1 PARTE I: TEORÍA DEL INTERÉS

1.1 PRESENTACIÓN DEL CURSO

Estas notas fueron desarrolladas para el curso de Matemáticas Financieras I en la Licenciatura de Actuaría. Los ejemplos que aquí se presentan provienen (en su mayoría) de las fuentes citadas en la sección de referencias, aunque no se cite específicamente la fuente de cada ejercicio.

1.1.1 PRE-REQUISITOS

¿Qué vamos a usar para esta materia?

Álgebra
Cálculo diferencial e integral

1.1.2 BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Kellison (1991)
Gregorio Domínguez (2006)
- Cuadernillo de ejercicios
Wilders (2020)
Dinius (2017)

1.1.3 OBJETIVOS

Introducir los conocimientos matemáticos básicos de la teoría del interés y el valor del dinero en el tiempo, para desarrollar las habilidades analíticas y técnicas necesarias para aplicarlos y operarlos dentro del contexto de la práctica actuarial.

1.2 INTRODUCCIÓN

Un actuario es un profesionista que analiza las consecuencias financieras del riesgo

ASA learning pathway

Pero, entonces, ¿qué debemos entender por financiero o finanzas?

En su acepción más amplia, las finanzas son una rama de las ciencias económico-administrativas enfocada en la gestión o administración de los activos financieros.

En este sentido, un aspecto muy importante en la administración de cualquier cosa es la medición, por lo que muchas de las herramientas matemáticas que se revisarán se busca que sean útiles en la medición de diferentes características de estos activos financieros. En particular, un aspecto de la medición que nos resultará particularmente de interés es determinar su valor¹. La manera en la que actualmente manifestamos el valor de las cosas es, abrumadoramente, en términos de su valor pecuniario o en dinero, por lo que la mayor parte de lo que desarrollemos en la materia lo haremos aplicado al valor monetario de activos financieros.

Entonces, ahora, ¿qué debemos entender por activo financiero?

En Economía, es necesario recordar, se clasifica a los activos en i) reales y ii) financieros. Los activos reales (en ocasiones también llamados activos físicos) son: la tierra, edificios, planta, equipo, inventarios, bienes de consumo duradero y conocimiento (Parkin (1995); Bodie, Kane, and Marcus (1999)), en otras palabras, son “cosas” reales que forman parte de los factores de producción.

Los activos financieros, en contraste, son fundamentalmente contratos que documentan derechos, del tenedor o dueño, sobre los ingresos o beneficios generados por factores de producción (trabajo, tierra o capital).

¿Cuáles son las diferencias, entonces, entre un activo financiero y un activo real?

La materia de Matemáticas Financieras, por lo tanto, si bien no constituye un cuerpo teórico homogéneo, forma parte del conjunto de conocimientos de las ciencias económico-administrativas que revisa o cubre el conjunto de herramientas matemáticas necesarias para el estudio o entendimiento de los temas relacionados a la gestión de activos financieros. Como señala Kellison (1991), los principios básicos de la teoría del interés (el tema principal de este curso) son pocos, y comprendiendo bien y a detalle el material del tema 1, básicamente todo el resto del curso está resuelto. Sin embargo, una parte considerable del curso la dedicaremos a 1) aplicar estos principios básicos a contextos sucesivamente más complejos y 2) a obtener versiones simplificadas de los planteamientos (fórmulas).

Las fórmulas pueden ser importantes en sí mismas. Históricamente, quizá, eran más relevantes de lo que pueden parecer hoy en día, dada la necesidad de eficientar el cómputo de ciertos procedimientos, en ausencia de la facilidad y economía de cómputo de la que gozamos actualmente (lo cual no debemos menospreciar tampoco, ya que en ciertos contextos puede ser necesario nuevamente hacer énfasis en la eficiencia de cómputo). Por otra parte, las fórmulas pueden ser relevantes en sí mismas también para aquellos que buscan obtener alguna certificación profesional, ya que no solamente forman parte del curriculum de estudio actual sino que pueden proporcionar una ventaja significativa en los tiempos de respuesta de exámenes, por ejemplo. Finalmente, las fórmulas frecuentemente también nos ayudan a fortalecer o a resaltar ciertos elementos de la intuición que subyace a algunos procedimientos. No obstante, las fórmulas pueden llegar a parecer muchas y algunas de ellas complicadas, pero es importante notar que muy pocas de ellas realmente requieren ser memorizadas y, de hecho, en ocasiones las dificultades en el curso pueden surgir a partir de intentar memorizar o aplicar fórmulas sin el entendimiento de los principios y mecanismos básicos empleados en su derivación.

Métodos hay quizás un millón y algunos más, pero principios hay pocos. Quien comprende los principios puede exitosamente seleccionar sus propios métodos. Quien intenta usar los métodos, ignorando los principios, seguramente tendrá problemas. – Ralph Waldo Emerson

1.3 TEORÍA DEL INTERÉS: EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Comenzamos nuestra materia estudiando el valor del dinero. Pero, antes de entrar en materia, ¿qué es el dinero?

Dinero puede ser cualquier cosa que cumpla ciertas funciones específicas:

Estándar de valor o unidad de cuenta: una única unidad de referencia para comunicar el valor de los bienes y servicios.
Medio de cambio: relacionado, o complementario, con la anterior. No solamente debe servir para comunicar el valor, sino para ser intercambiado por bienes y servicios.
Almacén de valor: debe poder “almacenarse” con la finalidad de poder ser intercambiado con razonable certidumbre en el futuro por bienes y servicios.
Proveer de liquidez: debe permitir ser ejercido de manera instantánea o casi-instantánea para liquidar obligaciones o adquirir bienes y servicios.

La posesión de dinero, entonces, otorga derechos al individuo y por lo tanto podemos decir que se trata de un activo. Ahora bien, si lo pensamos, es un activo que, a su vez, genera obligaciones (generalmente al Estado o la institución que lo emite). Y no solamente eso, sino que en el sentido actual en el que entendemos al dinero, normalmente no asociamos nuestro concepto a un objeto material cuyo valor está representado por el valor intrínseco del objeto sino a una cosa u objeto abstracto que documenta nuestros derechos sobre el valor asociado a dicho objeto. Hablamos, entonces de un activo financiero; podríamos incluso decir que es, el activo financiero.

Ahora, si consideramos que el dinero debe ser unidad de valor o cuenta, entonces su valor, en un momento dado, es idéntico a sí mismo. Sin embargo, podemos hablar del valor del dinero en el tiempo. En otras palabras, el valor de $1 en este momento es $1, sin embargo, con toda seguridad, el valor que le asignamos hoy a $1 dentro de $t$ días (o cualquier unidad de tiempo) no será $1.

$1 dentro de un año, ¿vale más, menos o lo mismo que $1 hoy? ¿Qué pasa cuando lo natural no se cumple? ¿Ha pasado?

1.3.1 MONTO, INTERÉS Y DESCUENTO

Uno de los motivos por los que decimos que el dinero tiene valor es porque nos sirve como medio de cambio. En este sentido, damos valor al dinero por lo que nos permite adquirir. Hablamos también frecuentemente, sin embargo, del valor del dinero en el tiempo. A lo que nos referimos en este sentido es al hecho de que si decidimos postergar el uso del dinero en este momento, esperamos recibir una compensación por esa sustitución intertemporal del consumo (entre otros posibles motivos). A esta compensación, renta, prima o premio la llamamos interés y es generalmente expresado en términos de una tasa, es decir, en términos relativos (cociente) en relación a la cantidad de dinero que está siendo valuado². De hecho, cualquier actividad financiera puede interpretarse como la recepción de un alquiler o renta por el uso de un activo prestado (Gregorio Domínguez 2006).

Otra manera de ver al interés es la siguiente: “una medida de la penalidad sufrida por un inversionista por no convertir el dinero en activos generadores de ingreso” (Rose 2003).

En ocasiones, sin embargo, la renta o prima se plantea en forma inversa, es decir, como la cantidad que es necesario deducir o descontar del monto a obtener al final de la transacción para determinar el monto o capital a comprometer al inicio de la misma. Planteado así, se conoce a este monto como descuento.

Así, podemos describir una transacción financiera básica, en términos monetarios, como compuesta por cuatro elementos:

El capital o principal comprometido en la transacción ($k$);
El periodo de tiempo $t$ durante el cual comprometeremos el capital;
El interés (o descuento) que esperamos recibir al final de esta transacción ($I$); y
El valor o monto acumulado al finalizar la transacción ($A$).

Imaginemos la situación siguiente, a manera de ejemplo: tenemos $10,000 en efectivo y nuestro banco nos ofrece ponerlos en pagaré a plazo a 365 días. El ejecutivo bancario nos dice que si contratamos este servicio, al finalizar los 365 días el banco nos devolverá $10,250. En este contexto tendríamos entonces que: $k = 10,000; I = 250; A = 10,250$.

Es común, por lo tanto, que encontremos referencias a el valor acumulado de pagos realizados en el pasado, el valor presente o valor descontado de pagos a realizarse en el futuro o bien el valor actual o valor corriente (current value, en inglés) de pagos en un momento intermedio en el tiempo entre el inicio y el vencimiento de los pagos.

Entonces, podemos observar también que:

\[A(0, t) = k + I(0, t)\]

Esto es, el monto o valor acumulado al final de $t$ periodos, es igual al capital $k$, inicialmente comprometido, y los intereses $I$ generados durante los $t$ periodos.

Por simplicidad, normalmente utilizaremos la notación $A(t)$ para denotar a $A(0, t)$.

Si ahora queremos determinar el interés obtenido durante el periodo $t$, entonces:

\[I_t = I(t-1, t) = A(t) - A(t-1)\]

Como ya se señaló, normalmente el interés se expresa como una tasa, $i$, por lo que si queremos conocer la tasa de interés obtenida durante el periodo $t$, entonces:

\[i_t = \frac{I_t}{A(t-1)} = \frac{I(t-1,t)}{A(t-1)} = \frac{A(t) - A(t-1)}{A(t-1)}\]

A $i_t$ se le conoce como la tasa efectiva de interés del periodo t y representa la cantidad de interés obtenido durante el periodo $t$ por cada unidad monetaria (p.e., por cada peso) invertida al inicio del periodo.

Equivalentemente, podemos hablar de la tasa efectiva de descuento del periodo t, aunque es necesario recordar que estamos cambiando nuestro punto de referencia en el tiempo del inicio del periodo al final del periodo, por lo que:

\[d_t = \frac{D_t}{A(t)} = \frac{A(t) - A(t-1)}{A(t)}\]

Observemos, también, que podemos encontrar la equivalencia:

\[i_t = \frac{A(t) - A(t-1)}{A(t-1)} = \frac{A(t)}{A(t-1)} - 1 =\]

\[\frac{1}{\frac{A(t-1)}{A(t)}} - 1 = \frac{1}{\frac{A(t-1) - A(t)}{A(t)}+1} - 1 = \frac{1}{1 - d_t} - 1 =\]

\[\frac{1 - 1 + d_t}{1 - d_t} = \frac{d_t}{1 - d_t}\]

En otras palabras, supongamos que se invierte $1 a una tasa de interés $i$ por un periodo (p.e., un año). El valor acumulado al final del periodo será, entonces $1 + i$. Es posible, entonces, encontrar también una tasa de descuento $d$ tal que:

\[1 = (1 - d)(1 + i)\]

De lo que se desprende que:

\[1 = 1 - d + i - di \Rightarrow d = i(1 - d) \Rightarrow i = \frac{d}{1 -d}\]

Y, en forma similar:

\[d = \frac{i}{1 + i} = iv\]

A $v = \frac{1}{1 + i}$ se le conoce como factor de descuento.

En nuestro ejemplo del pagaré bancario, ¿cuál fue entonces la tasa efectiva de interés obtenida? R: $i_1 = \frac{250}{10000} = 0.025 = 2.5\%$

¿Y la tasa de descuento?

Finalmente, observemos lo siguiente:

\[A(t) = A(t-1) \cdot \frac{A(t)}{A(t-1)} = A(t-1) \cdot \left( \frac{A(t)}{A(t-1)} - 1 + 1 \right) =\]

\[A(t-1) \cdot \left( \frac{A(t) - A(t-1)}{A(t-1)} + 1 \right) = A(t - 1)(1 + i_t) = A(t - 2)(1 + i_t)(1 + i_{t-1}) =\]

\[A(0) \prod\limits_{j = 1}^t (1 + i_j) = k \prod\limits_{j = 1}^t (1 + i_j)\]

Es decir, podemos expresar el monto al tiempo $t$ de manera recursiva en función del capital y las tasas efectivas observadas para cada periodo.

¿Y para el descuento?

No forma parte del alcance de este curso estudiar los determinantes del nivel de las tasas de interés, sin embargo, cerraremos esta sección citando a Homer and Sylla (2005):

“Las tasas de interés pueden percibirse como cambiantes en varias dimiensiones. Las principales de estas dimensiones son tiempo, espacio, calidad del préstamo y plazo del préstamo. Otras características distintivas son su liquidez [marketability, en el original], tamaño del préstamo, condiciones de liquidación, legalidad, estatus fiscal, tipo de deudor y tipo de acreedor. Las tasas aplicadas en un tipo específico de crédito en un lugar en particular, cambiarán de un día para el otro o de un año para el otro; esta es la dimensión temporal. O, en un determinado momento en el tiempo, las tasas aplicadas en créditos similares cambiarán de ciudad a ciudad o de país a país; la dimensión del espacio. Nuevamente, en determinados espacio y tiempo, usualmente existen simultáneamente un amplio rango de tasas de interés, de acuerdo con la calidad, plazo, tamaño, liquidez, y otras circunstancias del crédito.”

Otro concepto que tiene un considerable impacto en la determinación de las tasas de interés (muy asociado, quizás, al plazo) es el concepto de inflación. La inflación es un fenómeno económico caracterizado por un “movimiento ascendente del nivel medio de precios” (Parkin 1995) que implica un deterioro en el poder adquisitivo o valor del dinero en el tiempo. Cuando hablamos del interés como renta que esperamos recibir en el futuro esto hace que el dinero que recibamos como compensación futura tenga un menor valor y, por lo tanto, que esperemos una compensación adicional, no solamente por la sustitución intertemporal del uso del dinero sino por la pérdida de valor en el tiempo.

Tomar en cuenta la inflación (y más concretamente, las expectativas de inflación) cuando hablamos del valor del dinero en el tiempo es, por lo tanto, muy importante. Sin embargo, el alcance de este curso no contempla el uso de supuestos inflacionarios en nuestros cálculos.

1.3.1.1 EJEMPLOS

Una persona recibe en préstamo $560 y debe pagar $600 al finalizar el año.

¿Cuál es la tasa efectiva anual de descuento?
¿Cuál es la tasa efectiva anual de interés?

Solución

Si $A(4) = 1000$ y $i_n = 0.01n$, encuentra $A(7)$.

Solución

Una Sociedad Cooperativa de Ahorro y Préstamo (ver anexo) paga el 7% efectivo anual sobre los depósitos cada fin de año. Al final de cada 3 años paga un bono del 2% sobre el saldo en ese momento. Encontrar la tasa efectiva anual de interés ganada por un inversionista si el dinero es dejado en depósito: a) por 2 años, b) 3 años y c) 4 años.

Solución

1.3.2 FUNCIÓN DE ACUMULACIÓN

Podemos ahora también definir una regla o función de acumulación, $a(t_1, t_2)$, que describe la manera en la que el capital y los intereses, de un capital invertido al tiempo $t_1$ se acumulan al tiempo $t_2$, de manera que podamos encontrar una forma de describir el valor acumulado en el tiempo como:

\[A(0, t_1) \cdot a(t_1, t_2) = A(t_1, t_2)\]

De lo que se desprende que:

\[a(t_1, t_2) = \frac{A(t_1, t_2)}{A(0, t_1)}\]

En particular, cuando $t_1 = 0$, usamos la notación:

\[a(t) = \frac{A(t)}{k}\]

o, lo que es equivalente,

\[A(t) = k \cdot a(t).\]

Al recíproco de la función de acumulación lo llamaremos función de descuento:

\[a^{-1}(t) = \frac{1}{a(t)}\]

La función de acumulación debe cumplir con las siguientes propiedades (Gregorio Domínguez 2006):

$\exists \text{ } a(t) \text{ } \forall \text{ } t \geq 0$;
$a(0) = 1$;
$a(t)$ es no-decreciente³;
$a(t)$ es una función continua y diferenciable.

Adicionalmente, es deseable que la función de acumulación satisfaga el

Principio de Consistencia: $a(t_1, t_2) = a(t_2 - t_1) ; \forall t_1 \leq s \leq t_2$.

Es inmediato demostrar adicionalmente que, si la función de acumulación es consistente, entonces $a(t_2) = a(t_1)a(t_2 - t_1)$. La propiedad de consistencia es importante porque permite identificar funciones que determinan la acumulación dependiendo del tamaño intervalo entre dos puntos en el tiempo y no de los puntos en el tiempo en sí.

Dada la definición propuesta para la tasa efectiva de interés, podemos observar que una propiedad de las funciones de acumulación es que se pueden expresar como producto de las tasas de interés efectivas:

\[i_t = \frac{I_t}{A(t - 1)} = \frac{a(t) - a(t-1)}{a(t - 1)} = \frac{a(t)}{a(t - 1)} - 1 \Rightarrow\]

\[\frac{a(t)}{a(t - 1)} = 1 + i_t \Rightarrow \frac{a(t)}{a(t-1)} \cdot \frac{a(t - 1)}{a(t - 2)} = (1 + i_t) \frac{a(t - 1)}{a(t - 2)} =\]

\[(1 + i_t)(1 + i_{t - 1}) \Rightarrow \frac{a(t)}{a(t-1)} \dots \frac{a(1)}{a(0)} = (1 + i_t) \dots (1 + i_1) \Rightarrow\]

\[\frac{a(t)}{a(0)} = a(t) = \prod_{i = 1}^{t} (1 + i_i)\]

Se pueden derivar, desde luego, relaciones equivalentes para la tasa efectiva de descuento.

1.3.2.1 EJEMPLOS

Dada la función de acumulación $a(t) = \sqrt{t + 1}$:

Verifica que satisface las condiciones características de una función de acumulación cuando los intereses son generados de forma continua.
Calcula el monto de un capital de $400 invertidos durante 3 años según la función de acumulación dada.
Calcula el capital que es necesario invertir al tiempo 0, según la función de acumulación dada, para recibir $1,200 ocho años después.
¿Cuáles son las tasas efectivas por periodo de interés y descuento?
Determina la tasa de interés efectiva para el periodo de tiempo [t, t+3)
Determina si la tasa de interés efectiva por periodo es decreciente, creciente o en qué periodos es creciente y en cuáles decreciente.

Solución

Supongamos que $a(t) = at^2 + 10b$. Si $x invertidos en el tiempo 0 se acumulan a $1,000 al tiempo 10 y $2,000 al tiempo 20, encuentra $x$.

Solución

¿Es cierto que $a(n) - a(0) = i_1 + i_2 + \dots + i_n$?

Solución

1.3.2.2 INTERÉS SIMPLE

Supongamos una inversión de un capital de $1. El capital se invertirá durante un periodo de $n$ años ($n \in \mathbb{Z}^+$). Si asumimos que la tasa de interés $i$ permanece constante en todos los periodos (años) de la inversión, nos referimos al interés simple cuando el monto de los intereses obtenidos es el mismo para cada periodo o, lo que es equivalente, el interés obtenido durante un periodo no es reinvertido para que genere intereses durante el siguiente periodo. En otras palabras:

\[A(t) = A(t-1) + I = A(t-1) - i \cdot k \Rightarrow\] \[a(t) = a(t-1) + i\]

Sustituyendo recursivamente hacia atrás, tenemos entonces que:

\[a(t) = a(t-2) + i + i = a(t-2) + 2i = \dots =\]

\[a(t - t) + \sum\limits_{j = 1}^t i = 1 + ti\]

Y, análogamente, la función descuento: $a^{-1} = \frac{1}{1+ti}$.

En otras palabras, el interés simple implica un patrón de acumulación lineal en función del tiempo (para $t \in \mathbb{Z}^+$).

Ahora, ¿qué significa esto en términos de la tasa efectiva de interés?

\[i_t = \frac{A(t) - A(t-1)}{A(t-1)} = \frac{k \cdot a(t) - k \cdot a(t-1)}{k \cdot a(t-1)} =\]

\[\frac{a(t) - a(t-1)}{a(t-1)} = \frac{1 + ti - 1 - (t-1)i}{1 + (t-1)i} =\]

\[\frac{i}{1 + (t-1)i}\]

Observamos entonces que, a pesar de tener una tasa de interés $i$ constante, el interés simple implica una tasa de interés efectiva decreciente.

En forma análoga al interés simple, es posible definir el descuento simple como:

\[a^{-1}(t) = 1 - dt \space \forall \space 0 \leq t < \frac{1}{d}\]

El descuento simple, se puede demostrar de manera similar a lo previamente realizado para el interés simple, implica una tasa efectiva de descuento creciente.

¿Qué puedes decir de la función de acumulación de interés simple en cuanto a la propiedad de consistencia?

1.3.2.2.1 EJEMPLOS

Determina el monto y el interés simple de:

$750 durante 10 meses al 12% de interés simple anual.
$750 durante 10 meses al 1% de interés simple mensual.
$750 durante 10 meses al 2% de interés simple bimestral.

Solución

Encuentra $d_5$ si la tasa de interés simple es igual a 10%; encuentra $d_5$ si la tasa de descuento simple es igual a 10%.

Solución

A una tasa de interés simple, $1,000 se acumularán a $1,110 después de un cierto intervalo de tiempo. Encuentra el valor acumulado de $500 a una tasa de interés simple igual a tres cuartas partes de aquella por un periodo del doble de tiempo.

Solución

1.3.2.3 INTERÉS COMPUESTO

Supongamos ahora que los intereses obtenidos durante un periodo son re-invertidos para permitir ganar intereses adicionales. A esto le llamamos interés compuesto.

Si seguimos suponiendo que la tasa de interés de un periodo es igual a un valor constante $i$, y un capital inicial de $1, entonces:

\[a(0) = 1;\]

\[a(1) = 1 + i;\]

\[a(2) = (1 + i) + (1 + i)i = 1 + 2i + i^2 =\]

\[(1 + i)^2 = (1 + i)(1 + i) = a(1)(1+i);\]

\[a(3) = 1 + i + (1 + i)i + [1 + i + (1 + i)i]i =\]

\[[1 + i + (1+i)i](1 + i) = (1 + i)(1 + i)(1 + i) = (1 + i)^3;\]

\[\dots\]

\[a(t) = a(t-1)(1 + i) = (1 + i)^t\]

¿Cómo se ve la función de acumulación de interés compuesto?

¿Cuál de los dos tipos de acumulación de intereses (simple vs. compuesto) genera mayor acumulación en el tiempo? ¿Por qué?

La respuesta a la pregunta anterior yace en el hecho de que el interés compuesto implica un patrón de acumulación exponencial en el tiempo. Alternativamente, podemos voltear a ver la tasa efectiva de interés del periodo $t$:

\[i_t = \frac{A(t)-A(t-1)}{A(t-1)} = \frac{a(t) - a(t-1)}{a(t-1)} =\]

\[\frac{(1+i)^t-(1+i)^{t-1}}{(1+i)^{t-1}} = i\]

¿Cómo se compara la tasa de interés efectiva bajo el supuesto de interés compuesto contra la tasa de interés efectiva bajo el supuesto de interés simple?

Y en términos de la tasa efectiva de descuento:

\[d_t = \frac{a(t)-a(t-1)}{a(t)} = 1 - \frac{a(t-1)}{a(t)} = 1 - \frac{(1-d)^t}{(1-d)^{t-1}}=d\]

En otras palabras, al igual que vimos en la tasa de interés, una tasa de descuento compuesto constante, implica una tasa efectiva constante de descuento en el tiempo.

Para finalizar, es importante recordar en este punto una propiedad de las funciones de acumulación: la consistencia.

¿Qué podemos decir de la consistencia de las funciones de acumulación de interés simple e interés compuesto? ¿Qué significa esto?

1.3.2.4 EJEMPLOS

Se sabe que $600 invertidos durante 2 años ganarán $264 de interés. Si suponemos una función de acumulación de interés compuesto, encuentra el valor acumulado de $2,000 a la misma tasa de interés durante 3 años.

Solución

Una determinada cantidad de dinero es invertida por un año a una tasa de interés del 3% por trimestre. Sea $D(k)$ la diferencia entre el interés ganado sobre una base de interés compuesto y sobre la base de interés simple para el trimestre $k$, donde $k = 1, 2, 3, 4$. Encuentra la razón de $D(4)$ a $D(3)$.

Solución

¿Cuánto debe invertirse para que se acumulen $4,000 bajo los siguientes escenarios?

La inversión gana un 5% de interés simple a un plazo de 5 años.
La inversión gana un 5% de interés compuesto a un plazo de 5 años.
La inversión gana un 5% de interés compuesto por los primeros 3 años y luego gana un 5% de interés simple por los siguientes 2 años.

Solución

1.3.3 VALORES NO ENTEROS DE t

Antes de pasar a nuestro siguiente tema, observemos que el planteamiento que hemos hecho de la manera en la que se acumulan los intereses bajo funciones de acumulación de interés simple e interés compuesto hacen referencia a pagos de intereses en periodos enteros de tiempo. Sin embargo, observemos que ambas funciones de acumulación están perfectamente definidas para $t \in \mathbb{R^+}$, por lo que evaluarlas en periodos fraccionales de tiempo no debería ser problema.

¿Cómo podemos interpretar esto? Supongamos que se especifica el pago de una tasa de interés anual y el plazo es de 10.5 años. Una vez cumplidos los 10 primeros años (y hechos los correspondientes 10 pagos de interés), ¿cómo se debería realizar el último pago de intereses? Dado que estamos hablando del valor del dinero en el tiempo (y salvo que el contrato no especifique otra cosa), no habría motivo para pagar ni más ni menos que por el tiempo restante, 0.5 años, y lo haríamos con base en la curva que describa la función de acumulación. En otras palabras, se reconocería el interés correspondiente a la fracción de tiempo conforme al patrón descrito por la función de acumulación.

1.3.4 TASAS NOMINALES CONVERTIBLES

Como ya lo observamos, una tasa de interés/descuento efectiva es la tasa efectivamente pagada al final/inicio del periodo. Cuando tenemos una tasa de interés/descuento que se paga con mayor frecuencia durante el periodo (digamos, $m$ veces), al final/inicio de cada sub-periodo, decimos que tenemos una tasa de interés/descuento nominal convertible $m$ veces por periodo (p.e., una tasa de interés nominal convertible 2 veces al año o nominal anual convertible cada semestre). A estas tasas las denotaremos como $i^{(m)}$ / $d^{(m)}$ ($i^{(2)}$, en nuestro ejemplo).

Esto es, una tasa nominal convertible dos veces durante el periodo $i^{(2)} = 10\%$ tiene que ser ajustada para “convertirla” en la tasa efectiva correspondiente para el subperiodo de referencia:

\[i^{(2)} = 0.1 \Rightarrow i = \frac{i^{(2)}}{2} = 0.05\]

Revisa alguna publicación (p.e., algún sitio de noticias económico-financieras) y busca información sobre tasas de referencia, ¿qué tipo de tasas usan para comunicar su información al público en general?

1.3.4.1 EQUIVALENCIA ENTRE LAS TASAS NOMINAL Y EFECTIVA

Si consideramos periodos anuales e interés compuesto, denotamos entonces como la tasa efectiva de interés anual a $i$. Entonces, es posible encontrar una tasa nominal anual convertible $m$ veces equivalente, tal que:

\[1 + i= \left( 1 + \frac{i^{(m)}}{m} \right)^{m}\]

¿Cuál es la expresión de la tasa de interés nominal convertible m veces durante el periodo dada la tasa de interés efectiva del periodo?

\[\Rightarrow (1 + i)^{\frac{1}{m}} = 1 + \frac{i^{(m)}}{m} \Rightarrow (1 + i)^{1/m} - 1 = \frac{i^{(m)}}{m} \Rightarrow i^{(m)} = m \left[ (1 + i)^{1/m} - 1 \right]\]

¿Cuál es la expresión para la equivalencia entre tasas de interés nominal con diferente convertibilidad en un mismo periodo de referencia?

\[\left( 1 + \frac{i^{(m)}}{m} \right)^m = 1 + i = \left( 1 + \frac{i^{(n)}}{n} \right)^n\]

¿Cuáles son las expresiones correspondientes a las tasas de descuento?

\[1 - d = \left( 1 - \frac{d^{(m)}}{m} \right)^m \Rightarrow d = 1 - \left(1 - \frac{d^{(m)}}{m} \right)^m\]

\[(1 - d)^{1/m} = 1 - \frac{d^{(m)}}{m} \Rightarrow 1 - (1 - d)^{1/m} = \frac{d^{(m)}}{m} \Rightarrow d^{(m)} = m [1 - (1 - d)^{1/m}]\]

\[\left( 1 - \frac{d^{(m)}}{m} \right)^m = 1 - d = \left( 1 - \frac{d^{(n)}}{n} \right)^n\]

1.3.4.2 RELACIÓN ENTRE $i^{(m)}$ Y $d^{(m)}$

Comparemos ahora dos tasas nominales, una de interés, la otra de descuento, convertibles respectivamente $m$ y $p$ veces durante el periodo. Para ser equivalentes, y asumiendo interés compuesto, deben cumplir que:

\[\left(1+\frac{i^{(m)}}{m} \right)^m = 1 + i = (1 - d)^{-1} = \left(1-\frac{d^{(p)}}{p} \right)^{-p}\] Despejando para $i^{(m)}$ obtenemos:

\[ 1 + \frac{i^{(m)}}{m} = \left(1-\frac{d^{(p)}}{p} \right)^{-\frac{p}{m}} \Rightarrow\] \[\frac{i^{(m)}}{m} = \left(1-\frac{d^{(p)}}{p} \right)^{-\frac{p}{m}} -1\]

Si, adicionalmente $m = p$ (esto es, la el interés y el descuento son convertibles con la misma periodicidad), entonces:

\[\frac{i^{(m)}}{m} = \left(1-\frac{d^{(m)}}{m} \right)^{-1} -1 \Rightarrow\] \[\frac{i^{(m)}}{m} = \left( \frac{m}{m - d^{(m)}} \right) - 1 \Rightarrow\] \[\frac{i^{(m)}}{m} = \frac{d^{(m)}}{m - d^{(m)}} \Rightarrow\] \[\frac{i^{(m)}}{m} = \frac{\frac{d^{(m)}}{m}}{1 - \frac{d^{(m)}}{m}}\]

La tasa de interés efectiva del subperiodo es igual a cociente de la tasa de descuento efectiva entre el capital al inicio del periodo (el capital descontado).

Y si seguimos un procedimiento análogo podemos llegar a la expresión para la tasa nominal de descuento:

\[\frac{d^{(m)}}{m} = \frac{\frac{i^{(m)}}{m}}{1 + \frac{i^{(m)}}{m}}\]

1.3.4.3 EJEMPLOS

Encontrar las tasas que se piden:

Tasa de descuento efectiva anual equivalente al 8% de interés anual
Tasa de interés convertible semestralmente equivalente a una tasa de descuento del 6% convertible trimestralmente
Tasa de descuento convertible trimestralmente equivalente a la tasa de interés del 4% convertible cada 2 meses

Solución

Si sabemos que $1+\frac{i^{(n)}}{n} = \frac{1+\frac{i^{(4)}}{4}}{1+\frac{i^{(5)}}{5}}$, encuentra $n$.

Solución

Se tiene un pagaré que en 3 años pagará $50,000. ¿Cuánto pagará por él hoy un comprador que quiera obtener como rendimiento una tasa de descuento anual convertible cuatrimestralmente del 8%?

Solución

1.3.5 TASAS INSTANTÁNEAS DE INTERÉS Y DESCUENTO

En términos generales, si $f(t) > 0$ y $\Delta$ un intervalo de tiempo, podemos definir a la tasa de crecimiento de $f(t)$ observada en el intervalo de tiempo $\Delta$ como:

\[\frac{f(t+\Delta)-f(t)}{f(t)}.\]

Sin embargo, si lo que queremos es calcular la tasa de crecimiento de $f(t)$ observada en el intervalo de tiempo $\Delta$ por unidad de tiempo entonces lo que necesitamos es:

\[\frac{\frac{f(t + \Delta) - f(t)}{f(t)}}{\Delta} = \frac{f(t + \Delta) - f(t)}{\Delta f(t)}.\]

Si ahora hacemos decrecer el intervalo de tiempo:

\[\lim\limits_{\Delta \to 0} \frac{f(t + \Delta) - f(t)}{\Delta f(t)} = \frac{1}{f(t)}\lim\limits_{\Delta \to 0} \frac{f(t + \Delta) - f(t)}{\Delta} = \frac{1}{f(t)}\frac{d}{dt}f(t) =\]

\[\frac{d}{dt}\int\frac{1}{f(t)}\frac{d}{dt}f(t)dt = \frac{d}{dt}\int\frac{1}{f(t)}df(t) =\]

\[\frac{d}{dt}ln[f(t)] = \delta_t.\]

A $\delta_t$ se le llama la tasa instantánea de crecimiento.

En términos de tasas de interés, sabemos que la tasa de interés efectiva de un subperiodo $m$ es igual a:

\[\frac{i^{(m)}}{m} = \frac{A(t + \frac{1}{m}) - A(t)}{A(t)} \Rightarrow\]

\[i^{(m)} = m\frac{A(t + \frac{1}{m}) - A(t)}{A(t)} = \frac{\frac{A(t + \frac{1}{m}) - A(t)}{\frac{1}{m}}}{A(t)} \Rightarrow\]

\[\lim\limits_{m \rightarrow \infty}{i^{(m)}} = \frac{1}{A(t)} \lim\limits_{m \rightarrow \infty}\left[ \frac{{A(t + \frac{1}{m}) - A(t)}}{\frac{1}{m}} \right]= \frac{1}{A(t)} \frac{d}{dt}A(t) = \frac{d}{dt}ln(A(t)) =\]

\[\frac{d}{dt}ln(ka(t)) = \frac{d}{dt}ln(k) + \frac{d}{dt}ln(a(t)) = \frac{d}{dt}ln(a(t)) = \delta_t\]

Paréntesis histórico: se dice generalmente que Bernoulli “descubrió” el número $e$ analizando un problema relacionado con lo que acabamos de revisar. Para los curiosos, ver anexo.

Aquí surge también por primera vez en el curso la función logarítmica de manera relevante. Las propiedades de la función logarítmica la hacen una función particularmente importante para el análisis de datos financieros.

Si ahora acumulamos esta tasa instantánea de crecimiento en el intervalo entre $t_1$ y $t_2$:

\[\int_{t_1}^{t_2} \delta_t dt = \int_{t_1}^{t_2} d(ln(a(t))) = ln[a(t_2)] - ln[a(t_1)] = ln\left[\frac{a(t_2)}{a(t_1)} \right] \Rightarrow\]

\[\frac{a(t_2)}{a(t_1)} = e^{\int_{t_1}^{t_2} \delta_t dt} = a(t_1, t_2).\]

Y, en particular:

\[a(0,t) = a(t) = e^{\int_{0}^{t} \delta_t dt}.\]

¿Puedes explicar por qué $\delta_t$ es igual para tasas de descuento que para tasas de interés?

