51_55

2.6.2. Các liên kết từng phần

Với mỗi k = 1, 2,…, K, ta có K bảng ngẫu nhiên 2 chiều 𝐼 × 𝐽, dạng : \[ \begin{array}{|c|cccc|} \hline \text{X} & & \text{Y} \\ & {B_1} & {B_2} & {...} & {B_J}& \\ \hline {A_1}\ & {n_{11k}} & {n_{12k}} & {...} & {n_{1Jk}} \\ {A_2}\ & {n_{21k}} & {n_{22k}} & {...} & {n_{2Jk}} \\ {...}\ & {...} & {...} & {...}& {...} \\ {A_I}\ & {n_{I1k}} & {n_{I2k}} & {...} & {n_{IJk}} \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.29 Bảng liên kết từng phần} \end{array} \] được gọi là các bảng liên kết từng phần. Đây là liên kết có điều kiện của hai biến X-Y, với điều kiện biến Z ở mức k (𝑍 ≔ \(𝐶_k\)). Bảng này ứng với cỡ mẫu \(𝑛_{++k}\) = \(∑_{i,j}\) \(𝑛_{ijk}\). Tính độc lập của X và Y trong bảng này gọi là độc lập có điều kiện. Bảng ngẫu nhiên hai chiều 𝐼 × 𝐽thu được bằng cách cộng tương ứng các tần số ô trong các bảng liên kết từng phần, gọi là bảng liên kết biên: \[ \begin{array}{|c|cccc|} \hline \text{X} & & \text{Y} \\ & {B_1} & {B_2} & {...} & {B_J}& \\ \hline {A_1}\ & {n_{11+}} & {n_{12+}} & {...} & {n_{1J+}} \\ {A_2}\ & {n_{21+}} & {n_{22+}} & {...} & {n_{2J+}} \\ {...}\ & {...} & {...} & {...}& {...} \\ {A_I}\ & {n_{I1+}} & {n_{I2+}} & {...} & {n_{IJ+}} \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.30 Bảng liên kết biên} \end{array} \]

Bảng liên kết biên, thay vì kiểm soát Z thì bỏ qua nó. Bảng liên kết biên không chứa thông tin về Z. Nó chỉ đơn giản là một bảng hai chiều liên quan giữa X và Y, không liên quan đến Z.

Người ta thường quan tâm nhiều đến trường hợp bảng ngẫu nhiên ba chiều dạng 2× 2×2 nói riêng và trường hợp Y là biến đáp ứng nhị phân.

Ví dụ 19. Khảo sát khách hàng về sự hài lòng (có, không) về chất lượng món ăn và đánh giá của khách hàng về sự phù hợp (có, không) về giá cả phục vụ đối với một nhà hàng, nhận được kết quả: Với 500 khách hàng là nữ: trong số 350 hài lòng về chất lượng món ăn, có 200 người cho rằng giá cả phục vụ là phù hợp và trong số 150 không hài lòng về chất lượng món ăn, có 50 người cho rằng giá cả không phù hợp. Với 300 khách hàng là nam: trong số 260 khách hài lòng về chất lượng món ăn thì 25 người cho rằng giá cả không phù hợp và trong số 40 khách không hài lòng về chất lượng món ăn có 30 người cho rằng giá cả phù hợp.

Hãy trình bày kết quả khảo sát dưới dạng một bảng ngẫu nhiên.

Giải: Đối với mỗi khách hàng, có ba tiêu chuẩn (ba biến) được khảo sát: Y là sự hài lòng về chất lượng món ăn (có / không), X là đánh giá về sự phù hợp về giá cả (có / không), Z là giới tính (nam / nữ). Dữ liệu khảo sát được trình bày bởi bảng ba chiều 2×2×2 sau: \[ \begin{array}{|c|c|cc|} \hline \text{Z (Giới tính)} & \text{X (Giá phù hợp)} & \text{Y (Sự hài lòng)} \\ & & \text{Có} & \text{Không} \\ \hline \text{Nam} & \text{Có} & 235 & 30 \\ & \text{Không} & 25 & 10 \\ \hline \text{Nữ} & \text{Có} & 200 & 100 \\ & \text{Không} & 150 & 50 \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.31 Dữ liệu khảo sát khách hàng về chất lượng món ăn và giá cả phục vụ} \end{array} \] Ta có 2 bảng từng phần (Liên kết có điều kiện):

