar dari nilai BNJ, maka perlakuan tersebut dianggap berbeda secara signifikan. Sebaliknya, jika selisihnya lebih kecil atau sama dengan nilai BNJ, maka perlakuan tersebut tidak dianggap berbeda nyata.

3.2.1 Input Data

> #Input data
> alat_musik = rep(c("1","2","3"), times =10)
> konser = c(50,63,71,45,55,67,48,54,68,
+            47,49,62,45,65,65,49,46,58,
+            50,53,63,54,67,69,57,58,70,
+            55,50,61)
> data = data.frame(alat_musik,konser)
> data$alat_musik = as.factor(data$alat_musik)
> data
   alat_musik konser
1           1     50
2           2     63
3           3     71
4           1     45
5           2     55
6           3     67
7           1     48
8           2     54
9           3     68
10          1     47
11          2     49
12          3     62
13          1     45
14          2     65
15          3     65
16          1     49
17          2     46
18          3     58
19          1     50
20          2     53
21          3     63
22          1     54
23          2     67
24          3     69
25          1     57
26          2     58
27          3     70
28          1     55
29          2     50
30          3     61
> rmarkdown::paged_table(data)

Jenis Alat Musik

> library(rmarkdown)
> Kode_alat_Musik = c("1", "2", "3")
> Alat_Musik = c("Piano", " Oboe", "Viola ")
> tabel = data_frame("Kode Alat Musik " = Kode_alat_Musik, "Alat Musik" = Alat_Musik)
> library(rmarkdown)
> knitr::kable(tabel, caption = "Tabel Jenis Alat Musik")

3.4.1 Perhitungan Derajat Bebas (DB)

> #menghitung DB
> N = nrow(data)
> p = data$alat_musik %>% unique() %>% length()
> DBt = N-1
> DBp = p-1
> DBg = N-p

3.4.2 Menghitung Jumlah Kuadrat (JK)

> #menghitung jumlah kuadrat
> perlakuan.mean = aggregate(konser~alat_musik, data,mean)[,2]
> perlakuan.mean
[1] 50.0 56.0 65.4
> n = aggregate(konser~alat_musik,data, length)[,2]
> grand.mean = mean(data$konser)
> JKt = sum((data$konser-grand.mean)^2)
> JKp = sum (n*(perlakuan.mean-grand.mean)^2)
> JKg = JKt- JKp

3.4.3 Menghitung Kuadrat Tengah (KT)

> #menghitung kuadrat tengah
> KTp = JKp/DBp
> KTg = JKg/DBg

3.4.4 Menghitung Statistik F

> #menghitung statistik F
> F_score = KTp/KTg
> P_value = pf(F_score, DBp, DBg, lower.tail = F)

3.4.5 Membuat Tabel ANOVA

> #membuat tabel anova
> Tabel = data.frame(
+   SK = c("Perlakuan", "Galat", "Total"),
+   DB = c(DBp, DBg, DBt),
+   JK = c(JKp, JKg, JKt),
+   KT = c(KTp, KTg, NA),
+   Fhit = c(F_score, NA, NA),
+   P.Val = c(P_value, NA, NA))

3.6.1 Normalitas Galat

> #asumsi normalitas galat
> library(tseries)
> galat = residuals(model)
> hist(galat)

> normalitas_galat = shapiro.test(galat)

> #asumsi normalitas galat
> library(tseries)
> galat = residuals(model)
> hist(galat)

> normalitas_galat_1 = jarque.bera.test(galat)

3.6.2 Uji Homogenitas Ragam Galat

> #Uji Homogenitas ragam galat
> library(lmtest)
> Homogenitas_1= bptest(model)

> #Uji Homogenitas ragam galat
> library(car)
> Homogenitas_2 = leveneTest(konser~alat_musik,data=data)

> #Uji Homogenitas ragam galat
> Homogenitas_3 = bartlett.test(konser~alat_musik, data=data)

3.7.1 Uji BNT

> BNT = LSD.test(model,"alat_musik", alpha = 0.05)

3.7.2 Uji BNJ

> BNJ = TukeyHSD(model, conf.level = 0.95)

4.2.1 Uji Normalitas Galat

Hipotesis:

\(H_0\) : Galat Perlakuan Menyebar Normal

\(H_1\) : Galat Perlakuan tidak menyebar Normal

Kriteria Uji:

Jika P-value > α , maka H0 diterima

Jika P-value ≤ α, maka H0 ditolak

> Statistik_Uji = c("Shapiro- Wilk", "Jarque Bera")
> P_Value_Norm = c(normalitas_galat$p.value, normalitas_galat_1$p.value)
> Tabel_Uji_Normalitas = data_frame("Statistik Uji" = Statistik_Uji, "P-Value"= P_Value_Norm)
> knitr::kable(Tabel_Uji_Normalitas, caption = "Tabel Uji Normalitas")

Karena nilai p-value dari kedua statistik uji lebih besar dari \(\alpha\) = 0.05, Shapiro wilk (0.941) dan Jarque bera (0.688) maka terima \(H_0\) Dengan taraf nyata 5% memiliki cukup bukti bila galat perlakuan menyebar secara normal

4.2.2 Uji Homogenitas Ragam Galat

Hipotesis:

\(H_0\) : Ragam Galat Perlakuan Homogen

\(H_1\) : Ragam Galat Perlakuan Tidak Homogen

Kriteria Uji:

Jika P-value > α , maka H0 diterima

Jika P-value ≤ α, maka H0 ditolak

> Statistik_Uji_HOM = c("Breush-Pagan", "Lavene", NaN,"Bartlett")
> P_Value_HOM = c(Homogenitas_1$p.value, Homogenitas_2$`Pr(>F)`,Homogenitas_3$p.value)
> Tabel_Uji_Homogenitas = data.frame("Statistik Uji" = Statistik_Uji_HOM, "P-Value" = P_Value_HOM)
> knitr::kable(Tabel_Uji_Homogenitas, caption = "Tabel Uji Homogenitas")

Statistik Uji Breush- Pagen memiliki nilai P-Value yang kecil daripada statistik uji Lavene dan Bartlett Karena nilai p-value dari kedua statistik uji lebih besar dari \(\alpha\) = 0.05, Lavene (0.195) dan Jarque bera (0.187) maka terima \(H_0\) Dengan taraf nyata 5% memiliki cukup bukti bila ragam galat perlakuan menyebar homogen

4.3.1 Uji BNT

> BNT$means
  konser      std  r       se     LCL     UCL Min Max   Q25  Q50   Q75
1   50.0 4.136558 10 1.693561 46.5251 53.4749  45  57 47.25 49.5 53.00
2   56.0 7.102425 10 1.693561 52.5251 59.4749  46  67 50.75 54.5 61.75
3   65.4 4.299871 10 1.693561 61.9251 68.8749  58  71 62.25 66.0 68.75
> BNT$groups
  konser groups
3   65.4      a
2   56.0      b
1   50.0      c
> plot(BNT)

4.3.2 Uji BNJ

> BNJ
  Tukey multiple comparisons of means
    95% family-wise confidence level

Fit: aov(formula = anova, data = data)

$alat_musik
    diff        lwr      upr     p adj
2-1  6.0 0.06165421 11.93835 0.0472996
3-1 15.4 9.46165421 21.33835 0.0000020
3-2  9.4 3.46165421 15.33835 0.0015175