EJERCICIOS DE MODELOS DE PROBABILIDAD

Problema #1

En una envasadora de agua purificada se producen botellas que tienen, en promedio, medio litro de agua, con una desviación estándar de 5 ml (mililitros). Si se sabe por experiencia que la distribución de los contenidos de agua de estas botellas tiene distribución normal, determinar qué porcentaje de las botellas que se fabrican tiene entre 490 y 510 ml.

Modelo

Para resolver este problema usaremos el modelo Normal donde:

Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el contenido de agua en mililitros. Sabemos que \(X\) sigue una distribucion normal con la media \(\mu = 500\) ml y la desviación estándar \(\sigma = 5\) ml.

mu <- 500
sigma <- 5

p_490 <- pnorm(490, mean = mu, sd = sigma)
p_510 <- pnorm(510, mean = mu, sd = sigma)

probabilidad <- p_510 - p_490
porcentaje <- probabilidad * 100  

resultado <- paste("El porcentaje de botellas con entre 490 ml y 510 ml de agua es:", round(porcentaje, 2), "%")
resultado
## [1] "El porcentaje de botellas con entre 490 ml y 510 ml de agua es: 95.45 %"
# Gráfico de densidad
x <- seq(470, 530, length=100)
y <- dnorm(x, mean=mu, sd=sigma)
plot(x, y, type="l", main="Distribución del contenido de agua en las botellas", xlab="Contenido de agua (ml)", ylab="Densidad")
polygon(c(490, seq(490, 510, length=100), 510), c(0, dnorm(seq(490, 510, length=100), mean=mu, sd=sigma), 0), col="blue", border=NA)
abline(v=c(490, 510), col="red", lty=2)

Conclusión

  • Aproximadamente el 95% de las botellas de agua producidas por la envasadora tienen un contenido de agua entre 490 ml y 510 ml; y solo un pequeño porcentaje de botellas que se desvían del volumen esperado.

Problema #2

En una población de observaciones que tiene distribución normal y desviación estándar de 10, la probabilidad de queuna observación elegida al azar sea mayor de 50 es de 20%. Determine:

  • a. La media de la población.
  • b. El valor por encima del cual se encuentra 5% del total de las observaciones.

Modelo

Para resolver estos problemas usaremos el modelo de probabilidad de Distribucion Normal, donde:

Sabemos que la probabilidad de que una observación sea mayor que 50 es 20. Esto significa que la probabilidad de que una observación sea menor o igual a 50 es 0.80.

Para encontrar la media \(\mu\), utilizamos el valor z correspondiente a una probabilidad acumulada de 0.80 en la distribución normal estándar.

a. Determinación de la media de la población

sigma <- 10
prob_mayor_50 <- 0.20
prob_menor_50 <- 1 - prob_mayor_50

z_80 <- qnorm(prob_menor_50)

x <- 50
mu <- x - z_80 * sigma
mu
## [1] 41.58379

b. El valor por encima del cual se encuentra 5% del total de las observaciones

z_95 <- qnorm(0.95)

valor_95 <- mu + z_95 * sigma
valor_95
## [1] 58.03232
# Gráfico de densidad
x <- seq(mu - 4*sigma, mu + 4*sigma, length=100)
y <- dnorm(x, mean=mu, sd=sigma)
plot(x, y, type="l", main="Distribución normal de la población", xlab="Valor de la observación", ylab="Densidad")
abline(v=mu, col="red", lty=2, lwd=2)
abline(v=valor_95, col="blue", lty=2, lwd=2)
text(mu, max(y)*0.9, labels="Media", col="red", pos=4)
text(valor_95, max(y)*0.7, labels="Percentil 95", col="blue", pos=4)

Conclusión

  • a. La media de la población de observaciones es de aproximadamente 41.584.

  • b. El valor por encima del cual se encuentra el 5% del total de las observaciones es aproximadamente 58.034.

Problema #3

De todos los libros de Harry Potter comprados en un año reciente, alrededor del 60% fueron comprados por lectores de 14 años o más. 2 Si se entrevista a 12 aficionados de Harry Potter que compraron libros ese año y si \(p=0.6\), encuentre las siguientes probabilidades.

  • a. Al menos cinco de ellos tenían 14 años o más.

  • b. Exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más.

  • c. Tres o menos de ellos tenían 14 años o más.

  • d. Más de dos de ellos tengan menos de 14 años

Modelo

Utilizaremos la distribución binomial, que está definida por \(n\) y \(p\), donde \(n = 12\) (el número de aficionados entrevistados) y \(p = 0.6\) (la probabilidad de que un aficionado tenga 14 años o más) para calcular las probabilidades requeridas utilizaremos la distribución binomial \(B(n, p)\).

a. Al menos cinco de ellos tenían 14 años o más.

n <- 12
p <- 0.6

prob_a <- 1 - pbinom(4, size = n, prob = p)
prob_a
## [1] 0.9426901

b. Exactamente nueve de ellos tenían 14 años o más.

prob_b <- dbinom(9, size = n, prob = p)
prob_b
## [1] 0.141894

c. Tres o menos de ellos tenían 14 años o más.

prob_c <- pbinom(3, size = n, prob = p)
prob_c
## [1] 0.01526727

d. Más de dos de ellos tengan menos de 14 años.

q <- 1 - p
prob_d <- 1 - pbinom(2, size = n, prob = q)
prob_d
## [1] 0.9165567
# Gráfico de barras
Examenes <- rbinom(1000, n, p)
barplot(table(Examenes), main="Distribución Binomial de Aficionados de Harry Potter", xlab="Número de lectores de 14 años o más", ylab="Frecuencia", col="lightblue", ylim=c(0, 200))

Conclusión

  • a. Hay una probabilidad del (94.2%) de que al menos cinco de los 12 lectores entrevistados tengan 14 años o más.

  • b. Existe una probabilidad cerca del 14.18% de que exactamente nueve de los 12 lectores entrevistados tengan 14 años o más.

  • c. Al rededor del 1.52% tres o menos de los 12 lectores entrevistados tienen 14 años o más.

  • d. Es muy probable (91.65%) de que más de dos de los 12 lectores entrevistados tengan menos de 14 años.