Finalmente, si la fuerza de interés es constante, $\delta_t = \delta$ entonces:

\[a(t) = e^{\int_{0}^t \delta_t dt} = e^{\int_{0}^t \delta dt} = e^{\delta\int_{0}^t dt} = e^{\delta \cdot t}.\]

Se pueden encontrar entonces un conjunto de tasas equivales tales que:

\[1 + i = \left(1 + \frac{i^{(m)}}{m} \right)^{m} = e^{\delta}.\]

1.3.5.1 EJEMPLOS

Obtenga el monto al final de la inversión si $100 se invierten durante 20 años a las tasas siguientes:

4% anual convertible anualmente;
6% anual convertible trimestralmente;
a una fuerza de interés del 5% anual.

Solución

Si $\delta(t) = 0.01t$ en el intervalo $0 \leq t \leq 2$, encontrar la tasa efectiva anual de interés equivalente en el intervalo $0 \leq t \leq 2$.

Solución

En un fondo X una inversión se acumula a una fuerza de interés $\delta(t) = 0.01 t + 0.1; 0 \leq t \leq 20$. En otro fondo, Y, la inversión se acumula a una tasa efectiva anual de interés, bajo interés compuesto, igual a $i$. Se invierten $1 en cada fondo por un plazo de 20 años. El saldo en el fondo X al final de este plazo es igual al saldo en el fondo Y. Calcula el saldo en el fondo Y al final de 1.5 años.

Solución

1.3.6 TASAS DE INTERÉS VARIABLES

Pueden existir situaciones en las que la tasa que se paga cambia en el tiempo. Una primera situación de cambios de tasa en el tiempo es cuando los cambios se dan en periodos discretos de tiempo y la tasa permanece fija para dichos periodos. Supongamos que se tiene una tasa efectiva de interés $i_t$ para el periodo $t$, entonces:

\[a(t) = (1 + i_1)(1 + i_2)\dots(1+i_t)\]

¿Qué función de acumulación obtenemos si la tasa efectiva de interés del periodo $t$ varía conforme a $\frac{i}{1+(t-1)i)}$?

Desde luego, podemos suponer que la tasa de interés no permanece constante en níngún intervalo de tiempo, esto es, varía en forma contínua. Entonces tendremos que, para el intervalo de tiempo $(0,t]$:

\[a(t) = e^{\int_{0}^{t}\delta(s)ds}\]

Es posible, incluso, que la forma de $\delta(s)$ cambie en el tiempo, con lo que tendríamos entonces:

\[a(t) = e^{\int_{0}^{t_1}\delta_1(s)ds}e^{\int_{t_1}^{t_2}\delta_2(s)ds}e^{\int_{t_2}^{t}\delta_3(s)ds}\]

para:

\[\delta(s) = \left\{ \begin{array} \delta_1(s) & 0 < s \leq t_1 \\ \delta_2(s) & t_1 < s \leq t_2 \\ \delta_2(s) & t_2 < s \leq t \end{array} \right.\]

1.3.7 ECUACIÓN DE VALOR

Un diferente problema al que podemos enfrentarnos es el de comparar dos diferentes flujos de dinero (inversiones) en un determinado punto en el tiempo (al que llamaremos fecha de valuación, de comparación o focal). Por el efecto que tienen las tasas de interés en el valor del dinero en el tiempo, para comparar dos inversiones o flujos de dinero entonces debemos hacer dos cosas:

Todos los flujos que sucedan antes de la fecha focal deben ser acumulados hasta dicha fecha;
Todos los flujos que sucedan después de la fecha focal deben ser descontados a la fecha focal.

¿Por qué no sólo tomamos los flujos previos y los acumulamos?

Llamamos ecuación de valor a la ecuación que iguala dos diferentes conjuntos de flujos de efectivo valuados en la fecha focal (Gregorio Domínguez (2006), Wilders (2020)).

Recordemos que los problemas hasta ahora planteados consideran básicamente cuatro variables o cantidades de interés:

El capital invertido (al inicio de la inversión);
El tiempo de la inversión;
La tasa de interés;
El monto acumulado al final del periodo.

Las ecuaciones de valor nos ayudan, no solamente a comparar el valor de dos inversiones con diferentes esquemas de flujo de efectivo a una determinada fecha, sino que también podemos resolver problemas relacionados a las otras variables de interés, en particular con el tiempo y la tasa de interés.

1.3.7.1 FECHA EQUIVALENTE

El planteamiento de este tipo de problemas es el siguiente:

Tenemos un esquema de pagos determinado por un conjunto de flujos de efectivo: $O = \left\{ [F_1, \dots, F_n], [t_1, \dots, t_n] \right\}$.
Queremos encontrar un esquema de pago único (igual a la suma de todos los pagos), a una fecha determinada, $O^* = \left\{ [F^*], [t^*] \right\}$ tal que dicho pago sea equivalente al esquema $O$, donde $F^* = \sum_{i = 1}^n F_i$.

Buscamos entonces $t^*$ que satisfaga: $F^* \cdot a(t^*)^{-1} = F_1 a(t_1)^{(-1)} + \dots F_n a(t_n)^{-1}$.

En particular, por ejemplo, si suponemos interés compuesto y tasa de interés constante, podemos desarrollar:

\[a(t^*)^{-1} = \frac{\sum F_ia(t_i)^{-1}}{\sum F_i} = \frac{\sum F_i (1+i)^{-t_i}}{\sum F_i} \Rightarrow\]

\[(1 + i)^{t^*} = \frac{\sum F_i (1+i)^{-t_i}}{\sum F_i} \Rightarrow t^* ln(1+i) = ln \left( \frac{\sum F_i (1+i)^{-t_i}}{\sum F_i} \right) \Rightarrow\]

\[t^* = \frac{ln \left( \frac{\sum F_i (1+i)^{-t_i}}{\sum F_i} \right)}{ln(1 + i)}\]

Para aquellos interesados en temas un poco más avanzados a esta materia, este uso de las ecuaciones de valor es fundamental para el cálculo, por ejemplo, de la duración de un instrumento financiero (por ejemplo, un bono).

1.3.7.2 TASA DE INTERÉS EQUIVALENTE

Otro de los problemas típicamente planteados busca resolver la equivalencia para la tasa de interés. Es decir, lo que se busca es la tasa de interés que logra la equivalencia entre dos flujos de efectivo diferentes:

$O_1 \equiv O_2$, donde:

$O_1 = \left\{ [F_{1,1}, \dots, F_{1,m}], [t_{1,1}, \dots, t_{1,m}] \right\}$ y

$O_2 = \left\{ [F_{2,1}, \dots, F_{2,n}], [t_{2,1}, \dots, t_{2,n}] \right\}$.

Dependiendo de la forma que tome la función de acumulación, este tipo de problemas pueden ser resueltos analíticamente, aunque frecuentemente es necesario recurrir a aproximaciones o soluciones numéricas.

Veamos un caso típico, usando interés compuesto. En este caso buscamos la tasa efectiva de interés $i$ que logra la equivalencia entre $O_1$ y $O_2$, por lo que:

$\sum\limits_{t=1}^{m} {F_{1,t}(1 + i)^{-t}} = \sum\limits_{t=1}^{n} {F_{2,t}(1 + i)^{-t}} \Rightarrow \sum\limits_{t=1}^{m} {F_{1,t}(1 + i)^{-t}} - \sum\limits_{t=1}^{n} {F_{2,t}(1 + i)^{-t}} = 0 \Rightarrow$

$\sum\limits_{t=1}^{n} {(F_{1,t} - F_{2,t})(1 + i)^{-t}} + \sum\limits_{t=n+1}^{m} {F_{1,t}(1 + i)^{-t}} = 0$.

La expresión así obtenida es un polinomio de orden $t$ cuya solución algebraica/analítica no es necesariamente trivial. Para encontrar la solución a este tipo de problemas podemos:

Usar aproximaciones (p.e., interpolaciones entre dos valores conocidos o usando la serie de Taylor).
Usar soluciones numéricas (también aproximaciones).

Dado que una de las herramientas más difundidas en al práctica es Excel, y dado que Excel tiene una función que nos permite obtener aproximaciones numéricas, entraremos más a detalle en la solución de este tipo de problemas mediante este método.

1.3.7.2.1 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Para algunos problemas, una manera eficiente de encontrar la solución es, con frecuencia, mediante el uso de métodos numéricos y, en particular, mediante un conjunto de métodos conocidos como métodos iterativos o de aproximaciones sucesivas.

El método conocido como de “Newton-Raphson” es uno de estos métodos y es, muy probablemente, el método que se emplea en la función “Buscar objetivo” de Excel. En nuestro contexto, tenemos un polinomio de orden $t$ en función de $i$ (la ecuación de valor) para el cual queremos encontrar la solución:

\[f(i) = 0\]

Supongamos que $i+h$ es la solución a la ecuación. Si consideramos la expansión de la serie de Taylor de $f(i)$ entonces:

\[0 = f(i+h) = f(i) + f'(i)(i + h - i) + O(h^2) \approx f(i) + f'(i)(i + h - i) \Rightarrow\]

\[0 \approx f(i) + h \cdot f'(i) \Rightarrow\]

\[h \approx -\frac{f(i)}{f'(i)}\]

Entonces, la idea general consiste en partir de un valor aleatorio⁴ inicial de $i$, $i_0$, e ir sucesivamente actualizando el valor $i_j$ con el valor obtenido para $h$ hasta obtener un valor aceptable de precisión. En otras palabras:

Seleccionar $i_0$
Seleccionar $\epsilon$, el error (que define el nivel deseado de precisión).
$e = f(i_0)$
$j = 0$
Mientras $|e| > \epsilon$:

$j = j + 1$
$i_{j} = i_{j-1} - \frac{f(i_{j-1})}{f'(i_{j-1})}$
$e = f(i_{j+1})$

Y, ¿cómo obtiene el algoritmo $f'(i)$?

1.3.7.3 EJEMPLOS

Una persona tiene una obligación de pagar un préstamo de $10,000 dentro de 5 años considerando un interés del 5% anual convertible semestralmente y otro de $5,000 dentro de 8 años con interés del 3% efectivo anual. Si desea hacer un solo pago dentro de 6 años, efectuando la operación al 5% efectivo anual, determina el monto del pago. Considera interés compuesto.

Solución

Nos ofrecen dos esquemas de recompensa: en el esquema A ofrecen pagarnos hoy un monto $$P$. En el esquema B ofrecen pagarnos $100 dentro de veintiséis años y semestralmente el 8.0% de interés. Encuentra $$P$ para que sean equivalentes si se usa una tasa nominal anual convertible semestralmente igual a 7.78% para calcular el valor presente de los flujos.

Solución

¿A qué tasa de interés el valor presente de $2,000 al final de 2 años y $3,000 al final de 4 años serán iguales a $4,000?

Solución

¿A qué tasa de interés convertible semestralmente una inversión de $1,000 el día de hoy y $2,000 dentro de 3 años se acumularán a $5,000 dentro de 10 años?

Solucion

1.4 ANUALIDADES

Una anualidad es una serie de flujos de efectivo con pagos periódicos, generalmente iguales o cuyos pagos subsecuentes mantienen cierta relación, que se efectúan durante la existencia de una situación determinada.

Por ejemplo, un bono gubernamental es una especie de anualidad. ¿Qué otras operaciones o instrumentos financieros consideras que se pueden estudiar como una anualidad?

Hay diferentes tipos de anualidades y las clasificamos en atención a las características de los pagos que estas realizan:

Cierta o contingente: cierta cuando el número, monto y momento de los pagos está determinado desde el inicio de la anualidad; contingente, cuando el número, monto o momento de los pagos dependen de la ocurrencia (incierta) de algún suceso.

De entrada, en este curso, ya lo habíamos dicho, supones la ausencia del riesgo o incertidumbre. Por lo tanto, sólo estudiaremos anualidades ciertas.

Constante o variable: constante, cuando los montos de los flujos de la anualidad son iguales; variable, cuando son diferentes entre sí.
- Ordinaria: una anualidad constante cuyos pagos anuales suman 1.
Temporal o perpetuidad: temporal, si el número de pagos es finito; perpetuidad, si son infinitos.
Inmediata o diferida: inmediata, cuando el primer pago se realiza durante el primer periodo; diferida, si el primer pago se realiza en el periodo $m + 1$.
Anticipada (due, en inglés) o vencida (immediate): anticipada, cuando los pagos se realizan al principio del periodo; vencida, si se realizan al final de cada periodo.

Un bono, por ejemplo, lo podríamos describir como una anualidad, cierta, variable (si sólo consideramos los intereses, entonces es constante), temporal, inmediata y vencida.

Introducimos aquí, la mundialmente famosa notación actuarial:

Denotamos por $a$ al valor presente de los pagos de la anualidad.
Denotamos por $s$ al monto o valor acumulado de la anualidad al final del último periodo.
Usamos la misma notación que introdujimos para tasas nominales para identificar el número de pagos en un periodo:
- $a^{(m)}$ , $s^{(m)}$
La duración (periodos), $n$, la señalamos dentro de un sub-índice enmarcado en un ángulo:
- $a_{\overline{n|}}^{(m)}$, $s_{\overline{n|}}^{(m)}$
El número de periodos que se difieren los pagos, $h$:
- ${}_{h|}a_{\overline{n|}}^{(m)}$, ${}_{h|}s_{\overline{n|}}^{(m)}$
Finalmente, si la anualidad es anticipada, le agregamos unos “¨”:
- ${}_{h|}\ddot{a}_{\overline{n|i}}^{(m)}$, ${}_{h|}\ddot{s}_{\overline{n|}}^{(m)}$
Como la notación no tiene suficientes elementos, nos cabe todavía poner, si queremos, la tasa de interés:
- ${}_{h|}\ddot{a}_{\overline{n|}i}^{(m)}$, ${}_{h|}\ddot{s}_{\overline{n|}i}^{(m)}$

Observemos que ahora, se nos van a plantear problemas en los que se busca encontrar alguna de las siguientes cantidades:

El valor de la anualidad ($a$ o $s$);
El valor de los pagos periódicos;
El plazo de la anualidad;
El tiempo $t$ en el que se cumple alguna condición;
El periodo de los pagos;
La tasa de interés.

1.4.1 ANUALIDADES ORDINARIAS

Llamamos anualidad ordinaria a una anualidad cuyos pagos, iguales a $1, se realizan en $n$ periodos iguales. El valor presente⁵ de estos pagos es, entonces, para una anualidad vencida:

\[a_{\overline{n|}i}^{(1)} = a_{\overline{n|}}\]

\[a_{\overline{n|}} = \frac{1}{(1 + i)} + \frac{1}{(1 + i)^2} + \cdots + \frac{1}{(1 + i)^n} =\]

\[\sum\limits_{s=1}^{n} v^s = \frac{1}{1 - v} - \frac{v^{n+1}}{1 - v} - 1 =\]

\[\frac{1 - v^{n + 1} - 1 + v}{1 - v} = \frac{v - v^{n + 1}}{1 - v} =\]

\[v\frac{1 - v^{n}}{1 - v} = \frac{1 - v^{n}}{\frac{1 - v}{v}} =\]

\[\frac{1 - v^{n}}{\frac{1 - \frac{1}{1+i}}{\frac{1}{1+i}}} = \frac{1 - v^{n}}{i}\]

Podemos obtener entonces también el valor presente de una anualidad ordinaria inmediata anticipada:

\[\ddot{a}_{\overline{n|}} = \sum\limits_{j = 0}^{n-1} v^j = (1+i) \sum\limits_{j = 1}^{n} v^j = (1 + i) a_{\overline{n|}} =\]

\[\frac{1 - v^{n}}{\frac{i}{1 + i}} = \frac{1 - v^{n}}{d}\]

Observa que otra equivalencia útil es $\ddot{a}_{\overline{n|}} = (1 + i) \cdot a_{\overline{n|}} = 1 + a_{\overline{n-1|}}$. Esta equivalencia será útil cuando veamos esquemas de amortización para la construcción de tablas de amortización.

Si la anualidad se difiere $h$ periodos:

\[{}_{h|}\ddot{a}_{\overline{n|}} = v^h\ddot{a}_{\overline{n|}}\]

\[{}_{h|}a_{\overline{n|}} = v^h a_{\overline{n|}} = v^{h + 1} \ddot{a}_{\overline{n|}}\]

Desde luego, podemos obtener también el monto acumulado al final del plazo de la anualidad como el valor futuro de los flujos:

\[s_{\bar{n|}} = (1 + i)^n a_{\bar{n|}}\]

De esta última relación puede obtenerse una relación muy importante:

\[s_{\overline{n}|} = \frac{(1+i)^n - 1}{i} \Rightarrow\]

\[\frac{1}{s_{\overline{n}|}} = \frac{i}{(1+i)^n - 1} \Rightarrow\]

\[\frac{1}{s_{\overline{n}|}} + i = \frac{i}{(1+i)^n - 1} + i \Rightarrow\]

\[\frac{1}{s_{\overline{n}|}} + i = \frac{i + i(1+i)^n - i}{(1+i)^n - 1} \Rightarrow\]

\[\frac{1}{s_{\overline{n}|}} + i = \frac{i}{1 - \frac{1}{(1+i)^n}} \Rightarrow\]

\[\frac{1}{s_{\overline{n}|}} + i = \frac{i}{1 - v^n} \Rightarrow\]

\[\frac{1}{s_{\overline{n}|}} + i = \frac{1}{a_{\overline{n}|}} \Rightarrow\]

\[\frac{1}{s_{\bar{n|}}} = \frac{1}{a_{\bar{n|}}} - i\]

Esta equivalencia es particularmente útil recordarla cuando veamos el tema de Fondos de amortización.

¿Cuál es el monto al final del periodo de una anualidad diferida h periodos?

¿Qué sucede si los pagos no son iguales a $1?

¿Cómo obtenemos el valor de una anualidad en cualquier punto en el tiempo?

En general, el valor de una anualidad en cualquier fecha corresponde a la suma del valor acumulado o descontado a la fecha de referencia de cada uno de los flujos en lo individual.

En este curso, salvo que se especifique lo contrario, asumiremos que nos interesa conocer el valor de todos los pagos, no solamente de los pagos restantes o de los ya realizados.

1.4.1.1 ACOMODANDO LOS FLUJOS DE EFECTIVO EN EL TIEMPO

Dado que las anualidades consisten en pagos periódicos y relacionados en el tiempo (al menos las que veremos en este curso), vale la pena hacer la relación o equivalencia que existe entre anualidades con diferente temporalidad.

En particular notemos que el valor presente de una serie de $n$ pagos vencidos de $1

\[a_{\overline{n}|}\]

la podemos “descomponer” en dos series de pagos, una de $t$ y otra de $k$ pagos, donde $t+k = n$:

\[a_{\overline{n}|} = a_{\overline{t}|} + v^t \cdot a_{\overline{k}|} = a_{\overline{t}|} + {}_{t|}a_{\overline{k}|}\]

Recordar esta propiedad nos permite “acomodar” los flujos de efectivo de cualquier esquema de pagos, de manera que podamos plantear su valuación en términos de anualidades más sencillas.

Esta propiedad es sumamente útil.

1.4.1.2 PERIODOS DE TIEMPO NO ENTEROS

En algunas ocasiones, puede surgir la necesidad de evaluar el valor presente (o futuro) de una anualidad para un valor no entero de $n$. Más específicamente, la situación que queremos valorar es aquella en la que el plazo $n$ de la anualidad ocurre entre dos periodos de pago⁶. En este caso, es importante hacer notar que las fórmulas que derivamos para el valor de las anualidades no aplican puesto que supusimos un valor entero de $n$ para poder hacer la expansión de la serie geométrica.

Sin embargo, veamos qué sucede si evaluamos alguna de esas fórmulas en un valor no entero de $n$. Tomemos $a_{\overline{n}|}$:

\[\frac{1-v^n}{i} = \frac{1-v^{m+k}}{i}\]

donde $m$ es un entero y $0 < k < 1$.

Entonces:

\[\frac{1-v^{m+k}}{i} = \frac{1-v^m+v^m-v^{m+k}}{i} = \frac{1-v^m}{i} + \frac{v^m-v^{m+k}}{i} = a_{\overline{m}|} + v^{m+k} \frac{(1+i)^{k} - 1}{i}\]

Habiéndolo observado desde esta perspectiva, podemos ahora intentar de interpretarlo verbalmente: los primeros $m$ pagos de esta anualidad son traídos a valor presente con una anualidad ordinaria. Sin embargo, para el último pago, necesitamos determinar cuál es la cantidad “justa” a pagar. La cantidad a pagar sería entonces la correspondiente a la parte proporcional de los intereses acumulados por el tiempo transcurrido (esto lo podemos ver como la parte que nos corresponde de una inversión realizada al tiempo $m$ que otorga $1 al tiempo $m+1$, ¿sobre qué fracción del $1 tenemos derechos al tiempo $m+k$?). A esta cantidad, entonces, la tenemos que traer a valor presente $m+k$ unidades de tiempo.

Observemos ahora que, si utilizamos la expansión de la serie de Taylor (de segundo orden) al rededor del 0 si:

\[f(i) = (1+i)^k \Rightarrow\]

\[f'(i) = k(1+i)^{k-1}\]

\[f(i) = (1+i)^k \approx f(0) + f'(0)(i - 0) =\]

\[(1+0)^k + k(1+0)^{k-1}(i) = 1 + ki\]

entonces:

\[a_{\overline{n}|} \approx a_{\overline{m}|} + v^{m+k} \frac{1 + ki - 1}{i} = a_{\overline{m}|} + v^{m+k} k\]

1.4.1.3 PROBLEMAS CON NÚMERO DE PAGOS DESCONOCIDO

El número de pagos de una anualidad (equivalente al plazo de la anualidad), ya hemos dicho que es una de las cantidades básicas de interés y, por lo tanto, puede ser la incógnita para la cual nos pidan resolver un problema de anualidades. Cuando esto sucede, es probable que la respuesta no sea un número entero.

¿Qué significa esto? Que nos encontramos en la situación descrita en la sección anterior: tenemos una anualidad que hace $m$ pagos regulares y un pago irregular en $m+k$. Podemos, con el procedimiento descrito anteriormente, no solamente entonces encontrar el plazo de la anualidad sino también el monto correspondiente al último pago (irregular).

1.4.1.4 PROBLEMAS CON TASA DE INTERÉS DESCONOCIDA

Ya en temas anteriores habíamos observado que resolver para una tasa de interés desconocida, cuando en la estructura del problema se involucra a más de dos pagos, no es un problema fácilmente resuelto en forma algebraica. Por lo tanto, con frecuencia necesitaremos recurrir a alguna solución numérica (Newton-Raphson, por ejemplo) o alguna aproximación a la solución.

En el caso de la solución para anualidades, es relevante señalar que existe una aproximación al punto de inicio para los métodos iterativos que puede evitar caer en soluciones triviales o que puede reducir los tiempos de iteración significativamente (Kellison 1991). Para encontrar la solución vamos a partir del valor de una anualidad ordinaria:

\[a_{\overline{n}|i} = k\]

Podemos observar, primero, que:

\[\frac{a_{\overline{n}|i}}{n} = \frac{v^1 + v^2 + \dots + v^n}{n} = \frac{k}{n}\]

Por otra parte, sabemos también que:

\[\left( \prod\limits_{j=1}^n v^j \right)^{\frac{1}{n}} = v^{\frac{1 + 2 + \dots + n}{n}} = v^{\frac{n \cdot (n+1)}{2n}} = v^{\frac{n+1}{2}}\]

También sabemos que, para los enteros positivos, la media aritmética es mayor que la media geométrica, porlo que:

\[\frac{k}{n} > v^{\frac{n+1}{2}} \Rightarrow \left( \frac{k}{2} \right)^2 > v^{n+1} \approx v^n \Rightarrow\]

\[k = a_{\overline{n|}i} = \frac{1 - v^n}{i} \approx \frac{1 - \left( \frac{k}{n} \right)^2}{i} \Rightarrow\]

\[i \approx \frac{1 - \left( \frac{k}{n} \right)^2}{k}\]

1.4.1.5 EJEMPLOS

Encuentra el valor presente de una anualidad que paga $500 al final de cada semestre por 20 años si la tasa de interés es del 9% convertible semestralmente.

Solución

Demuestra que $(1+i)^m \cdot s_{\overline{n}|} = s_{\overline{m+n}|} - s_{\overline{m}|}$

Gráficamente
Algebraicamente

Solución

A una tasa efectiva de interés $i$ se sabe que: (i) el valor presente de 2 al final de cada año por $2n$ años más 1 al final de cada uno de los primeros $n$ años es 36; (ii) el valor presente de una anualidad vencida diferida por n años que paga 2 al año por n años es igual a 6. Encuentra $i$.

Solución

Una familia ha creado un fondo de ahorro para la educación de sus hijos. El fondo debe acumular un total de $100,000 al final de 20 años. Si depositan $5,000 al final de cada año por los próximos 10 años, ¿cuánto deben depositar anualmente durante los últimos 10 años si el fondo gana una tasa del 2% efectivo anual?

Solución

1.4.2 PERPETUIDADES

Ahora, existen casos en los que las anualidades no tienen un plazo de vencimiento. A este tipo de anualidades se les conoce como perpetuidades. Ya hemos visto ejemplos en este curso de instrumentos financieros que no tienen un plazo al vencimiento, es decir, que sus pagos se extienden indeterminadamente⁷, pero es posible imaginar diversas situaciones en las que esto puede suceder:

Instrumentos de deuda (bonos) a perpetuidad⁸;
Acciones preferentes;
Rentas sobre activos (p.e., inmuebles).

¿Qué otras situaciones se te ocurre que pueden describirse mediante una perpetuidad?

Si queremos, entonces, calcular el valor presente de una perpetuidad inmediata:

\[a_{\overline{\infty}|} = v + v^2 + \dots = \sum\limits_{j = 1}^{\infty} v^j =\]

\[v \cdot \sum\limits_{j = 0}^{\infty} v^j = v \cdot \frac{1}{1-v} =\]

\[\frac{\frac{1}{1+i}}{\frac{i}{1+i}} = \frac{1}{i}\]

¿Cuál sería entonces el valor presente de una perpetuidad anticipada?

¿Cuál es valor presente entonces de una perpetuidad vencida, diferida m años ($_{m|}a_{\overline{\infty}|}$)? ¿De una perpetuidad anticipada, diferida m años ($_{m|}\ddot{a}_{\overline{\infty}|}$)?

¿Cuál sería el valor acumulado de una perpetuidad?

¿Cómo podemos “re-acomodar” los flujos de dos perpetuidades para, por ejemplo, calcular el valor presente de una anualidad básica temporal?

1.4.2.1 EJEMPLOS

Reemplazar una serie de pagos de $2,000 al final de cada año por el equivalente en pagos mensuales al final de cada mes suponiendo un interés del 6% anual convertible mensualmente.

Solución

Se van a invertir $1,000,000 en el banco a una tasa de interés nominal anual convertible mensualmente del 12% con el objetivo de que pasado un tiempo se empiecen a retirar mensualmente de forma vencida $15,000 de por vida, ¿cuál debe ser el periodo de diferimento?

Solución

Una persona comenzará a hacer aportaciones mensuales a su fondo de pensiones en forma mensual al final de cada mes:

Si su objetivo es retirarse dentro de 42 años, ¿de cuánto tienen que ser sus aportaciones mensuales si quiere obtener una pensión de $15,000 mensuales por 20 años? Considera una tasa efectiva anual del 10%.
¿De cuánto tendrían que ser sus aportaciones si quiere recibir su pensión a perpetuidad?
Suponiendo que se espera que las tasas que se obtengan son diferentes para el periodo de jubilación que para el periodo de ahorro, y que la tasa del periodo de ahorro permanece igual al 10% efectivo anual. ¿Cuál tendría que ser la tasa durante el periodo de jubilación para que su pensión vitalicia sea de $17,500 mensuales?

Solución

1.4.3 ANUALIDADES FRACCIONADAS (CONVERTIBLES)

Veamos ahora el caso en el que la anualidad no paga $1 en el periodo de referencia, sino que paga $\frac{1}{m}$ cada $\frac{1}{m}$-ésimo del periodo. Si suponemos que se paga una tasa efectiva durante el periodo igual a $i$, entonces:

\[a_{\overline{n}|}^{(m)} = v^{\frac{1}{m}}\frac{1}{m} + v^{\frac{2}{m}}\frac{1}{m} + \dots + v^{\frac{m*n}{m}}\frac{1}{m} =\]

\[\frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m*n} v^{\frac{i}{m}} = \frac{1}{m} v^{\frac{1}{m}} \sum\limits_{i=0}^{m*n - 1} v^{\frac{i}{m}} =\]

\[\frac{1}{m} v^{\frac{1}{m}} \frac{1 - v^n}{1 - v^{\frac{1}{m}}} = \frac{1 - v^n}{m*[(1+i)^m - 1]}\]

pero $m [(1+i)^m - 1] = i^{(m)}$, entonces

\[\frac{1}{m} v^{\frac{1}{m}} \frac{1 - v^n}{1 - v^{\frac{1}{m}}} = \frac{1 - v^n}{i^{(m)}}\]

Pero ahora observemos que:

\[a_{\overline{n}|}^{(m)} = \frac{1 - v^n}{i^{(m)}} = \frac{i}{i^{(m)}} \frac{1 - v^n}{i^{(m)}} = \frac{i}{i^{(m)}} a_{\overline{n}|}\]

1.4.4 ANUALIDADES CON TASA DE INTERÉS VARIABLE

¿Qué sucede si relajamos el supuesto que hemos estado utilizando de que la tasa de interés está fija para todo el plazo de la anualidad? Es decir, ahora tenemos una tasa de interés variable. Esto es, tenemos $i_1 \neq i_2 \neq \dots \neq i_n$.

En los problemas que se nos plantean típicamente vamos a encontrar dos tipos de situaciones:

La tasa efectiva de interés del periodo $k$, $i_k$, siempre aplica para el periodo $k$, independientemente del flujo que se esté valuando (conocido como el método de portafolio o de tasas forward), por lo tanto:

\[a_{\overline{n}|} = (1+i_1)^{-1} + (1+i_1)^{-1}(1+i_2)^{-1} + \dots + (1+i_1)^{-1}\dots(1+i_n)^{-1} =\]

\[\sum\limits_{t = 1}^{n}\prod\limits_{s = 1}^{t}(1+i_s)^{-1}\]

La tasa efectiva de interés del periodo $k$ aplica para el pago hecho durante el periodo $k$, para valuar todos sus $k$ periodos (conocido como el método de la curva de rendimientos o de tasas spot), es decir:

\[a_{\overline{n}|} = (1+i_1)^{-1} + (1+i_2)^{-2} + \dots + (1+i_n)^{-n} =\]

\[\sum\limits_{t = 1}^{n}(1+i_t)^{-t}\]

En cualquier caso, para estos problemas, no existirá ya una solución por fórmula y tenemos que plantear el esquema de flujos y seleccionar las tasas que corresponden para descontar cada flujo según sea el caso.

1.4.4.1 EJEMPLOS

Se te dan los siguientes datos: i) $X$ es el valor en t = 2 de una anualidad a 20 años, anticipada, que paga $1 por año, ii) la tasa efectiva de interés anual del año $t$ es igual a $\frac{1}{8 + t}$. Encuentra $X$. Expresa tu respuesta en una sumatoria como función de $t$.

Solución

Una anualidad inmediata vencida paga $600 mensuales por un periodo de 4 años. La tasa de interés del año 1 es del 8% nominal anual convertible mensualmente. En el segundo año, la tasa es del 5% nominal anual convertible mensualmente. En el tercer año, la tasa es del 7.55% nominal anual convertible mensualmente. En el último año, la tasa es del 12% nominal anual convertible mensualmente. Las tasas aplican durante el año respectivo para todos los pagos. ¿Cuál es el valor presente de esta anualidad?

Solución

Pablo deposita $10,000 al final de cada año por 20 años en un fondo que da una tasa de interés efectiva anual de 7%. María realiza depósitos al final de cada año por 20 años. Los primeros 10 depósitos son $10,000 cada uno, y los últimos 10 depósitos son de $10,000 + X cada uno. El fondo de María paga una tasa de interés efectiva anual de 8% durante los primeros 10 años y 6% de interés efectivo anual en los siguientes 10 años. Al final de 20 años, el monto acumulado en el fondo de Pablo y María son iguales. Calcula X.

Solución

1.4.5 ANUALIDADES CONTINUAS

Una anualidad continua ordinaria se dice de aquella que paga $1 en un periodo en forma continua.

La notación:

\[{}_{h|}\overline{a}_{\overline{n}|};{}_{h|}\overline{s}_{\overline{n}|}\]

Para calcular el valor presente de estas anualidades, lo más sencillo es verlas como el límite, cuando $m \rightarrow \infty$ de una anualidad m-fraccionada:

\[\overline{a}_{\overline{n}|} = \lim\limits_{m \rightarrow \infty} a_{\overline{n}|}^{(m)} = \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{1 - v^n}{i^{(m)}}\]

Sabemos que:

\[i^{(m)} = m[(1+i)^{1/m} - 1] \Rightarrow\]

\[\lim\limits_{m \rightarrow \infty} i^{(m)} = \lim\limits_{m \rightarrow \infty} m[(1+i)^{1/m} - 1] = \lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{(1+i)^{1/m} - 1}{\frac{1}{m}} =\]

\[\lim\limits_{m \rightarrow \infty} \frac{(1+i)^{1/m} \cdot (-m^{-2}) \cdot ln(1+i)}{-m^{-2}} = \lim\limits_{m \rightarrow \infty} (1+i)^{1/m} \cdot ln(1+i) = ln(1+i) = \delta \Rightarrow\]

\[\overline{a}_{\overline{n}|} = \frac{1 - v^n}{\delta}\]

Otra manera de ver esto mismo, desde luego, es directamente como el valor presente de $1 anual pagado en forma continua:

\[\overline{a}_{\overline{n}|} = \int\limits_{0}^n v^tdt = \int\limits_{0}^n e^{-\delta t}dt = -\frac{1}{\delta} \left. (e^{-\delta t}) \right|_0^n =\]

\[\frac{1}{\delta} (1 - e^{-\delta n})\]

1.4.5.1 FUERZA DE INTERÉS VARIABLE

Desde luego, la fuerza de interés también puede ser variable, es decir, que es una función del tiempo $\delta(s)$. En ese caso lo que tenemos es:

\[\overline{a}_{\overline{n}|} = \int\limits_{0}^n e^{-\int\limits_0^{t} \delta(s) ds}dt\]

1.4.5.2 EJEMPLOS

Determina el valor presente de una anualidad continua a tasa de $1 mensual por 4 años a la tasa de interés anual instantánea de $\delta(s) = \frac{0.05}{1+0.05s}$.

