GIÁO TRÌNH TRANG 121 - 125

Chú ý: Nếu không dựa vào tỷ lệ quan sát p cho trước, thì cỡ mẫu ước tính sẽ rất lớn.

Vi dụ 1. Cần ước tính cỡ mẫu để ước lượng khoảng tin cậy cho \(\pi\) là tỷ lệ mắc bệnh tiểu đường ở người độ tuổi trung niên với độ tin cậy \(95 \%\).

– Nếu với độ chính xác 0,02 và không dựa vào tỷ lệ quan sát trước đó, thì cơ mẫu được ước tính là: \(n=\frac{u\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2}}{4 \varepsilon^{2}}=\frac{(1,96)^{2}}{4 .(0,02)^{2}}=2401\), tức là phải dựa vào 2401 mẫu xét nghiệm về tiểu đường.

– Nếu theo \(\mathrm{Y}\) văn được biết tỷ lệ người mắc bệnh tiểu đường ở độ tuổi trung niên là \(10 \%(\mathrm{p}=0,1)\) và chấp nhận tỷ lệ ước lượng dao động trong khoảng \(8 \%\) đến \(12 \%\) (tức là độ chính xác 0,02), thì cỡ mẫu ước tính là:

\[ n=\frac{u\left(\frac{\alpha}{2}\right)^{2}}{\varepsilon^{2}} p(1-p)=\frac{(1,96)^{2}}{(0,02)^{2}} \cdot 0,1 \cdot 0,9=864,36 \]

tức là phải dựa vào 865 mẫu xét nghiệm tiểu đường. Rõ ràng nếu dựa vào một tỷ lệ quan sát p cho trước thì cỡ mẫu ước tính sẽ tiết kiệm được rất nhiều.

4.8.2. Cỡ mẫu cho ước lượng giá trị trung bình

Giả sử trung bình tổng thể \(\mu\) chưa biết, chúng ta cần ước tính cỡ mẫu n để ước lượng khoảng tin cậy với độ tin cậy \(\gamma=1-\alpha\) khi dựa vào giá trị trung bình quan sát \(\mathrm{m}\) và độ lệch mẫu quan sát cho trước (có được từ điều tra trước), với độ chính xác \(\varepsilon\) cho trước. Khoảng tin cậy cho \(\mu\) có dạng:

\[ (m-\varepsilon ; m+\varepsilon) \]

trong đó \(\varepsilon=u\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot \frac{s}{\sqrt{n-1}}\). Khi đó cõ̃ mẫu ước tính là:

\[\begin{equation*} n=\frac{\left(u\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cdot s\right)^{2}}{\varepsilon^{2}}+1 \tag{4.8.2} \end{equation*}\]

Ví dụ 2. Người ta cần tìm khoảng tin cậy \(95\%\) cho độ tuổi trung bình bị ung thư vú, dựa vào điều tra trước với độ lệch mẫu của tuổi ung thư vú là 12 (tuổi), với độ rộng của khoảng là 5 (tuổi) thì ước tính cỡ mẫu điều tra là bao nhiêu?

Giải: Có \(\varepsilon=\frac{5}{2}=2,5 ; \gamma=1-\alpha=0,95 ; u\left(\frac{\alpha}{2}\right)=1,96\)

\[ n=\frac{(1,96.12)^{2}}{(2,5)^{2}}+1=89,9510464 \]

Vậy cỡ mẫu ước tính là \(n=90\), tức là cần điều tra tuổi của 90 bệnh nhân.

