tự do \(df = df1 + df2\). Ví dụ, nếu chúng ta có hai bảng dạng Bảng 2.16: một đối với các đối tượng ở khu vực 1, một cho những đối tượng ở khu vực 2, thì tổng các giá trị \(\chi^2\) hoặc tổng các giá trị \(G^2\) từ hai bảng sẽ là một thống kê Chi – bình phương với \(df = 2+2 = 4\).
Ngược lại, thống kê Chi – bình phương có bậc tự do df > 1 có thể được chia thành các thành phần Chi – bình phương với bậc tự do tự do ít hơn. Ví dụ, một thống kê có \(df = 2\) có thể được chia thành hai thành phần độc lập có mỗi thành phần có \(df = 1\).
Chẳng hạn với một phân vùng của \(G^2\) để kiểm tra độc lập trong các bảng \(2 × m\). Khi đó thống kê kiểm định có bậc tự do \(df = (m – 1),\) và ta sẽ phân vùng nó thành \(m–1\) thành phần: thành phần thứ nhất là bảng 2 cột gồm mà cột đầu là cột 1 và cột sau là cột 2 của bảng lớn \(2 × m\), thành phần thứ 2 là bảng gồm 2 cột mà cột đầu là tổng cột 1 và cột 2 của bảng lớn và cột sau là cột 3 của bảng lớn,… thành phần thứ j là bảng 2 cột mà cột đầu là tổng của các cột 1, 2,…, j của bảng lớn, cột sau là cột \((j + 1)\) của bảng lớn,…, thành phần thứ \((m – 1)\) là bảng 2 cột mà cột đầu là tổng của \((m – 1)\) cột 1,2,…, \((m – 1)\) của bảng lớn và cột sau là cột m của bảng lớn. Thống kê \(G^2\) để kiểm định tính độc lập trong một bảng 2 × 2 là thống kê Chi-square với bậc tự do \(df = 1\). Khi đó \(G^2\) để kiểm định tính độc lập trong một bảng \(2 × m\) bằng tổng của các thống kê \(G^2\) trên \(m – 1\) bảng 2 × 2 có bậc tự do \(df = m – 1\)
Xem lại Bảng 2.16. Hai cột đầu tiên của bảng này tạo thành một bảng 2 x 2 với số lượng ô, từng hàng là (hàng 1 : 279, 73 ; hàng 2 : 165, 47). Đối với bảng thành phần này, \(G^2\) = 0,16, với df = 1. Như vậy có rất ít bằng chứng về sự khác biệt giữa phụ nữ và nam giới trong các số liên quan trong hai đảng Dân chủ và Độc lập. Bảng thành phần thức hai có được bằng cách cộng các cột Dân chủ và Độc lập và so sánh chúng với cột Cộng hòa, có hàng 1 : 279 + 73, 225 ; hàng 2 : 165 + 47, 191), Bảng này có \(G^2\) = 6.84, với bậc tự do df = 1. Có bằng chứng mạnh mẽ về sự khác biệt giữa phụ nữ và nam giới trong các số tương đối xác định là Cộng hòa so với Dân chủ hoặc Độc lập.
Lưu ý rằng 0,16 + 6,84 = 7,00; nghĩa là, tổng của các \(G^2\) thành phần bằng \(G^2\) để kiểm định tính độc lập của bảng 2 × 3 hoàn chỉnh. Thống kê tổng thể này chủ yếu phản ánh sự khác biệt giữa giới tính trong việc lựa chọn giữa đảng Cộng hòa và Dân chủ hay Độc lập. Thống kê G2 có phân vùng chính xác. Thống kê tổng thể của Pearson \(\chi^2\) không bằng tổng của các giá trị \(\chi^2\) cho các bảng riêng biệt trong một phân vùng. Tuy nhiên có thể sử dụng thống kê \(\chi^2\) cho các bảng riêng biệt trong phân vùng; chúng chỉ đơn giản là không cung cấp một phân chia đại số chính xác của thống kê \(\chi^2\) cho bảng tổng thể.
