ĐÂY LÀ FILE TEST LATEX TRÊN RMARKDOWN

\[\begin{array}{lrllr} \hline \text{Dependent Variable:} \mathrm{Y} \\ \text{Method: ML - Binary Logit (Quadratic hill climbing)} \\ \text{Sample:} 1173 & & & & \\ \hline \text{Variable} & \text{Coefficient} & \text{Std. Error} & \text{z-Statistic} & \text{Prob.} \\ \hline\hline \text{C} & -2.639057:& 1.035087 & -2.549599 & 0.0108 \\ \text{X2} & 5.278115 & 1.463835 & ~~~3.605676 & 0.0003 \\ \hline\hline \text{McFadden R-squared} & 0.646641 & \text{Mean dependent var} & & 0.50000 & \\ \text{Akaike info criterion} & 0.623193 & \text{Sum squared resid} & & 1.866667 & \\ \text{Schwarz criterion} & 0.716607 & \text{Log likelihood} & & -7.347901 & \\ \text{Hannan-Quinn criter.} & 0.653077 & \text{Deviance} & & 14.69580 & \\ \text{Restr. deviance} & -41.58883 & \text{Restr. log likelihood} & & -20.79442 & \\ \text{LR statistic} & 26.89303 & \text{Avg. log likelihood} & & -0.244930 & \\ \text{Prob(LR statistic)} & 0.000000 & & & \\ \hline \end{array}\]

Bảng 4.8. Kết quả hồi quy ước lượng cho mô hình logistic (e) Từ đó nhận được mô hình hồi quy logistic ước lượng cho (e): \[ \log \left( \frac{\hat{\pi}(x)}{1 - \hat{\pi}(x)} \right) = -2.639057 + 5.278115 \cdot x \]

• Hệ số \(\beta_1 = 5.278115 > 0\), cho thấy nguy cơ tử vong cao hơn ở bệnh nhân bị huyết áp thấp.

• Xác suất tử vong ước đoán đối với những bệnh nhân nhiễm trùng máu có huyết áp thấp là: \(\hat{\pi}(1) = 93.333\%\);

• Xác suất tử vong ước đoán đối với những bệnh nhân nhiễm trùng máu không bị huyết áp thấp là: \(\hat{\pi}(0) = 6.667\%\);

• Từ: \(\text{Odds}(1) = \frac{\hat{\pi}(1)}{1 - \hat{\pi}(1)} = 13.99925\), cho thấy đối với bệnh nhân nhiễm trùng máu bị huyết áp thấp có nguy cơ tử vong ước đoán cao gấp gần 14 lần khả năng không tử vong.

• Từ: \(\text{Odds}(0) = \frac{\hat{\pi}(0)}{1 - \hat{\pi}(0)} = 0.071432\), cho thấy đối với bệnh nhân nhiễm trùng máu không bị huyết áp thấp có nguy cơ tử vong ước đoán chỉ bằng 7.1432% khả năng không tử vong, hay là khả năng sống cao gấp gần 14 lần nguy cơ tử vong.

Ví dụ 4. Chúng ta trở lại với dữ liệu về cua móng ngựa được giới thiệu trong phần 3.3.2. Vấn đề đặt ra là việc một con cua cái có hay không có vệ tinh phụ thuộc như thế nào vào độ rộng của mai cua? Vậy là khi quan sát chiều rộng \(X_1\) của một con cua cái, biến đáp ứng có hai loại: có vệ tinh và không có vệ tinh. Khi đó, ta gán \(Y = 1\) nếu con cua cái được quan sát có ít nhất một vệ tinh, và gán \(Y = 0\) nếu nó không có vệ tinh. Xác suất để một con cua cái với độ rộng mai là \(X_1 = x\) có vệ tinh là: \(\pi(x) = P(Y = 1|X_1 = x) = E(Y|X_1 = x)\). Để trả lời cho câu hỏi trên, ta cần xây dựng mô hình hồi quy cho xác suất \(\pi(x)\) theo độ rộng mai cua.

Như trước đây, chia độ rộng thành 8 khoảng và thống kê tổng số cua cái và tổng số vệ tinh của những con cua cái, tính tỷ lệ vệ tinh trong mỗi khoảng độ rộng, ta có bảng: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Khoảng độ rộng} & \text{Số cua cái} & \text{Số vẹ tinh} & \text{Tỷ lệ có vẹ tinh} \\ \hline < 23.25 & 14 & 5 & 0.3571 \\ 23.25-24.25 & 14 & 4 & 0.2857 \\ 24.25-25.25 & 28 & 17 & 0.6071 \\ 25.25-26.25 & 39 & 21 & 0.5385 \\ 26.25-27.25 & 22 & 15 & 0.6818 \\ 27.25-28.25 & 24 & 20 & 0.8333 \\ 28.25-29.25 & 18 & 15 & 0.8333 \\ > 29.25 & 14 & 14 & 1.0000 \\ \hline \end{array} \]

\[ \text{Bảng 4.9 Phân nhóm độ rộng của các con cua cái} \]

Bảng 4.9 cho thấy xu hướng tăng của tỷ lệ có vẹ tinh của con cua cái khi độ rộng tăng lên. Chúng ta chọn mô hình logistic để biểu diễn sự phụ thuộc của \(\pi(x)\) là xác suất có vẹ tinh của một con cua cái có chiều rộng mai là \(x\):

\[ \log \left[ \frac{\pi(x)}{1 - \pi(x)} \right] = \beta_0 + \beta_1 \cdot x \tag{h} \]

Với phương pháp ước lượng (ML), phần mềm Eviews cho bảng hồi quy:

\[ \begin{array}{lrllr} \hline \text{Dependent Variable:} & \text{Y} \\ \text{Method:} & \text{ML - Binary Logit (Quadratic hill climbing)} \\ \text{Sample:} & 1173 & & & \\ \hline \text{Variable} & \text{Coefficient} & \text{Std. Error} & \text{z-Statistic} & \text{Prob.} \\ \hline\hline \text{C} & -12.35082 & 2.628731 & -4.698395 & 0.0000 \\ \text{X1} & 0.497231 & 0.101736 & 4.887455 & 0.0000 \\ \hline\hline \text{McFadden R-squared} & 0.138670 & \text{Mean dependent var} & & 0.641618 \\ \text{S.D. dependent var} & 0.480917 & \text{S.E. of regression} & & 0.441662 \\ \text{Akaike info criterion} & 1.147125 & \text{Sum squared resid} & & 33.35622 \\ \text{Schwarz criterion} & 1.183579 & \text{Log likelihood} & & -97.22633 \\ \text{Hannan-Quinn criter.} & 1.161914 & \text{Deviance} & & 194.4527 \\ \text{Restr. deviance} & 225.7585 & \text{Restr. log likelihood} & & -112.8793 \\ \text{LR statistic} & 31.30586 & \text{Avg. log likelihood} & & -0.562002 \\ \text{Prob(LR statistic)} & 0.000000 & & & \\ \hline \text{Obs with Dep=0} & 62 & \text{Total obs} & & 173 \\ \text{Obs with Dep=1} & 111 & & & \\ \hline \end{array} \]

Từ đó nhận được mô hình ước lượng cho (h):

\[ \log \left( \frac{\hat{\pi}(x)}{1 - \hat{\pi}(x)} \right) = -12.35082 + 0.497231 \cdot x \tag{i} \]

hay là:

\[ \hat{\pi}(x) = \left\{ 1 + e^{-12.35082 + 0.497231 \cdot x} \right\}^{-1} \tag{k} \]

\[ \hat{\beta}_1 = 0.497231 > 0, \text{ cho thấy xu hướng xác suất dự đoán tăng theo độ rộng của mai cua, tức là con cua cái có độ rộng mai càng lớn thì càng có nhiều khả năng có vẹ tinh hơn.} \] Dự đoán về xác suất có vẹ tinh của mỗi con cua cái cho từng khoảng độ rộng của mai và số vẹ tinh dự đoán trên mỗi khoảng tương ứng được tính như sau:

Chẳng hạn: Khoảng thứ nhất, với độ rộng mai bình quân: \(x = 22.75\):

Xác suất dự đoán: \(\hat{\pi}(22.75) = 0.2614\) và số vẹ tinh dự đoán: \(14 \times 0.2614 = 3.6596\)

Ý nghĩa: Xác suất để một con cua cái với độ rộng mai dưới 23.75 cm có vẹ tinh, được dự báo qua mô hình (k) là 26.14% và số vẹ tinh của những con cua cái này được dự báo là khoảng 3.6596 (con).

Bảng 4.11 trình bày các kết quả tính toán ở trên. Bảng 4.12 tính xác suất dự đoán có vẹ tinh của mỗi con trong 173 con.

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Khoảng độ rộng} & \text{Số cua cái} & \text{Số vẹ tinh} & \text{Tỷ lệ mẫu vẹ tinh} & \text{Xác suất dự đoán} & \text{Số vẹ tinh dự đoán} \\ \hline < 23.25 & 14 & 5 & 0.3571 & 0.2614 & 3.6596 \\ 23.25-24.25 & 14 & 4 & 0.2857 & 0.3678 & 5.1492 \\ 24.25-25.25 & 28 & 17 & 0.6071 & 0.4889 & 13.6892 \\ 25.25-26.25 & 39 & 21 & 0.5385 & 0.6113 & 23.8407 \\ 26.25-27.25 & 22 & 15 & 0.6818 & 0.7211 & 15.8642 \\ 27.25-28.25 & 24 & 20 & 0.8333 & 0.8096 & 19.4304 \\ 28.25-29.25 & 18 & 15 & 0.8333 & 0.8749 & 15.7482 \\ > 29.25 & 14 & 14 & 1.0000 & 0.9200 & 12.8800 \\ \hline \end{array} \]

\[ \text{Bảng 4.11: Xác suất dự đoán có vẹ tinh của mỗi con trong 173 con} \] - Tại mức trung bình mẫu chiều rộng là 26,30cm, xác suất dự đoán có vẹ tinh bằng 0.6740. Tốc độ tăng của xác suất được xác định tại mức đó là:

\[ \hat{\beta}_1 \hat{\pi} (1 - \hat{\pi}) = 0.497231 \cdot 0.674 \cdot 0.326 = 0.1093 \]

Như vậy tại mức này, khi chiều rộng mai cua cái tăng thêm 1cm thì xác suất ước đoán có vẹ tinh của con cua cái tăng thêm 10.93%.

• Mức hiệu quả trung bình là chiều rộng mà tại đó xác suất dự đoán bằng 0.5, là:

\[ x = EL_{50} = -\frac{\hat{\beta}_0}{\hat{\beta}_1} = \frac{-12.35082}{0.497231} = 24.8392 \]

Tốc độ tăng của xác suất dự đoán tại đó, như đã biết, là lớn nhất và bằng:

\[ \hat{\beta}_1 \hat{\pi} (1 - \hat{\pi}) = 0.497231 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.1243 \]

Như vậy tại mức này, khi chiều rộng mai cua cái tăng thêm 1cm thì xác suất ước đoán có vẹ tinh của con cua cái tăng thêm 12.43%, đây là mức tăng lớn nhất.

Khác với mô hình xác suất tuyến tính, xác suất “Thành công” trong mô hình hồi quy logistic có tốc độ biến thiên thay đổi theo mức x của biến giải thích.

4.2. Suy luận cho mô hình logistic

Xét mô hình hồi quy logistic:

\[ \log \left( \frac{\pi(x)}{1 - \pi(x)} \right) = \beta_0 + \beta_1 \cdot x \tag{4.2.1} \]

trong đó \(\pi(x) = P(Y = 1|X = x) = E(Y|X = x)\) là xác suất thành công (\(Y = 1\)) trong điều kiện biến giải thích \(X\) nhận giá trị \(x\), \(Y\) là số “thành công” của biến đáp ứng nhị phân.

4.2.1. Tìm khoảng tin cậy cho các hệ số hồi quy

• Khoảng tin cậy (với độ tin cậy \(\gamma = 1 - \alpha\)) cho tham số \(\beta_0\):

\[ \left( \hat{\beta}_0 - u \left( \frac{\alpha}{2} \right) \cdot se(\hat{\beta}_0); \hat{\beta}_0 + u \left( \frac{\alpha}{2} \right) \cdot se(\hat{\beta}_0) \right) \tag{4.2.2} \]

trong đó \(se(\hat{\beta}_0)\) là sai số chuẩn ước lượng của \(\hat{\beta}_0\), được tính bởi các phần mềm (trong bảng hồi quy là giá trị ở hàng C và cột Std. error), \(u(\lambda)\) là giá trị tới hạn của phân phối chuẩn.

