Phân tích dữ liệu định tính_ Trang 26-30

\(r_k\)) chính là số cách chọn \(r_1\) vị trí cho \(A_1, r_2\) vị trí cho \(A_2, \ldots, r_k\) vị trí cho \(A_k\) trong dãy \(\mathrm{n}\) vị trí nói trên, tức là bằng: \[ C_n^{r_1} \cdot C_{n-r_1}^{r_2} \cdot C_{n-r_1-r_2}^{r_3} \cdot \dots C_{n-r_1-r_2-\dots r_{k-2}}^{r_{k-1}}=\frac{n!}{r_{1}!r_{2}!\ldots r_{k}!} \]

     Mặt khác do các lần thử độc lập nhau nên mỗi kết cục này đều có xác suất là:

\[p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \dots p_k^{r_k}\]

     Từ đó ta nhận được phân phối xác suất của véc tơ ngẫu nhiên có phân phối đa thức \(k\) chiều:

\begin{equation*} P\left(X_1=r_1, X_2=r_2, \ldots, X_k=r_k\right)=\frac{n!}{r_{1}!r_{2}!\ldots r_{k}!} \cdot p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \ldots . . p_k^{r_k}\tag{2.1.1}\end{equation*}

với mọi điểm \(\left(r_1, r_2, \dots, r_k\right)\) có tọa độ nguyên, không âm mà: \(r_1+r_2+\dots+r_k=n\).

Nhận xét:

- Đối với véc tơ ngẫu nhiên \(X=\left(X_1, X_2, \dots, X_k\right)\) có phân phối đa thức \(k\) chiều, với các tham số \(n\), \(p_1, p_2, \dots, p_{k-1}\), ta có véc tơ kỳ vọng:

\[E X=\left(E X_1, E X_2, \dots, E X_k\right)=\left(n p_1, n p_2, \dots, n p_k\right)\]

- Phân phối đa thức với \(k=2\), là phân phối đồng thời của 2 biến nhị thức \(X_1\), \(n-X_1\), trong đó \(X_1 \sim \mathrm{B}\left(\mathrm{n}, p_1\right)\), \(\left(\mathrm{n}-X_1\right) \sim \mathrm{B}\left(\mathrm{n}, 1-\mathrm{p}_1\right)\).

Ví dụ 3. Mỗi khách hàng vào hệ dịch vụ A có thể chọn một trong 3 mức phí phục vụ: 100 ngàn đồng, 150 ngàn đồng và 200 ngàn đồng. Được biết lượng khách chọn các mức phí này tương ứng theo tỷ lệ: 5: 3: 2. Có 3 khách hàng vào hệ dịch vụ A và họ độc lập nhau trong việc chọn phí dịch vụ. Tìm xác suất để trong số đó có ít nhất 2 khách chọn mức phí 200 ngàn đồng.

     Giải: Gọi \(X_1, X_2, X_3\) lần lượt là số khách chọn mức phí 100 ngàn đồng, 150 ngàn đồng, 200 ngàn đồng trong số 3 khách nói trên. Khi đó véc tơ \(X=(X_1, X_2, X_3)\) là véc tơ ngẫu nhiên có phân phối đa thức 3 chiều. Ký hiệu S là biến cố trong số 3 khách hàng có ít nhất 2 khách chọn mức phí 200 ngàn đồng, ta có biểu diễn:

\(S=(X_1=0, X_2=1, X_3=2) \cup(X_1=1, X_2=0, X_3=2) \cup(X_1=0, X_2=0, X_3=3)\)

Từ đó suy ra xác suất cần tính:

\[P(S)=\frac{3!}{0!1!2!} \cdot 0,3 \cdot 0,2^2+\frac{3!}{1!0!2!} \cdot 0,5 \cdot 0,2^2+\frac{3!}{0!0!3!} \cdot 0,2^3=0,104\]

2.1.4. Lấy mẫu cho phân phối Poisson, Nhị thức và Đa thức

     Các mô hình lấy mẫu được giới thiệu trong phần 1.3 được mở rộng ra cho tần số trong các ô của bảng ngẫu nhiên. Ví dụ, mô hình lấy mẫu Poisson cho bảng hai chiều \(2 \times 2\), các ô trong bảng được xem như là các biến Poisson độc lập.