Các kiểm định về tính độc lập của Chi - bình phương, giống như bất kỳ kiểm định nào, đều có những hạn chế nhất định. Chúng chỉ đơn giản chỉ ra mức độ bằng chứng cho một liên kết. Chúng không giúp trả lời tất cả các câu hỏi mà chúng tacó về tập dữ liệu, chẳng hạn khi kết quả kiểm định là chúng không độc lập, thì khi đó xu hướng và mức độ của sự liên kết đó sẽ như thế nào? Thay vì chỉ dựa vào các kết quả của những thử nghiệm này, người ta phải nghiên cứu bản chất của mối liên hệ. Một cách là hợp lý là phân chia chi-bình phương thành các thành phần, nghiên cứu phần dư, và ước tính các tham số như các tỷ lệ chênh sử dụng để mô tả sức mạnh của sự kết hợp.
Các kiểm định Chi - bình phương cũng có những hạn chế trong các loại tập dữ liệu mà chúng được áp dụng như chúng yêu cầu cỡ mẫu lớn. Các phân phối lấy mẫu của \(\chi^2\) và \(G^2\) gần hơn với chi -bình phương khi kích thước mẫu n tăng, liên quan đến số ô (k.m). Phân phối của \(\chi^2\) hội tụ về phân phối Chi – square nhanh hơn so với \(G^2\) Các xấp xỉ chi – bình phương thường kém đối với \(G^2\) khi = \(\frac{n}{k.m} < 5\).Khi k hoặc m lớn, nó có thể được chấp nhận cho sự xấp xỉ của \(\chi^2\) khi một số tần số dự đoán bằng 1.
\({u_ij=\frac{n_i+n_j}{n}}\) được sử dụng trong \(\chi^2\) và \(G^2\) phụ thuộc vào tổng số hàng và cột biên, nhưng không theo thứ tự trong đó các hàng và cột được liệt kê. Do đó, \(\chi^2\) và \(G^2\) không thay đổi giá trị khi sắp xếp lại các hàng hoặc cột một cách tùy ý. Điều này có nghĩa là các kiểm định này xử lý cả hai : định tính cũng như danh nghĩa. Khi bác bỏ giả thuyết H0 về tính độc lập trong bảng hai chiều \(k . m\) thông qua thống kê kiểm định Pearson, đối với các biến định tính thứ tự hay định danh, để đánh giá mức độ liên kết, người ta tham khảo thống kê Cramer : \[ K= (\frac{\chi^2}{n.min (k-1, m-1)})^2 \] Giá trị K càng lớn thì \(\chi^2\) càng lớn (càng cách xa \(\chi^2_{(k-1)(m-1)}(\alpha)\)) càng có bằng chứng mạnh mẽ bác bỏ H0, \(\chi^2\) = 0 khi và chỉ khi K = 0. Do đó người ta có thể tham khảo độ lớn của K đánh giá mức độ liên kết. Chẳng hạn, trong ví dụ về khoảng cách giới nói trên, bằng kiểm định Pearson, với \(\chi^2\) = 7,01, ta đã bác bỏ giả thuyết về tính độc lập giữa việc lựa chọn các đảng phái và giới tính. Để tìm hiểu mức độ liên kết giữa sự lựa chọn các đảng phái và giới tính, ta tính : \[ K= (\frac{\chi^2}{n.min (k-1, m-1)})^2 = (\frac{7,01}{980 × 1})^2 =0,00005 \] Giá trị này khá bé, nên sự liên kết là có nhưng yếu.
Các kiểm định Chi – bình phương về tính độc lập bằng cách sử dụng thống kê kiểm định \(\chi^2\) và \(G^2\) xử lý cả hai định tính cũng như danh nghĩa. Các thống kê kiểm định sử dụng tính thứ tự thường thích hợp hơn khi các hàng hoặc các cột được sắp xếp theo thứ tự.
Khi biến dòng X và biến cột Y là thứ tự, một liên kết “xu hướng” là khá phổ biến. Đó là khi mức X tăng lên, các phản ứng đối với Y có xu hướng tăng lên các cấp độ cao hơn, hoặc các phản ứng đối với Y có khuynh hướng giảm xuống các cấp độ thấp hơn. Người ta có thể sử dụng một tham số để mô tả mối liên kết xu hướng thứ bậc như vậy. Phân tích phổ biến nhất là cho điểm và định tính mức độ của xu hướng tuyến tính hoặc tương quan. ’
Phần tiếp theo trình bày một thống kê kiểm định nhạy cảm với các xu hướng tuyến tính tích cực hoặc tiêu cực trong mối quan hệ giữa X và Y. Nó sử dụng các thông tin quan trong dữ liệu. Tiến hành gán các điểm số \(u_1\) ≤ \(u_2\)≤ ⋯ ≤ \(u_k\) cho các hàng, và \(u_1\) ≤ \(u_2\)≤ ⋯ ≤ \(u_k\) cho các cột.
Điểm có cùng thứ tự như các cấp độ định tính và được cho là đơn điệu. Nguyên tắc gán điểm là: điểm số phản ánh khoảng cách giữa các loại, với khoảng cách lớn hơn giữa các loại được sắp xếp xa nhau hơn. Khi đó bảng thống kê k × m có dạng:
| X \ Y | \(v_1\) | \(v_2\) | … | \(v_m\) | \(n_{i+}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(u_1\) | \(n_{11}\) | \(n_{12}\) | \(n_{1m}\) | \(n_{1+}\) | |
| \(u_2\) | \(n_{21}\) | \(n_{22}\) | \(n_{2m}\) | \(n_{2+}\) | |
| … | … | … | … | … | … |
| \(u_k\) | \(n_{k1}\) | \(n_{k2}\) | … | \(n_{km}\) | \(n_{k+}\) |
| \(n_{+j}\) | \(n_{+1}\) | \(n_{+2}\) | … | \(n_{+m}\) | \(n_{n}\) |
Bảng 2.19. Bảng thống kê cho các biến định tính đã gán điểm
Tổng \(\Sigma_{i,j}n_ju_jv_j\) có trọng số của tích chéo \((u_jv_j)\) là tần số \(n_{i,j}\). Đối với các điểm đã chọn, tương quan moment tích Pearson giữa X và Y là sự tiêu chuẩn hóa của tổng này, mà trong xác suất thống kê gọi là hệ số tương quan mẫu giữa X và Y : \[ r = r(X,Y) = \frac{ \overline{X.Y} - \overline{X}.\overline{Y}}{ \sqrt{[ \overline{X^2} -(\overline{X})^2].\overline{Y^2} -(\overline{Y})^2]}} \]
Trong đó: \(\overline{X}= \frac{1}{n}.\Sigma_{i}u_in_{i+}\) ; \(\overline{Y}= \frac{1}{n}.\Sigma_{i,j}v_jn_{+j}\) ; \(\overline{X.Y}= \frac{1}{n}.\Sigma_{i,j}n_{i,j}u_iv_{j}\) ; \(\overline{X^2}= \frac{1}{n}.\Sigma_{i}u_i^2n_{i+}\); \(\overline{Y^2}=\frac{1}{n}.\Sigma_{j}v_j^2n_{+j}\)
Hệ số tương quan mẫu r bị chặn giữa -1 và +1. Sự độc lập thống kê (hay sự không tương quan) giữa các biến thể hiện qua giá trị thực của nó bằng không. Dấu của r biểu thị xu thế tương quan : Thuận, nếu r > 0, và nghịch, nếu r < 0 ; |r| càng lớn (càng gần 1) thì tương quan tuyến tính càng chặt và |r càng bé (càng gần 0) thì mức độ tương quan tuyến tính càng giảm. Hệ số tương quan mẫu có thể được tính bởi các phần mềm thống kê. Khi các ô có tần số lớn có thể nên tính trực tiếp r qua việc lập bảng tính.
