Giáo trình trang 141-145

---

c. Chạy mô hình bão hòa (ACM)               

Phần mềm cho kết quả cuối cùng:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{cigarette} & \text{marijuana} & \text{alcohol} & \text{Freq} & \text{fitted(mod1)} \\ \hline \text{yes} & \text{yes} & \text{yes} & 911 & 911 \\ \text{no} & \text{yes} & \text{yes} & 44 & 441 \\ \text{yes} & \text{no} & \text{yes} & 538 & 538 \\ \text{no} & \text{no} & \text{yes} & 456 & 456 \\ \text{yes} & \text{yes} & \text{no} & 3 & 3 \\ \text{no} & \text{yes} & \text{no} & 2 & 2 \\ \text{yes} & \text{no} & \text{no} & 43 & 43 \\ \text{no} & \text{no} & \text{no} & 279 & 279 \\ \hline \end{array} \]

                                   Bảng 5.11. Kết quả ước lượng cho các tần số kỳ vọng của các ô nhờ (ACM)

     Tiến hành tương tự đối với các mô hình (AC, M), (AM, CM) và để tiện việc phân tích, so sánh, ta lập bảng tóm tắt các kết quả ước lượng cho các mô hình nói trên bởi bảng dưới đây, trong đó các ước tính được làm tròn đến một chữ số sau dấu phẩy:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Alcohol Use} & \text{Cigarette Use} & \text{Marijuana Use} & (A,C,M) & (AC,M) & (AM,CM) & (AC,AM,CM) & (ACM) \\ \hline \text{Yes} & \text{Yes} & \text{Yes} & 540.0 & 611.2 & 909.24 & 910.4 & 911 \\ \text{Yes} & \text{No} & \text{Yes} & 740.2 & 837.8 & 438.84 & 538.6 & 538 \\ \text{Yes} & \text{Yes} & \text{No} & 282.1 & 210.9 & 45.76 & 44.6 & 44 \\ \text{Yes} & \text{No} & \text{No} & 386.7 & 289.1 & 555.16 & 455.4 & 456 \\ \text{No} & \text{Yes} & \text{Yes} & 90.6 & 19.4 & 4.76 & 3.6 & 3 \\ \text{No} & \text{No} & \text{Yes} & 124.2 & 26.6 & 142.16 & 42.4 & 43 \\ \text{No} & \text{Yes} & \text{No} & 47.3 & 118.5 & 0.24 & 1.4 & 2 \\ \text{No} & \text{No} & \text{No} & 64.9 & 162.5 & 179.84 & 279.6 & 279 \\ \hline \end{array} \]

                                   Fitted Values cho các Loglinear Models từ dữ liệu Bảng 5.7               

     Bảng 5.12 cho thấy các giá trị được trang bị cho một số mô hình loglinear. Các giá trị ước tính từ mô hình (AC, AM, CM) là gần với các dữ liệu quan sát- là các giá trị được trang bị cho mô hình (ACM). Các mô hình khác dường như không phù hợp.

     Từ các công thức (5.3.5 – 5.3.7) cho các log(odds ratio) cho các mô hình có cấu trúc liên kết, ta có các công thức tương tự cho các odds ratio ước tính:

\[ \hat{\theta}_{XY(K)} = \frac{\hat{\mu}_{11k} \cdot \hat{\mu}_{22k'}}{\hat{\mu}_{12k} \cdot \hat{\mu}_{21k'}}; \quad \hat{\theta}_{XZ(J)} = \frac{\hat{\mu}_{1j1} \cdot \hat{\mu}_{2j2'}}{\hat{\mu}_{1j2'} \cdot \hat{\mu}_{2j1}}, \quad \hat{\theta}_{YZ(L)} = \frac{\hat{\mu}_{11} \cdot \hat{\mu}_{22}}{\hat{\mu}_{i12} \cdot \hat{\mu}_{i21}} \]

và hiển nhiên các giá trị này cũng không phụ thuộc i, j, k.

