\[\beta=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(Y_i-\hat{\pi_i})^2=0,127915\]
Mô hình này có ma trận nhầm lẫn:
- Độ chính xác toàn thể:\(\frac{25}{30}=83,33\%\). Nếu chỉ dựa vào
giá trị này ta sẽ cho rằng mô hình dự báo tốt. Tuy nhiên ta có: Độ nhạy:
\(\frac{0}{5}=0\%\), độ đặc hiệu: \(\frac{25}{25}=100\%\). Vậy mô hình này
không tốt, vì độ nhạy bằng 0, tức là không dự báo được bệnh nhân bị bệnh
tim mạch vành. Nguyên nhân ở đây là do mẫu quá lệch (số bị bệnh tim mạch
vành chỉ chiếm 5 trong tổng số 30).
Xét mô hình logistic nhận được từ bảng hồi quy 4.10, có mức độ phù hợp \(Psedo-R^2= 0,138670\), Prob (LR-statistic) = 0,00000… < 0,05, là bằng chứng mạnh mẽ bác bỏ giả thuyết \(H_0\), cho thấy mô hình phù hợp với dữ liệu thực tế.
\(-\) Chỉ số AIC = 0,623193
\(-\) Chỉ số Brier = \(\beta=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(Y_i-\hat{\pi_i})^2=0,245754\)
\(-\) Ma trận nhầm lẫn:
Độ chính xác toàn thể: \(\frac{14+14}{30}=93,33\%\), rất cao. Mặt khác độ nhạy là \(\frac{14}{15}=93,33\%\) và độ đặc hiệu là: \(\frac{14}{15}=93,33\%\) đều rất cao, cho thấy đây là một mô hình dự báo tốt.
Mô hình logistic đa biến là sự mở rộng một cách tự nhiên của mô hình logistic hai biến, trong đó biến đáp ứng là biến nhị phân với hai thuộc tính: một gọi là “Thành công” và một gọi là “Thất bại”, chịu sự tác động của một tập hợp m biến mà ta gọi là các biến giải thích. Biến đáp ứng được đại diện, hay lượng hóa bởi biến ngẫu nhiên có phân phối 0 – 1:
$Y=
Ký hiệu \(X=(X_1,X_2,...,X_m)\) là véc tơ gồm các biến giải thích, các biến này là các biến định lượng, hoặc định tính đã được gán điểm số. Mô hình logistic mô tả sự phụ thuộc của biến đáp ứng thông qua xác suất “Thành công” \(\pi(x)=P(Y=1|X=x)\) ứng với mức \(x=(x_1,x_2,...,x_m\)) của các biến giải thích phụ thuộc vào \(x=(x_1,x_2,...,x_m)\)dưới dạng:
\[log\left(\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}\right)=\beta_0+\beta_1.x_1+\beta_2.x_2+...+\beta_m.x_m\hspace{2cm}(4.3.1)\]
Trong đó các hằng số \(\beta_0,\beta_1,\beta_2,...,\beta_m\) được gọi là các hệ số hồi quy.
Cần nhắc lại rằng: Với mỗi mức \(x=(x_1,x_2,...,x_m)\) của các biến giải thích, \(Y\) là biến ngẫu nhiên có phân phối 0 - 1 với tham số \(\pi(x)\), do đó \(\pi(x)=E(Y|X=x)\) chính là hàm hồi quy của Y theo \(X=(X_1,X_2,...,X_m)\). Từ (4.3.1), ta có hệ thức tương đương:
\[\pi(x)=\frac{1}{1+exp(-\beta_0-\beta_1.x_1-\beta_2.x_2-...-\beta_m.x_m)}\hspace{2cm}(4.3.1a)\]
Mô hình (4.3.1) có thể viết dưới dạng:
\[log[Odds(x)]=\beta_0+\beta_1.x_1+\beta_2.x_2+...+\beta_m.x_m\hspace{2cm}(4.3.1b)\]
hay:
\[Odds(x)=exp(\beta_0+\beta_1.x_1+\beta_2.x_2+...+\beta_m.x_m)\hspace{2cm}(4.3.1c)\]
Hệ số \(\beta_j\) của biến \(x_j\) là lượng thay đổi của \(log\left(\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}\right)\), hay của \(log[Odds(x)]\) khi biến \(x_j\) hay đổi 1 đơn vị, trong điều kiện các biến khác không thay đổi, j = 1, 2,…, m.
