Analisis Variansi Satu Arah (One-Way Anova) terhadap Jenis Imunisasi di Oceania pada tahun 2015

Case Method 02 - Sistem Informasi Manajemen

Oleh Cloudya Filia Putri (M0722028)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Pada tahun 2015, pemerataan imunisasi hepatitis B, polio, dan campak di Oceania menunjukkan variasi yang signifikan antara negara-negara maju seperti Australia dan Selandia Baru, yang mencapai cakupan tinggi, dan negara-negara kepulauan kecil serta terpencil, yang menghadapi berbagai kendala logistik dan sumber daya. Meski ada kemajuan berkat dukungan internasional, kesenjangan masih ada, terutama karena faktor geografis, infrastruktur kesehatan, dan kesadaran masyarakat. Uji ANOVA satu arah dapat digunakan untuk menganalisis perbedaan rata-rata cakupan imunisasi di berbagai negara atau wilayah dalam Oceania, membantu mengidentifikasi apakah perbedaan yang diamati signifikan secara statistik dan menentukan di mana intervensi lebih lanjut diperlukan. Hasil ANOVA yang menunjukkan tidak ada perbedaan signifikan mungkin menyiratkan bahwa upaya penyamarataan telah efektif di beberapa daerah, namun hasil yang menunjukkan perbedaan signifikan akan menyoroti kebutuhan untuk peningkatan upaya di wilayah tertentu. Dengan analisis ini, kebijakan kesehatan dapat disesuaikan untuk memastikan bahwa setiap anak di Oceania mendapatkan akses yang sama terhadap imunisasi penting. Implementasi strategi yang lebih baik dan dukungan yang berkelanjutan akan menjadi kunci dalam mencapai pemerataan imunisasi di seluruh wilayah ini.

Landasan Teori

Anava Satu Arah

Analisis variansi satu arah (One-way ANOVA) merupakan uji hipotesis untuk membandingkan k mean populasi \(\mu_1\), \(\mu_2\),…,\(\mu_k\) dari k perlakuan apakah sama atau tidak. Suatu sampel random diambil dari setiap populasi, misal \(n_1\) sampel dari populasi pertama, \(n_2\) sampel dari populasi kedua, hingga \(n_k\) sampel dari populasi ke-k. Dianggap populasi-populasi itu mempunyai variansi sama, yaitu \(\sigma^2\). ANOVA membantu peneliti untuk menentukan apakah ada perbedaan yang signifikan di antara kelompok-kelompok tersebut. Konsep dasar ANOVA melibatkan pembandingan variabilitas antara kelompok dengan variabilitas dalam kelompok. Jika variabilitas antara kelompok jauh lebih besar daripada variabilitas dalam kelompok, maka hipotesis nol yang menyatakan tidak ada perbedaan signifikan ditolak, menunjukkan adanya perbedaan yang signifikan antara kelompok-kelompok tersebut.

Model matematik untuk analisis variansi satu arah adalah sebagai berikut. \[ Y_{ij} = \mu + \tau_i + \epsilon_{ij} \] \[dengan \quad i = 1, 2, 3, \ldots, k \quad \text{dan} \quad j = 1, 2, \ldots, n\]

Dimana :

\(\mu\) adalah mean keseluruhan
\(\tau_i\) adalah efek perlakuan ke-i
\(\epsilon_{ij}\) adalah sesatan yang diasumsikan berdistribusi normal, independen dengan mean nol dan variansi sama, \(\sigma^2\).

Langkah-langkah Uji Hipotesis untuk ANOVA Dua Arah

1. Menentukan Hipotesis Pengujian

\[ H_0 : \mu_1 = \mu_2 = \ldots = \mu_k \] \[ H_1 : \mu_i \neq \mu_j \quad \text{paling sedikit untuk sebuah} \quad i,j \]

2. Menentukan Taraf Signifikansi \(\alpha\)

Taraf signifikansi \(\alpha\) biasanya ditentukan sebelumnya, misalnya \(\alpha = 0.05\).

3. Menentukan Daerah Kritis

\[\text{DK: Tolak } H_0 \text{ jika } F= \frac{RKP}{RKS} > F_{[(k-1); (n-k); \alpha]}\]

4. Menghitung Statistik Uji F

Adapun sebelum menghitung statistik uji F, terlebih dahulu mencari jumlah kuadrat total dan jumlah kuadrat dari masing-masing sumber variasi yang dirumuskan sebagai berikut.

Jumlah Kuadrat Total (JKT)

\[ JKT = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n (Y_{ij} - \bar{Y})^2 \]

Jumlah Kuadrat Perlakuan(JKP)

\[ JKP = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^n (\bar{Y}_{i\cdot} - \bar{Y})^2 \]

Jumlah Kuadrat Sesatan (JKS)

\[JKS = JKT - JKP\]

Setelah mendapatkan hasil seluruh jumlah kuadrat, maka bentuk statistik ujinya adalah sebagai berikut:

\[ F = \frac{RKP}{RKS} = \frac{\left(\frac{JKP}{\sigma^2(k-1)}\right)}{\left(\frac{JKS}{\sigma^2(n-k)}\right)} \]

Untuk mempermudah dalam penyajian uji, hasil perhitungan di atas dibawa ke dalam bentuk tabel anava sebagai berikut.

Tabel Anava

Uji Normalitas Shapiro-Wilk

Uji normalitas adalah prosedur statistik yang digunakan untuk menentukan apakah sekumpulan data mengikuti distribusi normal sebagai syarat yang harus dipenuhi dalam statistika parametrik. Hal yang membedakan uji normalitas menggunakan metode shapiro-wilk dengan metode lainnya yaitu dari kuantitas data, Shapiro-wilk sangat berguna untuk mendeteksi deviasi dari distribusi normal untuk sampel yang kecil hingga menengah, sehingga untuk ukuran sampel yang besar tidak dianjurkan untuk menggunakan metode ini. Selain itu, salah satu keunggulan utama uji Shapiro-Wilk adalah kekuatan statistiknya yang tinggi, terutama untuk sampel kecil hingga menengah, dibandingkan dengan uji normalitas lainnya seperti uji Kolmogorov-Smirnov atau uji Anderson-Darling. Statistik uji Shapiro wilk dapat dirumuskan sebagai berikut.

\[W = \frac{b^2}{(n - 1) s^2} \]

\[b^2 = \sum_{i=1}^{n/2} a_{n-i+1} (x_{n-i+1} - x_i)\]

\[s^2 = \sum_{i=1}^{n/2} \frac{(X_i - \bar{X})}{(n-1)}\]

Uji homogenitas Levene’s Test

Uji homogenitas, atau kemiripan varian, adalah asumsi penting dalam banyak analisis statistik, terutama dalam analisis varians (ANOVA) dan regresi. Levene Test adalah salah satu metode yang umum digunakan untuk menguji homogenitas varian di antara kelompok-kelompok yang berbeda. Uji levene atau alternatif dari uji bartlett, digunakan untuk menguji kesamaan varians dari beberapa populasi. Tujuan utama dari Levene Test adalah untuk menguji apakah varian di setiap kelompok sama, sehingga memastikan bahwa asumsi homogenitas varian terpenuhi sebelum menerapkan metode statistik yang lebih lanjut.

Adapun statistik uji yang digunakan dapat dirumuskan sebagai berikut.

\[ W = \frac{(n - k) \sum_{i=1}^{k} (\overline{Z}i - \overline{Z}{\cdot\cdot})^2}{(k - 1) \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_l} (Z_{ij} - \overline{Z}_{i\cdot})^2} \]

Dimana: \[Z_{ij} = |Y_{ij} - \bar{Y}_{i}|\]

Keterangan:

\(n\) = jumlah perlakuan

\(k\) = banyak kelompok

\(\bar{Y}_{i.}\) = rata-rata dari kelompok ke-i

\(\bar{Z}{i.}\) = rata-rata dari kelompok dari \(Z{ij}\)

\(\bar{Z}{..}\) = rata-rata menyeluruh dari \(Z{ij}\)

Dalam perhitungan uji Levene, apabila nilai W lebih kecil dari nilai tabel F, maka kelompok yang diuji memiliki variansi yang sama atau homogen. Namun, jika nilai p-value lebih besar dari tingkat signifikansi yang ditentukan (misalnya 0.05), maka tidak ada cukup bukti untuk menolak hipotesis nol, yang berarti varian antar kelompok dianggap homogen. Dalam hal ini, asumsi homogenitas varian untuk analisis yang dilakukan dapat dipenuhi.

Library

Proses yang pertama dilakukan adalah persiapan library yang akan digunakan dalam analisis data menggunakan R. Dengan mempersiapkan library-library ini, kita dapat menggunakan berbagai fungsi dan alat yang diperlukan untuk melakukan analisis data dengan lebih efisien dan efektif.

# Menyiapkan package-package yang diperlukan
library(car)
library(agricolae) 
library(ggpubr)
library(readxl)

DESKRIPSI DATA

Data yang digunakan menjelaskan mengenai empat jenis imunisasi yang diberikan kepada masyarakat di tiap wilayah negara di Oceania pada tahun 2015, yaitu imunisasi hepatitis-B, measles atau campak, dan polio. Dalam hal ini, ingin diuji apakah pemberian keempat jenis imunisasi tersebut memiliki perbedaan rata-rata yang signifikan menggunakan Uji Anava Satu Arah. Data yang digunakan dirincikan pada tabel berikut.

library(readxl)
Data_CM <- read_excel("C:/SEM 4/SIM/Data_CM.xlsx", 
                      col_types = c("numeric", "numeric", "numeric", 
                                    "numeric", "text"))
View(Data_CM)

boxplot(Data_CM$Imunisasi~Data_CM$Kelompok)

Grafik boxplot di atas menunjukkan persebaran jenis imunisasi berdasarkan kuartil bawah, median, dan kuartil atas yang akan dijelaskan lebih lanjut pada statistika deskriptif.

Summary Data

Pada langkah ini, dilakukan penghitungan statistika deskriptif untuk variabel jenis imunisasi. Statistika deskriptif ini memberikan gambaran tentang sebaran dan karakteristik data pada variabel tersebut.

summary(Data_CM)

##   Hepatitis_B       Measles          Polio         Imunisasi    
##  Min.   :59.00   Min.   :55.00   Min.   :51.00   Min.   :51.00  
##  1st Qu.:71.50   1st Qu.:65.00   1st Qu.:76.50   1st Qu.:65.00  
##  Median :78.00   Median :65.00   Median :80.00   Median :78.00  
##  Mean   :80.55   Mean   :75.27   Mean   :81.82   Mean   :79.21  
##  3rd Qu.:92.50   3rd Qu.:90.00   3rd Qu.:92.50   3rd Qu.:93.00  
##  Max.   :99.00   Max.   :99.00   Max.   :99.00   Max.   :99.00  
##  NA's   :22      NA's   :22      NA's   :22                     
##    Kelompok        
##  Length:33         
##  Class :character  
##  Mode  :character  
##                    
##                    
##                    
##

Berdasarkan hasil perhitungan, pemberian imunisasi di Oceania pada tahun 2015 memiliki rata-rata cakupan sebesar 79.21, dengan rentang data dari nilai terkecil 51 hingga nilai terbesar 99. Distribusi data menunjukkan bahwa setengah populasi memiliki cakupan imunisasi antara 65 (kuartil bawah) dan 93 (kuartil atas), dengan median sebesar 78, yang mendekati rata-rata. Ini menunjukkan bahwa mayoritas wilayah memiliki cakupan imunisasi yang relatif tinggi, meskipun masih ada beberapa wilayah dengan cakupan yang jauh lebih rendah, seperti yang ditunjukkan oleh nilai minimum 51. Meskipun cakupan keseluruhan cukup baik, rentang yang lebar antara nilai minimum dan maksimum mengindikasikan adanya variasi yang signifikan, sehingga penting untuk mengidentifikasi dan mendukung wilayah dengan cakupan yang lebih rendah untuk mencapai pemerataan imunisasi yang lebih baik di seluruh Oceania.

PEMBAHASAN

Uji Normalitas

Uji Normalitas per Variabel Imunisasi

Hipotesis H₀: Masing-masing data cakupan jenis imunisasi tidak berdistribusi normal

H₁: Masing-masing data cakupan jenis imunisasi berdistribusi normal
Tingkat signifikansi

α = 0,05
Daerah kritis

H₀ ditolak jika P-value < α = 0,05
Statistik uji

shapiro.test(Data_CM$Hepatitis_B)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  Data_CM$Hepatitis_B
## W = 0.93931, p-value = 0.5124

shapiro.test(Data_CM$Measles)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  Data_CM$Measles
## W = 0.86412, p-value = 0.06511

shapiro.test(Data_CM$Polio)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  Data_CM$Polio
## W = 0.92525, p-value = 0.3648

Kesimpulan

Karena ketiga nilai p-value, yaitu [0.5124; 0.06511; 0.3648] > 0,05, maka H0 ditolak, yang berarti bahwa Masing-masing data cakupan jenis imunisasi berdistribusi normal.

Uji Normalitas Ketiga Variabel Imunisasi

Hipotesis

H₀:Cakupan jenis imunisasi tidak berdistribusi normal

H₁: Cakupan jenis imunisasi berdistribusi normal

Tingkat signifikansi

α = 0,05
Daerah kritis

H₀ ditolak jika P-value < α = 0,05
Statistik uji

shapiro.test(Data_CM$Imunisasi)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  Data_CM$Imunisasi
## W = 0.94058, p-value = 0.07064

Kesimpulan

Karena nilai p-value yaitu 0.07064 > 0,05, maka H0 ditolak, yang berarti bahwa cakupan jenis imunisasi berdistribusi normal.

Visualisasi Uji Normalitas Shapiro-Wilk Menggunakan Q-Q Plot

qqPlot(Data_CM$Imunisasi, main="QQ Plot", col="lemonchiffon")

## [1] 27 21

Visualisasi Uji Normalitas Shapiro-Wilk Menggunakan Histogram

hist(Data_CM$Imunisasi, col= "lemonchiffon")

Uji Homogenitas

Hipotesis

H₀: \(\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \ldots = \sigma_k^2\)

H₁: \(\sigma_i \neq \sigma_j\) untuk setidaknya satu pasang (i,j)
Tingkat signifikansi

α = 0,05
Daerah kritis

H₀ ditolak jika P-value < α = 0,05
Statistik uji

leveneTest(Data_CM$Imunisasi, Data_CM$Kelompok)

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value Pr(>F)
## group  2  0.1314 0.8774
##       30

Kesimpulan

Karena nilai p-value adalah -.8774 > 0,05, maka H0 tidak ditolak, yang berarti bahwa keempat cakupan jenis imunisasi memiliki variansi yang sama.

Uji Anava Dua Arah

Hipotesis

H₀: \(\mu_1 = \mu_2 = \mu_3\) (Tidak terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan terhadap pemberian keempat jenis imunisasi)

H₁: \(\mu_i \neq \mu_j\), paling sedikit untuk sebuah \(i,j\) (Paling tidak terdapat dua jenis imunisasi yang memiliki perbedaan rata-rata yang signifikan)
Tingkat Signifikansi

α = 0,05
Daerah Kritis

H₀ ditolak jika p-value < 0,05
Statistik Uji

analisis.anova <- aov(Data_CM$Imunisasi~Data_CM$Kelompok, data=NULL)
summary(analisis.anova)

##                  Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Data_CM$Kelompok  2    265   132.5   0.653  0.528
## Residuals        30   6085   202.8

Kesimpulan :

Hasil analisis anava satu arah menunjukkan bahwa sum square yang dihasilkan sebesar 265 dengan mean square sebesar 132.5, serta F-value sebesar 0.653. Lalu, karena nilai p-value atau Pr(>F) sebesar 0.528, dimana nilai tersebut lebih besar dari tingkat signifikansi (α = 0.05), maka H0 gagal ditolak, yang berarti bahwa tidak terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antara pemberian keempat jenis imunisasi di Oceania pada tahun 2015.

Uji Lanjut Menggunakan Uji Tukey

Hipotesis

H₀: \(\mu_i = \mu_j\)

H₁: \(\mu_i \neq \mu_j\) untuk setidaknya satu pasang \((i,j)\)
Tingkat Signifikansi

α = 0,05
Daerah Kritis

H₀ ditolak jika p-value < 0,05
Statistik Uji

TukeyHSD(analisis.anova)

##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = Data_CM$Imunisasi ~ Data_CM$Kelompok, data = NULL)
## 
## $`Data_CM$Kelompok`
##          diff        lwr      upr     p adj
## 2-1 -5.272727 -20.243245  9.69779 0.6640870
## 3-1  1.272727 -13.697790 16.24324 0.9760944
## 3-2  6.545455  -8.425063 21.51597 0.5348752

Kesimpulan :

Hasil analisis menggunakan metode Tukey untuk perbandingan ganda menunjukkan perbedaan rata-rata yang tidak signifikan antara rata-rata pemberian imunisasi antara kelompok-kelompok yang dibandingkan. Tabel tersebut menunjukkan perbedaan rata-rata (diff) antara kelompok-kelompok, beserta interval kepercayaan 95% untuk perbedaan tersebut (lwr: lower, upr: upper), dan nilai p yang telah disesuaikan untuk mengkoreksi multiple comparisons (p adj). Hasil menunjukkan bahwa tidak ada perbedaan signifikan antara rata-rata kelompok 1 dan 2 (p = 0.664), kelompok 1 dan 3 (p = 0.976), serta kelompok 2 dan 3 (p = 0.535). Dengan demikian, tidak terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan dalam pemberian imunisasi antara kelompok-kelompok yang diamati. Dimana hal tersebut memperkuat perhitungan uji anava satu arah sebelumnya.

KESIMPULAN

Berdasarkan perhitungan menggunakan uji ANOVA satu arah, didapatkan hasil bahwa pemberian keempat jenis imunisasi, yaitu polio, campak, dan hepatitis B di Oceania pada tahun 2015 tidak memiliki perbedaan rata-rata yang signifikan. Hal ini menunjukkan bahwa, secara statistik, tidak ada kelompok negara atau wilayah di Oceania yang memiliki cakupan imunisasi yang secara konsisten lebih tinggi atau lebih rendah dibandingkan kelompok lainnya. Dengan kata lain, upaya imunisasi di seluruh wilayah Oceania cenderung merata dan tidak menunjukkan variasi yang besar antara satu negara dengan negara lainnya. Interpretasi ini dapat berarti bahwa program imunisasi di Oceania telah berhasil mencapai tingkat kesetaraan tertentu dalam distribusi vaksin, meskipun mungkin masih ada tantangan di beberapa area. Tidak adanya perbedaan signifikan juga bisa menunjukkan bahwa faktor-faktor seperti dukungan internasional, program vaksinasi massal, dan kampanye kesadaran kesehatan mungkin telah berhasil mengurangi kesenjangan dalam cakupan imunisasi.