     Chẳng hạn đối với mô hình (AC, AM, CM), ta có:

\[ \hat{\theta}_{AC} = \frac{\hat{\mu}_{11k} \cdot \hat{\mu}_{22k}}{\hat{\mu}_{12k} \cdot \hat{\mu}_{21k}} = \frac{910,383 \times 1,383}{44,617 \times 3,617} = 7,8 \]      Đối với các odds ratio cho bảng liên kết cận biên (lấy tần số các bảng bộ phận ứng với Yes và No của biến điều khiển cộng tương ứng), chẳng hạn:

\[ \hat{\theta}_{AC} = \frac{(909,24 + 438,84) \cdot (0,24 + 179,84)}{(45,76 + 555,16) \cdot (4,76 + 142,16)} = 2,7 \]

     Theo đó ta trình bày kết quả tính các odds ratio có điều kiện trong các mô hình ở bảng 5.12 trong bảng sau đây: \[ \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Model} & \text{ } & \text{(A,C,M)} & \text{(AC,M)} & \text{(AM,CM)} & \text{(AC,AM,CM)} & \text{(ACM) Level 1} & \text{(ACM) Level 2} \\ \hline & A-C & 1.0 & 17.7 & 1.0 & 7.8 & 13.8 & 7.7 \\ \text{Conditional} & A-M & 1.0 & 1.0 & 61.9 & 19.8 & 24.3 & 13.5 \\ \text{Association} & C-M & 1.0 & 1.0 & 25.1 & 17.3 & 17.5 & 9.7 \\ \hline & A-C & 1.0 & 17.7 & 2.7 & 17.7 & 17.7 & 17.7 \\ \text{Marginal} & A-M & 1.0 & 1.0 & 61.9 & 61.9 & 61.9 & 61.9 \\ \text{Association} & C-M & 1.0 & 1.0 & 25.1 & 25.1 & 25.1 & 25.1 \\ \hline \end{array} \] \]                                    Bảng 5.13. Các Odds Ratio ước tính cho Loglinear Models trong bảng 5.12               

     Mô hình (AC, AM, CM) cho phép tất cả các liên kết theo cặp nhưng duy trì odds ratios giữa hai biến ở mỗi mức của biến thứ ba. A-C được trang bị odds ratios có điều kiện cho mô hình này bằng 7,8; đối với mỗi cấp độ M, những học sinh hút thuốc lá có odds ước tính có uống rượu gấp 7,9 lần odds ước tính cho những học sinh không hút thuốc lá.

     Bảng 5.9 cho thấy các odds ratio có điều kiện ước tính bằng 1,0 cho mỗi số hạng cặp đôi không xuất hiện trong một mô hình, chẳng hạn như liên kết A-C trong mô hình (AM, CM). Đối với mô hình đó, odds ratio A-C biên ước tính khác với 1,0; Trong chương 2, chúng ta đã biết rằng độc lập có điều kiện không hàm ý độc lập biên. Một số mô hình có các liên kết có điều kiện nhất thiết phải giống như các liên kết cận biên tương ứng. Sự bằng nhau này thường không xảy ra đối với các mô hình loglinear có chứa tất cả các liên kết theo cặp.

     Bảng 5.9 cho thấy các ước tính cho các odds ratio có điều kiện và cận biên là phụ thuộc vào mô hình. Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc lựa chọn mô hình tốt.

5.4. Suy luận cho mô hình Loglinear

     Một mô hình loglinear phù hợp là cơ sở để mô tả và đưa ra các suy luận về cấu trúc liên kết thực sự trong một tập hợp các biến đáp ứng định tính. Mục này sẽtrình bày cách kiểm định tính phù hợp của các mô hình loglinear và suy luận về các tham số mô hình.

5.4.1. Kiểm định tính phù hợp của mô hình Loglinear

     Khi cỡ mẫu lớn, các thống kê likelihood-ratio \(G^2\) và thống kê Pearson \(\chi^2\):

\[ G^2=2 \cdot \sum_{i, j, k} n_{i j k} \cdot \log \left(\frac{n_{i j k}}{\hat{\mu}_{i j k}}\right) ; \chi^2=\sum_{i, j, k} \frac{\left(n_{i j k}-\hat{\mu}_{i j k}\right)^2}{\hat{\mu}_{i j k}} \]

có phân phối xấp xỉ phân phối Chi-bình phương, với bậc tự do:

df = (Số ô của bảng ngẫu nhiên) – (Số tham số của mô hình)

Giá trị df giảm khi mô hình trở nên phức tạp hơn. Mô hình bão hòa có df = 0

Giá trị của các thống kê này càng bé (ước lượng càng gần với thực tế quan sát) thì mô hình càng phù hợp. Vì vậy các thống kê này được dùng để kiểm định tính phù hợp của mô hình loglinear.

Giả thuyết \(\mathrm{H}_0\) : Mô hình phù hợp, tức là các tần số kỳ vọng cho một bảng ba chiều đáp ứng mô hình loglinear đã cho.

Tiêu chuẩn bác bỏ giả thuyết H0 là:

$ ^2(hoặc G^2) _^2(d f)$

Hoặc đối với các thống kê này:\(P-\) value \(<\alpha\), (mức ý nghĩa thường được chọn là \(\alpha\) = 0,05). Việc tiến hành kiểm định này có thể tính tay trực tiếp và tra bảng, hoặc sử dụng phần mềm.

Chẳng hạn với dữ liệu bảng 5.7

     - Tiến hành kiểm định tính phù hợp cho mô hình (A, C, M), phần mềm R chỉ ra: \(P-\) value \(<\alpha\) = 3,574437. \(e^{-277}\) (rất bé). Đây là bằng chứng mạnh mẽ để bác bỏ giả thuyết H0, tức là mô hình này không phù hợp.

     - Tiến hành kiểm định tính phù hợp cho mô hình (AC, AM, CM) phần mềm R chỉ ra: \(P-\) value \(<\alpha\) = 0,5408396 ≫ 0,05. Đây là cơ sở để chấp nhận giả thuyết H0, tức là mô hình này phù hợp.

     - Tiến hành tương tự đối với các mô hình khác trong bảng 5.12, loại trừ mô hình (ACM) không xét, ta có bảng kết quả kiểm định:

                                   Bảng 5.14. Kiểm định tính phù hợp cho các mô hình Loglinear với dữ liệu bảng 5.12               

     Kết quả cho thấy mô hình (AC, AM, CM) là phù hợp rất tốt cho dữ liệu bảng 5.12, còn các mô hình khác là không phù hợp.

5.4.2. Khoảng tin cậy cho Odds Ratio

     Các ước lượng ML của các tham số mô hình loglinear có phân phối xấp xỉchuẩn khi mẫu lớn. Phần mềm cho các mô hình loglinear cung cấp các ước tính và sai số chuẩn của chúng. Đương nhiên để tìm khoảng tin cậy cho các odds ratio, chúng ta nên dựa vào các mô hình phù hợp. Đối với các mô hình không có liên kết ba yếu tố, các ước tính đề cập đến log của odds ratios có điều kiện, có thể sử dụng các ước tính và các sai số chuẩn của chúng để xây dựng các khoảng tin cậy cho log của các odds ratio thực tế và sau đó suy ra khoảng tin cậy cho các odds ratio.

     Đối với các liên kết hai nhân tố, ta có ước lượng điểm cho odds ratio \(\hat{\theta}\) hoặc \(\log \hat{\theta}\) và phần mềm cũng đã cung cấp sai số chuẩn ASE của ước lượng cho tham số của liên kết này. Khi đó khoảng tin cậy (95%) cho log(odds ratio) là: \((\log (\hat{\theta})-1,96\). ASE; \(\log (\hat{\theta})+1,96\). ASE \()\)

     Từ đó suy ra khoảng tin cậy (95%) cho odds ratio thực � là:

\((\exp (\log (\hat{\theta})-1,96 . \operatorname{ASE}) ; \exp (\log (\hat{\theta})+1,96.ASE))\)

     Khoảng tin cậy này chúng ta có thể tính theo công thức, hoặc dùng phần mềm.

     Để minh họa, chúng ta ước tính odds ratios có điều kiện giữa việc sử dụng rượu và sử dụng thuốc lá cho Bảng 5.7, theo mô hình được chọn là (AC, AM, CM) được chọn. Từ bảng 5.14, có

\(\log \left(\hat{\theta}_{A C}\right)\) = log 7,8 = 2,054

Bảng 5.10 chỉ ra ASE = 0,174. Khoảng tin cậy cho odds ratio thực \(\theta_{A C}\) là:

\((\exp (\log (\hat{\theta})-1,96 . \operatorname{ASE}) ; \exp (\log (\hat{\theta})+1,96 . \mathrm{ASE}))\) = (5,601; 11,097)

     Nếu chạy trên R, sau khi chạy mô hình (AC, AM, CM), tiến hành thủ tục tìm khoảng tin cậy cho các odds ratio, R cho kết quả:

     Theo đó, khoảng tin cậy cho \(\hat{\theta}_{A C}\) là: (5,601452; 11,09715), khoảng tin cậy cho \(\hat{\theta}_{A M}\) là: (12,64576; 24,06925), khoảng tin cậy cho là: (8,814046; 56,6436).

5.4. Giới thiệu về mô hình Loglinear cho bảng ngẫu nhiên nhiều chiều.

     Các khái niệm cơ bản cho các mô hình loglinear với các bảng ba chiều có thểmở rộng cho các mô hình loglinear cho các bảng nhiều chiều, tuy nhiên việc suy luận cho mô hình logliner có số chiều cao hơn sẽ phức tạp hơn nhiều.

5.4.1 Bảng ngẫu nhiên bốn chiều.

     Chúng ta lấy các mô hình loglinear cho bảng ngẫu nhiên bốn chiều minh họa các mô hình cho số chiều cao hơn . Giả sử các biến được ký hiệu là W, X, Y và Z.      Mô hình được quan tâm nhiều đối với bảng bốn chiều là (WX, WY, WZ, XY,XZ, YZ). Đây là mô hình đơn giản cho việc giải thích, nó có cấu trúc liên kết đồng nhất. Mỗi cặp biến là phụ thuộc có điều kiện, với các odds ratio giống nhau ở mỗitổ hợp các mức của hai biến khác. Sự vắng mặt của một số hạng hai nhân tố hàm ý tính độc lập có điều kiện đối với các biến đó. Chẳng hạn, mô hình (WX, WY, WZ, XZ, YZ) không chứa số hạng X-Y, do đó, nó xử lý X và Y như là độc lập có điều kiện ở mỗi tổ hợp cấp độ của W và Z.

     Có nhiều mô hình thể hiện tương tác ba nhân tố. Chẳng hạn số hạng XYZ cho phép kết hợp giữa bất kỳ cặp nào của ba biến số này với các mức khác nhau của biến thứ ba, ở mỗi mức cố định của W.

     Mô hình bão hòa chứa tất cả các số hạng một nhân tố, hai nhân tố, ba nhân tố cộng với một số hạng tương tác bốn yếu tố XYZW.

5.4.2. Ví dụ : Bảng 5.15 dưới đây khảo sát về việc uống rượu (A), hút thuốc lá (C), dùng cần sa (M) của các học sinh trung học theo giới tính (G) (xem [1]).

                                   Bảng 5.15. Khảo sát một số học sinh trung học về việc sử dụng rượu, thuốc lá, cần sa               

R có thể trình bày bảng dưới dạng:

hoặc bảng các cột:

\[ \begin{array}{ccccrr} \text { cigarette } & \text { marijuana } & \text { alcohol } & \text { gender } & \text { Freq }\\ \text { yes } & \text { yes } & \text { yes } & \text { female } & 428\\ \text { no } & \text { yes } & \text { yes } & \text { female } & 15\\ \text { yes } & \text { no } & \text { yes } & \text { female } & 291\\ \text { no } & \text { no } & \text { yes } & \text { female } & 237\\ \text { yes } & \text { yes } & \text { no } & \text { female } & 1\\ \text { no } & \text { yes } & \text { no } & \text { female } & 1\\ \text { yes } & \text { no } & \text { no } & \text { female } & 18\\ \text { no } & \text { no } & \text { no } & \text { female } & 129\\ \text { yes } & \text { yes } & \text { yes } & \text { male } & 483\\ \text { no } & \text { yes } & \text { yes } & \text { male } & 29\\ \text { yes } & \text { no } & \text { yes } & \text { male } & 247\\ \text { no } & \text { no } & \text { yes } & \text { male } & 219\\ \text { yes } & \text { yes } & \text { no } & \text { male } & 2\\ \text { no } & \text { yes } & \text { no } & \text { male } & 1\\ \text { yes } & \text { no } & \text { no } & \text { male } & 25 \\ \text { no } & \text { no } & \text { no } & \text { male } & 150 \end{array} \]

• Chạy mô hình (A,C,M,G), R cho kết quả ước lượng các tham số ứng với các mức đầu tiên của các biến:

\[ \begin{aligned} &\text { Coefficients: }\\ &\begin{array}{lccrr} & \text { Estimate } & \text { Std. Error } & \text { z value } & \operatorname{Pr}(>|\mathrm{z}|) \\ \text { (Intercept) } & 5.58245 & 0.04241 & 131.638 & <2 \mathrm{e}-16 \\ \text { cigaretteno } & -0.64931 & 0.04415 & -14.707 & <2 \mathrm{e}-16 \\ \text { marijuanano } & 0.31542 & 0.04244 & 7.431 & 1.08 \mathrm{e}-13 \\ \text { alcoholno } & -1.78511 & 0.05976 & -29.872 & <2 \mathrm{e}-16 \\ \text { gendermale } & 0.03164 & 0.04193 & 0.755 & 0.451 \\ \end{array} \end{aligned} \]

                                   Bảng 5.15. Ước lượng các tham số cho mô hình (A,C,M,G) ở các mức đầu của các biến