Solución

Respuesta :

\[\overline{a}_{\overline{4}|} = \int\limits_0^4 12 e^{-\int\limits_0^t \frac{0.05}{1+0.05s}ds} dt = 12 \int\limits_0^4 e^{-ln(1+0.05s)} dt =\]

\[12 \int\limits_0^4 \frac{1}{1 + 0.05t}dt = 240 \cdot [ln(1.2)] = 43.7572\]

Regresar

Se ingresa dinero en un fondo en forma continua durante 20 años a una tasa de $1 anual durante los primeros 10 años y de $2 durante los siguientes 10 años. El fondo proporciona una tasa de interés efectiva del 5% anual. Al final de los 20 años el fondo se usa para comprar una anualidad anticipada temporal a 10 años. Hallar cuál es el pago anual que hace la anualidad si se considera, para el cálculo del valor presente de la anualidad una tasa de interés del 4% efectiva anual.

Solución

Respuesta :

\[i = 0.05 \Rightarrow\]

\[\int\limits_0^{10}(1.05)^t dt + \int\limits_{0}^{20}(1.05)^t dt = P \cdot \ddot{a}_{\overline{10}|0.04} \Rightarrow\]

\[P = \frac{\int\limits_0^{10}(1.05)^t dt + 2 \int\limits_{10}^{20}(1.05)^t dt}{\ddot{a}_{\overline{10}|0.04}}\]

\[\ddot{a}_{\overline{10}|0.04} = \left. \frac{1-v^{10}}{d} \right|_{i=0.04} =\]

\[= 8.4353\]

\[\int\limits_0^{10}(1.05)^t dt = \left. \frac{1}{ln(1.05)} \cdot 1.05^t \right|_{0}^{10} = \frac{1}{ln(1.05)} \left[ 1.05^{10} - 1 \right] =\]

\[= 12.8898\]

\[\int\limits_{0}^{20}(1.05)^t dt = \left. \frac{1}{ln(1.05)} \cdot 1.05^t \right|_{0}^{20} = \frac{1}{ln(1.05)} \left[ 1.05^{20} - 1.05^{0} \right] =\]

\[= 33.8859\]

\[\Rightarrow P = 5.5452\]

Regresar

1.4.6 ANUALIDADES VARIABLES

Una última modificación a las características de las anualidades que hemos estado revisando es el pago. Hasta ahora, hemos estado asumiendo que el monto de los pagos es constante, ahora haremos que los pagos varíen en el tiempo.

En términos generales, el principio no cambiará, es decir, para calcular el valor presente de una anualidad vencida temporal de plazo $n$ con pagos $C_t$ al tiempo $t$ no hay que hacer otra cosa que calcular el valor presente de dichos pagos:

\[VP = \sum\limits_{t = 1}^{n} C_t \cdot v^t\]

Desde luego, nos interesan principalmente aquellos casos en los que los pagos varía en función de alguna “regla”. De estas reglas o modos de variación de los pagos, estudiaremos dos principales:

pagos con progresión aritmética
pagos con progresión geométrica
pagos con variación continua

1.4.6.1 PAGOS CON PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Recordemos la forma que toma una progresión aritmética:

\[C +(C+R) + (C + 2R) + \dots = \sum_{i = 0}^{\infty} (C +iR)\]

Si hablamos entonces de una anualidad temporal vencida cuyos pagos se realizan bajo una progresión aritmética, entonces tenemos que el valor presente se calcularía como:

\[VP = \sum_{t = 1}^{n} [C + (t - 1)R] v^t\]

donde $C$ es el monto con el que se inician los pagos y $R$ es el monto del incremento en cada periodo.

Para simplificar esta expresión podemos notar que:

\[iVP = (1+i)VP - VP\]

\[= C + Rv + Rv^2 + Rv^3 + \dots + Rv^{n-1} - Cv^n - (n-1)Rv^n\]

\[= C + Rv + Rv^2 + Rv^3 + \dots + Rv^{n-1} - Cv^n - (n-1)Rv^n - Rv^n + R^vn\]

\[= Ra_{\overline{n}|} - nRv^n + C(1 - v^n)\]

\[= R(a_{\overline{n}|} - nv^n) + iCa_{\overline{n}|} \Rightarrow\]

\[VP = \frac{R(a_{\overline{n}|} - nv^n) + iCa_{\overline{n}|}}{i}\]

\[= Ca_{\overline{n}|} + R\frac{a_{\overline{n}|} - nv^n}{i}\]

Desde luego, podemos calcular también el valor futuro como:

\[VF = Cs_{\overline{n}|} + R\frac{s_{\overline{n}|} - n}{i}\]

Finalmente, si consideramos el caso “ordinario” en el que $C=R=1$ entonces usamos la notación:

\[(Ia)_{\overline{n}|}\]

Y nos referimos a esta como una anualidad ordinaria creciente. Se antepone una D para indicar una anualidad ordinaria decreciente, en el caso de que $R = -1$.

[Falta explicar a mayor detalle porque la anualidad decreciente tiene que comenzar con C > 1.]

1.4.6.1.1 PERPETUIDAD CON PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Podemos seguir un procedimiento análogo al desarrollado anteriormente pero ahora para una perpetuidad:

\[VP = Cv + (C+R)v^2 + (C+2R)v^3 + \dots\]

\[(1+i)VP= C + (C+R)v + (C+2R)v^2 + \dots\]

\[(1+i)VP - VP = C + Rv + Rv^2 + Rv^3 \dots\]

\[iVP = C + R \sum_{t= 1}^{\infty}v^t\]

\[VP = \frac{C + R a_{\overline{\infty}|}}{i}\]

\[VP = \frac{C}{i} + \frac{R}{i^2}.\]

1.4.6.2 PAGOS CON PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Si consideramos ahora la serie geométrica:

\[C + CR + CR^2 + \dots = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} CR^i\]

Nuevamente, entonces, el valor presente de una anualidad con esta estructura de pagos será (si $R \neq 1+i$):

\[VP = \sum\limits_{t = 1}^{n} CR^{t-1}v^t\]

\[= Cv\sum\limits_{t = 1}^{n} R^{t-1}v^{t-1}\]

\[= Cv \cdot \frac{1 - (Rv)^n}{1 - Rv}\]

\[= Cv \cdot \frac{1 - (Rv)^n}{1 - \frac{R}{1+i}}\]

\[= Cv \cdot (1 + i) \cdot \frac{1 - (Rv)^n}{1 + i - R}\]

\[= C \cdot \frac{1 - (Rv)^n}{1 + i - R}\]

Al igual que para el caso de la progresión aritmética, podemos definir el caso “ordinario” de pagos bajo progresión geométrica como aquél en el que $C = 1$ y le anteponemos una V:

\[(Va)_{\overline{n}|}\]

¿Por qué no restringimos también $R = 1$?

¿Se puede calcular el valor presente de una perpetuidad creciente geométricamente?

1.4.6.3 ANUALIDADES VARIABLES CON PAGOS EN FORMA CONTINUA

La forma más general de anualidad variable es aquella en la que los pagos varían en forma continua y cuya variación está descrita mediante una función (generalmente del tiempo). De esta manera, si el pago en el instante $t$ puede ser descrito como $f(t)dt$, entonces, el valor presente de una anualidad cuyos pagos son descritos mediante esa diferencial se puede calcular como:

\[\int\limits_{0}^{n} f(t) e^{-\int\limits_{0}^{t} \delta(s)ds}dt.\]

En particular, cuando $f(t) = t$ tenemos entonces que el valor presente es igual a:

\[\int\limits_{0}^{n} f(t) e^{-\int\limits_{0}^{t} \delta(s)ds}dt = \int\limits_{0}^{n} t \cdot e^{-\int\limits_{0}^{t} \delta(s)ds}dt = \left( \overline{I} \overline{a} \right)_{\overline{n}|\delta(s)}\]

1.4.6.4 EJEMPLOS

Un préstamo a 30 años con una tasa de interés efectiva anual de 5% se pagará de la siguiente manera: $10,000 al final del segundo año; $20,000 al final del cuarto; $30,000 al final del sexto, y así, sucesivamente, hasta $150,000 al final del año 30. ¿Cuál fue el monto original del préstamo?

Solución

Una deuda se pagará mediante pagos mensuales vencidos durante 5 años. El primer pago es de $1,000 y los siguientes pagos decrecen 2% cada mes. Considerando una tasa de interés anual convertible mensualmente del 12%. Calcula el valor original de la deuda.

Solución

Evaluar $(\overline{I}\overline{a})_{\overline{\infty}|}$ si $\delta = 0.08$.

Solución

1.5 AMORTIZACIÓN

Vamos a considerar ahora una variante de los problemas que hemos estado estudiando. Nos vamos a plantear el problema de calcular los pagos que es necesario realizar para liquidar un préstamo.

Para ello, si bien es posible idear diferentes patrones de pagos que logren el propósito fijado⁹, nosotros nos enfocaremos en sólo dos de estos posibles métodos de pago (y como en otros casos, nos interesará determinar su equivalencia):

Método de esquemas de amortización: el prestatario acepta realizar el pago de cantidades fijas cada periodo. La idea entonces es que el valor presente de dichos pagos sea igual al monto del préstamo.

¿En qué consiste entoces el método de esquemas de amortización? ¿Qué “instrumento” estamos utilizando para pagar el préstamo?

Método de fondos de amortización: el prestatario acepta pagar al prestamista durante cada periodo únicamente los intereses del préstamo y el principal en un solo pago al final del plazo del préstamo. Se asume en este método que para poder realizar el pago único al final del plazo, el prestamista acumula dinero en un fondo, al que se le llama fondo de amortización.

En cualquier caso, las tres principales preguntas que vamos a buscar responder respecto del préstamos son:

¿Cuál es el monto que se tiene que pagar en cada periodo (dada la tasa de interés del préstamo y el plazo) para que se liquide el préstamo?
¿Cómo puedo determinar el saldo insoluto del préstamo en cualquier momento en el tiempo?
¿Cómo puedo dividir los pagos del préstamo en pago de capital y pago de intereses?

1.5.1 ESQUEMAS DE AMORTIZACIÓN

1.5.1.1 DETERMINACIÓN DEL MONTO DE LOS PAGOS

Como ya se mencionó, en el método de esquemas de amortización el prestatario acepta realizar el pago de cantidades fijas cada periodo y, por lo tanto, el valor presente de dichos pagos es igual al monto del préstamo. El prestatario entonces está amortizando el crédito mediante una anualidad. Por lo tanto:

\[L = R \cdot a_{\overline{n}|}\]

$R$ es, desde luego, el monto a pagar periódicamente por el prestatario, mientras que $L$ es el monto del préstamo al inicio, por lo tanto:

\[R = \frac{L}{a_{\overline{n}|}}\]

1.5.1.2 DETERMINACIÓN DEL SALDO INSOLUTO

Para determinar el saldo insoluto podemos usar dos métodos (equivalentes):

Prospectivo: calculando el valor presente de los pagos restantes.
Retrospectivo: calculando el valor futuro (acumulado) del crédito menos el valor futuro (acumulado) de los pagos realizados.

Denotamos el saldo insoluto al tiempo $t$ como $B_t$ y se agrega el súper-índice $r$ para el saldo insoluto determinado utilizando el método retrospectivo; $p$, para el determinado utilizando el método prospectivo.

Para determinar el valor del saldo insoluto, primero reflexionaremos sobre cuál es valor del dinero prestado al tiempo $0 < t < n$:

\[L \cdot (1 + i)^t\]

Ahora, dividiremos el valor del préstamo en dos: los pagos realizados hasta el tiempo $t$ y los pagos faltantes. El valor del préstamo será entonces el valor acumulado de los pagos realizados más el valor presente de los pagos futuros:

\[L \cdot (1 + i)^t = R \cdot a_{\overline{n - t}|} + R \cdot s_{\overline{t}|} \Rightarrow\]

\[L \cdot (1 + i)^t - R \cdot s_{\overline{t}|} = R \cdot a_{\overline{n - t}|}\]

Si observamos la ecuación anterior, podemos observar que el lado izquierdo corresponde con la definición que proporcionamos del saldo insoluto bajo el método prospectivo y el lado derecho al del método retrospectivo. Es evidente también, entonces, la equivalencia entre ambos métodos:

\[B_{t}^p = B_{t}^p\]

1.5.1.3 DETERMINACIÓN DE INTERÉS Y AMORTIZACIÓN DEL CAPITAL

Ahora, recordaremos que en cada pago, el prestatario paga una parte del monto principal y a este monto se le agregan los intereses correspondientes al periodo. Queremos entonces determinar el monto de estas dos cantidades para cada tiempo $t$. Para ello, es necesario establecer una regla: el interés siempre es pagado antes de cualquier reducción en el capital principal. De esta manera, el interés es siempre calculado sobre el saldo insoluto al inicio del periodo.

Entonces:

\[R = B_{t - 1} \cdot i + P_t\]

Donde $P_t$ es el pago a capital del tiempo $t$.

Podemos entonces crear ya lo que se conoce como una tabla de amortización, que no es otra cosa que una tabla que nos muestra, para cada periodo, la progresión de los valores de las cantidades relevantes en el préstamo: el saldo insoluto, el pago de intereses y el pago de capital.

(Hacer ver a los alumnos que, habiendo entendido la mecánica del cálculo de la tabla de amortización, podemos fácilmente extender el ejercicio a productos más complejos. Por ejemplo, Brueggeman and Fisher 2008 hace notar en el capítulo 4 que los GPM no son más que amortizaciones que hacen uso de anualidades crecientes geométricamente (aunque no lo diga de esa manera).)

1.5.1.4 EJEMPLOS

Banco de México (2022)

1.5.2 FONDOS DE AMORTIZACIÓN

Ya decíamos que un método alternativo para la amortización de una deuda puede consistir en pagar periódicamente sólo los intereses del crédito y liquidar todo el principal en un solo pago al final de un plazo especificado. En este caso, al deudor puede hacerle sentido acumular los fondos para el pago en un fondo que, idealmente, debería ser suficiente para pagar el préstamo. A dichos fondos son a lo que llamaremos fondos de amortización.

Desde luego, asumiendo que i) los pagos son realizados mediante alguna regla o patrón regular, y ii) la tasa de interés pagada por el fondo de amortización es la misma que la tasa de interés cobrada en el préstamo, entonces el método de fondos de amortización y el método de esquemas de amortización serán equivalentes.

Si $a_{\overline{n}|}$ corresponde al valor de un préstamo que será pagado mediante un esquema de amortización consistente en pagos de $1 durante $n$ años, entonces $(1+i)^n \cdot a_{\overline{n}|}$ corresponde al monto del préstamo más intereses al final de $n$ periodos, pero $(1+i)^n \cdot a_{\overline{n}|} = s_{\overline{n}|}$, por lo que los pagos de la anualidad también corresponderían a los depósitos en un fondo de amortización para liquidar el monto del préstamo más intereses al final de plazo del crédito.

Sin embargo, ¿qué sucede cuando las tasas de interés del crédito y del fondo de amortización difieren? Para este caso, denotaremos con $i$ a la tasa de interés del crédito y con $j$ a la tasa de interés del fondo (típicamente, $j \leq i$).

1.5.2.1 DETERMINACIÓN DEL MONTO DE LOS PAGOS II

Recordemos primero que el deudor realiza los pagos de los intereses periódicamente. De esto se desprende que el valor futuro de los pagos a realizar, al tiempo $n$ deberá ser igual monto del capital prestado $K$ más el valor futuro de una anualidad, vencida, temporal, a tasa $j$ cuyos pagos son iguales a los intereses generados por el capital prestado $iK$, entonces:

\[(P - i \cdot K) \cdot s_{\overline{n}|j} = K \Rightarrow\]

\[P = \frac{K}{s_{\overline{n}|j}} + i \cdot K = K \cdot \left( \frac{1}{a_{\overline{n}|j}} + i - j\right)\]

(la igualdad anterior hace uso de la equivalencia que obtuvimos cuando vimos anualidades básicas)

Por otra parte, sabemos también que se debe cumplir que:

\[P \cdot a_{\overline{n}|i \& j} = K \Rightarrow a_{\overline{n}|i \& j} = \frac{K}{P} = \frac{K}{K \cdot \left( \frac{1}{a_{\overline{n}|j}} + i - j\right)} =\]

\[\frac{1}{\left( \frac{1}{a_{\overline{n}|j}} + i - j\right)} = \frac{a_{\overline{n}|j}}{1 + (i - j)a_{\overline{n}|j}}\]

1.5.2.2 DETERMINACIÓN DEL INTERÉS Y AMORTIZACIÓN DEL CAPITAL

La determinación del interés y amortización del capital, en el caso de los fondos de amortización, son triviales, pues están dados desde el inicio. Sin embargo podemos también calcular una tabla de amortización para tener claridad sobre los montos de cada concepto en el tiempo. La tabla de amortización bajo un fondo de amortización se construye de manera muy similar a la que se construyó utilizando el esquema de amortización.

1.5.3 OTROS PATRONES DE AMORTIZACIÓN (OPCIONAL)

En los casos que se estudiaron en las secciones anteriores se plantea siempre que el saldo al finalizar el plazo del crédito sea igual a cero. Sin embargo, existen situaciones en las que los pagos del crédito es necesario estructurarlas para ajustarse a ciertas características específicas de la transacción. En estos casos, es posible considerar amortizaciones parciales, nulas o incluso negativas (Brueggeman and Fisher 2008).

Estos patrones (incluyendo, por ejemplo, “callable loans”) son utilizados principalmente en lo que se conoce como la estructuración de créditos. Brueggeman and Fisher (2008) describen este proceso de la siguiente manera: “un proceso de ajuste de los términos del crédito para calibrar los pagos, saldos, tasas de amortización, para alcanzar los resultados deseados. Dichos resultados usualmente incluyen pagos mensuales menores de lo que resultarían bajo una estructura completamente amortizable. Sin embargo, bien podría ser que se persiga otros objetivos, tales como un determinado saldo al vencimiento.”

Desde luego, no debería descartarse dentro de estos objetivos la implementación de estrategias comerciales.

Para quien tenga interés en otras formas que pueden adoptar créditos, particularmente dirigidos al sector inmobiliario (y sobre todo en el mercado norteamericano) los capítulos 4 y 5 de Brueggeman and Fisher (2008) pueden resultar una lectura interesante.

1.6 VALUACIÓN DE BONOS (EN AUSENCIA DE RIESGO)

Un bono es un título de deuda que realiza pagos periódicos de intereses (cupones¹⁰) en un determinado plazo (aunque en este curso ya hemos visto ejemplos de bonos a perpetuidad).

En México, los bonos más negociados son los bonos gubernamentales:

BONOS M
UDIBONOS
BONDES

Desde luego, están también los CETES, aunque estos caen en la clasificación de bonos cupón cero (pagaré), y su valuación se vuelve trivial.

El precio $P$ de un bono, lo podemos calcular, desde luego, como el valor presente de los flujos del bono. Si $F$ es el valor facial o nominal del bono, $n$ el plazo del bono, y $r$ es la tasa efectiva ofrecida por el bono, entonces:

\[P = F \cdot \frac{1}{(1+i)^n} + r \cdot F \cdot a_{\overline{n}|i}\]

Observemos que para calcular el valor presente de los flujos usamos la tasa $i$, y no la tasa $r$. A $i$ se le conoce como la tasa de rendimiento. Observemos también que la fórmula asume que el capital o principal invertido es igual a valor nominal o facial de bono, la situación más común en la práctica. Esto lo podemos generalizar utilizando para el capital una notación independiente ($C$).

¿Qué sucede cuando $i = r$?

¿Por qué $i \neq r$?

Desde luego, una de las principales preguntas que nos interesa responder de los bonos es: ¿cuál es el precio que se debería pagar por un bono? Sin embargo, podemos también ya dar respuesta a otras preguntas de interés:

¿Cuál es la tasa de rendimiento implícita en un bono dado un precio determinado (p.e., su precio de mercado)?

Ahora, podemos observar que el precio $P$ pagado al inicio del bono no necesariamente será igual al valor facial $F$ (de hecho, casi nunca lo será). Podemos entonces, comparar el precio $P$ y el principal $C$ (aunque ya dijimos que casi siempre $F = C$):

\[prima = P - C\]

La fórmula de arriba se encuentra expresada como prima ya que con mayor frecuencia vamos a observar que $P > C$, pero cuando $C > P$ al monto $C - P$ se le conoce como descuento.

Podemos considerar a la prima entonces como la ganancia que obtendremos derivada de la compra de este bono. En forma similar a como lo hicimos con los préstamos en el tema de amortizaciones, esta ganancia la podemos ir amortizando en el tiempo.

Esto da lugar a lo que se conoce como el valor en libros ($B$), que no es otra cosa más que el reconocimiento de la amortización de los intereses y el rendimiento del bono en el tiempo (muy similar a lo que sucedería contablemente con la adquisición de cualquier otro bien).

\[B_t = 1 \cdot (1+i)^{-n+t} + r \cdot a_{\overline{n - t}|i} = 1 + (r - i) \cdot a_{\overline{n - t}|i}\]

Observemos también que:

\[B_{t+1} = 1 \cdot (1+i)^{-n+t + 1} + r \cdot a_{\overline{n - t - 1}|i} = 1 \cdot (1+i)^{-n+t + 1} + r \cdot (1 + i) \cdot a_{\overline{n - t}|i} - r=\]

\[(1 + i) \cdot \left[ 1 \cdot (1+i)^{-n + t} + r \cdot a_{\overline{n - t}|i} \right] - r = (1+i) \cdot B_t - r\]

A diferencia del valor de mercado de un bono, que fluctúa constantemente en función de las variaciones en las tasas de interés $i$, el valor en libros refleja el progreso del precio de adquisición del activo en el tiempo, por lo que sigue una ruta más estable.

1.6.1 VALUACIÓN ENTRE FECHAS DE PAGO DE CUPONES

Obtener el valor de un cupón entre dos fechas de pago de cupón es muy sencillo, ya que simplemente tenemos que observar que a una determinada fecha entre pagos de cupón tenemos que reconocer el valor del cupón que corresponde al periodo de tiempo fraccional transcurrido.

¿Por qué tenemos que hacer esto? ¿Qué sucede con el cupón en curso si el bono cambia de propietario?

En español, valor del bono que incluye el valor del cupón por el periodo de tiempo transcurrido (cupón devengado) se le conoce como precio sucio (flat price, en inglés); al precio sin incluir el valor devengado del cupón se le conoce como precio limpio.

El precio sucio lo podemos determinar, de manera muy sencilla reconociendo que es el valor futuro del valor en libros al tiempo $t$ para la fracción de tiempo $k$:

\[B_{t+k}^{f} = (1+i)^k \cdot B_{t}\]

Para calcular el valor en libros, sin embargo, necesitamos reconocer que el precio sucio así calculado incluye a la parte ya devengada del cupón por el periodo $k$, por lo que:

\[B_{t+k}^m = B_{t+k}^{f} - r_k\]

Donde $r_k$ corresponde a la fracción del cupón devengada durante la fracción de tiempo $k$.

$r_k$ puede ser deteminada de diferentes maneras:

Teórica: $r \cdot \frac{(1+i)^k-1}{i}$
Práctica: $k \cdot r$

1.6.2 PRECIO DE MERCADO

Para calcular el valor en libros de un bono en cualquier punto en el tiempo $t$ utilizamos la tasa de rendimiento $i$ a la que el bono fue adquirido. Sin embargo, es importante recordar que las tasas de interés de mercado cambian constantemente. Por lo tanto, en cualquier momento en el tiempo, podemos siempre contar con dos precios de referencia: el valor en libros y el valor de mercado:

\[P_t^m = F \cdot \frac{1}{(1+i')^{n-t}} + r \cdot F \cdot a_{\overline{n-t}|i'}\]

1.6.3 EJEMPLOS

Un bono a $n$ años con valor facial de $1,000 y que vence a la par tiene un cupón del 12% convertible semi-anualmente es adquirido a un precio que proporciona un rendimiento del 10% convertible semi-anualmente. Si el plazo del bono es duplicado, el precio se incrementa en $50. Encuentra el precio del bono de plazo $n$.

\[B_0 = 1000*v^{n*2} + 1000*\frac{0.12}{2}*a_{\overline{n*2}|0.05}; {} v = \frac{1}{1+0.05}\]

Por otra parte, sabemos que:

\[B_0 + 50 = 1000*v^{n*2*2} + 1000*\frac{0.12}{2}*a_{\overline{n*2*2}|0.05} \Rightarrow\]

\[50 = 1000*v^{n*2*2} + 1000*\frac{0.12}{2}*a_{\overline{n*2*2}|0.05} - 1000*v^{n*2} - 1000*\frac{0.12}{2}*a_{\overline{n*2}|0.05} \Rightarrow\]

\[\frac{50}{1000} = v^{n*2*2} + \frac{0.12}{2}*a_{\overline{n*2*2}|0.05} - v^{n*2} - \frac{0.12}{2}*a_{\overline{n*2}|0.05} \Rightarrow\]

\[\frac{5}{100} = v^{2n*2} - \frac{0.12}{2*0.05}*v^{2n*2} + \frac{0.12}{2*0.05} - v^{n*2} + \frac{0.12}{2*0.05}*v^{2n} - \frac{0.12}{2*0.05} \Rightarrow\]

\[\frac{5}{100} = v^{2n*2} - 1.2*v^{2n*2} - v^{n*2} + 1.2*v^{2n} \Rightarrow\]

\[0.2*v^{2n*2} - 0.2*v^{2n} + 0.05 = 0 \Rightarrow\]

\[v^{2n} = \frac{0.2 \pm \sqrt{(-0.2)^2 - 4*(0.2)*(0.05)}}{2*0.2} = \frac{0.2 \pm \sqrt{0.04 - 0.04}}{0.4} = 0.5 \Rightarrow\]

\[2n * ln(v) = ln(0.5) \Rightarrow n = \frac{ln(0.5)}{2*ln(v)} = 7.10335 \Rightarrow\]

\[B_0 = 1,100.0000\]

Marge tiene un bono a 5 años con valor nominal de $1,000,000 y cupones de 6% nominal anual convertible semestralmente. Fiona compra un bono a 10 años con valor nominal de $X, cupones del 6% nominal anual convertible semestralmente. Marge y Fiona compraron sus cupones a un rendimiento del 4% nominal anual convertible semestralmente. Ambas deciden vender sus bonos a un inversionista a un precio que le da al inversionista un rendimiento del 2% nominal anual convertible semestralmente. Fiona gana en la transacción lo mismo que Marge. Encuentra el valor de $X.

La ganancia de la venta está dada por la diferencia entre el precio de compra y el precio de venta.

La ganancia de Marge:

\[G_{marge} = PV_{marge} - PC_{marge}\]

\[PC_{marge} = 1000000 \cdot v^{10} + 0.03 \cdot 1000000 \cdot a_{\overline{10}|} = 1.0898259\times 10^{6}\]

\[PV_{marge} = 1000000 \cdot v_2^{10} + 0.03 \cdot 1000000 \cdot a_{\overline{10}|0.01} = 1.1894261\times 10^{6}\]

La ganancia de Marge, entonces, es igual a $9.9600241\times 10^{4}$.

Bajo el mismo criterio, la ganancia de Fiona, sería:

\[G_{fiona} = PV_{fiona} - PC_{fiona}\]

\[PC_{fiona} = X \cdot v^{20} + 0.03 \cdot X \cdot a_{\overline{20}|0.02} = X \cdot ( v^{20} + 0.03 \cdot a_{\overline{20}|0.02})\]

\[PV_{fiona} = X \cdot v_2^{20} + 0.03 \cdot X \cdot a_{\overline{20}|0.01} = X \cdot ( v_2^{20} + 0.03 \cdot a_{\overline{20}|0.01} )\]

Entonces:

\[G_{fiona} = X \cdot (v_2^{20} + 0.03 \cdot a_{\overline{20}|0.01} - v^{20} - 0.03 \cdot a_{\overline{20}|0.02}) =\] \[X \cdot \left[0.03 \cdot (a_{\overline{20}|0.01} - a_{\overline{20}|0.02}) \right] = X \cdot 0.1973967\]

Si ahora sabemos que:

\[G_{fiona} = G_{marge} \Rightarrow\]

\[X \cdot 0.1973967 = 9.9600241\times 10^{4} \Rightarrow\]

\[X = 5.0456886\times 10^{5}\]

Supongamos que a los administradores de una empresa se les impone la restricción de no endeudarse por un capital mayor a $50,000,000. Los administradores de la empresa consideran que sus necesidades de capital actuales son por $75,000,000. ¿Cómo podrían utilizar los administradores de la empresa sus conocimientos de matemáticas financieras para obtener el financiamiento que requieren sin exceder la restricción que les impuso el Consejo de Administración?

Respuesta: La respuesta es, en cierta medida, una “manipulación” de los términos empleados en la restricción. Los administradores podrían argumentar que, dado que la restricción está impuesta sobre el “capital” de la deuda, entonces las restricciones no incluyen el pago de los intereses. De esta manera, los administradores podrían emitir un bono cuyo valor se encuentre “sobre par” (de hecho, veremos, el bono tendrá que estar muy sobre par). Al estar sobre par, los administradores recibirían al momento de la emisión una cantidad mayor a la del valor nominal (capital) señalado en el bono. ¿Cómo lograrían esto? Simplemente estableciendo una tasa de cupón mayor a la tasa de interés del mercado.

[PENDIENTE DE DESARROLLAR]

Esta situación es muy similar a lo que ocurre cada cierto tiempo en los EE.UU.A. entre el Congreso y el Ejecutivo en la negociación del “techo de endeudamiento”. Esta ha sido una de las “soluciones” propuestas al bloqueo del techo de endeudamiento. Es, desde luego, una solución de caracter teórico y no tiene probabilidades de ser implementada.

1.7 COMENTARIOS FINALES

El objetivo principal de este curso (dijimos al inicio) era brindarles las herramientas para aplicar los conceptos principales de teoría del interés y valor del dinero en el tiempo en una diversidad de contextos.

Hasta aquí, ustedes deberían contar ya con el lenguaje técnico suficiente para interpretar a cabalidad cualquier planteamiento financiero que se les haga. Si al uso de este lenguaje ustedes son capaces de:

identificar los flujos de capital en el tiempo, y
descontar/acumular dichos flujos a un determinado punto en el tiempo

entonces el curso (y yo) habrá cumplido su propósito principal.

2 PARTE 2

2.1 BIBLIOGRAFÍA PRINCIPAL

Elton et al. (2003)
Cuthbertson and Nitzsche (2004)
Sadr (2022)

2.2 INTRODUCCIÓN

Este material está basado en los apuntes de la materia “AC931 - Portfolio Management”, impartida en la Universidad de Essex por los profesores Neil Kellard y Andrew Wood durante el periodo 2005-2006.

Esta segunda parte del material se enfoca en el estudio de las herramientas matemáticas utilizadas más comúnmente en la gestión de portafolios de administración.

En este sentido, aplica la misma advertencia general que en la primera parte de este material. No es lo mismo tener un dominio razonablemente bueno de las herramientas matemáticas utilizadas en la gestión de portafolios que la gestión de portafolios en sí. Son, quizá, un conjunto de habilidades complementarias, pero no son lo mismo. El estudiante de esta materia debe tener cuidado con presumir que conocer algunas de las herramientas matemáticas lo hace un buen administrador.

En la primera parte del curso aprendimos sobre la teoría del interés: el valor del dinero en el tiempo. En el transcurso de esa primera parte, construimos sobre el concepto de interés para determinar el valor de diversas estructuras de flujos de efectivo en el tiempo.

Si, entonces, aprendimos ya a determinar el valor de dichas estructuras, en esta segunda parte del curso vamos a cambiar el enfoque de nuestro interés para ahora estudiar algunas otras herramientas matemáticas necesarias para resolver otros problemas dentro del campo de las finanzas. En particular nos enfocaremos en maneras de resolver el problema de decisión que enfrenta un inversionista.

2.3 TEORÍA DE PORTAFOLIOS

2.3.1 EL PROBLEMA DE LA SELECCIÓN DE UN PORTAFOLIO

Consideremos un individuo que cuenta con una riqueza inicial igual a $\$W_0$ ¿Por qué invierte un individuo? En general, podemos pensar que las personas invierten con el objetivo de maximizar un estado de riqueza final $\$W_t$ y, por lo tanto, el proceso de inversión consistirá en seleccionar los activos que conduzcan a ese objetivo. Si consideramos, además, que los activos tienen en general resultados inciertos (aleatorios), el problema de selección de portafolios consiste en determinar cuánto invertir en cada uno de los activos disponibles al inversionista con la finalidad de maximizar su estado de riqueza final.

Este problema es la base fundamental de la Teoría Moderna de Portafolios (MPT, por sus siglas en inglés), desarrollada por Harry Markowitz en los años 50’s del siglo pasado (trabajo por el que les fue otorgado el premio Nobel).

Pero iniciemos con un planteamiento simplificado en dos tiempos, asumiendo, al igual que en la primera parte de este material, que nos encontramos en ausencia de riesgo y en ausencia de inflación:

el inversionista cuenta con riqueza inicial igual a $\$W_0$ y un ingreso adicional $\$I_1$ al inicio del periodo 2;
el inversionista elige cuánto consumir de su riqueza en el periodo ($C_1$) y cuánto invertir ($S_1$);
el inversionista cuenta con un vehículo de inversión que otorga una tasa de rendimiento efectiva por periodo igual a $r$;
la riqueza al inicio del periodo 2 es utilizada para consumo.

Consideremos las alternativas del inversionista en este escenario:

Puede decidir consumir toda su riqueza inicial, lo que lo deja sin ahorros en el periodo, por lo que su riqueza al inicio del periodo 2 será igual a $I_1$.
Puede decidir no consumir nada de su riqueza inicial, por lo que destinará la totalidad a ahorro. Su riqueza al inicio del periodo 2 en este escenario consiste en el ingreso que recibe al inicio del periodo 2 más la riqueza ahorrada durante el periodo 1, pero recordemos que ganara una tasa efectiva por periodo igual a $r$ sobre su ahorro por lo que:

\[W_1 = I_1 + W_0 (1 + r).\]

Puede decidir consumir $C_1$ de su riqueza inicial y ahorrar $S_1 = W_0 - C_1$, con lo que su riqueza al inicio del periodo 2 será igual a:

\[ W_1 = C_2 \\ = I_1 + S_1 (1 + r) \\ = I_1 + (W_0 - C_1) (1 + r) \\ = I_1 + W_0(1+r) - C_1(1+r). \]

\[ 0 \leq C_1 \leq W_0. \]

Ejemplo: Supongamos que el inversionista recibe ingresos al inicio de cada periodo iguales a $10,000 y que la tasa de interés efectiva por periodo del periodo es igual al %5. Entonces la relación entre el consumo durante el periodo 1 y el consumo durante el periodo 2 es igual a:

\[ C_2 = 10000 + 10000(1 + 0.05) - 1.05C_1 \\ = 20500 - 1.05C_1. \]

Observemos que en nuestro planteamiento simplificado el inversionista puede consumir en el periodo 1, como máximo, $W_0$. Sin embargo, podemos añadir un elemento adicional a nuestro planteamiento ya que sabemos que el inversionista tendrá un ingreso de $I_1$ al inicio del periodo 2 y, por lo tanto, permitiremos que pida prestado con la finalidad de incrementar su consumo durante el periodo 1. Desde luego, si pide prestado tiene que pagar una tasa de interés y, por el momento, asumiremos que la tasa de interés a la que tiene acceso para pedir prestado es la misma tasa de mercado $r$.

¿Cuánto puede pedir prestado al inicio del periodo 1? Si consideramos que su ingreso al inicio del periodo 2 es igual a $I_1$ y que consumirá todos los recursos con los que cuente al inicio del periodo 1 entonces lógicamente solo puede pedir prestados $\frac{I_1}{1+r}$ (es decir, el valor presente de su ingreso al inicio del periodo 2). ¿Qué efecto tiene en la relación entre el $C_2$ y el $C_1$? Veamos que si decide ahorrar toda su riqueza en el periodo 1, el valor de su riqueza al inicio del periodo no cambia, sin embargo, si decide consumir todo durante el periodo 1, necesitamos ahora considerar los recursos adicionales a los que tiene acceso. Observemos también que esto no afecta la relación fundamental entre $C_2$ y $C_1$ sino que afecta el valor máximo posible de consumo durante el periodo 1:

\[ W_1 = C_2 \\ = I_1 + S_1 (1 + r) \\ = I_1 + (W_0 - C_1) (1 + r) \\ = I_1 + W_0(1+r) - (C_1 + D_1)(1+r) \\ = I_1 + W_0(1+r) - C_1^* (1+r). \]

donde $0 \leq D_1 \leq \frac{I_1}{1+r}$ es la cantidad de endeudamiento en la que incurre el inversionista para consumir en forma adicional durante el periodo 1. Desde luego, podremos ver que, si decide utilizar su capacidad máxima de endeudamiento la consecuencia será que su consumo del periodo 2 será igual a 0.

Ejemplo: Extendamos ahora el ejemplo anterior permitiendo el apalancamiento del consumo durante el periodo 1. Nuestra ecuación permanece la misma:

\[ C_2 = 10000 + 10000(1 + 0.05) - 1.05C_1 \\ = 20500 - 1.05C_1. \]

Sin embargo, el rango de valores permitidos para $C_1$ va ahora de 0 a $10000+\frac{10000}{1.05} = 19523.81$:

A la ecuación que describe la relación entre $C_2$ y $C_1$ se le conoce como la línea del mercado de dinero y a las diferentes posibles combinaciones de $C_1$ y $C_2$ se les conoce como el conjunto de oportunidades.

Desde luego, si el objetivo fuera, como señalamos al inicio de esta sección, únicamente maximizar el estado de riqueza final, bajo este planteamiento simplificado en ausencia de riesgo, pareciera que la decisión es clara: la opción que maximiza el valor de $C_2$ consiste siempre en posponer totalmente el consumo.

No obstante, esto no es realista por muchos motivos. Es poco probable, por ejemplo, que un inversionista pueda posponer indefinidamente su consumo. Por lo tanto, el inversionista se ve obligado a tomar una decisión sobre las cantidades óptimas de consumo en el periodo 1 y en el periodo 2. Es decir, debe realizar una elección sobre el punto óptimo disponible en el conjunto de oportunidades. Es necesario entonces, considerar las preferencias del inversionista y para ello haremos uso de la Teoría de la Utilidad.

En palabras de Daniel Bernoulli¹¹:

La determinación del valor de un objeto no debe estar basada en su precio, sino en la utilidad que proporciona […] No hay duda de que una ganancia de veinte ducados son más significativos para un mendigo que para un hombre rico, aunque ambos ganen la misma cantidad.

2.3.2 TEORÍA DE DECISIÓN

La Teoría de Decisión es una rama interdisciplinaria de las ciencias administrativas que estudia la toma de decisiones, principalmente bajo incertidumbre. Como ya se mencionó, la elección de un portafolio de inversión (aún en ausencia de incertidumbre) es un problema de decisión, por lo que haremos uso de algunas de las herramientas desarrolladas en este campo.

De acuerdo con esta teoría, asumiendo que el conjunto de oportunidades de inversiones ha sido determinado y la distribución de los rendimientos de los activos es conocida, las decisiones de los inversionistas están basadas en sus preferencias respecto de los cambios en su riqueza o de su riqueza acumulada. Entonces, para poder estudiar el proceso de decisión de los inversionistas es necesario contar con una teoría sobre las preferencias que nos permita representar estas preferencias de los inversionistas apropiadamente.

En la Teoría de Decisión, lo anterior se logra mediante el mapeo de las preferencias de los inversionistas a funciones de utilidad.

2.3.2.1 FUNCIONES DE UTILIDAD

En estricto sentido, las funciones de utilidad no son más que expresiones que mapean un elemento perteneciente al conjunto de oportunidades (una elección) a una medida de la cantidad de satisfacción o utilidad que el tomador de decisiones percibe o recibe de dicha elección:

\[U: x \in S \rightarrow \mathbb{R}.\]

En principio, la función $U(x)$ no tiene que cumplir con una forma específica y el resultado de evaluarla puede ser tratado cardinalmente, es decir, como una cantidad que tiene una magnitud. No obstante, hoy en día, en la mayoría de los casos en los que se hace uso de las funciones de utilidad, se considera que realmente su evaluación tiene únicamente un sentido ordinal, es decir, que nos ayudan únicamente a evaluar el orden de las preferencias, más no su magnitud. Una excepción a esto es, precisamente, el tema que nos aplica ya que, en nuestro caso, nosotros consideraremos que $U$ sí comunica cardinalidad.

Ahora bien, dijimos que las funciones de utilidad no tienen que cumplir con una forma en específico. Sin embargo, en 1947, John Von Neumann¹² y Oskar Morgenstern establecieron las bases para el modelado de un tomador de decisiones racional¹³ al demostrar el teorema de utilidad de VN-M. Su teorema lo que nos dice es que si las preferencias de un tomador de decisiones satisfacen ciertas condiciones (axiomas): 1) ese tomador de decisiones tiene una función de utilidad, 2) sus preferencias pueden ser representadas mediante una escala de intervalos¹⁴ y 3) el tomador de decisiones buscará maximizar su utilidad esperada. Los axiomas a los que se hace referencia son los siguientes:

Completez: $\forall \ A,B \in S, A \prec B \ \lor B \prec A \ \lor A \sim B$.
Transitividad: $\forall \ A,B,C \in S, A \prec B, B \prec C \Rightarrow A \prec C$.
Continuidad: $\forall \ A,B,C \in S, A \prec B, B \prec C \Rightarrow \exists \ \pi \in [0,1]: B \sim \pi A + (1 - \pi)C$.
Independencia: $\forall \ A,B,C \in S, A \prec B \iff \forall \ \alpha \in (0,1], \alpha A + (1- \alpha) C \prec \alpha B + (1 - \alpha) C$.

Entonces, si las preferencias del tomador de decisiones cumplen con estos cuatro axiomas, se dice que el tomador de decisiones es un tomador de decisiones racional (¡conforme al teorema de VNM!). Dada la relevancia del trabajo de VNM, mucho de lo que vamos a ver más adelante supone un tomador de decisiones racional, por lo que trataremos con funciones de utilidad (preferencias) que cumplen con estos axiomas.

Esto impone, entonces, ya una determinada forma (un comportamiento) para las funciones de utilidad. Algunas de las funciones de utilidad comúnmente empleadas son, por ejemplo:

$U(x) = \ln(x)$
$U(x) = - e^{-\beta x}$
$U(x_1,x_2) = \left( x_1^{\rho} + \beta x_2^{\rho} \right)^{\frac{1}{\rho}}, \rho < 1, 0 < \beta < 1$
$U(x_1,x_2) = x_1^{\lambda_1} x_2^{\lambda_2}, \lambda_1 + \lambda_2 = 1$

¿Son estos buenos supuestos? ¿Qué problemas ves en lo que plantean estos axiomas?

2.3.2.2 CURVAS DE INDIFERENCIA

Según la Teoría de Decisión un inversionista eligirá, entonces, la combinación de consumo en el periodo 1 e inversión (consumo en el periodo 2) que le proporcione la mayor utilidad posible. Para ello, es necesario conocer las curvas de indiferencia del inversionista, es decir, las curvas que describen el conjunto de valores para los cuales el inversionista es indiferente o, en otras palabras, el conjunto de valores de $C_1$ y $C_2$ que le proporcionan al inversionista una misma utilidad.

Ejemplo: Supongamos que nuestro inversionista se comporta en consistencia con una función de utilidad¹⁵ que tiene la forma:

\[U(C_1, C_2) = C_1^{\alpha}C_2^{\beta}.\]

Entonces, para un determinado nivel de utilidad $u$:

\[ C_2^{\beta} = uC_1^{-\alpha} \\ C_2 = \left( uC_1^{-\alpha} \right)^{\frac{1}{\beta}}. \]

Si ahora tenemos que $\alpha = 2/3$ y $\beta = 1/3$ entonces:

La curva de la gráfica representa a todas las combinaciones de $C_1$ y $C_2$ para las cuales nuestro inversionista es indiferente a un nivel de utilidad de 2154.435.

¿Cómo escoge entonces un inversionista la cantidad óptima de $C_1$ y $C_2$? Escogerá, por fuerza, la combinación que le proporcione la máxima utilidad posible, dentro del conjunto de de oportunidades. Esto sucederá en el nivel de utilidad para el que la pendiente de la curva de indiferencia es igual a la pendiente del conjunto de oportunidades.

Ejemplo: En nuestro ejemplo, entonces, queremos maximizar

\[ U(C_1, C_2) = C_1^{2/3}C_2^{1/3} \]

sujeto a:

\[ C_2 = 20500 - 1.05C_1 \\ 20500 - 1.05C_1 - C_2 = 0. \]

Entonces, utilizando la técnica de multiplicadores de Lagrange:

\[ \mathbb{L}(C_1, C_2, \lambda) = C_1^{2/3}C_2^{1/3} + \lambda(20500 - 1.05C_1 - C_2) \\ \frac{d}{dC_1} \mathbb{L}(C_1, C_2, \lambda) = \frac{2}{3}C_1^{-1/3}C_2^{1/3} - 1.05\lambda \\ \frac{d}{dC_2} \mathbb{L}(C_1, C_2, \lambda) = \frac{1}{3}C_1^{2/3}C_2^{-2/3} - \lambda \\ \frac{d}{d\lambda} \mathbb{L}(C_1, C_2, \lambda) = 20500 - 1.05C_1 - C_2. \]

\[ 20500 - 1.05C_1 - C_2 = 0 \\ C_2 = 20500 - 1.05C_1. \]

\[ \frac{1}{3}C_1^{2/3}C_2^{-2/3} - \lambda = 0 \\ \lambda = \frac{1}{3}C_1^{2/3}C_2^{-2/3}. \]

\[ \frac{2}{3}C_1^{-2/3}C_2^{1/3} - 1.05 \lambda = 0 \\ \lambda = \frac{\frac{2}{3}C_1^{-2/3}C_2^{1/3}}{1.05}. \]

Entonces:

\[ \frac{\frac{2}{3}C_1^{-1/3}C_2^{1/3}}{1.05} = \frac{1}{3}C_1^{2/3}C_2^{-2/3} \\ C_1^{-1/3}C_2^{1/3} = \frac{3 \times 1.05}{2 \times 3}C_1^{2/3}C_2^{-2/3} \\ C_2^{2/3}C_2^{1/3} = \frac{1.05}{2}C_1^{2/3}C_1^{1/3} \\ C_2 = \frac{1.05}{2} C_1. \]

Y sustituyendo nuevamente:

\[ 20500 - 1.05C_1 = \frac{1.05}{2} C_1 \\ \frac{1.05}{2} C_1 + 1.05 C_1 = 20500 \\ 1.05 (\frac{1}{2} + 1)C_1 = 20500 \\ C_1 = 13015.873 \]

Entonces:

\[C_2 = 6833.333\]

\[U = 10500.09.\]

¿Qué pasa si la tasa de interés del mercado baja 100 bps?

Consideremos ahora la existencia de un segundo activo de inversión (recordemos que suponemos todavía la ausencia de riesgo) que otorga un rendimiento mayor al anterior. ¿Qué sucedería en este caso? Lógicamente, bajo ninguna circunstancia nuestro inversionista invertiría en el primer activo pues sabe con certeza que su rendimiento será menor. En un mundo así, el primer activo de inversión sería redundante y desaparecería. Por un argumento similar, nadie se endeudaría a la tasa mayor. Como consecuencia, podemos afirmar que, ante la existencia de múltiples activos disponibles para inversión, los rendimientos (ganancias) tienen que tener un componente de incertidumbre, es decir, son aleatorias.

Entonces, ¿cómo podemos determinar el portafolio óptimo en presencia de riesgo?

2.3.3 TEORÍA DE PORTAFOLIOS DE MARKOWITZ

Propuesta por Harry Markowitz en 1952.

Como ya dijimos, en la realidad el rendimiento de los activos de inversión es, típicamente, aleatorio. Entonces, ahora, impondremos al inversionista un par de restricciones adicionales (es decir, vamos a asumir, de entrada, que el inversionista es VNM racional). Comenzaremos restringir el criterio con el que va a invertir, que estará basado únicamente en dos datos: el riesgo y el rendimiento.

El modelo de Markowitz asume que el inversionista prefiere más rendimiento a menos rendimiento y menos riesgo a más riesgo (decimos que es averso al riesgo). Adicionalmente, por practicidad, supondremos que el inversionista escoge un nivel de riesgo y busca el rendimiento máximo posible, o bien, escoge un nivel de rendimiento y busca el riesgo mínimo posible.

¿Somos todos aversos al riesgo? ¿Somos siempre aversos al riesgo?

Entonces, primero, determinaremos cómo se ve el conjunto de oportunidades del inversionista. Sea $R_i$ el rendimiento asociado durante un periodo de inversión al $i$-ésimo activo de inversión. Supongamos también que la aleatoriedad asociada a este rendimiento puede ser descrita mediante dos momentos de la v.a.: su media o valor esperado y su varianza ($\mu_i$ y $\sigma_i^2$, respectivamente).

A la varianza, o más específicamente a la desviación estándar, se le asocia regularmente con el riesgo dado que es una medida de la dispersión de la v.a. ocasionada por su naturaleza aleatoria.

¿Es esta una buena medida del riesgo?

Entonces, pensemos en un primer portafolio de inversión compuesto por dos activos (riesgosos, aunque pudieran ser libres de riesgo también): $A_1$ y $A_2$. Si, $w_1$ y $w_2$ son las proporciones en las que el capital del inversionista está invertido en cada uno de los activos de inversión, entonces, cuál es el rendimiento del portafolio de inversión?

\[ R_p = \frac{w_1 C (1 + R_1) + w_2 C (1 + R_2) - w_1 C - w_2 C}{C} \\ = w_1 (1 + R_1) + w_2 (1 + R_2) - w_1 - w_2 \\ = w_1 R_1 + w_2 R_2. \]

Ahora, dijimos que $R_i$ es una variable aleatoria, entonces, ¿cuál es la esperanza de $R_p$?

\[ E[R_p] = E[w_1 R_1 + w_2 R_2] \\ = E[w_1 R_1] + E[w_2 R_2] \\ = w_1 E[R_1] + w_2 E[R_2]. \]

¿Cuál es la varianza del portafolio? Observemos que no hemos hecho ningún supuesto sobre la relación entre los activos de inversión, así que no podemos suponer que sean activos independientes y, por lo tanto:

\[ Var[R_p] = Var[w_1 R_1 + w_2 R_2] \\ = w_1^2 Var[R_1] + w_2^2 Var[R_2] + 2 w_1 w_2 Cov[R_1,R_2]. \]

Esto que hemos desarrollados para dos activos de inversión podemos extenderlo fácilmente a $n$ activos:

\[ \begin{aligned} E[R_p] &= \mathbf{w}' \mathbf{\mu} \\ Var[R_p] &= \mathbf{w}' \Sigma \mathbf{w} \\ &= \sum\limits_{i = 1}^n w_i^2 \sigma_i^2 + \sum\limits_{i = 1}^n \sum\limits_{j = 1 \\ i \neq j}^n w_i w_j \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j. \end{aligned} \]

2.3.3.1 DIVERSIFICACIÓN

Consideremos la última expresión, ¿qué nos dice sobre el riesgo de un portafolio? En principio, que depende en gran medida del signo y magnitud de la correlación entre los activos que forman parte del portafolio. Sobre todo, y pensemos en el caso de dos activos de inversión, consideremos el caso en el que $\rho < 0$. En este caso, lo que nos dice la expresión para la varianza del portafolio es que es posible construir un portafolio de inversión cuyo riesgo es menor al riesgo de los dos activos considerados por separado pero cuyo rendimiento esperado es el mismo.

Supongamos que:

$\sigma_i = \sigma \ \forall \ i$;
$w_i = \frac{1}{n} \ \forall \ i$;
$\rho_{ij} = 0 \ \forall \ i,j$.

¿Son razonables estos supuestos?

Entonces, podemos ver que $Var[R_p] = \sigma_p^2 = \frac{\sigma^2}{n}$ y, claramente, $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sigma_p^2 = 0$. En otras palabras, bajo los supuestos arriba señalados, si podemos construir un portafolio suficientemente grande de activos no correlacionados (un portafolio diversificado) podríamos reducir (eventualmente eliminar) significativamente el riesgo del portafolio, manteniendo el mismo nivel de rendimiento esperado. Este es uno de los principios fundamentales del seguro.

Ejemplo: La tabla y gráfica siguientes muestran el comportamiento de los precios de 10 acciones mexicanas del 1o. de enero del 2021 al 28 de noviembre del 2023:

Precios de 10 acciones mexicanas del 2021-01-01 al 2023-11-28. Fuente: Investing.com
Fecha	WALMEX	TLEVISACPO	OMAB	KIMBERA	GMEXICOB	GFNORTEO	FMTY14	CEMEXCPO	BIMBOA	AMXB
2023-11-28	67.81	9.15	153.74	34.05	73.00	158.84	10.77	11.80	86.12	15.22
2023-11-27	66.49	8.72	152.08	34.04	73.86	159.41	10.99	11.53	85.72	15.19
2023-11-24	69.34	8.73	151.68	33.93	77.22	162.30	11.04	11.90	85.51	15.32
2023-11-23	69.89	8.02	150.69	33.99	77.63	163.92	11.08	11.84	85.57	15.25
2023-11-22	69.71	8.69	147.03	33.94	78.52	162.05	11.14	11.66	85.00	15.13
2023-11-21	67.98	9.20	143.90	34.22	78.42	162.17	10.97	11.79	84.85	15.18
2023-11-17	68.17	7.98	146.55	34.09	78.43	161.00	10.75	12.06	83.56	15.23
2023-11-16	68.05	8.21	137.91	33.89	77.55	161.82	10.65	11.90	83.58	15.28
2023-11-15	69.01	8.40	136.75	34.32	77.84	162.28	10.45	12.19	83.62	15.31
2023-11-14	69.56	8.56	131.92	34.25	76.26	159.80	10.44	12.35	82.57	15.49
2023-11-13	66.05	8.36	130.30	33.17	73.36	155.18	10.46	12.11	80.05	15.24
2023-11-10	66.97	8.42	135.67	34.01	73.34	157.47	10.26	12.26	80.48	15.23
2023-11-09	64.51	8.52	134.63	34.41	75.50	152.96	10.24	12.30	80.55	15.13
2023-11-08	65.55	8.59	135.83	34.07	74.79	153.38	10.30	12.17	80.31	14.97
2023-11-07	66.19	8.78	143.70	34.42	75.73	153.09	10.31	11.97	80.76	14.99

Rendimientos efectivos anuales de 10 acciones mexicanas al 2023-11-28. Fuente: Investing.com
Fecha	WALMEX	TLEVISACPO	OMAB	KIMBERA	GMEXICOB	GFNORTEO	FMTY14	CEMEXCPO	BIMBOA	AMXB
2023-11-28	-0.0631	-0.5573	-0.0569	0.0422	0.0112	0.0615	-0.1017	0.3948	0.0544	-0.1835
2023-11-27	-0.1142	-0.6004	-0.0827	0.0189	0.0690	0.0404	-0.0796	0.3407	0.0191	-0.2121
2023-11-24	-0.0720	-0.6050	-0.1074	0.0332	0.0859	0.0368	-0.0777	0.3600	-0.0109	-0.2251
2023-11-23	-0.0659	-0.6302	-0.1147	0.0244	0.0644	0.0680	-0.0728	0.3200	-0.0194	-0.2344
2023-11-22	-0.0718	-0.5850	-0.1475	0.0223	0.0511	0.0526	-0.0647	0.3057	-0.0219	-0.2351
2023-11-21	-0.0849	-0.5701	-0.1537	0.0497	0.0093	0.0640	-0.0782	0.3536	-0.0049	-0.2402
2023-11-17	-0.0442	-0.6213	-0.1387	0.0359	0.0450	0.0534	-0.0937	0.3767	-0.0457	-0.2174
2023-11-16	-0.0551	-0.6126	-0.1849	0.0551	0.0183	0.0848	-0.1029	0.3538	-0.0244	-0.2144
2023-11-15	-0.0526	-0.6185	-0.1973	0.0356	-0.0124	0.0767	-0.1190	0.3712	-0.0263	-0.2014
2023-11-14	-0.0303	-0.6165	-0.2135	0.0291	-0.0585	0.0449	-0.1228	0.4130	-0.0334	-0.2028
2023-11-13	-0.0864	-0.6265	-0.2056	0.0000	-0.0979	0.0315	-0.1261	0.3840	-0.0632	-0.2256
2023-11-10	-0.0788	-0.6278	-0.1710	0.0164	-0.1104	0.0391	-0.1351	0.3653	-0.0327	-0.2253
2023-11-09	-0.1199	-0.5874	-0.1662	0.0588	-0.0126	-0.0082	-0.1353	0.4488	-0.0264	-0.2193
2023-11-08	-0.1139	-0.5745	-0.1483	0.0758	-0.0029	0.0029	-0.1309	0.5327	-0.0135	-0.2432
2023-11-07	-0.1221	-0.5791	-0.0988	0.0814	-0.0045	-0.0199	-0.1315	0.4870	-0.0132	-0.2368

¿Qué pasa si ahora calculamos el rendimiento medio y la varianza de cada uno de estos activos?

	WALMEX	TLEVISACPO	OMAB	KIMBERA	GMEXICOB	GFNORTEO	FMTY14	CEMEXCPO	BIMBOA	AMXB
Rendimiento	0.0243	-0.3782	0.2034	0.0710	-0.0572	0.1082	0.0308	-0.0541	0.3877	0.0677
Varianza	0.0112	0.0681	0.0267	0.0622	0.0155	0.0160	0.0042	0.1806	0.0294	0.0486
Desviación	0.1057	0.2609	0.1634	0.2494	0.1245	0.1264	0.0645	0.4249	0.1714	0.2204

Y, por otra parte, si calculamos la matriz de correlaciones:

	WALMEX	TLEVISACPO	OMAB	KIMBERA	GMEXICOB	GFNORTEO	FMTY14	CEMEXCPO	BIMBOA	AMXB
WALMEX	1.0000	0.8044	-0.2795	-0.6643	0.1622	0.2102	0.7692	-0.4683	0.4710	0.8843
TLEVISACPO	0.8044	1.0000	-0.2127	-0.5063	0.3925	0.3820	0.6313	-0.1657	0.3393	0.8174
OMAB	-0.2795	-0.2127	1.0000	0.7225	0.0265	0.4885	-0.1417	0.5008	0.1020	-0.3393
KIMBERA	-0.6643	-0.5063	0.7225	1.0000	-0.0046	0.3006	-0.5478	0.7682	-0.1604	-0.6716
GMEXICOB	0.1622	0.3925	0.0265	-0.0046	1.0000	0.2707	-0.2032	0.4456	-0.3941	0.2655
GFNORTEO	0.2102	0.3820	0.4885	0.3006	0.2707	1.0000	0.2541	0.3976	0.0262	0.0850
FMTY14	0.7692	0.6313	-0.1417	-0.5478	-0.2032	0.2541	1.0000	-0.6438	0.6523	0.7072
CEMEXCPO	-0.4683	-0.1657	0.5008	0.7682	0.4456	0.3976	-0.6438	1.0000	-0.4237	-0.4439
BIMBOA	0.4710	0.3393	0.1020	-0.1604	-0.3941	0.0262	0.6523	-0.4237	1.0000	0.4572
AMXB	0.8843	0.8174	-0.3393	-0.6716	0.2655	0.0850	0.7072	-0.4439	0.4572	1.0000

¿Cuáles son ahora los valores del rendimiento medio y riesgo de un portafolio que invierte en proporciones iguales en cada una de las acciones?

Activos	Rendimiento	Suma Var	Var Port
2	-0.1769	0.0198	0.0309
3	-0.0502	0.0118	0.0136
4	-0.0199	0.0105	0.0089
5	-0.0273	0.0073	0.0075
6	-0.0047	0.0055	0.0079
7	0.0003	0.0042	0.0061
8	-0.0065	0.0060	0.0108
9	0.0373	0.0051	0.0086
10	0.0404	0.0046	0.0077

Reflexionemos un poco sobre el ejemplo anterior, ¿por qué $\rho$ no es cero?

¿Qué tendría que suceder para que $\rho$ fuera cero? ¿Cómo podríamos lograr esto?

¿Es realmente posible construir un portafolio con $\rho$ igual a cero? ¿Por qué?

Al riesgo que no podemos eliminar mediante diversificación le llamamos riesgo sistémico. Desde luego, la definición de lo que representa al sistema puede cambiar según el contexto. Por ejemplo, el sistema puede ser el conjunto de bancos mexicanos, la economía mexicana en su conjunto, o el conjunto de empresas que cotizan en las bolsas de valores del mundo.

“The worshipping at the altar of diversification, I think that is really crazy” - Charlie Munger

2.3.3.2 RIESGO Y RENDIMIENTO

Regresemos por ahora al caso de dos activos de inversión. Sabemos que $w_2 = 1 - w_1$ por lo que:

\[ \mu_p = w_1 \mu_1 + (1 - w_1) \mu_2 \\ \sigma_p^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + (1 - w_1)^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 (1 - w_1) \rho_{12}\sigma_1\sigma_2. \]

Si ahora expresamos a $w_1$ en función de $\mu_p$:

\[ \mu_p = w_1 \mu_1 + \mu_2 - w_1 \mu_2 \\ \mu_p = w_1 \mu_1 + \mu_2 - w_1 \mu_2 \\ \mu_p - \mu_2 = w_1 (\mu_1 - \mu_2) \\ w_1 = \frac{\mu_p - \mu_2}{\mu_1 - \mu_2}. \]

Podemos entonces expresar a $\sigma_p$ en función de $\mu_p$:

\[ \sigma_p = \sqrt{\left(\frac{\mu_p - \mu_2}{\mu_1 - \mu_2} \right)^2 \sigma_1^2 + \left( 1 - \frac{\mu_p - \mu_2}{\mu_1 - \mu_2} \right)^2 \sigma_2^2 + 2 \frac{\mu_p - \mu_2}{\mu_1 - \mu_2} \left( 1 - \frac{\mu_p - \mu_2}{\mu_1 - \mu_2} \right) \rho_{12}\sigma_1\sigma_2} \\ = \sqrt{\left(\frac{\mu_p - \mu_2}{\mu_1 - \mu_2} \right)^2 \sigma_1^2 + \left(\frac{\mu_1 - \mu_p}{\mu_1 - \mu_2} \right)^2 \sigma_2^2 + 2 \left( \frac{\mu_p - \mu_2}{\mu_1 - \mu_2} \right) \left( \frac{\mu_1 - \mu_p}{\mu_1 - \mu_2} \right) \rho_{12}\sigma_1\sigma_2}. \]

Y notemos que esto lo podemos re-expresar como:

\[ \sigma_p^2 = \left(\frac{\mu_p - \mu_2}{\mu_1 - \mu_2} \right)^2 \sigma_1^2 + \left(\frac{\mu_1 - \mu_p}{\mu_1 - \mu_2} \right)^2 \sigma_2^2 + 2 \left( \frac{\mu_p - \mu_2}{\mu_1 - \mu_2} \right) \left( \frac{\mu_1 - \mu_p}{\mu_1 - \mu_2} \right) \rho_{12}\sigma_1\sigma_2 \\ \sigma_p^2 (\mu_1 - \mu_2)^2 = \left(\mu_p - \mu_2 \right)^2 \sigma_1^2 + \left( \mu_1 - \mu_p \right)^2 \sigma_2^2 + 2 \left( \mu_p - \mu_2 \right) \left( \mu_1 - \mu_p \right) \rho_{12}\sigma_1\sigma_2 \\ \sigma_p^2 (\mu_1 - \mu_2)^2 = \mu_p^2 (\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sigma_1 \sigma_2 \rho) - 2 \mu_p (\mu_1 \sigma_2^2 + \mu_2 \sigma_1^2 - \mu_1 \sigma_1\sigma_2 \rho - \mu_2 \sigma_1\sigma_2 \rho) + \mu_1^2\sigma_2^2 + \mu_2^2 \sigma_1^2 - 2 \mu_1 \mu_2 \sigma_1 \sigma_2 \rho. \]

En el lado derecho de la ecuación tenemos una expresión cuadrática en $\mu_p$ por lo que podemos completar el cuadrado y obtener una expresión del tipo:

\[ \frac{\sigma_p^2}{c_1} - \frac{(\mu_p - \mu_0)^2}{c_2} = 1. \]

Es decir, podemos expresar la relación entre la desviación estándar (el riesgo) y la media del rendimiento del portafolio como una elipse

Ejemplo

Fecha	NAFTRACISHRS	FIBRAPL14	R.NAFTRACISHRS	R.FIBRAPL14
2023-11-22	52.50	71.77	0.0131223	0.2321030
2023-11-21	52.42	71.85	0.0154979	0.2351728
2023-11-17	52.64	71.54	0.0237262	0.2480809
2023-11-16	52.37	70.54	0.0159069	0.2278503
2023-11-15	52.70	71.04	0.0209221	0.2369842
2023-11-14	52.43	69.57	0.0137278	0.2215979
2023-11-13	51.01	68.98	-0.0179053	0.1932192
2023-11-10	51.19	69.20	0.0041193	0.2437096
2023-11-09	50.99	68.83	0.0105034	0.2935538
2023-11-08	50.85	69.84	0.0007872	0.2876106
2023-11-07	51.05	69.35	0.0067048	0.2797564
2023-11-06	51.50	68.16	0.0084198	0.2697466
2023-11-03	51.14	68.16	0.0199442	0.2826496
2023-11-01	49.58	64.58	-0.0226690	0.2462370
2023-10-31	48.86	64.61	-0.0170992	0.2698506

Suponiendo que el periodo seleccionado es representativo de ambos activos, entonces podemos calcular:

El rendimiento anual medio de Fibra Prologis y su correspondiente varianza: $\mu_1 = 0.1871306$, $\sigma_1^2 = 0.0061925$;
El rendimiento anual medio del Naftrac y su correspondiente varianza: $\mu_2 = 0.0366681$, $\sigma_2^2 = 0.0078621$;
El coeficiente de correlación entre ambos activos: $\rho_{12} = 0.0762278$.

Ahora, si quisiéramos obtener el punto de mínimo riesgo posible¹⁶, podemos obtenerlo de manera más formal como:

\[ \frac{d\sigma_p^2}{d\mu_p} = 2 \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sigma_1 \sigma_2 \rho}{(\mu_1 - \mu_2)^2} \mu_p - 2 \frac{\mu_1 \sigma_2^2 + \mu_2 \sigma_1^2 - \mu_1 \sigma_1\sigma_2 \rho - \mu_2 \sigma_1\sigma_2 \rho}{(\mu_1 - \mu_2)^2}. \]

\[ \frac{d\sigma_p^2}{d\mu_p} = 0 \\ 2 \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sigma_1 \sigma_2 \rho}{(\mu_1 - \mu_2)^2} \mu_p - 2 \frac{\mu_1 \sigma_2^2 + \mu_2 \sigma_1^2 - \mu_1 \sigma_1\sigma_2 \rho - \mu_2 \sigma_1\sigma_2 \rho}{(\mu_1 - \mu_2)^2} = 0 \\ 2 \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sigma_1 \sigma_2 \rho}{(\mu_1 - \mu_2)^2} \mu_p = 2 \frac{\mu_1 \sigma_2^2 + \mu_2 \sigma_1^2 - \mu_1 \sigma_1\sigma_2 \rho - \mu_2 \sigma_1\sigma_2 \rho}{(\mu_1 - \mu_2)^2} \\ (\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sigma_1 \sigma_2 \rho) \mu_p = \mu_1 \sigma_2^2 + \mu_2 \sigma_1^2 - \mu_1 \sigma_1\sigma_2 \rho - \mu_2 \sigma_1\sigma_2 \rho \\ \mu_p = \frac{\mu_1 \sigma_2^2 + \mu_2 \sigma_1^2 - \mu_1 \sigma_1\sigma_2 \rho - \mu_2 \sigma_1\sigma_2 \rho}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 - 2 \sigma_1 \sigma_2 \rho}. \]

Ejemplo (cont.): Podemos entonces ahora encontrar el portafolio de mínima varianza:

$\mu_p^* = 0.1215679$
$\sigma_p^* = 0.0610406$

El portafolio de mínima varianza compuesto por estos dos activos de riesgo consiste entonces en:

56.43% del capital invertido en Fibra Prologis;
43.57% del capital invertido en el Naftrac.

De hecho, si observamos con detenimiento, aunque el conjunto de posibilidades está descrito por la sección de la hipérbola arriba descrita, en realidad el conjunto racional es un subconjunto ya que existen combinaciones del portafolio para las cuales es posible encontrar un portafolio con mayor rendimiento esperado y el mismo riesgo. A esto es a lo que se le conoce como la frontera eficiente.

Ejemplo (cont.)

Regresemos entonces ahora al caso de $N$ activos de riesgo. Para encontrar ahora la frontera eficiente tenemos que resolver entonces:

\[ \min \textbf{w'} C \textbf{w} \\ \]

sujeto a

\[ \textbf{u'w} = 1 \\ \mathbf{\mu' w} = \mu_p. \]

Donde $C$ es la matriz de covarianzas, $\mu$ el vector de medias, $w$ es el vector de pesos o proporciones invertidas en cada activo y $u$ es el vector unitario de dimensión $N$.