Từ: \(\frac{\partial\pi}{\partial\ x_j}=\beta_j.\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}=\beta_j.Odds(x)\), cho thấy:
\(-\) Nếu \(\beta_j\gt0,\pi(x)\) đồng biến theo \(x_j\), khi các biến khác không thay đổi.
\(-\) Nếu \(\beta_j\lt0,\pi(x)\) nghịch biến theo \(x_j\) , khi các biến khác không thay đổi.
\(-\) Nếu \(\beta_j=0,\pi(x)\) không phụ thuộc \(x_j\).
Khi \(x_j\) tăng thêm 1 đơn vị, còn các biến khác không thay đổi thì tỷ lệ cược \(Odds(x)\) được nhân lên với \(e^{\beta_j}\).
Việc ước lượng mô hình logistic (4.3.1) là ước lượng cho các tham số \(\beta_0,\beta_1,\beta_2,...,\beta_m\). Mặc dù mô hình (4.3.1) tuyến tính đối với các tham số này, nhưng phương pháp bình phương bé nhất sẽ không được lựa chọn, vì các điều kiện đặt ra đối với phương pháp này không được đáp ứng, chẳng hạn điều kiện phương sai nhiễu không thay đổi và điều kiện nhiễu có phân phối chuẩn bị vi phạm.
Để ước lượng cho mô hình logistic, người ta sử dụng phương pháp hợp lý cực đại (ML) (ML: Maximum likelyhood) đã được đề cập ở chương 2 và sẽ được trình bày cụ thể dưới đây.
Vì Y là biến ngẫu nhiên có phân phối 0 – 1, tham số \(\pi=\pi(x)\), nên với mẫu kích thước n, hàm hợp lý là:
\[L(\beta_0,\beta_1,..,\beta_m)=\prod_{j=1}^n\pi^{y_j}(x_{(j)})[1-\pi(x_{(j)})]^{1-y_j}\hspace{2cm}(4.4.1)\]
Trong đó \(x_{(j)}\) là điểm mẫu thứ j của véc tơ các biến giải thích \(X=(X_1,X_2,...,X_m),\pi\) được xác định theo công thức (4.3.2a).
Theo phương pháp ML, các ước lượng \(\hat\beta_0,\hat\beta_1,..,\hat\beta_m\) cho \(\beta_0,\beta_1,\beta_2,..,\beta_m\) là nghiệm của phương trình hợp lý:
\(\schwa\)
Việc giải đúng hệ phương trình (4.3.3) nói chung là không khả thi. Các phần mềm hỗ trợ (như Eviews, SPSS, STATA, R,…) đều ứng dụng các thuật toán giải gần đúng để cung cấp nghiệm gần đúng khi chạy hồi quy.
Với các ước lượng \(\hat\beta_0,\hat\beta_1,..,\hat\beta_m\) cho \(\beta_0,\beta_1,\beta_2,..,\beta_m\) tìm được bằng phương pháp (ML) nói trên, ta nhận được mô hình hồi quy logistic ước lượng cho (4.3.1):
\[log\left[\frac{\hat\pi(x)}{1-\hat\pi(x)}\right]=\hat\beta_0+\hat\beta_1.x_1+...+\hat\beta_m.x_m\hspace{2cm}(4.4.3)\]
Vì là ước lượng cho \(\beta_0,\beta_1,\beta_2,..,\beta_m\) nên \(\hat\beta_0,\hat\beta_1,..,\hat\beta_m\) có cùng ý nghĩa như \(\beta_0,\beta_1,\beta_2,..,\beta_m\), nhưng trên cơ sở mẫu quan sát.
Ngưỡng ước lượng cho Y:
Minh họa cho trường hợp m = 2: Giả sử có mô hình ước lượng:
\[log\left[\frac{\hat\pi(x)}{1-\hat\pi(x)}\right]=-1-3.x_1+4.x_2\]
Khi đó: $
Miền có dự báo “Thành công” \((\hat{Y}=1)\) là:
\[{(x_1,x_2):x_2\ge\frac{3}{4}x_1+\frac{1}{4}}\]
Miền có dự báo “Thất bại” \((\hat{Y}=0)\) là:
\[{(x_1,x_2):x_2\ge\frac{3}{4}x_1+\frac{1}{4}}\]
Chẳng hạn điểm \((x_1),(x_2)=(1,1)\) cho dự báo “Thành công”. Điểm \((x_1),(x_2)= (2,1)\) cho dự báo “Thất bại”.
