PLDLĐT 116_120

Nhận được mô hình ước lượng:

\[ \log\left(\frac{\hat{\pi}(x)}{1 - \hat{\pi}(x)}\right) = −10,07084 + 0,458310x_1 − 0,509047.COLOR \tag{c} \]

So sánh ba mô hình (a), (b), (c) ta thấy cả ba mô hình đều phù hợp với dữ liệu:

-Trong mô hình (c): các biến giải thích đều thực sự ảnh hưởng đến biến đáp ứng Y, trong đó: AIC (c) = 1,127868, Deviance (c) = 189,1212, Pseudo-\(\text{R}^{2}\) = 0,162286.

-Trong mô hình (b): biến giải thích biến \(\text{X}_3\) ít có ảnh hưởng đến biến đáp ứng Y, trong đó: AIC (b) = 1,124646, Deviance (b) = 186,5638, Pseudo - \(\text{R}^{2}\) (b) = 0,173614.

-Trong mô hình (a): các biến giải thích \(\text{X}_1\), \(\text{X}_2\), \(\text{X}_3\) ít có ảnh hưởng đến biến đáp ứng Y, trong đó: AIC (a) = 1,129415, Deviance (a) = 185,3888, Pseudo- \(\text{R}^{2}\) (a) = 0,178818.

Mặt khác (a) có AIC lớn nhất, nên ta không chọn (a). Đối với (b) và (c), xét LRT = Deviance(c) − Deviance(b) = 2,5574 < \(\mathcal{X}_1^{2}\) (0,05) = 3,841 (thống kê này có P-value = 0,109778 > 0,05)

Cho thấy (c) phù hợp hơn (b), hơn nữa các chỉ số

AIC, Brier (b) = 0,182566, Brier (c) = 0,184483

(b)có ma trận nhầm lẫn (Confusion Matrix):

\[\begin{array}{ll|rrr} & & & {\hat{Y}} \\ Count & & 0 & 1 & Total \\ \hline & 0 & 30 & 32 & 62 \\ Y & 1 & 15 & 96 & 111 \\ & Total & 45 & 128 & 173 \\ \end{array}\]

(b)có độ chính xác toàn thể là: \(\frac{30+96}{173}\) = 72,83% , độ nhạy là 30/62 = 48,39% và độ hiệu quả là 96/111 = 86,49%.

(c)có ma trận nhầm lẫn:

\[\begin{array}{ll|rrr} & & & {\hat{Y}} \\ Count & & 0 & 1 & Total \\ \hline & 0 & 29 & 33 & 62 \\ Y & 1 & 14 & 97 & 111 \\ & Total & 43 & 130 & 173 \\ \end{array}\]

(c)có độ chính xác toàn thể là:\(\frac{29+97}{173}\) = 72,83% , độ nhạy là 39/62 = 46,77% và độ hiệu quả là 97/111 = 87,39%.

Hai mô hình này đề có độ chính xác toàn thể bằng nhau và cao, độ nhạy và độ hiệu quả xấp xỉ nhau, trong đó độ nhạy ở mức trung bình, nhưng độ hiệu quả khá cao (xấp xỉ 87%). Mặt khác mô hình (c) đơn giản hơn (b), nên để ước lượng cho hồi quy logistic của Y theo các yếu tố được điều tra, ta chọn mô hình (c).

4.7. Suy diễn về mối liên hệ trong bảng ngẫu nhiên 2 x 2 x k

Một trường hợp quan trọng của các mô hình logit ba biến với biến dự báo định tính X là một định tính nhị phân, và Z là một biến điều khiển với k mức. Ví dụ, khảo sát khả năng bị ung thư phổi theo X là giới tính (nam, nữ) và Z là các mức độ hút thuốc là (không hút, thỉnh thoảng hút, hút thường xuyên).

Khi đó có thể xem X là biến giả với 2 giá trị 0 và 1, còn đại diện cho Z có thể là một biến, nếu có thể gán điểm, hoặc Z được thay bằng k - 1 biến giả nhị phân.

Ký hiệu \(\pi_{ij}\) là xác suất “Thành công” ứng với loại thứ i của X, xét tại mức j của Z, i = 1, 2; j = 1, 2,…, k. Khi đó mô hình logit có dạng:

\[ \log\left(\frac{\pi_{ij}}{1 - \pi_{ij}}\right) = \beta_0 + \beta_i^{X}+ \beta_j^{Z}, (i=1,2; j=1,2, \dots,k) \tag{4.7.1} \]

Trong mô hình này, X và Y độc lập có điều kiện, khi kiểm soát Z, nếu \(\beta_1^{X}=\beta_2^{X}\), trong trường hợp đó Tỷ số chênh exp(\(\beta_1^{X}=\beta_2^{X}\)) đối với các bảng k phân vùng bằng 1. Khi đó có thể nhập giá trị chung của \(\beta_i^{X}\) vào số hạng \(\beta_0\), quy về mô hình đơn giản hơn

\[ \text{logit}(\pi_{ij})=\beta_0 + \beta_j^{Z}\tag{4.7.2} \]

Vì thế người ta có thể kiểm định tính độc lập có điều kiện của x và У theo thống kê likelihood ratio: LRT = -2(\(L_0\) – \(L_1\)), so sánh mô hình ba biến với mô hình đơn giản hơn (không có X), trong đó giả thuyết \(H_0\): X và Y độc lập có điều kiện khi kiểm soát Z. Tiêu chuẩn bác bỏ giả thuyết \(H_0\) là:

\[ LRT \geq \mathcal{X}_1^{2}(a), hoặc P-value=Prob(LRT)<\alpha \]

Ví dụ 1. Khảo sát cơ hội kiếm được việc làm (theo ngành được đào tạo) của một số sinh viên thuộc ba ngành đào tạo khác nhau: A, B, C, trong vòng 1 năm sau khi tốt nghiệp, có bảng dữ liệu sau:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{ Giới tính } & \text{Ngành đào tạo} & \text{ Việc làm } \text{} \\ \hline & & \text{Có} & \text{Chưa} \\ \hline & A & 32 & 11 \\ \text{Nam} & B & 40 & 19 \\ & C & 29 & 27 \\ \hline & A & 37 & 12 \\ \text{Nữ} & B & 38 & 18 \\ & C & 42 & 38 \\ \hline \end{array} \]

\[ \text{Bảng 4.23. Dữ liệu về giới tính, ngành đào tạo và có việc làm của sinh viên.} \]

Đặt

\[ Y= \left\{ \begin{array} {} 0 \hspace{2cm} \ nếu\ sinh\ viên\ có\ việc\ làm\ \\ 1 \hspace{1cm} \ nếu\ sinh\ viên\ chưa\ có\ việc\ làm \end{array} \right\}; X= \left\{ \begin{array} {} 1 \hspace{1.5cm} \ nếu\ sinh\ viên\ nam\ \\ 0 \hspace{2cm} \ nếu\ sinh\ viên\ nữ \end{array} \right\}, \]

Các biến giả cho các ngành:

\[ Z_1= \left\{ \begin{array} {} 1 \hspace{2.5cm} \ nếu\ sinh\ ngành\ A\ \\ 0 \hspace{1cm} \ nếu\ sinh\ viên\ ngành\ khác\ \end{array} \right\}; Z_2= \left\{ \begin{array} {} 1 \hspace{2.5cm} \ nếu\ sinh\ ngành\ B\ \\ 0 \hspace{2cm} \ nếu\ sinh\ ngành\ khác\ \end{array} \right\}, \]

Ký hiệu \(\pi\) là xác suất có việc làm của sinh viên, thì

\[ \pi(x,z_1,z_2) = P(Y=1|𝑋 = 𝑥, Z_1 = 𝑧_1, 𝑍_2 = 𝑧_2) =𝐸(𝑌|𝑋 = 𝑥, 𝑍_1 = 𝑧_1, 𝑍_2 = 𝑧_2) \]

và mô hình logistic về ảnh hưởng của giới tính và ngành đào tạo đến khả năng có việc làm của sinh viên là:

\[ \log\left(\frac{{\pi}(x)}{1 - {\pi}(x)}\right)= \beta_0+\beta_1x+y_1.z_1+y_2.z_2 \]

Tiến hành phân tích từng bảng riêng phần đối với biến điều khiển Z, ta có các kết quả:

Các bảng từng phần với các kiểm định Pearson và Likelihood Ratio \(G^{2}\) đều cho bằng chứng về tính độc lập có điều kiện giữa kết quả kiếm việc làm và giới tính, khi kiểm soát ngành đào tạo

Quá trình trên có thể được thay bằng phân tích hồi quy logistic sau đây. Từ bảng dữ liệu, chạy hồi quy ước lượng, nhận được bảng 4.24 và mô hình ước lượng là:

\[ \log\left(\frac{{\hat\pi}(x)}{1 - {\hat\pi}(x)}\right)= 0,099315 − 0,026760. 𝑥 + 1,011849. z_1 + 0,660237. 𝑧_2 \tag{*} \]

Trong bảng hồi quy 4.24, đối với biến X có Prob (Z-statistic) = 0,9077 là bằng chứng cho thấy giới tính X hầu như không ảnh hưởng đến khả năng có việc làm của sinh viên các ngành A, B, C. \[ \begin{array}{lrllr} \hline \hline \text{ Variable } & Coefficient & Std. Error & z-Statistic & Prob. \\ \hline \hline \text{ C } & 0.099315 & 0.196235 & 0.506105 & 0.6128 \\ \text{ X } & -0.026760 & 0.230720 & -0.115987 & 0.9077 \\ \text{ Z1 } & 1.011849 & 0.296018 & 3.418206 & 0.0006 \\ \text{ Z2 } & 0.660237 & 0.264364 & 2.497451 & 0.0125 \\ \hline \text{ McFadden R-squared } & 0.030575 & Mean dependent var & & 0.635569 \\ \text{ Akaike info criterion } & 1.295065 & Sum squared resid & & 76.27665 \\ \text{ Schwarz criterion } & 1.339820 & Log likelihood & & -218.1037 \\ \text{ Hannan-Quinn criter } & 1.312892 & Deviance & & 436.2073 \\ \text{ Restr. deviance } & 449.9648 & Restr. log likelihood & & -224.9824 \\ \text{ LR statistic } & 13.75746 & Avg. log likelihood & & -0.635871 \\ \text{ Prob(LR statistic) } & 0.003255 & & & \\ \hline \hline \text{Obs with Dep=0} & 125 & & \text{ Total obs } & 343 \\ \text{Obs with Dep=1} & 218 & & \end{array} \]

\[ \text{Bảng 4.24. Kết quả hồi quy logistic về ảnh hưởng của giới tính, ngành đào tạo đối với việc làm của sinh viên} \]

Chạy hồi quy ước lượng cho mô hình logistic không có biến X:

\[ \log\left(\frac{{\pi}(x)}{1 - {\pi}(x)}\right) = \beta\_0+y_1.z_1+ y_2.z_2 \]

ta nhận được bảng kết quả hồi quy:

\[ \begin{array}{lrllr} \text{Dependent Variable: Y} \\ \text{Method: ML - Binary Logit (Quadratic hill climbing)} \\ \text{Sample: 1 343} \\ \hline Variable & Coefficient & Std. Error & z-Statistic & Prob. \\ \hline \text{C} & 0.088293 & 0.171666 & 0.514329 & 0.6070 \\ \text{Z1} & 1.010320 & 0.295702 & 3.416677 & 0.0006 \\ \text{Z2} & 0.657498 & 0.263281 & 2.497330 & 0.0125 \\ \hline \text{ McFadden R-squared} & 0.030545 & \text{ Mean dependent var } & & 0.635569 \\ \text{ Akaike info criterion} & 1.289273 & \text{ Sum squared resid } & & 76.27948 \\ \text{ Schwarz criterion} & 1.322840 & \text{ Log likelihood } & & -218.1104 \\ \text{ Hannan-Quinn criter} & 1.302644 & \text{ Deviance } & & 436.2208 \\ \text{ Restr. deviance } & 449.9648 & \text{Restr. log likelihood} & & -224.9824\\ \text{ LR statistic } & 13.74401 & \text{ Avg. log likelihood} & & -0.635890\\ \text{ Prob(LR statistic) } & 0.001036 & & & \\ \hline \text{ Obs with Dep = 0} & 125 & \text{ Total obs } & & 343 \\ \text{ Obs with Dep =1} & 218 & & & \\ \hline \end{array} \]

\[ \text{Bảng 4.25. Kết quả hồi quy logistic về ảnh hưởng của} \]

Mô hình ước lượng nhận được là:

\[ \log\left(\frac{\hat{\pi}(x)}{1 - {\hat\pi}(x)}\right) = 0,088293 + 1,010320. z_1 + 0,657498. 𝑧_2 \tag{**} \]

Dùng thống kê kiểm định LRT đối với hai mô hình trên, ta có:

LRT = Deviance(**) - Deviance(*) = 436,2208 − 436,2073 = 0,0135 < \(\mathcal{X}_1^{2}\)(0,05) = 3,841 hoặc tính được: P-value = Prob (LRT) = 0,907665. Đây là bằng chứng cho thấy tính độc lập có điều kiện giữa biến Y và biến giới tính X, khi kiểm soát ngành đào tạo.

4.8. Vấn đề xác định kích thước mẫu

Việc xác định cỡ mẫu trong các mô hình hồi quy là rất quan trọng. Cỡ mẫu ảnh hưởng đến việc xấp xỉ phân phối xác suất của các thống kê được dùng trong các vấn đề ước lượng và kiểm định, Về mặt lý thuyết thì cỡ mẫu càng lớn thì các ước lượng và kiểm định càng chính xác hơn. Tuy nhiên cỡ mẫu cũng không thể tùy ý lớn và đặc biệt việc tiết kiệm mẫu sẽ là tiết kiệm kinh phí, nhân lực và thời gian. Có thể chỉ ra vai trò của việc ước tính cỡ mẫu là:

• Rất quan trọng cho việc thiết kế nghiên cứu.

• Liên quan đến tính khả thi của việc điều tra, nghiên cứu.

• Ảnh hưởng đến ngân sách nghiên cứu.

• Liên quan đến đạo đức khoa học.

Trong mục này, chúng ta xác định cỡ mẫu cho việc ước lượng và kiểm định và so sánh cho tỷ lệ và cho giá trị trung bình. Trong các bài toán này, cỡ mẫu n, độ tin cậy 𝛾 = 1 −\(\alpha\), độ chính \(\varepsilon\) của ước lượng, sai lầm loại 1 là \(\alpha\), sai lầm loại 2 là \(\beta\) liên hệ mật thiết với nhau, vậy nên để xác định cỡ mẫu n, cần phải biết các yếu tố còn lại. Xác định kích thước mẫu chính là dựa vào mối liên hệ này để tìm ra khích thước mẫu thích hợp. Thông thường mức \(\alpha\) = 0,05, hoặc \(\alpha\) = 0,01 và \(\beta\) = 0,1 hoặc \(\beta\) = 0,2.

4.8.1. Cỡ mẫu cho ước lượng tỷ lệ.

a. Khi không dùng tỷ lệ quan sát nào trước đó

Từ công thức khoảng tin cậy cho tỷ lệ: (f-\(\varepsilon\);f+\(\varepsilon\)), trong đó $=u(). $, khi cho trước độ tin cậy \(\gamma\) = 1-\(\alpha\), và độ chính xác \(\varepsilon\), thì cỡ mẫu

\[ n= \frac{u( \frac{\alpha}{2})^{2}} {\varepsilon^{2}}f(1-f) \]

Tuy nhiên vì chưa có mẫu, nên cỡ mẫu được xác định là:

\[ n= \frac{u( \frac{\alpha}{2})^{2}} {4\varepsilon^{2}} =\max_{0\leq f \leq 1}\frac{u( \frac{\alpha}{2})^{2}} {\varepsilon^{2}} f(1-f) \tag{4.8.1a} \]

b. Khi dùng một tỷ lệ quan sát p trước đó

Người ta thay vai trò của tần suất mẫu f chưa biết bởi tỷ lệ quan sát p, vì vậy khoảng tin cậy sẽ có dạng:

\[ (p-u(\frac{\alpha}{2}). \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}; p+u(\frac{\alpha}{2}). \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}) \]

và với độ chính xác 𝜀 cho trước cỡ mẫu ước tính sẽ là:

\[ n= \frac{u( \frac{\alpha}{2})^{2}} {\varepsilon^{2}}p(1-p) \tag{4.8.1b} \]