El lagrangiano de este problema es, entonces:

\[ \mathcal{L}(\textbf{w},\lambda_1, \lambda_2) = \textbf{w'} C \textbf{w} - \lambda_1 (\textbf{u'w} - 1) - \lambda_2 (\mathbf{\mu'w} - \mu_p). \]

Diferenciando, tenemos que:

\[ \frac{\partial \mathcal{L}(\textbf{w},\lambda_1, \lambda_2)}{\partial \textbf{w}} = 2 C \textbf{w} - \lambda_1 \textbf{u} - \lambda_2 \mu\\ \frac{\partial \mathcal{L}(\textbf{w},\lambda_1, \lambda_2)}{\partial \lambda_1} = -(\textbf{u'w} - 1) \\ \frac{\partial \mathcal{L}(\textbf{w},\lambda_1, \lambda_2)}{\partial \lambda_2} = -(\mathbf{\mu'w} - \mu_p). \]

Igualando a cero:

\[ 2 C \textbf{w} - \lambda_1 \textbf{u} - \lambda_2 \mu= 0 \\ 2 C \textbf{w} = \lambda_1 \textbf{u} + \lambda_2\\ C \textbf{w} = \frac{1}{2} (\lambda_1 \textbf{u} + \lambda_2 \mu)\\ \textbf{w} = \frac{1}{2} C^{-1}(\lambda_1 \textbf{u} + \lambda_2 \mu); \]

\[ -(\textbf{u'w} - 1) = 0 \\ \textbf{u'w} = 1; \]

\[ -(\mathbf{\mu'w} - \mu_p) = 0 \\ \mathbf{\mu'w} = \mu_p. \]

de lo que se desprende que

\[ \textbf{u'w} = \frac{1}{2} \textbf{u'} C^{-1}(\lambda_1 \textbf{u} + \lambda_2 \mu) = 1 \\ \lambda_1 = \frac{2 - \textbf{u'} C^{-1} \lambda_2 \mu}{\textbf{u'} C^{-1} \textbf{u}}; \]

\[ \mu' \textbf{w} = \frac{1}{2} \mu' C^{-1}(\lambda_1 \textbf{u} + \lambda_2 \mu) = \mu_p \\ \lambda_1 = \frac{2 \mu_p- \mathbf{\mu'} C^{-1} \lambda_2 \mu}{\mathbf{\mu'} C^{-1} \textbf{u}}. \]

Entonces:

\[ \frac{2 - \textbf{u'} C^{-1} \lambda_2 \mu}{\textbf{u'} C^{-1} \textbf{u}} = \frac{2 \mu_p- \mathbf{\mu'} C^{-1} \lambda_2 \mu}{\mathbf{\mu'} C^{-1} \textbf{u}} \\ 2 - \textbf{u'} C^{-1} \lambda_2 \mu = 2 \mu_p- \mathbf{\mu'} C^{-1} \lambda_2 \mu \\ \mathbf{\mu'} C^{-1} \lambda_2 \mu - \textbf{u'} C^{-1} \lambda_2 \mu = 2 \mu_p - 2 \\ \lambda_2 (\mathbf{\mu'} C^{-1} \mu - \textbf{u'} C^{-1} \mu) = 2 (\mu_p - 1) \\ \lambda_2 = \frac{2 (\mu_p - 1)}{(\mathbf{\mu'} C^{-1} \mu - \textbf{u'} C^{-1} \mu)}; \]

\[ \lambda_1 = \frac{2 \mu_p- \mathbf{\mu'} C^{-1} \mu \lambda_2}{\mathbf{\mu'} C^{-1} \textbf{u}} \\ = \frac{2 \mu_p- \mathbf{\mu'} C^{-1} \mu \frac{2 (\mu_p - 1)}{(\mathbf{\mu'} C^{-1} \mu - \textbf{u'} C^{-1} \mu)}}{\mathbf{\mu'} C^{-1} \textbf{u}} \\ = \frac{2 \mu_p}{\mathbf{\mu'} C^{-1} \textbf{u}} - \frac{2 (\mu_p - 1)}{\mathbf{\mu'} C^{-1} \mu - \textbf{u'} C^{-1} \mu} \\ = \frac{2 \mu_p (\mathbf{\mu'} C^{-1} \mu - \textbf{u'} C^{-1} \mu) - 2 (\mathbf{\mu'} C^{-1} \textbf{u})(\mu_p - 1)}{(\mathbf{\mu'} C^{-1} \textbf{u})(\mathbf{\mu'} C^{-1} \mu - \textbf{u'} C^{-1} \mu)} \\ = 2 \frac{ \mu_p (\mathbf{\mu'} C^{-1} \mu - \textbf{u'} C^{-1} \mu - \mathbf{\mu'} C^{-1} \textbf{u}) + (\mathbf{\mu'} C^{-1} \textbf{u})}{(\mathbf{\mu'} C^{-1} \textbf{u})(\mathbf{\mu'} C^{-1} \mu - \textbf{u'} C^{-1} \mu)}. \]

Si sustituimos en la expresión para $\mathbf{w}$ obtenemos entonces una expresión para las ponderaciones del portafolio que 1) minimizan la varianza del portafolio, 2) dado un nivel especificado de rendimiento del portafolio que 3) dependen únicamente de la varianza y la media del rendimiento. La curva especificada por estas expresiones corresponde a la frontera eficiente.

2.3.3.3 TEOREMA DE LOS DOS FONDOS

Supongamos ahora que se desea obtener un nivel determinado de rendimiento $\mu_p$ al menor riesgo posible pero no nos es posible acceder a los $N$ activos existentes en el mercado sino únicamente a dos portafolios $P_1$ y $P_2$, ambos ubicados en la frontera eficiente. Cada uno de estos portafolios minimiza el riesgo para un determinado nivel de rendimiento. ¿Qué podemos hacer para obtener el rendimiento objetivo $\mu_p$?

El teorema de los dos fondos nos proporciona la solución. El teorema nos dice que cualquier portafolio que se ubique sobre la frontera eficiente puede ser generado a partir de una combinación de dos portafolios en la frontera eficiente.

Sean $\mu_i$ y $\sigma_i^2$ la media y la varianza del rendimiento del i-ésimo portafolio ($i \in \{1,2\}$). Entonces, como vimos anteriormente, las ponderaciones de los activos en el portafolio $i$ pueden ser expresadas como:

\[w_i = a \mu_i + b\]

$a$ y $b$ constantes determinadas por la media y la varianza/covarianza de los activos de riesgo. Entonces, si buscamos un portafolio en la frontera eficiente con rendimiento igual a $\mu_p$ sabemos que

\[ w_p = a \mu_p + b. \]

Por otra parte, siempre es posible descomponer a $\mu_p$ de la siguiente manera:

\[ \mu_p = \frac{\mu_p - \mu_1}{\mu_1 - \mu_2} \mu_2 + \frac{\mu_2 - \mu_p}{\mu_1 - \mu_2} \mu_1 \]

pero entonces

\[ w_p = a [\frac{\mu_p - \mu_1}{\mu_1 - \mu_2} \mu_2 + \frac{\mu_2 - \mu_p}{\mu_1 - \mu_2} \mu_1] + b \\ = a [\frac{\mu_p - \mu_1}{\mu_1 - \mu_2} \mu_2 + \frac{\mu_2 - \mu_p}{\mu_1 - \mu_2} \mu_1] + [\frac{\mu_p - \mu_1}{\mu_1 - \mu_2} + \frac{\mu_2 - \mu_p}{\mu_1 - \mu_2} ]b \\ = \frac{\mu_p - \mu_1}{\mu_1 - \mu_2} [ a \mu_2 + b ] + \frac{\mu_2 - \mu_p}{\mu_1 - \mu_2} [ a \mu_1 + b ] . \]

De lo que podemos concluir que se puede construir el portafolio objetivo a partir de la combinación de dos portafolios ubicados en la frontera eficiente.

2.3.3.4 AÑADIENDO AL MODELO UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO

[PENDIENTES: mencionar que la recta es la línea del mercado de capitales; identificar en la recta el punto de inversión / endeudamiento].

Hasta ahora hemos construido la frontera eficiente del conjunto de oportunidades considerando $N$ activos de riesgo utilizando el criterio de media y varianza en los rendimientos. Adicionalmente vimos que si podemos invertir en al menos dos portafolios eficientes, podemos construir cualquier portafolio en la frontera eficiente.

Agregaremos ahora un componente adicional a nuestro modelo. Supongamos que el inversionista puede ahora también invertir en un activo libre de riesgo (recuerda la primera situación que estudiamos), por ejemplo puede invertir en deuda gubernamental. Al igual que en la sección del inicio, permitiremos que el inversionista escoja si quiere invertir en el activo de riesgo una cantidad positiva de su patrimonio disponible (prestar) o si quiere invertir una cantidad negativa (pedir prestado). Dado que se trata de un activo libre de riesgo sabemos con certeza que su rendimiento será igual a una tasa $r$ efectiva por el periodo.

El inversionista puede entonces construir un nuevo portafolio, en el que dividirá su patrimonio e invertirá $x$ en el activo libre de riesgo y $(1-x)$ en el portafolio eficiente de activos riesgosos. ¿Cuál es el rendimiento esperado de este nuevo portafolio combinado?

\[ \begin{aligned} \mu_C &= E[x r_F + (1-x)r_P] \\ &= xr_F + (1-x)\mu_P. \end{aligned} \]

Y, ¿la varianza?

\[ \begin{aligned} \sigma_C^2 &= Var[x r_F + (1-x)r_P] \\ &= (1-x)^2\sigma_P^2 \\ \sigma_C &= (1-x)\sigma_P. \end{aligned} \]

Si sustituimos en la expresión para $\mu_p$:

\[ \begin{aligned} \mu_C &= xr_F + (1-x)\mu_P \\ &= \left( 1 - \frac{\sigma_C}{\sigma_P} \right) r_F + \frac{\sigma_C}{\sigma_P} \mu_P \\ &= r_F + \frac{\mu_P-r_F}{\sigma_P} \sigma_C. \end{aligned} \]

¿Qué significa esto? Que, dados un portafolio de activos riesgosos y un activo libre de riesgo, es posible encontrar un nuevo conjunto de posibilidades cuyo rendimiento esperado y desviación estándar se encuentran vinculados mediante una relación lineal descrita por la expresión anterior.

Ejemplo (cont.): Supongamos, sobre el ejemplo que hemos venido trabajando, que ahora nuestro inversionista puede invertir en un activo libre de riesgo que paga una tasa efectiva anual del 12.5% y en un portafolio riesgoso cuyo rendimiento esperado es del 16% y su desviación estándar es 0.075, ¿cuál es el conjunto de posibilidades para el nuevo portafolio combinado?

$r_F = 0.075$
$\mu_P = 0.16$
$\sigma_P = 0.075$
$\mu_C = 0.125 + \frac{0.16 - 0.075}{0.075} \sigma_C$

Observa los portafolios situados en el conjunto de posibilidades obtenido en el ejemplo anterior, ¿qué podemos decir de ellos?

Desde luego, el portafolio de activos riesgosos no es eficiente por lo que el punto señalado por las líneas punteadas no sería la opción óptima. Podemos encontrar entonces el portafolio combinado dentro del nuevo conjunto de posibilidades considerando un portafolio en la frontera eficiente (ya sea fijando el nivel de riesgo o fijando el rendimiento esperado).

Ejemplo (cont.)

El valor del riesgo correspondiente a un rendimiento esperado de 16% de un portafolio en la frontera eficiente es igual a 0.0676278. Entonces, el nuevo conjunto de posibilidades del portafolio combinado es:

$r_F = 0.075$
$\mu_P = 0.16$
$\sigma_P = 0.0676278$
$\mu_C = 0.075 + \frac{0.035}{{}} \sigma_C$

Observando el último ejemplo, podemos ahora preguntarnos, ¿es posible obtener el mismo rendimiento esperado a un menor riesgo? ¿Cómo?

Como seguramente te habrás dado cuenta, si recorremos la curva que describe la frontera eficiente de los activos sujetos a riesgo, el conjunto de posibilidades del portafolio combinado resultante permite acceder al mismo rendimiento esperado con gradualmente menor riesgo. ¿Hasta dónde es posible reducir el riesgo? Hasta que la línea que describe al conjunto de posibilidades del portafolio combinado es tangencial al conjunto de posibilidades de los activos sujetos a riesgo.

Ejemplo (cont.)

Observemos entonces que, con la introducción de un activo libre de riesgo, el inversionista logra tener acceso a un portafolio combinado del activo libre de riesgo y de un portafolio en la frontera eficiente, con un rendimiento esperado de 16% pero un riesgo igual a 0.0659134, contra un riesgo de 0.0676278, del portafolio sujeto a riesgo en la frontera eficiente, y contra un riesgo de 0.075, del primer portafolio seleccionado.

A esta línea recta que describe al nuevo conjunto de posibilidades se le conoce como la línea del mercado de capitales, y al portafolio que se encuentra en el punto de tangencia entre la LMC y la frontera eficiente se le conoce como el portafolio de mercado.

Supongamos que el inversionista decide invertir en un portafolio que se encuentra sobre la recta pero a la izquierda del punto en el que hace tangencia con la frontera eficiente, ¿qué significa esto en términos de las proporciones invertidas en el activo libre de riesgo y el portafolio riesgoso? Para dar respuesta a esta pregunta pensemos en lo que representa el punto en el que la recta intersecta el eje horizontal: en este punto el inversionista invierte la totalidad de su capital en el activo libre de riesgo (pues es la única manera de que el riesgo sea 0); en otras palabras, está prestando dinero a la tasa libre de riesgo. Conforme nos movemos hacia la derecha sobre la recta, la proporción invertida en el activo libre de riesgo disminuye y comienza a dedicar una porción de su capital a la inversión riesgosa. ¿Qué pasa en el punto de tangencia entre la recta y la frontera eficiente? En este punto, todo el capital del inversionista está aplicado al portafolio riesgoso.

¿Qué sucede a la derecha del punto de tangencia?

¿Qué nos permitió entonces el modelo de Markowitz al aumentarlo considerando la posibilidad de invertir en un instrumento libre de riesgo? Nos permitió simplemente extender el conjunto de posibilidades. Ahora, para un nivel de riesgo dado, o para un nivel de rendimiento esperado dado, es posible encontrar un portafolio con mayor rendimiento o con menor riesgo, que el portafolio ubicado en la frontera eficiente.

Sin embargo, seguimos teniendo un conjunto de posibilidades, no hemos resuelto realmente la pregunta que queríamos resolver, ¿cómo selecciona el inversionista en qué proporciones invertir su patrimonio? Pero, antes de responder esta pregunta, haremos una última extensión al conjunto de oportunidades permitiendo a los inversionistas realizar ventas en corto.

2.3.3.5 VENTAS EN CORTO

Se dice que un inversionista realiza una venta corta (o venta en corto) de un activo cuando vende algo de lo que no es dueño (ya sea porque no lo tiene o porque lo tomó prestado de alguien más y, desde luego, lo tiene que devolver).

¿Qué opinas de las ventas en corto en términos de riesgos? Imagínatela usando otro activo cualquiera, un auto, por ejemplo. ¿Qué crees que puede pasar?

¿En qué nos sirven las ventas en corto en nuestro contexto? Hasta ahora, hemos considerado que el inversionista puede adoptar únicamente posturas positivas en los activos del conjunto de oportunidades y, desde luego, la suma de las posiciones es igual al capital del inversionista. Ahora le permitiremos al inversionista tomar posiciones negativas en los activos (tomar prestado el activo de riesgo, en forma similar a como le permitimos tomar prestado dinero del mercado).

¿Qué efecto tiene esto en la frontera eficiente? El hecho de que pueda tomar prestados activos de riesgo significa que puede acceder a combinaciones de riesgo-rendimiento que antes no estaban disponibles. Si $\mu_p = w_1 \mu_1 + (1 - w_1) \mu_2$ y $\mu_1 < 0$ entonces, por fuerza $\mu_2 > 1$ ya que tenemos que mantener la restricción de que $\mu_1 + \mu_2 = 1$. Eso significa que los extremos (en rendimiento) de la frontera eficiente ya no son $\mu_1$ y $\mu_2$, de hecho el dominio de la frontera eficiente ya no se encuentra acotado.

Ejemplo (cont.): Para nuestros dos activos de riesgo se ve, entonces, la frontera eficiente con ventas en corto, de la siguiente manera:

Usando como referencia entonces la gráfica de nuestro ejemplo, podemos observar que hemos extendido infinitamente nuestro conjunto de posibilidades. Si las ventas en corto no están permitidas, el conjunto de posibilidades está acotado a los portafolios a los que puedo acceder que se encuentren entre el portafolio de mínima varianza y el activo de mayor rendimiento. Al permitir las ventas en corto, el inversionista puede acceder a un conjunto mucho mayor de posibilidades de combinaciones de riesgo-rendimiento.

Ahora sí, tenemos todos los elementos para preguntarnos, ¿cómo selecciona el inversionista en qué proporciones invertir su patrimonio?

2.3.3.6 PORTAFOLIOS ÓPTIMOS

Para encontrar el portafolio en el que el inversionista decidirá invertir es necesario, ahora sí, tomar en consideración las preferencias del inversionista. Para ello, asumiremos que el inversionista establece sus preferencias en función de dos variables: el rendimiento y el riesgo.

Si bien es cierto que podemos no hacer supuestos generales sobre la forma de las curvas de utilidad, la realidad es que lo más común es asumir que el inversionista prefiere más rendimiento a menos y menos riesgo a más (aversión al riesgo). Por ello, comúnmente se describe a las funciones de utilidad como funciones cóncavas (respecto del riesgo, para un nivel determinado de utilidad).

El inversionista pondrá su dinero, entonces, en el portafolio que le proporcione la máxima utilidad posible. Dado que ya vimos que, en presencia de un activo libre de riesgo siempre es posible construir un portafolio compuesto por el activo libre de riesgo y el portafolio de mercado cuyo riesgo será siempre menor para un determinado nivel de rendimiento, entonces el inversionista invertirá en el portafolio que se encuentre en el punto de tangencia entre la línea del mercado de capitales y la máxima curva de indiferencia posible (la de mayor utilidad posible).

Ejemplo (cont.): Supongamos entonces ahora que el inversionista manifiesta tener unas preferencias que pueden ser descritas por la curva:

\[ U(\mu, \sigma) = \alpha\ln\mu + \beta \sigma. \]

Si $\alpha = -0.25, \beta = 10$, entonces:

\[ U(\mu, \sigma) = -0.25 \ln\mu + 10 \sigma. \]

Por ejemplo, si $U = 2$:

¿Cómo podemos encontrar el portafolio óptimo para invertir de este inversionista? En primer lugar tenemos que encontrar el punto en el que su curva de indiferencia es tangencial a la línea del mercado de capitales (para un determinado nivel de utilidad). Para ello, primero encontramos:

\[ \begin{aligned} \frac{d\sigma}{d\mu} &= \frac{d}{d\mu}\left(\frac{u + 0.25 \ln \mu}{10}\right)\\ &= \frac{1}{40\mu}. \end{aligned} \]

Igualando a la pendiente de línea del mercado de capitales:

\[ \begin{aligned} \frac{1}{40 \mu} &= 0.4708098 \\ \mu^* &=\frac{1}{40 0.4708098} \\ \mu^* &= 0.0531. \end{aligned} \]

Podemos ahora obtener $\sigma^*$:

\[ \sigma^* = (\mu^* - 0.02) 0.4708098 = 0.0155838 \]

puesto que el portafolio debe encontrarse sobre la linea del mercado de capitales.

Dado que tenemos la media y la desviación del portafolio óptimo podemos encontrar el nivel de utilidad de la curva de indiferencia:

\[ U^* = -0.25 \ln \mu^* + 10 \sigma^* = 0.8897326. \]

Podemos entonces ahora graficar nuestra solución óptima:

¿Puedes encontrar la inconsistencia en el ejemplo?

2.3.3.7 ALGUNOS COMENTARIOS DE CIERRE

Problemas:

Tomador de decisiones racional
Riesgo descrito mediante varianza
¿Cómo obtenemos las curvas de utilidad?

“Moder Portfolio Theory is twaddle.” – Charlie Munger.

Tomado de un Blog: […] MPT teaches us to avoid volatility by buying fixed income and diversifying our investments.

¿Realmente nos enseña eso lo que acabamos de estudiar?

2.3.4 EJERCICIOS

Demuestra que la función de utilidad de Cobb-Douglas (ver ejemplo de clase) cumple con los axiomas de VNM.
A partir de la definición de la función de acumulación y la definición de rendimiento efectivo por periodo, demuestra que el rendimiento de un portafolio es igual a la combinación lineal del rendimiento de los activos que lo componen.
Encuentra la expresión para el portafolio de mínima varianza para el caso de $N$ activos de riesgo.
Obtén las expresiones para los valores en los que la frontera eficiente es tangente a la línea del mercado de capitales.

2.4 MODELOS DE VALUACIÓN DE ACTIVOS

En la sección anterior establecimos una manera en la que el inversionista determina en qué proporción invertir en un conjunto de activos posibles. Ahora nos enfocaremos en responder otra pregunta diferente, ¿cúal es el precio de un activo? Para ello, recurriremos a diferentes modelos.

2.4.1 CAPITAL ASSET PRICING MODEL (CAPM)

El primer modelo que estudiaremos es el modelo conocido como CAPM y está basado en lo que desarrollamos previamente sobre la teoría de portafolios de Markowitz.

Supongamos que se tiene un activo de riesgo $X$ en el que se desea invertir. ¿Cuál sería el rendimiento de un portafolio $P$ compuesto por este nuevo activo de riesgo y el portafolio de mercado?

\[ \mu_P = wR_X + (1-w)R_M. \]

¿Y el riesgo de este nuevo portafolio?

\[ \begin{aligned} \sigma_P^2 &= Var[wR_X + (1-w)R_M] \\ &= w^2 \sigma_X^2 + (1-w)^2 \sigma_M^2 + 2 w (1-w) Cov[R_X, R_M]. \end{aligned} \]

Observemos entonces que hemos llegado nuevamente a la especificación de una nueva hipérbola para este nuevo conjunto de posibilidades de inversión (de hecho es una hipérbola contenida en la del mercado por tratarse de un subconjunto del mercado).

Calculemos ahora

\[ \begin{aligned} \frac{d\mu_P}{d\sigma_P} &= \frac{\frac{d\mu_P}{dw}}{\frac{d\sigma_P}{dw}} \\ &= \frac{R_X - R_M}{\frac{1}{2}(w^2 \sigma_X^2 + (1-w)^2 \sigma_M^2 + 2 w (1-w) Cov[R_X, R_M])^{-1/2}(2w \sigma_X^2 - 2 (1-w) \sigma_M^2 + 2 Cov[R_X, R_M](1-2w))} \\ &= \frac{R_X - R_M}{(\sigma_P^2)^{-1/2}[w \sigma_X^2 - (1-w) \sigma_M^2 + Cov[R_X, R_M](1-2w)]} \\ &= \frac{R_X - R_M}{\frac{w \sigma_X^2 - (1-w) \sigma_M^2 + Cov[R_X, R_M](1-2w)}{\sigma_P}}. \end{aligned} \]

¿Cuál es el valor de esta derivada en el punto correspondiente al portafolio de mercado ($w = 0$)?

\[ \begin{aligned} \left. \frac{d\mu_P}{d\sigma_P} \right|_{w=0} &= \frac{R_X - R_M}{\frac{Cov[R_X, R_M]- \sigma_M^2}{\sigma_M}}. \end{aligned} \]

Ahora, dado que el portafolio de mercado forma parte de este conjunto de posibilidades y el portafolio de mercado se encuentra también sobre la línea del mercado de capitales:

\[ \begin{aligned} \left. \frac{d\mu_P}{d\sigma_P} \right|_{w=0} &= \frac{R_X - R_M}{\frac{Cov[R_X, R_M]- \sigma_M^2}{\sigma_M}} \\ \frac{R_X - R_M}{\frac{Cov[R_X, R_M]- \sigma_M^2}{\sigma_M}} &= \frac{R_M - R_F}{\sigma_M} \\ R_X - R_M &= \frac{R_M - R_F}{\sigma_M} \left( \frac{Cov[R_X, R_M]- \sigma_M^2}{\sigma_M} \right) \\ R_X - R_M &= (R_M - R_F) \left( \frac{Cov[R_X, R_M]- \sigma_M^2}{\sigma_M^2} \right) \\ R_X - R_M &= (R_M - R_F) \left( \frac{Cov[R_X, R_M]}{\sigma_M^2} - 1 \right) \\ R_X - R_F &= (R_M - R_F) \left( \frac{Cov[R_X, R_M]}{\sigma_M^2}\right) \\ R_X &= R_F + \beta_X (R_M - R_F). \end{aligned} \]

A esta expresión se le conoce como la fórmula del CAPM y nos permite expresar el rendimiento esperado de cualquier activo dentro del conjunto de posibilidades en función de: el rendimiento del activo libre de riesgo, el rendimiento del portafolio de mercado y la estructura de correlación entre el activo de riesgo y el portafolio de mercado.

¿Cómo podemos usar entonces la fórmula del CAPM para valuar (ponerle precio) al activo $X$?

Significado de la beta en términos de riesgos.
Uso de la beta como parámetro de inversión.
Video de KKR sobre alfas y betas.
Ejemplo.

2.4.1.1 SUPUESTOS DEL CAPM

No hay costos de transacción.
Se puede adquirir cualquier proporción de los activos.
No hay impuestos.
El individuo no influye en los precios (price taker).
El individuo decide únicamente en función de riesgo-rendimiento (y el riesgo es medido mediante la varianza del rendimiento).
Se permiten las ventas en corto.
Se permite tomar y dar crédito a la tasa libre de riesgo.
Todos los inversionistas (el mercado) consideran el mismo periodo de tiempo en la inversión.
Todos los inversionistas consideran el único criterio el riesgo-rendimiento.
Todos los activos tienen mercado.

Por eso se dice que este modelo pertenece a la categoría de modelos de equilibrio. El trabajo de un analista consiste, con frecuencia, en realizar ajustes a estos supuestos para llevarlos a una situación más realista (a costa de un modelo más complejo) o bien, en encontrar oportunidades de negocio aproximando la realidad al modelo (!!).

2.4.2 APT

2.5 HIPÓTESIS DE MERCADOS EFICIENTES

2.6 VALUACIÓN DE BONOS (2)

2.7 VALUACIÓN DE INSTRUMENTOS DERIVADOS

3 PARTE 3: MERCADOS DE VALORES EN TIEMPOS DISCRETOS

3.1 INTRODUCCIÓN

Esta parte de los apuntes sigue (en mayor medida) a los apuntes tomados de enero a mayo del 2001 en la materia “Temas Especiales de Finanzas” impartida por el Dr. A. Núñez en la Lic. en Actuaría en el ITAM.

3.1.1 BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

Pliska (1997)

3.2 MERCADOS DE VALORES DE UN SOLO PERIODO

Lecturas recomendadas

Pliska (1997), cap. 1.

Un modelo, por definición, es una descripción incompleta / imperfecta de un fenómeno observado en la vida real, usualmente complejo. Modelamos con la intención de que la simplificación implícita en el modelo nos permita entender mejor el fenómeno que estamos estudiando, o algún aspecto relevante de él, al menos. Con frecuencia, en el proceso de modelar un fenómeno, comenzamos con una propuesta de modelo relativamente simple y, gradualmente, vamos añadiendo capas de complejidad que incorporen aspectos más sofisticados del comportamiento del fenómeno.

Con esta advertencia en mente, debemos entender que los modelos de mercados de valores de un solo periodo son representaciones poco realistas de los mercados, pero son matemáticamente simples y, por lo tanto, nos sirven como un punto de partida para modelar los mercados.

Supongamos que una persona (un inversionista) puede invertir su capital únicamente en dos momentos en el tiempo, $t = 0,1$. Adicionalmente, supongamos que, al tiempo $t=1$ existen $K < \infty$ diferentes posibles estados del mundo $\omega : \omega \in \Omega = \{\omega_1, \dots, \omega_K \}$. Al tiempo $t=0$ el estado del mundo al tiempo $t=1$ es desconocido por lo que es posible asociar una medida de probabilidad $P$ tal que $P(\omega) > 0 \ \forall \ \omega \in \Omega$.

Ahora, consideremos que el inversionista puede invertir su dinero en $N+1$ activos. Para estos activos existe, además, un proceso de precios $S_i = \{S_i(t): t = 0,1\} \ \forall \ i \in [1, \dots, N+1]$. Se asumirá que al tiempo $t=0$ todos los precios son conocidos para el inversionista (son escalares) pero al tiempo 0 no es posible conocer los precios al tiempo $t = 1$ por lo que son variables aleatorias y, además, se considerará que son variables aleatorias positivas.

Ahora bien, $N$ de estos activos son valores (p.e., acciones), también llamados activos riesgosos. El activo restante (digamos, el activo $0$) es dinero (i.e., el inversionista puede decidir dejar todo o parte de su dinero en efectivo) que se considerará como depositado en una cuenta bancaria. Para este activo, el dinero, haremos consideraciones especiales ya que, siendo dinero, el precio unitario de este activo al tiempo 0 tiene que ser $S_{0}(0) = B(0) = 1$ donde $B(t)$ representa el saldo en la cuenta bancaria al tiempo $t$. Desde luego, el saldo en la cuenta bancaria al tiempo $t= 1$ deberá ser entonces $S_0 (1) = B(1) = B(0)(1 + r)$, donde $r$ es la tasa de interés efectiva por periodo. Obsérvese que $r$ podrá ser conocida o no (i.e., $B(t)$ podrá ser una variable aleatoria o no) y puede ser tanto negativa como positiva (aunque generalmente $r > 0$).

Una estrategia de inversión,$H$, describe al portafolio de un inversionista a través de las posiciones mantenidas del tiempo 0 al tiempo 1. Por lo tanto, $H = (H_0, H_1, \dots, H_N)$, donde $H_i$ es el número de unidades del activo $i$ mantenidas en posición del tiempo 0 al tiempo 1 (observemos que, si $H_0$ es el número de unidades de efectivo, entonces corresponde al monto en efectivo). En general, es importante saber que $H_i$ puede ser cualquier número (entero) sin embargo, no es raro encontrar situaciones en las que se ponen restricciones de algún tipo a $H_i$ (p.e., en ocasiones se exige que $H_i > 0$, es decir, no se puede deber unidades de $H_i$ o tener posiciones cortas, como se conoce en la práctica).

Usaremos $V_t$ para denotar el valor total del portafolio al tiempo $t$, y le llamaremos el proceso de valor. Es claro entonces que:

\[V_t = \sum\limits_{i = 0}^{N} H_i S_i (t).\]

Para describir las ganancias obtenidas por el portafolio al tiempo 1 utilizaremos el proceso de ganancias, denotado por $G$:

\[G = \sum\limits_{i = 0}^{N} H_i [S_i (1) - S_i (0)]\]

\[= \sum\limits_{i = 0}^{N} H_i \Delta S_i.\]

Observa que:

\[V_1 = \sum\limits_{i = 0}^{N} H_i S_i (1)\]

\[V_1 = \sum\limits_{i = 0}^{N} H_i [S_i (1) - S_i (0) + S_i (0)]\]

\[= \sum\limits_{i = 0}^{N} H_i S_i (0) + \sum\limits_{i = 0}^{N} H_i [S_i (1) - S_i (0)]\]

\[= V_0 + \sum\limits_{i = 0}^{N} H_i \Delta S_i\]

\[= V_0 + G.\]

Finalmente, en general nos va a interesar trabajar con cifras comparables entre sí. En la primera parte de estos apuntes (Teoría del Interés) aprendimos que para poder comparar flujos de dinero en el tiempo tenemos que referirlos a un mismo punto focal. Por lo tanto, definiremos al proceso de precios descontados:

\[S_i^* (t) = S_i (t) (1+r)^{-t} = S_i (t) B^{-1}(t)\]

y, consecuentemente, el proceso de valor descontado y el proceso de ganancias descontadas:

\[V_t^* = \sum\limits_{i = 0}^{N} H_i S_i^* (t)\]

\[G^* = \sum\limits_{i = 0}^{N} H_i \Delta S_i^*.\]

Estrategia dominante: Una estrategia $H$ con un proceso de valor $V$ decimos que es una estrategia dominante si $V_0 = 0$, $V_1(w) > 0 \ \forall \ w \in \Omega$.

Ejemplo: Para $t = 0,1$, $k = 3$, $r = 0.1$, $N = 2$ si:

Activo	$S(0)$	$S(1)$
$A_1$	1	$(1,2,3)$
$A_2$	2	$(2,1,2)$

Considera las estrategias:

$H_A = (1,0,1)$
$H_B = (-1,1,-1)$
$H_C = (2,-1,x), x \backepsilon V_0 = 0$

Calcula $V, G, V^*, G^*$ y determina si existe una estrategia dominante.

R

\[ \begin{aligned} V_A(0) &= 1 + 0 \times 1 + 1 \times 2 = 3\\ V_A(1,1) &= 1 \times 1.1 + 0 \times 1 + 1 \times 2 = 3.1\\ V_A(1,2) &= 1 \times 1.1 + 0 \times 2 + 1 \times 1 = 2.1\\ V_A(1,3) &= 1 \times 1.1 + 0 \times 3 + 1 \times 2 = 3.1\\ V_B(0) &= -1 + 1 \times 1 + -1 \times 2 = -2\\ V_B(1,1) &= -1 \times 1.1 + 1 \times 1 - 1 \times 2 = -2.1\\ V_B(1,2) &= -1 \times 1.1 + 1 \times 2 - 1 \times 1 = -0.1\\ V_B(1,3) &= -1 \times 1.1 + 1 \times 3 - 1 \times 2 = -0.1\\ V_C(0) &= 2 - 1 \times 1 + x \times 2 = 0\\ 2x &= -1\\ x &= -1/2\\ V_C(1,1) &= 2 \times 1.1 - 1 \times 1 + (-1/2) \times 2 = 0.2\\ V_C(1,2) &= 2 \times 1.1 - 1 \times 2 + (-1/2) \times 1 = -0.3\\ V_C(1,3) &= 2 \times 1.1 - 1 \times 3 + (-1/2) \times 2 = -1.8\\ \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} G_A(1) &= V_A(1,1) - V_A(0) = 0.1\\ G_A(2) &= V_A(1,2) - V_A(0) = -0.9\\ G_A(3) &= V_A(1,3) - V_A(0) = 0.1\\ G_B(1) &= V_B(1,1) - V_B(0) = -0.1\\ G_B(2) &= V_B(1,2) - V_B(0) = -1.9\\ G_B(3) &= V_B(1,3) - V_B(0) = -1.9\\ G_C(1) &= V_C(1,1) - V_C(0) = 0.2\\ G_C(2) &= V_C(1,2) - V_C(0) = -0.3\\ G_C(3) &= V_C(1,3) - V_C(0) = -1.8\\ \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} V_A^*(1,1) &= 3.1 / 1.1 = 2.82\\ V_A^*(1,2) &= 2.1 / 1.1 = 1.91\\ V_A^*(1,3) &= 3.1 / 1.1 = 2.82\\ V_B^*(1,1) &= -2.1 / 1.1 = -1.91\\ V_B^*(1,2) &= -0.1 / 1.1 = -0.09\\ V_B^*(1,3) &= -0.1 / 1.1 = -0.09\\ V_C^*(1,1) &= 0.2 / 1.1 = 0.18\\ V_C^*(1,2) &= -0.3 / 1.1 = -0.27\\ V_C^*(1,3) &= -1.8 / 1.1 = -1.64\\ \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} G_A^*(1) &= -1.18\\ G_A^*(2) &= -1.09\\ G_A^*(3) &= -1.18\\ G_B^*(1) &= 0.09\\ G_B^*(2) &= 1.91\\ G_B^*(3) &= 1.91\\ G_C^*(1) &= 0.08\\ G_C^*(2) &= -0.27\\ G_C^*(3) &= -1.64\\ \end{aligned} \]

Con base en la definición de estrategia dominante y los resultados arriba obtenidos, podemos afirmar que no existe una estrategia dominante, ya que la única estrategia para la que $V(0) = 0$ es la estrategia $C$ y para esa estrategia existen estados del mundo $w$ para los que $V(1,w) < 0$.