Với khách hàng là nam: \[ \begin{array}{|c|cc|c|} \hline \text{X (Giá phù hợp)} & \text{Y (Sự hài lòng)} && \text{Tỷ lệ hài lòng} \\ & \text{Có} & \text{Không} & \\ \hline \text{Có} & 235 & 30 & 0,8868 \\ \text{Không} & 25 & 10 & 0,7143 \\ \hline \text{Tỷ lệ phù hợp} & 0,9038 & 0,7500 & \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.31a. Bảng liên kết X-Y cho nam} \end{array} \]

Với khách hàng là nữ: \[ \begin{array}{|c|cc|c|} \hline \text{X (Giá phù hợp)} & \text{Y (Sự hài lòng)} && \text{Tỷ lệ hài lòng} \\ & \text{Có} & \text{Không} & \\ \hline \text{Có} & 200 & 100 & 0,6667 \\ \text{Không} & 150 & 50 & 0,7500 \\ \hline \text{Tỷ lệ phù hợp} & 0,5714 & 0,6667 & \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.31b. Bảng liên kết X-Y cho nữ} \end{array} \]

Bảng liên kết biên: \[ \begin{array}{|c|cc|c|} \hline \text{X (Giá phù hợp)} & \text{Y (Sự hài lòng)} && \text{Tỷ lệ hài lòng} \\ & \text{Có} & \text{Không} & \\ \hline \text{Có} & 435 & 130 & 0,7699 \\ \text{Không} & 175 & 60 & 0,7447 \\ \hline \text{Tỷ lệ phù hợp} & 0,7131 & 0,6842 & \\ \hline \end{array} \]

\[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.31c. Bảng liên kết X-Y không tính đến giới tính} \end{array} \] Như vậy, nếu bỏ qua giới tính thì : cho dù chấp nhận hay không chấp nhận giá dịch vụ, tỷ lệ hài lòng về chất lượng món ăn là xấp xỉ nhau (76,99% và 74,47%) ; và tỷ lệ chấp nhận giá trong số những khách hài lòng về chất lượng món ăn là 71,31%, cao hơn 68,42% là tỉ lệ chấp nhận giá trong số khách không hài lòng về chất lượng. Tuy nhiên, nếu để ý đến giới tính thì trong số khách hàng là nữ thì tương quan nói trên bị đảo ngược. Điều này cho thấy yếu tố giới tính đã có sự chi phối việc đánh giá của khách hàng.

2.6.3 Odds ratio có điều kiện và Odds Raio cận biên

Trong mục này ta xét bảng ngẫu nhiên 2×2×𝐾, trong đó K biểu thị số các mức của biến điều khiển Z. Người ta có thể mô tả sự liên kết cận biên và liên kết điều kiện bằng cách sử dụng odds ratio. Ký hiệu {\(𝑛_{ijk}\)} là các tần số quan sát được và {\(𝜇_{ijk}\)} là các tần số kỳ vọng của chúng.

Trong một mức cố định k của Z, tỷ số

\[ \theta_{XY(k)}=\frac{\mu_{11k}.\mu_{22k}}{\mu_{12k}.\mu_{21k}} \tag{2.6.1} \] mô tả liên kết X-Y có điều kiện, được gọi là tỷ lệ chênh (odds ratio) của liên kết X-Y với điều kiện mức k của Z. Đây là tỷ số tỷ lệ chênh bình thường được tính cho bốn tần số dự kiến trong bảng thành phần thứ k.

