Giáo trình trang 16-30

kiểm định giả thuyết \(H_0: p=0,5\), với đối thuyết \(H_0: p≠0,5\) mức ý nghĩa 5%. Vì cỡ mẫu n = 15 là bé, nên tiêu chuẩn bác bỏ \(H_0\) là:

\(f≥\frac{\frac{x \alpha}{2}}{n}\), hoặc \(f≤ \frac{\frac{\bar{x} \alpha}{2}}{n}\), tức là \(f∉ (\frac{\frac{\bar{x} \alpha}{2}}{n};\frac{\frac{x \alpha}{2}}{n})\)

Từ mẫu ta có: \(n=15, f=\frac{8}{15}\). Với \(\alpha = 0,5\), từ bảng phụ lục 1, điều kiện:

\[ \sum_{x=x_{0,025}}^{15} C_{15}^x.(0,5)^{15}≤ 0,025 \]

cho ta \(x_{0,025}=12\), nên \(\frac{x_{\frac{\alpha}{2}}}{n}=\frac{12}{15}\), và từ điều kiện:

\[ \sum_{x=0}^{\bar{x}_{0,025}} C_{15}^x.(0,5)^{15}≤ 0,025 \]

cho ta \(\bar{x}_{0,025}=3\), nên \(\frac{\bar{x}_{\frac{\alpha}{2}}}{n}=\frac{3}{15}\). Ta có: \(f=\frac{8}{15}∈(\frac{3}{15};\frac{12}{15})\) ta chấp nhận \(H_0:p=0,5\) và như vậy là chưa có cơ sở để cho rằng trong số khách hàng của hệ dịch vụ A, tỷ lệ chọn hai mức phí là khác nhau.

Khoảng tin cậy cho một tỷ lệ

Trong hầu hết các ứng dụng, người ta sử dụng khoảng tin cậy để xác định phạm vi của các giá trị hợp lý cho tham số. Chúng ta biết rằng ước lượng ML cho tỷ lệ \(\mathrm{p}\), tỷ lệ tính chất A trong tổng thể là \(f=f(A)\), tỷ lệ tính chất A trên mẫu và khi cỡ mẫu \(n \rightarrow+\infty\), phân phối của tỷ lệ mẫu \(f\) dần tới phân phối chuẩn, hay phân phối của \(\frac{(f-p) \sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\) dần tới phân phối chuẩn chính tắc. Vậy nên khi cỡ mẫu n “đủ lớn”, người ta có thể xấp xỉ phân phối của \(\frac{(f-p) \sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\) với phân phối chuẩn chính tắc. Tuy nhiên n thế nào là “đủ lớn” để có xấp xỉ nói trên? Trở lại phân phối Nhị thức \(\mathrm{B}(\mathrm{n}, \mathrm{p})\), ta biết rằng khi trung bình n.p của phân phối Nhị thức càng lớn thì phân phối này càng gần với phân phối chuẩn. Mặt khác ta biết rằng \(n \cdot f(A)=\) \(m(A)\) và \(n-n . f(A)\) là số lần xuất hiện và không xuất hiện A trong n lần thử có phân phối \(\mathrm{B}(\mathrm{n}, \mathrm{p})\) và \(\mathrm{B}(\mathrm{n}, 1-\mathrm{p})\). Vậy điều kiện để xấp xỉ phân phối của \(f\) và \(1-\) \(f\) với phân phối chuẩn là \(\mathrm{n}\) đủ lớn sao cho n.p và \(\mathrm{n}(1-\mathrm{p})\) cũng khá lớn. Trong thực hành vì p chưa biết, người ta thay nó bởi ước lượng ML là \(f\), vì vậy điều kiện n.p và \(\mathrm{n} .(1-\mathrm{p})\) khá lớn được thay bằng \(n\). \(f\) và \(n\). \((1-f)\) khá lớn. Vì vậy đối với bài toán ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ, người ta thường yêu cầu cỡ mẫu khá lớn và chia làm hai trường hợp:

Khi \(f\) không quá gần 0 hoặc 1:

Khoảng tin cậy, với độ tin cậy \(\gamma=1-\alpha\) cho tỷ lệ \(p\) là:

\[ \left(f-u\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}, f+u\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right) \]

Chú ý: Thông thường độ tin cậy là \(95 \%\), khi đó khoảng tin cậy cho \(p\) là: \[ \left(f-1,96 . \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}, f+1,96 . \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right) \] và khi không nói gì tới độ tin cậy thì mặc định độ tin cậy là \(95 \%\).

Ví du 4: Trong mẫu điều tra ở ví dụ 2, hãy ước lượng khoảng tin cậy \(95 \%\) cho tỷ lệ người Mỹ ủng hộ việc phá thai hợp pháp cho phụ nữ có thai mà không muốn có con.

Giải: Từ mẫu, ta có tỷ lệ ủng hộ việc phá thai hợp pháp là \(f=0,446\).

Khoảng tin cậy cần tìm có dạng: \(\left(f-1,96 . \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}, f+1,96 . \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right)\) thay số liệu vào ta có: \(f-1,96 . \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}=0,414 ; f+1,96 . \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}=0,478\)

Vậy có thể cho rằng với mức độ tin cậy \(95 \%\) thì tỷ lệ dân số Mỹ ủng hộ việc phá thai hợp pháp cho phụ nữ có thai mà không muốn có con nhiểu hơn là vào khoảng từ \(41,4 \%\) đến \(47,8 \%\).

Khi \(f \leq 0,1\), hoặc \(f \geq 0,9\) :

Trong trường hợp này, việc xấp xỉ phân phối nhị thức bởi phân phối chuẩn nói chung là thô, vì mặc dù cỡ mẫu n khá lớn nhưng có thể \(n . f\) và \(n .(1-f)\) lại không đủ lớn,vậy nên xấp xỉ bởi phân phối Poisson là hợp lý hơn. Vì thế, bài toán khoảng tin cậy cho tỷ lệ \(\pi\) chia làm 2 bước:

Bước 1. Tìm khoảng tin cậy cho \(n . p\) là khoảng \(\left(n p_1, n p_2\right)\), trong đó \(n p_1\), \(n p_2\) tìm được qua tra bảng phụ lục IV, căn cứ vào giá trị tần số mẫu: \(m=\) n.f. (Trong bảng này: cột đầu tiên là giá trị chẵn chục của \(m\) và dòng trên cùng bổ sung chữ số hàng đơn vị của \(m\), giao của hàng (chẵn chục của \(m\) ) và cột (hàng đơn vị của \(m\) ) là ô chứa 2 cận: số trên là \(n p_1\), số dưới là \(\left.n p_2\right)\).