     Khi các hàng của một bảng ngẫu nhiên đại diện cho các nhóm khác nhau, cỡ mẫu cho các nhóm này thường đã được cố định trước trong giai đoạn thiết kế mẫu. Để đơn giản, chúng ta sẽ trình bày về điều này cho bảng \(2 \times 2\) cho hai biến \(X\) (biến giải thích) và \(Y\) (biến đáp ứng). Khi tổng số cận biên cho các biểu hiện của \(X\) được cố định chứ không phải ngẫu nhiên, một phân phối chung cho \(X\) và \(Y\) không còn ý nghĩa nữa, nhưng phân phối có điều kiện cho \(Y\) ở mỗi biểu hiện của \(X\) thì có ý nghĩa.

     Khi tổng cỡ mẫu trong bảng được cố định nhưng tổng của hàng hoặc cột không cố định, mô hình lấy mẫu đa thức là phù hợp, trong đó các ô là những kết quả có thể xảy ra. Chẳng hạn, bảng 2.1 định tính một mẫu ngẫu nhiên của 1.091 đối tượng theo giới tính và niềm tin vào thế giới bên kia. Giá trị trong 4 ô là tần số của phân phối đa thức bốn chiều.

     Đối với các mẫu của phân phối đa thức trên các ô của một bảng ngẫu nhiên, các cột là biến đáp ứng và các hàng là biến giải thích. Sau đó, để mô tả dữ liệu, một cách hợp lý, ta phân chia các ô đếm theo tổng số hàng để tạo thành phân phối có điều kiện về đáp ứng. Khi làm như vậy, chúng ta vốn đã xử lý các tổng số hàng là cố định và phân tích dữ liệu giống như khi chúng hình thành các mẫu độc lập riêng biệt. Ví dụ như trong Bảng 2.1, chúng ta có thể coi kết quả cho nữ giới như một mẫu nhị thức với các loại kết quả là “có” và “không hoặc không quyết định” cho niềm tin vào một thế giới bên kia, và kết quả cho nam giới như một mẫu nhị thức độc lập về cùng một phản ứng. Nếu có nhiều hơn hai loại phản hồi, chẳng hạn như (“có”, “không”, “không quyết định”), chúng ta sẽ coi các mẫu là mẫu đa thức độc lập.

     Đối với hầu hết các phân tích, người ta không cần quan tâm về mô hình lấy mẫu nào có ý nghĩa nhất. Đối với các phương pháp suy diễn chính trong tài liệu này, các mô hình lấy mẫu là Poisson, đa thức.

2.2. So sánh tỷ lệ trong một bảng hai chiều

     Biến đáp ứng có hai biểu hiện được gọi là biến nhị phân. Ví dụ, “niềm tin vào thế giới bên kia” là nhị phân khi được đo bằng các biểu hiện (có, không). Nhiều nghiên cứu cần so sánh giữa hai nhóm đối với đáp ứng nhị phân của biến \(Y\). Dữ liệu có thể được hiển thị trong bảng ngẫu nhiên \(2 \times 2\), trong đó các hàng là hai nhóm và các cột là mức phản ứng của \(Y\). Phần này trình bày các phương pháp để so sánh mức độ phản ứng trên biển nhị phân.

2.2.1. Sự khác biệt giữa hai tỷ lệ

     Với biến đáp ứng nhị phân Y, chúng ta sử dụng thuật ngữ chung “thành công” cho một đáp ứng và “thất bại” đối với đáp ứng còn lại. Đối với các đối tượng trong hàng i, ký hiệu \(\pi_i\) là xác suất thành công thì \(1-\pi_i\) là xác suất của một thất bại. Cặp xác suất \(\left(\pi_i, 1-\pi_i\right)\) là phân phối xác suất có điều kiện của Y trong hàng i.

Định nghĩa 1: Khác biệt của 2 tỷ lệ: \(\pi_1-\pi_2\) so sánh xác suất thành công của hai hàng.

Ta có: \(-1 \leq \pi_1-\pi_2 \leq 1\) và \(\pi_1-\pi_2=0 \Leftrightarrow \pi_1=\pi_2\).

     Ký hiệu \(f_i\) là tỷ lệ mẫu của biểu hiện “thành công” ở hàng thứ \(i(i=1,2)\), sự khác biệt \(\pi_1-\pi_2\) giữa hai tỷ lệ sẽ được ước lượng bởi \(f_1-f_2\).

     Và khi cỡ mẫu n khá lớn, chúng ta có công thức ước lượng khoảng tin cậy với độ tin cậy \(\gamma=1-\alpha\), cho sự sai khác về tỷ lệ: \(\pi_1-\pi_2\) là:

\[\begin{equation*} ((f_1-f_2)-u_{\frac{\alpha}{2}} \hat{\sigma}(f_1-f_2),(f_1-f_2)+u_{\frac{\alpha}{2}} \hat{\sigma}(f_1-f_2))\tag{2.2.1} \end{equation*}\]

với:

\[\begin{equation*} \quad \hat{\sigma}\left(f_1-f_2\right) = \sqrt{\frac{f_1(1-f_1)}{n_{1+}}+{\frac{f_2(1-f_2)}{n_2+}}}\tag{2.2.2} \end{equation*}\]

và \(u_{\alpha / 2}\) tra trong bảng phân phối chuẩn chính tắc theo hệ thức: \(\Phi(u_\lambda)=1-\lambda\). (\(u_\lambda\) được gọi là giá trị tới hạn mức \(\lambda\) của phân phối chuẩn chính tắc).

Ví du 4: Dựa vào điều tra ở bảng 2.2, cần ước lượng khoảng tin cậy 95% cho sai khác về tỷ lệ tin vào thế giới bên kia giữa phụ nữ và đàn ông Mỹ.

Với \(\gamma=1-\alpha=0,95\), có \(\alpha=0,05, u_{\frac{\alpha}{2}}=u_{0,025}=1,96\). Từ bảng 2.2, có:

\[f_1=\frac{n_{11}}{n_{1+}}=0,7473 ; f_2=\frac{n_{21}}{n_{2+}}=0,7367 ; \hat{\sigma}(f_1-f_2)=0,0266;\]

\[(f_1-f_2)-u_{\alpha/2}\hat{\sigma}(f_1-f_2)=-0,0415 ;(f_1-f_2)+u_{\alpha / 2} \hat{\sigma}(f_1-f_2)=0,0627\]

Vậy khoảng tin cậy 95% cho sai lệch này là: \((-0,0415 ; 0,0627)\).

Ví du 5: Bảng 2.8 là số liệu báo cáo về mối quan hệ giữa sử dụng thuốc aspirin và bệnh nhồi máu cơ tim (myocardial infarction) do nhóm nghiên cứu sức khoẻ của các bác sĩ tại Trường y Harvard. Nghiên cứu được thực hiện trong thời gian 5 năm trên những người bị bệnh tim được chọn một cách ngẫu nhiên và chia làm hai nhóm: Nhóm dùng aspirin và nhóm dùng giả dược (placebo). Mỗi ngày, các bác sĩ sẽ cho bệnh nhân uống một viên aspirin hoặc một viên giả dược.

	Myocardial Infarction
Group	Yes	No	Total
Placebo	189	10845	11034
Aspirin	104	10933	11037

Nguồn: Preliminary Report: Findings from the Aspirin Component of the Ongoing Physicians’ Health Study. N. Engl. J. Med., 318: 262-264 (1988)

Bảng 2.8. Cross Classification of Aspirin Use and Myocardial Infarction (MI)

     Chúng ta xem hai hàng trong Bảng 2.8 như là các mẫu nhị phân độc lập, trong hàng 1 : \(\mathrm{n}_{1+}=11034\) người và có 189 người bị nhồi máu cơ tim tỷ lệ là \(f_1= 189 / 11034=0,171\), trong hàng 2 : \(\mathrm{n}_{2+}=11037\) người và có 104 bị nhồi máu cơ tim tỷ lệ là \(f_2=104 / 11037=0,0094\), và: \(u_{\frac{\alpha}{2}} \hat{\sigma}\left(f_1-f_2\right)=1,96 .(0,015)=0,0294\). Áp dụng công thức trên với độ tin cậy 95% chúng ta khoảng tin cậy 95% cho \(\pi_1-\pi_2\) là: \((0,005;0,011)\), hay \(0,005<\pi_1-\pi_2<0,011\left(0,5 \%<\pi_1-\pi_2<1,1 \%\right)\) nghĩa là giữa người uống và không uống thuốc asparin thì tỷ lệ bị nhồi máu cơ tim có sự khác biệt từ 0,5 đến 1,1%.

2.2.2. Rủi ro tương đối (relative risk)

     Sự khác biệt giữa hai tỷ lệ \(\pi_1\) và \(\pi_2\) được đánh giá qua sai số tuyệt đối \(\left(\pi_1-\right.\) \(\pi_2\) ) chỉ dựa vào khoảng cách giữa hai tỷ lệ này mà bỏ qua độ lớn và ý nghĩa của chúng, nghĩa là khoảng cách như nhau thì đánh giá sai lệch như nhau. Chẳng hạn khi \(\pi_1=0,01\) và \(\pi_2=0,001\) và khi \(\pi_1=0,410\) và \(\pi_2=0,401\) đều được đánh giá là có sai lệch như nhau (cùng mức sai lệch là 0,009 ). Tuy nhiên nếu chỉ dựa vào khoảng cách này để đánh giá, so sánh hai tương quan giữa hai tỷ lệ thì không đủ, thậm chí sẽ bỏ qua những ý nghĩa quan trọng của sự tương quan của chúng, đặc biệt là khi hai tỷ lệ này cùng gần 0 hoặc cùng gần 1 , hoặc cùng gần 0,5 .

     Ví dụ khi chúng ta so sánh \(\pi_1\) và \(\pi_2\) là tỷ lệ bị tác dụng phụ (phản ứng bất lợi) của hai loại thuốc, trong hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Sự khác biệt nằm trong khoảng từ 0,001 đến 0,01 .

- Trường hợp 2: Sự khác biệt nằm trong khoảng từ 0,401 đến 0,410 .

     Cả hai trường hợp này, sự khác biệt về tỷ lệ bị tác dụng phụ là như nhau (đều là 0,009\()\). Nhưng nếu ta để ý đến tỷ số \(\frac{\pi_1}{\pi_2}\), thì ở trường hợp 1: \(\frac{\pi_1}{\pi_2}=10\), cho thấy khi bệnh nhân điều trị, phản ứng bất lợi của loại thuốc thứ nhất gấp 10 lần loại thuốc thứ hai, còn ở trường hợp 2: \(\frac{\pi_1}{\pi_2}=1,0224\), cho thấy khi bệnh nhân điều trị, phản ứng bất lợi của loại thuốc thứ nhất gấp 1,0224 lần loại thuốc thứ hai, tức là gần như nhau. Rõ ràng sự khác biệt ở trường hợp 1 là đáng chú ý hơn.

     Trong những trường hợp như vậy, tỉ số giữa các tỷ lệ cũng là một thước đo hữu ích.

Định nghĩa 2: Giả sử \(\pi_1\) và \(\pi_2\) là xác suât “thành công” của hai nhóm. Khi đó rủi ro tương đối (relative risk) giữa hai nhóm này là tỷ lệ xác suất “thành công” của hai nhóm: \[\begin{equation*} \frac{\pi_1}{\pi_2}\tag{2.2.3} \end{equation*}\]

     Chẳng hạn: Trong ví dụ trên tỷ lệ về phản ứng bất lợi của loại thuốc thứ nhất và loại thuốc thứ hai, trong trường hợp 1 có rủi ro tương đối là 10,00 và trong trường hợp 2 có rủi ro tương đối là 1,02 .

Nhận xét:

- Rủi ro tương đối là số không âm.

- Rủi ro tương đối bằng 1 khi và chỉ khi biến đáp ứng độc lập theo nhóm.

- Các tỷ lệ tổng thể \(\pi_1\) và \(\pi_2\) nói chung là chưa biết, mà qua điều tra ta nhận được các tỷ lệ mẫu tương ứng là \(f_1\) và \(f_2\). Khi đó ta có tỷ lệ: \(\frac{f_1}{f_2}\) gọi là rủi ro tương đối mẫu, ta dùng nó để xấp xỉ cho rủi ro tương đối \(\frac{\pi_1}{\pi_2}\) trên tổng thể.

     Người ta chỉ ra rằng phân phối mẫu rủi ro tương đối có thể bị lệch rất lớn trừ khi kích thước mẫu đủ lớn. Do đó công thức ước lượng khoảng tin cậy của nó khá phức tạp, người ta phải thông qua ước lượng khoảng tin cậy cho \(\log \left(\frac{\pi_1}{\pi_2}\right)\) là:

\[\begin{equation*} \log \left(\frac{f_1}{f_2}\right) \pm u(\alpha / 2) \sqrt{\frac{1-f_1}{n_{1+} \cdot f_1}+\frac{1-f_2}{n_{2+} \cdot f_2}}\tag{2.2.4} \end{equation*}\]

Ví du 7: Trong Bảng 2.3, có \(f_1=0,0171,\space f_2=0,0094,\space n_{1+}=11034,\space n_{2+}=11037\)

- Rủi ro tương đối mẫu là \(\mathrm{f}_1 / \mathrm{f}_2=0,0171 / 0,0094=1,82\), cho thấy: tỷ lệ bị bệnh nhồi máu cơ tim đối với người sử dụng thuốc asporin cao hơn 82% so với nhóm sử dụng giả dược.

- Sử dụng công thức (2.2.4), ta có khoảng tin cậy 95% cho \(\log \left(\frac{\pi_1}{\pi_2}\right)\) là: \((0,3607\space;\space 0,8329)\). Suy ra khoảng tin cậy cho rủi ro tương đối \(\frac{\pi_1}{\pi_2}\) là: \((1,43 ; 2,30)\)

     Như vậy, chúng ta có thể tin tuởng \(95 \%\) rằng, sau năm năm, nếu sử dụng thuốc asparin thì nguy cơ bị nhồi máu cơ tim cao gấp từ 1,43 đến 2,30 lần so với người không sử dụng thuốc asparin.

     Qua đó thấy rằng: khoảng tin cậy của rủi ro tương đối cho thấy nguy cơ bị nhồi máu cơ tim cao hơn ít nhất 43% đối với nhóm dùng giả dược. Khoảng tin cậy cho sự khác biệt về tỷ lệ là \((0,005 ; 0,011)\) có vẻ như hai nhóm khác rất nhỏ, nhưng nguy cơ tương đối cho thấy sự khác biệt có thể có ý nghĩa quan trọng đối với sức khoẻ cộng đồng. Nếu chúng ta chỉ sử dụng sự chênh lệch tỷ lệ để so sánh hai nhóm có thể phần nào gây nhầm lẫn khi tỷ lệ của cả hai nhóm đều rất gần không.

     Nhiều khi, thay vì khảo sát xác suất “thành công”, người ta cần khảo sát thông tin để tính toán cho tỷ lệ của xác suất “thất bại” \(\left(1-\pi_1\right) /\left(1-\pi_2\right)\).

2.3. Tỷ lệ chênh (Odds ratio)

     Trong phần này chúng ta trình bày một công cụ khác để đánh giá cho bảng ngẫu nhiên \(2 \times 2\), được gọi là tỷ lệ chênh (odds ratio). Đây là một tham số cơ bản được sử dụng trong các mô hình sẽ được trình bày ở các phần sau của tài liệu bài giảng này.

Định nghĩa 3: Trong hàng \(i\) của bảng phân phối đồng thời \(2 \times 2\) của các biến quan sát \(X\) và \(Y\), tỷ lệ cược (odds) của “thành công” được định nghĩa là tỷ số giữa xác suất “thành công” và xác suất “không thành công”, ký hiệu odds \(s_i\) :

\[\begin{equation*} o d d s_i=\frac{\pi_i}{1-\pi_i}\tag{2.3.1} \end{equation*}\]

Nhận xét:

- odds \(s_i\) là tỷ lệ giữa khả năng “thành công” và khả năng “không thành công” trong cùng một điều kiện tác động của biến giải thích.

- Odds luôn không âm: Odds = 1 có nghĩa là khả năng “thành công” và “không thành công” là ngang nhau; Odds > 1 có nghĩa là khả năng “thành công” cao hơn khả năng “không thành công”

- Khi biết odds, ta có thể tính được xác suất thành công, vì ta có: