Una institución bancaria que otorga créditos a otras instituciones, asume riesgos provenientes de distintas fuentes:

• Riesgos Financieros:
  • Riesgos de Mercado: asociado con efectos adversos en los precios de las posiciones de mercado del banco.
  • Riesgo Crediticio: riesgo potencial de impago por parte de los deudores del banco.
  • Riesgro estructural/ riesgo de vulnerabilidades, impacto en las ganancias debido a los cambios en los tipos de interés y otras posiciones vulnerables.
• Riesgos no financieros:
  • Riesgo operacional: Riesgo de fallo en procesos internos
  • Riesgo de negocio: potencial de pérdidas asociadas con volatilidad no financiera. A veces descrito también como riesgo estratégico, es un riesgo que no se puede clasificar en alguno de los anteriores.

Nosotros estaremos interesados en cuantíficar el Riesgo Crediticio.

• Queremos encontrar una forma de estimar el riesgo asociado en lo créditos otorgados.

• En general, dicho riesgo se compone de los pesos ponderados de los riesgos de cada crédito individual.

• Por lo tanto, para estimar las pérdidas esperadas en un determinado portafolio, podemos comenzar estimando el riesgo de impago de una empresa.

El valor, a tiempo \(t\), de una empresa que emite acciones, está dado por: \[ A_t = E_t + D_t \qquad (1)\]

donde \[ \begin{eqnarray} A_t&\textrm{:}&\textrm{ Valor de la empresa,}\\ E_t&\textrm{:}&\textrm{ Valor de las acciones,}\\ D_t&\textrm{:}&\textrm{ Valor de la deuda}. \end{eqnarray} \] Para empresas con responsabilidad limitada (LLC), se espera el impago si el valor de la empresa es menor que el valor de su deuda, es decir, \(A_t < D_t\), o bien, \(A_t - D_t < 0\), que combinada con (1) implica que \[ E_t < 0 \] El hecho de que sea una empresa de responsabilidad limitada permite declarar la quiebra (deshacerse de las acciones) sin necesidad de inyectar capital para pagar a los acreedores.

La teoría de opciones puede ayudarnos a modelar el comportamiento anterior. La deuda de la empresa puede considerarse como un bono de cupón cero con valor \(D_t\) y tiempo de maduración \(T\). No se realizan pagos antes del tiempo \(T\), y los accionistas esperan hasta \(T\) para declarar el impago. Si se declara el impago, los acreedores reciben el valor de la empresa. Si el valor de la empresa es mayor que su deuda, los accionistas pagan la deuda y reciben dividendos del valor restante de la empresa. Es decir, los acreedores recibe un pago como el de un bono de cupón cero sin riesgo que paga: \[ pay\_off_{bondholder} = min(A_T,D_T) \] minetras que para los accionistas: \[ pay\_off_{equityholder} = max(0,A_T - D_T) \]

Este último, es el pago que se recibe de una opción call de tipo Europeo, con valor de strike \(D_T\).

Problema:

• Se quiere estimar la porbabilidad de que el valor de la compañía a tiempo T caiga por debajo del valor de la deuda.

Consideraciones:

• Se asume frecuentemente que el logaritmo del valor de la empresa sigue una distribución normal.
  
• La varianza anual del logaritmo de dicho valor está dado por \(\sigma^2\)
  
• El cambio anual esperado en el logaritmo de del valor de la empresa se denota por \(\mu - \sigma^2/2\)

Por demostrar:

• El logaritmo del valor de la empresa a tiempo \(T\) sigue una distribución normal \(N\), dada por

\[ \log{A_T} \sim N(\log{A_t} + (\mu-\sigma^2/2)(T-t),\sigma^2(T-t)). \]

La probabilidad de impago, estará dada por la probabilidad de que el valor de la empresa a tiempo \(T\), \(A_T\), caiga por debajo del valor \(D_T\).

• Si la probabilidad \(P(A_T < D_T) > 0\), entonces existe riesgo de no recuperar su inversión para el tenedor de deuda. Puede cubrir este riesgo adquiriendo un hipotético Put en los activos subyacentes \(A_T\), con valor de srike \(D_T\) y tiempo de maduración \(T\). Obteniendo así un portafolio libre de riesgo. Si suponemos que no hay arbitraje en el mercado, entonces: \[ D_0 + P_0(A_t,\sigma_A,D_T,T,r) = e^{-rT}D_T, \] donde \(D_0\) sería la cantidad prestada, y \(r\) la tasa de interés libre de riesgo.

• Como menciopnamos antes, los accionistas tienen una opción Call de tipo europea: \[ E_t = C_t(A_t,\sigma_A,D_T,T-t,r). \] A tiempo \(t = 0\), el valor de la empresa está dado entonces por: \[ A_0 = C_0(A_t,\sigma_A,D_T,T,r) + e^{-rT}D_T - P_0(A_t,\sigma_A,D_T,T,r), \] que evoluciona de la forma: \[ A_t = C_t(A_t,\sigma_A,D_T,T-t,r) + e^{-r(T-t)}D_T - P_t(A_t,\sigma_A,D_T,T-t,r). \qquad (2)\]

La ecuación (2) puede re-escribirse en la forma: \[ C_t(A_t,\sigma_A,D_T,T-t,r) - P_t(A_t,\sigma_A,D_T,T-t,r) = A_t - D_Te^{-r(T-t)} \]
Si las acciones de la empresa (es decir nuestra opción Call) siguen la ecuación de Black - Scholes, entonces se tiene que
\[ E_t = \Phi(d_1)A_t - \Phi(d_2)D_Te^{-r(T-t)}, \qquad (3)\]

dónde: \[ \begin{eqnarray} d_1 &=& \frac{1}{\sigma_A\sqrt{T-t}}\left[\ln{\left(\frac{A_t}{D_T}\right)}+\left(r+\frac{\sigma_A^2}{2}\right)(T-t)\right]\\ d_2 &=& \frac{1}{\sigma_A\sqrt{T-t}}\left[\ln{\left(\frac{A_t}{D_T}\right)}+\left(r-\frac{\sigma_A^2}{2}\right)(T-t)\right]\\ &=& d_1 - \sigma_A\sqrt{(T-t)} \end{eqnarray} \]

De la Ecuación (3), se ignoran los valores \(A_t\) y \(\sigma_A\). Sin embargo, se asumió desde el principio que \(E_t\) y \(A_t\) evolucionan con fluctuacioes estadísticas, por lo tanto, si observamos las variaciones: \[ \begin{eqnarray} dE_t &=& \mu_E E_t dt + \sigma_E E_t dW^E_t\\ &\simeq& \Phi(d_1)\mu_A A_t dt + \sigma_A A_t dW^A_t - \Phi(d_2)D_Tre^{-r(T-t)}, \end{eqnarray} \] aproximando por simplicidad \(d_{1,2}\) constantes. De esta forma, se pueden igualar las variacioens estocásticas en ambos términos, obteniendo: \[ \sigma_EE_t \simeq \Phi(d_1)\sigma_AA_t. \] Es decir, tenemos que resolver el sistema de equaciones: \[ \begin{eqnarray} E_t &=& \Phi(d_1)A_t - \Phi(d_2)D_Te^{-r(T-t)},\\ \sigma_EE_t &\simeq& \Phi(d_1)\sigma_AA_t. \end{eqnarray} \]

• Asumimos que se las obligaciones se pagan anualmente. ### Dividendos
  
• Tasa de crecimiento \(g\).
• \(V_0\) es el valor del último pago de dividendos. El total de dividendos pagados desde \(t=t\) hasta \(t=T\) está dado por: \[ V = \sum_{\tau=t+1}^{T} V_0(1 + g)^{\tau} e^{r(T-t)} \]

Intereses

• Tasa simple \(c\) El total de intereses pagados desde \(t=t\) hasta \(t=T\) está dado por: \[ I = \sum_{\tau=t+1}^{T} cD e^{r(T-t)} \]

Prioridad de obligaciones
1. Dividendos e Intereses
2. Capital de la deuda

• \(A_T < V + I\): La compañía cae en default. El valor de sus activos no cubre el valor de sus dividendos más intereses. Se pagan dividendos con valor \(Dividendos = A_TV/(V +I)\), e intereses \(Intereses = A_TI/(V +I)\)
• \(V + I < A_T < D + V + I\): La compañía cae en default. La compañia puede cubrir los dividendos y los intereses, pero no el capital de la deuda. Los accionistas reciben los dividendos devengados \(V\).
• \(A_t > D + V + I\): La compañía cubre todas sus obligaciones. Los accionistas reciben dividendos por \(A_T - D - I\), que ya incluyen los dividendos devengados \(V\).

• Las obligaciones mencionadas anteriormente no sólo afectan la capacidad de la empresa para cubrir sus obligaciones.
• También afectan la evolución de la valoración misma de la empresa.
• Usando el formalismo de Black-Scholes para estimar el precio de opciones, es posible encontrar la relación que guarda el valor de las acciones de la empresa con el valor de la empresa, su deuda, y sus demás compromisos (intereses y dividendos). \[ E_t = A_t\Phi(d_1) - (D + I + V) e^{-t(T-t)}\Phi(d_2) + \frac{V}{V + I}\left[A_t\left(1-\Phi(k_1)\right) + (V+I)e^{-r(T-t)}\Phi(k_2)\right] \] con \[ \begin{eqnarray} d_1 &=& \frac{1}{\sigma_A\sqrt{T-t}}\left[\ln{\left(\frac{A_t}{D + V + I}\right)}+\left(r+\frac{\sigma_A^2}{2}\right)(T-t)\right],\\ d_2 &=& d_1 - \sigma_A\sqrt{T-t} \\ k_1 &=& \frac{1}{\sigma_A\sqrt{T-t}}\left[\ln{\left(\frac{A_t}{V + I}\right)}+\left(r+\frac{\sigma_A^2}{2}\right)(T-t)\right],\\ k_2 &=& k_1 - \sigma_A\sqrt{T-t} \\ \end{eqnarray} \]

Credit Risk Modeling using Excel and VBA

Gunter Löffler
Peter N. Posch