En general, en mercados ideales esperaríamos que no existieran las estrategias dominantes ya que esto significaría que existiría al menos una manera de obtener ganancias sin incurrir en ningún riesgo (i.e., obtener ganancias invirtiendo $\$0$).

Alternativamente, una estrategia dominante se puede definir de manera equivalente como:

aquella para la que $V_0 < 0$, $V_1(\omega) \geq 0 \ \forall \ \omega \in \Omega$
decimos que una estrategia $\hat{H}$ es dominante sobre $H$ si $\hat{V}_0 = V_0$ y $\hat{V}_1 (\omega) > V_1(\omega) \ \forall \ \omega \in \Omega$.

La demostración de la equivalencia se deja como ejercicio.

Esta última manera de definir a una estrategia dominante permite dar otro argumento en contra de la existencia de estrategias dominantes en mercados ideales: si consideramos que $V_0$ es el valor al tiempo 0 de un contrato que paga $V_1 (\omega)$ al tiempo 1, entonces tenemos dos contratos para los que su valor al tiempo 0 es el mismo pero sabemos que $\hat{H}$ vale siempre más al tiempo 1. En otras palabras, la existencia de estrategias dominantes en un mercado dan lugar a mecanismos de valuación (generación de precios) deficientes.

Medida de valuación lineal: Decimos que en un mercado existe una medida de valuación lineal $\pi$ si se cumple que $\pi$ es una medida de probabilidad¹⁷ en el espacio muestral $\Omega$ y

\[S_n^* (0) = \sum\limits_{\omega} \pi (\omega) S_1^*(\omega); \ n = \{1, \dots, N\}.\]

En otras palabras, si $\pi$ es una medida de valuación lineal, los precios de los activos al tiempo 0 serán iguales al valor esperado de los precios descontados (bajo la medida $\pi$).

Adicionalmente, si $\pi$ es una medida de valuación lineal, entonces se cumple que:

\[V_0^* = \sum\limits_{\omega} \pi (\omega)V_1^*(\omega) = \sum\limits_{\omega} \pi (\omega)\frac{V_1(\omega)}{B_1}; \ \pi(\omega)>0 \ \forall \ \omega \in \Omega.\]

Teorema: En un mercado existe una medida de valuación lineal si y solo si no existen estrategias dominantes.

(DEMOSTRACIÓN PENDIENTE: la demostración en Pliska 1997 hace referencia a programación lineal por lo que, PENDIENTE: anexo de programación lineal y programas lineales duales.)

Ahora bien, en términos económico-financieros, es posible imaginar otra situación similar a la planteada hasta aquí que resultaría inaceptable en un mercado: uno esperaría que si dos estrategias tienen el mismo proceso de valor al tiempo 1, su valor al tiempo 0 también sea el mismo. A esto es a lo que se le conoce como la ley de un solo precio

Ley de un solo precio: Se dice que en un mercado la ley de un solo precio aplica si no es posible encontrar dos estrategias $\hat{H}$ y $\tilde{H}$ tales que $\hat{V}_1(\omega) = \tilde{V}_1(\omega) \ \forall \ \omega \in \Omega$ y $\hat{V}_0 > \tilde{V}_0$.

Teorema: En un mercado en el que no existen estrategias dominantes la ley de un solo precio se cumple (la relación no necesariamente se cumple en el otro sentido).

(DEMOSTRACIÓN PENDIENTE VER Pliska 1997.)

Ejemplo: Suponga $K= 2$, $N = 1$, $r = 1$, $S_0 = 10$ y $S_1(\omega_1) = S_1(\omega_2) = 12$. Demuestra que la ley de un solo precio no se cumple en este mercado.
R: Sean dos estrategias cualesquiera $\hat{H}$ y $\tilde{H}$, entonces:

\[ \hat{V}_0 = \hat{H}_0 + \hat{H}_1S_1(0)\\ = \hat{H}_0 + 10 \hat{H}_1\\ \hat{V}_1(\omega_1) = \hat{H}_0 (1+r) + \hat{H}_1S_1(\omega_1)\\ = 2 \hat{H}_0 + 12\hat{H}_1\\ = \hat{V}_1(\omega_2) \]

\[ \tilde{V}_0 = \tilde{H}_0 + \tilde{H}_1S_1(0)\\ = \tilde{H}_0 + 10 \tilde{H}_1\\ \tilde{V}_1(\omega_1) = \tilde{H}_0 (1+r) + \tilde{H}_1S_1(\omega_1)\\ = 2 \tilde{H}_0 + 12\tilde{H}_1\\ = \tilde{V}_1(\omega_2). \]

Es posible entonces ver que para cualquier $\lambda$ tal que

\[ \hat{V}_1{(\omega_1)} = \hat{V}_1{(\omega_2)} = \tilde{V}_1{(\omega_1)} = \tilde{V}_1{(\omega_2)} = \lambda \]

se verificará que $\hat{V}_0 \neq \tilde{V}_0$ siempre que $\hat{H} \neq \tilde{H}$. Sea, por ejemplo, $\lambda = 10$ entonces:

\[ \hat{V}_1(\omega_1) = \hat{V}_1(\omega_2)\\ = 2 \hat{H}_0 + 12\hat{H}_1\\ 2 \hat{H}_0 + 12\hat{H}_1 = 10\\ 2 \hat{H}_0 = 10 - 12\hat{H}_1 \\ \hat{H}_0 = \frac{10 - 12\hat{H}_1}{2}; \]

en forma similar: $\tilde{H}_0 = \frac{10 - 12\tilde{H}_1}{2}$.

Sea ahora $\hat{H}_1 = 1$ y $\tilde{H}_1 = 2$, entonces:

\[ \hat{H}_0 = \frac{10 - 12\hat{H}_1}{2}\\ = \frac{10 - 12}{2}\\ = -1: \tilde{H}_0 = \frac{10 - 12\tilde{H}_1}{2}\\ = \frac{10 - 12 \times 2}{2}\\ = \frac{-14}{2}\\ = -7. \]

Por lo que:

\[ \hat{V}_0 = -1 + 10 \times 1\\ = 9;\\ \tilde{V}_0 = -7 + 10 \times 2\\ = 13. \]

¿Qué pasa si $S_1(\omega_2) = 8$? ¿Existe una estrategia dominante?

R: Ahora tenemos que:

\[ V_0 = H_0 + 10H_1\\ V_1(\omega_1) = 2H_0 + 12H_1\\ V_1(\omega_2) = 2H_0 + 8H_1. \]

Si $V_1(\omega_1) = \lambda_1$ y $V_1(\omega_2) = \lambda_2$ entonces $H_1 = \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{4}$. Es decir que el valor de $H_1$ está completamente determinado por lo que el único caso para el que $V_1$ es igual para dos estrategias cualesquiera es el caso en el que $H_0$ y $H_1$ tienen el mismo valor para ambas estrategias. Por lo tanto, se cumple la ley de un solo precio.

Ahora, ¿es posible encontrar $H$ tal que $V_0 = 0$ y $V_1 > 0$? Buscamos entonces

\[ \begin{aligned} H_0 + 10H_1 &= 0 &\\ H_0 &= -10H_1 & (1)\\ 2H_0 + 12H_1 &> 0 &\\ 2H_0 + 8H_1 &> 0 &\\ 2(-10H_1) + 12H_1 &> 0 &\\ 2(-10H_1) + 8H_1 &> 0 &\\ -20H_1 + 12H_1 &> 0 &\\ -20H_1 + 8H_1 &> 0 &\\ -8H_1 &> 0 &\\ -12H_1 &> 0 &\\ H_1 &< 0 & (2). \end{aligned} \]

Entonces, para cualesquiera $H_0 = -10H_1$ y $H_1 < 0$ se cumple que $V_0 = 0$ y $V_1 > 0$ entonces existe una estrategia dominante.

En particular, por ejemplo, si $H_1 = -1$ entonces $H_0 = 10$. De lo que se desprende que $V_0 = 10 + 10 \times (-1) = 0$ y $V_1(\omega_1) = 2 \times 10 + (-1) \times (12) = 8$ y $V_1(\omega_2) = 2 \times 10 + (-1) \times (8) = 12$.

Ahora bien, ya se mencionó que los mercados en los que existen estrategias dominantes dan lugar a resultados no deseables. Sin embargo, es posible considerar la existencia de mercados en los que no existan estrategias dominantes pero un inversionista pueda encontrar estrategias en las que, partiendo de una inversión con valor cero, no incurra en riesgo de pérdidas. Llamamos a esto una oportunidad de arbitraje.

Oportunidad de arbitraje: Una estrategia $H$ es una oportunidad de arbitraje si:

$V_0 = 0$;
$V_1(\omega) \geq 0 \ \forall \ \omega \in \Omega$;
$E[V_1(\omega)] > 0$.

Teorema: La existencia de estrategias dominantes implica la existencia de oportunidades de arbitraje.

[Demostración pendiente]

Ejemplo: Sean $K = 2$, $N = 1$, $r = 0$, $S_0 = 10$, $S_1(\omega_1)=12$ y $S_1(\omega_2)=10$. Demuestra que la estrategia $H = (-10,1)$ representa una oportunidad de arbitraje.
R: Para demostrarlo, verificaremos si se cumplen las condiciones de una oportunidad de arbitraje:

$V_0 = -10 \times 1 + 1 \times 10 = 0$;
$V_1(\omega_1) = -10 \times (1 + r) + 1 \times S_1(\omega_1) = 2$, $V_1(\omega_2) = -10 \times (1 + r) + 1 \times S_1(\omega_2) = 0$ por lo que $V_1(\omega) \geq 0 \ \forall \ \omega \in \Omega$;
$E[V_1(\omega)] = -10 + 12 \pi(\omega_1) + 10 \pi(\omega_2) = 10 + 12 \pi(\omega_1) - 10 \pi(\omega_1) - 10 = 2 \pi(\omega_1) > 0$.
¿Existe una estrategia dominante?

R: Sabemos que $V_0 = -10 + S_0 = 0$, adicionalmente, podemos ver que $S_1^*(\omega_1) = 12$ y $S_1^*(\omega_2) = 10$ por lo que si:

\[ \begin{aligned} V_0 &= \sum\limits_{\omega} \pi (\omega)V_1^*(\omega)\\ &= -10 + \pi(\omega_1) \times S_1^*(\omega_1) + (1-\pi(\omega_1)) \times S_1^*(\omega_2)\\ &= -10 + \pi(\omega_1) \times 12 + (1-\pi(\omega_1)) \times 10\\ &= \pi(\omega_1) \times 12 - \pi(\omega_1) \times 10\\ &= 2 \pi(\omega_1)\\ \pi(\omega_1) &= 0\\ \pi(\omega_2) &= 1. \end{aligned} \]

Entonces, dada la estructura del mercado encontramos una medida de valuación lineal por lo que no existen estrategias dominantes.

Una manera equivalente de definir a una oportunidad de arbitraje es como una estrategia $H$ tal que:

$G^* \geq 0$;
$E[G^*] > 0$.

Podemos agrupar entonces al universo de los mercados como mercados en los que:

no hay oportunidades de arbitraje;
hay oportunidades de arbitraje pero no existen estrategias dominantes;
hay estrategias dominantes pero aplica la ley de un solo precio;
no aplica la ley de un solo precio.

4 ANEXOS

4.1 ANTECEDENTES ÚTILES DE MATEMÁTICAS

4.1.1 LA CONSTANTE e

Se dice que Jacob Bernoulli (es decir, el teólogo, no su hermano Johann, el médico, igual de famoso) descubrió la constante $e$ trabajando en la solución a un problema de interés compuesto en 1683. Esto quizá no es muy preciso, ya que la constante ya había aparecido en forma más o menos explícita en el trabajo de otros matemáticos previamente. Paradójicamente, la constante es conocida como la constante de Euler debido a que fue Leonhard Euler quien popularizó el uso de la letra $e$ para denotar a la constante, por lo que ni Bernoulli (a quien más se reconoce como su descubridor) ni John Napier (el inventor de los logaritmos y, de manera implícita, el descubridor original de la constante) son, al menos de nombre, asociados a la constante $e$ (aunque en ocasiones sí se le refiere como la constante de Napier). Para mayor detalles, ver O’Connor and Robertson (2001).

En el caso de Bernoulli (que es el de mayor interés para nuestra materia), la constante surge a raíz de buscar dar respuesta al siguiente problema de matemáticas financieras: supongamos que contamos con un capital inicial de $1 y se deposita en una cuenta que paga un interés del 100% nominal anual suponiendo interés compuesto. ¿A cuánto asciende el monto acumulado al final del año si los intereses se pagan en forma anual?

\[A(1) = 1 \cdot (1 + 1) = 2.\]

Supongamos ahora que el pago se realiza en forma semestral, ¿cuál es ahora el valor del monto acumulado al finalizar el año? Lo primero que tenemos que observar es que ahora tenemos 2 pagos de intereses, entonces:

\[A(2) = 1 \cdot \left(1 + \frac{i^{(2)}}{2} \right)^2 = 1 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} \right)^2.\]

¿Y si la cuenta paga (convierte) intereses en forma cuatrimestral? Entonces tenemos 3 periodos de pagos:

\[A(3) = 1 \cdot \left(1 + \frac{i^{(3)}}{3} \right)^3 = 1 \cdot \left(1 + \frac{1}{3} \right)^3.\]

Podemos ver el patrón. Claramente, si la cuenta paga los intereses $n$ veces al año, entonces:

\[A(n) = \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n.\]

Bernoulli, entonces, se planteó la pregunta de cuál es el monto acumulado en la cuenta al finalizar el año si los intereses se pagan en forma instantánea, esto es, si tomamos el caso límite:

\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty} A(n) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n.\]

Bernoulli utilizó el teorema del binomio de Newton para proporcionar una aproximación a la solución de este límite (Blasco (2019)), pero en realidad fue Euler el que asoció este límite a la constante $e$ definida como:

\[e = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{i!}.\]

4.1.2 FÓRMULA CUADRÁTICA

Para encontrar las soluciones a la ecuación cuadrática:

\[ax^2 + bx + c = 0 \space \forall \space a \neq 0\]

Las raíces se encontrarán en los puntos $x$ iguales a:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

4.1.3 SERIES

4.1.3.1 SUMA DE LOS PRIMEROS n ENTEROS

\[\sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{n \cdot (n+1)}{2}\]

Prueba

\[2\sum\limits_{i = 1}^n i = \sum\limits_{i = 1}^n 2i = \sum\limits_{i = 1}^n (2i+1-1) =\]

\[\sum\limits_{i = 1}^n \left[(i^2 + 2i + 1) - i^2 \right] - n = \sum\limits_{i = 1}^n \left[(i + 1)^2 - i^2 \right] - n = \sum\limits_{i = 1}^n (i + 1)^2 - \sum\limits_{i = 1}^n i^2 - n =\]

\[\sum\limits_{i = 2}^{n+1} i^2 - \sum\limits_{i = 1}^n i^2 - n = (n+1)^2 - 1 - n = n^2 + 2n + 1 - 1 - n =\]

\[n^2 + n = n(n+1) \Rightarrow \sum\limits_{i = 1}^n i = \frac{n \cdot (n+1)}{2}\]

4.1.3.2 SERIE ARITMÉTICA

4.1.3.3 SERIE GEOMÉTRICA

A la serie

\[a, ar, ar^2, \dots,ar^{n-1}\]

se le conoce como una serie geométrica de $n$ términos y es posible demostrar que:

\[\sum\limits_{i=0}^{n-1} ar^i = a \frac{r^n - 1}{r - 1}\]

Adicionalmente, si $|r| < 1$ entonces:

\[\sum\limits_{i=0}^{n-1} ar^i = \lim\limits_{n \rightarrow \infty} a \frac{r^n - 1}{r - 1} = \frac{a}{1 - r}\]

4.1.3.4 SERIE ARITMÉTICO-GEOMÉTRICA

\[S_n = \sum\limits_{t=1}^n [a + (t-1)d]r^{t-1} = \frac{a - [a + (n-1)d]r^n}{1-r} + \frac{dr(1-r^{n-1})}{(1-r)^2}\]

Demostración: Sean

\[S = a + (a+d)r + (a+2d)r^2 + \cdots + (a+(n-1)d)r^{n-1}\]

\[Sr = ar + (a+d)r^2 + (a+2d)r^3 + \cdots + (a+(n-1)d)r^n\]

entonces

\[S - Sr = a + dr +dr^2 + dr^3 + \cdots + dr^{n-1} - (a + (n-1)d)r^n \Rightarrow\]

\[S(1-r) = a - [a + (n-1)d]r^n + dr \frac{1 - r^{n-1}}{1 - r} \Rightarrow\]

\[S = \frac{a - [a + (n-1)d]r^n}{1 - r} + dr \frac{1 - r^{n-1}}{(1 - r)^2}.\]

4.1.4 LÍMITES

Definición: sea $f(x)$ una función definida en un intervalo abierto alrededor de $x_0$ (exceptuando posiblemente a $x_0$). Se dice que $f(x)$ tienede al límite $L$ conforme $x$ tiende a $x_0$ tal que para todo $x$:

\[0 < |x - x_0|< \delta \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon\]

\[\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = L\]

si, para cada número $\epsilon$ existe un correspondiente número $\delta > 0$

Se dice que $f(x)$ tiene límite $L$ conforme $x$ tiende a infinito

\[\lim\limits_{x \rightarrow \infty} f(x) = L\]

si, para cada número $\epsilon > 0$ existe un número $M$ correspondiente tal que para todo $x$:

\[x > M \Rightarrow |f(x) - L| < \epsilon\]

Propiedades:
- $\lim\limits_{x \rightarrow c} [f(x) + g(x)] = L + M$
- $\lim\limits_{x \rightarrow c} [f(x) - g(x)] = L - M$
- $\lim\limits_{x \rightarrow c} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$
- $\lim\limits_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}; \space M \neq 0$
- $\lim\limits_{x \rightarrow c} [f(x)]^{\frac{m}{n}} = L^{\frac{m}{n}}; \space m,n \in \mathbb{Z}; L^{\frac{m}{n}} \in \mathbb{R}$
- $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} = 0$

4.1.5 DERIVADAS

4.1.5.1 DEFINICIÓN

La derivada de una función $f$ con respecto a la variable $x$ es la función $f'$ cuyo valor en $x$ es igual a:

\[f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\]

Siempre que el límite exista. Si el límite existe decimos que $f(x)$ es diferenciable.

4.1.5.2 PROPIEDADES

Derivada de una constante: $\frac{d}{dx}c = 0$
Derivada de una potencia: $\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \forall \space n \neq 0$
Derivada de un producto de funciones: $\frac{d}{dx} uv = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$
Derivada de $a^u$ cuando $u$ es una función de $x$ diferenciable: $\frac{d}{dx}a^u = a^u ln(a) \frac{du}{dx}$.
Derivada de un logaritmo: $\frac{d}{dx}ln(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$
Regla de la cadena: si $f(u)$ es diferenciable en el punto $u = g(x)$, y $g(x)$ es diferenciable en $x$, entonces la función compuesta $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ es diferenciable en $x$ y:

\[(f \circ g)(x)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

4.1.5.3 TEOREMA DE TAYLOR

Si $f$ y sus primeras $n$ derivadas $f',f'', \dots,f^{(n)}$ son continuas en $[a,b]$, y $f^{(n)}$ es diferenciable en $(a,b)$, entonces existe un número $c$ entre $a$ y $b$ tal que:

\[f(b) = f(a) + f'(a)(b-a) + \frac{f''(a)}{2!}(b-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(b-a)^n + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}\]

4.1.6 REGLA DE L’HOPITAL (PRIMERA FORMA)

Suponga que $f(a) = g(a) = 0$, que $f'(a)$ y $g'(a)$ existen y que $g'(a) \neq 0$. Entonces:

\[\lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{f(a)}{g(a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}\]

4.1.7 INTEGRALES

$\int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a}ln|ax+b|+c$
$\int a^{u} du = \frac{a^{u}}{ln(a)} + c$
- $\int e^{ax} dx = \frac{e^{ax}}{a} + c$
$\int x e^{ax}dx = \frac{e^{ax}}{a^2}(ax - 1) + c$
Integración por partes:

\[ \int f(x) g'(x) dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) dx \]

4.2 ACTIVOS E INSTRUMENTOS FINANCIEROS

Un activo financiero, es un derecho, del tenedor o dueño de dicho activo, sobre los ingresos o beneficios generados por factores de producción o activos reales (trabajo, tierra o capital).

De acuerdo con las NIF (Consejo Mexicano para la Investigación y Desarrollo de Normas de Información Financiera, A.C. 2011), un instrumento financiero es “[…] cualquier contrato que dé origen tanto a un activo financiero de una entidad como a un pasivo financiero o instrumento de capital de otra entidad”. Las NIF, así, distinguen entre el instrumento financiero (el contrato) y el activo financiero (el derecho documentado en el contrato). Por comodidad, nosotros utilizaremos ambos términos de manera indistinta (y favoreceremos el uso de instrumentos financieros).

La existencia de instrumentos financieros da pie también a que nos refiramos a transacciones financieras, aquellas operaciones mediante las cuales se intercambian, crean o destruyen instrumentos financieros (Rose 2003).

Veamos primero a los instrumentos financieros: dinero, títulos de deuda, títulos de capital e instrumentos derivados.

4.2.1 DINERO

“Todos los activos financieros son valuados en términos monetarios, y los flujos de fondos entre prestamistas y prestatarios ocurren mediante el uso de dinero. El dinero en sí mismo es propiamente un activo financiero ya que todas las formas de dinero en uso actualmente representan derechos ante alguna institución, pública o privada” (Rose 2003).

El dinero, hay quien argumenta, es uno de los primeros (pensemos en la Edad de Bronce, para no entrar en debates) y más grandes inventos de la humanidad y, hoy en día, es una gran abstracción ya que no necesariamente tiene que estar atado a una representación “física” y tampoco tiene que poder ser “intercambiable” por un objeto de valor (p.e., oro). Sin embargo, para que un activo pueda considerarse como “dinero” es necesario que satisfaga ciertas condiciones o funciones:

Estándar de valor o unidad de cuenta: una única unidad de referencia para comunicar el valor de los bienes y servicios.
Medio de cambio: relacionado, o complementario, con la anterior. No solamente debe servir para comunicar el valor, sino para ser intercambiado por bienes y servicios.
Almacén de valor: el activo debe poder “almacenarse” con la finalidad de poder ser intercambiado con razonable certidumbre en el futuro por bienes y servicios.

¿Qué nos dice la experiencia mexicana al respecto?

Proveer de liquidez: el activo debe permitir ser ejercido de manera instantánea o casi-instantánea para liquidar obligaciones o adquirir bienes y servicios.

El dinero fiduciario, o “fiat”, debe cumplir además con la cualidad de gozar de poder liberatorio (lo cual puede, o no, requerir de la aprobación gubernamental). Esto significa que “la gente está dispuesta a aceptar dinero fiduciario a cambio de bienes y servicios que venden sólo porque saben que será respetado cuando vayan a comprar bienes y servicios” (Parkin 1995).

Hoy en día, sin embargo, cuando pensamos en dinero, generalmente pensamos en una mezcla entre dinero fiduciario y dinero “pagaré”. El dinero pagaré está compuesto, en realidad, por las obligaciones adquiridas por los intermediarios financieros y que pueden ser utilizadas como medio de pago, siendo la más evidente los saldos en cuentas de cheques.

Aunque dentro lo que podemos considerar dinero puede haber cierta “amplitud” de criterio, lo cierto es que consideraremos como dinero generalmente sólo a aquellos instrumentos financieros que pueden ejercerse con liquidez inmediata para liberar deudas o pagar por bienes y servicios.

Agregados monetarios

4.2.2 TÍTULOS DE DEUDA

Un título de deuda es un contrato que documenta la obligación del emisor de restituir a una contraparte (prestamista) una determinada cantidad de dinero, comprometiéndose a pagar en un momento en el futuro¹⁸ la totalidad del capital prestado más una contraprestación (interés). Típicamente, esta obligación (derecho) tiene un plazo establecido y puede ser acompañado de garantías (colaterales) (Rose 2003). No todos los títulos de deuda pueden ser negociados en mercados financieros pero, desde luego, aquí nos enfocaremos en los títulos negociables.

Los títulos de deuda comúnmente se clasifican 1) por la manera en la que pagan el capital o los intereses, 2) por el tipo de emisor o 3) por su plazo/liquidez.

Nosotros los estudiaremos en función del emisor.

4.2.2.1 GUBERNAMENTALES

Los títulos de deuda gubernamentales son emitidos por alguna instancia del gobierno y son, por lo general, los de mayor volumen en cualquier mercado. Esto se debe principalmente a dos características. Por un lado, el gobierno de un país es, si lo consideramos de manera individual, el mayor emisor en cualquier país. Por otra parte, típicamente y considerado en el ámbito local, la deuda gubernamental es la deuda de referencia, a la que incluso llega a referirse como “libre de riesgo”.

¿Qué significa esto? ¿Es realmente “libre de riesgo”? ¿Qué situaciones se les ocurre en las que esto no suceda?

México: Reporte Índigo.

LTCM.

En el mercado mexicano, por el volumen de los activos en circulación, la categoría más importante es la títulos deuda emitidos por el gobierno. Aunque es posible extender la categoría de “gubernamental” a algunas otras entidades, típicamente se incluye en esta categoría únicamente al poder ejecutivo (representado por la SHCP), a Banxico y al IPAB.

4.2.2.1.1 SHCP

El principal emisor de deuda gubernamental (y de deuda en general) en el mercado mexicano es el gobierno federal, a través de la SHCP. Aunque no es la única fuente de deuda del gobierno, la emisión de títulos negociables en el mercado sí es quizá la más conocida. Dadas las necesidades de financiamiento del gobierno, se busca que la “mezcla” de instrumentos de deuda tenga diversidad tanto en los plazos de esta deuda (lo que tiene impacto también el precio de los mismos, como veremos en temas más adelante) como en las formas en las que se paga dicha deuda.

A continuación abordaremos los principales títulos de deuda gubernamentales existentes al día de hoy. La principal fuente de información sobre las características de los títulos gubernamentales es su “nota técnica” y toda la información al respecto se puede encontrar en la página web del Banco de México.

¿Por qué el Banco de México publica información sobre valores gubernamentales cuando el emisor es el Gobierno Federal y Banxico es autónomo?

Algo que es relevante saber es que las colocaciones primarias de títulos gubernamentales se realizan mediante subasta. Todas las semanas hay subastas de valores, aunque no todas las semanas se subastan todos los tipos de instrumentos.

4.2.2.1.1.1 CETES

Los CETES (Certificados de la Tesorería) son quizá los títulos de deuda gubernamental más conocidos por el público en general (aunque no necesariamente los más negociados).

Los CETES son instrumentos de corto plazo. Actualmente se subastan CETES con plazos de 28, 91, 182, 364 y 728 días. Cada CETE tiene un valor de $10 (valor facial o valor nominal) y se colocan a descuento, lo que significa que el comprador de los valores paga, al momento de la compra, un valor menor a los $10 y recibe, al vencimiento del instrumento, el valor nominal del mismo, ganando el diferencial entre el precio de adquisición y el valor nominal.

4.2.2.1.1.2 BONDES

La siguiente familia de títulos de deuda gubernamental (por su plazo) son los conocidos como BONDES (Bonos de Desarrollo). Los bondes, cuyo valor nominal es de $100 son títulos que pueden tener plazos de entre 1 a 5 años, aunque típicamente son colocados a plazos de 1, 3 y 5 años exclusivamente.

Como su nombre lo indica, se trata de “bonos”, es decir, instrumentos de deuda que pagan intereses de manera periódica y pagan el capital prestado al finalizar el plazo del instrumento. En el caso de los BONDES, pagan intereses cada 28 días.

A los BONDES los caracteriza, además, que se trata de bonos a tasa variable. Esto significa que la tasa con la que se calculan los intereses que pagarán de manera periódica será un valor que se actualizará conforme a una fórmula o procedimiento pre-establecido. En el caso de los BONDES, la tasa de interés de los “cupones” se calcula a partir de la “tasa ponderada de fondeo bancario” observada durante el periodo de cada cupón.

¿Por qué le llamamos “cupones” a los pagos de intereses?

4.2.2.1.1.3 BONOS M

Quizás el instrumento de deuda gubernamental más importante (aunque no sea el más famoso entre el público). Del total de deuda pública negociable en manos del público, los bonos M representan aproximadamente el 40% (Banxico).

Al igual que los bondes, se trata de un instrumento que paga “cupones” durante su vida (esto es, se trata de un bono). Sin embargo, los bonos M son emitidos a plazos un poco más largos que los BONDES: 3, 5, 10, 20 y 30. Como dato cultural, actualmente se considera al BONO M de 10 años prácticamente como el instrumento de deuda de “referencia”.

Otra diferencia, la principal, con los BONDES es que los BONOS M son bonos a tasa fija. Es decir, la tasa que paga cada cupón del bono está pre-determinada y fija durante toda la vida del bono.

4.2.2.1.1.4 UDIBONOS

Finalmente, el gobierno cuenta con último instrumento de fondeo de largo plazo: los UDIBONOS. Estos son parecidos a los BONOSM en varios sentidos: son bonos, son a tasa fija, y se emiten para plazos de 3, 5, 10, 20 y 30 años. Sin embargo, la peculiaridad de los UDIBONOS residen en que su valor nominal o facial se encuentra denominado en UDIS.

Los UDIBONOS fueron una respuesta del gobierno a la necesidad de los inversionistas de garantizar la preservación del valor de su patrimonio en el tiempo ante la historia hiper-inflacionaria de nuestro país. Al estar “anclados” al valor de la inflación (mediante las UDIS) los UDIBONOS aseguran que el valor de la inversión no se deteriore por el simple paso del tiempo.

Los UDIBONOS fueron un componente esencial en la detonación de la inversión a largo plazo en nuestro país. En particular, los UDIBONOS permitieron o facilitaron al menos la existencia y funcionamiento de las Afores. De hecho, las Afores son los mayores tenedores de estos instrumentos.

Esto tiene que ver con un concepto fundamental en la gestión financiera: el calce, cobertura o “hedging”.

4.2.2.1.2 IPAB

El IPAB, como parte del gobierno federal, tiene también la facultad de emitir deuda, con la finalidad de poder gestionar los compromisos financieros que adquiere como parte de su función de “asegurador” del ahorro bancario.

A diferencia de los títulos emitidos por la SHCP, los Bonos de Protección al Ahorro (BPA’s) se emiten a tasa variable (tasa de referencia) y existen series de bonos con diferentes periodicidades de pago de cupón: 28, 90 y 182 días.

El plazo de los BPA’s es, típicamente, de 3 o 5 años.

4.2.2.1.3 BANXICO

Históricamente, el Banco de México también ha emitido títulos de deuda, como parte de sus herramientas para la instrumentación de la política monetaria. Conocidos como Bonos de Regulación Monetaria (BREMS) no los abordaremos aquí porque últimamente han caído en desuso.

4.2.2.1.4 DEUDA ESTATAL O MUNICIPAL

Los estados y municipios pueden también emitir deuda. Sin embargo, por las características de las finanzas públicas nacionales (particularmente por la tradicionalmente baja recaudación local) la deuda estatal y municipal casi siempre es a través de la bursatilización de las participaciones federales o de “activos” muy específicos (p.e., carreteras).

Dado que estas son estrategias que no son privativas de los Estados y Municipios, lo abordaremos más adelante.

4.2.2.2 DEUDA NO GUBERNAMENTAL

La deuda bursátil no gubernamental se realiza también a través de certificados, pagarés y bonos, pero emitidos por las empresas y colocados y negociados a través de los mercados bursátiles. La forma concreta que tomen estos instrumentos (en términos de tasa, plazo y forma de pago) se materializa normalmente en dos documentos: el prospecto de colocación y el aviso de oferta pública.

4.2.2.2.1 BANCARIOS

Si bien los bancos son empresas, en la práctica la deuda emitida por los bancos se considera como una categoría aparte y, típicamente, representa el “siguiente” nivel de menor riesgo.

¿Por qué?

Los bancos pueden “emitir” deuda negociable (en un mercado secundario) y no negociable. La deuda bancaria “bursátil”, a diferencia de la gubernamental, no es ya tan estandarizada, pero puede tomar la forma de: certificados de depósito, pagarés, bonos, certificados bursátiles, etc. Los plazos y formas de pago son diversos también.

Pagarés con Rendimiento Liquidable al Vencimiento: son instrumentos no negociables que pagan los intereses, en una sola exhibición, al final del plazo contratado. No pueden ser amortizados anticipadamente.

4.2.2.2.2 TÍTULOS CORPORATIVOS

Las empresas en lo general, al igual que los bancos y el gobierno, pueden obtener fondos del público en general a través de la emisión de instrumentos de deuda en los mercados bursátiles. Para algunas empresas (dependiendo, principalmente del tamaño) obtener “crédito” mediante esta opción le permite acceder a mejores “precios” del dinero.

Nuevamente, las especificaciones en términos de plazo y forma de pago son muy diversos, aunque en general los plazos tienden a ser menores que en las otras dos categorías.

4.2.2.2.3 BURSATILIZACIONES DE CARTERA

Se da una bursatilización de cartera cuando una empresa o el gobierno “separa” un conjunto de activos en un “vehículo” especial (generalmente un fideicomiso). De esta manera, la deuda se emite no contra la empresa en su totalidad (o contra el gobierno)

4.2.2.3 DEUDA ORDINARIA VS. DEUDA SUBORDINADA

Un concepto muy importante en la emisión de títulos es el de la subordinación. Cuando se habla de deuda subordinada lo que significa es que el acreedor de esa deuda acepta explícitamente que se le considere en un segundo orden en la prelación de pagos ante un quebranto. Esta condición, generalmente, es emitida a cambio de un mejor precio para esta deuda (i.e., una tasa más alta).

La combinación de bursatilizaciones con subordinación fueron (desafortunadamente) centrales en uno de los episodios de crisis financieras más recientes.

¿Cuál? ¿Alguien vio “The Big Short”?

4.2.3 CAPITALES

A diferencia de los títulos de deuda, que representan un compromiso crediticio, los instrumentos financieros representan una participación en el capital social de algún “ente” y, por lo tanto, un derecho (proporcional, en principio) sobre los beneficios o utilidades futuros generados por dicha entidad.

Acciones: quizás la forma más común de instrumento financiero de capital. En su forma más pura, una acción da derecho a la parte alícuota en las utilidades de la empresa y, por lo tanto, normalmente también otorga voz y voto sobre las decisiones del negocio. La existencia de capital “negociable” descansa fuertemente y a la vez apoya (en teoría al menos) a un gobierno corporativo fuerte.
- Acciones comunes
- Acciones preferenciales
- SIC
ETF’s: los exchange traded funds son, en realidad, sociedades o fondos de inversión cuyas acciones son públicamente negociadas en una bolsa de valores. Existe una variedad muy amplia de ellos, pero los más conocidos son generalmente los que replican el comportamiento de algún índice de relevancia (en el caso de México, por ejemplo, el IPyC de la BMV).
FIBRAS: los Fideicomisos de Infraestructura y Bienes Raíces son fideicomisos diseñados para emitir certificados, en funcionamiento similares a acciones, que acreditan a su dueño como beneficiario en forma proporcional a los beneficios obtenidos de los bienes raíces fideicomitidos. Son una forma de bursatilizar una inversión en bienes raíces.
CKD’s y CERPI’s: los Certificados de Capital de Desarrollo (CKD’s) y los Certificados Bursátiles Fiduciarios de Proyectos de Inversión son también un instrumento construido mediante un fideicomiso, sólo que en este caso el activo fideicomitido está relacionado con un proyecto de infraestructura productiva. La diferencia entre unos y otros radica principalmente en su estructura interna y el público al que van dirigidos.