4.8.3. Cỡ mẫu cho so sánh hai tỷ lệ

Khi biến giải thích \(X\) là biến nhị phân, người ta thường đề cập đến việc so sánh hai nhóm ứng với hai giá trị của \(X\) về biền đáp ứng nhị phân thông qua việc so sánh các xác suất thành công \(\pi_{1}\) và \(\pi_{2}\) ở hai nhóm, tức là kiểm định giả thuyết \(H_{0}: \pi_{1}=\pi_{2}\). Để kiểm định, người ta dùng thống kê: \(d=\pi_{2}-\pi_{1}\), với độ lệch chuẩn \(S(d)=\sqrt{\pi_{1}\left(1-\pi_{1}\right)+\pi_{2}\left(1-\pi_{2}\right)}\). Vấn đề là để kiểm định đảm bảo mức\ ý nghĩa \(\alpha\) cho trước (xác suất sai lầm loại 1) và xác suất sai lầm loại 2 là \(\beta\) cho trước, cần ước tính cỡ mẫu cho mỗi nhóm là bao nhiêu? Người ta chỉ ra một công thức ước tính cõ̃ mẫu cho mỗi nhóm là:

\[\begin{align*} N_{1}=N_{2} & =\frac{\left(u\left(\frac{\alpha}{2}\right)+u(\beta)\right)^{2}\left[\pi_{1}\left(1-\pi_{1}\right)+\pi_{2}\left(1-\pi_{2}\right)\right]}{\left(\pi_{1}-\pi_{2}\right)^{2}} \tag{4.8.3}\\ & =\frac{C(\alpha, \beta)\left[\pi_{1}\left(1-\pi_{1}\right)+\pi_{2}\left(1-\pi_{2}\right)\right]}{\left(\pi_{1}-\pi_{2}\right)^{2}} \end{align*}\]

Trong đó: \(C(\alpha, \beta)=\left(u\left(\frac{\alpha}{2}\right)+u(\beta)\right)^{2}\)

Ví dụ 3. Một nghiên cứu so sánh khả năng được chữa khỏi của hai nhóm bệnh nhân mắc cùng một loại bệnh): Nhóm 1 dùng thuốc hiện hành, nhóm 2 dùng thuốc mới. Tỷ lệ khỏi bệnh của nhóm 1 là \(85\%\), của nhóm 2 là \(90\%\). Để kiểm định sự khác nhau về tỷ lệ khỏi bệnh của hai nhóm đảm báo xác suất sai lầm loại 1 là \(5\%\), xác suất sai lầm loại 2 là \(10\%\), thì cần phải điều tra trên bao nhiêu bệnh nhân cho mỗi nhóm?

Giải: Với \(\alpha=0,05, \beta\), có \(u\left(\frac{\alpha}{2}\right)=1,96, u(\beta)=1,28, \pi_{1}=0,85, \pi_{2}=0,90\), ta có:

\[ N_{1}=N_{2}=\frac{(1,96+1,28)^{2}[0,85(1-0,85)+0,9(1-0,9)]}{(0,85-0,9)^{2}}=913,2912 \]

Vậy cần điều tra 914 bệnh nhân cho mỗi nhóm

4.8.4. Cỡ mẫu cho so sánh hai trung bình.

Khi so sánh các trung bình \(\mu_{1}, \mu_{2}\) của biến liên tục có độ lệch chuẩn \(\sigma\), trên hai nhóm, với mức ý nghĩa \(\alpha\) và với \(\beta\) là xác suất sai lầm loại 2 cho trước, người ta cần ước tính kích thước của hai mầu này.

Ký hiệu \(\bar{X}_{1}\) và \(\bar{X}_{2}\) là trung bình trên mẫu nhóm thứ nhất và nhóm thứ hai, người ta xét thống kê

\[ d=\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2} \]

Cỡ mẫu ước tính cho mỗi nhóm sẽ là:

\[\begin{equation*} N=\frac{2 \cdot C(\alpha, \beta) \cdot \sigma^{2}}{d^{2}} \tag{4.8.4} \end{equation*}\]

Ví dụ 4. So sánh giữa 2 loại thuốc điều trị tăng huyết áp, loại thuốc mới B (nhóm thực nghiệm) làm giảm trị số huyết áp tâm thu hơn thuốc cũ \(\mathrm{A}\) (nhóm chứng) là \(10 \mathrm{~mm} \mathrm{Hg}\). Các điều tra trong dân số trước đây cho biết độ lệch chuẩn của phân phối trị số huyết áp tâm thu là \(10 \mathrm{mmHg}\).

Như vậy: \(\mathrm{d}=10 \mathrm{mmHg}\) và \(\sigma=10 \mathrm{mmHg}\). Với \(\alpha=0,05, \beta\), có \(u\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\) \(1,96, u(\beta)=1,28\), ta có

\[ C(\alpha, \beta)=(1,96+1,28)^{2}=10,4976 \]

Cỡ mẫu ước tính cho mỗi nhóm:

\[ N=\frac{2 \cdot 10,4976 \cdot 10^{2}}{10^{2}}=20,9952 \]

Vậy cần lấy mẫu ở mỗi nhóm là 21 bệnh nhân.

4.9. Mô hình Probit và mô hình log - log

4.9.1. Mô hình Probit

Trong chương 3 , chúng ta đã đề cập đến mô hình Probit hai biến như là một trường hợp đặc biệt của mô hình GLM. Trong mục này, chúng ta sẽ trình bày khái quát hơn mô hình Probit đa biến.

Giả sử biến đáp ứng nhị phân với hai giá trị mà ta gọi là “Thành công” và “Thất bại”, phụ thuộc vào \(\mathrm{m}\) biến giải thích: \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}\). Ký hiệu: \(X=\) \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{m}\right) ; Y=\left\{\begin{array}{l}1 \text { nếu "thành công" } \\ 0 \text { nếu thất bại }\end{array}\right.\)

thì xác suất “Thành công” ứng với \(X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \ldots, X_{m}=x_{m}\) là:

\[ \pi(x)=\pi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)=E\left(Y \mid X_{1}=x_{1}, X_{2}=x_{2}, \ldots, X_{m}=x_{m}\right) \]

Mô hình Probit đa biến có dạng:

\[\begin{equation*} \pi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)=\Phi\left(\beta_{0}+\beta_{1} x_{1}+\beta_{2} x_{2}+\cdots+\beta_{m} x_{m}\right) \tag{4.9.1a} \end{equation*}\]

hay: \(\operatorname{Probit}\left(\pi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)\right)=\beta_{0}+\beta_{1} x_{1}+\beta_{2} x_{2}+\cdots+\beta_{m} x_{m} \tag{4.9.2b}\)

trong đó \(\Phi\) là hàm phân phối chuẩn chính tắc: \(\Phi(\mathrm{t})=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{t} e^{-\frac{1}{2} u^{2}} d u\)

và Probit là phép lấy hàm ngược của \(\Phi\) :

\[ \operatorname{Probit}\left(\pi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)\right)=\Phi^{-1}\left(\pi\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}\right)\right) \]

Ví dụ 1. Với bảng 3.3 dữ liệu về cua móng ngựa, ta muốn xét sự ảnh hưởng của các yếu tố độ rộng mai cua \(X_{1}\) và màu sắc COLOR đến sự xuất hiện hay không của vệ tinh qua mô hình Probit:

\[ \operatorname{Probit}(\pi)=\beta_{0}+\beta_{1} x_{1}+\beta_{2} \cdot \operatorname{COLOR} \]

Từ bảng kết quả bảng hồi quy 4.25, nhận được mô hình Probit ước lượng:

\[ \operatorname{Probit} \hat{\pi}\left(x_{1}, \text { COLOR }\right)=-6.098048+0.275813 . x_{1}-0.291876 . \text { COLOR } \] Hay: \[ \hat{\pi}\left(x_{1}, \text { COLOR }\right)=\Phi\left(-6.098048+0.275813 \cdot x_{1}-0.291876 . \text { COLOR }\right) \] Theo đó xác suất để một con cua cái có màu trung bình \((\mathrm{COLOR}=2)\), với độ rộng của mai là \(X_{1}=25\), ước tính là:

\[ \hat{\pi}(25 ; 2)=\Phi(-6.098048+0.275813 .25-0.291876 .2)=0,5832 \] \[\begin{array}{lrllr} \hline \text{Dependent Variable}: \text{Y} \\ \text{Method: ML - Binary Probit (Quadratic hill climbing)} \\ \text{Sample}: 1173 & & & & \\ \hline \text{Variable} & \text{Coefficient} & \text{Std. Error} & \text{z-Statistic} & \text{Prob.} \\ \hline\hline \text{C} & -6.098048 & 1.651378 & -3.692702 & 0.0002 \\ \text{X1} & 0.275813 & 0.060137 & ~~~4.586371 & 0.0000 \\ \text{COLOR} & -0.291876 & 0.132081 & -2.209836 & 0.0271 \\ \hline\hline \text{McFadden R-squared} & 0.162507 & \text{Mean dependent var} & & 0.641618 & \\ \text{Akaike info criterion} & 1.127579 & \text{Sum squared resid} & & 31.94605 & \\ \text{Schwarz criterion} & 1.182260 & \text{Log likelihood} & & -94.53557 & \\ \text{Hannan-Quinn criter.} & 1.149763 & \text{Deviance} & & 189.0711 & \\ \text{Restr. deviance} & 225.7585 & \text{Restr. log likelihood} & & -112.8793 & \\ \text{LR statistic} & 36.68737 & \text{Avg. log likelihood} & & -0.546448 & \\ \text{Prob(LR statistic)} & 0.000000 & & & \\ \hline \text{Obs with Dep}=0 & 62 & \text{Total obs} & & 173 & \\ \text{Obs with Dep}=1 & 111 \\ \hline \end{array}\]

Bảng 4.25. Kết quả hồi quy Probit về ảnh huởng của độ rộng và màu sắc tới sự có mặt của vệ tinh cua cái.

Bảng kết quả xác suất dự báo có vệ tinh cho mỗi con cua theo cả hai mô hình logistic ước lượng và Probit ước lượng hầu như là trùng nhau \[\begin{array}{ccccccccccccccc} \text{TT} & \text{X1} & \text{CO} & \text{LOGIT} & \text{PROBIT} & \text{TT} & \text{X1} & \text{CO} & \text{LOGIT} & \text{PROBIT} & \text{TT} & \text{X1} & \text{CO} & \text{LOGIT} & \text{PROBIT} \\ 1 & 28.3 & 2 & 0.867753 & 0.867753 & 59 & 27.8 & 2 & 0.839173 & 0.839172 & 117 & 27 & 3 & 0.684901 & 0.684900 \\ 2 & 26 & 3 & 0.578856 & 0.578855 & 60 & 27 & 3 & 0.684901 & 0.684900 & 118 & 24.2 & 2 & 0.500542 & 0.500541 \\ 3 & 25.6 & 3 & 0.533638 & 0.533637 & 61 & 29 & 2 & 0.900434 & 0.900433 & 119 & 22.5 & 4 & 0.142454 & 0.142454 \\ 4 & 21 & 4 & 0.077093 & 0.077093 & 62 & 25.6 & 3 & 0.533638 & 0.533637 & 120 & 25.1 & 2 & 0.602202 & 0.602200 \\ 5 & 29 & 2 & 0.900434 & 0.900433 & 63 & 24.2 & 3 & 0.375925 & 0.375924 & 121 & 24.9 & 2 & 0.580052 & 0.580050 \\ 6 & 25 & 1 & 0.706379 & 0.706378 & 64 & 25.7 & 3 & 0.545024 & 0.545023 & 122 & 27.5 & 2 & 0.819741 & 0.819740 \\ 7 & 26.2 & 4 & 0.475194 & 0.475193 & 65 & 23.1 & 3 & 0.266780 & 0.266779 & 123 & 24.3 & 2 & 0.511997 & 0.511996 \\ 8 & 24.9 & 2 & 0.580052 & 0.580050 & 66 & 28.5 & 2 & 0.877922 & 0.877922 & 124 & 29.5 & 2 & 0.919177 & 0.919176 \\ 9 & 25.7 & 2 & 0.665885 & 0.665884 & 67 & 29.7 & 2 & 0.925730 & 0.925729 & 125 & 26.2 & 2 & 0.714795 & 0.714794 \\ 10 & 27.5 & 2 & 0.819741 & 0.819740 & 68 & 23.1 & 3 & 0.266780 & 0.266779 & 126 & 24.7 & 2 & 0.557574 & 0.557573 \\ 11 & 21.6 & 1 & 0.799313 & 0.799312 & 69 & 24.5 & 3 & 0.408689 & 0.408688 & 127 & 29.8 & 3 & 0.886920 & 0.886919 \\ 12 & 28.9 & 3 & 0.838509 & 0.838509 & 70 & 27.5 & 2 & 0.819741 & 0.819740 & 128 & 25.7 & 4 & 0.418615 & 0.418614 \\ 13 & 30.3 & 2 & 0.942560 & 0.942560 & 71 & 26.3 & 2 & 0.724046 & 0.724045 & 129 & 26.2 & 3 & 0.601026 & 0.601025 \\ 14 & 22.9 & 2 & 0.355801 & 0.355800 & 72 & 27.8 & 2 & 0.839173 & 0.839172 & 130 & 27 & 4 & 0.566440 & 0.566439 \\ 15 & 26.2 & 3 & 0.601026 & 0.601025 & 73 & 31.9 & 2 & 0.971561 & 0.971561 & 131 & 24.8 & 3 & 0.442285 & 0.442284 \\ 16 & 24.5 & 3 & 0.408689 & 0.408688 & 74 & 25 & 2 & 0.591173 & 0.591172 & 132 & 23.7 & 2 & 0.443496 & 0.443495 \\ 17 & 30 & 2 & 0.934647 & 0.934647 & 75 & 26.2 & 3 & 0.601026 & 0.601025 & 133 & 28.2 & 2 & 0.862405 & 0.862404 \\ 18 & 6.2 & 2 & 0.714795 & 0.714794 & 76 & 28.4 & 3 & 0.805028 & 0.805027 & 134 & 25.2 & 2 & 0.613128 & 0.613126 \\ 19 & 25.4 & 2 & 0.634632 & 0.634631 & 77 & 24.5 & 1 & 0.656719 & 0.656718 & 135 & 23.2 & 2 & 0.387901 & 0.387900 \\ 20 & 25.4 & 2 & 0.634632 & 0.634631 & 78 & 27.9 & 2 & 0.845262 & 0.845261 & 136 & 25.8 & 4 & 0.429809 & 0.429808 \\ & & & & & & .........&........&.........& & & & & & & \\ 51 & 28.7 & 2 & 0.887411 & 0.887410 & 109 & 25.5 & 4 & 0.396487 & 0.396486 & 167 & 24 & 3 & 0.354678 & 0.354677 \\ 52 & 29.3 & 1 & 0.945246 & 0.945246 & 110 & 26.8 & 2 & 0.767415 & 0.767414 & 168 & 23.1 & 2 & 0.377077 & 0.377076 \\ 53 & 26.7 & 2 & 0.759135 & 0.759134 & 111 & 29 & 2 & 0.900434 & 0.900433 & 169 & 28.3 & 2 & 0.867753 & 0.867753 \\ 54 & 23.4 & 4 & 0.200596 & 0.200595 & 112 & 28.5 & 3 & 0.812121 & 0.812121 & 170 & 26.5 & 2 & 0.741979 & 0.741978 \\ 55 & 27.7 & 1 & 0.892381 & 0.892381 & 113 & 24.7 & 2 & 0.557574 & 0.557573 & 171 & 26.5 & 2 & 0.741979 & 0.741978 \\ 56 & 28.2 & 2 & 0.862405 & 0.862404 & 114 & 29 & 2 & 0.900434 & 0.900433 & 172 & 26.1 & 3 & 0.589987 & 0.589985 \\ 57 & 24.7 & 4 & 0.312862 & 0.312862 & 115 & 27 & 2 & 0.783374 & 0.783373 & 173 & 24.5 & 2 & 0.534859 & 0.534857 \\ 58 & 25.7 & 2 & 0.665885 & 0.665884 & 116 & 23.7 & 4 & 0.223553 & 0.223552 \\ \end{array}\]

Bảng 4.27. Bảng vớc lương xác suất có vệ tinh theo mô hình Logistic và mô hình Probit.

Mô hình này có ma trận nhầm lẫn: \[\begin{array}{ll|rrr} & & & \text{Y DỰ BÁO} \\ \text{Count} & & 0 & 1 & \text{Total} \\ \hline & 0 & 29 & 33 & 62 \\ \text{Y} & 1 & 14 & 97 & 111 \\ & \text{Total} & 43 & 130 & 173 \\ \end{array}\]

Ma trận này trùng với ma trận nhầm lẫn của mô hình Logistic ước lượng tương ứng:

\[ \log \left(\frac{\hat{\pi}(x)}{1-\hat{\pi}(x)}\right)=-10,07084+0,458310 x_{1}-0,509047 \cdot C O L O R \]

4.9.2. Mô hình log - log

Trong trường hợp tỷ lệ cược phụ thuộc vào các biến giải thích dưới dạng hàm lũy thừa:

\[ O d d s(x)=\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}=\lambda \cdot x_{1}^{\beta_{1}} \cdot x_{2}^{\beta_{2}} \ldots . x_{m}^{\beta_{m}} \]

ta nhận được mô hình mô hình logistic có các biến dự báo ở dang log, gọi là mô hình logistic dạng log - log

\[ \log \left(\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}\right)=\beta_{0}+\beta_{1} \cdot \log x_{1}+\beta_{2} \cdot \log x_{2}+\cdots+\beta_{m} \cdot \log x_{m} \]

Ví dụ 2. Với bảng 3.3 về dữ liệu cua móng.

\[ \log \left(\frac{\pi(x)}{1-\pi(x)}\right)=\beta_{0}+\beta_{1} \cdot \log x_{1}+\beta_{2} \cdot \log x_{2} \]

nhận được kết quả hồi quy:

\[\begin{array}{lrllr} \hline \text{Dependent Variable}: \text{Y} \\ \text{Method: ML - Binary Logit (Quadratic hill climbing)} \\ \text{Sample}: 1173 \\ \hline \text{Variable} & \text{Coefficient} & \text{Std. Error} & \text{z-Statistic} & \text{Prob.} \\ \hline \text{C} & -27.51379 & 13.19464 & -2.085226 & 0.0370 \\ \text{LOG(X1)} & 8.162233 & 4.333815 & ~~~1.883383 & 0.0596 \\ \text{LOG(X2)} & 1.822729 & 1.392441 & ~~~1.309017 & 0.1905 \\ \hline\hline \text{McFadden R-squared} & 0.144509 & \text{Mean dependent var} & & 0.641618 & \\ \text{Akaike info criterion} & 1.151065 & \text{Sum squared resid} & & 32.93345 & \\ \text{Schwarz criterion} & 1.205747 & \text{Log likelihood} & & -96.56715 & \\ \text{Hannan-Quinn criter.} & 1.173249 & \text{Deviance} & & 193.1343 & \\ \text{Restr. deviance} & 225.7585 & \text{Restr. log likelihood} & & -112.8793 & \\ \text{LR statistic} & 32.62422 & \text{Avg. log likelihood} & & -0.558192 & \\ \text{Prob(LR statistic)} & 0.000000 & & & \\ \hline \text{Obs with Dep}=0 & 62 & \text{Total obs} & & 173 & \\ \text{Obs with Dep}=1 & 111 \\ \hline \end{array}\]

Bảng 4.28. Kết quả hồi quy logistic dạng log - log, ảnh huởng của độ rộng và trọng lương cua cái tới khả năng có vệ tin

Mô hình ước lượng này cho thấy LOG(X2) ít ảnh hưởng đến Y, còn LOG(X1) cũng ảnh hưởng không nhiều đến Y. Tuy nhiên nếu loại trừ LOG(X2),