46_50

Bảng 2.23 có sự chênh lệch quá cao giữa các tần số ô: có những ô tần số rất nhỏ (1, 5, 37), có những ô tần số trung bình (788), lại có những ô tần số cực kỳ lớn (14464, 17066). Vì thế, mặc dù kích thước mẫu lớn (n = 32574), trong những trường hợp như vậy phân phối mẫu thực tế của \(R^2\) hoặc \(G^2\) có thể không gần Chi - bình phương. Hậu quả là đối với các dữ liệu này, có df = 4, \(G^2\) = 6,2 (P-value = 0,19) và \(R^2\)= 12,1 (P = 0,02), vì vậy chúng cung cấp những thông tin rối loạn : Nếu dùng tiêu chuẩn Pearson thì bác bỏ \(H_0\), nếu dùng tiêu chuẩn tỷ số hợp lý thì chưa có cơ sở để bác bỏ \(H_0\). Trong cả hai trường hợp này, chúng ta đã bỏ qua thứ tự (hay mức độ) của lượng tiêu thụ rượu.

Bảng 2.23 liệt kê tỷ lệ các trường hợp dị dạng ở mỗi mức độ rượu tiêu thụ. Những tỷ lệ phần trăm cho thấy một xu hướng ngày càng tăng. Hai yếu tố đầu tiên là tương tự và hai phần tiếp theo cũng giống nhau, tuy nhiên, và ba phần trăm cuối cùng thay đổi đáng kể với việc thêm hoặc xóa một trường hợp dị dạng. Bảng 2.23 cũng báo cáo số dư đã điều chỉnh cho loại “có mặt” trong bảng này. Chúng là âm ở mức tiêu thụ rượu thấp và dương ở mức tiêu thụ cao, mặc dù hầu hết là nhỏ, và chúng cũng thay đổi đáng kể với mức độ thay đổi nhẹ trong dữ liệu. Tỷ lệ phần trăm mẫu và số dư điều chỉnh đều cho thấy xu hướng dị tật có xu hướng tăng khi mức độ tiêu thụ rượu tăng.

Thống kê kiểm định thứ bậc \(M^2\) đòi hỏi điểm số cho mức độ tiêu thụ rượu. Một cách hợp lý ta sử dụng các điểm số là điểm giữa của các khoảng mức tiêu thụ rượu : \(v_1=0\), \(v_2=0,5\), \(v_3=1,5\),\(v_4=4\), \(v_5=7\) (khoảng cuối này ta xem có độ dài bằng khoảng kề nó).

Người ta có thể tính toán \(r\) và \(M^2\) bằng phần mềm. Sự tương quan mẫu giữa sự tiêu thụ rượu và dị dạng là \(r = 0,015\), và \(M^2 = 32573. 0,0152^2 = 7,3289\); P-value = 0,01 cho thấy bằng chứng mạnh mẽ về tương quan khác 0. Thống kê chuẩn chính tắc có \(M = 2,56\) có P-value = .005 cũng cho thấy có sự ảnh hưởng của việc uống rượu của các bà mẹ tới dị tật của trẻ sơ sinh.

Ở đây ta trình bày việc tính toán đó qua bảng tính, trong đó biến X là mức tiêu thụ rượu của bà mẹ, được cho điểm như trên, còn biến Y là tình hình dị tật ở trẻ sơ sinh, với hai loại “không” gán số 0 và “Có” gán số 1:

\[ \begin{array}{|c|cc|cc|cc|cc|cc|c|c|} \hline \text{Y\X} & 0 & & 0,5 & & 1,5 & & 4 & & 7 && n_{+j} & \text{Kết quả trung gian} \\ \hline 0 & 17066 & 0 & 14464 & 0 & 788 & 0 & 126 & 0 & 37 & 0 & 32481 & \overline{Y}=93/32574=0,0029 \\ \hline {1}\ & 48 & 0 & 38 & 19 & 5 & 7,5 & 1 & 4 & 1 & 7 & 93 & \overline{Y^2} =0,0029 \\ \hline n_{i+} & 17114 & & 14502 & & 793 & & 127 & & 38 & & n=32574 & r=0,0156\\ \hline \text{Kết quả trung gian} & \overline{X} = & 0,2829 & \overline{X^2}= & 0,2856 & \overline{X,Y}= & 0,0012 \\ \hline \end{array} \]

\[ \text{Bảng 2.24} \]

\[ M^2=(n-1).r^2=7,3289>\chi^2_{1}(0,05)=3,841 \]