4.2.4 DERIVADOS

Un instrumento derivado es un instrumento financiero cuyo valor se deriva de otro activo (llamado subyacente), que puede ser un activo real, un commodity u otro instrumento financiero (incluyendo, desde luego, otros derivados).

Los instrumentos derivados pueden, por lo tanto, ser de naturaleza muy diversa y, frecuentemente, son hechos a la medida. Adicionalmente, estos instrumentos pueden negociarse en mercados organizados (bolsas) o bien de forma privada (OTC).

Los instrumentos derivados, por lo tanto, pueden ser muy complejos, pero forman parte fundamental de la gestión de riesgos financieros moderna y son fundamentales, por ejemplo en la valuación de activos.

Los instrumentos derivados básicos son:

Forwards: los contratos adelantados son contratos en los que las partes pactan la compra-venta de un activo (real o financiero) en una fecha futura especificada a un precio especificado.
Futuros: los futuros son en términos generales, un contrato forward negociado en un mercado organizado y, por lo tanto, estandarizado en sus términos (subyacente, plazo y precio).
Opciones: las opciones son contratos que dan a su comprador, justamente, una opción a ejercer en un determinado periodo a un determinado precio de ejercicio. Desde luego, se puede adquirir la opción a comprar (llamada opción call) o la opción a vender (llamada opción put). Adicionalmente, la opción podría ejercerse en la fecha de ejercicio (en cuyo caso estaríamos hablando de una opción europea) o durante todo el periodo especificado (americana).

Es común escuchar a las personas referirse a las opciones como “seguros”. Al profe esto no le gusta, ¿por qué?

Por cierto, ¿recuerdan LTCM? La fórmula de Black-Scholes, para la valuación de opciones, es un producto derivado del modelo de Black-Scholes que revolucionó en su momento a los mercados financieros y que les valió el Nobel en 1997.

Swaps: son contratos que permiten a las partes intercambiar los flujos de efectivo generados por activos con diferentes “bases” (p.e., denominados en distintas monedas, o con pagos referidos a diferentes tasas).

4.2.5 OPERACIONES CON INSTRUMENTOS FINANCIEROS

Ahora que ya conocemos cuáles son los principales instrumentos financieros en el mercado mexicano, y que ya sabemos quiénes son los intermediarios que participan en estos mercados, es momento de preguntarnos, ¿qué tipo de operaciones podemos realizar con estos instrumentos?

Compra / Venta: desde luego, los podemos comprar o vender (en directo, normalmente se dice).
Préstamo: en general, también los podemos prestar, a cambio de un premio por este préstamo. Es decir (exceptuando el dinero, propiamente, y quizá los derivados), los instrumentos financieros en general pueden ser prestados, recibiendo a cambio una contraprestación (el premio) en dinero.
Reporto: adicionalmente, los podemos (es un decir, porque es una operación reservada a ciertos intermediarios) reportar. Un reporto es un préstamo de dinero (lo que implica también la existencia de un premio) colateralizado con instrumentos financieros. Un detalle importante del reporto es que transfiere la propiedad de los activos colateralizados, por lo que quien los recibe puede, a su vez, operar con ellos. Otra manera de verlo es como una venta de títulos con promesa de contra-venta. El reporto es quizá la operación de mayor volumen o frecuencia en el mercado de títulos de deuda mexicano.

4.2.6 LECTURAS RECOMENDADAS

Abreu Goodger et al. (2014)
Homer and Sylla (2005)
BBC In Our Time: interesante episodio de este programa de la BBC que habla sobre una etapa histórica del dinero a nivel global, la época del “Estándar Oro”.

4.3 MERCADOS FINANCIEROS Y SUS PARTICIPANTES

Un mercado, en su sentido más general, es cualquier arreglo que facilita la compraventa o intercambio de algo. Aquí, por lo tanto, nos enfocaremos en los mercados en los que se intercambian activos financieros.

La función primordial de los mercados financieros es la de empatar las necesidades de las unidades super-habitarias de la economía (los ahorradores) y canalizarlas hacia inversión¹⁹ (Rose (2003)). Sin embargo, las funciones realizadas por los mercados financieros pueden ser vistas de manera un poco más compleja como (Bodie, Kane, and Marcus (1999)):

transformación de plazos: permiten canalizar los recursos de unidades super-habitarias a unidades deficitarias en el tiempo;
transformación de riesgos: permiten la transferencia de riesgos (mercado, crédito o liquidez) de las unidades adversas al riesgo a las unidades tolerantes al riesgo.
separación de propiedad y administración.

Los mercados financieros, por su nivel de negociación se pueden clasificar en:

Mercados primarios: aquellos donde surgen los contratos financieros. Son mercados donde los valores recientemente emitidos son comprados y vendidos. Por ejemplo, acciones y certificados de deuda.
Mercados secundarios: donde se compran y venden valores que ya están en circulación en el mercado.

Por su plazo, se les clasifica típicamente en:

Mercado de dinero: se negocian todos los instrumentos a corto plazo (menos de un año), generalmente títulos de deuda.
Mercado de capitales: se negocian de instrumentos largo plazo (típicamente, por ejemplo, acciones).
Mercado de derivados: se negocian instrumentos “derivados”.

Por el tipo de rendimiento que ofrecen:

Renta fija: las inversiones hacen pagos periódicos a una tasa de interés fija (o pre-determinada).
Renta variable: el rendimiento es aleatorio.

4.3.1 SISTEMA FINANCIERO MEXICANO

De la Fuente Rodríguez (1999) define al sistema financiero mexicano como “el conjunto de: autoridades que lo regulan y supervisan; entidades financieras que intervienen generando, captando, administrando, orientando y dirigiendo tanto el ahorro como la inversión; instituciones de servicios complementarios, auxiliares o de apoyo a dichas entidades; de agrupaciones financieras que prestan servicios integrados; así como otras entidades que limitan sus actividades a información sobre operaciones activas o prestan servicios bancarios con residentes en el extranjero”.

El sistema financiero mexicano lo podemos descomponer en los siguientes grandes sectores²⁰:

sector de ahorro y crédito;
sector bursátil;
sector asegurador, y
sector de ahorro para el retiro.

Los participantes en estos sectores frecuentemente participan en más de uno de ellos. De igual manera, las características que diferencian a los instrumentos negociados o los productos ofrecidos en cada uno de los sectores pueden ser “borrosas”.

¿Ejemplos?

4.3.1.1 SECTOR DE AHORRO Y CRÉDITO

En términos generales, este sector es el encargado de captar los recursos excedentes del público en general y canalizarlos, mediante la vía del crédito, a personas con un déficit (necesidad) de capital.

Aunque el sector de ahorro y crédito está representado por empresas pertenecientes, a su vez a diferentes subsectores, el grupo más representativo y con el que quizás todos estamos más familiarizados es el sector bancario. El sector bancario es también el más universal en sus funciones, sin embargo, podemos considerar dentro de este sector a:

Subsector de Instituciones de Crédito (Bancos):
- Bancos múltiples
- Bancos de desarrollo
- Oficinas de representación
Subsector de SOFOMES:
- Sociedades Financieras de Objeto Múltiple, Entidades Reguladas
- Sociedades Financieras de Objeto Múltiple, Entidades No Reguladas
Subsector Popular:
- Uniones de Crédito
- Sociedades Cooperativas de Ahorro y Préstamo (SOCAPs): intermediarios financieros sin fines de lucro, que tiene por objeto realizar operaciones de ahorro y préstamo entre sus socios. Su objetivo principal es contribuir a la inclusión financiera de las comunidades en las que operan y coadyuvar en la difusión, entrega y administración de los programas de apoyo que el Gobierno Federal promueva. Las SOCAPs son clasificadas en función de su nivel de operación (niveles básico y del I al IV, determinados en función del monto de los activos administrados por la entidad) (Comisión Nacional Bancaria y de Valores (2022)).
- Sociedades Financieras Populares
Almacenes Generales de Depósito
Casas de Cambio²¹

También, existen organizaciones gremiales que coordinan y representan a algunas de estas entidades en su conjunto, por ejemplo:

Asociación de Bancos de México
Consejo Mexicano de Uniones de Crédito
Asociación Mexicana de Sociedades Financieras Populares
Asociación Mexicana de Entidades Financieras Especializadas

Tipos de operaciones permitidas por tipo de entidad. Fuente: Banco de México “Reporte de Estabilidad Financiera: Junio 2021” (2021).

4.3.1.2 SECTOR BURSÁTIL

El sector bursátil está compuesto por todos los participantes en los mercados que permiten la negociación de valores. Por valores, de acuerdo con la definición de la Ley del Mercado de Valores, se entiende:

“Valores, las acciones, partes sociales, obligaciones, bonos, títulos opcionales, certificados, pagarés, letras de cambio y demás títulos de crédito, nominados o innominados, inscritos o no en el Registro, susceptibles de circular en los mercados de valores a que se refiere esta Ley, que se emitan en serie o en masa y representen el capital social de una persona moral, una parte alícuota de un bien o la participación en un crédito colectivo o cualquier derecho de crédito individual, en los términos de las leyes nacionales o extranjeras aplicables”

Lo anterior incluye a los “instrumentos financieros derivados”: “los valores, contratos o cualquier otro acto jurídico cuya valuación esté referida a uno o más activos, valores, tasas o índices subyacentes”.

El sector bursátil está compuesto por los siguientes intermediarios:

Casas de Bolsa
Fondos de Inversión
Bolsas de Valores
- Bolsa Mexicana de Valores (BMV)
- Bolsa Institucional de Valores (BIVA)
- Instituto para el Depósito de Valores
- Calificadoras de Valores
- Proveedores de Precios
Bolsas de Derivados
- MEXDER
- ASIGNA
- Socios Liquidadores
Asesores en Inversión

4.3.1.3 SECTOR ASEGURADOR

En el sector o mercado de seguros, lo que se busca es negociar con el impacto o valor económico asociado a la incertidumbre o riesgo de ciertos eventos (siniestros). En términos generales, se clasifican en los siguientes submercados:

seguros de personas:
- seguros de vida:
  - ordinarios de vida;
  - dotales;
  - flexibles (incl. un componente de inversión);
- seguros de accidentes y enfermedades;
seguros de daños:
- responsabilidad civil;
- marítimo y transportes;
- agrícola y de animales;
- autos;
- crédito;
- incendio;
- diversos;
fianza;
reaseguro;
reafianciamiento.

4.3.1.4 SECTOR DE AHORRO PARA EL RETIRO

Aunque de alguna manera se podría considerar un nicho o un sector que se interseca con el sector asegurador, por sus características particulares y la normatividad que lo rige, lo trataremos aquí como un sector aparte.

El sector de ahorro para el retiro está conformado principalmente por las Administradoras de Fondos para el Retiro (AFORES), quienes administran a las Sociedades de Inversión de Fondos para el Retiro (SIEFORES).

Como su nombre lo indica, las AFORES administran el ahorro de los trabajadores con la finalidad de poder gozar de seguridad patrimonial a su retiro, bajo un esquema de cuentas individuales (aportación definida). Es importante recordar que, si bien es posible en el régimen de pensiones realizar aportaciones voluntarias a la cuenta individual, lo que distingue a este sector de los anteriores es que estas aportaciones son obligatorias por ley para la mayoría de los trabajadores formales (asalariados). Las aportaciones, adicionalmente, son tri-partitas (gobierno-patrón-empleado) y hoy en día se realizan a lo que se conoce como Sociedad de Inversión Generacional (por rangos de año de nacimiento).

Las SIEFORES tienen un régimen de inversión muy estricto y que se adapta a las necesidades de riesgo-rendimiento definidas para cada generación, según las edades que la componen.

4.3.1.5 OTROS SECTORES / TIPOS DE ENTIDADES FINANCIERAS

Cambiario: centros cambiarios, transmisores de dinero
Grupos Financieros: controladora + 2 o más de:
- almacenes generales de depósito
- casas de cambio
- instituciones de fianzas
- instituciones de seguros
- casas de bolsa
- instituciones de banca múltiple
- sociedades operadoras de fondos de inversión
- distribuidoras de acciones de fondos de inversión
- administradoras de fondos para el retiro
- sociedades financieras de objeto múltiple
- sociedades financieras populares
- instituciones de tecnología financiera
Fideicomisos: un fideicomiso es un contrato que involucra a tres partes: fideicomitente, fideicomisario y fiduciario. Mediante el fideicomiso, el fideicomitente “encapsula” un conjunto de activos que son administrados por el fiduciario bajo instrucciones muy particulares en beneficio del fideicomisario.

Recientemente, ¿en dónde han visto que se habla mucho de los fideicomisos? ¿Por qué?

Sociedades de Información Crediticia
Instituciones de Tecnología Financiera / Modelos Novedosos (Fintech):
- Instituciones de Financiamiento Colectivo (Crowd Funding)
- Instituciones de Fondos de Pago Electrónico
- Modelos Novedosos

Participación en el SF por tipo de entidad. Fuente: “Reporte de Estabilidad Financiera: Junio 2021” (2021)

4.3.1.6 NORMATIVIDAD, REGULADORES Y SUPERVISORES

El sector financiero en lo general (con significativas variaciones en lo específico) es uno de los sectores de la economía más fuertemente regulados. ¿Por qué debe haber una normatividad tan intensa para este tipo de negocios?

La respuesta no es, posiblemente, ni clara ni inmediata, pero existen varios argumentos al respecto:

Asimetrías de información: los productos que ofrecen al público presentan fuertes asimetrías de información²², por lo que la normatividad “compensa” este defecto mediante vigilancia, supervisión y requerimientos especiales.
Son un sector estratégico para diferentes aspectos de la vida económica nacional (por ejemplo, la transmisión de la política monetaria, el funcionamiento del sistema de pagos, la preservación de la estabilidad financiera).
Son una herramienta fundamental en la instrumentación de objetivos de política pública (p.e., dispersión de programas gubernamentales o fomento del crédito sectorial).
Algunos de esos sectores “participan” de una atribución exclusiva del estado (p.e., la “creación” de dinero).

En México, las principales autoridades financieras son:

Banco de México: nuestro banco central. Su mandato constitucional es “[…] procurar la estabilidad del poder adquisitivo de la moneda nacional, fortaleciendo con ello la rectoría del desarrollo nacional que corresponde al Estado” (Art. 28 Constitucional)²³. Principalmente impacta en el sector bancario y bursátil, en menor medida en el sector de crédito en general y de manera indirecta en todos los sectores. Es el agente financiero del Gobierno Federal, lo cual no debe interpretarse como una amenaza a su autonomía.

Para los interesados en conocer más de la historia y desarrollo de nuestro banco central, pueden referirse a los trabajos publicados por Eduardo Turrent (Turrent (2012)).
Secretaría de Hacienda y Crédito Público: según su página web, tiene la misión de “[…] tiene como misión proponer, dirigir y controlar la política del Gobierno Federal en materia financiera, fiscal, de gasto, de ingresos y deuda pública”, aunque sus funciones específicas quedan registradas en el Art. 31 de la Ley Orgánica de la Administración Pública Federal. Es el brazo financiero del Poder Ejecutivo mexicano. Directamente impacta en absolutamente todos los sectores, y generalmente lo hace a través de “Unidades” específicamente creadas para tales fines (p.e., la Unidad de Banca Valores y Ahorro), pero también tiene incidencia indirectamente a través de instituciones que dependen, con cierto grado de autonomía, de la SHCP, principalmente:
- Comisión Nacional Bancaria y de Valores (CNBV) (desconcentrada)
- Comisión Nacional de Seguros y Fianzas (CNSF) (desconcentrada)
- Comisión Nacional del Sistema del Ahorro para el Retiro (CONSAR) (desconcentrada)
- Comisión Nacional para la Protección y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros (CONDUSEF) (descentralizada)
- Instituto de Protección al Ahorro Bancario (IPAB) (descentralizado)

Estructura del Sistema Financiero

4.3.2 LECTURAS RECOMENDADAS

“Reporte de Estabilidad Financiera: Junio 2021” (2021)
Banco de México (2021)
Banco de España (2010)

4.4 LAS EMPRESAS Y SU VALUACIÓN

Las empresas, decíamos, son parte fundamental en la creación, valuación e intercambio de los activos financieros. De hecho, son frecuentemente el sujeto que da origen a un activo financiero.

En términos financieros, con mucha frecuencia, lo que nos interesa poder determinar de las empresas es su valor. Determinar el valor de cualquier cosa, desde luego, es relativo y contextual, con mucha mayor razón en el caso de algo tan complejo como una empresa. Pero, financieramente hablando, casi siempre nuestro interés estará centrado en determinar la capacidad de la empresa para generar ingresos monetarios futuros (ya sea para generar utilidades o para poder pagar sus deudas).

La capacidad de una empresa de generar ingresos a futuro puede depender de muchos factores y no solamente de su situación financiera presente y, si bien es posible considerar muchas posibles fuentes de información que aporten elementos de análisis relevantes para estos fines, la información contable de las empresas, contenida en los estados financieros, sigue siendo una de las fuentes predominantes de datos para su valuación.

La información financiera de las empresas se plasma, principalmente, en los estados financieros, en los que se busca presentar información que permita evaluar de una empresa su (Consejo Mexicano para la Investigación y Desarrollo de Normas de Información Financiera, A.C. (2011), NIF A-3):

solvencia o estabilidad financiera,
liquidez,
eficiencia operativa,
rentabilidad,
exposición a riesgos financieros.

Es importante recordar que los estados financieros deben integrarse en apego a un conjunto de normas específicas (generalmente, las NIF, aunque existen otras), que deben usarse como referencia siempre que se analice información de esta naturaleza. Adicionalmente, es muy importante recordar que contablemente es necesario considerar tres aspectos de la norma: registro, valuación y presentación. Los tres aspectos pueden tener impactos significativos en el análisis.

También es importante señalar que aquí revisaremos únicamente los conocidos como “estados financieros básicos” pero, dependiendo del sector o de las necesidades de los usuarios, estos estados financieros pueden ser acompañados por una gran diversidad de reportes tanto cualitativos como cuantitativos (Consejo Mexicano para la Investigación y Desarrollo de Normas de Información Financiera, A.C. (2011), NIF A-3, Apéndice B).

4.4.1 BALANCE GENERAL

El balance general es un documento estático, muestra una “foto” de la situación financiera (recursos y obligaciones) de la empresa a una fecha determinada.

Está compuesto por tres grandes bloques: activos, pasivos y capital, y en todo momento debe cumplirse la igualdad $Activo = Pasivo + Capital$.

El activo se presenta ordenado en función de su disponibilidad o liquidez (circulante, fijo y diferido), mientras que el pasivo se presenta ordenado en función de su exigibilidad (corto o largo plazo).

La NIF A-3 nos dice que la información del balance general debe permitir al usuario evaluar la posibilidad de obtener rendimientos de los recursos de la entidad, así como su capacidad para retribuir y liquidar las fuentes de financiamiento comprometidas y las necesidades futuras de recursos.

4.4.2 ESTADO DE RESULTADOS

El estado de resultados busca comunicar información relativa al resultado o desempeño de las operaciones de la empresa durante un periodo: ingresos, gastos y resultado.

La información de la actividad operativa es útil para evaluar los cambios potenciales en los recursos económicos futuros, para predecir el potencial de la entidad de generar flujos de efectivo y para estimar la efectividad y eficiencia con que la empresa utiliza o puede utilizar sus recursos.

4.4.3 ESTADO DE FLUJOS DE EFECTIVO

El estado de flujos de efectivo busca reflejar los cambios observados en recursos disponibles y fuentes de financiamiento por: operación, inversión y financiamiento.

El flujo de efectivo es un complemento muy importante a los dos estados presentados anteriormente ya que permite evaluar la capacidad de la empresa para generar de manera “real” los recursos necesarios para la marcha del negocio.

4.4.4 ESTADO DE VARIACIONES EN EL CAPITAL CONTABLE

Muestra el cambio en la inversión o patrimonio de los inversionistas en un determinado periodo.

4.4.5 ANÁLISIS DE LOS ESTADOS FINANCIEROS

Para realizar el análisis de los estados financieros es fundamental, en primer lugar, asegurarnos de que la información que estemos usando sea siempre comparable (!!).

El análisis lo podemos llevar a cabo desde una perspectiva “vertical”, esto es, un estado financiero a una determinada fecha de corte, o bien, desde una perspectiva “horizontal”, es decir, comparando conceptos entre dos periodos. Adicionalmente, desde luego, puede hacerse una análisis histórico, fundamentalmente con el objetivo de identificar tendencias o patrones significativos.

Desde luego, en ambas perspectivas de análisis tenemos que cuidar siempre la comparabilidad de las cifras, aunque el problema es quizás más agudo en los ejercicios histórico y horizontal, pues no es raro que los criterios contables se modifiquen en el tiempo. En todo caso, tradicionalmente el análisis de la información financiera se ha realizado mediante lo que se conoce como “razones financieras”.

4.4.6 RAZONES FINANCIERAS

(Consejo Mexicano para la Investigación y Desarrollo de Normas de Información Financiera, A.C. (2011), NIF A-3, Apéndice C)

La información contenida en los estados financieros es, desde luego, abundante y muy detallada, además de reflejar aspectos de la empresa, como el tamaño, que afectan a la comparabilidad. Una forma de resolver estos problemas (al menos parcialmente) es el uso de índices, indicadores o “razones” (porque la mayoría de ellos son cocientes) financieras.

Algunas de las razones financieras más relevantes son:

CONCEPTO PRINCIPAL	NOMBRE	RAZÓN	DESCRIPCIÓN
SOLVENCIA	Apalancamiento (1)	$DaAT = \frac{PT}{AT}$	Nivel o grado de endeudamiento de la empresa
SOLVENCIA	Apalancamiento (2)	$DaC = \frac{PT}{CC}$
SOLVENCIA	Cobertura financiera o de Cargos Fijos	$CF = \frac{UAII}{GF}$	Capacidad de la operación para cubrir los pagos asociados al financiamiento.
LIQUIDEZ	Prueba de liquidez	$PL = \frac{AC}{PC}$	Capacidad del activo para cubrir los compromisos más inmediatos.
LIQUIDEZ	Prueba del ácido²⁴	$PA = \frac{AC - I}{PC}$	Capacidad del activo (sin considerar los inventarios) para cubrir los compromisos más inmediatos.
LIQUIDEZ	Margen de seguridad	$MS = \frac{CTN}{PC} = \frac{AC - PC}{PC}$
EFICIENCIA OPERATIVA	Rotación de inventarios	$RI = \frac{CV}{(II + IF) / 2}$
EFICIENCIA OPERATIVA	Rotación de cuentas por cobrar	$RCC = \frac{VN}{(CCI + CCF)/2}$
EFICIENCIA OPERATIVA	Rotación de activos totales	$RAT = \frac{VN}{AT}$
RENTABILIDAD	Margen de UAFIDA	$MUAFIDA = \frac{UAFIDA}{VN}$	Mide qué tanto de las ventas se convierten en utilidades directamente relacionadas al “giro” del negocio.
RENTABILIDAD	Utilidad por acción	$UA = \frac{UN}{Acciones}$
RENTABILIDAD	Retorno de capital total oÍndice de productividad	$RCT = \frac{UN}{CC}$
RENTABILIDAD	Retorno de activos	$RA = \frac{UN}{AT}$

4.4.7 COMPARABILIDAD DE LA INFORMACIÓN CONTABLE

A manera de advertencia. Siempre es necesario analizar las cifras contables a detalle, particularmente si el objetivo es comparar entre dos diferentes empresas. Las cifras contables, si bien en teoría son armadas bajo criterios estandarizados, permiten que los criterios se apliquen de manera diferenciada bajo ciertos contextos, lo que puede llevar a resultados significativamente diferentes.

La misma NIF A-3 contiene un apartado sobre las “Limitaciones en el uso de los estados financieros” y señala:

transformaciones, transacciones y otros eventos internos que afectan a la entidad y que pueden ser registrados bajo diversos criterios (o no registrados);
los estados financieros no necesariamente reflejan información relevante (p.e., la composición de los recursos humanos);
estimaciones y juicios varios

Algunos ejemplos de estos criterios son la valuación de inventarios, los criterios de depreciación o las operaciones con partes relacionadas.

Por eso, muchos contadores sugieren que los estados financieros se lean siempre comenzando por las notas. Y a veces ni así.

Under Armour

5 SOLUCIONES A LOS EJEMPLOS

R a)

\[d_1 = \frac{600 - 560}{600} = \frac{40}{600} = 0.0667\]

R b)

\[i_1 = \frac{600 - 560}{560} = \frac{40}{560} = 0.0714\]

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\[A(7) = (1+i_7)(1+i_6)(1+i_5)A(4) =\]

\[1000*(1+0.01*5)*(1+0.01*6)*(1+0.01*7) =\]

\[1,190.9100\]

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Si suponemos que el inversionista deja depositados también los intereses en la cuenta, entonces, para el inciso a) buscamos una tasa constante $i$ tal que:

\[A(2) = (1 + 0.07) \cdot (1 + 0.07) = 1.07^2 = (1 + i)^2 \Rightarrow\]

\[i = 0.07\]

Ahora, para el inciso b), tenemos que considerar el pago del bono, por lo que buscamos la tasa $i$ tal que:

\[A(3) = (1.07)^3(1.02) = (1 + i)^3 \Rightarrow\]

\[1+i=1.07(1.02^{\frac{1}{3}}) \Rightarrow\]

\[i = 1.07(1.02^{\frac{1}{3}}) - 1 = 0.0771\]

Finalmente, para el inciso c), tenemos que considerar la acumulación del saldo del inciso anterior por un año más, así que buscamos $i$ tal que:

\[A(4) = (1.07)^4(1.02) = (1 + i)^4 \Rightarrow\]

\[1 + i = 1.07(1.02^{\frac{1}{4}}) \Rightarrow\]

\[i = 1.07(1.02^{\frac{1}{4}}) - 1 = 0.0753\]

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Respuesta a)

Propiedad 1: $t \geq 0 \Rightarrow \exists t + 1 \forall t \geq 0 \Rightarrow \exists \sqrt{t+1} \forall t \geq 0$.

Propiedad 2: $a(0) = \sqrt{0+1} = \sqrt{1} = 1$.

Propiedad 3: $a'(t) = \frac{1}{2}(t+1)^{-1/2} > 0 \forall t \geq 0$.

Propiedad 4: $lim_{x \rightarrow t} a(x) = lim_{x \rightarrow t} (x + 1)^{1/2} = (lim_{x \rightarrow t} x + 1)^{1/2} = \sqrt{t + 1}$.

Respuesta b)

\[400 a(3) = 400 \sqrt{3 + 1} = 400*2 = 800\]

Respuesta c)

\[k | A(8) = 1200 \Rightarrow 1200 = A(8) = k a(8) = k \sqrt{8 + 1} = 3k \Rightarrow\]

\[k = \frac{1200}{3} = 400\]

Respuesta d)

\[i_n = \frac{a(n) - a(n-1)}{a(n-1)} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1 + 1}}{\sqrt{n - 1 + 1}} = \frac{\sqrt{n + 1}}{\sqrt{n}} - 1 = \sqrt{{\frac{n + 1}{n}}} - 1\]

\[d_n = \frac{a(n) - a(n-1)}{a(n)} = \frac{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1 + 1}}{\sqrt{n + 1}} = 1 - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}} = 1 - \sqrt{{\frac{n}{n + 1}}}\]

Respuesta e)

\[i_{(t,t+3)} = \frac{a(t + 3) - a(t)}{a(t)} = \frac{\sqrt{t + 3 + 1} - \sqrt{t + 1}}{\sqrt{t + 1}} = \sqrt{\frac{t+4}{t+1}}-1\]

Respuesta f)

\[i'_n = -\frac{1}{2}(\frac{1}{n\sqrt{n}\sqrt{n+1}}) < 0 \space \forall \space n > 0\]

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En primer lugar, observemos que, bajo la tasa efectiva de interés señalada, el valor presente de 1 pagado en el tiempo $t$ es igual a:

\[\prod\limits_{i = 1}^{t}\left(1 + \frac{1}{8 + i}\right)^{-1} = \prod\limits_{i = 1}^{t}\left(\frac{8 + i}{8 + i + 1}\right) = \frac{9}{10} \cdot \frac{10}{11} \dots \frac{8 + t}{8 + t + 1} = \frac{9}{9 + t}\]

Entonces, el valor en $t = 0$ de la anualidad es igual a:

\[\sum\limits_{t = 0}^{19} \frac{9}{9 + t}\]

Pero si lo acumulamos dos periodos:

\[ \frac{10}{9} \cdot \frac{11}{10} \cdot \sum\limits_{t = 0}^{19} \frac{9}{9 + t} = \sum\limits_{t = 0}^{19} \frac{11}{9 + t} = \sum\limits_{t = 9}^{28} \frac{11}{t} = X\]

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Nos dicen que aplica el método de tasa forward, entonces:

\[VP = 600 \left[ a_{\overline{12}|i_1} + (1+i_1)^{-12} \cdot a_{\overline{12}|i_2} + (1+i_1)^{-12} \cdot (1+i_2)^{-12} \cdot a_{\overline{12}|i_3} + (1+i_1)^{-12} \cdot (1+i_2)^{-12} \cdot (1+i_3)^{-12} \cdot a_{\overline{12}|i_4} \right] =\]

\[24,944.3876\]

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Como se trata de un fondo que paga intereses sobre un capital invertido, lo que hace más sentido es utilizar el método de tasas forward:

\[10000 s_{\overline{20}|i=0.07} = 10000(1.06^{10})s_{\overline{10}|i=0.08} + (10000 + X)s_{\overline{10}|i=0.06} \Rightarrow\]

\[\frac{10000 s_{\overline{20}|i=0.07} - 10000(1.06^{10})s_{\overline{10}|i=0.08} -10000 s_{\overline{10}|i=0.06}}{s_{\overline{10}|i=0.06}} = X \Rightarrow\]

\[X = 10000\frac{s_{\overline{20}|i=0.07} - (1.06^{10})s_{\overline{10}|i=0.08} - s_{\overline{10}|i=0.06}}{s_{\overline{10}|i=0.06}}\]

\[s_{\overline{20}|i=0.07} = \frac{1.07^{20} - 1}{0.07} = 40.9955\]

\[s_{\overline{10}|i=0.08} = \frac{1.08^{10} - 1}{0.08} = 14.4866\]

\[s_{\overline{10}|i=0.06} = \frac{1.06^{10} - 1}{0.06} = 13.1808\]

\[\Rightarrow X = 10000\frac{40.9955 - (1.06^{10})14.4866 - 13.1808}{13.1808} = 1419.846\]

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Respuesta

\[a(0) = 1 \Rightarrow 1= 10b \Rightarrow b = \frac{1}{10}\]

\[A(10) = xa(10) = 100ax + x = x(100a+1) = 1000 \Rightarrow x = \frac{1000}{100a+1}\]

\[A(20) = xa(20) = 400ax + x = x(400a+1) = 2000 \Rightarrow x = \frac{2000}{400a+1}\]

\[\Rightarrow \frac{1000}{100a+1} = \frac{2000}{400a+1} \Rightarrow 400a+1 = 2(100a+1) \Rightarrow 200a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{200}\]

\[\Rightarrow x = \frac{1000}{\frac{100}{200}+1} = 666.6666667\]

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No.

\[a(n) = \frac{A(n)}{k} \Rightarrow a(n) = 1 + i_na(n-1) = 1+i_n(1 + i_{n-1}a(n-2)) = 1 + i_n + i_ni_{n-1}a(n-2)\]

\[a(n) - a(0) = i_n + i_ni_{n-1}a(n-2) \neq i_1 + i_2 + \dots + i_n\]

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Respuesta a)

Suponiendo que se reconoce el pago de intereses por periodos fraccionarios de t.

\[A(\frac{10}{12}) = 750 (1 + \frac{10}{12}(0.12)) = 825\]

\[I_{\frac{10}{12}} = 825 - 750 = 75\]

Respuesta b)

\[A(10) = 750 (1 + 10(0.01)) = 825\]

\[I_{10} = 825 - 750 = 75\]

Respuesta c)

\[A(\frac{10}{2}) = 750 (1 + 5(0.02)) = 825\]

\[I_{\frac{10}{2}} = 825 - 750 = 75\]

Solución

Recordemos que:

\[d_t = \frac{A(t) - A(t-1)}{A(t)} = \frac{a(t) - a(t-1)}{a(t)} \Rightarrow\]

\[d_5 = \frac{a(5) - a(4)}{a(5)} = \frac{(1+5*0.1) - (1+4*0.1)}{1+5*0.1} =\]

\[0.1 / (1+0.1*5) = 0.0667\]

Ahora, usando la tasa de descuento simple:

\[d_5 = \frac{(1-0.1(5))^{-1} - (1 - 0.1(4))^{-1}}{(1 - 0.1(5))^{-1}} = 0.1667\]

Solución

Primero, el problema nos plantea que:

\[1000*(1 + it) = 1110\]

Y nos pide encontrar:

\[A(t') = 500*(1 + i't')\]

Considerando que:

\[i' = \frac{3}{4}i\]

\[t' = 2t\]

Entonces:

\[A(t') = 500(1 + i't') = 500(1 + \frac{3}{4}i*2t) = 500(1 + \frac{3}{2}it)\]

Pero sabemos también que:

\[1110 = 1000(1 + it) \Rightarrow\]

\[1 + it = \frac{1110}{1000} = 1.11 \Rightarrow\]

\[it = 0.11 \Rightarrow\]

\[A(t') = 500(1 + \frac{3}{2}(0.11)) = $582.5000\]

Regresar

\[600(1+i)^2 - 600 = 264 \Rightarrow i = \sqrt{\frac{264+600}{600}} - 1 = 0.2000\]

\[\Rightarrow 2000 \cdot (1+i)^3 = 3,456.0000\]

Solución

\[D(k) = c \cdot \left[ a^c(k) - a^c(k-1) - a^s(k) + a^s(k-1) \right]\]

Donde $a^c$ y $a^s$ son las funciones de acumulación de interés compuesto y simple, respectivamente, y $c$ es el capital inicialmente invertido. Entonces:

\[\frac{D(4)}{D(3)} = \frac{c \cdot \left[ a^c(4) - a^c(3) - a^s(4) + a^s(3) \right]}{c \cdot \left[ a^c(3) - a^c(2) - a^s(3) + a^s(2) \right]} =\]

\[\frac{1.03^4 - 1.03^3 - (1+4*0.03) + (1+3*0.03)}{1.03^3 - 1.03^2 - (1+3*0.03) + (1+2*0.03)} = 1.5226\]

Solución

Respuesta a)

\[4000 = k (1 + 5*0.05) \Rightarrow\]

\[k = \frac{4000}{1 + 5*0.05} = 3,200.0000\]

Respuesta b)

\[4000 = k (1 + 0.05)^5 \Rightarrow k = \frac{4000}{1.05^5} = 3,134.1047\]

Respuesta c)

Suponiendo que el interés simple se calcula sobre el valor acumulado hasta el año 3:

\[4000 = k (1.05)^3(1+2*0.05) \Rightarrow\]

\[k = \frac{4000}{1.05^3(1+2*0.05)} = 3,141.2276\]

Suponiendo que el interés simple se calcula sobre el capital originalmente invertido:

\[4000 = k a_c(0, 3)a_s(3, 5) = k (1.05)^3 \frac{(1+5*0.05)}{(1+3*0.05)} \Rightarrow\]

\[k = \frac{4000(1+3*0.05)}{1.05^3(1+5*0.05)} = 3,178.9224\]

Solución

R 1

\[1 - d = \frac{1}{1.08} \Rightarrow d = 1 - \frac{1}{1.08} =\]

\[0.0741\]

R 2

\[(1 + \frac{i^{(2)}}{2}) = \frac{1}{(1 - \frac{d^{(4)}}{4})^2} \Rightarrow i^{(2)} = 2 \cdot \left[ \frac{1}{(1 - \frac{d^{(4)}}{4})^2} - 1 \right] =\]

\[0.0614\]

R 3

\[(1 - \frac{d^{(4)}}{4})^2 = (1 + \frac{i^{(6)}}{6})^{-3} \Rightarrow d^{(4)} = 4 \cdot \left[ 1 - \sqrt{(1 + \frac{i^{(6)}}{6})^{-3}} \right] =\]

\[0.0397\]

Regresar

\[1+\frac{i^{(n)}}{n} = \frac{1+\frac{i^{(4)}}{4}}{1+\frac{i^{(5)}}{5}}\]

\[(1+\frac{i^{(4)}}{4})^4 = (1+\frac{i^{(5)}}{5})^5 \Rightarrow\]

\[1 + \frac{i^{(4)}}{4} = (1+\frac{i^{(5)}}{5})^{\frac{5}{4}}\]

\[1 + \frac{i^{(n)}}{n} = (1+\frac{i^{(5)}}{5})^{\frac{5}{n}} \Rightarrow\]

\[(1+\frac{i^{(5)}}{5})^{\frac{5}{n}} = \frac{(1+\frac{i^{(5)}}{5})^{\frac{5}{4}}}{1+\frac{i^{(5)}}{5}} \Rightarrow\]

\[(1+\frac{i^{(5)}}{5})^{\frac{5}{n}} = (1+\frac{i^{(5)}}{5})^{\frac{1}{4}} \Rightarrow\]

\[\frac{5}{n} = \frac{1}{4} \Rightarrow\]

\[n = 20\]

Regresar

\[A(3) = 50000 = k * a(3) = k * (1 - \frac{d^{(m)}}{m})^{-3*m} = k * (1 - \frac{0.08}{3})^{-3*3} \Rightarrow\]

\[k = 50000*(1- \frac{0.08}{3})^{9} = 39,203.4579\]

Regresar

\[100 * (1 + 0.04)^{20} = 219.1123\]

\[100 * \left(1 + \frac{0.06}{4} \right)^{20*4} = 329.0663\]

\[100 * e^{0.05*20} = 271.8282\]

Regresar

\[e^{\int\limits_0^2 0.01tdt} = (1+i)^2 \Rightarrow e^{\frac{0.01}{2}t^2 |_0^2} = (1+i)^2 \Rightarrow\]

\[e^{\frac{4}{200}} = (1+i)^2 \Rightarrow 1+i = e^{\frac{4}{400}} \Rightarrow i = e^{\frac{1}{100}} - 1 = 0.0101\]

Regresar

\[A_X(20) = A_Y(20)\]

\[A_X(20) = e^{\int\limits_0^{20} (0.01x+0.1)dx} = e^{\frac{0.01}{2}20^2+0.1*20} = e^4\]

\[A_Y(20) = (1+i)^{20} \Rightarrow\]

\[(1+i)^{20} = e^4 \Rightarrow\]

\[1+i = e^{\frac{1}{5}} \Rightarrow\]

\[i = e^{\frac{1}{5}} - 1 \Rightarrow\]

\[A_Y(1.5) = (1+i)^{1.5} = 1.3499\]

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El problema nos plantea la siguiente igualdad o equivalencia:

\[10000 \cdot \left(1 + \frac{0.05}{2} \right)^{-2 \cdot 5} + 5000 \cdot (1 + 0.03)^{-8} = P \cdot (1 + 0.05)^{-6} \Rightarrow\]

\[P = \frac{10000 \cdot \left(1 + \frac{0.05}{2} \right)^{-2 \cdot 5} + 5000 \cdot (1 + 0.03)^{-8}}{(1 + 0.05)^{-6}} = 15,758.2251\]

Regresar

\[O_A \equiv \left\{ [P], [0] \right\}\]

\[O_B = \left\{ [100\frac{i_B^{(2)}}{2},100\frac{i_B^{(2)}}{2},100\frac{i_B^{(2)}}{2},100\frac{i_B^{(2)}}{2},100\frac{i_B^{(2)}}{2},100(1+\frac{i_B^{(2)}}{2})],[1,\dots , 52] \right\}\]

\[\Rightarrow O_A = O_B \Rightarrow\]

\[P(1 + \frac{i_A^{(2)}}{2})^{52} = 100\frac{i_B^{(2)}}{2}(1 + \frac{i_A^{(2)}}{2})^{51} + 100\frac{i_B^{(2)}}{2}(1 + \frac{i_A^{(2)}}{2})^{50} + \dots + 100\frac{i_B^{(2)}}{2} + 100 \Rightarrow\]

\[P = ¿?\]

[Ver Excel.]

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La ecuación de valor que plantea el problema es:

\[4000 = 2000 \cdot v^{2} + 3000 \cdot v^{4} = 2000 \cdot (v^{2})^{1} + 3000 \cdot (v^{2})^{2} \Rightarrow\]

\[v^2 = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4*(-4)*3}}{2*(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 48}}{6} =\]

\[\frac{2 \pm \sqrt{52}}{6} \Rightarrow\]

\[v^2_1 = 0.8685\]

\[v^2_2 = -1.5352\]

Tomamos entonces la solución positiva:

\[\Rightarrow v^2 = \frac{-2 + \sqrt{52}}{6} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{-2 + \sqrt{52}}{6}} \Rightarrow\]

\[1+i = \sqrt{\frac{6}{-2 + \sqrt{52}}} \Rightarrow i = \sqrt{\frac{6}{-2 + \sqrt{52}}} - 1 =\]

\[0.0730\]

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La ecuación de valor planteada en el problema es:

\[1000 \cdot (1+i)^{10} + 2000 \cdot (1+i)^{7} = 5000 \Rightarrow\]

Buscamos la tasa de interés que resuelva la ecuación:

\[1000 \cdot (1+i)^{10} + 2000 \cdot (1+i)^{7} - 5000 = 0\]

Usando el método de Newton-Raphson, encontramos que:

\[i = 0.0654\]

Ahora, esta tasa corresponde a una tasa efectiva anual, por lo que tenemos que encontrar la tasa nominal anual convertible semestralmente equivalente:

\[i^{(2)} = 2 \cdot \left[ (1+i)^{1/2} -1 \right] = 0.0644\]

Regresar

Tenemos entonces que:

\[i^{(2)} = 0.09 \Rightarrow\]

La tasa efectiva semestral es igual a:

\[i = 0.045 \Rightarrow\]

\[500 \cdot a_{\overline{20*2}|i} = 500 \frac{1 - (1.045)^{-40}}{0.045} =\]

\[9,200.7922\]

Regresar

R a

R b

\[s_{\overline{m+n}|} - s_{\overline{m}|} = \frac{(1+i)^{n+m} - 1}{i} - \frac{(1+i)^m - 1}{i} =\]

\[\frac{(1+i)^{n+m} - 1 - (1+i)^m + 1}{i} = \frac{(1+i)^{n+m} - (1+i)^m}{i} =\]

\[(1+i)^m \cdot \frac{(1+i)^{n} - 1}{i} = (1+i)^m \cdot s_{\overline{n}|}\]

Regresar

\[2 \cdot a_{\overline{2n}|} + a_{\overline{n}|} = 36 \Rightarrow\]

\[2 \cdot {}_{n|}a_{\overline{n}|} + 3 \cdot a_{\overline{n}|} = 36\]

\[2 \cdot {}_{n|}a_{\overline{n}|} = 6 \Rightarrow {}_n|a_{\overline{n}|} = 3\]

\[\Rightarrow 2 \cdot 3 + 3 \cdot a_{\overline{n}|} = 36\]

\[a_{\overline{n}|} = \frac{30}{3} = 10 \Rightarrow\]

\[10 \cdot v^n = 3 \Rightarrow v^n = \frac{3}{10} \Rightarrow \frac{1 - v^n}{i} = 10 \Rightarrow\]

\[i = \frac{1 - v^n}{10} = \frac{1 - \frac{3}{10}}{10} = \frac{\frac{7}{10}}{10} = 0.07\]

Regresar

\[5000 \cdot (1.02)^{10} \cdot s_{\overline{10}|} + P \cdot s_{\overline{10}|} = 100000 \Rightarrow\]

\[P = \frac{100000 - 5000 \cdot (1.02)^{10} \cdot s_{\overline{10}|}}{s_{\overline{10}|}}\]

\[s_{\overline{10}|} = \frac{(1.02)^{10} - 1}{0.02} =\]

\[10.9497 \Rightarrow\]

\[P = 3,037.6807\]

Regresar

\[2000 \cdot a_{\overline{\infty}|i_1} = P \cdot a_{\overline{\infty}|i_2}\]

\[i_2 = \frac{0.06}{12} =\]

\[0.005\]

\[i_1 = (1 + \frac{0.06}{12})^{12} - 1 =\]

\[0.0616778\]

\[a_{\overline{\infty}|i_1} = \frac{1}{i_1}\]

\[a_{\overline{\infty}|i_2} = \frac{1}{i_2}\]

\[P = 2000 \frac{i_2}{i_1}\]

\[162.1328594\]

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Respuesta :

Para poder lograr el objetivo buscado se tiene que cumplir la siguiente igualdad:

\[1000000 \cdot \left( 1 + \frac{0.12}{12} \right)^{12 \cdot h} = 15000 \cdot a_{\overline{\infty}|0.01} \Rightarrow\]

\[1000000 \cdot \left( 1.01 \right)^{12 \cdot h} = 15000 \cdot a_{\overline{\infty}|0.01} \Rightarrow\]

\[1000000 \cdot \left( 1.01 \right)^{12 \cdot h} = 15000 \cdot \frac{1}{0.01} = 1500000 \Rightarrow\]

\[\left( 1.01 \right)^{12 \cdot h} = 1.5 \Rightarrow 12h = \frac{ln(1.5)}{ln(1.01)} \Rightarrow h = \frac{ln(1.5)}{12 \cdot ln(1.01)} = 3.3957423\]

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Respuesta a: Si su objetivo es retirarse dentro de 42 años, entonces tenemos, en primer lugar, que sus aportaciones constituyen una anualidad inmediata vencida de $42*12 = 504$ pagos. Entonces, el valor futuro de esta anualidad tiene que ser igual al valor presente de una anualidad vencida que realiza $20*12 = 240$ pagos. Esto es:

\[P \cdot s_{\overline{504}|i} = 15000 \cdot a_{\overline{240}|i}\]

La tasa $i$ corresponde a la tasa efectiva mensual equivalente a una tasa efectiva anual del 10%

\[i = (1.1)^{1/12} - 1 = 0.0080\]

Entonces:

\[P = \frac{15000 \cdot a_{\overline{240}|i}}{s_{\overline{504}|i}}\]

\[a_{\overline{240}|i} = \frac{1 - v^{240}}{i} = 100.5946\]

\[s_{\overline{504}|i} = \frac{(1+i)^{504} - 1}{i} = 6,742.2564\]

\[P = 223.8003\]

Respuesta b: Si cambia el esquema y desea recibir los $15,000 a perpetuidad, entonces la nueva ecuación de valor es:

\[P = \frac{15000 \cdot a_{\overline{\infty}|i}}{s_{\overline{504}|i}}\]

\[a_{\overline{\infty}|i} = \frac{1}{i} = 125.4054\]

\[P = 278.9987\]

Respuesta c: Si ahora espera que su pensión vitalicia sea igual a $17,500 mensuales y la aportación y tasa de interés permanecen las mismas durante el periodo de ahorro, entonces tenemos que:

\[P = \frac{17500 \cdot a_{\overline{\infty}|i_2}}{s_{\overline{504}|i}} \Rightarrow\]

\[\frac{P \cdot s_{\overline{504}|i}}{17500} = a_{\overline{\infty}|i_2} = \frac{1}{i_2} \Rightarrow\]

\[i_2 = \frac{17500}{P \cdot s_{\overline{504}|i}} = 0.0093\]

O bien, lo que es equivalente, una tasa efectiva anual del 0.1175.

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Respuesta: Lo que el problema nos plantea es una anualidad variable, con pagos crecientes aritméticamente a razón de $10,000 cada 2 años durante 30 años. Por lo tanto, podemos representarla mediante:

\[10,000 \cdot (Ia_{\overline{15}|i})\]

donde $i$ es la tasa efectiva bi-anual, por lo que:

\[1+i = (1.05)^2 \Rightarrow i = (1.05)^2 - 1 =\]

\[\Rightarrow 10,000 \cdot \frac{\ddot{a}_{\overline{15}|i} - 15v^{15}}{i} =\]

\[467,972.4312\]

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Respuesta: El problema nos plantea el uso de una anualidad variable, cuyos pagos decrecen geométricamente, ya que $P_t = (1 - 0.02) * P_{t-1}$. Entonces, el valor del préstamo original debe ser igual a la suma del valor presente de todos los pagos, es decir, al valor presente de la anualidad:

\[P = 1000 \cdot \frac{1 - (r \cdot v)^n}{1 + i - r} = 27,873.7329\]

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Respuesta

\[(\overline{I}\overline{a})_{\overline{\infty}|} = \int\limits_{0}^{\infty} t \cdot e^{-\delta \cdot t} dt =\]

\[\left.\frac{e^{-\delta t}}{\delta^2}(-\delta t - 1) \right|_{0}^{\infty} = \left.\frac{-\delta t e^{-\delta t}}{\delta^2}-\frac{e^{-\delta t}}{\delta^2} \right|_{0}^{\infty} = \left.\frac{-t e^{-\delta t}}{\delta}-\frac{e^{-\delta t}}{\delta^2} \right|_{0}^{\infty} =\]

\[\left.\frac{-t}{\delta e^{\delta t}}-\frac{1}{\delta^2 e^{\delta t}} \right|_{0}^{\infty};\]

\[\lim\limits_{t \rightarrow \infty} \frac{t}{\delta e^{\delta t}} = \lim\limits_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{\delta^2 e^{\delta t}} = 0;\]

\[\lim\limits_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{\delta^2 e^{\delta t}} = 0;\]

\[\left. \frac{1}{\delta^2 e^{\delta t}} \right|_{0} = \frac{1}{\delta^2}\]

\[\Rightarrow (\overline{I}\overline{a})_{\overline{\infty}|} = (-0 - 0) - \left(-0-\frac{1}{\delta^2} \right) = \frac{1}{\delta^2}.\]

Si $\delta = 0.08$, entonces

\[(\overline{I}\overline{a})_{\overline{\infty}|} = \frac{1}{0.08^2} = 156.25.\]

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6 REFERENCIAS

Abreu Goodger, Gavin Brendan, María Rebeca Acosta Arellano, Claudia Álvarez Toca, Jaime José Cortina Morfín, María Daniela Gallardo García, Juan Rafael García Padilla, Lorenzo Jiménez Vázquez, Julio Alfonso Santaella Castell, Claudia Tapia Rangel, and Marie Shantall Tegho Villareal. 2014. El Mercado de Valores Gubernamentales En México. http://educa.banxico.org.mx/ebooks_descargas/{CD2C4B20-74C9-6BE6-14CA-CAD02563FED9}.pdf.

Banco de España. 2010. “Estabilidad Del Sistema Financiero.” Banco de España. https://aulavirtual.bde.es/wav/es/menu/estabilidad-fina/.

Banco de México. 2021. “Sistema Financiero.” August 9, 2021. http://www.anterior.banxico.org.mx/dyn/divulgacion/sistema-financiero/sistema-financiero.html.

———. 2022. “Calculadora Del Costo Anual Total.” Banco de México. October 31, 2022. https://www.banxico.org.mx/CAT/.

Blasco, Fernando. 2019. Más Allá de La Razón Áurea. Grandes Ideas de Las Matemáticas 9. Prisanoticiaas Colecciones.

Bodie, Zvie, Alex Kane, and Alan J. Marcus. 1999. Investments. Irwin/McGraw-Hill.

Brueggeman, William B., and Jeffrey D. Fisher. 2008. Real Estate Finance and Investments. McGraw-Hill/Irving.

Cervantes Ahumada, Raul. 2003. Titulos y Operaciones de Credito. 15a ed. Editorial Porrua.

Comisión Nacional Bancaria y de Valores. 2022. “Sociedades Cooperativas de Ahorro y Préstamo.” 2022. https://www.gob.mx/cnbv/acciones-y-programas/sociedades-cooperativas-de-ahorro-y-prestamo.

Consejo Mexicano para la Investigación y Desarrollo de Normas de Información Financiera, A.C. 2011. Normas de Información Financiera. Distrito Federal, Mexico: Consejo Mexicano para la Investigacion y Desarrollo de Normas de informacion Financiera, A.C.

Cuthbertson, Keith, and Dirk Nitzsche. 2004. Quantitative Financial Economics: Stocks, Bonds and Foreign Exchange. John Wiley & Sons.

De la Fuente Rodríguez, Jesús. 1999. Tratado de Derecho Bancario y Bursátil: Seguros, Fianzas, Organizaciones y Actividades Auxiliares Del Crédito, Grupos Financieros. Ed. Porrúa.

Dinius, John B. 2017. Actex SOA Exam FM: Study Manual. Actex Publications.

Elton, Edwin J., Martin J. Gruber, Stephen J. Brown, and William Goetzmann. 2003. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. John Wiley & Sons.

Estados Unidos Mexicanos, Cámara de Diputados. 2005. “Ley Del Mercado de Valores.” http://www.diputados.gob.mx/LeyesBiblio/pdf/LMV_090119.pdf.

Gregorio Domínguez, María Mercedes. 2006. Matemáticas Financieras. Instituto Tecnológico Autónomo de México.

Homer, Sidney, and Richard Sylla. 2005. A History of Interest Rates. John Wiley & Sons.

Kellison, Stephen G. 1970. The Theory of Interest. Warren Centre for Actuarial Studies & Research.

———. 1991. The Theory of Interest. 3a ed. Irwin/McGraw-Hill.

MacLean, Leonard C., and W. T. Ziemba. 2015. “Primer on Utility Theory.” Wilmott 2015 (80): 22–29.

Meschiari, Stefano. 2022. Latex2exp: Use LaTeX Expressions in Plots. https://CRAN.R-project.org/package=latex2exp.

O’Connor, J. J., and E. F. Robertson. 2001. “The Number e.” University of St Andrews. 2001. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/e/.

Parkin, Michael. 1995. Microeconomía. Addison-Wesley Iberoamericana.

Pliska, Stanley R. 1997. Introduction to Mathematical Finance: Discrete Time Models. Blackwell Publishers.

R Core Team. 2020. R: A Language and Environment for Statistical Computing. Vienna, Austria: R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/.

“Reporte de Estabilidad Financiera: Junio 2021.” 2021. Banco de México. https://www.banxico.org.mx/publicaciones-y-prensa/reportes-sobre-el-sistema-financiero/reportes-sistema-financiero-s.html.

Rose, Peter S. 2003. Money and Capital Markets. McGraw-Hill.

Sadr, Amir. 2022. Mathematical Techniques in Finance: An Introduction. John Wileyt & Sons.

Schauberger, Philipp, and Alexander Walker. 2020. Openxlsx: Read, Write and Edit Xlsx Files. https://CRAN.R-project.org/package=openxlsx.

Secretaría de Hacienda y Crédito Público. 2021. “Estructura Del Sistema Financiero.” August 6, 2021. http://www.gob.mx/cms/uploads/attachment/file/40510/Estructura_del_Sistema_Financiero_Mexicano_2015.pdf.

Thomas, George B, and Ross L. Finney. 1996. Calculus and Analytic Geometry. Addison-Wesley.

Turrent, Eduardo. 2012. Autonomía de La Banca Central En México: Visión Histórica. Vol. V. Banco de México.

Wickham, Hadley. 2016. Ggplot2: Elegant Graphics for Data Analysis. Springer-Verlag New York. https://ggplot2.tidyverse.org.

Wickham, Hadley, and Dana Seidel. 2020. Scales: Scale Functions for Visualization. https://CRAN.R-project.org/package=scales.

Wilders, Richard James. 2020. Financial Mathtematics for the Actuarial Science: The Theory of Interest. Taylor & Francis Group, LLC.

Xie, Yihui. 2014. “Knitr: A Comprehensive Tool for Reproducible Research in R.” In Implementing Reproducible Computational Research, edited by Victoria Stodden, Friedrich Leisch, and Roger D. Peng. Chapman; Hall/CRC. http://www.crcpress.com/product/isbn/9781466561595.

Xie, Yihui, Joe Cheng, and Xianying Tan. 2020. DT: A Wrapper of the JavaScript Library ’DataTables’. https://CRAN.R-project.org/package=DT.

Zhu, Hao. 2021. kableExtra: Construct Complex Table with ’Kable’ and Pipe Syntax. https://CRAN.R-project.org/package=kableExtra.

Desde luego, podemos pensar en diferentes características de los activos financieros que nos sean de interés, aunque con frecuencia veremos que de alguna u otra manera estas también hacen referencia al valor de dicho activo financiero (por ejemplo, la duración de bono).↩︎
Desde luego, es posible aplicar el concepto de interés a cosas diferentes del dinero. De hecho, Homer and Sylla (2005) señalan que “los préstamos con interés puede decirse que empezaron cuando el granjero del Neolítico le hizo un préstamo de semillas a su primo esperando más de vuelta al llegar el momento de la cosecha”.↩︎
Ver lo que dice Kellison (1991) sobre este punto. Las expectativas de inflación “negativas” (deflación), por ejemplo, pueden dar lugar a tasas de interés reales negativas. En teoría, tasas de interés negativas implicarían un mayor valor del dinero en el futuro que en el presente, es decir, que la gente estaría dispuesta a “pagar” por no gozar de su dinero hoy y usarlo en el futuro. Es fácil ver que esto resulta contra-intuitivo, y es el motivo por el que, en la práctica, no es muy común observar tasas nominales negativas. Las tasas negativas de interés son observadas, por lo general, sólo como una herramienta monetaria de los bancos centrales empleadas como medidas expansionarias para estimular la economía en momentos de recesión. Para mayores detalles, ver, por ejemplo este artículo.↩︎
En general, cuando se usan métodos iterativos, es deseable utilizar valores iniciales cercanos al valor esperado de la solución, esto puede acelerar el proceso significativamente. También, es deseable repetir el procedimiento un par de veces usando valores iniciales diferentes para descartar la posibilidad de haber encontrado una solución local. Finalmente, se recomienda estar atentos a la solución encontrada: con frecuencia podemos toparnos con soluciones triviales o sin sentido, en cuyo caso es necesario intentar nuevamente con un valor inicial diferente.↩︎
En todas estas secciones estaremos asumiendo que la función de acumulación corresponde a la de interés compuesto. Para el estudiante interesado, Kellison (1991) (sección 3.9) discute los problemas en los que se incurre cuando esto no es así (en particular cuando se considera una función de acumulación de interés simple).↩︎
Obsérvese la diferencia de esta situación con aquella en la que el último pago “estándar” se da en un momento fraccional. La situación que queremos evaluar es aquella en la que el último pago se daría efectivamente en un periodo entero, pero la anualidad vence (se interrumpe, digamos) en un momento del tiempo ubicado entre dos fechas de pago.↩︎
Ver el comentario en los anexos sobre el bono a perpetuidad emitido por la Lekdyk Bovendams Company.↩︎
Además del bono histórico de la LBC, que ya se mencionó, otro ejemplo son los consols británicos artículo.↩︎
Para un breve recuento histórico de los patrones de pago observados en los EE. UU. A., ver Brueggeman and Fisher (2008), capítulo 4.↩︎
Se les llama cupones porque antiguamente para el cobro de los intereses de uno de estos instrumentos era necesario cortar físicamente un cupón o contraseña de las hojas fabricadas para fines de control endosadas al documento principal o carátula del bono. Existen en la actualidad personas que se dedican a coleccionar este tipo de documentos (escripofilia, se le llama a esta afición). Ve, por ejemplo link.↩︎
Otro Bernoulli. Ya nos topamos con los Bernoulli en la parte I de este material. La cantidad de miembros de esta familia sobresalientes en las ciencias es notoria. Ver anexo.↩︎
Otro matemático sobresaliente con una amplitud de aportaciones notable. Activo unos años después que los Bernoulli, su extraordinaria productividad en las matemáticas se dice que incluso se incrementó después de quedarse ciego. Su obra (y la de los Bernoulli) todavía se sigue compilando, pero una muy buena parte puede hoy consultarse en línea: .↩︎
Y, ¿somos los tomadores de decisiones racionales? ¿Esto importa?↩︎
Para los datos de tipo cuantitativo existen dos grandes categorías: datos en escala de intervalos y datos en escala de razones (proporciones). Los datos en escala de intervalos se caracterizan por no tener un cero absoluto y ser de naturaleza aditiva, las comparaciones entre dos datos en forma de cocientes no hacen mucho sentido.↩︎
Esta forma de la función de utilidad es conocida como la función de Cobb-Douglas.↩︎
Este punto corresponde, desde luego, al vértice de la hipérbola.↩︎
Recuerda que una función $\pi(\omega)$ es una medida de probabilidad para el espacio muestral $\Omega$ si: 1) $\pi(\omega) \in [0,1] \forall \omega \in \Omega$; 2) $\pi(\varnothing) = 0$; 3) $\pi(\Omega) = 1$; 4) si $E_1, E_2, \dots, E_n$ son conjuntos disjuntos pertenecientes a $\Omega$ entonces $\pi\left(\bigcup\limits_i E_i \right) = \sum\limits_i \pi(E_i)$.↩︎
¿Es esto exacto? ¿Qué pasa entonces con los bonos a perpetuidad? En principio el capital se paga en exhibiciones ad infinitum. Para un ejemplo interesante, revisar el bono emitido por la Lekdyk Bovendams Company comentado por Homer and Sylla (2005) (página 126). Ver también esta nota.↩︎
Ahorro, recordemos, se refiere al residual después de descontar los gastos a nuestros ingresos; la inversión se refiere a la adquisición de activos productivos.↩︎
El Catálogo del Sistema Financiero Mexicano (CASFIM) es una muy buena herramienta para conocer a los participantes completos. En la página del CASFIM se puede consultar también un https://www.gob.mx/cms/uploads/attachment/file/40510/Estructura_del_Sistema_Financiero_Mexicano_2015.pdf de dichos participantes.↩︎
Las Casas de Cambio se incluyen aquí como parte del sector de ahorro y crédito por estar clasificadas en la normatividad como una actividad auxiliar de ahorro y crédito, sin embargo, se encontrarían más apropiadamente clasificadas quizá en un sector a parte con los centros cambiarios y los transmisores de dinero.↩︎
Por ejemplo, productos complejos, cuyo precio no es claro; el individuo tampoco puede “vigilar” apropiadamente el desempeño del intermediario en el cumplimiento de su mandato como custodio del patrimonio.↩︎
Es importante señalar que la Constitución nos dice que este será su objetivo prioritario, mas no el único. El Art. 2 de la Ley del Banco de México agrega que: “El Banco de México tendrá por finalidad proveer a la economía del país de moneda nacional. En la consecución de esta finalidad tendrá como objetivo prioritario procurar la estabilidad del poder adquisitivo de dicha moneda. Serán también finalidades del Banco promover el sano desarrollo del sistema financiero y propiciar el buen funcionamiento de los sistemas de pagos”.↩︎
¿Por qué es conveniente quitar los inventarios de esta razón? ¿Puede hacerse una prueba todavía más exigente?↩︎

Activo	\(S(0)\)	\(S(1)\)
\(A_1\)	1	\((1,2,3)\)
\(A_2\)	2	\((2,1,2)\)

CONCEPTO PRINCIPAL	NOMBRE	RAZÓN	DESCRIPCIÓN
SOLVENCIA	Apalancamiento (1)	\(DaAT = \frac{PT}{AT}\)	Nivel o grado de endeudamiento de la empresa
SOLVENCIA	Apalancamiento (2)	\(DaC = \frac{PT}{CC}\)
SOLVENCIA	Cobertura financiera o de Cargos Fijos	\(CF = \frac{UAII}{GF}\)	Capacidad de la operación para cubrir los pagos asociados al financiamiento.
LIQUIDEZ	Prueba de liquidez	\(PL = \frac{AC}{PC}\)	Capacidad del activo para cubrir los compromisos más inmediatos.
LIQUIDEZ	Prueba del ácido²⁴	\(PA = \frac{AC - I}{PC}\)	Capacidad del activo (sin considerar los inventarios) para cubrir los compromisos más inmediatos.
LIQUIDEZ	Margen de seguridad	\(MS = \frac{CTN}{PC} = \frac{AC - PC}{PC}\)
EFICIENCIA OPERATIVA	Rotación de inventarios	\(RI = \frac{CV}{(II + IF) / 2}\)
EFICIENCIA OPERATIVA	Rotación de cuentas por cobrar	\(RCC = \frac{VN}{(CCI + CCF)/2}\)
EFICIENCIA OPERATIVA	Rotación de activos totales	\(RAT = \frac{VN}{AT}\)
RENTABILIDAD	Margen de UAFIDA	\(MUAFIDA = \frac{UAFIDA}{VN}\)	Mide qué tanto de las ventas se convierten en utilidades directamente relacionadas al “giro” del negocio.
RENTABILIDAD	Utilidad por acción	\(UA = \frac{UN}{Acciones}\)
RENTABILIDAD	Retorno de capital total oÍndice de productividad	\(RCT = \frac{UN}{CC}\)
RENTABILIDAD	Retorno de activos	\(RA = \frac{UN}{AT}\)

MATEMÁTICAS FINANCIERAS

APUNTES DE CLASE

Enrique Cuervo Guzmán

2024-07-24

1 PARTE I: TEORÍA DEL INTERÉS

1.1 PRESENTACIÓN DEL CURSO

1.1.1 PRE-REQUISITOS

1.1.2 BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

1.1.3 OBJETIVOS

1.2 INTRODUCCIÓN

1.3 TEORÍA DEL INTERÉS: EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

1.3.1 MONTO, INTERÉS Y DESCUENTO

1.3.1.1 EJEMPLOS

1.3.2 FUNCIÓN DE ACUMULACIÓN

1.3.2.1 EJEMPLOS

1.3.2.2 INTERÉS SIMPLE

1.3.2.2.1 EJEMPLOS

1.3.2.3 INTERÉS COMPUESTO

1.3.2.4 EJEMPLOS

1.3.3 VALORES NO ENTEROS DE t

1.3.4 TASAS NOMINALES CONVERTIBLES

1.3.4.1 EQUIVALENCIA ENTRE LAS TASAS NOMINAL Y EFECTIVA

1.3.4.2 RELACIÓN ENTRE \(i^{(m)}\) Y \(d^{(m)}\)

1.3.4.3 EJEMPLOS

1.3.5 TASAS INSTANTÁNEAS DE INTERÉS Y DESCUENTO

1.3.5.1 EJEMPLOS

1.3.6 TASAS DE INTERÉS VARIABLES

1.3.7 ECUACIÓN DE VALOR

1.3.7.1 FECHA EQUIVALENTE

1.3.7.2 TASA DE INTERÉS EQUIVALENTE

1.3.7.2.1 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

1.3.7.3 EJEMPLOS

1.4 ANUALIDADES

1.4.1 ANUALIDADES ORDINARIAS

1.4.1.1 ACOMODANDO LOS FLUJOS DE EFECTIVO EN EL TIEMPO

1.4.1.2 PERIODOS DE TIEMPO NO ENTEROS

1.4.1.3 PROBLEMAS CON NÚMERO DE PAGOS DESCONOCIDO

1.4.1.4 PROBLEMAS CON TASA DE INTERÉS DESCONOCIDA

1.4.1.5 EJEMPLOS

1.4.2 PERPETUIDADES

1.4.2.1 EJEMPLOS

1.4.3 ANUALIDADES FRACCIONADAS (CONVERTIBLES)

1.4.4 ANUALIDADES CON TASA DE INTERÉS VARIABLE

1.4.4.1 EJEMPLOS

1.4.5 ANUALIDADES CONTINUAS

1.4.5.1 FUERZA DE INTERÉS VARIABLE

1.4.5.2 EJEMPLOS

1.4.6 ANUALIDADES VARIABLES

1.4.6.1 PAGOS CON PROGRESIÓN ARITMÉTICA

1.4.6.1.1 PERPETUIDAD CON PROGRESIÓN ARITMÉTICA

1.4.6.2 PAGOS CON PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

1.4.6.3 ANUALIDADES VARIABLES CON PAGOS EN FORMA CONTINUA

1.4.6.4 EJEMPLOS

1.5 AMORTIZACIÓN

1.5.1 ESQUEMAS DE AMORTIZACIÓN

1.5.1.1 DETERMINACIÓN DEL MONTO DE LOS PAGOS

1.5.1.2 DETERMINACIÓN DEL SALDO INSOLUTO

1.5.1.3 DETERMINACIÓN DE INTERÉS Y AMORTIZACIÓN DEL CAPITAL

1.5.1.4 EJEMPLOS

1.5.2 FONDOS DE AMORTIZACIÓN

1.5.2.1 DETERMINACIÓN DEL MONTO DE LOS PAGOS II

1.5.2.2 DETERMINACIÓN DEL INTERÉS Y AMORTIZACIÓN DEL CAPITAL

1.5.3 OTROS PATRONES DE AMORTIZACIÓN (OPCIONAL)

1.6 VALUACIÓN DE BONOS (EN AUSENCIA DE RIESGO)

1.6.1 VALUACIÓN ENTRE FECHAS DE PAGO DE CUPONES

1.6.2 PRECIO DE MERCADO

1.6.3 EJEMPLOS

1.7 COMENTARIOS FINALES

2 PARTE 2

2.1 BIBLIOGRAFÍA PRINCIPAL

2.2 INTRODUCCIÓN

2.3 TEORÍA DE PORTAFOLIOS

2.3.1 EL PROBLEMA DE LA SELECCIÓN DE UN PORTAFOLIO

2.3.2 TEORÍA DE DECISIÓN

2.3.2.1 FUNCIONES DE UTILIDAD

2.3.2.2 CURVAS DE INDIFERENCIA

2.3.3 TEORÍA DE PORTAFOLIOS DE MARKOWITZ

2.3.3.1 DIVERSIFICACIÓN

2.3.3.2 RIESGO Y RENDIMIENTO

2.3.3.3 TEOREMA DE LOS DOS FONDOS