En una envasadora de agua purificada se producen botellas que tienen, en promedio, medio litro de agua, con una desviación estándar de 5 ml (mililitros). Si se sabe por experiencia que la distribución de los contenidos de agua de estas botellas tiene distribución normal, queremos determinar qué porcentaje de las botellas que se fabrican tiene entre 490 y 510 ml.
Para resolver este problema, necesitamos calcular el porcentaje de botellas que tienen entre 490 ml y 510 ml de agua, dado que la cantidad de agua sigue una distribución normal con una media de 500 ml y una desviación estándar de 5 ml.
mu <- 500 # promedio
sigma <- 5 # desviacion estandar
x1 <- 490 # caso inferior
x2 <- 510 # caso superior
# Calcular los valores
z1 <- (x1 - mu) / sigma
z2 <- (x2 - mu) / sigma
# Calcular el porcentaje de botellas entre 490 ml y 510 ml
percentage <- (pnorm(z2) - pnorm(z1)) * 100
percentage # porcentaje## [1] 95.44997Al aplicar la distribución normal con una media de 500 ml y una desviación estándar de 5 ml, obtenemos que el 95% de las botellas producidas en la empresa contienen entre 490 ml y 510 ml de agua. Esto significa que, con los valores proporcionados, la gran mayoría de las botellas se encuentra dentro de este rango.
En una población de observaciones que tiene distribución normal y desviación estándar de 10, la probabilidad de que una observación elegida al azar sea mayor de 50 es de 20%. Determine: a. La media de la población. b. El valor por encima del cual se encuentra 5% del total de las observaciones
Para resolver este ejercicio, necesitamos trabajar con la distribución normal y utilizar la información proporcionada para encontrar la media de la población y el valor que deja por encima el 5% de las observaciones.
# Datos del problema
sigma <- 10
p1 <- 0.80
# a. Determinar la media de la población
z1 <- qnorm(p1)
# Valor observado X
X1 <- 50
# Calcular la media
mu <- X1 - z1 * sigma
mu## [1] 41.58379# b. Determinar el valor por encima del cual se encuentra el 5% del total de las observaciones
p2 <- 0.95
# Encontrar el valor Z correspondiente a p2
z2 <- qnorm(p2)
# Calcular el valor X correspondiente
X2 <- mu + z2 * sigma
X2## [1] 58.03232Estos resultados indican que, en una población con una distribución normal y una desviación estándar de 10, la media es aproximadamente 41.58. Esto nos dice que, en promedio, las observaciones tienden a estar cerca de este valor. Además, el 5% de las observaciones se encuentra por encima de 58.03, lo que significa que solo una pequeña fracción de las observaciones alcanza o supera este valor.
De todos los libros de Harry Potter comprados en un año reciente, alrededor del 60% fueron comprados por lectores de 14 años o más.2 Si se entrevista a 12 aficionados de Harry Potter que compraron libros ese año y si p=0.6, encuentre las siguientes probabilidades. a. Al menos cinco de ellos tenían 14 años o más. b. Exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más. c. Tres o menos de ellos tenían 14 años o más. d. Más de dos de ellos tengan menos de 14 años
El problema se centra en analizar la probabilidad de que ciertos números de un grupo de 12 aficionados de Harry Potter, que compraron libros en un año reciente, tengan 14 años o más, dado que el 60% de los compradores pertenecen a este grupo de edad. Utilizamos la distribución binomial para calcular estas probabilidades, considerando que cada aficionado tiene una probabilidad de 0.6 de ser mayor de 14 años.
Específicamente, se busca determinar las probabilidades de que al menos cinco, exactamente nueve, tres o menos, y más de dos de estos 12 aficionados cumplan con el criterio de edad.
# Datos
n <- 12 # Número de aficionados entrevistados
p <- 0.6 # Probabilidad de que un aficionado tenga 14 años o más
# a. Al menos cinco de ellos tenían 14 años o más
prob_a <- 1 - pbinom(4, n, p)
prob_a## [1] 0.9426901# b. Exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más
prob_b <- dbinom(9, n, p)
prob_b## [1] 0.141894# c. Tres o menos de ellos tenían 14 años o más
prob_c <- pbinom(3, n, p)
prob_c## [1] 0.01526727# d. Más de dos de ellos tengan menos de 14 años
# Probabilidad de que tengan menos de 14 años
q <- 1 - p
# P(Y > 2) donde Y es el número de aficionados menores de 14 años
prob_d <- 1 - pbinom(2, n, q)
prob_d## [1] 0.9165567La probabilidad de que al menos cinco de los 12 aficionados entrevistados tengan 14 años o más es alta 94.2%, lo que sugiere que es muy común que los lectores de Harry Potter en este grupo de edad compren los libros. La probabilidad de que exactamente nueve de ellos tengan 14 años o más es moderada 14.1%, indicando que es razonablemente probable encontrar un número específico de compradores dentro de este rango de edad. Por otro lado, la probabilidad de que tres o menos de ellos tengan 14 años o más es bastante baja 1.5%. En cuanto a los lectores más jóvenes, la probabilidad de que más de dos de los 12 aficionados entrevistados tengan menos de 14 años es alta 91.6%, sugiriendo que aunque muchos compradores son mayores de 14 años, también es común encontrar varios compradores menores de 14 años en un grupo de 12.