36-40

Khi \(H_0\) là đúng và các tần số mẫu ở các ô lớn, hai thống kê có phân phối xấp xỉ phân phối chi bình phương với bậc tự do \(df=(k-1).(m-1)\), và các giá trị số của chúng là xấp xỉ. Mỗi thống kê đều có những thuận lợi và bất lợi (sẽ đề cập ở phần sau).

Để tính giá trị của thống kê này, có thể dùng các phần mềm, hoặc tính trực tiếp bằng cách lập bảng như trên đối với thống kê Pearson, trong đó trong mỗi ô tần số \(n_{ij}\),ta mở ngoặc ghi hai số theo thứ tự là \(n_{ij}.log(\frac{n_{ij}}{\hat\mu_{ij}})\).

2.4.3.Giải quyết bài toán

Chọn giả thuyết \(H_0\): X, Y độc lập, đối thuyết \(H_1: X, \ Y\) không độc lập.

Nhắc lại các kí hiệu: \(n_{ij}\) là số phần tử có cặp thuộc tính \((A_i,\ B_j)\), i = 1, 2,…, k; j =1, 2,…,m; \(n_{i+}=\sum_{j=1}^{m} n_{ij}\); \(n_{+j}=\sum_{i=1}^{k} n_{ij}\); \(n=\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{m} n_{ij}=\sum_{i=1}^{k} n_{i+}=\sum_{j=1}^{m} n_{+j}\)

• Nếu dùng thống kê Pearson để kiểm định thì miền bác bỏ giả thuyết \(H_0\) là:

\[W=\{{\chi^2 >\chi^2_{(k-1).(m-1)}(\alpha)}\}\]

trong đó: \(\chi^2_{(k-1).(m-1)}(\alpha)\) là giá trị tới hạn của phân phối Chi - bình phương, mức \(\alpha\) với bậc tự do df = (k - 1). (m - 1), tra từ bảng phụ lục 3. Lập bảng tính:

\[\chi^2 = \{n.\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{m} \frac {n^2_{i}}{n_{i+}.n_{+j}}-1\}=\sum_{i,j} \frac{(n_{ij}-\hat\mu_{ij})^2}{\hat\mu_{ij}}\]

• Nếu dùng thống kê Tỷ số hợp lý để kiểm định thì miền bác bỏ \(H_0\) là:

\[W=\{{G^2 >\chi^2_{(k-1).(m-1)}(\alpha)}\}\]

Ví dụ 13: Để xác minh xem sự ủng hộ của người dân trong nước về một sắc thuế mới có phụ thuộc vào mức thu nhập của họ hay không, tiến hành điều tra ngẫu nhiên 1000 công dân, người ta có số liệu sau:

\[ \begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Thu nhập\Thái độ} & \text{Ủng hộ} & \text{Phản đối} \\ \hline \text{Thấp} & 182 & 154 \\ \hline \text{Trung bình} & 213 & 138 \\ \hline \text{Cao} & 203 & 110 \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.11} \end{array} \]

Với mức ý nghĩa 5%, dựa vào điều tra, hãy cho kết luận về việc này.

Giải: Chúng ta đang quan sát hai biến định tính: Y là thái độ của công dân đối với sắc thuế mới, với 2 thuộc tính: “ủng hộ”, “phản đối”; X là mức thu nhập của công dân, với 3 thuộc tính: “thấp”, “trung bình”,“cao”. Bài toán ở đây là kiểm định về tính độc lập của X và Y:

Giả thuyết \(H_0: X,\ Y\) độc lập; đối thuyết \(H_1: X,\ Y\) không độc lập.

Tra bảng, có: \(\chi^2_{(k-1).(m-1)}(\alpha)=\chi^2_{(2-1).(3-1)}(0,05)=5,991\)

Lập bảng tính:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{X\Y} & \text{Ủng hộ} & \text{Phản đối} & n_{i+} \\ \hline \text{Thấp} & 182 \quad (0,1649) & 154 \quad (0,1756) & 336 \\ \hline \text{Trung bình} & 213 \quad (0,2161) & 138 \quad (0,1350) & 351 \\ \hline \text{Cao} & 203 \quad (0,2201) & 110 \quad (0,0962) & 313 \\ \hline n_{+j} & 598 & 402 & 1000 \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.12 Bảng tính cho thống kê Pearson} \end{array} \]

\(\chi^2=1000.(0,1649+0,2161+0,2201+0,1756+0,135+0,0962-1)\)

\[\chi^2=7,9 >\chi^2_{(k-1).(m-1)}(\alpha)=5,991\]

Vậy ta bác bỏ giả thuyết \(H_0\) với mức ý nghĩa 5%. Nghĩa là sự ủng hộ của người dân về sắc thuế mới phụ thuộc vào mức thu nhập của họ.