(Nếu dùng P-value, từ bảng phụ lục Giá trị tới hạn của phân phối Chi-bình phương với bậc tự do df = 1, có \(P-value= P(𝜒^2_1>=7,3289)<P(𝜒^2_1>=6,635)=0,01)\)

Vậy ta bác bỏ giả thuyết \(H_0\) : X và Y độc lập, và cho rằng việc uống rượu của các bà mẹ có ảnh hưởng đến dị tật ở bộ phân sinh dục của trẻ sơ sinh. Ngoài ra r = 0,0156 > 0, cho thấy : Khi mức độ tiêu thụ rượu của các bà mẹ tăng lên thì số trẻ sơ sinh bị dị tật bẩm sinh ờ bộ phân sinh dục cũng có xu hướng tăng lên.

2.5.2 Ưu điểm của kiểm định thứ bậc

Để kiểm tra tính độc lập, \(𝜒^2\) và \(𝐺^2\) đề cập đến giả thuyết thay thế chung nhất có thể, theo đó xác suất ô biểu hiện bất kỳ kiểu phụ thuộc thống kê nào. Giá trị df = (k-1)(m-1) của chúng phản ánh một giả thiết khác có (k-1)(m-1) các tham số hơn giả thuyết không. Các thống kê này được thiết kế để phát hiện mức độ bác bỏ hay chấp nhận giả thuyết về tính độc lập mà không cho thấy được xu thế và mức độ liên kết của hai biến quan sát khi bác bỏ tính độc lập.

Khi các biến hàng và cột là thứ tự, chúng ta có thể mô tả mối liên kết bằng việc sử dụng một tham số bổ sung duy nhất. Thống kê kiểm định \(𝑀^2\) dựa trên một sự đo lường tương quan của xu hướng tuyến tính. Khi sự liên kết thực sự có xu hướng dương hoặc âm, kiểm định thứ tự sử dụng \(𝑀^2\) có lợi thế mạnh so với các kiểm định dựa trên \(𝜒^2\) hoặc \(𝐺^2\). Từ \(𝑀^2\) có phân phối xấp xỉ phân phối Chi - bình phương với giá trị trung bình là df = 1, thì một giá trị \(𝑀^2\) tương đối lớn nằm xa hơn trong đuôi bên phải của nó so với giá trị tương đương của \(𝜒^2\) hoặc \(𝐺^2\) dựa trên df = (k-1)(m-1) ≥ 1. Việc rơi xa hơn ở đuôi tạo ra một P-value nhỏ hơn và vì vậy việc bác bỏ giả thuyết null mạnh hơn. Khi thực sự có một xu hướng tuyến tính, \(M^2\) có xu hướng có kích thước tương tự như \(𝜒^2\) hoặc \(𝐺^2\), vì vậy nó có xu hướng mạnh hơn trong việc cho ra các P-value nhỏ hơn.

Để phát hiện bất kỳ kiểu phụ thuộc nào, thống kê \(𝜒^2\) và \(𝐺^2\) mất đi hiệu lực liên quan đến số liệu thống kê được thiết kế để phát hiện một kiểu phụ thuộc đặc biệt nếu kiểu phụ thuộc đó thực sự xảy ra. Một ưu điểm khác của các kiểm định Chi - bình phương có giá trị df nhỏ liên quan đến độ chính xác của xấp xỉ Chi - bình phương. Đối với kích cỡ mẫu từ nhỏ đến trung bình, phân phối lấy mẫu thật sự có xu hướng gần hơn với chi bình phương khi df nhỏ hơn. Khi một số lượng các ô nhỏ, xấp xỉ chi-bình phương có thể sẽ kém chính xác cho \(𝜒^2\) hoặc \(𝐺^2\) hơn là cho \(𝑀^2\).

2.5.3. Một số phân tích khi chọn điểm

Đối với hầu hết các bộ dữ liệu, việc lựa chọn điểm số ít ảnh hưởng đến kết quả. Sự lựa chọn khác nhau của điểm số đơn điệu cho kết quả tương tự. Tuy nhiên, điều này có thể không xảy ra khi dữ liệu quá chênh lệch, chẳng hạn như khi một số loại có nhiều quan sát hơn nhiều so với các loại khác. Bảng 2.23 minh họa điều này. Đối với các điểm số có khoảng cách đều nhau (1, 2, 3, 4, 5), thống kê kiểm định \(𝑀^2= 1,83\), cho kết luận yếu hơn nhiều (P-value = 0,18). Độ lớn của \(r\) và \(𝑀^2\) không thay đổi với sự chuyển đổi của các điểm giữ được khoảng cách tương đối giữa các loại. Ví dụ, điểm (1,2,3,4,5) có cùng mức độ tương quan như điểm số (0,1,2,3,4) hoặc (2, 4,6,8,10) hoặc (10,20,30,40, 50).

Cách tiếp cận sử dụng midrank thay thế cho việc chọn điểm và sử dụng dữ liệu để tự động tạo ra chúng. Cụ thể, người ta chỉ định xếp hạng cho các đối tượng và sử dụng chúng như là điểm số của nhóm. Đối với tất cả các đối tượng trong một thể loại, người ta chỉ định mức trung bình của các hạng sẽ áp dụng cho một bảng xếp hạng mẫu hoàn chỉnh từ 1 đến n. Đây được gọi là midranks. Chúng ta minh họa bằng cách gán hạng cho mức độ tiêu thụ rượu ở Bảng 2.17 : 17114 đối tượng ở mức 0 cho mức tiêu dùng rượu chiếm từ 1 đến 17114. Chúng ta gán cho mỗi người trong số họ mức trung bình của các cấp bậc này, tức là midrank (1 + 17114) / 2 = 8557,5; 14502 đối tượng ở mức < 1 đối với mức tiêu thụ rượu chiếm từ 17115 cho đến 17114 + 14502 = 31616, với mức trung bình là (17115 + 31616) / 2 = 24365,5. Tương tự, các midranks cho ba loại cuối cùng là 32013,0; 32473,0 và 32555,5. Các điểm này cho kết quả \(𝑀^2= 0,35\) với một kết luận còn yếu hơn: (P = 0,55).

Lý do tại sao điều này xảy ra? Các loại liền kề có tương đối ít quan sát nhất thiết phải có midranks giống nhau. Ví dụ, midranks (8557,5; 24365,5; 32013,0; 32473,0; 32555,5) cho Bảng 2.23 có midrank xấp xỉ nhau đối với ba loại cuối cùng (tức là cào bằng ba mức cuối), vì các loại này loại có số quan sát ít hơn nhiều so với hai loại đầu tiên. Hậu quả là lược đồ cho điểm này coi mức độ tiêu thụ rượu 1-2 (loại 3) gần mức tiêu thụ ≥ 6 (loại 5) hơn nhiều so với mức tiêu thụ 0 (loại 1). Điều này có vẻ không hợp lý. Sẽ tốt hơn nếu sử dụng đánh giá một người bằng cách chọn điểm số phản ánh khoảng cách giữa các loại. Khi không chắc chắn về sự lựa chọn này, người ta thường thực hiện phân tích độ nhạy. Chọn hai hoặc ba lựa chọn “nhạy cảm” và kiểm tra xem kết quả có giống nhau không. Điểm bình đẳng về khoảng cách thường mang lại một sự hợp lý khi các nhãn loại không đề cập đến bất kỳ lựa chọn rõ ràng nào, chẳng hạn như các loại : liberal (tự do), moderate (trung bình), conservative (bảo thủ) cho triết học chính trị.

2.5.4. Các kiểm định xu hướng cho các bảng 𝒌 × 𝟐 và 𝟐 ×𝒎

Các bảng dạng này đơn giản cho việc tính \(𝑀^2\) . Khi X (hay Y) chỉ có hai cấp độ thì cấp độ thứ nhất ta gán điểm số là 0, cấp độ thứ hai ta gán điểm số là 1. Giả sử biến dòng X là một biến giải thích, và biến cột Y là một biến đáp ứng.

Khi X là nhị phân, bảng có kích thước 𝟐 × 𝒎. Các bảng có kích thước này xảy ra khi so sánh hai nhóm ứng với hai thuộc tính của X, chẳng hạn như khi các hàng đại diện cho hai phương pháp điều trị. Được phân chia theo số đối tượng trong hàng 2, nó cho điểm trung bình cho hàng đó. Trong thực tế, khi các cột (Y) có thứ tự với điểm số {vj}, thống kê \(𝑀^2\) cho bảng 𝟐 × 𝒎 được hướng tới việc phát hiện sự khác biệt giữa các trung bình hai hàng của các điểm trên Y. Trong kiểm định về tính độc lập sử dụng \(𝑀^2\), các P- value cho thấy sự khác biệt thực sự trong các trung bình hàng.