Tỷ lệ chênh lệch có điều kiện có thể khá khác so với tỉ lệ chênh lệch biên, mà với nó biến thứ ba là bỏ qua chứ không phải là kiểm soát. Bảng cận biên X-Y có tần số kỳ vọng { \(𝜇_{ij+}\) = \(∑_k\) \(𝜇_{ijk}\) } thu được bằng cách tổng hợp qua các mức của Z. Tỷ lệ chênh lệch biên X-Y là \[ \theta_{XY(k)}=\frac{\mu_{11+}.\mu_{22+}}{\mu_{12+}.\mu_{21+}} \tag{2.6.2} \]

Các công thức tương tự với các tần số ô được thay thế cho các tần số dự kiến cung cấp các ước lượng mẫu cho \(𝜃_{XY(k)}\) và \(𝜃_{XY}\), được ký hiệu là: \(\hat{\theta}_{XY(k)}\) và \(\hat{\theta}_{XY}\).

Chẳng hạn, với dữ liệu bảng 2.31, ta có các odds ratio mẫu có điều kiện: \[ \hat{\theta}_{XY(1)}=\frac{235\times10}{25\times30}=3,1333; \hat{\theta}_{XY(2)}=\frac{200\times50}{150\times100}=0,6667; \hat{\theta}_{XY}=\frac{435\times60}{175\times130}=1,1473 \] Các giá trị này cho thấy rằng:

- Nếu bỏ qua yếu tố giới tính thì sự hài lòng đối với chất lượng món ăn và sự phù hợp về giá của dịch vụ là ít có ảnh hưởng lẫn nhau (\(\hat{\theta}_{XY}\) = 1,1473 khá gần 1).

- Nếu xét đến yếu tố giới tính thì đối với khách hàng là nam giới sự hài lòng về chất lượng món ăn và sự phù hợp về giá cả phục vụ có ảnh hưởng lẫn nhau nhiều: \(\hat{\theta}_{XY(1)}\) = 3,1333 cho thấy tỷ lệ hài lòng với chất lượng món ăn trong số khách chấp nhận sự phù hợp về giá phục vụ gấp 3,1333 lần trong số khách cho rằng giá phục vụ là không phù hợp. Đối với khách hàng là nữ thì sự hài lòng về chất lượng món ăn và sự phù hợp về giá cả phục vụ có ít ảnh hưởng lẫn nhau hơn: \(\hat{\theta}_{XY(2)}\) = 0,6667 cho thấy tỷ lệ hài lòng với chất lượng món ăn trong số khách chấp nhận sự phù hợp về giá phục vụ chỉ bằng 66,67% trong số khách cho rằng giá phục vụ là không phù hợp.

Điều đó cũng cho thấy một khi đã thấy ngon miệng thì nam giới dễ chấp nhận giá phục vụ hơn nữ giới.

2.6.4 Độc lập cận biên và độc lập có điều kiện

Xem xét mối quan hệ thực giữa X và Y, khi kiểm soát Z. Nếu X và Y là độc lập trong mỗi bảng từng phần, khi đó X và Y được cho là độc lập có điều kiện, khi kiểm soát Z. Tất cả các odds ratio có điều kiện giữa X và Y khi đó bằng 1. Sự độc lập có điều kiện của X và Y, khi đã cho Z, không suy ra được sự độc lập biên của X và Y. Tức là, khi tỷ lệ chênh lệch giữa X và Y bằng 1 tại mỗi mức Z, tỷ lệ chênh lệch biên có thể khác với 1.

Ví dụ 20. Bảng 2.32 (xem [1]) khảo sát về mối quan hệ giữa đáp ứng Y (thành công, thất bại) của bệnh nhân khi điều trị bằng loại thuốc X (A hoặc B) và ở phòng khám Z (phòng 1, phòng 2) \[ \begin{array}{|c|c|cc|} \hline \text{Clinic} & \text{Treatment} & \text{Response} & \\ & & \text{Success} & \text{Failure} \\ \hline 1 & \text{A} & 18 & 12 \\ & \text{B} & 12 & 8 \\ 2 & \text{A} & 2 & 8 \\ & \text{B} & 8 & 32 \\ \hline \text{Total} & \text{A} & 20 & 20 \\ & \text{B} & 20 & 40 \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.32 Conditional Independence Does Not Imply Marginal Independence } \end{array} \]

Mối quan hệ có điều kiện giữa X và Y ở hai cấp độ Z được mô tả bằng odds ratios mẫu: \(\hat{\theta}_{XY(1)}=\frac{18\times8}{12\times12}=1,0\); \(\hat{\theta}_{XY(2)}=\frac{2\times32}{8\times8}=1,0\). Điều đó cho thấy khi đã xác định phòng khám, đáp ứng và điều trị là độc lập có điều kiện.

Từ bảng liên kết cận biên (loại yếu tố phòng khám), tỷ số chênh lệch cho bảng cận biên là: \(\hat{\theta}_{XY}=\frac{20\times40}{20\times20}=2,0\), cho thấy các biến không độc lập biên.

Vấn đề đặt ra là: Tại sao odds của thành công của điều trị A tăng gấp đôi so với điều trị B khi chúng ta bỏ qua phòng khám?

Các odds ratio X-Z và Y-Z có điều kiện cung cấp một đầu mối:

Với các bảng liên kết thành phần: \[ \begin{array}{|c|cc|} \hline \text{Treatment} & \text{Clinic} \\ & 1 & 2 \\ \hline \text{A} & 18 & 2 \\ \text{B} & 12 & 8 \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.32a. Liên kết X-Z khi Y = Success} \end{array} \]

\[ \begin{array}{|c|cc|} \hline \text{Treatment} & \text{Clinic} \\ & 1 & 2 \\ \hline \text{A} & 12 & 8 \\ \text{B} & 8 & 32 \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.32b. Liên kết X-Z khi Y = Failure } \end{array} \]

\[ \begin{array}{|c|cc|} \hline \text{Treatment} & \text{Clinic} \\ & 1 & 2 \\ \hline {Success} & 18 & 2 \\ {Failure} & 12 & 8 \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.32a. Liên kết Y-Z khi X = A} \end{array} \]

\[ \begin{array}{|c|cc|} \hline \text{Treatment} & \text{Clinic} \\ & 1 & 2 \\ \hline {Success} & 12 & 8 \\ {Failure} & 8 & 32 \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.32b. Liên kết Y-Z khi X = B } \end{array} \]

\[ \hat{\theta}_{XZ(1)}=\hat{\theta}_{YZ(1)}=\frac{18.8}{12.2}=6; \hat{\theta}_{XZ(2)}=\hat{\theta}_{YZ(2)}=\frac{12.32}{8.8}=6 \]

Odds ratios giữa Z và X hoặc Y, ở mỗi mức cố định của biến khác, bằng 6,0. Odds điều kiện (khi đã cho đáp ứng) của việc nhận điều trị A ở phòng khám 1 đạt cao hơn 6 lần so với phòng khám 2, và odds điều kiện (khi đã cho điều trị) của thành công tại phòng khám 1 cao hơn 6 lần tại phòng khám 2. Phòng khám 1 có xu hướng sử dụng điều trị A thường xuyên hơn, và phòng khám 1 cũng có xu hướng có nhiều thành công hơn. Ví dụ, nếu bệnh nhân đến phòng khám 1 có khuynh hướng có sức khoẻ tốt hơn hoặc có xu hướng trẻ hơn những người đến phòng khám 2, có lẽ họ có tỷ lệ thành công tốt hơn các bệnh nhân trong phòng khám 2 bất kể điều trị thuốc nào.

Do đó, nếu chỉ nghiên cứu liên kết biên X-Y, sẽ dẫn tới sai lầm mà kết luận rằng thành công là có nhiều khả năng với điều trị A hơn so với điều trị B. Các đối tượng trong một phòng khám có nhiều khả năng đồng nhất hơn so với mẫu tổng thể và đáp ứng độc lập với điều trị tại mỗi phòng khám.

2.6.5 Liên kết thuần nhất

Nói rằng trong bảng 2 × 2 × 𝐾 có mối liên kết X-Y thuần nhất nếu: \[ \theta_{XY(1)}=\theta_{XY(2)}=...=\theta_{XY(K)} \tag{2.6.3} \]

Tỷ lệ chênh lệch có điều kiện giữa X và Y khi đó sẽ giống nhau tại mọi mức của Z. Như vậy, ảnh hưởng của X trên Y là như nhau ở mọi mức của Z, và chỉ có một số duy nhất mô tả các liên kết điều kiện X-Y. Sự độc lập có điều kiện của X và Y là trường hợp đặc biệt, trong đó mỗi odds ratio có điều kiện bằng 1,0.

Chú ý: Trong thực tế, khi kiểm tra về mối liên kết X-Y thuần nhất, ta thay điều kiện (2.6.3) bởi điều kiện: \[ \hat{\theta}_{XY(1)}=\hat{\theta}_{XY(2)}=...=\hat{\theta}_{XY(K)} \tag{2.6.3} \]

Liên kết X-Y đồng nhất trong một bảng 𝐼 × 𝐽 × 𝐾, có nghĩa là bất kỳ odds ratio điều kiện nào được hình thành bằng cách sử dụng hai mức của X và hai mức của Y là như nhau tại mỗi mức của Z. Khi odds ratios điều kiện X-Y giống hệt nhau ở mỗi mức của Z, thì các liên kết khác có cùng tính chất. Ví dụ: odds ratio điều kiện giữa hai mức của X và hai mức của Z là giống hệt nhau ở mỗi mức của Y. Sự liên kết đồng nhất là một thuộc tính đối xứng, áp dụng cho bất kỳ cặp các biến được xem qua các mức độ của biến thứ ba. Khi điều đó xảy ra, không có sự tương tác giữa hai biến trong ảnh hưởng của chúng đối với biến thứ ba.

Khi mối liên hệ đồng nhất không tồn tại, odds ratio có điều kiện cho bất kỳ cặp biến nào sẽ thay đổi theo các mức của biến thứ ba.

Chẳng hạn dữ liệu bảng 2.31 không có mối liên kết X-Y thuần nhất, dữ liệu bảng 2.32 có mối liên kết X-Y thuần nhất.

2.6.6. Bảng ngẫu nhiên nhiều chiều

Giả sử chúng ta đang khảo sát mối tương quan của m tiêu chí (m biến quan sát) : \(𝑋_1\), \(X_2\),…, \(I_m\) trên mỗi cá thể của một tổng thể, trong đó tiêu chí \(𝑋_k\) có \(I_k\) dấu hiệu, k = 1, 2,…, m. Khi đó bảng dữ liệu điều tra về tần số của mỗi tổ hợp các mức dấu hiệu của m tiêu chí này được gọi là một bảng ngẫu nhiên m chiều \(I_1\)×\(I_2\)×…× \(I_m\).

Ví dụ 21. Bảng dữ liệu 2.33 dưới đây là một bảng ngẫu nhiên 5 chiều 2 × 2 × 2 × 2 × 2 \[ \begin{array}{|cccccccccc|} \hline \text{Race:} &&&& \text{White} &&& \text{Other} & \\ \hline \text{Gender:} && \text{Female} && \text{Male} && \text{Female} && \text{Male}\\ \hline \text{Alcohol} & \text{Cigarette} &&&& \text{Marijuana Use} \\ && \text{Yes} & \text{No} & \text{Yes} & \text{No} & \text{Yes} & \text{No} & \text{Yes} & \text{No} \\ \hline \text{Yes} & \text{Yes}& 405 & 268 & 453 & 228 & 23 & 23 & 30 & 19 \\ & \text{No} & 13 & 218 & 28 & 201 & 2 & 19 & 1 & 18\\ \text{No} & \text{Yes}& 1 & 17 & 1 & 17 & 0 & 1 & 1 & 8 \\ & \text{No} & 1 & 117 & 1 & 133 & 0 & 12 & 0 & 17 \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.33 Dữ liệu về việc uống rượu (A), hút thuốc (C), dùng cần sa (M) của học sinh theo chủng tộc (R) và giới tính (G)} \end{array} \]

Trong đó trên mỗi học sinh (đối tượng điều tra), người ta khảo sát 5 tiêu chuẩn là 5 biến nhị phân : Alcohol, Cigarette, Marijuana, Gender, Race. Với biến điều khiển là Race.