Distribuciones de Probabilidad

1. Botellas de Agua.

En una envasadora de agua purificada se producen botellas que tienen, en promedio, medio litro de agua, con una desviación estándar de 5 ml (mililitros). Si se sabe por experiencia que la distribución de los contenidos de agua de estas botellas tiene distribución normal, determinar qué porcentaje de las botellas que se fabrican tiene entre 490 y 510 ml.

Sea \(X:\) Capacidad de las botellas fabricadas.

\(X \sim Normal(\mu=500, \sigma=5)\)

Vamos a calcular el porcentaje de la siguiente manera:

\(P(490<X<510)\)

Definimos en R, las siguientes variables:

prob490=pnorm(490, 500, 5)
prob510=pnorm(510, 500, 5)

probInt=(prob510-prob490)*100

Los resultados obtenidos son:

\(P(X<490)=\) 0.02

\(P(X<510)=\) 0.98

De acuerdo con lo anterior, el porcentaje de botellas que se fabrican entre 490 y 510 ml es: 95.45%

2. Población de Observaciones.

En una población de observaciones que tiene distribución normal y desviación estándar de 10, la probabilidad de que una observación elegida al azar sea mayor de 50 es de 20%. Determine:

  1. La media de la población.

Sea la variable:

\(Y:\) Observaciones.

\(Y \sim Normal(\mu, \sigma=10)\)

Si se sabe que \(P(Y>50)=0.5\), entonces:

\(1-P(Y<50)=0.2\), luego

\(1-P(Z<?)=0.2\)

\(P(Z<?)=0.8\)

Con la ayuda de la tabla “Áreas bajo la curva normal”, se busca dentro el valor de 0,50 que indica que Z=0.85 y posteriormente con la fórmula \(Z=X-\mu/\sigma\) se puede obtener el promedio.

Haciendo los cálculos a parte se obtiene que \(\mu = 41.5\)

Por lo tanto, se puede comprobar haciendo uso de:

prob1=pnorm(50, 41.5, 10)

prob2=1-prob1

Donde si prob1=0.8 y prob2=0.2, es porque se obtuvo correctamente el valor de la media.

Los resultados obtenidos son:

\(P(Y<50)=\) 0.8

\(P(Y>50)=\) 0.2

  1. El valor por encima del cual se encuentra 5% del total de las observaciones.

Primero obtenemos un valor estandarizado “v_Z” y consultamos la tabla de distribución normal estandarizada para un valor de z para una probabilidad acumulada del 95%

v_Z=(50-41.5)/10

z_95 <- 1.64

Luego, podemos calcular el valor de la siguiente manera:

valEncima = 41.5 + z_95 * 10

El resultado obtenido es: 57.9

3. Libros de Harry Potter.

De todos los libros de Harry Potter comprados en un año reciente, alrededor del 60% fueron comprados por lectores de 14 años o más.2 Si se entrevista a 12 aficionados de Harry Potter que compraron libros ese año y si p=0.6, encuentre las siguientes probabilidades.

  1. Al menos cinco de ellos tenían 14 años o más.

Sea \(W\): Número de aficionados a Harry Potter entre los 12 entrevistados que tienen 14 años o más.

\(W\sim Binomial (n=12, p=0.6)\)

\(P(W ≥ 5) = 1 - P(W < 5)\)

Utilizando la función pbinom, podemos calcular esta probabilidad:

prob_a = 1 - pbinom(4, 12, 0.6)

De acuerdo con lo anterior, la probabilidad de que al menos cinco de ellos tenían 14 años o más es: 0.94

  1. Probabilidad de exactamente 9 aficionados con 14 años o más.

Se va a hacer uso de dbinom que es una función que calcula la probabilidad en un punto específico de una distribución binomial. Entonces

\(P(W = 9) = dbinom(9, n, p)\)

prob_b = dbinom(9, 12, 0.6)

La probabilidad que exactamente 9 aficionados tengan 14 años o más es:

  1. Probabilidad de 3 o menos aficionados con 14 años o más.

\(P(W ≤ 3) = pbinom(3, 12, 0.6)\)

prob_c = pbinom(3, 12, 0.6)

Dado lo anterior, la probabilidad de 3 o menos aficionados con 14 años o más es: 0.02

  1. Probabilidad de más de 2 aficionados con menos de 14 años.

\(P(W > 2) = 1 - P(W≤ 2)\)

\(P(W ≤ 2) = pbinom(2, 12, 0.6)\)

prob_d = 1 - pbinom(2, 12, 0.6)

Dado lo anterior, la probabilidad de más de 2 aficionados con 14 años o más es: 1