• Khoảng tin cậy (với độ tin cậy \(\gamma = 1 - \alpha\)) cho tham số \(\beta_1\):

\[ \left( \hat{\beta}_1 - u \left( \frac{\alpha}{2} \right) \cdot se(\hat{\beta}_1); \hat{\beta}_1 + u \left( \frac{\alpha}{2} \right) \cdot se(\hat{\beta}_1) \right) \tag{4.2.3} \]

trong đó \(se(\hat{\beta}_1)\) là sai số chuẩn ước lượng của \(\hat{\beta}_1\), được tính bởi các phần mềm (trong bảng hồi quy là giá trị ở hàng \(X_1\) và cột Std. error).

• Khoảng tin cậy cho tỷ lệ cược trên mỗi đơn vị tăng của biến giải thích:

\[ \left( \exp \left( \hat{\beta}_1 - u \left( \frac{\alpha}{2} \right) \cdot se(\hat{\beta}_1) \right) ; \exp \left( \hat{\beta}_1 + u \left( \frac{\alpha}{2} \right) \cdot se(\hat{\beta}_1) \right) \right) \tag{4.2.4} \]

Tiến hành tìm khoảng tin cậy:

• Tra bảng tìm giá trị tới hạn \(u \left( \frac{\alpha}{2} \right)\) và lấy thông tin về \(\hat{\beta}_1, se(\hat{\beta}_1)\) mà bảng hồi quy cung cấp để thay vào công thức khoảng tin cậy.
• Đối với khoảng tin cậy 90%, 95%, 99% cho các tham số \(\beta_0, \beta_1\), có thể chạy trực tiếp trên phần mềm, sau khi đã có bảng hồi quy.

Ví dụ 5. Để minh họa, chúng ta trở lại với hồi quy logistic về dữ liệu cua móng ngựa đã xét ở trên, thực hiện trực tiếp trên Eviews, nhận được:

\[ \text{Bảng 4.13 Ước lượng khoảng tin cậy cho các hệ số hồi quy} \]

• Khoảng tin cậy 95% cho \(\beta_1\) là: (0,296410; 0,698051).
• Khoảng tin cậy cho tỷ lệ cược trên mỗi cm tăng của chiều rộng mai cua là: \[ (\exp(0,296410); \exp(0,698051)) = (1,345022; 2,009832) \] Điều này cho thấy rằng: với mỗi cm chiều rộng mai cua tăng lên thì tỷ lệ cược để con cua cái có vẹ tinh tăng thêm từ 34,5022% đến 100,9832%.
• Số hạng \(\beta\pi(x)[1 - \pi(x)]\) xấp xỉ sự thay đổi xác suất trên mỗi đơn vị thay đổi trong \(x\). Chẳng hạn, tại \(\pi = 0,5\), tỷ lệ thay đổi dự báo là \(\hat{\beta}_1 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,497231 \cdot 0,25 = 0,124308\). Khoảng tin cậy 95% cho sự thay đổi xác suất này là: \[ (0,25 \cdot 0,296410; 0,25 \cdot 0,698051) = (0,074102; 0,174513) \] Theo mô hình hồi quy logistic này, với các giá trị \(x\) gần chiều rộng mà tại đó \(\pi = 0,5\), tỷ lệ tăng xác suất của một vẹ tinh trên mỗi cm tăng chiều rộng rơi vào khoảng từ 0,0741 đến 0,1745.

Chú ý: Đối với việc tìm khoảng tin cậy \((\hat{\pi}_1, \hat{\pi}_2)\) cho xác suất thành công \(\pi(x)\) ứng với mức \(x\) được tiến hành như sau:

• Tìm \(cov(\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1)\) từ ma trận covariance do phần mềm cung cấp, từ đó tính: \[ se(\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x) = \sqrt{var(\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x)} = \sqrt{var(\hat{\beta}_0) + x^2 var(\hat{\beta}_1) + 2x \cdot cov(\hat{\beta}_0, \hat{\beta}_1)} \]
• Suy ra khoảng tin cậy cho \(\logit(\pi(x))\): \[ \left( \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x - u \left( \frac{\alpha}{2} \right) \cdot se(\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x); \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x + u \left( \frac{\alpha}{2} \right) \cdot se(\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x) \right) \]
• Tính: \[ \hat{\pi}_1 = \frac{1}{1 + \exp \left\{ -\left( \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x + u \left( \frac{\alpha}{2} \right) \cdot se(\hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 x) \right) \right\}} \]