Bước 2. Chia 2 cận \(n p_1, n p_2\) cho \(n\) (cỡ mẫu) nhận được khoảng \(\left(p_1, p_2\right)\) là khoảng tin cậy \(95 \%\) cho tỷ lệ \(p\).

Ví du 5: Điều tra mức thu nhập của 250 hộ dân ở một khu vực, thấy có 7 hộ thu nhập ở mức nghèo khổ. Hãy ước lượng khoảng tin cậy cho tỷ lệ hộ thu nhập ở mức nghèo khổ ở khu vực này.

Giải: Gọi p là tỷ lệ hộ có thu nhập ở mức nghèo khổ của khu vực. Từ mẫu điều tra có tỷ lệ hộ có thu nhập ở mức nghèo khổ là: \(f=\frac{7}{250}=0,014<0,1\). Vậy ta tìm khoảng tin cậy cho p theo các bước sau:

- Ước lượng khoảng tin cậy cho n.p: Với \(m=n . f=7\), tra bảng phụ lục IV, có khoảng tin cậy cho n.p là: \((2,31 ; 14,42)\).

-Suy ra khoảng tin cậy cho p là: \((0,00924 ; 0,05768)\).

Vậy với độ tin cậy \(95 \%\), có thể cho rằng tỷ lệ hộ có mức thu nhập nghèo khổ ở khu vực này vào khoảng từ \(0,0924 \%\) đến \(5,768 \%\).

Nhận xét: Với trường hợp mẫu này, nếu ta cố xấp xỉ phân phối của \(f\) với phân phối chuẩn, tức là dùng công thức 1.5.1a, thì ước lượng sẽ quá thô, thậm chí có cận dưới: \[ f-1,96 . \sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}=0,014-1,96 . \sqrt{\frac{0,014(1-0,014)}{250}}=-0,0321<0 . \]

Chú ý: Trong thực hành, kiểm định \(H_0: p=0,5\) chỉ yêu cầu \(n>10\) trong khi kiểm định \(H_0: p=0.1\) hoặc \(H_0: p=0.9\) yêu cầu \(n>50\). Yêu cầu về kích cỡ mẫu phản ánh sự thay đổi ngày càng lệch của việc phân phối mẫu của \(f\) khi \(p\) đạt đến 0 hoặc 1.

Tóm lại, chương này đã giới thiệu hai phân phối chính cho phân tích dữ liệu định tính: nhị phân và Poisson. Đồng thời chúng tôi cũng đã giới thiệu phương pháp ước lượng hợp lý cực đại và minh hoạ việc sử dụng nó cho dữ liệu tỷ lệ. Phần còn lại của nội dung sử dụng suy luận ML cho các tham số nhị phân và Poisson trong nhiều trường hợp khác nhau.

Bài tập chương 1

1.1. Trong các ví dụ sau, xác định biến đáp ứng và các biến giải thích.

a. Thái độ đối với kiểm soát súng (ủng hộ, phản đối), giới tính (nữ, nam), Giáo dục của mẹ (trung học, cao đẳng).

b. Bệnh tim (có, không), Huyết áp, Mức cholesterol (Cholesterol).

c. Chủng tộc (trắng, không trắng), Tôn giáo (Công giáo, Do Thái, Tin lành), Bình chọn Tổng thống (Dân chủ, Cộng hòa, Khác), Thu nhập hàng năm.

1.2. Thang đo nào phù hợp nhất cho các biến sau đây- danh nghĩa, hoặc thứ tự?

a. Liên kết đảng chính trị (Dân chủ, Cộng hòa, không liên kết).

b. Có bằng cao nhất (không có, trung học, cử nhân, thạc sĩ, tiến sĩ).

c. Tình trạng bệnh nhân (tốt, công bằng, nghiêm trọng, phê bình).

d. Vị trí của bệnh viện (London, Boston, Madison, Rochester, Toronto).

e. Nước giải khát yêu thích (bia, nước trái cây, sữa, nước ngọt, rượu vang, khác).

1.3. Các tấm silicon cho chip máy tính được sản xuất bởi một công ty công nghệ cao có một số khuyết tật trung bình là 1.0 mỗi tấm. Nếu số lượng khuyết tật có phân phối Poisson, tìm xác suất mà một tấm có (a) đúng 0 khiếm tật, (b) đúng 1 khiếm tật, (c) ít nhất 2 khiếm khuyết.

1.4. Mỗi trong 100 câu hỏi trắc nghiệm trong một kỳ thi có bốn đáp án có thể nhưng chỉ có một đáp án đúng. Đối với mỗi câu hỏi, học sinh chọn ngẫu nhiên một đáp án là câu trả lời. Xác định phân phối số câu trả lời đúng của học sinh trong kỳ thi. Dựa trên trung bình và độ lệch chuẩn của bản phân phối đó, liệu có đáng ngạc nhiên nếu học sinh có ít nhất 50 câu trả lời đúng?

1.5. Một đồng xu cân đối được tung hai lần. Gọi là số lượng mặt sấp thu được.

a. Xác định xác suất cho các giá trị có thể cho , giá trị trung bình và phương sai của Y.

b. Tính các xác suất cho phân phối Poisson có cùng giá trị trung bình của Y. Sự khác biệt của nó so với phương sai trong (a) như thế nào?

c. Đối với mỗi lần tung một đồng xu không đồng chất, gọi 𝜋 là biểu thị xác suất của mặt sấp. Giả sử có 0 mặt sấp trong 2 lần tung. Tìm ước lượng ML của 𝜋.

1.6. Quay lại các bài tập trước đó.

a. Tính các xác suất nhị thức cho \(n=2\) khi xác suất của mặt sấp cho mỗi lần tung bằng (i) \(\pi=0.6\), (ii) \(\pi=0.4\).

b. Giả sử chúng ta quan sát \(Y=1\). Tính toán và phác hoạ hàm hợp lý.

c. Sử dụng hàm hợp lý vẽ từ (b), chỉ ra ước lượng ML của \(\pi=0.5\).