Khi chúng ta sử dụng điểm midrank cho Y, Kiểm định với các bảng 𝟐 × 𝒎 nhạy cảm với sự khác biệt về mức xếp hạng trung bình của hai hàng. Kiểm định này được gọi là kiểm định Wilcoxon hoặc Mann-Whitney. Hầu hết các tài liệu thống kê phi tham số trình bày kiểm định này đối với dữ liệu đáp ứng được xếp hạng đầy đủ, trong khi bảng 𝟐 × 𝒎 là một trường hợp mở rộng trong đó tập hợp các đối tượng ở cùng mức độ Y được gắn và sử dụng midranks. Phiên bản mẫu lớn của kiểm định phi tham số này sử dụng một thống kê chuẩn chính tắc z. Bình phương của thống kê z tương đương với \(𝑀^2\), khi sử dụng cho điểm tùy ý (chẳng hạn như 0, 1) cho các hàng và midranks cho các cột.

Ví dụ 18: Theo dõi ngẫu nhiên một số sản phẩm về chất lượng: Loại 1, Loại 2, Loại 3 được sản xuất ở các ca: ngày, đêm, có kết quả sau:

\[ \begin{array}{|c|ccc|} \hline \text{Chất lượng sản phẩm} & & \text{Số sản phẩm} \\ & \text{Loại 1} & \text{Loại 2} & \text{Loại 3}& \\ \hline \text{Ca ngày}\ & {118} & {28} & {10} \\ \text{Ca đêm}\ & {81} & {15} & {9} \\ \hline \end{array} \] \[ \text{Bảng 2.25} \]

Với mức ý nghĩa 5%, có thể cho rằng chất lượng sản phẩm phụ thuộc vào ca sản xuất hay không?

Giải: Ta cần kiểm định về tính độc lập của X (ca sản xuất) và Y (chất lượng sản phẩm), giả thuyết \(H_0\): X và Y độc lập nhau. Bảng 2.13 là bảng 2 × 3. Đối với X, ta gán 0 cho ca đêm, 1 cho ca ngày. Đối với Y ta sử dụng điểm midrank : Loại 3 được gán số 5,5; loại 2 được gán số \((11+38)/2=24,5\);loại 1 được gán số \((39+38+118)/2=97,5\). Có bảng tính :

\[ \begin{array}{|c|cc|cc|cc|c|c|} \hline \text{X\Y} & 97,5 & & 24,5 & & 5,5 & & n_{i+} & \text{Kết quả trung gian} \\ \hline 1 & 118 & 11505 & 28 & 686 & 10 & 55 & 156 & \overline{Y}=48,8908 \\ \hline 0 & 81 & 0 & 15 & 0 & 9 & 0 & 105 & \overline{Y^2}=4435,3611 \\ \hline n_{+j} & 119 & & 43 & & 19 & & n=261 & & \\ \hline \text{Kết quả trung gian} & \overline{X}= & 0,5977 & \overline{X^2}= & 0,5977 & \overline{X,Y}= & 46,9195 & & r=0,7981 \\ \hline \end{array} \]

\[ \text{Bảng 2.26} \]

Từ đó : \(M^2=(n-1).r^2=165,6105>\chi^2_1(0,05)=3,841\)

cho thấy bằng chứng mạnh mẽ bác bỏ giả thuyết về tính độc lập của chất lượng sản phẩm và ca sản xuất.

Nếu dùng P – value, ta có : \(P-value=P(\chi^2_1≥165,6101)<P(\chi^2_1≥10.83)=0,001\) là giá trị rất bé và do đó là bằng chứng mạnh mẽ bác bỏ giả thuyết về tính độc lập.

Nhận thấy rằng : \(r\) = 0,7981 là giá trị dương khá lớn, điều này cho thấy sự liên kết giữa chất lượng sản phẩm và ca sản xuất là xu hướng tuyến tính khá chặt và việc thay đổi ca từ đêm sang ngày khiến cho chất lượng sản phẩm tăng lên.

Nhận xét: Nếu thay vì cho điểm midrank đối với Y, ta gán điểm cách đều: điểm 0 cho loại 2, điểm 1 cho loại 2, điểm 2 cho loại 1, thì bảng tính sẽ là:

\[ \begin{array}{|c|cc|cc|cc|c|c|} \hline \text{X\Y} & 2 & & 1 & & 0 & & n_{i+} & \text{Kết quả trung gian} \\ \hline 1 & 118 & 236 & 28 & 28 & 10 & 0 & 156 & {\overline{Y}=1,0766} \\ \hline 0 & 81 & 0 & 15 & 0 & 9 & 0 & 105 & \overline{Y^2}=1,9885 \\ \hline n_{+j} & 119 & & 43 & & 19 & & n=261 & & \\ \hline \text{Kết quả trung gian} & \overline{X}= & 0,5977 & \overline{X^2}= & 0,5977 & \overline{X,Y}= & 1,01115 & & r=0,8241 \\ \hline \end{array} \]

\[ \text{Bảng 2.27} \]

Từ đó : \(M^2=(n-1)r^2=176,5766>\chi^2_1(0,05)=3,841\)

cho thấy bằng chứng mạnh mẽ bác bỏ giả thuyết về tính độc lập của chất lượng sản phẩm và sản xuất.

Nếu dùng P-value, ta có: \(P-value=P(\chi^2_1≥176,5766)<P(\chi^2_1≥165,6101)<P(\chi^2_1≥10,83)=0,001\)

2.6. Mở rộng cho bảng ngẫu nhiên nhiều chiều

2.6.1. Bảng ngẫu nhiên ba chiều

Khảo sát ba tiêu chuẩn (có thể là định lượng, có thể là định tính) : X, Y, Z trên cùng một cá thể trong một quần thể. Trong đó X có I mức độ : \(𝐴_1 ,𝐴_2 ,…,𝐴_I\), Y có J mức độ : \(𝐵_1,𝐵_2,…,𝐵_J\) , Z có K mức độ : \(𝐶_1,𝐶_2,…,𝐶_K\). Mục đích là phân tích mối liên hệ giữa hai biến X và Y định tính, trong khi điều khiển cho các hiệu ứng của biến Z, bằng cách nghiên cứu các mối quan hệ X-Y khi cố định một mức không đổi của Z. Biến Z được gọi là biến điều khiển hay được kiểm soát.

Với cỡ mẫu là n, kí hiệu \(n_(ijk)\) là số cá thể có các tiêu chuẩn ở mức \((𝐴_i,𝐵_j,𝐶_k)\),𝑖 = 1,2, …,𝐼;𝑗 = 1,2,…,𝐽;𝑘 = 1,2,…,𝐾. Khi đó mẫu được trình bày bới một bảng ba chiều sau đây gọi là bảng ngẫu nhiên ba chiều \(I×J×K\) :

$$ \[\begin{array}{|c|c|cccc|} \hline & & & & \text{Y} \\ \hline \text{Z} & \text{X} & {B_1} & {B_2} & {...} & {B_J}& \\ \hline & {A_1} & {n_{111}} & {n_{121}} & ... & {n_{1J1}} \\ {C_1}\ & {A_2} & {n_{211}} & {n_{221}} & {...} & {n_{2J1}} \\ & {⋮}\ & {⋮} & {⋮} & {⋮} & {⋮} \\ & {A_I} & {n_{I11}} & {n_{I21}} & ... & {n_{IJ1}} \\ \hline & {A_1} & {n_{112}} & {n_{122}} & ... & {n_{1J2}} \\ {C_2}\ & {A_2} & {n_{212}} & {n_{222}} & {...} & {n_{2J2}} \\ & {⋮}\ & {⋮} & {⋮} & {⋮} & {⋮} \\ & {A_I} & {n_{I12}} & {n_{I22}} & ... & {n_{IJ2}} \\ \hline {⋮} & {⋮} & {⋮} &{⋮ }&{⋮}&{⋮} \\ \hline & {A_1} & {n_{11K}} & {n_{12K}} & ... & {n_{1JK}} \\ {C_K}\ & {A_2} & {n_{21K}} & {n_{22K}} & {...} & {n_{2JK}} \\ & {⋮}\ & {⋮} & {⋮} & {⋮} & {⋮} \\ & {A_I} & {n_{I11}} & {n_{I21}} & ... & {n_{IJ1}} \\ \hline \end{array}\]

$$

\[ \text{Bảng 2.28} \]

Ký hiệu \(n_{+jk}=∑_i n_{ijk} ; n_{i+k}=∑_j n_{ijk} ; n_{ij+}=∑_k n_{ijk},\)

ta có:

\[ \sum_{i,j,k} n_{ijk} = \sum_{j,k} n_{+jk} = \sum_{i,k} n_{i+k} = \sum_{i,j} n_{ij+} = n \]