| X \ Y | \(v_1\) | \(v_1\) | \(v_2\) | \(v_2\) | \(v_j\) | \(v_j\) | \(n_{i+}\) | Kết quả trung gian |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(u_1\) | \(n_{11}\) | \(n_{12}\) | \(n_{1j}\) | \(n_{1+}\) | \(\overline{X}\) | |||
| \(u_2\) | \(n_{21}\) | \(n_{22}\) | \(n_{2j}\) | \(n_{2+}\) | ||||
| … | … | … | … | … | … | … | … | |
| \(u_{i}\) | \(n_{i1}\) | \(n_{i2}\) | \(n_{ij}\) | \(n_{i+}\) | \(\overline{X^2}\) | |||
| \(u_{i}\) | \(n_{+1}\) | \(n_{+2}\) | \(n_{+j}\) | n |
Kết quả trung gian \(\overline{Y}\), $= $, \(\overline{X.Y}\)
Bảng 2.2. Bảng tính hệ số tương quan mẫu
Trong bảng trên, mỗi ô tần số \(n_{i,j}\) được chia đôi để ghi thêm giá trị : \(n_{i,j}u_iv_{j}\) (hoặc ghi giá trị này trong ngoặc)
Các thống kê để kiểm định giả thuyết H_0: X và Y độc lập (thống kê) với đối thuyết hai phía (không độc lập thống kê) giữa X và Y được cho bởi \[ M^2 = (n-1)r^2, M=\sqrt{(n-1).r^2} \] \(M^2\), M tăng lên khi \(r^2\) và khi kích thước mẫu n tăng lên. Đối với các mẫu lớn, \(M^2\) có phân phối xấp xỉ phân phối Chi - bình phương với bậc tự do df = 1, hay cũng vậy, M có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn . Các giá trị của \(M^2\), M càng lớn càng mâu thuẫn với tính độc lập thống kê, vì vậy, cũng như với \(\chi^2\) và \(G^2\), P-value là xác suất đuôi phải phía trên giá trị quan sát được. Nếu dùng thống kê \(M^2\) để kiểm định, thì tiêu chuẩn bác bỏ giả thuyết \(H_0\) là: \[ M_2 \geq \chi^2_1 (\alpha) \] Do tính chất của hệ số tương quan mẫu : \[ r(Y,X)= r(X,Y) = r(a.X + b, c.Y + d), \forall a,b,c,d:a.c >0 \] nên kiểm định sử dụng \(M^2\), hay M xử lý các biến một cách đối xứng và nếu thay đổi các hàng với các cột cho nhau hoặc thay đổi cách cho điểm của chúng theo cùng một phép co giãn và tịnh tiến trên các biến theo cùng một hướng trong bảng dữ liệu k × m, thì \(M^2\) có giá trị không thay đổi. Ví dụ 16: Để xác minh xem sự ủng hộ của người dân trong nước về một sắc thuế mới có phụ thuộc vào mức thu nhập của họ hay không, tiến hành điều tra ngẫu nhiên 1000 công dân, người ta có số liệu sau:
| Thái độ \ Thu nhập | Thấp | Trung bình | Cao |
|---|---|---|---|
| Ủng hộ | 182 | 213 | 203 |
| Phản đối | 154 | 138 | 110 |
Bảng 2.21 Điều tra về quan hệ giữa thu nhập và thái độ công dân đối với một sắc thuế mới
Với mức ý nghĩa 5%, dựa vào điều tra, hãy cho kết luận về việc này.
Giải: Gọi X là mức thu nhập, Y là thái độ của người dân, thì X, Y là các biến định tính. Đối với X : gán điểm 0 cho “phản đối” và điểm 1 cho “ủng hộ” ;đối với Y : gán điểm 0 cho “thấp”, điểm 1 cho “trung bình” và điểm 2 cho “cao”. Để kiểm định giả thuyết H0 : Thái độ của người dân đối với sắc thuế mới này không phụ thuộc vào thu nhập của họ, ta dùng thống kê \(M^2\) , với tiêu chuẩn bác H0 là: \[ M_2 \geq \chi^2_1 (0,05) \]
| Y \ X | 0 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | \(n_{+j}\) | Kết quả trung gian |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 154 | 0 | 138 | 0 | 110 | 0 | 402 | \(\overline{Y}= 0,598\) |
| 1 | 182 | 0 | 213 | 213 | 203 | 406 | 598 | \(\overline{Y^2}= 0,598\) |
| n_{i+} | 336 | 351 | 313 |
Kết quả trung gian \(\overline{X}= 0,977\),\(\overline{X^2}= 1,603\), \(\overline{X.Y} =0,619\), r=0,0880 Từ đó : \(M^2 = (n− 1)r^2= 7,736256 ≥\chi^2_1 (0,05)= 3,841\)
Vậy ta bác bỏ giả thuyết H0, và cho rằng : Thái độ của công dân đối với sắc thuế mới phụ thuộc vào mức thu nhập của họ. Dùng P – value, ta có : \(P – value = P(\chi^2 \geq 7,736256) < P(\chi^2 \geq 6,635) =0,01\), và ta đi đến cùng kết luận như trên. Nhận xét rằng : Nếu dùng các thống kê kiểm định Pearson hay tỷ số hợp lý cực đại, ta cũng có cùng kết luận như trên.
Ví dụ 17 : (Rượu và dị tật trẻ sơ sinh). Bảng 2.23 dưới đây đề cập đến một nghiên cứu về việc uống rượu của các bà mẹ và dị tật bẩm sinh của những đứa con. Sau ba tháng đầu của thai kỳ, phụ nữ trong mẫu đã hoàn thành bảng câu hỏi về tiêu thụ rượu. Sau sinh, các quan sát được ghi nhận khi có hay không có các dị tật cơ quan sinh dục bẩm sinh. Lượng tiêu thụ rượu, được đo bằng số lượng trung bình của đồ uống mỗi ngày, là một biến giải thích với các loại được sắp xếp là các mức tiêu thụ rượu tương ứng với các khoảng có thứ tự từ thấp lên cao. Dị tật, biến đáp ứng, là danh nghĩa. Khi một biến là danh nghĩa nhưng chỉ có hai loại, thống kê như \(M^2\) mà xử lý biến theo thứ tự vẫn còn giá trị. Chẳng hạn, chúng ta có thể coi hình dạng dị thường là thứ tự, xử lý “vắng mặt” là “thấp” và “có mặt” là “cao”. Bất kỳ lựa chọn nào của hai điểm đều có cùng giá trị \(M^2\) và để đơn giản, chúng ta sử dụng 0 cho “vắng mặt” và 1 cho “có mặt”.
| Mức tiêu thụ rượu | Dị tật của trẻ | Dị tật của trẻ | Tổng cộng | Tỷ lệ (%) có dị tật | Số dư có điều chỉnh |
|---|---|---|---|---|---|
| Có | Không | ||||
| 0 | 17066 | 48 | 17114 | 0,28 | -0,18 |
| < 1 | 14464 | 38 | 14502 | 0,26 | -0,71 |
| 1 - 2 | 788 | 5 | 793 | 0,63 | 1,84 |
| 3 - 5 | 126 | 1 | 127 | 0,79 | 1,06 |
| ≥ 6 | 37 | 1 | 38 | 2,63 | 2,71 |
Nguồn :B. I. Graubard and E. L. Korn. Biometrics 43 : 471- 476 (1987)
Bảng 2.23 Dị tật trẻ sơ sinh và mức độ tiêu thụ rượu của người mẹ