1.7. Trong cuốn tự truyện A Sort of Life, tác giả người Anh Graham Greene mô tả giai đoạn trầm cảm nghiêm trọng trong thời gian đó ông chơi Russian Roulette. “Trò chơi” này bao gồm đặt một viên đạn vào một trong sáu khoang súng, quay các buồng để chọn ngẫu nhiên, và sau đó nhằm một đầu người và bóp cò.

a. Greene chơi game này sáu lần, và may mắn là không ai trong số họ đã bị bắn một viên đạn. Tìm xác suất của kết quả này.

b. Giả sử một người tiếp tục chơi trò chơi này cho đến khi đạn bắn trúng đích. Gọi Y là số viên đạn đã bắn. Chứng tỏ rằng xác suất của kết quả y bằng với \((5/6)^{y-1}(1/6)\) , cho y=1,2,3,… (được gọi là phân phối hình học).

1.8. Một mẫu gồm những phụ nữ bị chứng khó thở do thuốc nhuộm đã dùng thuốc giảm đau được chỉ định để làm giảm tác hại. Một thuốc giảm đau mới được tuyên bố hiệu quả hơn. Sau khi thử thuốc giảm đau mới, 40 phụ nữ cho thấy giảm đau hơn với thuốc đã chỉ định, và 60 người cho biết có giảm đau tốt hơn với loại thuốc mới.a. Hãy kiểm định giả thuyết cho rằng khả năng làm giảm đau của loại thuốcđã chỉ định và của loại thuốc mới là như nhau.b. Xây dựng và giải thích khoảng tin cậy 95% cho xác suất giảm đau tốt hơn của thuốc giảm đau mới.

1.9. Trở lại các bài toán trước. Các nhà nghiên cứu muốn có một mẫu đủ lớn để có thể ước lượng xác suất lựa chọn thuốc giảm đau mới với độ chính xác 0.08, với độ tin cậy 0.95.

1.10. Tạp chí Newsweek (27/3/1989) báo cáo kết quả cuộc thăm dò ý kiến tôn giáo, do Tổ chức Gallup tiến hành. Trong số 750 người Mỹ trưởng thành, 24% tin vào luân hồi. Xem đây như là một mẫu ngẫu nhiên, xây dựng và giải thích một khoảng tin cậy 95% cho tỷ lệ thực sự của người lớn Mỹ tin tưởng vào luân hồi.

1.11. Một nhà tội phạm học muốn ước tính tỷ lệ công dân Mỹ sống trong một căn nhà có súng ống. Cuộc Khảo sát Xã hội năm 1991 đã hỏi những người trả lời, “Trong nhà bạn ở có bất kỳ súng hoặc súng lục ổ quay nào?” Trong số những người được hỏi, 393 trả lời “có” và 583 trả lời “không”. Xây dựng khoảng tin cậy 90% cho tỷ lệ thực của “có”. Giải thích.

1.12. Giả sử \(Y\) là một biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p), và \(f=Y/n\) . Chỉ ra rằng \(σ(f)=\sqrt{p(1-p)/n}\) .

1.13. Một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson, với tham số chưa biết \(μ\) . Quan sát duy nhất bằng 0.

a. Tìm và vẽ các hàm hợp lý trên không gian các giá trị có thể có của các giá trị cho \(μ\) .

b. Ước lượng ML của \(μ\) là gì?

1.14. Tìm ước lượng ML cho tham số 𝜆 của phân phối mũ.

1.15. Chỉ ra một giá trị \(p_0\) với thống kê \(z=(f-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\) nhận một vài giá trị cố định là lời giải của phương trình \((1+z_0^2 /n)\pi_0^2+(-2f-z_0^2/n)p_0+f^2\) . Từ đó, sử dụng công thức \(x=-b±\sqrt{b^2-4ac}/2a\) để giải phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\), lấy các giới hạn cho khoảng tin cậy 95% trong ví dụ 3 cho tỷ lệ Người Mỹ ủng hộ phá thai hợp pháp.

Chương 2: BẢNG NGẪU NHIÊN VÀ SUY DIỄN THỐNG KÊ

Phân tích các mối quan hệ trong một véc tơ quan sát là trọng tâm của hầu hết các phân tích thống kê đa biến. Chương này đề cập đến mối quan hệ giữa hai biến định tính và phần cuối đề cập đến quan hệ của nhiều biến định tính. Trong đó giới thiệu các tham số mô tả sự kết hợp và đưa ra các phương pháp suy diễn cho các tham số đó.

Nhiều ứng dụng liên quan đến việc so sánh giữa hai nhóm. Phần 2.1 sẽ trình bày cấu trúc xác suất cho bảng ngẫu nhiên. Phần 2.2 sẽ trình bày các phương pháp phân tích sự khác biệt về tỷ lệ. Phần 2.3 trình bày về độ đo odd ratio, đóng vai trò rất quan trọng đối với một số phương pháp được đề cập trong nội dung học phần này. Phần 2.4 và 2.5 giới thiệu một số phương pháp phân tích để trả lời câu hỏi có tồn tại hay không sự liên kết giữa hai biến định tính. Phần 2.6 là mở rộng cho bảng ngẫu nhiên nhiều chiều.

Cấu trúc xác suất cho các bảng ngẫu nhiên

Dữ liệu định tính là tần số suất hiện các biểu hiện của các biến. Cho X và Y là hai biến định tính, X có \(k\) biểu hiện: \(A_1, A_2,...,A_k\) và Y có \(m\) biểu hiện: \(B_1, B_2, ...,B_m\). Chúng ta có thể sử dụng một bảng gồm \(k\) hàng và \(m\) cột để thể hiện kết quả có thể xảy ra từ việc khảo sát:

Bảng 2.1

X \ Y	\(B_1\)	\(B_2\)	…	\(B_m\)
\(A_1\)	\(n_{11}\)	\(n_{12}\)	…	\(n_{1m}\)
\(A_2\)	\(n_{21}\)	\(n_{22}\)	…	\(n_{2m}\)
…	…	…	…	…
\(A_k\)	\(n_{k1}\)	\(n_{k2}\)	…	\(n_{km}\)

Bảng này được gọi là bảng ngẫu nhiên hai chiều \(k×m\) trong đó \(n_{ij}\) là số lần quan sát được cặp thuộc tính \((A_i, B_j)\), còn gọi là tần số của \((A_i, B_j)\). Một bảng ngẫu nhiên hai biến được gọi là bảng hai chiều; một bảng ngẫu nhiên 3 biến gọi là bảng ngẫu nhiên 3 chiều. Thường thì khi trình bày bảng dữ liệu 2 chiều, người ta không kẻ đường phân chia cột mà chỉ kẻ một số đường ngang cần thiết.

Ví dụ 1: Khảo sát 1.091 người Mỹ về niềm tin của họ đối với thế giới bên kia (sau khi chết): 435 nữ tin và 147 nữ không tin hoặc không đưa ra quyết định; 375 tin. Vấn đề là có tồn tại mối liên hệ giữa giữa giới tính và niềm tin vào thế giới bên kia không?

Trong mối quan hệ này, biến Giới tính (có hai thuộc tính: “Nam” và “Nữ”) là biến giải thích, biến “Niềm tin vào thế giới bên kia” (có 2 thuộc tính: “Tin” và “Không tin”) là biến đáp ứng (hay biến phụ thuộc). Dữ liệu nói trên được trình bày bởi bảng ngẫu nhiên 2 chiều 2×2 theo một trong hai dạng sau:

Nguồn: Data from 1991 General Social Survery
Bảng 2.2. Kết quả điều tra về niềm tin vào thế giới bên kia theo giới tính

Giới tính	Niềm tin vào thế giới bên kia
	Tin	Không tin hoặc không quyết định
Nữ Nam	435 375	147 134

Hoặc

Bảng 2.3

Giới tính \ Niềm tin	Có	Không
Nữ	435	147
Nam	375	134

Phân phối đồng thời, phân phối biên duyên và xác suất có điều kiện

Trước tiên chúng ta trình bày một số khái niện cơ bản của xác suất cho các bảng ngẫu nhiên hai chiều. Giả sử rằng mỗi quan sát trong mẫu được chọn ngẫu nhiên từ một tổng thể và mỗi quan sát gắn liền với 2 biến ngẫu nhiên nhị phân X và Y. Đặt \(\pi_{ij}=P(X=A_i,Y=B_j)\) là xác suất để (X,Y) nhận giá trị \((A_i, B_j)\). \(\pi_{ij}\) gọi là phân phối xác suất đồng thời của X và Y và thỏa \(\sum_{ij}\pi_{ij}=1\).

Phân phối xác suất biên duyên là tổng theo từng hàng và từng cột của bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y và được ký hiệu là {\({\pi_{i+}}\)} và {\({\pi_{+j}}\)}, dấu + kí hiệu cho việc tổng theo hàng hoặc cột tùy vào vị trí của nó nằm ở vị trí hàng hay cột, nghĩa là: \(\pi_{i+}=\pi_{i1}+\pi_{i2}\) và \(\pi_{+j}=\pi_{1j}+\pi_{2j}\)

Phân phối đồng thời và phân phối biên duyên của các biến nhị phân X, Y được thể hiện qua bảng sau:

Bảng 2.4

X\Y	\(B_1\)	\(B_2\)	\(\pi_{i+}\)
\(A_1\)	\(\pi_{11}\)	\(\pi_{12}\)	\(\pi_{1+}\)
\(A_1\)	\(\pi_{21}\)	\(\pi_{22}\)	\(\pi_{2+}\)
\(\pi_{+j}\)	\(\pi_{+1}\)	\(\pi_{+2}\)	1

Tương tự chúng ta ký hiệu \(n_{ij}\) là số quan sát có biểu hiện \(A_i\) đối với X và \(B_j\) đối với Y, ký hiệu \(f_{ij} = n_{ij}/n\) với \(n =\sum n_{ij}\) . Bảng sau đây gọi là bảng phân phối mẫu đồng thời và phân phối mẫu biên duyên của các biến nhị phân X, Y:

Bảng 2.5

X\Y	\(B_1\)	\(B_2\)	\(f_{i+}\)
\(A_1\)	\(f_{11}\)	\(f_{12}\)	\(f_{1+}\)
\(A_1\)	\(f_{21}\)	\(f_{22}\)	\(f_{2+}\)
\(f_{+j}\)	\(f_{+1}\)	\(f_{+2}\)	1

Trong nhiều bảng ngẫu nhiên, một biến (thường là biến cột, Y) là biến đáp ứng và biến khác (biến hàng, X) là biến giải thích, với mỗi giá trị của X là thông tin để xây dựng một phân phối xác suất riêng cho Y, phân phối như vậy gọi là phân phối xác suất có điều kiện của Y tương ứng với từng giá trị của X.

Với hai biến nhị phân của \(X, Y\) nói trên:

- Phân phối có điều kiện của Y với điều kiện \(X = A_1\) là:

Y	\(B_1\)	\(B_2\)	\(\sum\)
\(P\)	\(\pi_{11}/\pi_{1+}\)	\(\pi_{12}/\pi_{1+}\)	1

-Phân phối mẫu có điều kiện của \(Y\) với điều kiện \(X=A_1\) là:

Y	\(B_1\)	\(B_2\)	\(\sum\)
\(P\)	\(f_{11}/f_{1+}\)	\(f_{12}/f_{1+}\)	1

-Phân phối có điều kiện của Y với điều kiện \(X=A_2\) là:

Y	\(B_1\)	\(B_2\)	\(\sum\)
\(P\)	\(\pi_{21}/\pi_{2+}\)	\(\pi_{22}/\pi_{2+}\)	1

-Phân phối mẫu có điều kiện của \(Y\) với điều kiện \(X=A_2\) là:

Y	\(B_1\)	\(B_2\)	\(\sum\)
\(P\)	\(f_{21}/f_{2+}\)	\(f_{22}/f_{2+}\)	1

Ví dụ 2: Từ bảng 2.2, là một bảng ngẫu nhiên 2 chiều với tổng số quan sát là 1091 được định tính theo giới tính X và niềm tin Y của họ sau khi chết, ta có bảng:

Bảng 2.6

X\Y	Có	Không	\(n_{i+}\)
Nữ	435	147	\(n_{1+}=582\)
Nam	375	134	\(n_{2+}=509\)
\(n_{+j}\)	\(n_{+1}=810\)	\(n_{+2}=281\)	\(n=1091\)

Tính theo công thức: \(f_{ij}=\frac{n_{ij}}{n}\), ta nhận được một thể hiện của phân phối mẫu đồng thời và phân phối mẫu biên duyên của các biến X (giới tính: Nam, Nữ) và Y (niềm tin: Có, Không):

Bảng 2.7

X\Y	Có	Không	\(f_{i+}\)
Nữ	\(f_{11}=0,3987\)	\(f_{12}=0,1348\)	\(f_{1+}=0,5335\)
Nam	\(f_{21}=0,3437\)	\(f_{22}=0,1228\)	\(f_{2+}=0,4665\)
\(f_{+j}\)	\(f_{+1}=0,7424\)	\(f_{+2}=0,2576\)	1

Chúng ta sẽ tìm phân phối mẫu có điều kiện của niềm tin vào thế giới bên kia với giới tính.

- Đối với phụ nữ, tỷ lệ trả lời “có tin vào thế giới bên kia” là \(435/582 = 0,7473\); và trả lời “không tin vào thế giới bên kia” là \(147/582 = 0,2527\).

- Đối với đàn ông, tỷ lệ trả lời “có tin vào thế giới bên kia” là \(375/509 = 0,7367\); và trả lời “không tin vào thế giới bên kia” là \(147/582 = 0,2633\).

Sự độc lập

Hai biến được cho là độc lập về mặt thống kê nếu các phân phối có điều kiện của \(Y\) là không thay đổi khi \(X\) thay đổi giá trị. Khi hai biến độc lập, xác suất của bất kỳ phản ứng nào của cột \(j\) giống nhau ở mỗi hàng. Ví dụ, niềm tin vào một thế giới bên kia là không phụ thuộc vào giới tính nếu xác suất vào thế giới bên kia của cả nam và nữ là 0,7367.

Khi cả hai biến là các biến đáp ứng, người ta có thể mô tả mối quan hệ của chúng bằng cách sử dụng phân phối đồng thời của chúng, hoặc phân phối có điều kiện của \(Y\) theo \(X\) hoặc phân phối có điều kiện của \(X\) theo \(Y\). Tính độc lập thống kê sẽ tương đương với tính chất xác suất đồng thời bằng với tích các xác suất biên nghĩa là

\[ \pi_{ij}=\pi_{i+}.\pi_{+j},∀i,j \]

Phân phối đa thức

Mô hình phân phối Nhị thức và mô hình phân phối Poisson đã được trình bày trong chương 1. Trong phần này sẽ giới thiệu về phân phối đa thức. Theo một nghĩa nào đó thì phân phối đa thức là sự mở rộng của phân phối Nhị thức.

Mô hình phân phối đa thức

Xét một dãy \(n\) phép thử độc lập , trong mỗi phép thử có một và chỉ một trong \(k\) sự kiện \(A_1,A_2,...,A_k\) xảy ra với xác suất tương ứng \(p_1, p_2, ..., p_k, (p_1+p_2+...+p_k)\) (tức là trong mỗi phép thử, \(k\) biến cố này lập thành một hệ đầy đủ). Gọi \(X_i\) là số lần xuất hiện sự kiện \(A_i (i=1, 2, ..., k)\) trong \(n\) lần thử. Khi đó luật phân phối của véc tơ ngẫu nhiên \(X=(X_1, X_2, ..., X_k)\) được gọi là phân phối đa thức \(k\) chiều với các tham số \(n, p_1, p_2,..., p_{k-1}\)

Phân phối xác suất của véc tơ ngẫu nhiên có phân phối đa thức k chiều.

Giả sử \(X = (X_1, X_2,… , X_k)\) là véc tơ ngẫu nhiên có phân phối đa thức k chiều. Ta biết rằng mỗi thành phần \(X_i ~ B(n,p_i) (i=1,2,...,k)\) và: \(X_1+X_2+...+X_k =n\), vì thế mà véc tơ \(X = (X_1, X_2,… , X_k)\) là véc tơ ngẫu nhiên rời rạc k chiều, mỗi giá trị của nó là một điểm k chiều có tọa độ nguyên không âm: \((r_1, r_2, ..., r_k)\), sao cho: \(r_1+r_2+...+r_k =n\). Mỗi kết cục thuận lợi cho biến cố (\(X_1=r_1, X_2=r_2,...,X_k =r_k)\) là một dãy gồm n sự kiện liên kết với nhau bởi phép giao, trong đó: sự kiện \(A_1\) xuất hiện \(r_1\) lần, sự kiện \(A_2\) xuất hiện \(r_2\) lần, ,…, sự kiện \(A_k\) xuất hiện \(r_k\) lần. Như vậy số kết cục thuận lợi cho biến cố \((X_1=r_1, X_2=r_2,...,X_k =r_k)\) chính là số cách chọn \(r_1\) vị trí cho \(A_1, r_2\) vị trí cho \(A_2, \ldots, r_k\) vị trí cho \(A_k\) trong dãy \(\mathrm{n}\) vị trí nói trên, tức là bằng: \[ C_n^{r_1} \cdot C_{n-r_1}^{r_2} \cdot C_{n-r_1-r_2}^{r_3} \ldots . C_{n-r_1-r_2-\cdots r_{k-2}}^{r_{k-1}}=\frac{n!}{r_{1}!r_{2}!\ldots r_{k}!} \]

Mặt khác do các lần thử độc lập nhau nên mỗi kết cục này đều có xác suất là:

\(p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \ldots . . p_k^{r_k}\)

Từ đó ta nhận được phân phối xác suất của véc tơ ngẫu nhiên có phân phối đa thức \(k\) chiều:

\(P\left(X_1=r_1, X_2=r_2, \ldots, X_k=r_k\right)=\frac{n!}{r_{1}!r_{2}!\ldots r_{k}!} \cdot p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \ldots . . p_k^{r_k}\) (2.1.1)

với mọi điểm \(\left(r_1, r_2, \ldots, r_k\right)\) có tọa độ nguyên, không âm mà: \(r_1+r_2+\cdots+r_k=n\).

Nhận xét:

- Đối với véc tơ ngẫu nhiên \(X=\left(X_1, X_2, \ldots, X_k\right)\) có phân phối đa thức \(k\) chiều, với các tham số \(n, p_1, p_2, \ldots, p_{k-1}\), ta có véc tơ kỳ vọng:

\(E X=\left(E X_1, E X_2, \ldots, E X_k\right)=\left(n p_1, n p_2, \ldots, n p_k\right)\)

- Phân phối đa thức với \(k=2\), là phân phối đồng thời của 2 biến nhị thức \(X_1\), \(n-X_1\), trong đó \(X_1 \sim \mathrm{B}\left(\mathrm{n}, p_1\right)\), \(\left(\mathrm{n}-X_1\right) \sim \mathrm{B}\left(\mathrm{n}, 1-\mathrm{p}_1\right)\).

Ví dụ 3. Mỗi khách hàng vào hệ dịch vụ A có thể chọn một trong 3 mức phí phục vụ: 100 ngàn đồng, 150 ngàn đồng và 200 ngàn đồng. Được biết lượng khách chọn các mức phí này tương ứng theo tỷ lệ: 5: 3: 2. Có 3 khách hàng vào hệ dịch vụ A và họ độc lập nhau trong việc chọn phí dịch vụ. Tìm xác suất để trong số đó có ít nhất 2 khách chọn mức phí 200 ngàn đồng.

Giải: Gọi \(X_1, X_2, X_3\) lần lượt là số khách chọn mức phí 100 ngàn đồng, 150 ngàn đồng, 200 ngàn đồng trong số 3 khách nói trên. Khi đó véc tơ \(X=(X_1, X_2, X_3)\) là véc tơ ngẫu nhiên có phân phối đa thức 3 chiều. Ký hiệu S là biến cố trong số 3 khách hàng có ít nhất 2 khách chọn mức phí 200 ngàn đồng, ta có biểu diễn:

\(S=(X_1=0, X_2=1, X_3=2) \cup(X_1=1, X_2=0, X_3=2) \cup(X_1=0, X_2=0, X_3=3)\)

Từ đó suy ra xác suất cần tính:

\(P(S)=\frac{3!}{0!1!2!} \cdot 0,3 \cdot 0,2^2+\frac{3!}{1!0!2!} \cdot 0,5 \cdot 0,2^2+\frac{3!}{0!0!3!} \cdot 0,2^3=0,\)

Lấy mẫu cho phân phối Poisson, Nhị thức và Đa thức

Các mô hình lấy mẫu được giới thiệu trong phần 1.3 được mở rộng ra cho tần số trong các ô của bảng ngẫu nhiên. Ví dụ, mô hình lấy mẫu Poisson cho bảng hai chiều \(2 \times 2\), các ô trong bảng được xem như là các biến Poisson độc lập.

Khi các hàng của một bảng ngẫu nhiên đại diện cho các nhóm khác nhau, cỡ mẫu cho các nhóm này thường đã được cố định trước trong giai đoạn thiết kế mẫu. Để đơn giản, chúng ta sẽ trình bày về điều này cho bảng \(2 \times 2\) cho hai biến \(X\) (biến giải thích) và \(Y\) (biến đáp ứng). Khi tổng số cận biên cho các biểu hiện của \(X\) được cố định chứ không phải ngẫu nhiên, một phân phối chung cho \(X\) và \(Y\) không còn ý nghĩa nữa, nhưng phân phối có điều kiện cho \(Y\) ở mỗi biểu hiện của \(X\) thì có ý nghĩa.

Khi tổng cỡ mẫu trong bảng được cố định nhưng tổng của hàng hoặc cột không cố định, mô hình lấy mẫu đa thức là phù hợp, trong đó các ô là những kết quả có thể xảy ra. Chẳng hạn, bảng 2.1 định tính một mẫu ngẫu nhiên của 1.091 đối tượng theo giới tính và niềm tin vào thế giới bên kia. Giá trị trong 4 ô là tần số của phân phối đa thức bốn chiều.

Đối với các mẫu của phân phối đa thức trên các ô của một bảng ngẫu nhiên, các cột là biến đáp ứng và các hàng là biến giải thích. Sau đó, để mô tả dữ liệu, một cách hợp lý, ta phân chia các ô đếm theo tổng số hàng để tạo thành phân phối có điều kiện về đáp ứng. Khi làm như vậy, chúng ta vốn đã xử lý các tổng số hàng là cố định và phân tích dữ liệu giống như khi chúng hình thành các mẫu độc lập riêng biệt. Ví dụ như trong Bảng 2.1, chúng ta có thể coi kết quả cho nữ giới như một mẫu nhị thức với các loại kết quả là “có” và “không hoặc không quyết định” cho niềm tin vào một thế giới bên kia, và kết quả cho nam giới như một mẫu nhị thức độc lập về cùng một phản ứng. Nếu có nhiều hơn hai loại phản hồi, chẳng hạn như (“có”, “không”, “không quyết định”), chúng ta sẽ coi các mẫu là mẫu đa thức độc lập.

Đối với hầu hết các phân tích, người ta không cần quan tâm về mô hình lấy mẫu nào có ý nghĩa nhất. Đối với các phương pháp suy diễn chính trong tài liệu này, các mô hình lấy mẫu là Poisson, đa thức.

So sánh tỷ lệ trong một bảng hai chiều

Biến đáp ứng có hai biểu hiện được gọi là biến nhị phân. Ví dụ, “niềm tin vào thế giới bên kia” là nhị phân khi được đo bằng các biểu hiện (có, không). Nhiều nghiên cứu cần so sánh giữa hai nhóm đối với đáp ứng nhị phân của biến \(Y\). Dữ liệu có thể được hiển thị trong bảng ngẫu nhiên \(2 \times 2\), trong đó các hàng là hai nhóm và các cột là mức phản ứng của \(Y\). Phần này trình bày các phương pháp để so sánh mức độ phản ứng trên biển nhị phân.

Sự khác biệt giữa hai tỷ lệ

Với biến đáp ứng nhị phân Y, chúng ta sử dụng thuật ngữ chung “thành công” cho một đáp ứng và “thất bại” đối với đáp ứng còn lại. Đối với các đối tượng trong hàng i, ký hiệu \(\pi_i\) là xác suất thành công thì \(1-\pi_i\) là xác suất của một thất bại. Cặp xác suất \(\left(\pi_i, 1-\pi_i\right)\) là phân phối xác suất có điều kiện của Y trong hàng i.

Định nghĩa 1: Khác biệt của 2 tỷ lệ: \(\pi_1-\pi_2\) so sánh xác suất thành công của hai hàng.

Ta có: \(-1 \leq \pi_1-\pi_2 \leq 1\) và \(\pi_1-\pi_2=0 \Leftrightarrow \pi_1=\pi_2\).

TRANG 28

Ký hiệu \(f_i\) là tỷ lệ mẫu của biểu hiện “thành công” ở hàng thứ \(i(i=1,2)\), sự khác biệt \(\pi_1-\pi_2\) giữa hai tỷ lệ sẽ được ước lượng bởi \(f_1-f_2\).

Và khi cỡ mẫu n khá lớn, chúng ta có công thức ước lượng khoảng tin cậy với độ tin cậy \(\gamma=1-\alpha\), cho sự sai khác về tỷ lệ: \(\pi_1-\pi_2\) là:

\(((f_1-f_2)-u_{\frac{\alpha}{2}} \hat{\sigma}(f_1-f_2),(f_1-f_2)+u_{\frac{\alpha}{2}} \hat{\sigma}(f_1-f_2))\) (2.2.1)

với: \(\quad \hat{\sigma}\left(f_1-f_2\right)=\sqrt{\frac{f_1\left(1-f_1\right)}{n_{1+}}+\frac{f_2\left(1-f_2\right)}{n_{2+}}}\) (2.2.2)

và \(u_{\alpha / 2}\) tra trong bảng phân phối chuẩn chính tắc theo hệ thức: \(\Phi(u_\lambda)=1-\lambda\).(\(u_\lambda\) được gọi là giá trị tới hạn mức \(\lambda\) của phân phối chuẩn chính tắc).

Ví du 4: Dựa vào điều tra ở bảng 2.2, cần ước lượng khoảng tin cậy 95% cho sai khác về tỷ lệ tin vào thế giới bên kia giữa phụ nữ và đàn ông Mỹ.

Với \(\gamma=1-\alpha=0,95\), có \(\alpha=0,05, u_{\frac{\alpha}{2}}=u_{0,025}=1,96\). Từ bảng 2.2, có:

\(f_1=\frac{n_{11}}{n_{1+}}=0,7473 ; f_2=\frac{n_{21}}{n_{2+}}=0,7367 ; \hat{\sigma}(f_1-f_2)=0,0266;\)

\((f_1-f_2)-u_{\alpha/2}\hat{\sigma}(f_1-f_2)=-0,0415 ;(f_1-f_2)+u_{\alpha / 2} \hat{\sigma}(f_1-f_2)=0,0627\)

Vậy khoảng tin cậy \(95 \%\) cho sai lệch này là: \((-0,0415 ; 0,0627)\).

Ví du 5: Bảng 2.8 là số liệu báo cáo về mối quan hệ giữa sử dụng thuốc aspirin và bệnh nhồi máu cơ tim (myocardial infarction) do nhóm nghiên cứu sức khoẻ của các bác sĩ tại Trường y Harvard. Nghiên cứu được thực hiện trong thời gian 5 năm trên những người bị bệnh tim được chọn một cách ngẫu nhiên và chia làm hai nhóm: Nhóm dùng aspirin và nhóm dùng giả dược (placebo). Mỗi ngày, các bác sĩ sẽ cho bệnh nhân uống một viên aspirin hoặc một viên giả dược.

	Myocardial Infarction
Group	Yes	No	Total
Placebo	189	10845	11034
Aspirin	104	10933	11037

Nguồn: Preliminary Report: Findings from the Aspirin Component of the Ongoing Physicians’ Health Study. N. Engl. J. Med., 318: 262-264 (1988)

Bảng 2.8. Cross Classification of Aspirin Use and Myocardial Infarction (MI)

Chúng ta xem hai hàng trong Bảng 2.8 như là các mẫu nhị phân độc lập, trong hàng 1 : \(\mathrm{n}_{1+}=11034\) người và có 189 người bị nhồi máu cơ tim tỷ lệ là \(f_1= 189 / 11034=0,171\), trong hàng 2 : \(\mathrm{n}_{2+}=11037\) người và có 104 bị nhồi máu cơ tim tỷ lệ là \(f_2=104 / 11037=0,0094\), và: \(u_{\frac{\alpha}{2}} \hat{\sigma}\left(f_1-f_2\right)=1,96 .(0,015)=0,0294\). Áp dụng công thức trên với độ tin cậy 95% chúng ta khoảng tin cậy 95% cho \(\pi_1-\pi_2\) là: \((0,005;0,011)\), hay \(0,005<\pi_1-\pi_2<0,011\left(0,5 \%<\pi_1-\pi_2<1,1 \%\right)\) nghĩa là giữa người uống và không uống thuốc asparin thì tỷ lệ bị nhồi máu cơ tim có sự khác biệt từ 0,5 đến 1,1%.

Rủi ro tương đối (relative risk)

Sự khác biệt giữa hai tỷ lệ \(\pi_1\) và \(\pi_2\) được đánh giá qua sai số tuyệt đối \(\left(\pi_1-\right.\) \(\pi_2\) ) chỉ dựa vào khoảng cách giữa hai tỷ lệ này mà bỏ qua độ lớn và ý nghĩa của chúng, nghĩa là khoảng cách như nhau thì đánh giá sai lệch như nhau. Chẳng hạn khi \(\pi_1=0,01\) và \(\pi_2=0,001\) và khi \(\pi_1=0,410\) và \(\pi_2=0,401\) đều được đánh giá là có sai lệch như nhau (cùng mức sai lệch là 0,009 ). Tuy nhiên nếu chỉ dựa vào khoảng cách này để đánh giá, so sánh hai tương quan giữa hai tỷ lệ thì không đủ, thậm chí sẽ bỏ qua những ý nghĩa quan trọng của sự tương quan của chúng, đặc biệt là khi hai tỷ lệ này cùng gần 0 hoặc cùng gần 1 , hoặc cùng gần 0,5 .

Ví dụ khi chúng ta so sánh \(\pi_1\) và \(\pi_2\) là tỷ lệ bị tác dụng phụ (phản ứng bất lợi) của hai loại thuốc, trong hai trường hợp:

- Trường hợp 1: Sự khác biệt nằm trong khoảng từ 0,001 đến 0,01 .

- Trường hợp 2: Sự khác biệt nằm trong khoảng từ 0,401 đến 0,410 .

Cả hai trường hợp này, sự khác biệt về tỷ lệ bị tác dụng phụ là như nhau (đều là 0,009\()\). Nhưng nếu ta để ý đến tỷ số \(\frac{\pi_1}{\pi_2}\), thì ở trường hợp \(1: \frac{\pi_1}{\pi_2}=10\), cho thấy khi bệnh nhân điều trị, phản ứng bất lợi của loại thuốc thứ nhất gấp 10 lần loại thuốc thứ hai, còn ở trường hợp 2: \(\frac{\pi_1}{\pi_2}=1,0224\), cho thấy khi bệnh nhân điều trị, phản ứng bất lợi của loại thuốc thứ nhất gấp 1,0224 lần loại thuốc thứ hai, tức là gần như nhau. Rõ ràng sự khác biệt ở trường hợp 1 là đáng chú ý hơn.

Trong những trường hợp như vậy, tỉ số giữa các tỷ lệ cũng là một thước đo hữu ích.

Định nghĩa 2: Giả sử \(\pi_1\) và \(\pi_2\) là xác suât “thành công” của hai nhóm. Khi đó rủi ro tương đối (relative risk) giữa hai nhóm này là tỷ lệ xác suất “thành công” của hai nhóm: \[ \frac{\pi_1}{\pi_2} \](2.2.3)

Chẳng hạn: Trong ví dụ trên tỷ lệ về phản ứng bất lợi của loại thuốc thứ nhất và loại thuốc thứ hai, trong trường hợp 1 có rủi ro tương đối là 10,00 và trong trường hợp 2 có rủi ro tương đối là 1,02 .

Nhận xét:

- Rủi ro tương đối là số không âm.

- Rủi ro tương đối bằng 1 khi và chỉ khi biến đáp ứng độc lập theo nhóm.

- Các tỷ lệ tổng thể \(\pi_1\) và \(\pi_2\) nói chung là chưa biết, mà qua điều tra ta nhận được các tỷ lệ mẫu tương ứng là \(f_1\) và \(f_2\). Khi đó ta có tỷ lệ: \(\frac{f_1}{f_2}\) gọi là rủi ro tương đối mẫu, ta dùng nó để xấp xỉ cho rủi ro tương đối \(\frac{\pi_1}{\pi_2}\) trên tổng thể.

Người ta chỉ ra rằng phân phối mẫu rủi ro tương đối có thể bị lệch rất lớn trừ khi kích thước mẫu đủ lớn. Do đó công thức ước lượng khoảng tin cậy của nó khá phức tạp, người ta phải thông qua ước lượng khoảng tin cậy cho \(\log \left(\frac{\pi_1}{\pi_2}\right)\) là:

\[ \log \left(\frac{f_1}{f_2}\right) \pm u(\alpha / 2) \sqrt{\frac{1-f_1}{n_{1+} \cdot f_1}+\frac{1-f_2}{n_{2+} \cdot f_2}} \](2.2.4)

Ví du 7: Trong Bảng 2.3, có \(f_1=0,0171, f_2=0,0094, n_{1+}=\) \(11034, n_{2+}=11037\)

- Rủi ro tương đối mẫu là \(\mathrm{f}_1 / \mathrm{f}_2=0,0171 / 0,0094=1,82\), cho thấy: tỷ lệ bị bệnh nhồi máu cơ tim đối với người sử dụng thuốc asporin cao hơn \(82 \%\) so với nhóm sử dụng giả dược.

- Sử dụng công thức (2.2.4), ta có khoảng tin cậy \(95 \%\) cho \(\log \left(\frac{\pi_1}{\pi_2}\right)\) là: \((0,3607 ; 0,8329)\). Suy ra khoảng tin cậy cho rủi ro tương đối \(\frac{\pi_1}{\pi_2}\) là: \((1,43 ; 2,30)\)

Như vậy, chúng ta có thể tin tuởng \(95 \%\) rằng, sau năm năm, nếu sử dụng thuốc asparin thì nguy cơ bị nhồi máu cơ tim cao gấp từ 1,43 đến 2,30 lần so với người không sử dụng thuốc asparin.

Qua đó thấy rằng: khoảng tin cậy của rủi ro tương đối cho thấy nguy cơ bị nhồi máu cơ tim cao hơn ít nhất \(43 \%\) đối với nhóm dùng giả dược. Khoảng tin cậy cho sự khác biệt về tỷ lệ là \((0,005 ; 0,011)\) có vẻ như hai nhóm khác rất nhỏ, nhưng nguy cơ tương đối cho thấy sự khác biệt có thể có ý nghĩa quan trọng đối với sức khoẻ cộng đồng. Nếu chúng ta chỉ sử dụng sự chênh lệch tỷ lệ để so sánh hai nhóm có thể phần nào gây nhầm lẫn khi tỷ lệ của cả hai nhóm đều rất gần không.

Nhiều khi, thay vì khảo sát xác suất “thành công”, người ta cần khảo sát thông tin để tính toán cho tỷ lệ của xác suất “thất bại” \(\left(1-\pi_1\right) /\left(1-\pi_2\right)\).

Tỷ lệ chênh (Odds ratio)

Trong phần này chúng ta trình bày một công cụ khác để đánh giá cho bảng ngẫu nhiên \(2 \times 2\), được gọi là tỷ lệ chênh (odds ratio). Đây là một tham số cơ bản được sử dụng trong các mô hình sẽ được trình bày ở các phần sau của tài liệu bài giảng này.

Định nghĩa 3: Trong hàng \(i\) của bảng phân phối đồng thời \(2 \times 2\) của các biến quan sát \(X\) và \(Y\), tỷ lệ cược (odds) của “thành công” được định nghĩa là tỷ số giữa xác suất “thành công” và xác suất “không thành công”, ký hiệu odds \(s_i\) : \[ o d d s_i=\frac{\pi_i}{1-\pi_i} \](2.3.1)

Nhận xét:

- odds \(s_i\) là tỷ lệ giữa khả năng “thành công” và khả năng “không thành công” trong cùng một điều kiện tác động của biến giải thích.

- Odds luôn không âm: Odds = 1 có nghĩa là khả năng “thành công” và “không thành công” là ngang nhau; Odds > 1 có nghĩa là khả năng “thành công” cao hơn khả năng “không thành công”

- Khi biết odds, ta có thể tính được xác suất thành công, vì ta có: