1 Masse du banc :

  1. Volume de l’assise : \[ V_{\text{assise}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{épaisseur} \]

  2. Volume d’un pied : \[ V_{\text{pied}} = \text{largeur} \times \text{épaisseur} \times \text{hauteur} \]

  3. Volume total des quatre pieds : \[ V_{\text{pieds}} = 4 \times V_{\text{pied}} \]

  4. Volume d’une traverse longue : \[ V_{\text{longue}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{épaisseur} \]

  5. Volume total des deux traverses longues : \[ V_{\text{total\_longues}} = 2 \times V_{\text{longue}} \]

  6. Volume d’une traverse courte : \[ V_{\text{courte}} = \text{longueur} \times \text{largeur} \times \text{épaisseur} \]

  7. Volume total des deux traverses courtes : \[ V_{\text{total\_courtes}} = 2 \times V_{\text{courte}} \]

  8. Volume total des traverses : \[ V_{\text{total\_traverses}} = V_{\text{total\_longues}} + V_{\text{total\_courtes}} \]

  9. Volume total du banc : \[ V_{\text{total}} = V_{\text{assise}} + V_{\text{pieds}} + V_{\text{total\_traverses}}\]

  10. Masse du banc : \[ \text{Masse} = V_{\text{total}} \times \text{densité} \]

2 Poids du banc :

\[ \text{Poids} = \text{Masse} \times g \]

3.1 Poids du banc :

  1. Force \(P\) : Représente le poids du tabouret (30 N), appliqué au centre de gravité \(G\).
  2. Force \(D\) : Charge supplémentaire (800 N), appliquée verticalement vers le bas à un point à 60 cm de \(G\).
  3. Réactions \(C\) et \(B\) : Les forces de réaction aux points de contact entre les pieds du tabouret et le sol.
  4. L’angle de contact est marqué comme \(A\).

3.2 Forces en B et C

Données :

1. Équilibre des forces verticales :

La somme des forces verticales doit être nulle : \[ B + C = P + D \] \[ B + C = 30 \, N + 800 \, N \] \[ B + C = 830 \, N \]

2. Équilibre des moments autour de \(C\) :

\[ D \times (l - d) + P \times \frac{l}{2} = B \times l \] \[ 800 \, N \times (0.195 \, m - 0.06 \, m) + 30 \, N \times \frac{0.195 \, m}{2} = B \times 0.195 \, m \] \[ 800 \, N \times 0.135 \, m + 30 \, N \times 0.0975 \, m = B \times 0.195 \, m \] \[ 108 \, N \cdot m + 2.925 \, N \cdot m = B \times 0.195 \, m \] \[ 110.925 \, N \cdot m = B \times 0.195 \, m \] \[ B = \frac{110.925 \, N \cdot m}{0.195 \, m} \] \[ B = 568.846 \, N \]

3. Utilisation de \(B\) pour trouver \(C\) :

Nous savons que : \[ B + C = 830 \, N \] \[ 568.846 \, N + C = 830 \, N \] \[ C = 830 \, N - 568.846 \, N \] \[ C = 261.154 \, N \]

Résumé des résultats :

4. Intensité minimal provocant le basculement avec \(E\)

Données :

Pour que le banc bascule, le moment dû à la force \(E\) doit être égal au moment dû au poids \(P\) autour du point \(A\).

Moment dû à \(E\) (sens antihoraire) :

\[ M_E = E \times AE \]

Moment dû à \(P\) (sens horaire) :

\[ M_P = P \times AG \]

Condition d’équilibre des moments pour provoquer le basculement :

\[ M_E = M_P \] \[ E \times AE = P \times AG \]

Substituons les valeurs :

\[ E \times 0.15 \, m = 30 \, N \times 0.0825 \, m \] \[ E \times 0.15 = 2.475 \, N \cdot m \] \[ E = \frac{2.475 \, N \cdot m}{0.15 \, m} \] \[ E = 16.5 \, N \]

L’intensité minimale de la force \(E\) provoquant le basculement du banc est effectivement \(16.5 \, N\).

4. Intensité minimal provocant le basculement avec \(F\)

Données :

Principe :

Pour que le banc bascule, le moment dû à la force \(F\) doit être égal au moment dû au poids \(P\) autour du point \(A\).

Moment dû à \(F\) (sens antihoraire) et moment dû au poids \(P\) (sens horaire) doivent être égaux.

\[ F \times FA = P \times PA \]

\[ F \times 0.207 \, m = 30 \, N \times 0.0825 \, m \] \[ F \times 0.207 \, m = 2.475 \, N \cdot m \] \[ F = \frac{2.475 \, N \cdot m}{0.207 \, m} \] \[ F = 11.96 \, N \]

L’intensité minimale de la force \(F\) provoquant le basculement du banc est de \(11.96 \, N\).