Nếu sử dụng phương pháp P - value, từ bảng phụ lục giá trị tới hạn của phân phối Chi-square với bậc tự do df = 2, ta có:

\[P-value=P(\chi_2^2)\geq \chi_{quan\ sát}^2=7,9<P(\chi_2^2 \geq 7,378)=0,025<0,05\] đây cũng là bằng chứng để ta bác bỏ giá thuyết \(H_0\)

Chú ý: Nói chung khó để xác định mức cỡ mẫu thế nào là “lớn”, nhưng trong thực tế, khi \(\{\mu_{ij}\geq 5, \forall i,j\) là đủ. P-value là xác suất bên phải, phía trên giá trị \(\chi^2\) quan sát được.

Phân phối Chi - bình phương được xác định bởi bậc tự do, ký hiệu df. Giá trị trung bình của phân phối Chi - bình phương bằng df, và độ lệch chuẩn của nó bằng \(\sqrt{2.df}\). Khi df tăng, sự phân phối tập trung quanh các giá trị lớn hơn và lan rộng hơn. Nó chỉ xác định với các giá trị không âm và bị lệch sang phải, nhưng trở nên hình chuông nhiều hơn (chuẩn) khi df tăng lên.

Ví dụ 14 : Từ kết quả điều tra ở bảng 2.2 về niềm tin vào thế giới bên kia, hãy xác minh xem liệu có phải là niềm tin vào thế giới bên kia độc lập với giới tính hay không.

Giải: Đây là bài toán kiểm định giả thuyết \(H_0\): Niềm tin Y vào thế giới bên kia độc lập với giới tính X. Tiêu chuẩn bác bỏ \(H_0\)là:

\[\chi^2 = \{n.\sum_{i=1}^{k}\sum_{j=1}^{m} \frac {n^2_{i}}{n_{i+}.n_{+j}}-1\} \geq \chi^2_{(k-1).(m-1)}(\alpha) \]

Từ bảng phụ lục về giá trị tới hạn của phân phối Chi – square, có:

\[\chi^2_{(k-1).(m-1)}(\alpha)=\chi_1^2(0,05)=3,841\]

Từ bảng 2.2, ta có bảng tính:

\[ \begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{X\Y} & \text{Yes} & \text{No or Undecided} & n_{i+} \\ \hline \text{Females} & 435 \quad (0,4014) & 147 \quad (0,1321) & 582 \\ \hline \text{Males} & 375 \quad (0,3411) & 134 \quad (0,1255) & 509 \\ \hline n_{+j} & 810 & 281 & 1091 \\ \hline \end{array} \]

\[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.13. Bảng tính cho thống kê Pearson} \end{array} \]

Vậy ta có :\(\chi^2=n.\{(Tổng\ các \ số\ trong \ ngoặc)-1\}=0,1091< \chi_1^2(0,05)=3,841\)

Điều này khiến ta chưa có cơ sở để bác bỏ \(H_0\), và chấp nhận rằng niềm tin vào thế giới bên kia không phụ thuộc vào giới tính.

Từ \(\chi^2_{qs}=0,1091\), có \(P-value=P(\chi_1^2 \geq \chi^2_{qs}=0,1091)>P(\chi_1^2 \geq 2,706)=0,1\) vậy dùng P – value, ta cũng nhận được kết luận chấp nhận \(H_0\).

Ví dụ 15. Bảng sau là số liệu điều tra về thái độ của sinh viên với việc chấp hành nội quy của nhà trường:

\[ \begin{array}{ccc} &\text{Số sinh viên}& &\\ \hline \text{Giới tính} & \text{Chấp hành nội quy} & \text{Vi phạm nội quy} \\ \hline \text{Nam} & 40 & 40 \\ \hline \text{Nữ} & 20 & 0 \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.14} \end{array} \]

Dựa vào điều tra này, hãy xác minh xem liệu thái độ chấp hành nội quy của sinh viên có độc lập với giới tính hay không.

Giải: Lập bảng tính:

\[ \begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Giới tính \ Thái độ} & \text{Chấp hàng nội quy} & \text{Vi phạm nội quy} & n_{i+} \\ \hline \text{Nam} & 40 \quad (0,3333) & 40 \quad (0,5000) & 80 \\ \hline \text{Nữ} & 20 \quad (0,3333) & 0 \quad (0) & 20 \\ \hline n_{+j} & 60 & 40 & n=100 \\ \hline \end{array} \] Bảng tính cho giá trị \(\chi^2_{qs}\)

\[\chi^2=n.\{(Tổng\ các \ số\ trong \ ngoặc)-1\}=16,66\] \[P-value=P(\chi_1^2 \geq \chi^2_{qs}=16,66)>P(\chi_1^2 \geq 10,83)=0,001\] Đây là bằng chứng mạnh mẽ để ta bác bỏ giả thuyết về tính độc lập và cho rằng thái độ chấp hành nội quy phụ thuộc vào giới tính của sinh viên.

2.4.4. Ví dụ về khoảng cách giới

Ví dụ 16. Để minh họa cho các kiểm định Chi – Bình phương về tính độc lập, từ số liệu khảo sát xã hội năm 1991 được cho bởi bảng 2.16 về 980 đảng viên của ba đảng: Dân chủ, Độc lập và Cộng hòa, ta cần xác minh xem có sự ảnh hưởng của giới tính đối với sự tham gia các đảng phái này hay không. Các biến quan sát ở đây là giới tính X (nữ, nam) và đảng phái Y (đều là các biến định tính).

\[ \begin{array}{|c|cccc|} \hline \text{Gender}& &\text{Party Indetification}& &\\ & \text{Democrat} & \text{Independent} & \text{Republican} & \text{Total}\\ \hline \text{Females} & 279& 73& 225 &577\\ \text{Males} & 165 & 47 & 191 & 403\\ \hline \text{Total} & 444 & 120 & 416& 980 \\ \hline \end{array} \]

\[ \begin{array}{c} \text{Source: Data from 1991 General Social Survey.}\\ \text{Bảng 2.16 Cross classification of Party Identification by Gender}\\ \end{array} \]

Để trả lời câu hỏi trên, ta tiến hành kiểm định giả thuyết $H_0: X, Y $ độc lập. Ta dùng thống kê \(\chi^2\). Trong bảng tính sau, các số trong ngoặc theo thứ tự là \(\hat \mu_{ij}\), và \(\frac{(n_{ij}-\hat\mu_{ij})^2}{\hat\mu_{ij}}\):

\[ \begin{array}{|c|cccc|} \hline \text{Gender}& &\text{Party Indetification}& &\\ & \text{Democrat} & \text{Independent} & \text{Republican} & \text{Total}\\ \hline \text{Females} & 279& 73& 225 &577\\ &(261,416; 1,183)& (70,653;0,078)& (244,913;1,622)\\ \text{Males} & 165 & 47 & 191 & 403\\ &(182,584;1,693)& (49,347;0,112)& (171,069;2,322)\\ \hline \text{Total} & 444 & 120 & 416& 980 \\ \hline \end{array} \]

\[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.17 Bảng tính cho thống kê Pearson} \end{array} \]

Suy ra: \(\chi^2=1,183+0,078+1.622+1,693+0,112+2,322=7,01\)

Bậc tự do \(df=(k-1)(m-1)=1.2\);\(\chi^2_{(I-1).(J-1)}(\alpha)=\chi_2^2(0,05)=5,991\)

\[\chi^2=7,01> \chi^2_2(0,05)=5,991\] Vậy ta bác bỏ H0, và cho rằng giới tính có ảnh hưởng đến sự lựa chọn các đảng phái này.

Lập bảng tương tự để tính giá trị của thống kê \(G^2\) nhận được \(G^2=7,00>G^2\) và việc dùng thống kê này để kiểm định cho cùng kết luận như trên.

Các thống kê kiểm định Chi - square là \(\chi^2=7,01,G^2=7,00\) Phân phối Chi - square có trung bình bằng df = 2 và độ lệch chuẩn \(\sqrt{2.df}=2\), do đó, giá trị7,0 là khá xa trong đuôi bên phải.

Hầu hết các gói phần mềm thống kê chính đều có các lập trình để tính \(\chi^2,\ G^2\), và P - value của chúng. Nếu sử dụng phần mềm thì đối với ví dụ này, mỗi thống kê đều có một giá trị P- value = 0,03 < 0,05. Nếu sử dụng bảng phụ lục về giá trị tới hạn của phân phối Chi - square với bậc tự do df = 2, đối với cả hai thống kê \(\chi^2,\ G^2\), đều có : \(P-value=P(\chi_2^2 \geq \chi^2_{qs}=7,01)>P(\chi_2^2 \geq 5,991)=0,05\)

Kết quả này dẫn tới việc bác bỏ giả thuyết \(H_0\).

2.4.5. Phần dư

Một thống kê kiểm định và P - value chỉ đơn giản mô tả bằng chứng chống lại giả thuyết không. Việc so sánh từng ô các tần số được quan sát và tần số ước tính sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn bản chất của bằng chứng. Sự khác biệt lớn hơn giữa \(n_{ij}\) và \(\hat \mu_{ij}\) có khuynh hướng xảy ra đối với các ô có tần số dự kiến lớn hơn, vì vậy hiệu : \(n_{ij}-\hat \mu_{ij}\) là không đủ để đánh giá. Để kiểm tra tính độc lập, sử dụng phần dư có dạng sau đây gọi là số dư hiệu chỉnh (Adjusted Residual):

\[\frac{n_{ij}-\hat \mu_{ij}}{\sqrt{\hat \mu_{ij}(1-f_{i+})(1-f_{+j})}}\ \ \ \ \quad (2.4.4)\]

Khi giả thuyết H0 là đúng, mỗi phần dư điều chỉnh đều có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn chính tắc khi cỡ mẫu lớn. Một phần dư điều chỉnh vượt quá khoảng 2 hoặc 3 theo giá trị tuyệt đối cho thấy sự thiếu phù hợp của H0 trong ô đó.

Ví dụ 17: Từ bảng 2.16, đối với việc kiểm định tính độc lập giữa việc lựa chọn các đảng phái và giới tính, các phần dư điều chỉnh được tính và thể hiện bởi các số trong ngoặc (số đầu là \(\hat\mu_{ij}\), số thứ hai là phần dư điều chỉnh:\(\frac{n_{ij}-\hat \mu_{ij}}{\sqrt{\hat \mu_{ij}(1-f_{i+})(1-f_{+j})}}\) ở bảng sau:

\[ \begin{array}{|c|cccc|} \hline \text{Gender}& &\text{Party Indetification}& &\\ & \text{Democrat} & \text{Independent} & \text{Republican} & f_{i+}\\ \hline \text{Females} & 279& 73& 225 & f_{1+}=\frac{577}{980}\\ &(261,416; 2,293)& (70,653;0,465)& (244,913;-2,618)\\ \text{Males} & 165 & 47 & 191 & f_{2+}=\frac{403}{980}\\ &(182,584;-2,293)& (49,347;-0,465)& (171,069;2,618)\\ \hline f_{+j}& f_{+1}=\frac{444}{980} & f_{+2}=\frac{120}{980} & f_{+3}=\frac{416}{980}& n=980 \\ \hline \end{array} \] \[ \begin{array}{c} \text{Bảng 2.18 Các phần dư điều chỉnh cho việc kiểm định tính độc lập trong bảng 2.10} \end{array} \]

Bảng 2.18 cho biết số dư điều chỉnh để kiểm định tính độc lập trong Bảng 2.16. Chẳng hạn, đối với ô đầu tiên, \(n_{11}=279,\ \hat\mu_{11=261,416}\). Xác suất biên duyên của hàng đầu tiên và của cột đầu tiên bằng \(f_{1+}=\frac{n_{1+}}{n}=\frac{577}{980}=0,589;f_{+1}=\frac{n_{+1}}{n}=\frac{444}{980}=0,453\), do đó, theo (2.4.4), ô này có phần dư hiệu chỉnh :

\[\frac{n_{11}-\hat \mu_{11}}{\sqrt{\hat \mu_{11}(1-f_{1+})(1-f_{+1})}}=\frac{279-261,416}{\sqrt{246,416(1-0,589)(1-0,453)}}=2,293\]

Ô này cho thấy một sự khác biệt lớn hơn giữa \(n_{11},\ và\ \hat\mu{11}\) hơn ta mong đợi nếu các biến thực sự độc lập. Bảng 2.18 cho thấy phần dư dương của nữ Dân chủ và nam Cộng hòa và số dư âm lớn đối với nữ Cộng hòa và nam Dân chủ. Vì vậy, có nhiều đảng viên Dân chủ nữ và đảng viên Cộng hòa Nam và ít nữ đảng viên đảng Cộng hòa và nam Dân chủ hơn giả thuyết về dự đoán độc lập.

Tỷ lệ chênh (odds ratio) mô tả bằng chứng này về khoảng cách về giới. Bảng các số nhận dạng của đảng Dân chủ và Cộng hòa 2 × 2 có tỷ lệ chênh lệch mẫu:\(\theta=\frac{279.191}{165.225}=1,43435\) cho thấy tỷ lệ đảng viên Dân chủ so với đảng viên Cộng hòa trong nữ giới cao hơn trong nam giới là 43,5% . Đối với mỗi đảng, Bảng 2.18 chỉ ra rằng chỉ có một ô số dư là âm và một ô số dư dương. Do đó, trong một cột nhất định, nếu \(n_{ij}>\hat\mu_{ij}\) trong ô này thì \(n_{ij}<\hat\mu_{ij}\) trong ô khác.

2.4.6. Sự phân chia của phân phối Chi – Bình phương

Trong lý thuyết xác suất, ta biết rằng nếu một thống kê Chi - bình phương có bậc tự do \(df = df_1\) và một thống kê Chi - bình phương khác, độc lập với nó, có bậc tự do \(df = df_2\), thì tổng của chúng là một thống kê Chi - bình phương với bậc