Ví dụ 1. Trở lại bảng dữ liệu 4.7 về các yếu tố ảnh hưởng đến nguy cơ tử vong của bệnh nhân nhiễm trùng máu. Trong phần hồi quy logistic hai biến, chúng ta đã xét ảnh hưởng chỉ của một yếu tố là huyết áp thấp đến nguy cơ tử vong, bây giờ ta đã xét ảnh hưởng của tất cả các yếu tố \((X_1)\)(tuổi), \((X_2)\)(Hypotension), \((X_3)\)(procalcionin) trong mô hình hồi quy logistic đa biến:
\[log\left(\frac{\pi{(x)}}{1-\pi{(x)}}\right)=\beta_0+\beta_1.x_1+\beta_2.x_2+\beta_3.x_3\hspace{2cm}(a)\]
Trong đó các biến \((X_1.X_2,X_3)\) có giá trị quan sát tương ứng là \((x_1.x_2,x_3)\).
Với bảng dữ liệu 4.7, bằng phương pháp ML, Eviews cho kết quả hồi quy:
Từ đó nhận được mô hình hồi quy ước lượng cho mô hình (a) là:
\[log\left[\frac{\hat\pi(x)}{1-\hat\pi(x)}\right]=−3,288224 + 0,014241.x_1+4,884094.x_2+0,130207.x_3\]
cho thấy nguy cơ tử vong tăng lên theo từng biến, theo đó:
\(-\) Xác suất tử vong của nhóm bệnh nhân nhiễm trùng máu có huyết áp thấp \((x_2=1)\) ước đoán là: \(\hat\pi(x_1,1,x_3)={1+exp(-1,59587-0,014241.x_1-0,130207.x_3)}^{-1}\)
\(-\) Xác suất tử vong của nhóm bệnh nhân nhiễm trùng máu không bị huyết áp thấp \((x_2=0)\) ước đoán là: \(\hat\pi(x_1,0,x_3)={1+exp(3,288224-0,014241.x_1-0,130207.x_3)}^{-1}\)
\(-\) Tỷ lệ cược đối với nhóm bệnh nhân nhiễm trùng máu không bị huyết áp thấp \((x_2=0)\) ước đoán là: \(\hat{Oddx}(x_1,0,x_3)=\frac{\hat\pi{(x_1,0,x_3)}}{1-\hat\pi{(x_1,0,x_3)}}=exp(-3,288224+0,014241.x_1+0,0130207.x_3)\)
\(-\) Tỷ lệ cược đối với nhóm bệnh nhân nhiễm trùng máu bị huyết áp thấp \((x_2=1)\) ước đoán là: \(\hat{Oddx}(x_1,1,x_3)=\frac{\hat\pi{(x_1,1,x_3)}}{1-\hat\pi{(x_1,1,x_3)}}=exp(1,59587+0,014241.x_1+0,0130207.x_3)\).
\(-\) Tỷ lệ chênh giữa nhóm bị huyết áp thấp và nhóm không bị huyết áp thấp ước đoán là: \(\hat\theta=\frac{\hat{Odds}{(x_1,1,x_3)}}{\hat{Odds}{(x_1,0,x_3)}}=e^\hat{\beta_2}=e^{4,884094}=132,170665\)
Điều này cho thấy trong số bệnh nhân nhiễm trùng máu, cùng độ tuổi và cùng chỉ số procalcitonin thì tỷ lệ tử vong ở nhóm bị huyết áp thấp theo ước đoán sẽ cao gấp hơn 132 lần so với nhóm không bị huyết áp thấp. Mặt khác \(\hat{\theta}\) vượt quá 1 rất xa cũng cho thấy liên kết rất chặt chẽ giữa ngu cơ tử vong và tình trạng huyết áp thấp ở bệnh nhân nhiễm trùng máu.
Bảng dưới đây là xác suất tử vong ước tính cho mỗi bệnh nhận (cột Fitted) được phần mềm Eviews cung cấp:
Ví dụ 2. Trở lại bảng dữ liệu 3.3 về cua móng ngựa, xét sự ảnh hưởng của các yếu tố độ rộng mai cua \((X_1)\), trọng lượng \((X_2)\) và điều kiện cột sống \((X_3)\) (số gai trên cột sống) đối với sự xuất hiện của vệ tinh (có hay không có vệ tinh) của con cua móng ngựa cái, thông qua mô hình hồi quy logistic:
\[log\left(\frac{\pi{(x)}}{1-\pi{(x)}}\right)=\beta_0+\beta_1.x_1+\beta_2.x_2+\beta_3.x_3\hspace{2cm}(a)\]
Biến đáp ứng (có hay không có vệ tinh) được gán điểm Y với tập điểm {0, 1}: